(完整版)向量基础知识汇总

向量基础知识梳理

1．向量：

既有________，又有________的量叫向量．

2．向量的几何表示：

以A 为起点，B 为终点的向量记作________．

3．向量的有关概念：

（1）零向量：长度为__________的向量叫做零向量，记作______．

（2）单位向量：长度为______的向量叫做单位向量．

（3）相等向量：__________且__________的向量叫做相等向量．

（4）平行向量（共线向量）：方向__________的________向量叫做平行向量，也叫共线向量． ①记法：向量a 平行于b ，记作________．

②规定：零向量与__________平行．

1．向量的加法法则

（1）三角形法则

如图所示，已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB u u u r ＝a ，BC u u u r ＝b ，则向量________叫做a 与

b 的和（或和向量），记作__________，即a ＋b ＝AB u u u r ＋BC u u u r ＝________．上述求两个向量和的作图法则，叫

做向量求和的三角形法则．

对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝________＋______＝______．

（2）平行四边形法则

如图所示，已知两个不共线向量a ，b ，作OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，则O 、A 、B 三点不共线，以______，______

为邻边作__________，则对角线上的向量________＝a ＋b ，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．

2．向量加法的运算律

（1）交换律：a ＋b ＝______________．

（2）结合律：（a ＋b ）＋c ＝______________________．

3．向量的减法

（1）定义：a －b ＝a ＋（－b ），即减去一个向量相当于加上这个向量的__________．

（2）作法：在平面内任取一点O ，作OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，则向量a －b ＝________．如图所示．

（3）几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为________，

被减向量的终点为________的向量．例如：OA u u u r －OB u u u r ＝________．

1．向量数乘运算

实数λ与向量a 的积是一个__________，这种运算叫做向量的__________，记作________，其长度与方向规定如下：

（1）|λa |＝__________．（2）λa （a ≠0）的方向a a ???

当_______时，与方向相同当_______时，与方向相反； 特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝________或λ0＝________．

2．向量数乘的运算律

（1）λ（μa ）＝________．

（2）（λ＋μ）a ＝____________．

（3）λ（a ＋b ）＝____________．

特别地，有（－λ）a ＝____________＝________；

λ（a －b ）＝____________．

3．共线向量定理

向量a （a ≠0）与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______________．

4．向量的线性运算

向量的____、____、________运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ（μ1a ±μ2b ）＝__________________．

1．平面向量基本定理

（1）定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个______向量，那么对于这一平面内的______向量a ，__________实数λ1，λ2，使a ＝____________________________．

（2）基底：把________的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内________向量的一组基底．

2. 两向量的夹角与垂直

（1）夹角：已知两个__________a 和b ，作OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，则________＝θ （0°≤θ≤180°），叫做

向量a 与b 的夹角．

①范围：向量a 与b 的夹角的范围是______________．

②当θ＝0°时，a 与b ________.

③当θ＝180°时，a 与b ________.

（2）垂直：如果a 与b 的夹角是________，则称a 与b 垂直，记作______________．

3．平面向量的坐标表示

（1）向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量正交分解．

（2）向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个____________i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝____________，则________________叫作向量a 的坐标，________________叫作向量的坐标表示．

（3）向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A （x ，y ），则OA u u u r ＝________，若A （x 1，y 1），B （x 2，

y 2），则AB u u u r ＝________________________．

1．平面向量的坐标运算

（1）若a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），则a ＋b ＝________________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．

（2）若a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），则a －b ＝____________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．

（3）若a ＝（x ，y ），λ∈R ，则λa ＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．

2．两向量共线的坐标表示

设a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2）．

（1）当a ∥b 时，有______________________．

（2）当a ∥b 且x 2y 2≠0时，有____________________．即两向量的相应坐标成比例．

3．若1

PP u u u r ＝λ2PP uuu r ，则P 与P 1、P 2三点共线． 当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的内部，特别地λ＝1时，P 为线段P 1P 2的中点；

当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的延长线上；

当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的反向延长线上．

1．平面向量数量积

（1）定义：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量______________叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．

（2）规定：零向量与任一向量的数量积为____．

（3）投影：设两个非零向量a 、b 的夹角为θ，则向量a 在b 方向的投影是____________，向量b 在a 方向上的投影是______________．

2．数量积的几何意义

a ·

b 的几何意义是数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影______________的乘积．

3．向量数量积的运算律

（1）a ·b ＝________（交换律）；

（2）（λa ）·b ＝________＝________（结合律）；

（3）（a ＋b ）·c ＝______________________（分配律）．

1．平面向量数量积的坐标表示

若a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），则a ·b ＝_______．即两个向量的数量积等于_____________．

2．两个向量垂直的坐标表示

设两个非零向量a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），

则a ⊥b ?________________．

3．平面向量的模

（1）向量模公式：设a ＝（x 1，y 1），则|a |＝________________．

（2）两点间距离公式：若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则|AB u u u r |＝________________________．

4．向量的夹角公式

设两非零向量a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝________＝__________． 向量方法在几何中的应用

（1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的等价条件：a ∥b （b ≠0）?________?______________________．

（2）证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a ，b ，a ⊥b ?____________?______________．

（3）求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝_______________＝_____________．

（4）求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a |＝_______．