向量基础知识汇总

向量基础知识梳理

1．向量：

既有_＿_____＿,又有_＿＿__＿__的量叫向量.

２.向量的几何表示:

以A为起点，B为终点的向量记作＿＿＿___＿＿.

３．向量的有关概念:

（１)零向量:长度为____＿＿＿＿__的向量叫做零向量,记作＿_＿＿__．

(2)单位向量：长度为______的向量叫做单位向量.

（3)相等向量:＿______＿＿_且_____＿____的向量叫做相等向量．

（４）平行向量(共线向量）:方向_______＿__的＿_＿＿_＿__向量叫做平行向量,也叫共线向量．

①记法:向量ａ平行于b，记作_＿_＿___＿．

②规定：零向量与__________平行．

1.向量的加法法则

（１)三角形法则

如图所示,已知非零向量ａ,b,在平面内任取一点Ａ，作AB=a，BC＝b,则向量___＿＿___叫做a与b的和（或和向量)，记作_＿__＿___＿＿,即a+b=AB+BC=__＿_＿_＿＿．上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则.

对于零向量与任一向量a的和有a＋０＝_＿_＿__＿_+_____＿=______．

（2)平行四边形法则

如图所示,已知两个不共线向量a，b,作OA=ａ,OB＝ｂ,则O、Ａ、B三点不共线,以__＿___，__＿__＿为邻边作__________，则对角线上的向量＿__＿_＿__=a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则.

2．向量加法的运算律

(1）交换律:a+b=__＿___＿_____＿_．

(2）结合律:（a＋b)＋c=_____＿_＿_＿________＿__＿.

3．向量的减法

（1）定义:a-b＝a+（-b）,即减去一个向量相当于加上这个向量的_＿__＿_＿＿__．

（２）作法:在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则向量a－b＝_______＿．如图所示．

（3）几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为___＿____，被减向量的终点为____＿＿_＿的向量．例如：OA-OB=＿＿_____＿．

1．向量数乘运算

实数λ与向量a的积是一个___＿__＿___,这种运算叫做向量的_＿＿_______，记作________,其长度与方向规定如下：

(1）|λａ｜=_＿＿____＿__．(2）λa (a≠０）的方向

a

a

?

?

?

当_______时，与方向相同

当_______时，与方向相反

；

特别地,当λ=０或a＝0时，0ａ＝___＿____或λ０＝＿_＿＿_＿__.

2.向量数乘的运算律

(1）λ(μａ）=_＿＿＿＿___．

（2)(λ+μ)a=＿＿＿____＿____.

（３）λ(ａ+b）＝_＿＿_____＿__＿.

特别地，有（－λ）a=_＿__________=_＿_＿＿＿_＿;

λ（a－b）=___＿____＿__＿.

3．共线向量定理

向量ａ(ａ≠0）与ｂ共线，当且仅当有唯一一个实数λ,使＿_＿＿_＿____＿__＿.

4.向量的线性运算

向量的＿＿_＿、＿＿__、_＿_＿____运算统称为向量的线性运算,对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ２,恒有λ（μ1a±μ2ｂ)＝_______＿_＿＿__＿__＿_．

1．平面向量基本定理

（1）定理:如果e1,ｅ2是同一平面内的两个＿__＿_＿向量，那么对于这一平面内的____＿_向量ａ，＿_＿_＿_____实数λ１,λ２，使a＝__＿_____＿__＿＿___＿_＿_＿__＿__＿_．

(2)基底:把_＿_＿＿___的向量e1，e2叫做表示这一平面内______＿_向量的一组基底．

2. 两向量的夹角与垂直

(1)夹角:已知两个_＿____＿_＿＿a和b,作OA＝a,OB＝b，则___＿＿__＿＝θ（0°≤θ≤180°),叫做向量ａ与b的夹角．

①范围：向量a与b的夹角的范围是＿____＿____＿＿__．

②当θ＝0°时，ａ与b＿＿______.

③当θ=180°时,a与ｂ________.

（2）垂直:如果a与b的夹角是＿＿＿__＿__，则称a与b垂直，记作____＿_________．

３．平面向量的坐标表示

(1）向量的正交分解：把一个向量分解为两个＿_＿__＿____的向量，叫作把向量正交分解．

(2）向量的坐标表示：在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个＿_______＿＿＿_i，j 作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝_＿＿__＿__＿＿＿_，则__＿__＿＿_＿___＿＿__叫作向量a的坐标，＿___＿___＿＿_____＿叫作向量的坐标表示．

（3）向量坐标的求法:在平面直角坐标系中，若A（x，y）,则OA＝＿_____＿_,若A(ｘ1，y1)，Ｂ(x２,y2）,则AB＝__＿__＿____＿______＿_____＿．

1.平面向量的坐标运算

(1)若ａ=(x1,y1)，ｂ=(x ２,y2)，则a+b=＿_＿_＿_＿_________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.

（２)若a=（x1，y1)，b=（ｘ２,y2),则a－b＝________＿＿__＿＿＿＿＿___,即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．

（３)若ａ＝（x,y)，λ∈R,则λa＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．

２．两向量共线的坐标表示

设ａ＝（ｘ1,y１）,b＝(x2，ｙ2）．

(1）当a∥b时,有__＿_＿______＿＿_＿__＿_＿_＿．

（2）当a∥b且x2y２≠0时，有_______＿＿___＿_＿___＿_．即两向量的相应坐标成比例.

3.若1PP ＝λ2PP ,则P 与P 1、Ｐ2三点共线.

当λ∈____＿___时,Ｐ位于线段P 1P 2的内部,特别地λ=１时,Ｐ为线段P １P 2的中点；

当λ∈＿______＿时,P 位于线段P 1P 2的延长线上;

当λ∈___＿____时,P 位于线段P 1P 2的反向延长线上．

1．平面向量数量积

(1)定义:已知两个非零向量ａ与ｂ,我们把数量___＿____＿_＿_＿_叫做a 与b 的数量积（或内积),记作a ·ｂ,即a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中θ是a 与b 的夹角.

（2）规定:零向量与任一向量的数量积为___＿.

（3)投影：设两个非零向量a 、b 的夹角为θ，则向量a 在b 方向的投影是＿_＿＿_＿___＿＿_，向量b 在a 方向上的投影是＿_＿____＿_＿_＿_＿.

2.数量积的几何意义

a ·

b 的几何意义是数量积ａ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影___＿____＿_____的乘积.

3.向量数量积的运算律

（1）a ·b =___＿__＿_（交换律）；

（2）(λａ)·b ＝＿＿＿____＿=__＿＿____（结合律）；

（3)（a +ｂ）·ｃ=______＿__________＿＿___(分配律)．

1．平面向量数量积的坐标表示

若a =(x １,y 1),b =(x 2,y ２），则a ·ｂ＝_______.即两个向量的数量积等于_＿___＿＿____＿_.

２．两个向量垂直的坐标表示

设两个非零向量a =(x 1，y 1）,b ＝(x 2,y 2)，

则a ⊥b ?_______＿＿_______.

3．平面向量的模

（1）向量模公式：设a ＝（x １,y 1）,则｜ａ|＝＿_＿____＿__＿_____.

（２)两点间距离公式：若A （x １，y 1),Ｂ(ｘ2，y 2），则|AB |=＿_＿_＿_＿＿__＿__＿__＿_＿_＿__＿．

4.向量的夹角公式

设两非零向量ａ＝(x １,y １），ｂ＝(x 2,ｙ2），a 与ｂ的夹角为θ，则c ｏs θ=__＿＿____＝＿＿____＿_＿_． 向量方法在几何中的应用

（1）证明线段平行问题,包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a ∥b （ｂ≠０)?＿__＿__＿_?____＿_______＿＿__＿＿_＿__.