向量基础知识汇总

向量基础知识梳理

1.向量:

既有________,又有________得量叫向量.

2.向量得几何表示:

以A 为起点,B 为终点得向量记作________.

3.向量得有关概念:

(1)零向量:长度为__________得向量叫做零向量,记作______.

(2)单位向量:长度为______得向量叫做单位向量.

(3)相等向量:__________且__________得向量叫做相等向量.

(4)平行向量(共线向量):方向__________得________向量叫做平行向量,也叫共线向量. ①记法:向量a 平行于b ,记作________.

②规定:零向量与__________平行.

1.向量得加法法则

(1)三角形法则

如图所示,已知非零向量a ,b ,在平面内任取一点A ,作AB u u u r ＝a ,BC u u u r ＝b ,则向量________叫做a 与b 得与(或

与向量),记作__________,即a ＋b ＝AB u u u r ＋BC u u u r ＝________.上述求两个向量与得作图法则,叫做向量求与得三

角形法则.

对于零向量与任一向量a 得与有a ＋0＝________＋______＝______.

(2)平行四边形法则

如图所示,已知两个不共线向量a ,b ,作OA u u u r ＝a ,OB u u u r ＝b ,则O 、A 、B 三点不共线,以______,______为邻边作

__________,则对角线上得向量________＝a ＋b ,这个法则叫做两个向量求与得平行四边形法则.

2.向量加法得运算律

(1)交换律:a ＋b ＝______________.

(2)结合律:(a ＋b )＋c ＝______________________.

3.向量得减法

(1)定义:a －b ＝a ＋(－b ),即减去一个向量相当于加上这个向量得__________.

(2)作法:在平面内任取一点O ,作OA u u u r ＝a ,OB u u u r ＝b ,则向量a －b ＝________.如图所示.

(3)几何意义:如果把两个向量得始点放在一起,则这两个向量得差就是以减向量得终点为________,被减

向量得终点为________得向量.例如:OA u u u r －OB u u u r ＝________.

1.向量数乘运算

实数λ与向量a 得积就是一个__________,这种运算叫做向量得__________,记作________,其长度与方向规定如下:

(1)|λa |＝__________.(2)λa (a ≠0)得方向a a ???

当_______时，与方向相同当_______时，与方向相反; 特别地,当λ＝0或a ＝0时,0a ＝________或λ0＝________.

2.向量数乘得运算律

(1)λ(μa )＝________.

(2)(λ＋μ)a ＝____________.

(3)λ(a ＋b )＝____________.

特别地,有(－λ)a ＝____________＝________;

λ(a －b )＝____________.

3.共线向量定理

向量a (a ≠0)与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使______________.

4.向量得线性运算

向量得____、____、________运算统称为向量得线性运算,对于任意向量a 、b ,以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a ±μ2b )＝__________________.

1.平面向量基本定理

(1)定理:如果e 1,e 2就是同一平面内得两个______向量,那么对于这一平面内得______向量a ,__________实数λ1,λ2,使a ＝____________________________.

(2)基底:把________得向量e 1,e 2叫做表示这一平面内________向量得一组基底.

2、 两向量得夹角与垂直

(1)夹角:已知两个__________a 与b ,作OA u u u r ＝a ,OB u u u r ＝b ,则________＝θ (0°≤θ≤180°),叫做向量a 与b 得夹

角.

①范围:向量a 与b 得夹角得范围就是______________.

②当θ＝0°时,a 与b ________、

③当θ＝180°时,a 与b ________、

(2)垂直:如果a 与b 得夹角就是________,则称a 与b 垂直,记作______________.

3.平面向量得坐标表示

(1)向量得正交分解:把一个向量分解为两个__________得向量,叫作把向量正交分解.

(2)向量得坐标表示:在平面直角坐标系中,分别取与x 轴、y 轴方向相同得两个____________i ,j 作为基底,对于平面内得一个向量a ,有且只有一对实数x ,y 使得a ＝____________,则________________叫作向量a 得坐标,________________叫作向量得坐标表示.

(3)向量坐标得求法:在平面直角坐标系中,若A (x ,y ),则OA u u u r ＝________,若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则AB u u u r ＝

________________________.

1.平面向量得坐标运算

(1)若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ＋b ＝________________,即两个向量与得坐标等于这两个向量相应坐标得与.

(2)若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a －b ＝____________________,即两个向量差得坐标等于这两个向量相应坐标得差.

(3)若a ＝(x ,y ),λ∈R ,则λa ＝________,即实数与向量得积得坐标等于用这个实数乘原来向量得相应坐标.

2.两向量共线得坐标表示

设a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2).

(1)当a ∥b 时,有______________________.

(2)当a ∥b 且x 2y 2≠0时,有____________________.即两向量得相应坐标成比例.

3.若1PP u u u r ＝λ2PP uuu r ,则P 与P 1、P 2三点共线.

当λ∈________时,P 位于线段P 1P 2得内部,特别地λ＝1时,P 为线段P 1P 2得中点;

当λ∈________时,P 位于线段P 1P 2得延长线上;

当λ∈________时,P 位于线段P 1P 2得反向延长线上.

1.平面向量数量积

(1)定义:已知两个非零向量a 与b ,我们把数量______________叫做a 与b 得数量积(或内积),记作a ·b ,即a ·b ＝|a ||b |cos θ,其中θ就是a 与b 得夹角.

(2)规定:零向量与任一向量得数量积为____.

(3)投影:设两个非零向量a 、b 得夹角为θ,则向量a 在b 方向得投影就是____________,向量b 在a 方向上得投影就是______________.

2.数量积得几何意义

a ·

b 得几何意义就是数量积a ·b 等于a 得长度|a |与b 在a 得方向上得投影______________得乘积.

3.向量数量积得运算律

(1)a ·b ＝________(交换律);

(2)(λa )·b ＝________＝________(结合律);

(3)(a ＋b )·c ＝______________________(分配律).

1.平面向量数量积得坐标表示

若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ·b ＝_______.即两个向量得数量积等于_____________.

2.两个向量垂直得坐标表示

设两个非零向量a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),

则a ⊥b ?________________.

3.平面向量得模

(1)向量模公式:设a ＝(x 1,y 1),则|a |＝________________.

(2)两点间距离公式:若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB u u u r |＝________________________.

4.向量得夹角公式

设两非零向量a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),a 与b 得夹角为θ,则cos θ＝________＝__________. 向量方法在几何中得应用

(1)证明线段平行问题,包括相似问题,常用向量平行(共线)得等价条件:a ∥b (b ≠0)?________?______________________.

(2)证明垂直问题,如证明四边形就是矩形、正方形等,常用向量垂直得等价条件:非零向量a ,b ,a ⊥b ?____________?______________.

(3)求夹角问题,往往利用向量得夹角公式cos θ＝_______________＝_____________.

(4)求线段得长度或证明线段相等,可以利用向量得线性运算、向量模得公式:|a |＝_______.