2.1从位移、速度、力到向量

uuur uuur uur CB, DO, FE
1、右图中的向量是什么关系?
uuuur uuuuur uuuuur
Ｂ１
A1B1 A2B2 A3B3
Ｂ3
说明：任意两个非零相等向 Ａ１
Ｂ2
量可用同一条有向线段表示，
Ａ3
与有向线段的起点无关.
Ａ2
练习2、判断下列各命题是否正确？ r r r ur
（1）a b ,则a b;
uuur AB
，以图中的
格点为起点和终点作向量，其中与
uuur AB
相等的向量有
uuur 多少个？与 AB长度相等且共线的向量有多少个?
（
uuur AB
除外）
B
相等的有7个.
长度相等且共线的有 15个. A
练习5、用有向线段表示两个相等的向量，这两个有
向线段一定重合吗？
不一定
练习6、在直角坐标系xoy中，有三点A（1，0），B
平行的向量（共线的向量）.
（6）两个非零向量相等的条件是什么？ 模相等且方向相同.
（7）共线的向量一定在同一直线上． ×
例2.如图，D,E,F依次是等边三角形ABC的边
AB,BC,AC的中点，在以A,B,C,D,E,F为起点或终点的
A
向量中，
（1）找出与向量 DuuEur相等的向量； D
F
（2）找出与向量 DuuuFr 共线的向量.
同的几条路.
北 学校
无论走哪条路， 你的位移都是向 东偏北30°方向 移动了2 000 m.
30
家
东
4.飞机向东北方向飞行了150 km，飞行时间
为半小时，飞行速度的大小是300 km/h，方
向是东北.
北
东
5.某著名运动员投掷标枪时，标枪的初始速 度的记录资料是：平均出手角度θ=43.242°， 平均出手速度大小为v=28.35 m/s.
例3.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，写出
图中与向量 OuuAur相等的向量.
uuur uuur uuur OA DO=CB.
变式一：与向量
uuur OA
长度相等的向量有多少个？
11
个 变式二：是否存在与向量
uuur OA
长度相等，方向相反的向量？
uur
存在，为 FE.
变式三：与向量 OuuAur 长度相等且共线的向量有哪些？
(2)若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； uuur uuur
（3）若AB CD,则四边形ABCD是平行四边形； r rr r r r
（4）若a b,b c,则a c; r rr r r r
(5)若a / /c,b / /c,则a / /b
（1）错 （4）对
（2）错 （5）错
（3）错
探究二、向量的表示方法：
1.几何表示法：有向线段． 有向线段——具有方向和长度的线段． B
A
有向线段的三要素：起点、方向、长度.
在数学中我们研究的是仅由大小和方向确定， 而与起点位置无关的向量，也称为自由向量．
以A为起点、B为终点的有向线段记作 AB
2.字母表示法：
rrr 用 a, b,c 等小写字母表示；
解：由三角形中位线定理不难得到： B
E
C
（1）在以A，B，C，D，E，F为起点
或终点的向量中，与向量 D相E 等的向量有： AF和FC；
（2）在以A，B，C，D，E，F为起点或终点的向量中，与
向量
uuur
D共F 线的向量有：
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur BE，EB，EC，CE，BC，CB，FD.
用 如表Auu示Bur.有向线段的起点和终点字母表示，
思考：
向量
uuur AB
与向量
uuur BA
是不是同一向量？为
什么？
不是同一向量，因为方向不同.
探究三、向量的长度：
向量
uuur AB
的大小，即长度（也称模）.
uuur
记作：| AB |
问题1：长度为0的向量应该叫作什么向量？
如何表示？它是否有方向？ r
2.平行的向量一定是相等向量吗? 不是
例1．判断下列说法是否正确或给出问题 的答案
（1）平行的向量的方向一定相同． ×
（2）不相等的向量一定不平行．
×
（3）与零向量相等的向量是什么向量？ 零向量
（4）存在与任何向量都平行的向量吗？
零向量
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个 向量一定是什么向量？
速度是既有大小又有
B
方向的量.
2.民航每天都有从北京飞往上海、 广州、重庆、哈尔滨等地的航班. 每次飞行都是民航客机的一次位移.
北京
由于飞行的距离和方 向各不相同,因此,它们 是不同的位移.
重庆
位移既有大小又有方向. 广州
哈尔滨 上海
3.假如学校位于你家东偏北30°方向，距
离你家2 000 m.从家到学校，可能有长短不
（-1，2），C（-2，2），请用有向线段分别表示A
到B，B到C，C到A的位移.
y CB 2
1
A -2 -1 O 1 x
向量
定义 表示法
既有大小，又有方向 a
几何表示法：A
B
模 大小 方向
字母表示法：如a , b , AB 等
AB 或 a
特殊向量
零向量 单位向量
平行向量或共线向量
大小相等 方向相同 相等向量
练习3、已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中
所标出的向量中：
ห้องสมุดไป่ตู้
uuur
（1）试找出与FE共线的向量；
uuur
（2）确定与FE相等的向量； uuur uuur
E
D
（3）OA与BC相等吗？
解：（1）OA, BC
FO
C
(2)BC
(3)因为方向相反，所以不相等。 A
B
练习4、在4*5的方格纸中有一个向量
位向量，它们终点的轨迹是什么图形？
y
o
x
答：如图，轨迹是以O为圆心，半径为1的 圆（单位圆）.
探究四、向量平行与相等向量
1.向量平行：如果表示两个向量的有向线段
所在的直线平行或重合，则称
r
如：
a r
b
r
c
这两个向量平行或共线.
rrr 记作：a∥b∥c.
规定：零向量与任一向量平行.
r
r
思考：根据定义判断下图中向量 a 与向量 b
抽 象 概 括
向量
探究一、向量的概念
既有大小,又有方向的量统称为向量. 1.现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？ 位移、力、速度、加速度、电场强度等. 2.哪些量只有大小没有方向？ 距离、身高、质量、时间、面积等.
注意：数量与向量的区别 1.数量只有大小，是一个数，可以进行代数 运算、比较大小； 2.向量不仅有大小还有方向，具有双重性， 不能比较大小.
答：应该叫作零向量. 表示为 0.
它的方向是任意的.
问题2：与向量 a 同方向且长度为单位1的向
量应该叫作什么向量？
答：应该叫作 a方向上的单位向量.记作
uur a0.
问题3：有几个单位向量？单位向量的大小 是否相等？
答：有无数个单位向量，单位向量的大小相 等.
思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单
6.起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下 的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机 拉力的作用.当拉力的大小超过重力的大小时， 物体即被吊起.
F
G
7.汽车爬倾斜角为θ的坡路时，汽车的牵引
力大小为F(N),方向倾斜向上，与水平方向
成θ角.
F
θ
力既有大小又有方向.
这些量都具有哪些基本特征?它们和以往 学习的长度、面积、体积等量相比有什 么不同？
是否平行？
r a
r b
答：是. 向量平行也称向量共线.
r 2.若非零向量 a
r b
，则
r a
一定相同或相反吗？ 是
是
r 与 b 的方向
2.相等向量
注意方向 和长度
长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量.
若向量
ar 与
r b
相等，记作：ar
r b.
规定: 零向量与零向量相等.
思考： 1.相等向量一定平行吗? 是
第二章 平面向量
2.1 从位移、速度、 力到向量
思考:力，时间,路程,功是向 量吗?速度,加速度是向量吗?
数量：只有大小，没有方向的量。
向量的两要素：方向、大小
向量：既有大小，又有方向的量。
1.老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去.
猫能否追到老鼠？
北
东
不能.猫的速度再快也 没用, 因为方向错了. A