位移与向量的表示1讲解学习
向量知识点总结大全
向量知识点总结大全1. 向量的定义向量是指具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
在数学中，向量可以用来表示力、速度、位移、电场、磁场等物理量。
向量通常用坐标或分量来表示，也可以用一点表示。
向量的模长是其大小，方向是指向量所指方向。
2. 向量的表示(1) 点表示法：用起始点为O，终点为A的箭头表示向量，记作→OA。
(2) 分量表示法：以向量所在的坐标系中的原点O为出发点，A(x, y)为终点，表示向量为→OA = x→i + y→j。
其中，→i和→j是标准基向量，它们的方向分别是x轴和y轴的正方向，长度为1。
(3) 等价向量：长度和方向都相同的向量称为等价向量，用→AB = →CD 表示。
3. 向量的运算(1) 向量的加法：若有两个向量→a 和→b，它们的和记作→c，即→c = →a + →b。
向量的加法满足交换律和结合律，即→a + →b = →b + →a，(→a + →b) + →c = →a + (→b + →c)。
(2) 向量的数量积（点积）：若两个向量→a 和→b 的夹角为θ，则它们的数量积定义为→a·→b = |→a|·|→b|·cosθ。
(3) 向量的矢量积（叉积）：对于三维向量→a = (a1, a2, a3) 和→b = (b1, b2, b3)，它们的矢量积定义为：→a × →b = (a2b3 - a3b2)→i - (a1b3 - a3b1)→j + (a1b2 - a2b1)→k，其中→i、→j、→k 分别是x、y、z轴的单位向量。
(4) 向量的数量积和矢量积的关系：→a·→b = |→a|·|→b|·cosθ，其中θ为夹角；|→a × →b| = |→a|·|→b|·sinθ，即矢量积的模长等于两个向量模长的乘积再乘以它们夹角的正弦值。
4. 向量的相等两个向量相等的充分必要条件是它们的大小和方向都相等。
位移与向量的表示
教材 P34，练习 B 组第 1 题．
向线段所在直
平行向量方向相同或相反．向量 平行于 ，a记作 ∥ b．
a
b
c
d
ab
特别地，我们规定零向量与任意向量平行．
9．位置向量 问题2 如何用向量确定平面内一点的位置？
a
A
O
向量 OA通常称做点A相对于点O的位置向量．
例 在谈到天津相对于北京的位置时，我们说 “天津位于北京 东偏南50 ，114km” ．
F
A O
B
E D
C
练习1 出与
已知D，E，F是△ABC三边AB，BC，CA的 中点，分别写
， ， 相等的向量．
DE EF FD
A 解：
DE AF FC EF BD DA
D
F
FD CE EB
B
E
C
1. 向量：具有大小和方向的量．
2．向量的表示方法
（1）用有向线段来表示向量．
（2）记作 A或B a, b..,.c．
100km
北京
O
50 ABiblioteka 天津练习2 在平面上任意确定一点O，点P在点O“东偏北60，3cm”处，Q在 点O“南偏西30，3cm”处，画出点P和Q相对于点O的位置向量．
1cm
P
O 60
东
30
Q
南
1. 向量的概念和向量的长度． 2．向量的两要素． 3．向量的表示方法． 4．相等向量与共线向量． 5．零向量． 6．位置向量．
向量
向量 向 量
7.1.1 位移与向量的表示
1.阅读教材P31前三自然段，谈谈数量与向量的不同． 2. 你能举出向量的其他例子吗？
1. 向量：具有大小和方向的量．
位置变化的描述——位移
A．x甲>x乙，l甲<l乙
C．x甲>x乙，l甲>l乙
B．x甲<x乙，l甲>l乙
D．x甲<x乙，l甲<l乙
例3
三个质点ABC运动轨迹如图所示，三个质点同时从N
点出发，同时到达M点，下列说法正确的是（ B ）
C
A. 质点C的位移最大
M
B. 三个质点的位移一样大
C. 质点C的路程最大
D. 三个质点的路程一样大
B
A
C
N
例4
一操场跑道全长400 m，其中CD和FA为100 m长的直
道，弯道ABC和DEF均为半圆形，长度均为100
m．一运动员从A点开始起跑，沿弯道ABC和直道CD
跑到D点，求该运动员在这段时间内的路程和位移．
解析 设半圆形弯道半径为 R，则有：πR＝100 m，所以
100
R＝ m＝31.85 m．运动员的位移大小为：x＝ x2CD＋(2R)2
π
＝118.57 m．位移方向由 A 指向 D，与 AF 成夹角 φ，则有：
2R
tan φ＝ ＝60.6370，查三角函数表得：φ＝32.50°.运动员的
sCD
路程为：l＝xABC＋xCD＝100 m＋100 m＝200 m.
答案 路程为200 m，位移为118.57 m，方向由A指向D
C. −10N 的力比5N 的力小
D. −10℃比5℃的温度低
例2
如图所示，在2008年北京奥运会上，甲、乙两运动员分别参
加了在主体育场举行的400 m和100 m田径决赛，且两人都是
在最内侧跑道完成了比赛．则两人在各自的比赛过程中通过
的位移大小x 甲 、x 乙 和通过的路程大小l 甲 、l 乙 之间的关系是
向量章节知识点总结
向量章节知识点总结1. 向量的基本概念1.1 向量的定义向量是表示物理量的一种数学工具，它有大小和方向两个基本特征。
常用符号表示向量，例如a→。
向量常用箭头表示法表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
1.2 向量的表示向量常用坐标表示法表示，例如a→=(a1,a2,a3)。
向量也可以用分量和方向角表示，例如a→=(a cos a,a cos a,a cos a)。
不同的表示方法都可以用来描述向量的大小和方向，选择合适的表示方法便于计算和分析。
1.3 向量的相等两个向量相等的条件是它们的大小和方向都相同，即a→=a→。
向量相等可以用坐标或分量表示法进行判断。
2. 向量的性质2.1 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律，即a→+a→=a→+a→，(a→+a→)+a→=a→+(a→+a→)。
向量的加法可以用三角形法则或平行四边形法则进行图解，方便进行向量的几何解释。
2.2 向量的数量积向量的数量积，也称为点积或内积，是向量的一种运算。
两个向量的数量积定义为它们的模的乘积与它们的夹角的余弦值，即a→⋅a→=aa cos a。
数量积有交换律和分配律，是一个标量。
2.3 向量的矢量积向量的矢量积，也称为叉积或外积，是向量的一种运算。
两个向量的矢量积定义为它们的模的乘积与它们的夹角的正弦值，即a→×a→=aa sin aa→。
矢量积有右手定则和反交换律，是一个向量。
3. 向量的运算3.1 向量的数乘向量的数乘是向量与标量的乘法，即aa→。
向量的数乘改变了向量的大小，但不改变它的方向。
向量的数乘有分配律和结合律。
3.2 向量的夹角向量的夹角是指两个向量之间的角度，可以通过数量积的定义求解。
两个向量的夹角满足余弦定理，即a→⋅a→=aa cos a。
根据夹角的大小，可以判断向量的方向和位置关系。
4. 向量的应用4.1 向量在几何中的应用向量在几何中有广泛的应用，例如描述线段、平面、直线等几何图形，求解距离、角度、面积等几何性质，进行向量方程的几何解释等。
高中数学向量的坐标表示与应用
高中数学向量的坐标表示与应用1. 前言在高中数学中，向量是一个重要的概念。
向量的坐标表示和应用是数学学习中的一个重要部分。
本文将通过介绍向量的坐标表示和应用的相关知识，帮助读者更好地理解和运用向量。
2. 向量的表示2.1 向量的定义向量是有大小和方向的量。
向量通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向。
2.2 向量的坐标表示向量的坐标表示是将向量的大小和方向分别表示为一个有序数对。
常用的坐标表示方法有两种，一种是点表示法，一种是列向量表示法。
2.2.1 点表示法在二维笛卡尔坐标系中，向量的起点和终点分别对应两个点，可以用这两个点的坐标表示向量。
例如，向量AB可以表示为(2,3)。
2.2.2 列向量表示法在二维笛卡尔坐标系中，可以用列向量表示向量。
例如，向量AB可以表示为 [2, 3]。
3. 向量的应用3.1 向量的运算向量有多种运算方法，包括加法、减法、数量乘法和数量除法。
3.1.1 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。
即，对于向量AB和向量BC，它们的和为向量AC。
3.1.2 向量的减法向量的减法即向量的加法的逆运算。
向量AB减去向量AC等于向量BC。
3.1.3 数量乘法数量乘法即将向量的每个分量都乘以一个常数k。
例如，向量AB 乘以2即为2AB。
3.1.4 数量除法数量除法即将向量的每个分量都除以一个常数k。
例如，向量AB 除以2即为AB/2。
3.2 向量的应用3.2.1 几何向量在几何中，向量可以表示位移、速度、加速度等物理量。
向量的坐标表示和运算可以帮助我们求解这些几何问题。
3.2.2 向量的线性相关与线性无关向量的线性相关与线性无关是线性代数中的一个重要概念。
通过向量的坐标表示和线性代数的相关知识，我们可以判断向量组的线性相关性，并解决相关的问题。
3.2.3 向量的投影向量的投影是向量分解的一个重要应用。
通过向量的坐标表示和向量的运算，我们可以计算一个向量在另一个向量上的投影。
向量与坐标系讲解
向量与坐标系讲解引言：在高中数学中，向量与坐标系是非常重要的概念。
向量是具有大小和方向的量，而坐标系是表示位置和方向的工具。
理解向量与坐标系的概念对于解决几何和代数问题至关重要。
本教案将详细讲解向量与坐标系的相关知识，帮助学生更好地掌握这一内容。
一、向量的定义与性质1. 向量的定义向量是具有大小和方向的量。
在平面坐标系中，向量可以用有向线段表示，有起点和终点。
向量通常用小写字母加上一个箭头表示，例如a→。
2. 向量的加法与减法向量的加法与减法是将两个向量的对应分量相加或相减得到新的向量。
具体而言，设有向量a→(a₁, a₂)和b→(b₁, b₂)，则它们的和a→+b→=(a₁+b₁, a₂+b₂)，差a→-b→=(a₁-b₁, a₂-b₂)。
3. 向量的数量积与向量积向量的数量积（点乘）和向量积（叉乘）是向量的重要运算。
数量积的结果是一个标量，向量积的结果是一个向量。
二、坐标系的建立与表示1. 直角坐标系直角坐标系是最常用的坐标系，它由两个垂直的坐标轴x轴和y轴组成。
在直角坐标系中，每个点都可以用一个有序数对(x, y)表示，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。
2. 极坐标系极坐标系是另一种常用的坐标系，它由一个原点O和一个极轴组成。
在极坐标系中，每个点可以用一个有序数对(r, θ)表示，其中r表示点到原点的距离，θ表示点与极轴的夹角。
3. 坐标系的转换在不同的坐标系之间进行转换是很有必要的。
例如，将直角坐标系中的点(x, y)转换为极坐标系中的点(r, θ)，可以使用以下公式：r = √(x² + y²)θ = arctan(y/x)三、向量与坐标系的关系1. 向量的坐标表示在直角坐标系中，向量可以用有序数对(x, y)表示。
例如，向量a→可以表示为a→(a₁, a₂)。
2. 向量的基底表示基底是表示向量的一组特殊向量，通常用i→和j→表示。
在直角坐标系中，向量可以表示为向量基底的线性组合。
位移与向量的表示课件.ppt
OC AB ED FO
F A
O B
E D
C
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练习1 已知D，E，F是△ABC三边AB，BC，CA的
中点，分别写出与 DE ，EF ，FD 相等的向量．
A 解：
DE AF FC
EF BD DA
D
F
FD CE EB
B
E
C
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1. 向量：具有大小和方向的量．
东
30
Q
南
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1. 向量的概念和向量的长度． 2．向量的两要素． 3．向量的表示方法． 4．相等向量与共线向量． 5．零向量． 6．位置向量．
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教材 P34，练习 B 组第 1 题．
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2．向量的表示方法
（（12））用记有作向AB线或段来a,表b,示c 向.量..．．
3．自由向量： 只有大小和方向，而无特定的位置．
4．向量的两要素：大小与方向． 5．相等向量：同向且等长的向量．
6．向量的模：表示向量的有向线段 AB的长度,记作| AB|．
7．零向量：长度等于零的向量，记作 0．
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8．共线向量（或平行向量）：如果表示一些向量的有 向线段所在直线互相平行或重合，则称这些向量平行 或共线．
平行向量方向相同或相反．向量a平行于b，记作 a∥b．
a
b
c
d
特别地，我们规定零向量与任意向量平行．
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9．位置向量 问题2 如何用向量确定平面内一点的位置？
a
A
O
向量 OA 通常称做点A相对于点O的位置向量．
向量的定义与性质
向量的定义与性质向量是数学中的一个重要概念，它在多个学科和领域中都有广泛的应用。
本文将介绍向量的定义、性质以及在几何学和物理学中的应用。
一、向量的定义向量是具有大小和方向的量。
可以用箭头来表示一个向量，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
通常用大写字母，如A、B、C等来表示向量。
向量的表示方法有多种，包括坐标表示、分量表示和矩阵表示等。
其中，坐标表示是最常用的方法。
假设平面上有一个向量A，可以用有序数对(x, y)表示。
其中，x表示向量A在x轴上的投影，y表示向量A在y轴上的投影。
二、向量的性质1. 向量的大小向量的大小即为向量的模，用||A||表示。
向量A的模可以用勾股定理求得，即||A|| = √(x^2 + y^2)，其中x和y分别表示向量A在x轴和y轴上的投影。
2. 向量的方向向量的方向可以用角度来表示。
在平面直角坐标系中，与x轴正方向的夹角被称为向量的方向角。
方向角的范围通常取[0, 2π)之间。
3. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。
设有向量A和向量B，它们的和表示为A + B。
向量的加法可以通过将两个向量的对应分量相加得到。
4. 向量的数量积向量的数量积，也称为点积或内积，用A·B表示。
向量A和向量B 的数量积等于A和B的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积，即A·B = ||A|| ||B|| cosθ。
5. 向量的向量积向量的向量积，也称为叉积或叉乘，用A×B表示。
向量A和向量B的向量积是一个新的向量，其大小等于A和B的模的乘积与它们夹角的正弦值的乘积，方向垂直于A和B所在的平面。
三、向量在几何学中的应用向量在几何学中有广泛的应用，可以用来描述点、直线、平面等几何元素。
1. 位移向量位移向量用于表示点的移动情况。
设有点A和点B，它们之间的位移向量表示为AB。
位移向量的大小等于两点之间的距离，方向与直线AB的方向相同。
2. 平行向量平行向量是指方向相同或者相反的向量。
高中向量知识点归纳总结 知乎
高中向量知识点归纳总结知乎向量是高中数学中的重要概念，它具有大小和方向两个性质。
在学习向量的过程中，我们需要掌握向量的表示方法、向量的运算规则以及向量在几何中的应用等知识点。
本文将对这些知识点进行归纳总结。
一、向量的表示方法1. 向量的表示方法有多种，常见的有箭头表示法、坐标表示法和分量表示法。
2. 箭头表示法是指用一条有方向的线段表示向量，线段的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
3. 坐标表示法是指用有序数对表示向量，例如向量AB可以表示为(3,4)。
4. 分量表示法是指将向量沿坐标轴的方向分解成若干个分量，例如向量AB可以表示为向量OA和向量OB的和，即AB=OA+OB。
二、向量的运算规则1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。
2. 向量的数乘：向量的数乘是指将向量的每个分量乘以一个实数，得到一个新的向量，例如kA=(kx,ky)。
3. 向量的减法：向量的减法可以通过向量的加法和数乘来表示，即A-B=A+(-B)。
4. 向量的数量积：向量的数量积也称为点积，表示为A·B，是两个向量的模的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积，即A·B=|A||B|cosθ。
5. 向量的向量积：向量的向量积也称为叉积，表示为A×B，是两个向量的模的乘积与它们的夹角的正弦值的乘积，即A×B=|A||B|sinθ。
三、向量的应用1. 向量的平移：向量的平移是指将向量从一个点平移到另一个点，平移后的向量与原向量大小和方向相同。
2. 向量的共线与共面：若两个向量共线，则它们的夹角为0°或180°；若三个向量共面，则它们的混合积为0。
3. 向量的垂直与平行：若两个向量垂直，则它们的数量积为0；若两个向量平行，则它们的向量积为0。
4. 向量的投影：向量的投影是指将一个向量投影到另一个向量上的过程，投影的长度为两个向量的数量积除以另一个向量的模。
向量的坐标表示及其运算教案
向量的坐标表示及其运算教案第一章：向量的概念及其坐标表示1.1 向量的定义引导学生回顾初中阶段所学到的向量概念，向量是有大小和方向的量。
解释向量在高中数学中的重要性，特别是在坐标系中的运用。
1.2 向量的表示方法介绍向量的表示方法，包括用箭头表示和用字母表示。
强调在坐标系中，向量可以用有序数对(a, b) 表示，其中a 表示向量在x 轴上的分量，b 表示向量在y 轴上的分量。
1.3 向量的模解释向量的模是指向量的大小，用||v|| 表示。
引导学生利用坐标系计算向量的模，即||v|| = √(a²+ b²)。
第二章：向量的加法和减法2.1 向量的加法解释向量的加法是指将两个向量首尾相接，形成一个新的向量。
引导学生利用坐标系进行向量的加法运算，即将对应分量相加。
2.2 向量的减法解释向量的减法是指从第一个向量中减去第二个向量，即加上第二个向量的相反向量。
引导学生利用坐标系进行向量的减法运算，即将对应分量相减。
第三章：向量的数乘3.1 向量的数乘概念解释向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘，得到一个新的向量。
强调数乘不改变向量的方向，只改变向量的大小。
3.2 向量的数乘运算引导学生利用坐标系进行向量的数乘运算，即将每个分量与实数相乘。
举例说明数乘运算的性质，如a(b·c) = (a·b)c 等。
第四章：向量的点积4.1 向量的点积概念解释向量的点积是指两个向量的对应分量相乘后相加的结果，用v·w 表示。
强调点积的计算结果是一个标量，而不是向量。
4.2 向量的点积运算引导学生利用坐标系进行向量的点积运算，即将对应分量相乘后相加。
举例说明点积的性质，如v·w = w·v、v·(w+z) = v·w + v·z 等。
第五章：向量的叉积5.1 向量的叉积概念解释向量的叉积是指两个非共线的向量形成的平行四边形的面积，用v×w 表示。
位移与向量的表示
【例题】如图1，设O是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量 OA 、0B 、OC相等的向量.
F
E
A
O
D
B
C
【练习】已知D，E，F分别是三角形ABC的 边AB，BC，CA的中点，写出图中 与向量DE 、EF 、FD相等的向量.
A
D
F
B
E
C
O
渔
寮
相
对 于
炮弹飞行方向
航母
1200公里
军事目标
如果所给的炮弹射程只有500公里呢？
【实践】
1、请每位同学任作一个向量，标记为b
2、请同学们作一个跟它相等的向量,标记为c
同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量。
3、请同学们作一个跟它平行的向量,标记为d
如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合， 则称这些向量为平行或共线向量。记作：a//b
150
温
州
市
区 的
80公里
位
置
B
【思考】有位同学从点A向东走400米 到达点B，接着向南走300米到达点C， 然后再向东北走200米到达点D，选择 适当的比例尺，用向量表示这个人的 位移.
A
北
100米
东
B D
C
课后作业
书98页 习题5.1中 1,2,3.
【问题】叙利亚“化武危机”即将引发战争。美 国“尼米兹”号航空母舰接到命令：准备向1200 公里处的的军事目标进行精确打击.
【问题】叙利亚“化武危机”即将引发战争。美 国“尼米兹”号航空母舰接到命令：准备向1200 公里处的的军事目标进行精确打击。
炮弹飞行方向
向量知识点总结初中
向量知识点总结初中1. 向量的概念：向量是具有大小和方向的量，用来表示位移、速度、力等物理量。
在几何上，向量表示空间中的一条有方向的线段。
2. 向量的表示：向量通常用有向线段、箭头等图形表示，也可以用分量表示。
在数学上，向量常用加粗的字母，如a、b、c等表示。
二、向量的运算：1. 向量的加法：向量的加法满足三角形法则，即两个向量相加的结果是一个新的向量，其起点和终点分别为两个向量的起点和终点。
2. 向量的数乘：向量的数乘是指一个向量乘以一个标量，结果是一个新的向量，其大小是原向量大小的倍数，方向与原向量相同或相反。
3. 向量的减法：向量的减法可以看作是向量加法的逆运算，即将被减向量改变方向再与减向量做加法。
4. 向量的数量积：向量的数量积又称点积，结果是一个标量，其大小等于两个向量的模的乘积与这两个向量夹角的余弦值的乘积。
5. 向量的向量积：向量的向量积又称叉积，结果是一个向量，其大小等于两个向量的模的乘积与这两个向量夹角的正弦值的乘积，方向由右手定则确定。
三、向量的坐标表示：1. 二维向量的坐标表示：二维向量可以用坐标表示为一个有序二元组(a, b)，其中a为向量在x轴上的投影，b为向量在y轴上的投影。
2. 三维向量的坐标表示：三维向量可以用坐标表示为一个有序三元组(a, b, c)，其中a为向量在x轴上的投影，b为向量在y轴上的投影，c为向量在z轴上的投影。
四、向量的模和方向角：1. 向量的模：向量的模是用来表示向量大小的量，通常用|a|表示，可以通过勾股定理计算得到。
2. 向量的方向角：向量的方向角是指向量与坐标轴正方向的夹角，通常用α、β、γ表示。
可以通过三角函数计算得到。
五、向量的线性相关和线性无关：1. 线性相关：若存在不全为零的实数k1、k2，使得k1a + k2b = 0，则称向量a、b线性相关。
2. 线性无关：若a、b线性相关，且k1 = 0、k2 = 0，则称向量a、b线性无关。
向量知识点总结及讲解
向量知识点总结及讲解一、向量的基本概念1. 向量的定义在数学中，向量是有大小和方向的量。
在几何学中，向量通常表示为有向线段。
在向量中，大小通常表示为向量的长度，方向表示为向量的箭头指向。
2. 向量的表示向量可以用坐标、分量或者表示向量的起点和终点等方式来表示。
在二维空间中，可以使用(x, y)来表示向量，在三维空间中，可以使用(x, y, z)来表示。
3. 向量的相等当两个向量的大小和方向都相同时，这两个向量称之为相等向量，可以表示为AB=CD。
4. 零向量零向量是指大小为0，方向任意的向量，可以表示为0。
5. 单位向量单位向量是指大小为1的向量，可以将任意非零向量除以其大小得到单位向量。
6. 平行向量两个向量的方向相同或者相反，则这两个向量称之为平行向量，可以表示为AB∥CD。
7. 垂直向量当两个向量的夹角为90°时，这两个向量称之为垂直向量，可以表示为AB⊥CD。
8. 自由向量自由向量是指一个向量沿着平行的方向平移以后仍然保持原有性质的向量。
9. 定位向量定位向量是指起点固定在坐标原点上的向量，可以用终点的坐标表示。
二、向量的运算1. 向量加法向量加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
2. 向量减法向量减法是指将被减向量取反后与减向量进行向量加法，得到一个新的向量。
3. 向量的数量积向量的数量积，也称为点积或者内积，是指将两个向量的对应分量相乘后相加得到一个数，可以表示为a·b。
4. 向量的数量积性质（1）交换律：a·b = b·a（2）结合律：a·(b+c) = a·b + a·c（3）分配律：a·(b+c) = a·b + a·c5. 向量的数量积应用向量的数量积有很多应用，例如计算向量的模、判定向量的垂直性、计算夹角等。
6. 向量的向量积向量的向量积，也称为叉积或者外积，是指将两个向量的对应分量相乘后得到一个新的向量。
位移与向量的表示
小而且有方向； 数量只有大小． 到抽象，概括、认识 学生回顾物理中学过的向 量：力、速度等． 向量概念，符合职校 学生的认知能力．
1．向量的概念 具有大小和方向的量叫做向量．
2．向量的表示方法 问题 1 如何描述平面上一点的位 移？ 新 课 B 终点 A 始点 （1）用有向线段来表示向量．有向 线段的长度表示向量的大小，有向线段 的方向表示向量的方向．
学生辨别 0 与→0 的不同．
新 课
教师给出共线向量概念． 学生辨析向量平行与直线 平行的区别以及相等向量与共 线向量的不同．
通过辨析向量平 行与直线平行的区 别，进一步加深对共 线向量以及自由向量 与位置无关的认识．
教师引导给出位置向量概 念．
师： 有了位置向量的概念， 我们就可以利用位置向量确定 一点相对于另一点的位置，这 样，我们就可以用向量来研究 几何了． 引入位置向量为 利用向量来研究几何 问题提供理论依据．
新 课 1．向量概念与向量的长度． 2．向量的两要素． 3．向量的表示方法． 4．相等向量与共线向量． 5．零向量． 6．位置向量．
学生练习巩固． 师生合作． 梳理总结也可针 对学生薄弱或易错处 进行．
小 结
作 业
教材 P34，练习 B 组第 1 题．
巩固．
内容更删 课外作业
这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．从物理背景和几 何背景入手，建立起学习向量概念及其表示方法的基础，结合丰富的实例，
教学后记
归纳、概括向量的有关概念，使学生容易理解．同时结合习题让学生加深 对相等向量的理解．
授课主要内容或板书设计
教 学 过 程
环节 教学内容 阅读教材 P31 前三自然段，认识数 量与向量的不同． 导 入 师生互动 教师提出问题． 学生阅读教材，回答数量 与向量的不同：向量不仅有大 举出向量的其他例子． 设计意图 通过阅读教材中 的例子与物理中学过 的其他实例，由具体
北师大版必修4高中数学第2章平面向量11.1位移速度和力1.2向量的概念
1．准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方 向，然后根据向量的大小确定向量的终点．用有向线段来表示向量是 向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可．
2．起点相同，长度也相同的向量的终点组成以该起点为圆心、 向量长度为半径的圆．
2.一辆消防车从 A 地去 B 地执行任务，先从 A 地向北偏东 30°方向行驶 2 千米到 D 地，然后 从 D 地沿北偏东 60°方向行驶 6 千米到达 C 地， 从 C 地又向南偏西 30°方向行驶了 2 千米才到达 B 地．
→ OA.
1．向量共线有三种情形： ①共线且同向；②共线且反向；③有一个是零向量． 2．向量的平行与直线平行的关系 两条直线平行时，直线上的有向线段平行，两向量平行时，表示 向量的有向线段所在直线不一定平行，也可能重合．若直线 m，n，l， m∥n，n∥l，则 m∥l；若向量 a，b，c，a∥b，b∥c，而 a，c 不一定 平行．
向量的表示 【例 2】 一艘军舰从基地 A 出发向东航行了 200 海里到达基地 B，然后改变航线向东偏北 60°航行了 400 海里到达 C 岛，最后又改 变航线向西航行了 200 海里到达 D 岛． (1)试作出向量A→B，B→C，C→D；
(2)求|A→D |.
[思路探究] 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定 向量的方向，然后结合向量的大小确定向量的终点．
(1)在如图所示的坐标系中画出A→D，D→C，C→B，A→B； (2)求 B 地相对于 A 地的位置向量．
[解] (1)向量A→D，D→C，C→B，A→B如图所示．
(2)由题意知A→D＝B→C，∴AD 綊 BC， ∴四边形 ABCD 为平行四边形， ∴A→B＝D→C， ∴B 地相对于 A 地的位置向量为“北偏东 60°，6 千米”．
向量知识点与公式总结
向量知识点与公式总结向量是数学中常见的概念，广泛应用于几何、物理、工程等领域。
在几何中，向量可以表示方向和大小，而在物理和工程中，向量可用于描述物体的位移、力和速度等概念。
本文将对向量的基本概念、运算法则以及常见公式进行总结。
一、向量的基本概念1. 向量的定义：向量是由大小和方向共同决定的，并且在平行移动下具有相同效果的量。
向量通常用字母加上箭头表示，如a。
例如，一个位移向量表示从起点到终点的位移距离和方向。
2. 向量的表示：向量可以用坐标表示，也可以用行列式表示。
在坐标表示中，向量通常以一个起点和一个终点表示，用终点的坐标减去起点的坐标，得到向量的坐标。
在行列式表示中，向量被表示为一个一维数组。
3. 向量的性质：向量具有方向、大小和平移性质。
向量的方向可以用角度或方向余弦表示，大小可以用模长表示，平移性质表示向量的平移不会改变其大小和方向。
二、向量的运算法则1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。
即对于任意的向量a、b和c，有a + b = b + a和(a + b) + c = a + (b + c)。
2. 向量的减法：向量的减法等于其加法的逆运算，即a - b = a + (-b)。
其中，-b表示向量b的反方向和相同大小的向量。
3. 向量的数乘：向量的数乘满足分配律和结合律。
即对于任意的标量k和向量a、b，有k(a + b) = ka + kb和(kl)a = k(la)。
4. 向量的数量积：向量的数量积也称为点乘，它是两个向量的模长乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
两个向量a和b的数量积表示为a · b = |a||b|cosθ，其中θ表示a和b之间的夹角。
5. 向量的向量积：向量的向量积也称为叉乘，它是两个向量的模长乘积与它们之间的夹角的正弦值的乘积。
两个向量a和b的向量积表示为a × b = |a||b|sinθn，其中θ表示a和b之间的夹角，n 表示垂直于a和b所在平面的单位向量。
根据位移向量及其运算的坐标表示的题目
根据位移向量及其运算的坐标表示的题目
概述
本文档将探讨位移向量及其运算的坐标表示。
位移向量是描述
物体运动或变形的重要概念，在许多领域如物理学、工程学和计算
机图形学中都有广泛应用。
什么是位移向量？
位移向量是一个向量，用于描述物体从一个位置到另一个位置
的变化。
它包含了方向和大小两个方面的信息。
位移向量通常用箭
头表示，箭头的长度表示位移的大小，箭头的方向表示位移的方向。
位移向量的坐标表示
位移向量可以用坐标来表示。
在二维空间中，我们可以使用两
个坐标值来表示一个位移向量，分别表示位移在x轴和y轴上的分量。
在三维空间中，我们可以使用三个坐标值来表示一个位移向量，分别表示位移在x轴、y轴和z轴上的分量。
利用坐标表示的位移向量的运算
利用位移向量的坐标表示，我们可以进行一些基本的位移向量
的运算，例如加法和减法。
位移向量的加法
两个位移向量的加法可以通过将它们的对应坐标分量相加得到，即将第一个位移向量和第二个位移向量的x、y和z坐标分量分别
相加。
这样得到的新向量就是两个向量的和向量。
位移向量的减法
两个位移向量的减法可以通过将它们的对应坐标分量相减得到，即将第一个位移向量和第二个位移向量的x、y和z坐标分量分别
相减。
这样得到的新向量就是两个向量的差向量。
总结
位移向量是描述物体运动或变形的重要工具，可以用箭头表示，并包含了方向和大小的信息。
位移向量可以用坐标来表示，并且可
以进行加法和减法运算。
通过理解位移向量及其在坐标系中的运算，我们能更好地分析物体的运动和变形。
物体的位移与位移
物体的位移与位移物体的位移是指物体从一个位置移动到另一个位置的距离和方向的变化。
在物理学中，位移是描述物体运动最基本的概念之一，它对于研究物体的运动和力学性质至关重要。
一、位移的定义与表示位移可以用一个矢量来表示，矢量包含了位移的大小和方向信息。
在二维空间中，如果物体从位置A移动到位置B，我们可以用矢量AB 来表示其位移，箭头指向B方向。
在三维空间中，我们可以使用三维矢量来表示位移。
二、位移的计算方法物体的位移可以通过测量物体在空间中两个位置之间的距离来计算。
当物体沿直线运动时，可以用物体所在位置的坐标表示位移的大小。
例如，一辆汽车从一个位置的坐标为(x1, y1)移动到另一个位置的坐标为(x2, y2)，则位移的大小可以通过计算两点之间的直线距离来获得。
可以使用欧几里得距离公式：位移= √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]如果物体在某个方向上的位移为0，则表示物体在该方向上没有发生位移。
三、位移与路径的关系物体的位移与其所走的路径有关。
当物体从起点到终点，经过不同的路径，位移的数值可能相同，但方向可能不同。
例如，一个人从家里出发，经过曲折的小巷，最终到达学校。
如果用位移来描述这个人的运动，位移的大小就等于起点到终点的直线距离，而与他具体走过的路径无关。
四、位移的重要性位移是研究物体运动的重要参量，它与时间、速度和加速度之间存在着密切的关系。
1. 位移与速度：物体的速度可以通过位移与时间的比值来计算。
平均速度的定义是：速度 = 位移 / 时间2. 位移与加速度：物体的加速度是其速度随时间的变化率，可以通过位移与时间的变化率来表示。
平均加速度的定义是：加速度 = 位移变化量 / 时间变化量3. 位移与力：根据牛顿第二定律，物体的加速度与受到的力成正比。
位移可以用来计算物体所受的力的大小。
如果物体的质量已知，可以通过以下公式计算所受的力：力 = 物体质量 ×位移 / 时间²总结：物体的位移是衡量其位置变化的基本概念，通过位移可以了解物体的运动特性。
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rr
6.负向量: 0 0
r
r
与a长度相等，方向r相反的向量叫a 的负ur
A
D
图中 AD与CB 就是互
为负向量的向量
记作：
uuur uur AD=－CB
B
C
例1．判断下列命题真假或给出问题的答案：
（1）平行向量的方向一定相同。（ × ） （2）不相等的向量一定不平行。（ × ）
5.平行（共线）向量:12..方零向向相量同 与或 任相 一反 向的 量向 平量 行 6.相等向量: 长度相等且方向相同的向量
7.负向量: 长度相等但方向相反的向量
练习册 P24—P25， 训练题7.1.1
例： 如图，一人从点A出发，经过点B，再经 过点C，请用向量表示这个人的位移。
A
B
C
uuur
ur ur ur ur
A.若|a|>|b|,则a > b ×
ur
ur
B.若|a|= 0,则a = 0 ×
ur ur ur ur ur ur
C.若|a|=|b|,则a = b或a = -b ×
ur ur ur ur
D.若a//b,则a = b ×
ur ur ur ur
E.若a = b,则|a|=|b|
r
B
a uuur
AB
r 书写：粗黑小写 a a 手写： (必须加上箭头)
3.用两个大写字母表示：
用向量uu的ur 起点和终点字母表示（起点在左，终点在右） 记作 AB
三. 向量的有关概念
1.向量的长度(模):
uuur
向量AB 的大小(长度)
记作：| AB |
注意：向量是不能比较大小的,但向量的 模是可以进行大小比较的.
如图，AC即为这个人的位移。
一人从点A出发，向东走500m到达点B，接着向 东偏北300走300m到达点C，然后再向东北走 100m达到点D。选择适当的比例尺，用向量表 示这个人的位移。
100m
D
东
C
A
东
东
B
uur
如图所示：AD即为所求。
速度是既有大小又有方向的量
一. 向量的定义
既有大小又有方向的量叫向量. 注问：意下：列向哪量些是量是不向能量比? 较大小的。
路×程、身×高、力、速度、面×积、温×度.
其他为数量
二、向量的表示
1.用有向线段表示(图示法)
有向线段的长度表示向 量的大小，箭头所指的 方向表示向量的方向。
2. 用1个小字母表示：
（3）平行向量一定是相等向量。（ ×）反之成立吗？
（4）存在与任何向量都平行的向量吗？ 零向量
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定 是什么向量？平行向量（共线向量）
（6）平行向量一定是相等向量或相反向量。( × )
反之成立否？
（7）共线向量一定在同一直线上．（ × ）
1、下列说法是否正确?
向量
向量 向 量
7.1.1 位移与向量的表示
1.数量、向量的概念与区别: 2.向量的表示: 3.向量的模： 4.零向量: 5.单位向量: 6.平行向量: 7.相等向量: 8.负向量:
猫能捉住老鼠吗?
• 老鼠由A向东北方向以每秒6米的速度逃窜, 而猫由A向东南方向每秒10米的速度追. • 问猫能否抓到老鼠?
rr
a
ar br 没有意义
b
| a || b | 有意义
2.零向量: 长r度为零的向量(方向任意). 记作：0 r
注意:1、大小： 0 0
2、零向量的方向是不确定的.
3.单位向量: 长度（模）为1的向量. 注意: 仅对单位向量的大小明确规定，而 没有对单位向量的方向明确规定。
4.平行向量: r方向r相同或相反的向量.
表示为： a // b
A
D
规定:零向量r与任r 一 向量平行. 0 // a
B
C
uuur uur uur uuur AD // CB, BA// CD
5.相等向量: 长度相等且方向相同的向量(两相当).
判断题：
A
D
uuur uur AD CB ×(方向不同)
√ uur uuur
BA CD
B
C
向量平行移动仍相等，叫自由向量。
ur ur ur ur F.若a ≠ b,则a与b不是共线向量
×
ur ur ur ur
G.若a = 0,则 - a = 0
小结：
1.向量的概念: 既有大小又有方向的量
2.向量的表示:
1.有向线段 2.小字母 3.有向线段起点和终点字母
3.零向量: 长度为零的向量
4.单位向量: 长度为1个单位的向量