高等数学11-习题课32页PPT
合集下载
高数第十一章课件第一节
课件目录
课程简介
课程目标
课程内容
课程安排
课程考核
参考资料
课件简介
主题：高数第十一 章课件第一节
内容：介绍高数第 十一章的基本概念、 定理和公式
目的：帮助学生理 解高数第十一章的 内容，提高学习效 率
适用人群：高数第 十一章的学习者
课件内容
第三章
知识点梳理
极限的四则运算法则
函数极限的定义和性质
高数第十一章课件 第一节
,
汇报人：
目录
CONTENTS
01 添加目录标题 02 课件概览 03 课件内容 04 课件特色
05 课件使用建议
单击添加章节标题
第一章
课件概览
第二章
课件封面
● 课程名称：高数第十一章课件第一节
● 授课教师：XXX
● 授课时间：XXXX年XX月XX日
● 课程内容： XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX
人教版高一数学必修11.1.4 集合习题课课件
补充作业：
1.已知集合A= x R a范围； 2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个 元素写出来；
3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围
2．已知集合A={-1,|1-a|}, B={a-1,2},若 A∪B={-1,2,a2-3a+2},求实数a的值。
集合习题课
一.基础知识
1.集合的概念
(1)定义 (2)集合中元素的特性:确定性、互 异性、无序性。 (3)表示法：列举法、描述法（文 字描述、代表元素法）
2.集合间的关系
(1)子集: 定义 符号: A B
韦恩图: 性质:
A A
ΦA
Φ
A (A ≠Φ)
A B, B C 则A C
A B 且B A A B
3．高一某班的学生中,参加语文课外小组的有 20人,参加数学课外小组的有22人,既参加语文 又参加数学小组的有10人,既未参加语文又未参 加数学小组的有15人,问该班共有学生多少人?
►一个没有几分诗人气的数学家永远成不了一个完全的数学家。—— 维尔斯特拉斯 ►历史使人贤明,诗造成气质高雅的人,数学使人高尚,自然哲学使人 深沉,道德使人稳重,而伦理学和修辞学则使人善于争论。——培根 ►在现实中,不存在像数学那样有如此多的东西,持续了几千年依然是 确实的如此美好。——苏利文确。 ►宇宙的伟大建筑是现在开始以纯数学家的面目出现了。J·H·京斯 ►新的数学方法和概念,常常比解决数学问题本身更重要。——华罗 庚 ►数学是无穷的科学。――赫尔曼外尔 ►上帝是一位算术家。——雅克比
3.利用韦恩图求解
例４．某校组织高一学生对所在市的居民中拥有电 视机、电冰箱、组合音响的情况进行一次抽样调查， 调查结果：3户特困户三种全无；至少有一种的： 电视机1090户，电冰箱747户，组合音响850户；至 少有两种的：电视机、组合音响570户，组合音响、 电冰箱420户，电视机、电冰箱520户，“三大件” 都有的265户。调查组的同学在统计上述数字时， 发现没有记下被调查的居民总户数，你能避免重新 调查而解决这个问题吗？
高等数学完整版详细 ppt课件
h
lim f(0h)f(0)lim h 1,
h 0
h
h h 0
y y x
o
x
f(0h )f(0 ) h
lim
lim1.
h 0
h
h h 0
即 f (0 )f (0 ), 函y数 f(x)在 x0点不 . 可
四、导数的几何意义
y
f (x0 )表示曲线y f (x) 在点M(x0, f (x0 ))处的 切线的斜率,即
4
4
2. 2
例3 求函 yx数 n(n为正 )的 整导 .数数
解 (xn)lim (xh)nxn
h 0
h
li[n m n 1 x n (n 1 )x n 2 h h n 1 ]nxn1
h 0
2 !
即(xn)nn x 1.
更一般地 (x ) x 1 . ( R )
例如,
y x
f(x0)
0( x 0 ) y f(x 0 ) x x
l x 0 i y m l x 0 i [ f m ( x 0 ) x x ] 0
函f(数 x )在x 0连 点 . 续
注意: 该定理的逆定理不成立.
★ 连续函数不存在导数举例
1. 函 数 f(x)连 续 ,若f(x0)f(x0)则 称x0点 为函f(数 x)的角,函 点数在角点 . 不
xx0
切线 MT的斜率为 ktan lim f(x)f(x0). x x0 xx0
二、导数的定义
定义 设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内 有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量 x (点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x)在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y f ( x)在点 x0处的导数, 记为y x x0 ,
高等数学(下)课件D11习题课
L
上从点A(1 1)到点B(1 1)的一段弧 解 第二种方法 以y为积分变量 在L上 xy2 y从1变到1 因此
xydx y y( y )dy 2 y 4dy 4 L 1 1 5
2 2
1
1
(1)按逆时针方向绕行的上半圆周x2y2a2 (2)从点A(a 0)沿x轴到点B(a 0)的直线段
例2 计算半径为R、中心角为2的圆弧L对于它的对称轴 的转动惯量I(设线密度为1) 解 取坐标系如图所示 则曲线L的参数方程为 xRcos yRsin () 于是所求转动惯量I为
I y 2ds
L
提示 转动惯量的元素为dIy2ds y2ds
设曲线 L的参数方程为x(t) y(t) (t) 则
0 3 2 2
I [(3t) 3 3t(2t) 2 (3t) 2t]dt 87 t 3dt 87 1 1 4 0 2 2 (3t) 2t]dt 87 t 3dt 87 1 4
下页
0
x 2 y 2 1 例 5 一个质点在力 F 的作用下从点 A(a 0)沿椭圆 2 2 a b 按逆时针方向移动到点B(0 b) F的大小与质点到原点的距离 成正比 方向恒指向原点 求力F所作的功W
r
t
ax
3(3). 计算
上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.
提示:
其中L为摆线
2 2 原式 a t sin t d t 0
2 a 2 t cos t sin t 0
3(6). 计算 提示: 因在 上有
其中由平面 y = z 截球面 从 z 轴正向看沿逆时针方向. 故
L
y ds x2 1 (x2 )2 dx
上从点A(1 1)到点B(1 1)的一段弧 解 第二种方法 以y为积分变量 在L上 xy2 y从1变到1 因此
xydx y y( y )dy 2 y 4dy 4 L 1 1 5
2 2
1
1
(1)按逆时针方向绕行的上半圆周x2y2a2 (2)从点A(a 0)沿x轴到点B(a 0)的直线段
例2 计算半径为R、中心角为2的圆弧L对于它的对称轴 的转动惯量I(设线密度为1) 解 取坐标系如图所示 则曲线L的参数方程为 xRcos yRsin () 于是所求转动惯量I为
I y 2ds
L
提示 转动惯量的元素为dIy2ds y2ds
设曲线 L的参数方程为x(t) y(t) (t) 则
0 3 2 2
I [(3t) 3 3t(2t) 2 (3t) 2t]dt 87 t 3dt 87 1 1 4 0 2 2 (3t) 2t]dt 87 t 3dt 87 1 4
下页
0
x 2 y 2 1 例 5 一个质点在力 F 的作用下从点 A(a 0)沿椭圆 2 2 a b 按逆时针方向移动到点B(0 b) F的大小与质点到原点的距离 成正比 方向恒指向原点 求力F所作的功W
r
t
ax
3(3). 计算
上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.
提示:
其中L为摆线
2 2 原式 a t sin t d t 0
2 a 2 t cos t sin t 0
3(6). 计算 提示: 因在 上有
其中由平面 y = z 截球面 从 z 轴正向看沿逆时针方向. 故
L
y ds x2 1 (x2 )2 dx
大一高数课件第十一章11-2
二、用 比较 审 敛 法或 极 限审 敛法 判别 下列 级 数的 收 敛
性:
1、1 1 2 1 3 1 n ；
1 22 1 32
1 n2
2、
1
n1 1 a n
(a 0) .
三、用比值审敛法判别下列级数的收敛性:
1、 3
32
33
uN m r m1uN 1,
而级数
r
u m1 N
1收敛,
m1
uNm un收敛, 收敛
m1
n N 1
当 1时, 取 1, 使r 1,
当n N时, un1 run un ,
lim
n
un
0.
发散
比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
证明 当为有限数时, 对 0,
N , 当n N时, 有 un1 , un
即 un1 (n N )
un
当 1时, 取 1 , 使r 1,
uN 2 ruN 1 , uN 3 ruN 2 r 2uN 1 , ,
5.交错级数 (莱布尼茨定理)
思考题
设正项级数 un 收敛, 能否推得 un2 收敛?
n1
n1
反之是否成立?
思考题解答
由正项级数 un 收敛，可以推得 un2 收敛,
n1
n1
lim n
un 2 un
lim
n
un
0
由比较审敛法知 un2 收敛.
反之不成立.
高数第11章 线性代数PPT课件
• 本章重点：
1. 利用行列式的性质计算n阶行列式的方法 2.利用克莱姆法则解线性方程 3.矩阵各种运算，矩阵的初等变换 4.矩阵秩的求法，用初等变换求逆矩阵的方法
5.高斯消元法解线性方程组 6. 层次分析法
• 本章难点：
1. 利用行列式的性质计算n阶行列式的方法
2.用矩阵的初等变换求矩阵的秩，逆矩阵
1111213215321213132111163631316??????????????按第一行展开1612106?????21111226121111111111112111126120211211226120261200313100212????????????1111200011111111111112102110211224261200310031????????????11111111211123001212031031???????按第一行展开211111134131124??????????按第二行展开例例2用行列式的性质计算下列行列式
3.高斯消元法解线性方程组
4.层次分析法
第一节 二、三阶行列式的概念与计算方法
1.引理：
对于二元线性方程组
aa2111xx11
a12x2 a22x2
b1 b2
解得
x1
x
2
b1a 22 b2 a12 a11a22 a12a21 b2 a11 b1a 21 a11a22 a12a21
河北机电职业技术学院
线 性代数课件
整体概述
概述一
点击此处输入
相关文本内容
概述二
点击此处输入
相关文本内容
概述三
点击此处输入
相关文本内容
2
第十一章 线性代数
同济大学《高等数学》(第四版)32节洛必达法则省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
cos bx
lim
1.
x0 cos ax
上页 下页 返回
例5 求 lim tan x . x tan 3 x
2
()
解
原式
lim
x
sec2 3 sec2
x 3x
1 3
lim
x
cos2 3 x cos2 x
2
2
1 lim 6cos 3x sin 3x lim sin 6x
3 x 2cos x sin x 2
x
(
ln sin x 2x)2
；
2
ln(1 1 )
2、 lim
x；
x arctan x
3、lim x cot 2x ； x0
4、lim( x1
2 x2
1
x
1
)； 1
5、 lim x sin x ； x0
6、 lim ( 1 )tan x ； x x0
7、 lim ( 2 arctan x)x . x
5、1；
三、连续.
上页 下页 返回
x sin 2 x 2
lim 6cos6x 3. x 2cos 2 x
2
上页 下页 返回
注意：洛必达法则是求未定式旳一种有效措施， 但与其他求极限措施结合使用，效果更加好.
例6
求
lim
x0
tan x x2 tan
x x
.
解
原式
lim
x0
tan x x3
x
lim
x0
sec2 3
x x2
1
lim
x0
tan 2 3x2
x
lim
x0
x2 3x2
高等数学完整详细PPT课件
所得曲线a, b两端点的函数值相等.
第7页/共175页
作辅助函数
F ( x) f ( x) [ f (a) f (b) f (a) ( x a)]. ba
F( x) 满足罗尔定理的条件,
则在(a, b)内至少存在一点,使得 F () 0.
即 f () f (b) f (a) 0 ba
第14页/共175页
例4 设函数f ( x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 证明:
至少存在一点 (0,1),使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
证 分析: 结论可变形为
f (1) f (0) 10
f () 2
f ( x) ( x 2 )
x .
设 g( x) x2 ,
xa ,
xa
在 U 0(a, )内任取一点x, 在以 a 与 x 为端点的区间上,
f1( x), F1( x)满足柯西中值定理的条件, 则有
f ( x) f ( x) f (a) f ( ) F ( x) F ( x) F (a) F ( )
(在x与a之间)
当x a时, a,
lim f ( x) A, xa F ( x)
x0 1
第19页/共175页
二、试证明对函数 y px 2 qx r 应用拉氏中值定理 时所求得的点 总是位于区间的正中间 .
三、证明等式arcsin 1 x2 arctan x 1 x2 2
( x (0,1) ) . 四、设a b 0 ，n 1 ，证明
nbn1 (a b) a n bn na n1 (a b) .
第6页/共175页
几何解释:
y
C
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
高等数学习题课.ppt
n0
q 叫做几何级数(又称为等比级数)，其中 a 0， 叫做级数的公比．
试讨论级数(3)的收敛性．
解 如果 q 1，则根据等比数列前 n 求和公式，得
sn
a
aq
aqn1
a(1 1
qn) q
a 1 q
aqn 1 q
.
2019-8-29
谢谢欣赏
9
当| q | 1时，由于 lim qn 0，从而
谢谢欣赏
n1
8
s s 显然，当级数（1）收敛时，其部分和 n 是级数和 的近似值，
它们之间的差值
rn s sn un1 un2
s 叫做级数的余项．用近似值 s n代替和 所产生的误差是这个余项
的绝对值，即误差是 | rn |．
例1 无穷级数
aqn a aq aq2 aqn (3)
概念．
s 定义2
如果级数
n1
u
n的部分和数列
lim
n
sn
s,
{s
n
}
有极限，即
则称无穷级数收敛，这时极限 叫做该级数的和，并写成
s un u1 u2 un ;
n1
{s } 如果部分和数列 2019-8-29
n
没有极限，则称无穷级数 un 发散．
的内接正 3 2n边形的面积就逐步逼近圆面积 A, 进而有
A a1 a2 a3 an .
n 如果内接正多边形的边数无限增多，即 无限增大，则和
a1 a2 an
的极限就是所要求的圆面积，即
q 叫做几何级数(又称为等比级数)，其中 a 0， 叫做级数的公比．
试讨论级数(3)的收敛性．
解 如果 q 1，则根据等比数列前 n 求和公式，得
sn
a
aq
aqn1
a(1 1
qn) q
a 1 q
aqn 1 q
.
2019-8-29
谢谢欣赏
9
当| q | 1时，由于 lim qn 0，从而
谢谢欣赏
n1
8
s s 显然，当级数（1）收敛时，其部分和 n 是级数和 的近似值，
它们之间的差值
rn s sn un1 un2
s 叫做级数的余项．用近似值 s n代替和 所产生的误差是这个余项
的绝对值，即误差是 | rn |．
例1 无穷级数
aqn a aq aq2 aqn (3)
概念．
s 定义2
如果级数
n1
u
n的部分和数列
lim
n
sn
s,
{s
n
}
有极限，即
则称无穷级数收敛，这时极限 叫做该级数的和，并写成
s un u1 u2 un ;
n1
{s } 如果部分和数列 2019-8-29
n
没有极限，则称无穷级数 un 发散．
的内接正 3 2n边形的面积就逐步逼近圆面积 A, 进而有
A a1 a2 a3 an .
n 如果内接正多边形的边数无限增多，即 无限增大，则和
a1 a2 an
的极限就是所要求的圆面积，即
高等数学第十一章习题课(二)曲面积分
z
B
o
dS
n C
y
z
x
3 2
y A x : x y z 1
n 1 (1, 1, 1)
3
1 3
(3) d S
答: 第一类曲面积分的特例.
2) 设曲面 问下列等式是否成立?
不对 ! 对坐标的积分与 的侧有关
练习: P185 题4(3)
计算 x d y d z y d z d x z d x d y, 其中 为半球面
的上侧. 提示: 以半球底面 0 为辅助面, 且取下侧 , 记半球域为 , 利用 高斯公式有 原式 =
x , 2 2 x y y , 2 2 x y
D
x y I y , x , z 2 , 2 ,1dxdy 2 2 x y x y
2
z 2dxdy
( x 2 y 2 )dxdy
D xy
[ Dxy : 1 x 2 y 2 4 ]
用重心公式
利用对称性
2( x z ) d S
0
例7. 设L 是平面
与柱面
的交线
从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算 解: 记 为平面
上 L 所围部分的上侧,
D为在 xoy 面上的投影. 由斯托克斯公式
z
L
I
1 3 x
2z x y z 2 (4 x 2 y 3z )dS 3
2 2
1 3 y 2
2
3x y 2
1 3 z 2
dS
D
o x
y
高等数学课件--D11_习题课
y O
r
t
ax
d s x2 y2 d t
2013-8-9 同济版高等数学课件
目录 上页 下页 返回 结束
P244 3(3). 计算
其中L为摆线
上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.
提示:
原式 a
2
0 t sin t d t
2π 0
2π
a t cos t sin t
D
上页
O
y
结束
x
下页 返回
2 I (4 x 2 y 3z )dS 3
y
2 ( x y 6) dxd y
D
O
1 D
1x
12 dxd y
D
24
D 的形心
x y0
2013-8-9
同济版高等数学课件
目录 上页 下页 返回 结束
二、曲面积分的计算法
2 2 2
目录 上页 下页
2
结束
同济版高等数学课件
返回
例8. 计算曲面积分
中 是球面 x 2 y 2 z 2 2 x 2 z .
解:
I
( x 2 y 2 z 2 ) 2x y 2 y z dS
(2 x 2 z ) d S 2 ( x z ) y dS
(2) 确定积分上下限
练习题: P244
2013-8-9
题 3 (1), (3), (6)
同济版高等数学课件
目录 上页 下页 返回 结束
解答提示: P244 3 (1)
计算 提示: 利用极坐标 , 其中L为圆周
ds
原式 =
高等数学教学课件：w-11-习题课
(或
lim n
n
an
)
(1) 则当 0 时,R 1 ; (2) 当 0时,R ;
(3) 当 时,R 0 .
高等数学
§11 习题课
(2)幂级数的运算
a.代数运算性质
b.和函数的分析运算性质
幂级数 an xn 的和函数s( x) 在收敛区间 n0
( R, R)内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续.
幂级数 an xn 的和函数s( x)在收敛区间 n0
( R, R)内可导, 并可逐项求导和求积.
高等数学
§11 习题课
6、幂级数展开式
(1) 直接法(泰勒级数法)
步骤:
(1) 求an
f (n)( x0 ); n!
(2)
讨论
lim
n
Rn
0
或
f
(n) ( x)
M,
则级数在收敛区间内收敛于 f ( x).
( x)cos nxdx, ( x)sin nxdx,
(n 0,1,2,) (n 1,2,)
高等数学
§11 习题课
狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)
设 f ( x) 是以2 为周期的周期函数.如果它满足 条件:在一个周期内连续或只有有限个第一类间断 点,并且至多只有有限个极值点,则 f ( x) 的傅里叶级 数收敛,并且
(1) 当x 是 f ( x)的连续点时,级数收敛于 f ( x) ;
(2) 当x 是 f ( x)的间断点时,
收敛于
f (x
0)
f (x
0)
;
2
(3) 当 x为端点 x 时,收敛于 f ( 0) f ( 0) .
2
《高数下11习题课A》课件
我们将讲解积分和定积分的概念， 教您掌握常用函数的积分公式， 并应用于求曲线下的面积等问题。
生互动环节
1
问题探讨
我们将提出一些常见的问题供学生讨论，激发思维，培养解决问题的能力。
2
小组竞赛
学生将分成小组参与数学竞赛，通过团队合作来解决有趣的数学难题。
3
学习分享
学生可以分享他们在解题过程中的心得体会，促进互相学习与合作。
课程总结
在本节课的最后，我们将对本课程进行总结，并回顾所讲解的重点内容，以 确保每位学生都获得了充分的理解和学习。
答疑时间
如果您在学习过程中遇到任何问题或疑惑，我们将为您提供充足的答疑时间， 解答您的疑问并帮助您克服困难。
课程反馈与评价
您的反馈对我们非常重要！本节课结束后，您可以分享您对此课程的评价，以帮助我们不断改进和提高教学质 量。
重点难点突破
我们将重点讲解习题中的难点，并提供解题技巧和方法，帮助您迅速掌握解题思路。
实例演练
通过大量的实例演练，您将学会如何运用所学知识解决不同类型的数学问题。
习题讲解
方程与不等式
我们将详细讲解各种类型的方程 与不等式，包括一元一次方程、 二次方程以及绝对值等。
导数与微分
积分与定积分
您将深入了解导数和微分的概念， 学会计算各种函数的导数，并应 用于实际问题中。
《高数下11习题课A》 PPT课件
本课程将帮助您深入理解高等数学下册习题课A的内容，通过详细的讲解和示 例，帮助您提高解题能力和成绩。
课程介绍
本节将向您介绍《高数下11习题课A》PPT课件的目标和结构，以及如何最有效地利用此课件。让我们共同开 始这个学习之旅吧！
习题课内容概述
全面覆盖课本内容
高等数学数学PPT课件精选全文完整版
归转化思想。
做
学生进行练习训练，个人独立思考与分组讨论相结合。
训
学生上黑板演示解题过程，其他学生点评，教师分析总结。
01
课程尚处于建设阶段，教学资源有待于进 一步完善，现有教学资源还没有得到充分 利用。
进一步开拓更多的学习资源，团队教师增 进针对教学方法和教学资源建设与利用方 面的交流。
பைடு நூலகம்
02
教学内容和教学设计在不断变化的社会需 求、学生思想，以及不断产生的新技术面 前有些滞后。
教学问题
转变传统的教学理念和改变旧的教学模式 探索、建立了新的教学模式和教学方法。
教学对象
教学对象为一年级学生，对大学学习环境、学习 方式需要有一定的适应期 。 教师向学生介绍大学学习的特点与方法，帮助学 生尽快度过适应期。
教学特色
通过不同形式的自主学习 、探究活动，让 学生体验
数学发现和创造的历程，发展他们的创 新意识 。
课程内容及授课学时数（1学期，共64课时）
序号 1 2 3 4 5 6
课程内容 第一章 函数的极限与连续 第二章 导数与微分 第三章 导数应用 第四章 不定积分 第五章 定积分 第六章 空间解析几何
授课学时 12 12 6 16 16 2
导向
依据
度
专业
满足 专业培养目
标
必需 够用
理论知识以“必需、够用”为原则,教学内 容体现“专业性”
教学内容的针对性
专业理论知识需求
后续课程学习要求
教学内容的适用性
高等数学基本要求 教学内容的针对性
淡化严格论证 强化数学应用 注重数学软件
符合课程目标
教学内容选择 辅助多媒体教学 自主学习能力
《高数下11习题课A》课件
不定积分
直接积分法
利用基本初等函数的积分公 式进行计算。
换元积分法
通过引入新的变量来简化积 分计算。
分部积分法
通过将函数分解为两个部分 ，分别积分后再相加的方法 。
定积分
定积分的定义 定积分是求一个函数在某个区间上的
面积的过程。
定积分用符号∫baf(x)dx表示，表示函 数f(x)在区间[a,b]上的定积分。
教师定期回访学生，了解学习情况，提供必 要的指导和支持。
2023
PART 05
总结与展望
REPORTING
本节课的总结
重点知识回顾
极限、导数、积分等基本概念和计算方法。
解题技巧讲解
详细解析了典型例题的解题思路和技巧，包括如何分析问题、如何 转化问题、如何运用数学定理等。
常见错误分析
总结了学生在练习中常见的错误，并分析了错误原因，提供了正确 的解题方法。
不定积分的习题解析
总结词
不定积分的计算方法和积分表的使用
VS
详细描述
不定积分的计算方法包括凑微分法、部 分式法和换元法等，积分表的使用也是解 题的重要工具，需要熟练掌握积分表的使 用方法和常见函数的积分公式。
定积分的习题解析
总结词
定积分的概念、计算方法和应用
详细描述
定积分的概念包括黎曼积分和牛顿-莱布尼茨公式，计算方法包括换元法、分部积分法 和几何意义法等，应用包括求面积、体积和物理量等。
2023
PART 04
课堂互动与答疑
REPORTING
课堂互动环节
小组讨论
将学生分成小组，针对特定习 题进行讨论，培养学生合作解
决问题的能力。
实时答题
教师提出问题，学生通过电子 设备实时作答，教师根据答题 情况调整教学策略。
大一高数课件第十一章11-2
n = 1
n = 1
证明
令 vn=1 2(u nu n)
(n=1 ,2 , ),
显v然 n0, 且vnun, vn收敛,
n=1
又 un=(2vnun), un收敛.
n=1
n=1
n=1
上定理的作用： 任意项级数
正项级数
定 义 : 若 u n收 敛 ,则 称 u n为 绝 对 收 敛 ;
n = 1
1
(1) ;
n=1n!
n!
(2) n=11n 0; 1 Nhomakorabea1
(3)
.
n=1(2n1)2n
解
(1)
un1 un
=
(n
1)! 1
= 1 0(n ), n1
n!
故级数 1收敛 .
n=1n!
(2)
un1 un
=(1n0n11)!1n0!n
=
n1 10
(n ),
故级n数 =11n0!n 发散 .
4.比较审敛法的极限形式:
设 un 与 vn 都是正项级数,如果
n=1
n=1
lim un n vn
=
l,
则(1) 当 0l时 ,二级数有相同的敛散性;
(2) 当 l =0时，若 v n 收敛,则 u n 收敛;
n=1
n=1
(3) 当 l=时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n=1
n=1
证明 (1)由limun =l v n
n
对于 =l 0,
2
N, 当nN时, l l un l l
2 vn
2
即 2 lvnu n3 2 lvn (nN )
由比较审敛法的推论, 得证.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(3) 幂级数 an x n 的和函数s( x)在收敛区间
注：定理条件是充分非必要的。例 交错级数
(1)n 并不满足定理条却件收，敛但。
n2 n(1)n
说明： （1）条件是充分而非必要的
（2）判别 un un1的方法有三种。
4、任意项级数及其审敛法
定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定 理 若 u n 收 敛 ,则 u n 收 敛 .
n 1
求收敛半径时直接用比值法或根值法, 也可通过换元化为标准型再求 .
(3)幂级数的运算
代数运算性质:
设anxn和bnxn的收敛半 R1和 R 径 2, 各
n0
n0
R m R 1 ,iR 2 n
加减法
anxn bnxn cn xn .
n0
n0
n0
x R ,R
(其中 cnanbn)
和函数的分析性质: (定理4)
其 中 an为 幂 级 数 系 数 .
(2) 收敛性
定理1 (Abel定理)
如 果 级 数 anxn在 xx0(x00)处 收 敛 ,则
n0
它 在 满 足 不 等 式xx0的 一 切 x处 绝 对 收 敛 ;
如 果 级 数 anxn在xx0处 发 散 ,则 它 在 满 足
n0
不 等 式xx0的 一 切 x处 发 散 .
（1）幂级数 an x n 的和函数s( x)在其收敛域 I 上连
n0
续。
(2) 幂级数 an x n 的和函数s( x)在其收敛域 I 上
n0
可积,并有逐项积分公式
x s(x)d
0
x0x(anxn)d
x
n0
n0
x 0
an
xndx
an xn1.
n0 n1
(收敛半径不变)
注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变.
n1
(3) 比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)
设 n 1u n是 正 项 级 数 ,如 果 n l i u m u n n 1 ( 数 或 )
则 1时 级 数 收 敛 ;1时 级 数 发 散 ; 1时 失 效 .
(4) 根值审敛法 (柯西判别法)
设un是 正 项 级 数 ,
幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.
定理2 如果幂级数 anxn的所有系数an 0,
n0
设lim an1 n an
(或 ln i m nan)
(1) 则当0时,R1; (2) 当0时,R ;
( 3 ) 当 时 ,R 0 .
求幂级数收敛域的方法 1) 对标准型幂级数
先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 . 2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)
n 1
定 义 : 若 u n收 敛 ,则 称 u n为 绝 对 收 敛 ;
n 1
n 0
若un发散,而un收敛, 则称un为条件收敛.
n1
n1
n1
做题思路:
un
n 1
正项级数 交错级数 任意项级数
比值 根值
其他
5、函数项级数
(1) 定义
设u1(x),u2(x),,un(x),是定义在I R上
所 有 发 散 点 的 全 体 称 为 发 散 域 .
(3) 和函数
在 收 敛 域 上 ,函 数 项 级 数 的 和 是 x的 函 数 s(x),
称 s(x)为 函 数 项 级 数 的 和 函 数 .
6、幂级数
(1) 定义
形 如an(xx0)n的 级 数 称 为 幂 级 数 .
n0
当x00时, an xn n0
主要内容
1、常数项级数
定义
unu1u2u3un
n1
n
级数的部分和 snu1u2un ui
i1
级数的收敛与发散
常 数 项 级 数 收 敛 ( 发 散 ) n l is n m 存 在 ( 不 存 在 ) .
收敛级数的基本性质
性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛 散性. 性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
级数收敛的必要条件: ln i mun 0.
常数项级数审敛法 一般项级数 正 项 级 数
交错级数
1. 若SnS,则级数;收敛 2. 当 n ,un 0,则级数 ; 发散 3.按基本性质;
4.绝对收敛
(2) 比较审敛法的极限形式
设
n1
un
与
n1
v
n
都
是
正
项
级
数
,如
果
lim
n
un vn
l,
则(1) 当0 l 时 ,二级数有相同的敛散性;
(2) 当l 0 时，若 v n 收敛 ,则 un 收敛 ;
n1
n1
(3) 当 l 时 , 若 v n 发散 ,则 un 发散;
n1
n1
如 果 ln im nun(为数 ), 或
则 1 时 级 数 收 敛 ; 1 时 级 数 发 散 ; 1 时 失 效 .
3、交错级数及其审敛法
定义 正 、负项相间的级数称为交错级数.
(
1
)
n
1u
或
n
( 1)nu n
n1
n1
(其u中 n0)
莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
(ⅰ)un un1 (n1,2,3,);(ⅱ)nl im un 0,则 级数收敛,且其和su1,其余项rn 的绝对值 rn un1.
推论
如果幂级数 anxn不是仅在x0一点收敛,也
n0
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定
的正数R存在,它具有下列性质:
当 x R 时 , 幂 级 数 绝 对 收 敛 ;
当 xR 时 ,幂 级 数 发 散 ;
当 xR与 xR时 ,幂 级 数 可 能 收 敛 也 可 能 发 散 .
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.
的函数,则 u1(x)u2(x)un(x)
n1
称为定义在区间I上的(函数项)无穷级数.
(2) 收敛点与收敛域
如 果x0I,数 项 级 数 un(x0)收 敛 ,
n1
则 称 x0为 级 数un(x)的 收 敛 点 , 否则称为发散点.
n1
函 数 项 级 数 u n ( x ) 的 所 有 收 敛 点 的 全 体 称 为 收 敛 域 , n 1
4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法
4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理)
2、正项级数及其审敛法
定义
un, un 0
n1
审敛法 正项级 数 部收 分敛 和所sn有 成.界 的
(1) 比较审敛法
若un收 敛 (发 散 )且 vnun(unvn),
n1
则 vn收敛(发散).
n1