第58讲 空间的垂直关系

第58讲 空间的垂直关系

【考点解读】

1.理解直线与平面的垂直关系，理解线面垂直、面面垂直的定义，掌握线面垂直、面面垂直判定定理及性质定理、三垂线定理及性质定理，并能灵活运用.

2.掌握空间的垂直关系的互相转化，并能灵活应用.

3.规范推理、论证等解题程序，培养并提升逻辑推理能力.

【知识扫描】

1．直线和平面垂直的定义

如果一条直线和一个平面的 直线垂直，那么这条直线和这个平面互相垂直． 2．直线和平面垂直的判定定理

如果一条直线和一个平面内的 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 3．直线和平面垂直性质

若a ⊥α，b ⊂α则 若a ⊥α，b ⊥α则 若a ⊥α，a ⊥β则

过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条． 4．点到平面距离

过一点作平面的垂线 叫做点到平面的距离． 5．直线到平面的距离

一条直线与一个平面平行时，这条直线上 到这个平面的距离叫做直线到平面距离．

6．两个平面垂直的定义：如果两个平面相交所成二面角为 二面角，则这两个平面互相垂直． 7．两个平面垂直的判定：如果一个平面 有一条直线 另一个平面，则这两个平面互相垂直．

8．两个平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面 的垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面．

9．和一个平面相交，但不和这个平面 的直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交点叫做 ．

10．射影(1) 平面外一点向平面引垂线的 叫做点在平面内的射影； (2) 过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的 ． 斜线上任意一点在平面上的射影一定在 ． 垂线在平面上的射影只是 ．

直线和平面平行时，直线在平面上的射影是和该直线 的一条直线． 11．如图，AO 是平面α斜线，A 为斜足，OB ⊥α，B

为垂足，AC ⊂α，∠OAB ＝1θ，∠BAC ＝2θ，

∠OAC ＝θ，则cos θ＝ ．

12．直线和平面所成的角

平面的斜线和它在这个平面内的 所成 的 叫做这条直线和平面所成角．

斜线和平面所成角，是这条斜线和平面内任一条直线所成角中 ．

C

O

B A

13．三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的垂直，那么它也和

垂直．

逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条垂直，那么它也和这条垂直．【考计点拨】

牛刀小试：

1.PA垂直于正方形ABCD所在平面，连结PB，PC，PD，AC，BD，

则下列垂直关系正确的是()

①面P AB⊥面PBC②面P AB⊥面P AD

③面P AB⊥面PCD④面P AB⊥面P AC

A．①②B．①③

C．②③D．②④

解析：选A.易证BC⊥平面P AB，

则平面P AB⊥平面PBC；

又AD∥BC，

故AD⊥平面P AB，

则平面P AD⊥平面P AB，

因此选A.

2．设a、b、c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是()

A．c⊥α，若c⊥β，则α∥β

B．b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥c

C．b⊂β，若b⊥α，则β⊥α

D．b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥c，则b⊥a

解析：选C.C选项的逆命题为b⊂β，若β⊥α则b⊥α.不正确，因为根据平面垂直的性质定理，如果两个平面垂直，其中一个平面内的直线只有垂直于交线的才垂直另一个平面．故选C.

3．若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是() A．若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n

B．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β

C．若l⊥n，m⊥n，则l∥m

D．若l⊥α，l∥β，则α⊥β

解析：选D.选项A中，l除平行n外，还有异面的位置关系，则A不正确．选项B中，l与β的位置关系有相交、平行、在β内三种，则B不正确．选项C中，l与m的位置关系还有相交和异面，故C不正确．故选D.

4. （2011辽宁理数8）如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD 底面ABCD，

则下列结论中不正确

．．．的是

A．AC⊥SB

B．AB∥平面SCD

C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

答案：D

5．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 解析：由定理可知，BD⊥PC.

∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，

而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.

答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)

典例分析

考点一：线线垂直的判定和性质

例1. 三棱锥V －ABC 的三条侧棱V A 、VC 两两垂直，顶点V 在底面内的射影是H ． (1) 求证H 是△ABC 的垂心； (2)

ABC ABH ABV S S S ∆∆∆=2

．

(1) 证明：连结AH 交BC 于D 点，连接CH 交AB 于E 点， ∵VA ⊥VB ，V A ⊥VC ，VB∩VC ＝V ，

∴VA ⊥VBC 面，又BC ⊆VBC 面，∴BC ⊥V A ． ∵VH ⊥ABC 面，BC ⊆ABC 面，

∴BC ⊥VH ，又V A∩VH ＝A ，∴BC ⊥VHA 面． 又AD ⊆VHA 面，∴AD ⊥BC ，同理可得CE ⊥AB ， ∴H 是△ABC 的垂心．

(2) 连接VE ，在Rt △VEC 中，VE 2＝EH×EC

4

1AB 2×VE 2＝4

1

AB 2×EH×EC ，

即ABC ABH ABV S S S ∆∆∆=2．

规律小结：线线垂直的常用证明方法有：（1）勾股定理（2）线面垂直的性质定理（3）三垂线定理（4）向量法等 变式训练1：（2011湖北理数18）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合． （Ⅰ）当CF =1时，求证：EF ⊥1A C ；

（Ⅱ）设二面角C AF E --的大小为θ，求tan θ的最小值．

解：（I ）建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得

1(0,0,0),2,0),(0,4,0),(0,0,4),(0,4,1),A B C A E F

于是1(0,4,4),(CA EF =-=

则1(0,4,4)(0440,CA EF ⋅=-⋅=-+=

故1.EF AC ⊥

（II ）设,(04)CF λλ=<≤，

平面AEF 的一个法向量为(,,)m x y z =， 则由（I ）得F （0，4，λ）

V

H A

C