第六章结构的位移计算和刚度计算
合集下载
结构的位移计算和刚度
结构位移计算
M 1
A
求A截面角位 移的虚拟状态
FP 1C
E
D
A
F
B
求C点水平位移的虚拟状态
M 1
C
M 1
A
求两截面相对角 位移的虚拟状态
1l
C
E
D
M 1
A
B
F 1l
BE=l
求BE杆转角 BE 的虚拟状态
第21页/共64页
结构位移计算
1l
C
M 1
1l
E
D
M 1
A 1l F 1l B
AE=BE=l 求AE、BE两杆相对转角的虚拟状态
0
D
2 2
1
2
B
1 2
解：1. 建立虚设状态；
2. 分别求两种状态各杆轴力；
3. 由公式计算位移：
CV
F N FNPl EA
1 EA
1 2
F 2
l
2
1 EA
2 2
1 2 Fl 1.914 Fl
2 EA
EA
2F 2
2l 2
第33页/共64页
结构位移计算
l
2 2
F
F
A
2
2 2 F
F F
轴向拉伸和压缩
为了消除原始尺寸对杆件变形量的影响，准确说明杆 件的变形程度，将杆件的纵向变形量△l 除以杆的原长l， 得到杆件单位长度的纵向变形。
纵向线应变 横向线应变
l
l d
d
线应变--每单位长度 的变形，无量纲。
FP
a1
a
FP
l l1
第2页/共64页
轴向拉伸和压缩
第六章 位移法
F M BA 0 F M BC
ql 2 8
2）令B结点产生转角 B ( ) 。此时AB、BC杆 类似于B端为固端且产生转角 的单跨超静定梁。 B
9
A A
i i
B
B
i
C i
B 3i B
B
B
3i B
B
EI i l
C
3）杆端弯矩表达式
M BA 3i B M BC ql 2 3i B 8
F l/2 A B EI = 常数 l D l l
结点B只转动一个角度，没有水平和竖向位移。 力 法：六个未知约束力。 位移法：一个未知位移（θB）。
C
F
B
C
B
F
B
B
C
l
l/ 2
l/2
A
l/ 2
l/ 2
三次超静定图示刚架
力
法：三个未知约束力。
位移法：一个未知位移（θB）。
二、 位移法基本思路
（８-6）
位移法典型方程的物理意义：基本结构在荷载和 各结点位移共同作用下，各附加约束中的反力等于零, 反映了原结构的静力平衡条件。
二、位移法典型方程
对于具有n个独立结点位移的的结构,有n个基本 未知量,可建立n个平衡方程，位移法典型方程
r11Z1 r12 Z 2 r1n Z n R1P 0 r21Z1 r22 Z 2 r2 n Z n R2 P 0 rn1 Z1 rn 2 Z 2 rnn Z n RnP 0
r11 r 21 rn1
r12 r1n Z1 R1P 0 Z R 0 r22 r2 n 2 2P rn 2 rnn Z n RnP 0
ql 2 8
2）令B结点产生转角 B ( ) 。此时AB、BC杆 类似于B端为固端且产生转角 的单跨超静定梁。 B
9
A A
i i
B
B
i
C i
B 3i B
B
B
3i B
B
EI i l
C
3）杆端弯矩表达式
M BA 3i B M BC ql 2 3i B 8
F l/2 A B EI = 常数 l D l l
结点B只转动一个角度，没有水平和竖向位移。 力 法：六个未知约束力。 位移法：一个未知位移（θB）。
C
F
B
C
B
F
B
B
C
l
l/ 2
l/2
A
l/ 2
l/ 2
三次超静定图示刚架
力
法：三个未知约束力。
位移法：一个未知位移（θB）。
二、 位移法基本思路
（８-6）
位移法典型方程的物理意义：基本结构在荷载和 各结点位移共同作用下，各附加约束中的反力等于零, 反映了原结构的静力平衡条件。
二、位移法典型方程
对于具有n个独立结点位移的的结构,有n个基本 未知量,可建立n个平衡方程，位移法典型方程
r11Z1 r12 Z 2 r1n Z n R1P 0 r21Z1 r22 Z 2 r2 n Z n R2 P 0 rn1 Z1 rn 2 Z 2 rnn Z n RnP 0
r11 r 21 rn1
r12 r1n Z1 R1P 0 Z R 0 r22 r2 n 2 2P rn 2 rnn Z n RnP 0
结构位移和刚度—梁的刚度计算(建筑力学)
二、用积分法求梁的变形
1.挠曲线近似微分方程
y( x)
M (x) EI
2.用积分法求变形 EI (x) M (x)dx C1
三、用叠加法求梁的变形
EIy(x) [ M (x)dx C1]dx C2
叠加法—梁截面的总变形，就等于各个荷载单独作用时产生变形的代数和。
四、梁的刚度计算 ymax [ f ]
梁的刚度计算
主要内容
梁的刚度条件和设计准则 梁的刚度计算 梁的刚度计算工程实例
梁的刚度计算
➢ 如果梁的弯曲变形过大，即使强度满足要求，也不能正常工作。例如：房 屋的楼面板或者梁长时间受较大荷载作用，导致变形过大，会造成抹灰面 出现裂缝，工业厂房的吊车梁变形过大，会影响吊车梁的正常使用等。设 计梁时，除了进行强度计算外，还应考虑进行刚度计算，需要把梁的最大 挠度和最大转角限制在一定的允许范围内。
l
l
课后作业：《建筑力学练习册》 练习二十五
3.6 4 4
3.6kN m
2、按正应力强度设计。查强度准则
3.6kNm
max
M max Wz
M max 0.1d 3
[ ]
得：
d3
M max
3
3.6 106 mm 153.3mm
0.1[ ] 0.110
取d=160mm
梁的刚度计算
3、按梁的刚度准则校核。
查变形表得
ymax
Fl 3 48EI
为:
ymax [ f ]
l
l
式中 ymax 为最大相对挠度，[ f ] 为许用相对挠度，其值可
l
l
根据梁的工作情况及要求查阅有关设计手册。土建工程中的许
用相对挠度值 [ f ] 常限制在
结构位移和刚度—静定结构在荷载作用下位移计算(建筑力学)
0 2 8EI
l ql 4 0 8EI
（↓）
正号表示BV的方向与所设单位力方向一致，即位移是向下的。
（2）求角位移θB
在B截面虚加一个单位力偶
M
＝1
e
(图c)，在虚拟状态中，梁
的弯矩方程为 M 1 (0≤x<l)
静定结构
由虚功原理得
B
l
MMds EI
1 EI
l
1
1
qx2
dx
qx3
0 2
CH
FNFNl EA
12 2 EA
Fa
3.83 Fa EA
（→）
所得结果为正，表示CH的方向与所设单位力方向一致， 即水平向右。
静定结构
课堂任务 试计算图示结构C、D两点间距离的改变。设梁的弯 曲刚度EI为常数。
静定结构
解: 在实际状态(图a)中，链杆的轴力均为零。
静定结构
由于对称性，可只计算半个结构的内力。 考虑左半部分，取 图示的研究对象，求得弯矩方程为 ：
MMds + FNFNl
l EI
EA
➢ 上述各种情况下位移计算公 式，就是结构在不同荷载作 用下的位移计算公式。希望 同学们掌握。
静定结构的位移
静定结构在荷载作 用下的位移计算
主要内容
静定结构在荷载作用下的位移计算实例分析
静定结构
同学们好，上节课给大家介绍了由虚功原理可以得到的
FNFNds MMds FSFSds
l EA
l EI
l GA
➢ 单位荷载法计算结构在荷载作用下的位移公式。当计算结果为正 时，表示实际位移方向与虚拟单位力所指方向相同；当计算结果 为负时，则相反。
➢ 对于组合结构，梁式杆只考虑弯矩的影响，链杆只考虑轴力的影 响，对两种杆件分别计算后相加得到位移计算公式为:
l ql 4 0 8EI
（↓）
正号表示BV的方向与所设单位力方向一致，即位移是向下的。
（2）求角位移θB
在B截面虚加一个单位力偶
M
＝1
e
(图c)，在虚拟状态中，梁
的弯矩方程为 M 1 (0≤x<l)
静定结构
由虚功原理得
B
l
MMds EI
1 EI
l
1
1
qx2
dx
qx3
0 2
CH
FNFNl EA
12 2 EA
Fa
3.83 Fa EA
（→）
所得结果为正，表示CH的方向与所设单位力方向一致， 即水平向右。
静定结构
课堂任务 试计算图示结构C、D两点间距离的改变。设梁的弯 曲刚度EI为常数。
静定结构
解: 在实际状态(图a)中，链杆的轴力均为零。
静定结构
由于对称性，可只计算半个结构的内力。 考虑左半部分，取 图示的研究对象，求得弯矩方程为 ：
MMds + FNFNl
l EI
EA
➢ 上述各种情况下位移计算公 式，就是结构在不同荷载作 用下的位移计算公式。希望 同学们掌握。
静定结构的位移
静定结构在荷载作 用下的位移计算
主要内容
静定结构在荷载作用下的位移计算实例分析
静定结构
同学们好，上节课给大家介绍了由虚功原理可以得到的
FNFNds MMds FSFSds
l EA
l EI
l GA
➢ 单位荷载法计算结构在荷载作用下的位移公式。当计算结果为正 时，表示实际位移方向与虚拟单位力所指方向相同；当计算结果 为负时，则相反。
➢ 对于组合结构，梁式杆只考虑弯矩的影响，链杆只考虑轴力的影 响，对两种杆件分别计算后相加得到位移计算公式为:
结构力学(第五版)第六章 结构位移计算
相对位移 △CD= △C+ △D
3. 计算位移的目的
（1）校核结构的刚度。 （2）结构施工的需要。 （3）为分析超静定结构打 基础。
△ 起拱高度
除荷载外，还有一些因素如温度变化、支座移动、 材料收缩、制造误差等，也会使结构产生位移。 结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为 基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论 静定结构的位移计算。 返4回
B
变力 W= 1 M· ϕ 2
（d ）
返6回
P
（2）实功与虚功 实功： 力本身引起的位移上所作的功。 例如： W=
A 力在其它 虚功： 因素引起的位移上所作 的功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系 的两种彼此无关的状态。
△2
2
A
P1
△1
1
B P2 B
例如：
W12=P1·△2
返7回
2. 变形体的虚功原理：
A RA
P
M
q B dS
q
RB N+dN Q+dQ
Q N 力状态 A
ds B dS
dWi=Ndu+QγdS+Mdϕ Wi=
（6—2)
整个结构内力的变形虚功为
虚功方程为
W=
（6—3)
dS du
dϕ
γ γ
dS
位移状态
dS
9
返dx γ回
§6—3 位移计算的一般公式
k 1. 位移计算的一般公式 t1 K △K t2 c3 K ds 设平面杆系结构由 ds k Ｒ ３ K′ 于荷载、温度变化及支 k P1 座移动等因素引起位移 du、dϕ、γdS N MQ 、、 如图示。 Ｒ １ c2 求任一指定截面K K c1 ２ 沿任一指定方向 k—k 实际状态－位移状态 Ｒ 虚拟状态－力状态 上的位移△K 。
结构位移和刚度—图乘法(建筑力学)
向相同，即铅直向下。
图乘法
（2）求角位移 B 。在B 截面虚加一单位力偶 Me=1，绘出 M 2 图（图d）
将两图相乘，得
B
1 EI
A
yC
1 EI
(1 2
Fl 4
l)
1 2
Fl 2
16 EI
（逆时针）
负号表示B的转向与所设 Me =1的
转向相反，即逆时针方向。
图乘法
例3 试用图乘法求图示外伸梁C截面的竖向位移CV 。设梁的 弯曲刚度EI为常数。
图乘法
(3) 竖标yC必须在直线图形上取得。当两个弯矩图都是直线图形时，yC 可取自任意一个弯矩图。
(4) 每个面积只能对应一条直线图形 。 当 M图对应的不是一条直线图形时(如图)， 则要 将其分割成几个面积，使每个面积对应一条直 线图形，分别进行图乘再相加，即
A yC A1yC1 A2 yC2 A3 yC3
1 ql 2
(
3
8
l 2
)
3l 8
ql 4
128EI
正号表示CV的方向与所设 F=1的方向相同，即铅直向下。
图乘法
三、应用图乘法计算求位移
图乘法计算位移的解题步骤是: 1)画出结构在实际荷载作用下的弯矩图MP； 2)根据所求位移选定相应的虚拟状态，画出单位荷载作 用下的弯矩图； 3)分段计算一个弯矩图形面积及形心C对应的另一弯距图 竖标yC； 4)将A、yC代入图乘法公式计算所求位移。
EI
EI EI
2 3 3EI
3、 求B在B端加单位力M2=1，得虚拟状态
M
图
2
A
1
M2=1 B y =1
画
M
图
2
图乘法
（2）求角位移 B 。在B 截面虚加一单位力偶 Me=1，绘出 M 2 图（图d）
将两图相乘，得
B
1 EI
A
yC
1 EI
(1 2
Fl 4
l)
1 2
Fl 2
16 EI
（逆时针）
负号表示B的转向与所设 Me =1的
转向相反，即逆时针方向。
图乘法
例3 试用图乘法求图示外伸梁C截面的竖向位移CV 。设梁的 弯曲刚度EI为常数。
图乘法
(3) 竖标yC必须在直线图形上取得。当两个弯矩图都是直线图形时，yC 可取自任意一个弯矩图。
(4) 每个面积只能对应一条直线图形 。 当 M图对应的不是一条直线图形时(如图)， 则要 将其分割成几个面积，使每个面积对应一条直 线图形，分别进行图乘再相加，即
A yC A1yC1 A2 yC2 A3 yC3
1 ql 2
(
3
8
l 2
)
3l 8
ql 4
128EI
正号表示CV的方向与所设 F=1的方向相同，即铅直向下。
图乘法
三、应用图乘法计算求位移
图乘法计算位移的解题步骤是: 1)画出结构在实际荷载作用下的弯矩图MP； 2)根据所求位移选定相应的虚拟状态，画出单位荷载作 用下的弯矩图； 3)分段计算一个弯矩图形面积及形心C对应的另一弯距图 竖标yC； 4)将A、yC代入图乘法公式计算所求位移。
EI
EI EI
2 3 3EI
3、 求B在B端加单位力M2=1，得虚拟状态
M
图
2
A
1
M2=1 B y =1
画
M
图
2
第六章结构的位移计算和刚度计算
各点的位置产生（相对）移动（线位移），使 杆件横截面产生（相对）转动（角位移）。 2、位移的分类：6种 绝对位移：点（截面）线位移––分解成水平、 垂直两方向 截面角位移： 杆件角位移： 相对位移：两点（截面）相对线位移––沿连线 方向 两截面相对角位移： 两杆件相对角位移：
3、引起位移的原因 A、荷载作用：（荷载→内力→变形→位移） B、温度改变：静定结构，温度改变，→0应力 非0应变→结构变形 （材料胀缩引起的位移性质同） C、支座移动；(无应力，无应变，但几何位置 发生变化) 6-2-2单位荷载法
Nl l EA
若将式改写为 及轴向线应变 l 代入，则可得出胡克定律的 l 另一表达式为
l 1 N l E A
，并以轴向应力
N A
E
故胡克定律也可简述为：当杆内应力不超 过材料的比例极限（即正应力与线应变成正比 的最高限应力）时，应力与应变成正比。
例题6-1-1 有一横截面为正方形的阶梯形砖柱， 由上下I、II两段组成。其各段的长度、横截面 尺寸和受力情况如图2-12所示。已知材料的弹 性模量E＝0.03×105MPa，外力P＝50kN。试 P 求砖柱顶面的位移。 解：假设砖柱的基础没有沉陷， A P P Ⅰ 3m 则砖柱顶面A下降的位移等于全 B 柱的缩短。由于柱上、下两段 4m 的截面尺寸和轴力都不相等， Ⅱ C 故应用公式
例题6-1-2 在图所示的结构中，杆AB为钢杆， 横截面为圆形，其直径d＝34mm；杆BC为木 杆，横截面为正方形，其边长a＝170mm。二 杆在点B铰接。已知钢的弹性模量E1＝ 2.1×105MPa，木材顺纹的弹性模量E2＝ 0.1×105MPa。试求当结构在点B作用有荷载P ＝40kN时，点B的水平位移及铅直位移。 解： （1）取出节点B为脱离体，并以N1、N2分别表 示AB及BC二杆的内力。运用平衡方程 P 40 Y 0 由 ，可得 N1 80kN o
第六章位移法
第六章位移法一、几个值得注意的问题1、位移法的适用条件（1）位移法既可以求解超静定结构，也可以求解静定结构；正，顺时针为负。
4柱顶有相同的水平线位移。
(图中的-=50。
B 点以6-1-17 用位移法计算某一结构后，当荷载改变了，这应重新计算位移法基本方程式中的全部系数和自由项。
( )6-1-18 图6-1-5所示结构对称，荷载为反对称,用位移法计算时结点位移基本未知量最少可取为2个。
( )图6-1-56-1-19 位移法典型方程的右端项一定为零。
（)6-1-20 用位移法求解结构内力时如果PR一定为零。
（）M图为零，则自由项1P6-1-21 结构按位移法计算时，其典型方程的数目与结点位移数目相等。
()6-1-22 位移法未知量的数目与结构的超静定次数有关。
( )6-1-23 位移法的基本结构为超静定结构。
( )6-1-24 位移法是以某些结点位移作为基本未知数，先求位移，再据此推求内力的一种结构分析的方法。
（）6-1-26 图6-1-7所示结构的位移法基本体系，其典型方程系数k为20，图中括号内数字为线刚度。
11（）6-1-306-1-31 超静定结构中杆端弯矩只取决于杆端位移。
（）6-1-32 位移法中的固端弯矩是当其基本未知量为零时由外界因素所产生的杆端弯矩。
（）6-1-33 图6-1-12a对称结构可简化为图（b）来计算。
（）6-1-34 位移法中角位移未知量的数目恒等于刚结点数。
（）q，线位移未知量为_______。
图6-2-26-2-3 图6-2-3所示结构位移法基本方程的系数k11= __________EI/l。
A.18；B. 16；C.15；D.17。
A.附加约束i发生Z i=1时在附加约束i上产生的反力或反力矩；B.附加约束i发生Z i=1时在附加约束j上产生的反力或反力矩；C.附加约束j发生Z j=1时在附加约束i上产生的反力或反力矩；D.附加约束j发生Z j=1时在附加约束j上产生的反力或反力矩。
结构力学(I)-结构静力分析篇6 矩阵位移法
用数字描述体系的位置，单元的属性。
10 / 105
第六章
例如
单元 FP
矩阵位移法
3(5,6)FP
2
1
2
2
结点
1
1(1,2) 单元方向 1
1
2(3,4)
2
1,2,3 ----结构结点编码（总码） (1,2,3) ----结点位移编码
1 2 ----杆端结点编码（局码）
1 2 ----单元编码
11 / 105
9 / 105
第六章
矩阵位移法
六、结构的离散化工作
将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干 个各自独立的单元，单元之间是由结点连接，用 此计算模型模拟原结构的受力和变形特性。 模型和原结构是有差别的，这个差别可以通 过单元的适当选取给予降低。 主要工作：单元的划分；体系的数字化。
直杆体系按自然选取杆件的汇交点、截面的 变化点、支撑点或荷载作用点作为结点，将结构 划分成一系列只在结点相连的单元集合。
EA l e
矩阵位移法
0
6 EI l2 4 EI l
0
12 EI l3 6 EI l2
EA l
0 12l EI 3 6lEI 2 0
12 EI l3 6 EI l2
0 0
EA l
0 12l EI 3
6 EI l2
0 6lEI 2
2 EI l
0 0
0 1 6 EI l2 2 2 EI 3 l 0 4 6lEI 5 2 4 EI 6 l
单元刚度方程
F k
e e
e
01-结构位移的计算知识点小结
受力状态是真实的（力未知），利用虚设可能产生的位移状态（位移已知）来求未知力 （支座反力或内力）。
（2）虚力原理 位移状态是真实的（位移未知），利用虚设一平衡力系（力已知）来求位移。 本章是利用虚力原理来求结构的位移。
三、位移计算的一般公式
利用单位荷载法计算结构位移的一般公式为：
k = − F Rici + Mds + F S ds + F N ds
式中， F Ri 、 M 、 F S 、 F N 分别为虚拟单位荷载 F = 1作用产生的支座反力、弯矩、 剪力和轴力；ci 、 、 、 分别为实际位移状态中支座移动、曲率、平均剪切应变和轴向
应变。
采用单位荷载法求结构位移时，要根据所求位移类别的不同，虚设相应的单位力状态，
如表 6-3。
表 6-3 广义位移的计算
其中， du = ds 为微段 ds 相对轴向变形， d = ds 为微段 ds 相对剪切变形， d = ds 为微段 ds 相对转 角 d 。 为轴向伸长或压缩应变， 为平均剪切应变， k 为轴线处弯曲曲率。
变形体系虚功方程式可表示为：
F ii
+
FRi
c i
=
M ds
+
Fs
ds
+
FN ds
4、虚功原理的两种应用形式 （1）虚位移原理
其中各抛物线图形均为标准抛物线。所谓标准抛物线图形，是指抛物线图形具有顶点(顶 点是指切线平行于底边的点)，并且顶点在中点或者端点。
图 6-3 常见图形面积和形心位置 3、分段图乘
若两弯矩图不满足图乘条件，比如一个弯矩图是曲线，另一个弯矩图是由几段直线组成 的折线；或者杆段截面为变截面即 EI 值不相等时，均应先分段图乘，再将各段图乘结果进 行叠加。
（2）虚力原理 位移状态是真实的（位移未知），利用虚设一平衡力系（力已知）来求位移。 本章是利用虚力原理来求结构的位移。
三、位移计算的一般公式
利用单位荷载法计算结构位移的一般公式为：
k = − F Rici + Mds + F S ds + F N ds
式中， F Ri 、 M 、 F S 、 F N 分别为虚拟单位荷载 F = 1作用产生的支座反力、弯矩、 剪力和轴力；ci 、 、 、 分别为实际位移状态中支座移动、曲率、平均剪切应变和轴向
应变。
采用单位荷载法求结构位移时，要根据所求位移类别的不同，虚设相应的单位力状态，
如表 6-3。
表 6-3 广义位移的计算
其中， du = ds 为微段 ds 相对轴向变形， d = ds 为微段 ds 相对剪切变形， d = ds 为微段 ds 相对转 角 d 。 为轴向伸长或压缩应变， 为平均剪切应变， k 为轴线处弯曲曲率。
变形体系虚功方程式可表示为：
F ii
+
FRi
c i
=
M ds
+
Fs
ds
+
FN ds
4、虚功原理的两种应用形式 （1）虚位移原理
其中各抛物线图形均为标准抛物线。所谓标准抛物线图形，是指抛物线图形具有顶点(顶 点是指切线平行于底边的点)，并且顶点在中点或者端点。
图 6-3 常见图形面积和形心位置 3、分段图乘
若两弯矩图不满足图乘条件，比如一个弯矩图是曲线，另一个弯矩图是由几段直线组成 的折线；或者杆段截面为变截面即 EI 值不相等时，均应先分段图乘，再将各段图乘结果进 行叠加。
《结构力学习题集》6-位移法要点
第六章 位移法一、是非题1、位移法未知量的数目与结构的超静定次数有关。
2、位移法的基本结构可以是静定的，也可以是超静定的。
3、位移法典型方程的物理意义反映了原结构的位移协调条件。
4、结 构 按 位 移 法 计 算 时 ， 其 典 型 方 程的 数 目 与 结 点 位 移 数 目 相 等 。
5、位移法求解结构内力时如果P M 图为零，则自由项1P R 一定为零。
6、超 静 定 结 构 中 杆 端 弯 矩 只 取 决 于杆 端 位 移 。
7、位 移 法 可 解 超 静 定 结 构 ，也 可 解 静定 结 构 。
8、图示梁之 EI =常数，当两端发生图示角位移时引起梁中点C 之竖直位移为(/)38l θ（向下）。
/2/22l l θθC9、图示梁之EI =常数，固定端A 发生顺时针方向之角位移θ，由此引起铰支端B 之转角（以顺时针方向为正）是 -θ/2 。
θA B l 10、用位移法可求得图示梁B 端的竖向位移为ql EI 324/。
q l 11、图 示 超 静 定 结 构 ， ϕD 为 D 点 转 角 （顺 时 针 为 正）， 杆 长 均 为 l , i 为 常 数 。
此 结 构 可 写 出 位 移 法 方 程 111202i ql D ϕ+=/。
二、选择题1、位 移 法 中 ，将 铰 接 端 的 角 位 移 、滑 动支 承 端 的 线 位 移 作 为 基 本 未 知 量 ：A. 绝 对 不 可 ；B. 必 须 ；C. 可 以 ，但 不 必 ；D. 一 定 条 件 下 可 以 。
2、AB 杆 变 形 如 图 中 虚 线 所 示 ， 则 A 端的 杆 端 弯 矩 为 ：A.M i i i l AB A B AB =--426ϕϕ∆/ ;B.M i i i l AB A B AB =++426ϕϕ∆/ ;C.M i i i l AB A B AB =-+-426ϕϕ∆/ ;D.M i i i l AB A B AB =--+426ϕϕ∆/。
结构力学——第6章结构位移计算讲解
对整个结构有：
WV dWV FNdu Md FSds
虚功方程为： W WV
W FNdu Md FSds
§6-2 变形体系的虚功原理
虚功原理的应用
虚位移原理： 对于给定的力状态，虚设一个位移状态，利 用虚功方程求解力状态中的未知力。
虚力原理： 对于给定的位移状态，虚设一个力状态，利用 虚功方程求解位移状态中的位移。
例6-7 图a为一组合结构，试求D点的竖向位移△Dy。
解：实际状态FNP、MP如图b所示。 ΔDy
FN FNPl E1 A1
A yC E2 I2
虚拟状态FN、M如图c所示。
(1 2 2)Fa 4Fa3
()
E1 A1
3E2 I 2
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算
试求图a所示结构由于温度变
对于静定结构，支座发生移动并不引起内力，材料不发生变形，此 时结构的位移属刚体位移。位移计算一般公式简化为
ΔKc FRc
§6-7 静定结构支座移动时的位移计算
例6-9 图a所示三角刚架右边支座的竖向位移△By=0.06m, 水 平位移为△Bx=0.06m, 已知l=12m，h=8m。试求由此引
第六章 结构位移计算
§6-1 概述 §6-2 变形体系的虚功原理 §6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算 §6-7 静定结构支座移动时的位移计算 §6-8 线弹性结构的互等定理 §6-9 空间刚架的位移计算公式
变形曲线。 解：实际状态弯矩图如图b所示。
虚拟状态弯矩图如图c所示。
ΔAy
A yC 1 (l l ) Fl 1 (l 2l ) Fl EI EI 2 2 2EI 3 4
WV dWV FNdu Md FSds
虚功方程为： W WV
W FNdu Md FSds
§6-2 变形体系的虚功原理
虚功原理的应用
虚位移原理： 对于给定的力状态，虚设一个位移状态，利 用虚功方程求解力状态中的未知力。
虚力原理： 对于给定的位移状态，虚设一个力状态，利用 虚功方程求解位移状态中的位移。
例6-7 图a为一组合结构，试求D点的竖向位移△Dy。
解：实际状态FNP、MP如图b所示。 ΔDy
FN FNPl E1 A1
A yC E2 I2
虚拟状态FN、M如图c所示。
(1 2 2)Fa 4Fa3
()
E1 A1
3E2 I 2
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算
试求图a所示结构由于温度变
对于静定结构，支座发生移动并不引起内力，材料不发生变形，此 时结构的位移属刚体位移。位移计算一般公式简化为
ΔKc FRc
§6-7 静定结构支座移动时的位移计算
例6-9 图a所示三角刚架右边支座的竖向位移△By=0.06m, 水 平位移为△Bx=0.06m, 已知l=12m，h=8m。试求由此引
第六章 结构位移计算
§6-1 概述 §6-2 变形体系的虚功原理 §6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算 §6-7 静定结构支座移动时的位移计算 §6-8 线弹性结构的互等定理 §6-9 空间刚架的位移计算公式
变形曲线。 解：实际状态弯矩图如图b所示。
虚拟状态弯矩图如图c所示。
ΔAy
A yC 1 (l l ) Fl 1 (l 2l ) Fl EI EI 2 2 2EI 3 4
第六章 结构位移计算
1 y
1
c3
1
FR 3
F2 2 2
2x
FR1 FR 2
力状态
c2
位移状态
c1
W F11y F22 x FR1c1 FR2c2 FR3c3 F FRc
变形虚功：力状态的微段内力在位移状态的对应变形上所做的虚功， 再积分（对整段杆件）、求和（对结构所有杆件）。
F1 1
ds
1 y
1
ds
c3
dφ
FR 3
F2
2
M
FN FS
ds
FR1 FR 2
M dM FN d FN FS d FS
2
2x
ds du
γ
γd s ds
ds
c2
位移状态
力状态
c1
dWV ( FN dFN )du ( FS dFS )ds (M dM )d FN du FS ds Md
（3）、求解两点之间的相对线位移： 在两点沿连线方向施加一对指向 相反的单位力
F=1
3 4 3 F=1 4
求34
F
1
2
1
2
（4）、求解两点之间的相对角位移： 在两点施加一对方向相反的单位集 中力偶
3
4
3
4
求12
F M=1 M=1 2
1
2
1
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
q t2 FK=1
1 A yc () abl 6
正负号：如a、b在杆轴线同一侧则取“+”，在不同侧则取“-”
2、直线型与直线型图乘（斜率为常数）
A yc () EI
a
结构的位移计算及刚度教核
ΔA l1 l2 0.579mm 1.46mm 2.04mm
向下位移
h1
拄子上、下段的应变为
A F
第3节
单跨静定梁的刚度校核
梁在外力作用下将产生弯曲变形，如果弯曲 变形太大，就会影响结构的正常使用。例如楼面梁 变形过大，会使顶棚抹灰开裂或脱落；厂房吊车梁 变形过大，会影响吊车的正常行驶等等。因此，必 须对梁的变形进行研究，保证梁的正常使用。
挠度
FP w B B' x
挠曲线
转角
dy dx
面的转角，上式称为转角方程。
(7-13b)
它表明，挠曲线上任一点处切线的斜率即是该点处横截
3. 挠曲近似微分方程
根据前面已导出的梁在纯弯 曲时的曲率公式和高等数学知识， 可以导出如下微分方程 w A
挠度
FP w B B' x
挠曲线
转角
d2 y M ( x) 2 dx EI
a
F
F
120MPa
则杆的轴力为
l
a
FN A 120 106 N/m 2 (16 16 106 )m 2
30720N 30.72kN
杆件所受的轴向外力为
F FN 30.72kN
a
F
F
例2
图示变截面柱，上下段截面积各为
F
F
A1=240×240mm2 ， A2=370×370mm2 ，h1=2m， h2=4m。所受外力F=50kN，弹性模量E=3GPa。 不计柱的自重，试求： （1）柱子上、下段的纵向应变； （2）柱子顶点的位移。 解 1）求拄子上、下段的应变 拄子上、下段的轴力分别为 FN1=-50kN， FN2=-150kN
位移计算
而位移是力系以外的原因引起。
M
Δ
θ
W = PΔ
W = Mθ
3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶
4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力
P
ΔA ΔB
P
M
M
θA
θB
W = PΔA + PΔB = P(ΔA +ΔB) = PΔ
W = MθA + MθB = M(θA +θB) = Mθ
三、变形体的虚功原理 （1）刚体系的虚位移原理 去掉约束而代以相应的 反力，该反力便可看成外 力。则有：刚体系处于平 XA = 0 衡的必要和充分条件是： 对于任何可能的 虚位移，作用于刚 体系的所有外力所 做虚功之和为零。
注意到微段处于平衡状态，则有外力在刚体位移上作功dWs = 0
故有δWe=δWv成立。
四、虚功原理的两种应用
1）虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的 平衡力状态---虚设位移求力系。
例. 求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。 直线 P P Δ A B
X
C
ΔC
a
b (a)
三、 仅有荷载作用： 线弹性杆系结构单位荷载法位移计算公式有：
FN P δε = ; EA
δγ = k
FQP GA
;
M xP δϕ = ; GI ρ
MP δθ = ; EI
式中： E 弹性模量； G A k IP 横截面积； I
剪切模量； 截面惯性矩；
截面形状系数。如：对矩形截 面k=6/5;圆形截面k=10/9。 截面极惯性矩；
1 ⋅ Δ + YA ⋅ c = 0 虚功方程为： Δ = b⋅c / a 解得： 这是单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method) 它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出，故也称为 Maxwell-Mohr Method
M
Δ
θ
W = PΔ
W = Mθ
3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶
4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力
P
ΔA ΔB
P
M
M
θA
θB
W = PΔA + PΔB = P(ΔA +ΔB) = PΔ
W = MθA + MθB = M(θA +θB) = Mθ
三、变形体的虚功原理 （1）刚体系的虚位移原理 去掉约束而代以相应的 反力，该反力便可看成外 力。则有：刚体系处于平 XA = 0 衡的必要和充分条件是： 对于任何可能的 虚位移，作用于刚 体系的所有外力所 做虚功之和为零。
注意到微段处于平衡状态，则有外力在刚体位移上作功dWs = 0
故有δWe=δWv成立。
四、虚功原理的两种应用
1）虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的 平衡力状态---虚设位移求力系。
例. 求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。 直线 P P Δ A B
X
C
ΔC
a
b (a)
三、 仅有荷载作用： 线弹性杆系结构单位荷载法位移计算公式有：
FN P δε = ; EA
δγ = k
FQP GA
;
M xP δϕ = ; GI ρ
MP δθ = ; EI
式中： E 弹性模量； G A k IP 横截面积； I
剪切模量； 截面惯性矩；
截面形状系数。如：对矩形截 面k=6/5;圆形截面k=10/9。 截面极惯性矩；
1 ⋅ Δ + YA ⋅ c = 0 虚功方程为： Δ = b⋅c / a 解得： 这是单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method) 它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出，故也称为 Maxwell-Mohr Method
第6章 结构位移计算
3.复杂图形图乘时的分解
1) 当yC所属M图为折线，或各段截面不等时，应分段图乘。 A1 A3
I3
A2
A3
A1
I1
A2
I2
y1
y2
y3
y1
y2
y3
练习： P118 6-5 判断正误
△=
(A1y1+A2y2+ A3y3)
36
2）当面积和形心不易确定时，分解成简单图形，分别与另 一图形相乘，最后再叠加。
标准二次抛物线
5l/8
A1 l/2
l
形心
l
A2
顶点 顶点 3l/4 l/4
顶点——抛物线上切线平行于底边的点； 标准抛物线——顶点在中点或端点的抛物线。
例 求图示梁( EI= 常数，跨长为l ) B截面的转角 B 。 q A
1 2 ql 8
1 2
1
B
1
MP图 2. 图乘计算。
M
图
解： 1. 作MP图、
4．计算结构位移的目的
1）校核刚度—不超过许用值，以防变形过大影响，正常使用。
吊车梁: 允许挠度 < 1/600 跨度； 高层建筑: 最大位移<1/1000高度；最大层间位移<1/800层高 铁路钢板桥和钢桁梁：最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
2）满足施工要求— 结构的变形(可能与正常使用时完全不同)。
W F cos S 常力功
S
F
1 W F 2
变力功
F d
W M
F
力偶功
其他形式的力或力系所作的功也用两个因子的乘积表示：
功=广义力×广义位移 广义力——集中力，力偶，一对力偶； 广义位移——沿力方向的线位移，沿力偶转向的角位移，相对 位移。
结构位移和刚度—梁的变形和刚度计算(建筑力学)
1.挠曲线近似微分方程 2.用积分法求变形
y(x)
M (x) EI
EI (x) M (x)dx C1
三、用叠加法求梁的变形
EIy(x) [ M (x)dx C1]dx C2
叠加法 — 梁截面的总变形，就等于各个荷载单独作用时产生变形的代数和。
课后作业：《建筑力学》 教材课后练习题
梁的变形计算
例-2 图示简支梁AB，试用叠加法求跨长中点的变形线位移yC和角位移A、B。
M0
q
A
C
B
解 ：梁上作用荷载可以分为两个简
l
单荷载单独作用。
q
A
B
ycq l C B1
M0
ycq
A
B
l C B2
查书中变形附录表，采用叠加法
求代数和得
yC
yCq
yCM 0
5ql 4 384EI
M 16
l2
0
EI
1
y
(1
y2
)
3 2
从而得出挠曲线近似微分方程为 y(x) M (x)
EI
2.用积分法求变形
对于等截面直梁有EIy(x) =Ｍ(x) ,分离变量进行积分，即得转角
方程 EI (x) M (x)dx C1 ，挠曲线方程 EIy(x) [ M (x)dx C1]dx C2
梁的变形计算
例1 图示悬臂梁AB，自由端作用集中力偶M0 ，EIz为常量，试用积分法求
梁的转角方程和挠曲线方程。
M0 解：1.建立坐标确定弯矩方程
A
B
x l
M (x) M0
2.列挠曲线近似微分方程并积分，得
EI (x) M 0 x c1
EIy(x)
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0.25m 0.37m
A
C
N1l1 N 2l2 l l1 l2 EA1 EA2 (50 103 )(3) (150 103 )(4) 5 6 2 5 6 2 (0.03 10 10 )(0.25) (0.03 10 10 )(0.37) 0.00233m 2.33mm （向下）
例题6-1-2 在图所示的结构中，杆AB为钢杆， 横截面为圆形，其直径d＝34mm；杆BC为木 杆，横截面为正方形，其边长a＝170mm。二 杆在点B铰接。已知钢的弹性模量E1＝ 2.1×105MPa，木材顺纹的弹性模量E2＝ 0.1×105MPa。试求当结构在点B作用有荷载P ＝40kN时，点B的水平位移及铅直位移。 解： （1）取出节点B为脱离体，并以N1、N2分别表 示AB及BC二杆的内力。运用平衡方程 P 40 Y 0 由 ，可得 N1 80kN o
6-2-3、梁和刚架的位移计算公式： 梁、刚架：以弯曲变形为主，轴向、剪切 变形很小，可以略去。
MMP ds EI
6-2-4、桁架的位移计算公式： 桁架：只有轴力，且同一杆件的轴力Nk、 NP及EA沿杆长度l均为常数。
FN FNP FN FNP ds L EA EA
l l
6-1-2 胡克定律 当杆所受的外力不超过某一限度时，杆的 伸长（缩短）与杆所受的外力P、杆的原长l以 及杆的横截面面积A之间有如下的比例关系 l ∝ pl A 引进比例常数E，则有
pl l EA
由于P＝N，此式又可改写为 式中的比例常数E称为弹性模量，它表示材 料在拉伸（压缩）时抵抗弹性变形的能力，其 量纲为，在国际单位制中的常用单位是Pa。E 的数值随材料而异，是通过试验测定的。 式中的EA称为杆的抗拉（压）刚度，显然 对于长度l相等、轴力N相同的受拉（压）杆， 其抗拉（压）刚度EA越大，则所发生的伸长 （缩短）变形越小。 P EA 有时我们还把式简写为 l C ，其中 C l 的称为杆的相对刚度或刚度系数，它表示杆在 单位荷载（即P＝1）作用下的伸长（或缩短） 变形。
如果只要求某一点或某一个方向的位 移，应用单位荷载法是最好的选择。由虚 功原理推导出来的单位荷载法计算平面杆 件结构位移的一般公式为
k FS Fsp F N FNP MMP ds ds ds EA GA EI l l l
上式中，梁和刚架取弯矩项，桁架取 轴力项并化积分为总和，拱和组合结构则 取两项（弯矩项和轴力项）。当仅取弯矩 项时，繁琐的积分运算常被简单的图乘法 所取代（曲杆和高阶变截面直杆仍需用积 分法）。
但图乘法的应用有其前提条件：杆件 为分段等直杆（每段EI是常数）；弯矩图 中至少有一个是直线图。还须记住常用图 形的面积公式和形心位置。
结构位移计算时，先绘制实际荷载作用下 的内力图（如MP图）或列出实际内力方程；再 按所求广义位移的性质，虚设相应的广义单位 荷载，作虚内力图（如图）或列虚内力方程； 然后用图乘法或积分（求和）法求位移。
sin 30 1 2
P
A
l 1= 1.1
b N1
d=34mm
N2
B P
A
5m
P
Ⅰ 3m
C B
l 2=1m
P
B2
B P
c B1
B2 E
B
B1
Ⅱ
CLeabharlann 4m=170mmB3
0.37m
B3
由 X 0 ，可得 N2＝－N1cos30°＝－69.3kN（压力） （2）根据公式求各杆的变形
N1l1 (80 103 )(1.15) l1 0.00048m E1 A1 (2.1105 106 ) (34 103 ) 2 4 0.48mm
各点的位置产生（相对）移动（线位移），使 杆件横截面产生（相对）转动（角位移）。 2、位移的分类：6种 绝对位移：点（截面）线位移––分解成水平、 垂直两方向 截面角位移： 杆件角位移： 相对位移：两点（截面）相对线位移––沿连线 方向 两截面相对角位移： 两杆件相对角位移：
3、引起位移的原因 A、荷载作用：（荷载→内力→变形→位移） B、温度改变：静定结构，温度改变，→0应力 非0应变→结构变形 （材料胀缩引起的位移性质同） C、支座移动；(无应力，无应变，但几何位置 发生变化) 6-2-2单位荷载法
Nl l EA
若将式改写为 及轴向线应变 l 代入，则可得出胡克定律的 l 另一表达式为
l 1 N l E A
，并以轴向应力
N A
E
故胡克定律也可简述为：当杆内应力不超 过材料的比例极限（即正应力与线应变成正比 的最高限应力）时，应力与应变成正比。
例题6-1-1 有一横截面为正方形的阶梯形砖柱， 由上下I、II两段组成。其各段的长度、横截面 尺寸和受力情况如图2-12所示。已知材料的弹 性模量E＝0.03×105MPa，外力P＝50kN。试 P 求砖柱顶面的位移。 解：假设砖柱的基础没有沉陷， A P P Ⅰ 3m 则砖柱顶面A下降的位移等于全 B 柱的缩短。由于柱上、下两段 4m 的截面尺寸和轴力都不相等， Ⅱ C 故应用公式
第6章 结构的位移计算 和刚度校核
变形：结构及构件的形状发生变化。 位移：结构截面位置的改变。 §6-1 轴向拉压杆的变形计算 6-1-1轴向受拉（压）杆的变形 设有一原长为l的等直杆， 受到一对轴向拉力P作用后， 其长度增大为l1，如图所示， 则杆的轴向伸长为 l l1 l
P
在杆各部分都为均匀伸长的情况下，求出 每单位长度杆的轴向伸长，即轴向线应变为
N 2l2 (69.3 103 )(1) l2 0.00024m 5 6 3 2 E 2 A2 (0.110 10 )(170 10 ) 0.24mm
§6–2荷载作用下结构的位移计算公式 6-2-1 位移的基本概念 1、画图：梁、刚架、桁架
1、位移定义：由于结构变形或其它原因使结构