岩土数值分析第五章()
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第五章 有限差分法（1）FLAC2D
制作人:
王金安
北京科技大学
1. FLAC简介
1.1 FLAC特点
▪ FLAC——Fast Lagrangian Analysis of Continua ▪ FLAC建立在拉格朗日算法基础上，采用有限差分显式
算法来获得模型全部运动方程(包括内变量)的时间步长 解，从而可以追踪材料的渐进破坏和垮落，这对研究采 矿工程设计是非常重要的。
岩石应变软化/硬化模型
岩石
1-3
莫尔-库仑准则 与应变软化
压力 P
充填体
加载路径
卸载路径
体积应变 eV
断层模型
断层
单元
M
N T
S ks
kn
LN
A侧 P
B侧
1.3 支护构件与本构模型
(1) 杆单元模型； (2) 梁模型； (3) 桩模型； (4) 群支架模型。
预应力砂浆锚杆的模拟体系
自由段 锚杆
▪ FLAC适用模拟计算岩土材料力学行为，特别适合模拟 大变形和扭曲，包括材料的高度非线性(应变硬化/软化)、 不可逆剪切破坏和压密、粘弹(蠕变)、孔隙介质的应 力—渗流耦合、热—力耦合以及动力学问题等。
1.2 岩体力学本构模型
(1) 各向同性弹性材料模型； (2) 横观各向同性弹性材料模型； (3) 莫尔-库仑弹塑材料模型； (4) 应变软化/硬化塑性材料模型； (5) 双屈服塑性材料模型； (6) 遍布节理材料模型； (7) 空单元模型，可用来模拟岩体开挖和开采。
Fi ni(2)
s(2) s(1)
ni(1)
u u . (tt) i
. (tt / 2) i
Fi ( t )
t
m
x x u . (tt) i
. (t)
. (tt / 2)
i
i
t
(…大变形模式)
在时间域上的解算方法
F
应力
u
显式
数值结点
x
力F
隐式
位移 u
所有单元:
F f u,
(非线性定律)
非线性定律
输入应变
应变
2.5 基本显式计算循环
速度
高斯定理
对于所有结点
平衡方程 (运动方程)
dui dt
ij
x j
gi
结点力
Fi ijn j L
应变速率
例如, 弹性
对于所有单元
应力-应变关系 (本构方程)
ij
: ij
{ ij
(K
2
G)
.
ekk
3
.
2G eij }t
新的应力
FLAC的网格内部由三角形构成，三角形组合成四 边形单元。推导差分方程的方式如下：
锚固段
砂浆体
Kb 砂浆剪切刚度
砂浆粘结刚度
m Sb
Kb m Sb
cs,
Kb m
cs,
锚固结点
砂浆粘聚力,摩擦力
FLAC举例
P
(a)巴西试验 （间接拉伸）
(b) 边坡滑移
2. FLAC理论基础
2.1 有限差分法
f1
f0
h f x 0
h2 2
2 f x2
0
f3
f0
h f x 0
•代数式是完全显式的；在代数式右侧的所有量都是已知的。在一个计 算时步，FLAC网格每个元素（域或结点）与相邻单元表现出在物理上 是隔绝的。
应力
•计算循环的基本要求
选取的时步非常小，乃至在此时步间隔内 实际信息不能从一个单元传递到另一个单 元（事实上，所有材料都有传播信息的某 种最大速度） 。
输出应力
所有结点:
u
F
m
t
重复n 个时步
时步内不作迭代
假设 (u)固定 假设 (F)固定
改正，若 t xmin
Cp
p-波速度
信息在每个时步内 不在单元之间传播
单元
F Ku
结点
mu Ku F
每个时步内解算整套方程
如果存在非线性，在时步 内迭
方法比较
显式, 时间-进程
隐式, 静态
1. 可以遵循非线性定律而无需内部迭 代, 因为本构计算中位移被“冻结” 。
下式用于计算应变增量, eij :
ui 1
百度文库x j 2 A S
ui(a) ui(b) n jS
eij
1 2
ui x j
uxij t
一旦计算出全部应力，可以从作用每个三角形边界上 产生的牵引力计算得到结点力。例如：
Fi
1 2
ij
(n
j
(1)
S
(1)
nj(2)S (2) )
然后，用“传统”的中间差分 公式获得新的速度和位移：
(K
2
G)
.
ekk
3
.
2G eij }t
式中，δij——Kronecker记号； t——时间步；
G，K——分别是剪切模量和体积模量。
• 一般地，本构关系可表述为：
.
ij : M ( ij , eij , k )
式中
.
.
.
eij
1 [ ui
uj ]
2 x j xi
2.4 有限差分基本格式
•在有限差分法中, 每个在前一个公式中导出的量（运动量或应力应变） 由所在网格特定位置处的相关变量代数式所代替。
h2 2
2 f x2
0
f
f1 f3
x 0
2h
2 x
f
2
0
f1
f3 2 f0 h2
y
12 h
8
4
5
11 3
0
1
9
7
2
6
10
x h
f y
0
f2 f4 2h
2 2
f y
0
f2
f4 2 f0 h2
2.2 简单力学问题分析
•牛顿运动定律
m
u, u,u
F(t)
F m a m du dt
a b
ab 单元叠加
ui(b)
Fi
b
ni(2)
ni(1)
ΔS
s(2) s(1)
a ui(a)
三角形单元 速度向量
结点力向量
高斯定理：
S ni fdS
f dA
A xi
用于推导任意形状单元的有限差分公式。
u(i b) 结点速度 b
S
对于多边形，公式为：
f
xi
1 AS
f niS
a
u(i a) 结点速度
•对于一个连续体，可写成广义形式：
dui dt
ij x j
gi
式中, —— 体密度,
xj —— 坐标矢量 (x,y) ij —— 应力张量分量 gi —— 重力加速度
2.3 应力—应变关系
除了运动定律，连续介质必须服从本构关系—— 应力与应变之间的关系
• 对于弹性材料：
ij
: ij
{ ij
5. 模拟大变形明显需要更多的机时。
动态衰减
• 在动态衰减过程中，结点按照牛顿定律运动。结点的 加速度与非平衡力成正比。该算法确定这组位移将导 致系统趋于平衡，或表征失稳状态。
• 关于动态衰减的两个重点： ① 选择时步 ② 阻尼作用
时步
1. 整个迭代过程需要遵循非线性定律。
2. 解算时间增加 N2 甚至 N3。 2. 对同样问题，计算时间增加N3/2 。
3. 模拟物理不稳定性困难。 3. 物理不稳定不会引起数值不稳定。
4. 因为无需存储矩阵，用少量内存 可以模拟大型问题。
4. 需要大内存，或大容量硬盘存储。
5. 大应变、大位移和转动模拟无需 额外机时。
制作人:
王金安
北京科技大学
1. FLAC简介
1.1 FLAC特点
▪ FLAC——Fast Lagrangian Analysis of Continua ▪ FLAC建立在拉格朗日算法基础上，采用有限差分显式
算法来获得模型全部运动方程(包括内变量)的时间步长 解，从而可以追踪材料的渐进破坏和垮落，这对研究采 矿工程设计是非常重要的。
岩石应变软化/硬化模型
岩石
1-3
莫尔-库仑准则 与应变软化
压力 P
充填体
加载路径
卸载路径
体积应变 eV
断层模型
断层
单元
M
N T
S ks
kn
LN
A侧 P
B侧
1.3 支护构件与本构模型
(1) 杆单元模型； (2) 梁模型； (3) 桩模型； (4) 群支架模型。
预应力砂浆锚杆的模拟体系
自由段 锚杆
▪ FLAC适用模拟计算岩土材料力学行为，特别适合模拟 大变形和扭曲，包括材料的高度非线性(应变硬化/软化)、 不可逆剪切破坏和压密、粘弹(蠕变)、孔隙介质的应 力—渗流耦合、热—力耦合以及动力学问题等。
1.2 岩体力学本构模型
(1) 各向同性弹性材料模型； (2) 横观各向同性弹性材料模型； (3) 莫尔-库仑弹塑材料模型； (4) 应变软化/硬化塑性材料模型； (5) 双屈服塑性材料模型； (6) 遍布节理材料模型； (7) 空单元模型，可用来模拟岩体开挖和开采。
Fi ni(2)
s(2) s(1)
ni(1)
u u . (tt) i
. (tt / 2) i
Fi ( t )
t
m
x x u . (tt) i
. (t)
. (tt / 2)
i
i
t
(…大变形模式)
在时间域上的解算方法
F
应力
u
显式
数值结点
x
力F
隐式
位移 u
所有单元:
F f u,
(非线性定律)
非线性定律
输入应变
应变
2.5 基本显式计算循环
速度
高斯定理
对于所有结点
平衡方程 (运动方程)
dui dt
ij
x j
gi
结点力
Fi ijn j L
应变速率
例如, 弹性
对于所有单元
应力-应变关系 (本构方程)
ij
: ij
{ ij
(K
2
G)
.
ekk
3
.
2G eij }t
新的应力
FLAC的网格内部由三角形构成，三角形组合成四 边形单元。推导差分方程的方式如下：
锚固段
砂浆体
Kb 砂浆剪切刚度
砂浆粘结刚度
m Sb
Kb m Sb
cs,
Kb m
cs,
锚固结点
砂浆粘聚力,摩擦力
FLAC举例
P
(a)巴西试验 （间接拉伸）
(b) 边坡滑移
2. FLAC理论基础
2.1 有限差分法
f1
f0
h f x 0
h2 2
2 f x2
0
f3
f0
h f x 0
•代数式是完全显式的；在代数式右侧的所有量都是已知的。在一个计 算时步，FLAC网格每个元素（域或结点）与相邻单元表现出在物理上 是隔绝的。
应力
•计算循环的基本要求
选取的时步非常小，乃至在此时步间隔内 实际信息不能从一个单元传递到另一个单 元（事实上，所有材料都有传播信息的某 种最大速度） 。
输出应力
所有结点:
u
F
m
t
重复n 个时步
时步内不作迭代
假设 (u)固定 假设 (F)固定
改正，若 t xmin
Cp
p-波速度
信息在每个时步内 不在单元之间传播
单元
F Ku
结点
mu Ku F
每个时步内解算整套方程
如果存在非线性，在时步 内迭
方法比较
显式, 时间-进程
隐式, 静态
1. 可以遵循非线性定律而无需内部迭 代, 因为本构计算中位移被“冻结” 。
下式用于计算应变增量, eij :
ui 1
百度文库x j 2 A S
ui(a) ui(b) n jS
eij
1 2
ui x j
uxij t
一旦计算出全部应力，可以从作用每个三角形边界上 产生的牵引力计算得到结点力。例如：
Fi
1 2
ij
(n
j
(1)
S
(1)
nj(2)S (2) )
然后，用“传统”的中间差分 公式获得新的速度和位移：
(K
2
G)
.
ekk
3
.
2G eij }t
式中，δij——Kronecker记号； t——时间步；
G，K——分别是剪切模量和体积模量。
• 一般地，本构关系可表述为：
.
ij : M ( ij , eij , k )
式中
.
.
.
eij
1 [ ui
uj ]
2 x j xi
2.4 有限差分基本格式
•在有限差分法中, 每个在前一个公式中导出的量（运动量或应力应变） 由所在网格特定位置处的相关变量代数式所代替。
h2 2
2 f x2
0
f
f1 f3
x 0
2h
2 x
f
2
0
f1
f3 2 f0 h2
y
12 h
8
4
5
11 3
0
1
9
7
2
6
10
x h
f y
0
f2 f4 2h
2 2
f y
0
f2
f4 2 f0 h2
2.2 简单力学问题分析
•牛顿运动定律
m
u, u,u
F(t)
F m a m du dt
a b
ab 单元叠加
ui(b)
Fi
b
ni(2)
ni(1)
ΔS
s(2) s(1)
a ui(a)
三角形单元 速度向量
结点力向量
高斯定理：
S ni fdS
f dA
A xi
用于推导任意形状单元的有限差分公式。
u(i b) 结点速度 b
S
对于多边形，公式为：
f
xi
1 AS
f niS
a
u(i a) 结点速度
•对于一个连续体，可写成广义形式：
dui dt
ij x j
gi
式中, —— 体密度,
xj —— 坐标矢量 (x,y) ij —— 应力张量分量 gi —— 重力加速度
2.3 应力—应变关系
除了运动定律，连续介质必须服从本构关系—— 应力与应变之间的关系
• 对于弹性材料：
ij
: ij
{ ij
5. 模拟大变形明显需要更多的机时。
动态衰减
• 在动态衰减过程中，结点按照牛顿定律运动。结点的 加速度与非平衡力成正比。该算法确定这组位移将导 致系统趋于平衡，或表征失稳状态。
• 关于动态衰减的两个重点： ① 选择时步 ② 阻尼作用
时步
1. 整个迭代过程需要遵循非线性定律。
2. 解算时间增加 N2 甚至 N3。 2. 对同样问题，计算时间增加N3/2 。
3. 模拟物理不稳定性困难。 3. 物理不稳定不会引起数值不稳定。
4. 因为无需存储矩阵，用少量内存 可以模拟大型问题。
4. 需要大内存，或大容量硬盘存储。
5. 大应变、大位移和转动模拟无需 额外机时。