高中数学专题
全国高三高中数学专题试卷带答案解析
全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、解答题1.如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中,AD ∥BC,AD ⊥AB,AB=,AD=2,BC=4,AA 1=2,E 是DD 1的中点,F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点.(1)证明:①EF ∥A 1D 1;②BA 1⊥平面B 1C 1EF.(2)求BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角的正弦值.2.如图,ABEDFC 为多面体,平面ABED 与平面ACFD 垂直,点O 在线段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF 都是正三角形.(1)证明直线BC ∥EF;(2)求棱锥F OBED 的体积.3.如图,在四棱锥P ABCD 中,PD ⊥平面ABCD,AB ∥DC,AB ⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60°.(1)当正视方向与向量的方向相同时,画出四棱锥P ABCD 的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程);(2)若M 为PA 的中点,求证:DM ∥平面PBC;(3)求三棱锥D PBC 的体积.4.如图,四棱锥P ABCD 中,AB ⊥AC,AB ⊥PA,AB ∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N 分别为PB,AB,BC,PD,PC 的中点(1)求证:CE ∥平面PAD;(2)求证:平面EFG ⊥平面EMN.5.如图,在三棱锥S ABC 中,平面SAB ⊥平面SBC,AB ⊥BC,AS=AB.过A 作AF ⊥SB,垂足为F,点E,G 分别是棱SA,SC 的中点.求证:(1)平面EFG ∥平面ABC;(2)BC ⊥SA.6.如图,在四棱锥P ABCD 中,底面是边长为2的菱形,∠BAD=120°,且PA ⊥平面ABCD,PA=2,M 、N 分别为PB 、PD 的中点.(1)证明:MN ∥平面ABCD;(2)过点A 作AQ ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A MN Q 的平面角的余弦值.7.如图,直三棱柱ABC A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=,AA′=1,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.(1)证明:MN∥平面A′ACC′;(2)求三棱锥A′MNC的体积.(锥体体积公式V=Sh,其中S为底面面积,h为高)8.如图,几何体E ABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,CB=CD,EC⊥BD.(1)求证:BE=DE;(2)若∠BCD=120°,M为线段AE的中点,求证:DM∥平面BEC.9.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.(1)求证:AF∥平面BDE;(2)求证:CF⊥平面BDE.10.如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=120°,E为线段AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE,使平面A′DE⊥平面BCD,F为线段A′C的中点.(1)求证:BF∥平面A′DE;(2)设M为线段DE的中点,求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值.11.如图,在四面体PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.(1)求证:DE∥平面BCP.(2)求证:四边形DEFG为矩形.(3)是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等?说明理由.12.如图,四棱锥S ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:AC⊥SD;(2)若SD⊥平面PAC,求二面角P AC D的大小;(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由. 13.如图五面体中,四边形ABCD是矩形,DA⊥平面ABEF,AB∥EF,AB=EF=2,AF=BE=2,P、Q、M分别为AE、BD 、EF 的中点.(1)求证:PQ ∥平面BCE;(2)求证:AM ⊥平面ADF. 14.如图所示,四棱锥E ABCD 中,EA=EB,AB ∥CD,AB ⊥BC,AB=2CD.(1)求证:AB ⊥ED;(2)线段EA 上是否存在点F,使DF ∥平面BCE?若存在,求出;若不存在,说明理由.15.一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中M,N 分别是AB,AC 的中点,G 是DF 上的一动点.(1)求该多面体的体积与表面积;(2)求证:GN ⊥AC;(3)当FG=GD 时,在棱AD 上确定一点P,使得GP ∥平面FMC,并给出证明.16.如图所示,四边形ABCD 中,AB ⊥AD,AD ∥BC,AD=6,BC=4,AB=2,点E 、F 分别在BC 、AD 上,EF ∥AB.现将四边形ABEF 沿EF 折起,使平面ABEF ⊥平面EFDC,设AD 中点为P.(1)当E 为BC 中点时,求证:CP ∥平面ABEF;(2)设BE=x,问当x 为何值时,三棱锥A CDF 的体积有最大值?并求出这个最大值.17.如图所示,已知三棱柱ABC A 1B 1C 1,(1)若M 、N 分别是AB,A 1C 的中点,求证:MN ∥平面BCC 1B 1;(2)若三棱柱ABC A 1B 1C 1的各棱长均为2,∠B 1BA=∠B 1BC=60°,P 为线段B 1B 上的动点,当PA+PC 最小时,求证:B 1B ⊥平面APC.18.如图所示,四棱锥P ABCD 的底面为正方形,侧棱PA ⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H 分别是线段PA,PD,AB的中点.(1)求证:PB ∥平面EFH;(2)求证:PD ⊥平面AHF.19.如图所示,在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD 中,AD ∥BC,PD ⊥平面ABCD,AD=1,AB=,BC=4.(1)求证:BD ⊥PC;(2)求直线AB 与平面PDC 所成的角;(3)设点E 在棱PC 上,=λ,若DE ∥平面PAB,求λ的值.全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、解答题1.如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中,AD ∥BC,AD ⊥AB,AB=,AD=2,BC=4,AA 1=2,E 是DD 1的中点,F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点.(1)证明:①EF ∥A 1D 1;②BA 1⊥平面B 1C 1EF.(2)求BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析 （2） 【解析】(1)证明:①因为C 1B 1∥A 1D 1,C 1B 1⊄平面ADD 1A 1,所以C 1B 1∥平面A 1D 1DA.又因为平面B 1C 1EF∩平面A 1D 1DA=EF,所以C 1B 1∥EF,所以A 1D 1∥EF. ②因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1,所以BB 1⊥B 1C 1.又因为B 1C 1⊥B 1A 1,所以B 1C 1⊥平面ABB 1A 1,所以B 1C 1⊥BA 1.在矩形ABB 1A 1中,F 是AA 1的中点,tan ∠A 1B 1F=tan ∠AA 1B=,即∠A 1B 1F=∠AA 1B,故BA 1⊥B 1F.所以BA 1⊥平面B 1C 1EF.(2)解:设BA 1与B 1F 交点为H,连接C 1H.由(1)知BA 1⊥平面B 1C 1EF,所以∠BC 1H 是BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角.在矩形AA 1B 1B 中,AB=,AA 1=2,得BH=.在Rt △BHC 1中,BC 1=2,BH=,得sin ∠BC 1H==.所以BC 1与平面B 1C 1EF 所成角的正弦值是.2.如图,ABEDFC 为多面体,平面ABED 与平面ACFD 垂直,点O 在线段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF 都是正三角形.(1)证明直线BC ∥EF;(2)求棱锥F OBED 的体积.【答案】（1）见解析 （2）【解析】(1)证明:如图所示,设G 是线段DA 延长线与线段EB 延长线的交点.由于△OAB 与△ODE 都是正三角形,且OD=2,所以OBDE,OG=OD=2.同理,设G′是线段DA 延长线与线段FC 延长线的交点,有OCDF,OG′=OD=2. 又由于G 和G′都在线段DA 的延长线上,所以G 与G′重合.在△GED 和△GFD 中,由OB DE 和OC DF, 可知B 、C 分别是GE 和GF 的中点,所以BC 是△GEF 的中位线,故BC ∥EF.(2)解:由OB=1,OE=2,∠EOB=60°,知S △OBE =,而△OED 是边长为2的正三角形,故S △OED =.所以S 四边形OBED =S △OBE +S △OED =.过点F 作FQ ⊥AD,交AD 于点Q,由平面ABED ⊥平面ACFD 知,FQ 就是四棱锥F OBED 的高,且FQ=,所以=FQ·S 四边形OBED =. 3.如图,在四棱锥P ABCD 中,PD ⊥平面ABCD,AB ∥DC,AB ⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60°.(1)当正视方向与向量的方向相同时,画出四棱锥P ABCD 的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程);(2)若M 为PA 的中点,求证:DM ∥平面PBC;(3)求三棱锥D PBC 的体积.【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）8【解析】解:(1)在梯形ABCD中,过点C作CE⊥AB,垂足为E.由已知得,四边形ADCE为矩形,AE=CD=3,在Rt△BEC中,由BC=5,CE=4,依勾股定理得BE=3,从而AB=6.又由PD⊥平面ABCD,得PD⊥AD,从而在Rt△PDA中,由AD=4,∠PAD=60°,得PD=4.正视图如图所示.(2)取PB中点N,连接MN,CN.在△PAB中,∵M是PA中点,∴MN∥AB,MN=AB=3,又CD∥AB,CD=3,∴MN∥CD,MN=CD,∴四边形MNCD为平行四边形,∴DM∥CN.又DM平面PBC,CN⊂平面PBC,∴DM∥平面PBC.·PD,(3)==S△DBC=6,PD=4,又S△DBC所以=8.4.如图,四棱锥P ABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点(1)求证:CE∥平面PAD;(2)求证:平面EFG⊥平面EMN.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:(1)取PA的中点H,连接EH,DH.因为E为PB的中点,所以EH∥AB,EH=AB.又AB∥CD,CD=AB,所以EH∥CD,EH=CD.因此四边形DCEH是平行四边形.所以CE∥DH.又DH⊂平面PAD,CE⊄平面PAD,因此CE∥平面PAD.(2)因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EF∥PA.又AB⊥PA,所以AB⊥EF,同理可证AB⊥FG.又EF∩FG=F,EF⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,因此AB⊥平面EFG.又M,N分别为PD,PC的中点,所以MN∥CD,又AB∥CD,所以MN∥AB,因此MN⊥平面EFG,又MN⊂平面EMN,所以平面EFG⊥平面EMN.5.如图,在三棱锥S ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB.过A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:(1)平面EFG∥平面ABC;(2)BC⊥SA.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:(1)因为AS=AB,AF⊥SB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点,所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB,又AF⊂平面SAB,AF⊥SB,所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC,所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC,AF∩AB=A,AF⊂平面SAB,AB⊂平面SAB,所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB,所以BC⊥SA.6.如图,在四棱锥P ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠BAD=120°,且PA⊥平面ABCD,PA=2,M、N分别为PB、PD的中点.(1)证明:MN∥平面ABCD;(2)过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A MN Q的平面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明:连接BD,因为M、N分别是PB、PD的中点,所以MN是△PBD的中位线,所以MN∥BD. 又因为MN⊄平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.(2)解: 如图所示,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,得AC=AB=BC=CD=DA,BD=AB.又因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥AD.所以PB=PC=PD.所以△PBC≌△PDC.而M、N分别是PB、PD的中点,所以MQ=NQ,且AM=PB=PD=AN.取线段MN的中点E,连接AE,EQ,则AE⊥MN,QE⊥MN,所以∠AEQ为二面角A MN Q的平面角.由AB=2,PA=2,故在△AMN中,AM=AN=3,MN=BD=3,得AE=.在直角△PAC中,AQ⊥PC,得AQ=2,QC=2,PQ=4,在△PBC中,cos∠BPC==,得MQ==.在等腰△MQN中,MQ=NQ=,MN=3,得QE==.在△AEQ中,AE=,QE=,AQ=2,得cos∠AEQ==.所以二面角A MN Q的平面角的余弦值为.7.如图,直三棱柱ABC A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=,AA′=1,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.(1)证明:MN∥平面A′ACC′;(2)求三棱锥A′MNC的体积.(锥体体积公式V=Sh,其中S为底面面积,h为高)【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明:法一连接AB′,AC′,如图所示,由已知∠BAC=90°,AB=AC,三棱柱ABC A′B′C′为直三棱柱,所以M为AB′的中点.又因为N为B′C′的中点,所以MN∥AC′.又MN⊄平面A′ACC′,AC′⊂平面A′ACC′,所以MN∥平面A′ACC′.法二取A′B′的中点P,连接MP,NP,AB′,如图所示,因为M,N分别为AB′与B′C′的中点,所以MP∥AA′,PN∥A′C′.所以MP∥平面A′ACC′,PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP=P,所以平面MPN∥平面A′ACC′.而MN⊂平面MPN,所以MN∥平面A′ACC′.(2)解:连接BN,如图所示,由题意知A′N⊥B′C′,平面A′B′C′∩平面B′BCC′=B′C′,所以A′N⊥平面NBC.又A′N=B′C′=1,故====.8.如图,几何体E ABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,CB=CD,EC⊥BD.(1)求证:BE=DE;(2)若∠BCD=120°,M为线段AE的中点,求证:DM∥平面BEC.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:(1)如图所示,取BD的中点O,连接CO,EO.由于CB=CD,所以CO⊥BD.又EC⊥BD,EC∩CO=C,CO,EC⊂平面EOC,所以BD⊥平面EOC,因此BD⊥EO.又O为BD的中点,所以BE=DE.(2)法一如图所示,取AB的中点N,连接DM,DN,MN.因为M是AE的中点,所以MN∥BE.又MN平面BEC,BE⊂平面BEC,所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形,所以∠BDN=30°.又CB=CD,∠BCD=120°,因此∠CBD=30°.所以DN∥BC.又DN平面BEC,BC⊂平面BEC,所以DN∥平面BEC.又MN∩DN=N,所以平面DMN∥平面BEC.又DM⊂平面DMN,所以DM∥平面BEC.法二如图所示,延长AD,BC交于点F,连接EF.因为CB=CD,∠BCD=120°,所以∠CBD=30°.因为△ABD为正三角形,所以∠BAD=60°,∠ABC=90°,因此∠AFB=30°,所以AB=AF.又AB=AD,所以D为线段AF的中点,连接DM,由点M是线段AE的中点,得DM∥EF.又DM平面BEC,EF⊂平面BEC,所以DM∥平面BEC.9.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.(1)求证:AF∥平面BDE;(2)求证:CF⊥平面BDE.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:(1)设AC与BD交于点G.因为EF∥AG,且EF=1,AG=AC=1,所以四边形AGEF为平行四边形.所以AF∥EG.因为EG⊂平面BDE,AF⊄平面BDE,所以AF∥平面BDE.(2)连接FG.因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以四边形CEFG为菱形.所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形,所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.10.如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=120°,E为线段AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE,使平面A′DE⊥平面BCD,F为线段A′C的中点.(1)求证:BF∥平面A′DE;(2)设M为线段DE的中点,求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明:如图所示,取A′D的中点G,连接GF,GE,由条件易知FG∥CD,FG=CD,BE∥CD,BE=CD,所以FG∥BE,FG=BE,故四边形BEGF为平行四边形,所以BF∥EG.因为EG⊂平面A′DE,BF⊄平面A′DE,所以BF∥平面A′DE.(2)解:在平行四边形ABCD中,设BC=a,则AB=CD=2a,AD=AE=EB=a.连接CE,因为∠ABC=120°,在△BCE中,可得CE= a.在△ADE中,可得DE=a.在△CDE中,因为CD2=CE2+DE2,所以CE⊥DE.在正三角形A′DE中,M为DE的中点,所以A′M⊥DE.由平面A′DE⊥平面BCD,可知A′M⊥平面BCD,所以A′M⊥CE.取A′E的中点N,连接NM,NF,则NF∥CE.则NF⊥DE,NF⊥A′M.因为DE交A′M于点M,所以NF⊥平面A′DE,则∠FMN为直线FM与平面A′DE所成的角.在Rt△FMN中,NF=a,MN=a,FM=a,则cos∠FMN=,所以直线FM与平面A′DE所成角的余弦值为.11.如图,在四面体PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.(1)求证:DE∥平面BCP.(2)求证:四边形DEFG为矩形.(3)是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等?说明理由.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）存在，理由见解析【解析】证明:(1)因为D,E分别为AP,AC的中点,所以DE∥PC.又因为DE⊄平面BCP,所以DE∥平面BCP .(2)因为D,E,F,G分别为AP,AC,BC,PB的中点,所以DE∥PC∥FG,DG∥AB∥EF,所以四边形DEFG为平行四边形.又因为PC⊥AB,所以DE⊥DG,所以四边形DEFG为矩形.(3)解:存在点Q满足条件,理由如下:连接DF,EG,设Q为EG的中点.由(2)知,DF∩EG=Q,且QD=QE=QF=QG=EG.分别取PC,AB的中点M,N,连接ME,EN,NG,MG,MN.与(2)同理,可证四边形MENG为矩形,其对角线交点为EG的中点Q,且QM=QN=EG,所以Q为满足条件的点.12.如图,四棱锥S ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:AC⊥SD;(2)若SD⊥平面PAC,求二面角P AC D的大小;(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.【答案】（1）见解析（2）30°（3）存在，2∶1【解析】(1)证明:连接BD,设AC交BD于O,由题意知SO⊥AC.在正方形ABCD中,AC⊥BD,所以AC⊥平面SBD,得AC⊥SD.解:(2)设正方形边长为a,则SD=a,又OD=a,所以∠SDO=60°,连接OP,由(1)知AC⊥平面SBD,所以AC⊥OP,且AC⊥OD,所以∠POD是二面角P AC D的平面角.由SD⊥平面PAC,知SD⊥OP,所以∠POD=30°,即二面角P AC D的大小为30°.(3)在棱SC上存在一点E,使BE∥平面PAC.由(2)可得PD=a,故可在SP上取一点N,使PN=PD.过N作PC的平行线与SC的交点即为E.连接BN,在△BDN中,知BN∥PO.又由于NE∥PC,故平面BEN∥平面PAC,得BE∥平面PAC.由于SN∶NP=2∶1,故SE∶EC=2∶1.13.如图五面体中,四边形ABCD是矩形,DA⊥平面ABEF,AB∥EF,AB=EF=2,AF=BE=2,P、Q、M分别为AE、BD、EF的中点.(1)求证:PQ∥平面BCE;(2)求证:AM⊥平面ADF.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:(1)法一连接AC,∵四边形ABCD是矩形,∴AC与BD交于点Q.在△ACE中,Q为AC中点,P为AE中点,∴PQ∥CE.又PQ⊄平面BCE,CE⊂平面BCE,∴PQ∥平面BCE.法二取AB的中点G,连接PG,QG,如图所示,∵Q、G分别为BD、BA的中点,∴QG∥AD.又∵AD∥BC,∴QG∥BC,∵QG⊄平面BCE,BC⊂平面BCE,∴QG∥平面BCE.同理可证,PG∥平面BCE.又PG∩QG=G,∴平面PQG∥平面BCE,∴PQ∥平面BCE.(2)∵M为EF中点,∴EM=MF=EF=AB=2,又AB∥EF,∴四边形ABEM是平行四边形,∴AM=BE=2.在△AFM中,AF=AM=2,MF=2,∴AM⊥AF.又DA⊥平面ABEF,AM⊂平面ABEF,∴DA⊥AM.∵DA∩AF=A,∴AM⊥平面ADF.14.如图所示,四棱锥E ABCD中,EA=EB,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD.(1)求证:AB⊥ED;(2)线段EA上是否存在点F,使DF∥平面BCE?若存在,求出;若不存在,说明理由.【答案】（1）见解析（2）存在，【解析】(1)证明:取AB中点O,连接EO,DO,∵EA=EB,∴EO⊥AB,∵AB∥CD,AB=2CD,∴BO CD.又因为AB⊥BC,所以四边形OBCD为矩形,所以AB⊥DO.因为EO∩DO=O,所以AB⊥平面EOD.所以AB⊥ED.(2)解:存在满足条件的点F,=,即F为EA中点时,有DF∥平面BCE.证明如下:取EB中点G,连接CG,FG.因为F为EA中点,所以FG AB,因为AB∥CD,CD=AB,所以FG∥CD.所以四边形CDFG是平行四边形,所以DF∥CG.因为DF⊄平面BCE,CG⊂平面BCE,所以DF∥平面BCE.15.一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中M,N分别是AB,AC的中点,G是DF上的一动点.(1)求该多面体的体积与表面积;(2)求证:GN⊥AC;(3)当FG=GD时,在棱AD上确定一点P,使得GP∥平面FMC,并给出证明.【答案】（1）(3+)a2（2）见解析（3）见解析【解析】解:(1)由题中图可知该多面体为直三棱柱,在△ADF中,AD⊥DF,DF=AD=DC=a,所以该多面体的体积为a3,表面积为a2×2+a2+a2+a2=(3+)a2.(2)连接DB,FN,由四边形ABCD为正方形,且N为AC的中点知B,N,D三点共线,且AC⊥DN.又∵FD⊥AD,FD⊥CD,AD∩CD=D,∴FD⊥平面ABCD.∵AC⊂平面ABCD,∴FD⊥AC.又DN∩FD=D,∴AC ⊥平面FDN,又GN ⊂平面FDN,∴GN ⊥AC.(3)点P 与点A 重合时,GP ∥平面FMC.取FC 的中点H,连接GH,GA,MH.∵G 是DF 的中点,∴GHCD. 又M 是AB 的中点,∴AM CD.∴GH ∥AM 且GH=AM, ∴四边形GHMA 是平行四边形. ∴GA ∥MH. ∵MH ⊂平面FMC,GA ⊄平面FMC, ∴GA ∥平面FMC,即当点P 与点A 重合时,GP ∥平面FMC.16.如图所示,四边形ABCD 中,AB ⊥AD,AD ∥BC,AD=6,BC=4,AB=2,点E 、F 分别在BC 、AD 上,EF ∥AB.现将四边形ABEF 沿EF 折起,使平面ABEF ⊥平面EFDC,设AD 中点为P.(1)当E 为BC 中点时,求证:CP ∥平面ABEF;(2)设BE=x,问当x 为何值时,三棱锥A CDF 的体积有最大值?并求出这个最大值.【答案】（1）见解析 （2）当x=3时,有最大值,最大值为3 【解析】(1)证明:取AF 的中点Q,连接QE 、QP,则QP DF, 又DF=4,EC=2,且DF ∥EC,所以QP EC,即四边形PQEC 为平行四边形,所以CP ∥EQ,又EQ ⊂平面ABEF,CP ⊄平面ABEF,故CP ∥平面ABEF.(2)解:因为平面ABEF ⊥平面EFDC,平面ABEF∩平面EFDC=EF,又AF ⊥EF,所以AF ⊥平面EFDC.由已知BE=x,所以AF=x(0<x≤4),FD=6-x.故=··2·(6-x)·x=(6x-x 2)=[-(x-3)2+9]=-(x-3)2+3,∴当x=3时,有最大值,最大值为3.17.如图所示,已知三棱柱ABC A 1B 1C 1,(1)若M 、N 分别是AB,A 1C 的中点,求证:MN ∥平面BCC 1B 1;(2)若三棱柱ABC A 1B 1C 1的各棱长均为2,∠B 1BA=∠B 1BC=60°,P 为线段B 1B 上的动点,当PA+PC 最小时,求证:B 1B ⊥平面APC.【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】证明:(1)连接AC 1,BC 1,则AN=NC 1,因为AM=MB,所以MN ∥BC 1.又BC 1⊂平面BCC 1B 1,MN ⊄平面BCC 1B 1,所以MN ∥平面BCC 1B 1.(2)将平面A 1B 1BA 展开到与平面C 1B 1BC 共面,A 到A′的位置,此时A′BCB 1为菱形,可知PA+PC=PA′+PC,A′C 即为PA+PC 的最小值,此时BB 1⊥A′C, ∴BB 1⊥PA′,BB 1⊥PC,即BB 1⊥PA,BB 1⊥PC, ∴BB 1⊥平面PAC.18.如图所示,四棱锥P ABCD 的底面为正方形,侧棱PA ⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H 分别是线段PA,PD,AB 的中点.(1)求证:PB ∥平面EFH;(2)求证:PD ⊥平面AHF.【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】证明:(1)∵E 、H 分别是PA 、AB 的中点,∴EH ∥PB.又EH ⊂平面EFH,PB ⊄平面EFH,∴PB ∥平面EFH.(2)∵PA ⊥平面ABCD, ∴PA ⊥AB.又∵AB ⊥AD,PA∩AD=A,∴AB ⊥底面PAD.又∵PD ⊂平面PAD,∴AB ⊥PD.Rt △PAD 中,PA=AD=2,F 为PD 的中点, ∴AF ⊥PD.又∵AF∩AB=A,AF ⊂平面AHF,AB ⊂平面AHF,∴PD ⊥平面AHF.19.如图所示,在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD 中,AD ∥BC,PD ⊥平面ABCD,AD=1,AB=,BC=4.(1)求证:BD ⊥PC;(2)求直线AB 与平面PDC 所成的角;(3)设点E在棱PC上,=λ,若DE∥平面PAB,求λ的值.【答案】（1）见解析（2）60°（3）【解析】(1)证明:由题意知,AB⊥AD,AD=1,AB=,∴BD=2,BC=4,∴DC=2,则BC2=DB2+DC2,∴BD⊥DC,∵PD⊥平面ABCD,∴BD⊥PD,而PD∩CD=D,∴BD⊥平面PDC.∵PC在平面PDC内,∴BD⊥PC.解:(2)如图所示,过D作DF∥AB交BC于F,过点F作FG⊥CD交CD于G.∵PD⊥平面ABCD,∴平面PDC⊥平面ABCD,∴FG⊥平面PDC,∴∠FDG为直线AB与平面PDC所成的角.在Rt△DFC中,∠DFC=90°,DF=,CF=3,∴tan∠FDG=,∴∠FDG=60°.∴直线AB与平面PDC所成角为60°.(3)连接EF,∵DF∥AB,∴DF∥平面PAB.∵DE∥平面PAB,∴平面DEF∥平面PAB,∴EF∥AB,如图所示,∵AD=1,BC=4,BF=1,∴==,∴=,即λ=.。
全国高三高中数学专题试卷带答案解析
全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知命题“如果x⊥y，y∥z，则x⊥z”是假命题，那么字母x，y，z在空间所表示的几何图形可能是() A．全是直线B．全是平面C．x，z是直线，y是平面D．x，y是平面，z是直线2.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l3.已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行4.设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β5.已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的有()A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n6.将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图(2))，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直二、填空题1.已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的________条件．2.如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．3.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M ∈AB 1，N ∈BC 1，且AM ＝BN ≠，有以下四个结论：①AA 1⊥MN ；②A 1C 1∥MN ；③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1；④MN 与A 1C 1是异面直线．其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题1.已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD ＝2EC .(1)求证：BE ∥平面PDA ；(2)若N 为线段PB 的中点，求证：NE ⊥平面PDB .2.如图，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ；(2)BC ⊥SA .3.如图，点C 是以AB 为直径的圆上的一点，直角梯形BCDE 所在平面与圆O 所在平面垂直，且DE ∥BC ，DC ⊥BC ，DE ＝BC .(1)证明：EO ∥平面ACD ；(2)证明：平面ACD ⊥平面BCDE .全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、选择题1.已知命题“如果x ⊥y ，y ∥z ，则x ⊥z ”是假命题，那么字母x ，y ，z 在空间所表示的几何图形可能是( )A ．全是直线B ．全是平面C ．x ，z 是直线，y 是平面D ．x ，y 是平面，z 是直线【答案】D【解析】当x 、y 、z 是A 、B 、C 中的几何图形时，命题“如果x ⊥y ，y ∥z ，则x ⊥z ”是真命题，故选D.2.已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( )A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l【答案】D【解析】根据所给的已知条件作图，如图所示．由图可知α与β相交，且交线平行于l，故选D3.已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行【答案】C【解析】若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b异面矛盾．故选C.4.设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β【答案】C【解析】选项A中也可以l∥β，选项B中也可以l∥β，选项D中也可以l⊂β，l∥β或l与β斜交．5.已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的有()A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n【答案】D【解析】若m∥α，n∥α，m，n可以平行，可以相交，也可以异面，故①不正确；若α⊥γ，β⊥γ，α，β可以相交，故②不正确；若m∥α，m∥β，α，β可以相交，故③不正确；若m⊥α，n⊥α，则m∥n，④正确．故选D.6.将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图(2))，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直【答案】C【解析】在题图(1)中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则AD⊥BC，翻折后如题图(2)，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD、CD，这两条线段与AD垂直，即AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD＝D，故AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.故选C.二、填空题1.已知E ，F ，G ，H 是空间四点，命题甲：E ，F ，G ，H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的________条件．【答案】充分不必要【解析】E ，F ，G ，H 四点不共面时，EF ，GH 一定不相交，否则，由于两条相交直线共面，则E ，F ，G ，H 四点共面，与已知矛盾，故甲可以推出乙；反之，EF ，GH 不相交，含有EF ，GH 平行和异面两种情况，当EF ，GH 平行时，E ，F ，G ，H 四点共面，故乙不能推出甲．即甲是乙的充分不必要条件．2.如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上(异于点A ，B )，直线PA 垂直于圆O 所在的平面，点M 为线段PB 的中点．有以下四个命题：①PA ∥平面MOB ；②MO ∥平面PAC ；③OC ⊥平面PAC ；④平面PAC ⊥平面PBC .其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．【答案】②④【解析】①错误，PA ⊂平面MOB ；②正确；③错误，否则，有OC ⊥AC ，这与BC ⊥AC 矛盾；④正确，因为BC ⊥平面PAC .3.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M ∈AB 1，N ∈BC 1，且AM ＝BN ≠，有以下四个结论：①AA 1⊥MN ；②A 1C 1∥MN ；③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1；④MN 与A 1C 1是异面直线．其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确命题的序号都填上)【答案】①③【解析】过N 作NP ⊥BB 1于点P ，连接MP ，可证AA 1⊥平面MNP ，得AA 1⊥MN ，①正确；过M ，N 分别作MR ⊥A 1B 1，NS ⊥B 1C 1于点R ，S ，则当M 不是AB 1的中点，N 不是BC 1的中点时，直线A 1C 1与直线RS 相交；当M ，N 分别是AB 1，BC 1的中点时，A 1C 1∥RS ，所以A 1C 1与MN 可以异面，也可以平行，故②④错误；由①正确知，AA 1⊥平面MNP ，而AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以平面MNP ∥平面A 1B 1C 1D 1，故③正确．三、解答题1.已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD ＝2EC .(1)求证：BE ∥平面PDA ；(2)若N 为线段PB 的中点，求证：NE ⊥平面PDB .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)∵EC ∥PD ，PD ⊂平面PDA ，EC ⊄平面PDA ，∴EC ∥平面PDA ，同理可得BC ∥平面PDA .∵EC ⊂平面EBC ，BC ⊂平面BEC 且EC ∩BC ＝C ， ∴平面BEC ∥平面PDA .又∵BE ⊂平面BEC ，∴BE ∥平面PDA .(2)连接AC ，交BD 于点F ，连接NF ，∵F 为BD 的中点，∴NF∥PD且NF＝PD，又EC∥PD且EC＝PD，∴NF∥EC且NF＝EC.∴四边形NFCE为平行四边形，∴NE∥FC，∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD，又DB⊥AC，PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PDB，∴NE⊥平面PDB.2.如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF⊂平面SAB，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.3.如图，点C是以AB为直径的圆上的一点，直角梯形BCDE所在平面与圆O所在平面垂直，且DE∥BC，DC⊥BC，DE＝BC.(1)证明：EO∥平面ACD；(2)证明：平面ACD⊥平面BCDE.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)如图，取BC的中点M，连结OM、ME.在△ABC中，O为AB的中点，M为BC的中点，∴OM∥AC，在直角梯形BCDE中，DE∥BC，且DE＝BC＝CM，∴四边形MCDE为平行四边形，∴EM∥DC，∴面EMO∥面ACD，又∵EO⊂面EMO，∴EO∥面ACD.(2)∵C在以AB为直径的圆上，∴AC⊥BC，又∵面BCDE⊥面ABC，面BCDE∩面ABC＝BC，∴AC⊥面BCDE，又∵AC⊂面ACD，∴面ACD⊥面BCDE.。
高中数学-平面向量专题
第一部分：平面对量的概念及线性运算一.基础学问 自主学习1．向量的有关概念名称定义备注向量 既有 又有 的量；向量的大小叫做向量的 (或称 )平面对量是自由向量零向量 长度为 的向量；其方向是随意的 记作0单位向量 长度等于 的 向量非零向量a 的单位向量为±a|a |平行向量 方向 或 的非零向量0与任一向量 或共线 共线向量 的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度 且方向 的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度 且方向 的向量 0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法 求两个向量和的运算(1)交换律： a ＋b ＝b ＋a . (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．减法 求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差法则 a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝|λ||a |.(2)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向 ；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向 ；当λ＝0时，λa ＝0.λ(μa )＝λμa ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb .3.共线向量定理 向量a (a ≠0)与b 共线的 条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .二.难点正本 疑点清源1．向量的两要素向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区分向量平行包括向量共线(或重合)的状况，而直线平行不包括共线的状况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必需说明这两条直线不重合．三．基础自测1．化简OP →－QP →＋MS →－MQ →的结果等于________．2．下列命题：①平行向量肯定相等；②不相等的向量肯定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量； ④相等向量肯定共线．其中不正确命题的序号是_______．3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满意BD →＝2DC →，则AD →＝________(用b 、c 表示)．4．如图，向量a －b 等于( ) A ．－4e 1－2e 2 B ．－2e 1－4e 2 C ．e 1－3e 2 D ．3e 1－e 25．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则肯定共线的三点是 ( ) A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D四．题型分类 深度剖析题型一 平面对量的有关概念 例1 给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中正确的序号是________．变式训练1 推断下列命题是否正确，不正确的请说明理由．(1)若向量a 与b 同向，且|a |＝|b |，则a>b ；(2)若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a |＝|b |，且a 与b 方向相同，则a ＝b ；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与随意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反；(6)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等题型二 平面对量的线性运算例2 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作▱OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.变式训练2 △ABC 中，AD →＝23AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N .设AB →＝a ，AC →＝b ，用a 、b表示向量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →.题型三 平面对量的共线问题例3 设e 1，e 2是两个不共线向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2.(1)求证：A 、B 、D 三点共线；(2)若BF →＝3e 1－ke 2，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值．变式训练3 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．五．思想与方法5．用方程思想解决平面对量的线性运算问题试题：如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b表示向量OM →.六．思想方法 感悟提高方法与技巧1．将向量用其它向量(特殊是基向量)线性表示，是非常重要的技能，也是向量坐标形式的基础．2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题．如AB →∥CD →且AB 与CD 不共线，则AB ∥CD ；若AB →∥BC →，则A 、B 、C 三点共线． 失误与防范1．解决向量的概念问题要留意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满意条件．要特殊留意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的依次，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．七．课后练习1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，肯定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③λa ＝0 (λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．若A 、B 、C 、D 是平面内随意四点，给出下列式子：AB ＋CD →＝BC ＋DA →；②AC ＋BD →=AD BC +；③AC －BD →＝DC →+AB .其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3. 已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满意CB AC +2=0，则OC 等于( )A.OA 2－OB →B.OA -＋2OB →C.OA 32－13OB →D.OA 31-＋23OB →4.如图所示，在△ABC 中，BD ＝12DC →，AE →＝3ED →，若AB ＝a ，AC ＝b ，则BE →等于( )A.13a ＋13b B ．－12a ＋14b C.12a ＋14b D ．－13a ＋13b 5. 在四边形ABCD 中，AB ＝a ＋2b,BC ＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形态是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对 6. AB ＝8，AC ＝5，则BC 的取值范围是__________． 7．给出下列命题：①向量AB 的长度与向量BA →的长度与向量BA →的长度相等； ②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，肯定是共线向量；⑤向量AB 与向量CD →与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上． 其中不正确的个数为____________．8.如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点.过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N.若AB ＝mAM →，AC ＝nAN →，则m ＋n 的值为________．9．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －2a)共线，则λ＝________.10.在正六边形ABCDEF 中，AB ＝a ，AF →＝b ，求AD AC ,，AE →.11.如图所示，△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM的值．12.已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点.（1）求GA ＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G,且AO ＝a, OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n＝3.其次部分：平面对量的基本定理及坐标表示一．基础学问 自主学习1．两个向量的夹角定义范围已知两个 向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角(如图)向量夹角θ的范围是 ,当θ＝ 时,两向量共线，当θ＝ 时，两向量垂直，记作a ⊥b .2.平面对量基本定理及坐标表示(1)平面对量基本定理假如e 1，e 2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的随意向量a ， 一对实数λ1，λ2，使a ＝ .其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内全部向量的一组 ． (2)平面对量的正交分解及坐标表示把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解． (3)平面对量的坐标表示①在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面对量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使a ＝xi ＋yj ，这样，平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，把有序数对 叫做向量a 的坐标，记作a ＝ ，其中 叫做a 在x 轴上的坐标， 叫做a 在y 轴上的坐标．②设OA →＝xi ＋yj ，则向量OA →的坐标(x ，y )就是 的坐标，即若OA →＝(x ，y )，则A 点坐标为 ，反之亦成立．(O 是坐标原点) 3．平面对量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝ ，a －b ＝ ， λa ＝ ，|a |＝ . (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝ ，|AB →|＝ . 4．平面对量共线的坐标表示：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔ .二．难点正本 疑点清源1．基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内随意向量a 都可被这个平面的一组基底e 1，e 2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的． 2．向量坐标与点的坐标的区分在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y )，但应留意其表示形式的区分，如点A (x ，y )，向量a ＝OA →＝(x ，y )．当平面对量OA →平行移动到O 1A 1→时，向量不变即O 1A 1→＝OA →＝(x ，y ),但O 1A 1→的起点O 1和终点A 1的坐标都发生了改变．三．基础自测1．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若ka ＋b 与b 平行，则k ＝________.3．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d ＝____________.4．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为 ( )A.⎝⎛⎭⎫2，72B.⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3,2) D ．(1,3)5．已知平面对量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )A ．平行于y 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于x 轴D ．平行于其次、四象限的角平分线四．题型分类 深度剖析题型一 平面对量基本定理的应用例1 如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →.变式训练1 如图，P 是△ABC 内一点，且满意条件AP →＋2BP →＋3CP →＝0，设Q 为CP 的延长线与AB 的交点，令CP →＝p ，试用p 表示CQ →.题型二 向量坐标的基本运算例2 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满意a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(3)求M 、N 的坐标及向量MN →的坐标．变式训练2 (1)已知点A 、B 、C 的坐标分别为A (2，－4)、B (0，6)、C (－8,10)，求向量AB →＋2BC →－12AC →的坐标；(2)已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，求：①3a ＋4b ；②a －3b ；③12a －14b .题型三 平行向量的坐标运算例3 平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，请解答下列问题：(1)求满意a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ；(2)若(a ＋kc )∥(2b －a )，求实数k ； (3)若d 满意(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d .变式训练3 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)求|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，ka －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？五．易错警示8．忽视平行四边形的多样性致误试题：已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，求第四个顶点的坐标．六．思想方法 感悟提高方法与技巧1．平面对量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．2．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的很多相关问题． 3．在向量的运算中要留意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用． 失误与防范1．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.同时，a ∥b 的充要条件也不能错记为x 1x 2－y 1y 2＝0，x 1y 1－x 2y 2＝0等．七．课后练习1．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(1＋m,1－m )，若a ∥b ，则实数m 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－22．已知平面对量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－6) C ．(－4，－8) D ．(－5，－10)3.设向量a ＝(3，3)，b 为单位向量，且a ∥b ，则b 等于( )A.⎝⎛⎭⎫32，－12或⎝⎛⎭⎫－32，12B.⎝⎛⎭⎫32，12C.⎝⎛⎭⎫－32，－12D.⎝⎛⎭⎫32，12或⎝⎛⎭⎫－32，－124.已知向量a ＝(1，－m )，b ＝(m 2，m )，则向量a ＋b 所在的直线可能为( ) A ．x 轴 B ．第一、三象限的角平分线 C ．y 轴 D ．其次、四象限的角平分线5．已知A(7,1)、B(1,4),直线ax y 21=与线段AB 交于C ,且=AC 2CB →，则实数a 等于( )A ．2B ．1C.45D.536．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b ) (ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值等于________．7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．8．若向量a )43,3(2--+=x x x 与AB 相等，其中A (1,2)，B (3，2)，则x ＝________.9．若平面对量a ，b 满意|a ＋b|＝1，a ＋b 平行于y 轴，a ＝(2，－1)，则b ＝______________. 10． a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，ka ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？11．三角形的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量m ＝(3c －b ，a －b )，n ＝(3a ＋3b ，c )，m ∥n.(1)求cos A 的值；(2)求sin(A ＋30°)的值．12．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知向量m ＝(a ，b )，向量n ＝(cos A ，cos B )，向量p ＝⎝⎛⎭⎫22sin B ＋C2，2sin A ，若m ∥n ，p 2＝9，求证：△ABC 为等边三角形．第三部分：平面对量的数量积一．基础学问 自主学习1．平面对量的数量积已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量_______叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作________________. 规定：零向量与任一向量的数量积为____.两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是 ，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是 .2．平面对量数量积的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影_________的乘积．3．平面对量数量积的重要性质 (1)e ·a ＝a ·e ＝ ；(2)非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔ ； (3)当a 与b 同向时，a ·b ＝ ；当a 与b 反向时，a ·b ＝ ，a ·a ＝a 2，|a|＝a·a ； (4)cos θ＝a·b |a||b|；(5)|a ·b|____|a ||b |.4．平面对量数量积满意的运算律 (1)a·b ＝ (交换律)；(2)(λa )·b ＝ ＝ (λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝ .5．平面对量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝ ，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝ 或|a |＝ .(2)设A （x 1,y 1）,B (x 2,y 2),则A 、B 两点间的距离|AB |=AB ＝ . (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔ .二．难点正本 疑点清源1．向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，肯定要留意两向量夹角的范围． 2．数量积的运算只适合交换律、加乘安排律及数乘结合律，但不满意向量间的结合律，即(a ·b)c 不肯定等于a(b ·c)．这是由于(a ·b)c 表示一个与c 共线的向量，而a(b ·c)表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不肯定共线．三．基础自测1．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a 和向量b 的数量积a·b ＝________.2.在△ABC 中，AB =3，AC =2，BC 10则AC AB ·＝______.3．已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为______．4．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是 ( ) A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．25．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(1,2)，向量c 满意(c ＋b)⊥a ，(c －a)∥b ，则c 等于 ( ) A ．(2,1) B ．(1,0) C.⎝⎛⎭⎫32，12 D ．(0，－1)四．题型分类 深度剖析题型一 求两向量的数量积例1 (1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，求BC AB ·； (2)若a ＝(3，－4)，b ＝(2,1)，试求(a －2b)·(2a ＋3b)．变式训练1 (1)若向量a 的方向是正南方向，向量b 的方向是正东方向，且|a|＝|b|＝1，则(－3a)·(a ＋b)＝______.(2)如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ＝ 3 BD →，|AD |＝1，则AD AC ·等于( ) A ．2 3 B.32 C.33D.3题型二 求向量的模例2 已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)|a ＋b|；(2)|3a －4b|；(3)(a －2b)·(a ＋b)．变式训练2 设向量a ，b 满意|a －b |＝2，|a|＝2，且a －b 与a 的夹角为π3，则|b|＝________.题型三 利用向量的数量积解决夹角问题例3 已知a 与b 是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a －b|，求a 与a ＋b 的夹角．变式训练3 设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．题型四 平面对量的垂直问题例4 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)(0<α<β<π)． (1)求证：a ＋b 与a －b 相互垂直；(2)若k a ＋b 与a －k b 的模相等，求β－α.(其中k 为非零实数)变式训练4 已知平面内A 、B 、C 三点在同一条直线上，OA ＝(－2，m )，OB →＝(n,1)，OC ＝(5，－1)，且OA →⊥OB →，求实数m ，n 的值．五．答题规范5．思维要严谨，解答要规范试题：设两向量e 1、e 2满意|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．六．思想方法 感悟提高方法与技巧1． 向量的数量积的运算法则不具备结合律，但运算律和实数运算律类似．如(a ＋b)2＝a 2＋2a·b ＋b 2；(λa ＋μb)·(s a ＋t b)＝λs a 2＋(λt ＋μs )a·b ＋μt b 2(λ，μ，s ，t ∈R)．2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法技巧．失误与防范1．(1)0与实数0的区分：0a ＝0≠0，a ＋(－a)＝0≠0，a·0＝0≠0；(2)0的方向是随意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系．2．a·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a·b ＝0时，有可能a ⊥b.3．一般地，(a·b)c≠(b·c)a 即乘法的结合律不成立．因a·b 是一个数量，所以(a·b)c 表示一个与c 共线的向量，同理右边(b·c)a 表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不肯定共线，故一般状况下(a·b)c≠(b·c)a.4．a·b ＝a·c(a≠0)不能推出b ＝c .即消去律不成立．5．向量夹角的概念要领悟，比如正三角形ABC 中，〈,AB BC 〉应为120°，而不是60°.七．课后练习1.设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a·b ＝22C ．a ∥bD ．a －b 与b 垂直2.若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满意条件(8a －b)·c ＝30，则x 等于( )A ．6B ．5C ．4D ．33.已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与a ＋2b 的夹角等于( )A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°4.平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则⋅AD BD 等于( )A ．6B ．8C ．－8D ．－65.若e 1、e 2是夹角为π3的单位向量，且向量a ＝2e 1＋e 2，向量b ＝－3e 1＋2e 2，则a·b 等于( ) A ．1 B ．－4 C ．－72 D.726．若向量a ，b 满意|a |＝1，|b |＝2且a 与b 的夹角为π3，则|a ＋b |＝________. 7．已知向量a ，b 满意|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a·b ＝________，若(a －mb )⊥a ，则实数m ＝________.8．设a 、b 、c 是单位向量，且a ＋b ＝c ，则a·c 的值为________．9.（O 是平面α上一点，A 、B 、C 是平面α上不共线的三点.平面α内的动点P 满意),(AC AB OA OP ++=λ若λ＝12时，()⋅+PA PB PC 的值为______． 10．不共线向量a ，b 的夹角为小于120°的角，且|a |＝1，|b |＝2，已知向量c ＝a ＋2b ，求|c |的取值范围．11．已知平面对量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R.(1)若a ⊥b ，求x 的值；(2)若a ∥b ，求|a －b |.12．向量a ＝(cos 23°，cos 67°)，向量b ＝(cos 68°，cos 22°)．(1)求a·b ；(2)若向量b 与向量m 共线，u ＝a ＋m ，求u 的模的最小值．第四部分：平面对量应用举例一．基础学问 自主学习1．向量在平面几何中的应用平面对量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相像、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相像问题，常用共线向量定理：a ∥b ⇔ ⇔ .(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a ⊥b ⇔ ⇔ .(3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝a ·b |a ||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22(θ为a 与b 的夹角)．2．平面对量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是 ，它们的分解与合成与向量的 相像，可以用向量的学问来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力F 与位移s 的数量积．即W ＝F ·s ＝|F ||s|cos θ (θ为F 与s 的夹角)．3．平面对量与其他数学学问的交汇平面对量作为一种运算工具，常常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等学问结合，当平面对量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面对量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．二．难点正本 疑点清源1．向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物．在利用向量解决问题时，要留意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．2．要留意变换思维方式，能从不同角度看问题，要擅长应用向量的有关性质解题．三．基础自测1．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)．则D 点的坐标为________．2．已知平面对量α、β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．3．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB ⊥BC ，则动点C 的轨迹方程为_______________．4．已知A 、B 是以C 为圆心，半径为5的圆上两点，且|AB |＝5，CB AC ·等于 ( ) A ．－52 B.52 C ．0 D.5325．某人先位移向量a ：“向东走3 km”，接着再位移向量b ：“向北走3 km”，则a ＋b 表示 ( )A ．向东南走3 2 kmB ．向东北走3 2 kmC ．向东南走3 3 kmD ．向东北走3 3 km四．题型分类 深度剖析题型一 向量在平面几何中的应用例1 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，D 为BC 的中点，E 是AB 上的一点，且AE ＝2EB .求证：AD ⊥CE .变式训练1 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线 的长；(2)设实数t 满意(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．题型二 平面对量在解析几何中的应用例2 已知点P （0，-3），点A 在x 轴上，点M 满意⋅PA AM =0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．变式训练2 已知圆C ：(x -3)2+(y -3)2=4及点A （1,1），M 是圆上的随意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA ＝2AN →，求点N 的轨迹方程．题型三 平面对量与三角函数例3 已知向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，sin x )，c ＝(－1,0)．(1)若x ＝π3，求向量a 与c 的夹角； (2)若x ∈⎣⎡⎦⎤－3π8，π4，求函数f (x )＝a·b 的最值； (3)函数f (x )的图象可以由函数y ＝22sin 2x (x ∈R)的图象经过怎样的变换得到？变式训练3 已知A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)．(1)若AC ·BC ＝－1，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值；(2) 若|OA +OC |＝13，且α∈(0，π)，求OB →与OC 的夹角．五．易错警示9．忽视对直角位置的探讨致误试题：已知平面上三点A 、B 、C ，向量BC ＝(2－k,3)，AC ＝(2,4)．(1) 若三点A 、B 、C 不能构成三角形，求实数k 应满意的条件；(2)若△ABC 为直角三角形，求k 的值．六．思想方法 感悟提高方法与技巧1． 向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合供应了前提，运用向量的有关学问可以解决某些函数问题．2． 以向量为载体，求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法．3． 有关线段的长度或相等，可以用向量的线性运算与向量的模．4．用向量方法解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，探讨几何元素之间的关系；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．5．向量的坐标表示，使向量成为解决解析几何问题的有力工具，在证明垂直、求夹角、写直线方程时显示出了它的优越性，在处理解析几何问题时，须要将向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则、性质列出方程，从而使问题解决．失误与防范1．向量关系与几何关系并不完全相同，要留意区分．例如：向量AB ∥CD →并不能说明AB ∥CD .2．加强平面对量的应用意识，自觉地用向量的思想和方法去思索问题．七．课后练习1．已知△ABC AC AB =,则肯定有( )A ．AB ⊥AC B ．AB =ACC ．(AB +AC )⊥(AB -AC )D ．AB +AC =AB -AC2．点P 在平面上做匀速直线运动，速度向量v ＝(4，－3)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位)．设起先时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后质点P 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－30,25)C ．(10，－5)D ．(5，－10)3.平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知(2)()0+-⋅-=DB DC DA AB AC ，则△ABC 的形态是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形4.如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ,AB =2,AC =3,BC =7,则⋅AO BC 等于( )A.32B.52C ．2D ．35．平面上O 、A 、B 三点不共线，设b a ==OB OA ,，则△OAB 的面积等于( ) A.|a |2|b |2－(a ·b )2 B.|a |2|b |2＋(a ·b )2 C.12|a |2|b |2－(a ·b )2 D.12|a |2|b |2＋(a ·b )2 6．已知|a|＝3，|b|＝2，〈a ，b 〉＝60°，则|2a ＋b|＝________.7．河水的流速为2 m/s ，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为________．8.已知△ABO 三顶点的坐标为A (1,0),B (0,2),O (0,0),P (x,y )是坐标平面内一点，且满意AP ·OA →≤0，BP →·OB →≥0，则OP →·AB 的最小值为________．9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若AB ·AC ＝1⋅=BA BC ，那么c ＝________. 10.如右图，在Rt △ABC 中，已知BC =a,若长为2a 的线段PQ 以点A 为中心，问PQ 与BC →的夹角θ取何值时BP →·CQ的值最大？并求出这个最大值．11．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)．(1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．12．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若BC BA AC AB ··=＝k (k ∈R)．(1)推断△ABC 的形态；(2)若c ＝2，求k 的值．。
全国高三高中数学专题试卷带答案解析
全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知两条直线a，b与两个平面α，β，b⊥α，则下列命题中正确的是()．①若a∥α，则a⊥b；②若a⊥b，则a∥α；③若b⊥β，则α∥β；④若α⊥β，则b∥β.A．①③B．②④C．①④D．②③2.已知α，β，γ是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，那么a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是()．A．①或②B．②或③C．①或③D．只有②3.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()．A．α⊥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β4.已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，给出下列四个命题：①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n.其中正确的个数有()．A．1B．2C．3D．45.如图所示，在四边形A-BCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是()．A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC二、填空题1.设α和β为两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．其中为真命题的是________(写出所有真命题的序号)．2.下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出直线AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．3.如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC 上一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC .在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足．设AK ＝t ，则t 的取值范围是________．三、解答题1.如图，正方形ABCD 和三角形ACE 所在的平面互相垂直，EF ∥BD ，AB ＝EF .(1)求证：BF ∥平面ACE ；(2)求证：BF ⊥BD .2.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，点O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是PD 的中点，AB ＝2，∠BAD ＝60°.(1)求证：OM ∥平面PAB ；(2)求证：平面PBD ⊥平面PAC ；(3)当四棱锥P-ABCD 的体积等于时，求PB 的长．3.如图，在四棱台ABCD-A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°.(1)证明：AA 1⊥BD ；(2)证明：CC 1∥平面A 1BD .全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、选择题1.已知两条直线a，b与两个平面α，β，b⊥α，则下列命题中正确的是()．①若a∥α，则a⊥b；②若a⊥b，则a∥α；③若b⊥β，则α∥β；④若α⊥β，则b∥β.A．①③B．②④C．①④D．②③【答案】A【解析】过直线a作平面γ使α∩γ＝c，则a∥c，再根据b⊥α可得b⊥c，从而b⊥a，命题①是真命题；下面考虑命题③，由b⊥α，b⊥β，可得α∥β，命题③为真命题．故正确选项为A.2.已知α，β，γ是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，那么a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是()．A．①或②B．②或③C．①或③D．只有②【答案】C【解析】由定理“一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行”可得，横线处可填入条件①或③，结合各选项知，选C.3.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()．A．α⊥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β【答案】B【解析】根据定理、性质、结论逐个判断．因为α⊥β，m⊂α⇒m，β的位置关系不确定，可能平行、相交、m在β面内，故A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确；若α⊥β，m∥α，则m，β的位置关系也不确定，故C错误；若m⊥n，n∥β，则m，β的位置关系也不确定，故D错误．4.已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，给出下列四个命题：①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n.其中正确的个数有()．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】①中m，n可能异面或相交，故不正确；②因为m∥α，n⊥β且α⊥β成立时，m，n两直线的关系可能是相交、平行、异面，故不正确；③因为m⊥α，α∥β可得出m⊥β，再由n∥β可得出m⊥n，故正确；④分别垂直于两个垂直平面的两条直线一定垂直，正确．故选B.5.如图所示，在四边形A-BCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是()．A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC【答案】D【解析】在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC.所以平面ABC⊥平面ADC.D选项正确．二、填空题1.设α和β为两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．其中为真命题的是________(写出所有真命题的序号)．【答案】①②【解析】由①知α内两条相交直线分别平行于平面β，则两条相交直线确定的平面α平行于平面β，故①为真命题；由线面平行的判定定理知，②为真命题；对于③，如图，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，但不一定有α⊥β，故③为假命题；对于④，直线l与平面α垂直的充分必要条件是l与α内的两条相交直线垂直，故④为假命题．综上所述，真命题的序号为①②.2.下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出直线AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．【答案】①③【解析】对于①，注意到该正方体的面中过直线AB的侧面与平面MNP平行，因此直线AB平行于平面MNP；对于②，注意到直线AB和过点A的一个与平面MNP平行的平面相交，因此直线AB与平面MNP相交；对于③，注意到此时直线AB与平面MNP内的一条直线MP平行，且直线AB位于平面MNP外，因此直线AB与平面MNP平行；对于④，易知此时AB与平面MNP相交．综上所述，能得出直线AB平行于平面MNP的图形的序号是①③.3.如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是________．【答案】【解析】如图，过D作DG⊥AF，垂足为G，连接GK，∵平面ABD⊥平面ABC，DK⊥AB，∴DK⊥平面ABC，∴DK⊥AF.又DG⊥AF，∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK.容易得到，当F运动到E点时，K为AB的中点，t＝AK＝＝1；当F运动到C点时，在Rt△ADF中，易得AF＝，且AG＝，GF＝，又易知Rt△AGK∽Rt△ABF，则，又AB＝2，AK＝t，则t＝.∴t的取值范围是.三、解答题1.如图，正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，EF∥BD，AB＝EF.(1)求证：BF∥平面ACE；(2)求证：BF⊥BD.【答案】见解析【解析】(1)设AC与BD交于O点，连接EO.在正方形ABCD中，BO＝AB，又因为AB＝EF，∴BO＝EF，又因为EF∥BD，∴四边形EFBO是平行四边形，∴BF∥EO，又∵BF⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，∴BF∥平面ACE.(2)在正方形ABCD中，AC⊥BD，又因为正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，BD⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面ACE＝AC，∴BD⊥平面ACE，∵EO⊂平面ACE，∴BD⊥EO，∵EO∥BF，∴BF⊥BD.2.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：OM∥平面PAB；(2)求证：平面PBD⊥平面PAC；(3)当四棱锥P-ABCD的体积等于时，求PB的长．【答案】【解析】(1)证明∵在△PBD中，O，M分别是BD，PD的中点，∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB.∵OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，∴OM∥平面PAB.(2)证明∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC.∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD.又AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC.∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.(3)解∵底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°，∴S＝2××AB×AD×sin 60°＝2×2×＝2.菱形ABCD∵四棱锥P-ABCD的高为PA，∴×2×PA＝，解得PA＝.又∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA ⊥AB .在Rt △PAB 中，PB ＝ ＝＝.3.如图，在四棱台ABCD-A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°.(1)证明：AA 1⊥BD ；(2)证明：CC 1∥平面A 1BD .【答案】见解析【解析】(1)法一因为D 1D ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，所以D 1D ⊥BD .在△ABD 中，由余弦定理，得BD 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB cos ∠BAD .又因为AB ＝2AD ，∠BAD ＝60°，所以BD 2＝3AD 2.所以AD 2＋BD 2＝AB 2，因此AD ⊥BD .又AD ∩D 1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD 1A 1.又AA 1⊂平面ADD 1A 1，所以AA 1⊥BD .法二因为DD 1⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥D 1D .如图1，取AB 的中点G ，连接DG .图1在△ABD 中，由AB ＝2AD ，得AG ＝AD .又∠BAD ＝60°，所以△ADG 为等边三角形，所以GD ＝GB ，故∠DBG ＝∠GDB .又∠AGD ＝60°，所以∠GDB ＝30°，所以∠ADB ＝∠ADG ＋∠GDB ＝60°＋30°＝90°，所以BD ⊥AD .又AD ∩D 1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD 1A 1.又AA 1⊂平面ADD 1A 1，所以AA 1⊥BD .(2)如图2，连接AC ，A 1C 1.设AC ∩BD 于点E ，图2连接EA 1.因为四边形ABCD 为平行四边形，所以EC ＝AC .由棱台的定义及AB ＝2AD ＝2A 1B 1知，A 1C 1∥EC 且A 1C 1＝EC ，所以四边形A 1ECC 1为平行四边形，因此CC 1∥EA 1.又因为EA 1⊂平面A 1BD ，CC 1⊄平面A 1BD ，所以CC 1∥平面A 1BD .。
高中数学11个小专题
高中数学11个小专题
以下是高中数学11个小专题的简要介绍：
1. 函数与导数：研究函数的性质、图像和导数的应用，包括单调性、极值、最值等问题。
2. 三角函数与解三角形：掌握三角函数的性质、图像和变换，以及解三角形的技巧和方法。
3. 数列与数学归纳法：研究数列的概念、性质和通项公式，以及数学归纳法的原理和应用。
4. 解析几何：通过坐标法研究平面解析几何的基本问题，包括直线、圆、圆锥曲线等。
5. 立体几何：研究空间图形的性质、关系和度量，培养空间想象能力和几何直觉。
6. 复数与三角函数：深入了解复数的概念、性质和运算，以及复数在三角函数中的应用。
7. 排列组合与概率统计：掌握计数原理、排列组合和概率的基本概念，以及统计方法的实际应用。
8. 二项式定理与组合数学：研究二项式定理的展开和应用，以及组合数学中的基本问题和公式。
9. 微积分初步：简要介绍微积分的基本概念，如极限、连续性、可导性和积分等。
10. 不等式与数列极限：研究不等式的性质和证明方法，以及数列极限的概念和性质。
11. 线性代数初步：介绍线性方程组、矩阵和向量的基本概念和性质。
这11个小专题基本上覆盖了高中数学的主要内容，旨在帮助学生建立完整的知识体系，提高数学思维和解决问题的能力。
全国高三高中数学专题试卷带答案解析
全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设两集合A ＝{x|y ＝ln(1－x)}，B ＝{y|y ＝x 2}，则用阴影部分表示A∩B 正确的是( )2.i 为虚数单位，则＝( ) A ．－i B ．－1 C ．i D ．13.设{a n }是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b|＝1，则|a ＋2b|的值为( )A ．B ．2C ．4D ．125.已知函数f(x)＝x 2－，则函数y ＝f(x)的大致图象为( )6.设函数f(x)和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A ．f(x)＋|g(x)|是偶函数B ．f(x)－|g(x)|是奇函数C ．|f(x)|＋g(x)是偶函数D ．|f(x)|－g(x)是奇函数7.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB 等于( )A ．B ．C ．－D ．－8.已知O 是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x ，y)为平面区域，上的一个动点，则·的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2]9.已知一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．π cm 3B ．3π cm 3C ．π cm 3D ．π cm 310.函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象如图所示．为了得到g(x)＝－Acos ωx(A ＞0，ω＞0)的图象，可以将f(x)的图象( )A ．向右平移个单位长度 B ．向右平移个单位长度 C ．向左平移个单位长度 D ．向左平移个单位长度11.设函数f(x)＝x －2msin x ＋(2m －1)sin xcos x(m 为实数)在(0，π)上为增函数，则m 的取值范围为( )A ．[0，]B ．(0，)C ．(0，]D ．[0，)二、填空题1.已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为________．2.已知各项不为零的等差数列{a n }的前n 项和为Sn ．若m ∈N *，且a m －1＋a m ＋1－a m 2＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________．3.已知f(x)＝aln x ＋x 2(a ＞0)，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2都有＞2恒成立，则a 的取值范围是________．4.在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足＝2，则·(＋)＝________．全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、选择题1.设两集合A ＝{x|y ＝ln(1－x)}，B ＝{y|y ＝x 2}，则用阴影部分表示A∩B 正确的是( )【答案】A【解析】A ＝{x|y ＝ln(1－x)}＝(－∞，1)，B ＝{y|y ＝x 2}＝[0，＋∞)，A∩B ＝[0,1)，故选A ．2.i 为虚数单位，则＝( ) A ．－i B ．－1 C ．i D ．1【答案】B【解析】＝i 2 014＝i 2＝－1．3.设{a n }是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，若a 1＜a 2＜a 3，则q ＞0，且a 1＜a 1q ＜a 1q 2，解得a 1＞0，q ＞1，或a 1＜0,0＜q ＜1，所以数列{a n }为递增数列；反之，若数列{a n }是递增数列，显然有a 1＜a 2＜a 3，所以a 1＜a 2＜a 3是数列{a n }是递增数列的充要条件．故选C ．4.平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b|＝1，则|a ＋2b|的值为( )A ．B ．2C ．4D ．12【答案】B【解析】由已知|a|＝2，|a ＋2b|2＝a 2＋4a·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4＝12，所以|a ＋2b|＝2．5.已知函数f(x)＝x 2－，则函数y ＝f(x)的大致图象为( )【答案】A【解析】依题意，①当x ＞0时，f′(x)＝2x －＝，记g(x)＝2x 3＋ln x －1，则函数g(x)在(0，＋∞)上是增函数，注意到g(e －2)＝2e －6－3＜0，g(1)＝1＞0，函数g(x)在(e －2,1)上必存在唯一零点x 0，e －2＜x 0＜1，g(x 0)＝0，当x ∈(0，x 0)时，f′(x)＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f′(x)＞0，即函数f(x)在(0，x 0)上是减函数，在(x 0，＋∞)上是增函数；②当x＜0时，f(x)＝x2－，f(－1)＝1＞0，结合各选项知，选A．6.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A．f(x)＋|g(x)|是偶函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．|f(x)|－g(x)是奇函数【答案】A【解析】由题意知f(x)与|g(x)|均为偶函数．A项，偶＋偶＝偶；B项，偶－偶＝偶，错；C项与D项分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇，均不恒成立．7.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB等于() A．B．C．－D．－【答案】D【解析】方法一：由得或令B(1，－2)，A(4,4)，又F(1,0)，∴由两点间距离公式得|BF|＝2，|AF|＝5，|AB|＝3．∴cos∠AFB＝＝＝－．方法二：由方法一得A(4,4)，B(1，－2)，F(1,0)，∴＝(3,4)，＝(0，－2)，∴||＝＝5，||＝2．∴cos∠AFB＝＝＝－．8.已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域，上的一个动点，则·的取值范围是()A．[－1,0]B．[0,1]C．[0,2]D．[－1,2]【答案】C【解析】·＝－x＋y，令z＝－x＋y，做出可行域，求线性规划问题．9.已知一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．π cm3B．3π cm3C．π cm3D．π cm3【答案】D【解析】由三视图可知，此几何体是一个底面半径为1 cm、高为3 cm的圆柱的上部去掉一个半径为1 cm的半球所形成的几何体，所其体积为V＝πr2h－πr3＝3π－π＝π(cm3)．10.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象如图所示．为了得到g(x)＝－Acos ωx(A＞0，ω＞0)的图象，可以将f(x)的图象()A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】B【解析】由图象知，f(x)＝sin，g(x)＝－cos 2x，代入B选项得sin＝sin＝－sin＝－cos 2x．11.设函数f(x)＝x－2msin x＋(2m－1)sin xcos x(m为实数)在(0，π)上为增函数，则m的取值范围为() A．[0，]B．(0，)C．(0，]D．[0，)【答案】A【解析】∵f(x)在区间(0，π)上是增函数，∴f′(x)＝1－2mcos x＋2(m－)cos 2x＝2[(2m－1)cos2x－mcos x＋1－m]＝2(cos x－1)[(2m－1)cos x＋(m－1)]＞0在(0，π)上恒成立，令cos x＝t，则－1＜t＜1，即不等式(t－1)[(2m－1)t＋(m－1)]＞0在(－1,1)上恒成立，①若m＞，则t＜在(－1,1)上恒成立，则只需≥1，即＜m≤，②当m＝时，则0·t＋－1＜0，在(－1,1)上显然成立；③若m＜，则t＞在(－1,1)上恒成立，则只需≤－1，即0≤m＜．综上所述，所求实数m的取值范围是[0，]．二、填空题1.已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为________．【答案】－【解析】将sin α－cos α＝两边平方，得2sin α·cos α＝，(sin α＋cos α)2＝，sin α＋cos α＝，＝＝－(sin α＋cos α)＝－．2.已知各项不为零的等差数列{a n }的前n 项和为Sn ．若m ∈N *，且a m －1＋a m ＋1－a m 2＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________．【答案】10【解析】a m －1＋a m ＋1＝2a m ，得2a m －a m 2＝0，又a m ≠0．所以a m ＝2，则S 2m －1＝＝(2m －1)a m ＝2(2m －1)＝38，所以m ＝10．3.已知f(x)＝aln x ＋x 2(a ＞0)，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2都有＞2恒成立，则a 的取值范围是________．【答案】[1，＋∞)【解析】由k ＝知f′(x)＝＋x≥2，x ∈(0，＋∞)恒成立． 即a≥x(2－x)恒成立，因为x(2－x)的最大值为1．所以a≥1．4.在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足＝2，则·(＋)＝________． 【答案】【解析】由＝2知，P 为△ABC 的重心， 所以＋＝2， 则·(＋)＝2·＝2||||cos 0°＝2×××1＝．。
最新高中数学专题
高中数学专题专题01 集合与简易逻辑一集合1．1 集合1．2 子集、全集、补集1．3 交集、并集二简易逻辑1．6 逻辑联结词1．7 四种命题1．8 充分条件与必要条件专题02 函数一函数2．1 函数2．2 函数的表示法2．3 函数的单调性2．4 反函数二指数与指数函数2．5 指数2．6 指数函数三对数与对数函数2．7 对数2．8 对数函数2．9 函数的应用举例专题03 数列第三章数列3．1 数列3．2 等差数列3．3 等差数列的前n项和3．4 等比数列3．5 等比数列的前n项和专题04 三角函数一任意角的三角函数4．1 角的概念的推广4．2 弧度制4．3 任意角的三角函数4．4 同角三角函数的基本关系式4．5 正弦、余弦的诱导公式二两角和与差的三角函数4．6 两角和与差的正弦、余弦、正切4．7 二倍角的正弦、余弦、正切三三角函数的图象和性质4．8 正弦函数、余弦函数的图象和性质4．9 函数y=Asin（ωx+φ）的图象4．10 正切函数的图象和性质4．11 已知三角函数值求角四解斜三角形5．9 正弦定理、余弦定理5．10 解斜三角形应用举例专题05 平面向量一向量及其运算5．1 向量5．2 向量的加法与减法5．3 实数与向量的积5．4 平面向量的坐标运算5．5 线段的定比分点5．6 平面向量的数量积及运算律5．7 平面向量数量积的坐标表示5．8 平移专题06 不等式1．4 含绝对值的不等式解法1．5 一元一次不等式解法6．1 不等式的性质6．2 算术平均数与几何平均数6．3 不等式的证明6．4 不等式的解法举例6．5 含有绝对值的不等式专题07 直线与圆的方程7．1 直线的倾斜角和斜率7．2 直线的方程7．3 两条直线的位置关系7．4 简单的线性规划7．5 曲线和方程7．6 圆的方程专题08 圆锥曲线8．1 椭圆及其标准方程8．2 椭圆的简单几何性质8．3 双曲线及其标准方程8．4 双曲线的简单几何性质8．5 抛物线及其标准方程8．6 抛物线的简单几何性质专题09 立体几何9．1 平面的基本性质9．2 空间的平行直线与异面直线9．3 直线和平面平行与平面和平面平行9．4 直线和平面垂直9．5 空间向量及其运算9．6 空间向量的坐标运算9．7 直线和平面所成的角与二面角9．8 距离9．9 棱柱与棱锥9．10 球专题10 排列、组合、二项式定理10．1 分类计数原理与分步计数原理10．2 排列10．3 组合10．4 二项式定理专题11 概率与统计（理科）11．1 随机事件的概率11．2 互斥事件有一个发生的概率11．3 相互独立事件同时发生的概率1．1 离散型随机变量的分布列1．2 离散型随机变量的期望与方差1．3 抽样方法1．4 总体分布的估计1．5 正态分布1．6 线性回归专题11 概率与统计（文科）11．1 随机事件的概率11．2 互斥事件有一个发生的概率11．3 相互独立事件同时发生的概率1．1 抽样方法1．2 总体分布的估计1．3 总体期望值和方差的估计专题12 复数、推理与证明2．1 数学归纳法及其应用举例2．2 数列的极限2．3 函数的极限2．4 极限的四则运算2．5 函数的连续性3．1 导数的概念3．2 几中常见函数的导数3．3 函数的和、差、积、商的导数3．4 复合函数的导数3．5 对数函数与指数函数的导数3．6 函数的单调性3．7 函数的极值3．8 函数的最大值与最小值4．1 复数的概念4．2 复数的运算4．3 数系的扩充专题12导数（文科）2．1 导数的背景2．2 导数的概念2．3 多项式函数的导数2．4 函数的单调性与极值2．5 函数的最大值与最小值2．6 微积分建立的时代背景和历史意义2015年普通高等学校招生全国统一考试英语第1卷第一部分，听力（共两节，满分30分）回答听力部分时，请先将答案标在试卷上，听力部分结束前，你将有两分钟的时间将你的答案转涂到客观答题卡上。
高中数学《数列》复习专题
1 n 1 练1.若an an 1 1 ( ) , a1 0, 求通项公式. 2 解：
专题2：求通项公式 1.累加型 an an1 f ( n) 2.累乘型 an an1 f ( n)
n 1个 an 1 q an 2 an q a
例3.数列 {an }满足an 3an1 1, a1 1, 求 {an }的通项公式 .
解： 设 为待定系数， an 3an 1 1
1 1 n 1 那么an =(a1 )3 2 2 an 3an1 1 1 1 n 1 即an = 3 1 2 2 an 3(an 1 ) n 1 3 3 +1 也即an = 1 1 2 则 令 ， 2 3 1 1 即an 3(an 1 ) 2 2 1 1 {an }是以a1 为首项， 2 2 3为公差的等比数列.
练1.an
1 4n 1
2
, 求S n .
1 1 练 2.an 2 , 证明Sn . 4n 4n 3 3
1 1 1 例2.求和： 2+ 3 3+ 4 4+ 5
1 99+ 100
1 1 1 练3.求和： + 1+ 3 2+ 4 3+ 5
1 n + n+2
2 an an1 an1
专题2：求通项公式 1.累加型 an an1 f ( n) 回顾：求等差数列的通 项公式：— —累加法
由递推公式 an an1 d (n 2)可知， a2 a1 d 当n 2时， a3 a2 d a4 a3 d n 1个 a n 1 a n 2 d a n a n 1 d
(完整版)高中数学三角函数复习专题
高中数学三角函数复习专题一、知识点整理 :1、角的看法的推行：正负，范围，象限角，坐标轴上的角；2、角的会集的表示：①终边为一射线的角的会集：x x2k, k Z=|k 360o, k Z②终边为向来线的角的会集：x x k, k Z；③两射线介定的地域上的角的会集：x 2k x2k, k Z④两直线介定的地域上的角的会集：x k x k, k Z；3、任意角的三角函数：（1）弧长公式： l a R R 为圆弧的半径，a为圆心角弧度数， l 为弧长。
（2）扇形的面积公式：S 1lR R 为圆弧的半径， l 为弧长。
2（3）三角函数定义：角中边上任意一点 P 为 ( x, y) ，设 | OP |r 则：sin y, cos x ,tan y r= a 2b2 r r x反过来，角的终边上到原点的距离为r 的点P的坐标可写为：P r cos, r sin 比如：公式 cos()cos cossin sin的证明（4）特别角的三角函数值α032 64322sin α012310-10222cosα13210-101222tan α0313不存不存0 3在在（5）三角函数符号规律：第一象限全正，二正三切四余弦。
（6）三角函数线：（判断正负、比较大小，解方程或不等式等）y T 如图，角的终边与单位圆交于点P，过点 P 作 x 轴的垂线，P 垂足为 M ，则Ao 过点 A(1,0)作 x 轴的切线，交角终边OP 于点 T，则M x。
（7）同角三角函数关系式：①倒数关系： tana cot a 1sin a ②商数关系： tan acosa③平方关系： sin 2 a cos2 a1（ 8)引诱公试sin cos tan三角函数值等于的同名三角函数值，前方-- sin+ cos- tan加上一个把看作锐角时，原三角函数值的- tan-+ sin- cos符号；即：函数名不变，符号看象限+- sin- cos+ tan2-- sin+ cos- tan2k++ sin+ cos+ tansin con tan2+ cos+ sin+ cot三角函数值等于的异名三角函数值，前方2+ cos- sin- cot加上一个把看作锐角时，原三角函数值的3- cos- sin+ cot2符号 ;3- cos+ sin- cot2即：函数名改变，符号看象限 : sin x cos x cos x比方444cos x sin x444.两角和与差的三角函数：（1）两角和与差公式：cos() cos a cos sin a sin sin( a) sin a coscosa sintan a(atan a tan注：公式的逆用也许变形)1 tan a tan．．．．．．．．．（2）二倍角公式：sin 2a 2sin acosa cos 2a cos2 a sin 2 a12 sin2 a 2 cos2 a 12 tan atan 2a1 tan2 a(3)几个派生公式：①辅助角公式：a sinx bcosx a2b2 sin(x)a22 cos()b x比方： sinα± cosα＝ 2 sin4＝ 2 cos4．sinα±3 cosα＝ 2sin3＝2cos3等．②降次公式： (sin cos) 21sin 2cos21cos2,sin 21cos222③ tan tan tan()(1 tan tan)5、三角函数的图像和性质：（此中 k z ）三角函数y sin x定义域（- ∞， +∞）值域[-1,1]最小正周期T2奇偶性奇[ 2k,2k]22单调性单调递加[ 2k,2k3 ]22单调递减x k对称性2(k ,0)零值点x ky cosx（- ∞， +∞）[-1,1]T 2偶[( 2k 1) ,2k ]单调递加[( 2k , (2k 1) ]单调递减x k(k,0)2x k2y tan xx k2（-∞，+∞）T奇(k,k)22单调递加k(,0)x kx k2x 2 k，最值点y max1ymax 1；无x k2x(2k 1) ，y min1y min1 6、 .函数y Asin( x) 的图像与性质：（本节知识观察一般能化成形如y Asin( x) 图像及性质）（ 1）函数 y Asin( x) 和 y Acos( x2 ) 的周期都是T（ 2）函数y A tan( x) 和 y Acot( x) 的周期都是T（ 3）五点法作y Asin( x) 的简图，设t x，取0、、、3、2来求相应x22的值以及对应的y 值再描点作图。
高中数学 专题训练 含答案
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高中数学专题同步练习训练大全高中数学集合练习题一、填空题.(每小题有且只有一个正确答案,5分×10=50分)1、已知全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ，6 }，那么集合 { 2，7 ，8}是 ( )2 . 如果集合A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素，则a的值是 ( )A.0B.0 或1C.1D.不能确定3. 设集合A={x|1A.{a|a ≥2｝B.{a|a≤1｝C.{a|a≥1｝.D.{a|a≤2｝.5. 满足{1，2，3} M {1，2，3，4，5，6}的集合M的个数是 ( )A.8B.7C.6D.56. 集合A={a2，a+1，-1}，B={2a-1，| a-2 |， 3a2+4}，A∩B={-1}，则a 的值是( )A.-1B.0 或1C.2D.07. 已知全集I=N，集合A={x|x=2n，n∈N}，B={x|x=4n，n∈N}，则 ( )A.I=A∪BB.I=( )∪BC.I=A∪( )D.I=( )∪( )8. 设集合M= ，则 ( )A.M =NB. M NC.M ND. N9 . 集合A={x|x=2n+1，n∈Z}，B={y|y=4k±1，k∈Z}，则A与B的关系为( )A.A BB.A BC.A=BD.A≠B10.设U={1,2,3,4,5},若A∩B={2},( UA)∩B={4}，( UA)∩( UB)={1，5}，则下列结论正确的是( )A.3 A且3 BB.3 B且3∈AC.3 A且3∈BD.3∈A且3∈B二.填空题(5分×5=25分)11 .某班有学生55人,其中音乐爱好者34人,体育爱好者43人,还有4人既不爱好体育也不爱好音乐,则班级中即爱好体育又爱好音乐的有人.12. 设集合U={(x，y)|y=3x-1}，A={(x，y)| =3}，则 A= .13. 集合M={y∣y= x2 +1,x∈ R｝,N={y∣ y=5- x2,x∈ R｝,则M∪N=_ __.14. 集合M={a| ∈N，且a∈Z}，用列举法表示集合M=_15、已知集合A={-1,1},B={x|mx=1},且A∪B=A,则m的值为三.解答题.10+10+10=3016. 设集合A={x, x2,y2-1｝,B={0,|x|,,y｝且A=B,求x, y的值17.设集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0} ，A∩B=B，求实数a 的值.18. 集合A={x|x2-ax+a2-19=0｝，B={x|x2-5x+6=0｝，C={x|x2+2x-8=0｝.(1)若A∩B=A∪B，求a的值;(2)若A∩B，A∩C= ，求a的值.19.(本小题满分10分)已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+3a-5=0}.若A∩B=B，求实数a的取值范围.20、已知A={x|x2+3x+2 ≥0}, B={x|mx2-4x+m-1 0 ,m∈R}, 若A∩B=φ, 且A∪B=A,求m的取值范围.高中数学数列练习题一、选择题:(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1.设数列,,2,，……则2是这个数列的 ( )D.第九项 A.第六项 B.第七项 C.第八项2.若a≠b,数列a,x1,x 2 ,b和数列a,y1 ,y2 , y3，b都是等差数列，则A.2 3B.3 4x2x1 ( ) y2y1C.1D.4 33. 等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=450 ,则前9项和S9= ( )A.1620B.810C.900D.6754.在-1和8之间插入两个数a,b，使这四个数成等差数列，则 ( )A. a=2，b=5B. a=-2，b=5C. a=2，b=-5D. a=-2，b=-55.首项为24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是( )A.d 888B.d 3C.≤d 3D. d≤3 p= 3336.等差数列{an}共有2n项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且a2na133，则该数列的公差为 ( )A.3B.-3C.-2D.-17.在等差数列{an}中，a100,a110,且a11|a10|，则在Sn中最大的负数为( )A.S17B.S18C.S19D.S208.等差数列{an}中，a1=-5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值是4，则抽取的是: ( )A.a11B.a10C.a9D.a89.设函数f(x)满足f(n+1)=A.95 2f(n)n_(n∈N)且f(1)=2,则f(20)为 ( ) 2 C.105 D.192B.9710.已知无穷等差数列{a n}，前n项和S n 中，S 6 S 8 ,则 ( )A.在数列{a n }中a7 最大;B.在数列{a n }中,a 3 或a 4 最大;C.前三项之和S 3 必与前11项之和S 11 相等;D.当n≥8时，a n 0.二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11.集合Mmm6n,nN_,且m60中所有元素的和等于_________.a1a2a3an，则S13_____ 12、在等差数列{an}中，a3a7a108,a4a1114.记Sn 13、已知等差数列{an}中，a7a916,a41，则a16的值是.Sn5n1a=，f(n)n;Tn3n1bn14.等差数列{an｝、{bn｝、{cn｝与{dn｝的前n项和分别记为Sn、Tn、Pn、Qn.f(n)cn5n2P=，g(n)n.则的最小值= g(n)dn3n2Qn三、解答题：15.(12分)(1)在等差数列{an}中，d1,a78，求an和Sn; 3(2)等差数列{an}中，a4=14，前10项和S10185.求an;16.(13分)一个首项为正数的等差数列{an}，如果它的前三项之和与前11项之和相等，那么该数列的前多少项和最大17.(13分)数列{an}中，a18，a42，且满足an22an1an0|a1||a2||an|，求Sn。
全国高三高中数学专题试卷带答案解析
全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、解答题1.求点A(2，0)在矩阵对应的变换作用下得到的点的坐标．2.点(－1，k)在伸压变换矩阵之下的对应点的坐标为(－2，－4)，求m 、k 的值．3.已知变换T 是将平面内图形投影到直线y ＝2x 上的变换，求它所对应的矩阵．4.求曲线y ＝在矩阵作用下变换所得的图形对应的曲线方程． 5.求直线x ＋y ＝5在矩阵对应的变换作用下得到的图形．6.设椭圆F ：＝1在(x ，y)→(x′，y′)＝(x ＋2y ，y)对应的变换下变换成另一个图形F′，试求F′的解析式．7.设M ＝，N ＝，试求曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的曲线方程．8.已知矩阵M ＝，N ＝，矩阵MN 对应的变换把曲线y ＝sin x 变为曲线C ，求曲线C 的方程．9.二阶矩阵M 对应变换将(1，－1)与(－2，1)分别变换成(5，7)与(－3，6)． (1)求矩阵M ；(2)若直线l 在此变换下所变换成的直线的解析式l′：11x －3y －68＝0，求直线l 的方程．10.在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＋y ＋2＝0在矩阵M ＝对应的变换作用下得到直线m ：x －y －4＝0，求实数a 、b 的值． 11.已知M ＝，N ＝，向量α＝.(1)验证：(MN )α＝M (Nα)；(2)验证这两个矩阵不满足MN ＝NM .12.在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为A，B，C.求△ABC 在矩阵作用下变换所得到的图形的面积．13.在直角坐标系中，△OAB 的顶点坐标O(0，0)、A(2，0)，B(1，)，求△OAB 在矩阵MN 的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵M ＝，N ＝.14.已知矩阵M ＝，N ＝，在平面直角坐标系中，设直线2x －y ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线F ，求曲线F 的方程． 15.已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝对应的变换作用下变为直线l′：x ＋by ＝1.(1)求实数a 、b 的值；(2)若点P(x 0，y 0)在直线l 上，且A ＝，求点P 的坐标．16.在线性变换＝下，直线x ＋y ＝k(k 为常数)上的所有点都变为一个点，求此点坐标．17.如图所示，四边形ABCD和四边形AB′C′D分别是矩形和平行四边形，其中各点的坐标分别为A(－1，2)、B(3，2)、C(3，－2)、D(－1，－2)、B′(3，7)、C′(3，3)．求将四边形ABCD变成四边形AB′C′D的变换矩阵M.18.已知矩阵M＝，向量α＝，β＝.(1)求向量3α＋β在T M作用下的象；(2)求向量4Mα－5Mβ.19.二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．设直线l在变换M作用下得到了直线m：2x－y＝4，求l的方程．20.二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．(1)求矩阵M；(2)设直线l在变换M作用下得到了直线m：x－y＝4，求l的方程．全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、解答题1.求点A(2，0)在矩阵对应的变换作用下得到的点的坐标．【答案】A′(2，0)【解析】矩阵表示横坐标保持不变，纵坐标沿y轴负方向拉伸为原来的2倍的伸压变换，故点A(2，0)变为点A′(2，0)2.点(－1，k)在伸压变换矩阵之下的对应点的坐标为(－2，－4)，求m、k的值．【答案】【解析】＝，解得3.已知变换T是将平面内图形投影到直线y＝2x上的变换，求它所对应的矩阵．【答案】【解析】将平面内图形投影到直线y＝2x上，即是将图形上任意一点(x，y)通过矩阵M作用变换为(x，2x)，则有＝，解得∴T＝.4.求曲线y＝在矩阵作用下变换所得的图形对应的曲线方程．【答案】x＝【解析】设点(x，y)是曲线y＝上任意一点，在矩阵的作用下点变换成(x′，y′)，则＝，所以.因为点(x，y)在曲线y＝上，所以x′＝，即x＝5.求直线x ＋y ＝5在矩阵对应的变换作用下得到的图形．【答案】点(0，5)【解析】设点(x ，y)是直线x ＋y ＝5上任意一点，在矩阵的作用下点变换成(x′，y′)，则＝，所以.因为点(x ，y)在直线x ＋y ＝5上，所以y′＝x ＋y ＝5，故得到的图形是点(0，5)．6.设椭圆F ：＝1在(x ，y)→(x′，y′)＝(x ＋2y ，y)对应的变换下变换成另一个图形F′，试求F′的解析式．【答案】2x 2－8xy ＋9y 2－4＝0. 【解析】变换矩阵为，任取椭圆上一点(x 0，y 0)， 则＝，令则又点(x 0，y 0)在椭圆F 上，故＝1，所以2x′2－8x′y′＋9y′2－4＝0，即F′的解析式为2x 2－8xy ＋9y 2－4＝0. 7.设M ＝，N ＝，试求曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的曲线方程．【答案】y ＝2sin2x 【解析】MN ＝＝，设(x ，y)是曲线y ＝sinx 上的任意一点，在矩阵MN 变换下对应的点为(x′，y′)． 则＝，所以即代入y ＝sinx 得y′＝sin2x′，即y′＝2sin2x′.即曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的曲线方程为y ＝2sin2x.8.已知矩阵M ＝，N ＝，矩阵MN 对应的变换把曲线y ＝sinx 变为曲线C ，求曲线C 的方程．【答案】y ＝sinx 【解析】MN ＝＝，设P(x ，y)是所求曲线C 上的任意一点，它是曲线y ＝sinx 上点P 0(x 0，y 0)在矩阵MN 变换下的对应点，则有＝，即所以又点P(x 0，y 0)在曲线y ＝sinx 上，故y 0＝sinx 0，从而y ＝sinx.所求曲线C 的方程为y ＝sinx.9.二阶矩阵M 对应变换将(1，－1)与(－2，1)分别变换成(5，7)与(－3，6)． (1)求矩阵M ；(2)若直线l 在此变换下所变换成的直线的解析式l′：11x －3y －68＝0，求直线l 的方程． 【答案】（1）（2）x －y －4＝0.【解析】(1)不妨设M＝，则由题意得＝，＝，所以故M＝.(2)取直线l上的任一点(x，y)，其在M作用下变换成对应点(x′，y′)，则＝＝，即代入11x－3y－68＝0，得x－y－4＝0，即l的方程为x－y－4＝0.10.在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＋y＋2＝0在矩阵M＝对应的变换作用下得到直线m：x－y－4＝0，求实数a、b的值．【答案】a＝2，b＝3.【解析】(解法1)在直线l：x＋y＋2＝0上取两点A(－2，0)，B(0，－2)，A、B在矩阵M对应的变换作用下分别对应于点A′、B′，因为＝，所以A′的坐标为(－2，－2b)；＝，所以B′的坐标为(－2a，－8)．由题意A′、B′在直线m：x－y－4＝0上，所以解得a＝2，b＝3.(解法2)设直线l：x＋y＋2＝0上任意一点(x，y)在矩阵M对应的变换作用下对应于点(x′，y′)．因为＝，所以x′＝x＋ay，y′＝bx＋4y.因为(x′，y′)在直线m上，所以(x＋ay)－(bx＋4y)－4＝0，即(1－b)x＋(a－4)y －4＝0.又点(x，y)在直线x＋y＋2＝0上，所以，解得a＝2，b＝311.已知M＝，N＝，向量α＝.(1)验证：(MN)α＝M(Nα)；(2)验证这两个矩阵不满足MN＝NM.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)因为MN＝＝，所以(MN)α＝＝.因为Nα＝＝，所以M(Nα)＝＝，所以(MN)α＝M(Nα)．(2)因为MN＝，NM＝，所以这两个矩阵不满足MN＝NM.12.在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A，B，C.求△ABC在矩阵作用下变换所得到的图形的面积． 【答案】【解析】因为＝，＝，＝，所以A ，B，C在矩阵作用下变换所得到的三个顶点坐标分别为A′，B′，C′.故S △A′B′C′＝A′C′|y B ′|＝13.在直角坐标系中，△OAB 的顶点坐标O(0，0)、A(2，0)，B(1，)，求△OAB 在矩阵MN 的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵M ＝，N ＝.【答案】1【解析】由题设得MN ＝，∴·＝，·＝，·＝.可知O 、A 、B 三点在矩阵MN 作用下变换所得的点分别为O′(0，0)、A′(2，0)、B′(2，－1)． 可得△O′A′B′的面积为1.14.已知矩阵M ＝，N ＝，在平面直角坐标系中，设直线2x －y ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线F ，求曲线F 的方程． 【答案】2x ＋y ＋1＝0 【解析】由题设得MN ＝＝.设(x ，y)是直线2x －y ＋1＝0上任意一点，点(x ，y)在矩阵MN 对应的变换作用下变为(x′，y′)， 则有＝，即＝，所以. 因为点(x ，y)在直线2x －y ＋1＝0上，从而2x′－(－y′)＋1＝0，即2x′＋y′＋1＝0. 所以曲线F 的方程为2x ＋y ＋1＝0.15.已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝对应的变换作用下变为直线l′：x ＋by ＝1.(1)求实数a 、b 的值；(2)若点P(x 0，y 0)在直线l 上，且A ＝，求点P 的坐标．【答案】（1）（2）(1，0)【解析】(1)设直线l ：ax ＋y ＝1上任意一点M(x ，y)在矩阵A 对应的变换作用下的象是M′(x′，y′)， 由＝＝，得，又点M′(x′，y′)在l′上， 所以x′＋by′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1.依题意解得(2)A ＝，得解得y 0＝0.又点P(x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1，故点P 的坐标为(1，0)．16.在线性变换＝下，直线x ＋y ＝k(k 为常数)上的所有点都变为一个点，求此点坐标．【答案】(k ，2k) 【解析】由＝，得而x ＋y ＝k ，所以(k 为常数)，所以直线x ＋y ＝k(k 为常数)上的所有点都变为一个点(k ，2k)．17.如图所示，四边形ABCD 和四边形AB′C′D 分别是矩形和平行四边形，其中各点的坐标分别为A(－1，2)、B(3，2)、C(3，－2)、D(－1，－2)、B′(3，7)、C′(3，3)．求将四边形ABCD 变成四边形AB′C′D 的变换矩阵M .【答案】【解析】该变换为切变变换．设矩阵M ＝，由图知，C C′，则＝.所以3k －2＝3，解得k ＝.所以，M ＝.18.已知矩阵M ＝，向量α＝，β＝.(1)求向量3α＋β在T M 作用下的象；(2)求向量4Mα－5Mβ. 【答案】（1）（2） 【解析】(1)因为3α＋β＝3＋＝＋＝，所以M＝＝.(2)4Mα－5Mβ＝M (4α－5β)＝＝.19.二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：2x －y ＝4，求l 的方程． 【答案】x ＋4＝0 【解析】设M ＝，则有＝，＝，∴，且，解得和，∴M ＝，∵＝＝，且m ：2x′－y′＝4，∴2(x ＋2y)－(3x ＋4y)＝4，即x ＋4＝0，∴直线l 的方程为x ＋4＝0.20.二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M ；(2)设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求l 的方程． 【答案】（1）（2）x ＋y ＋2＝0【解析】(1)设M＝，则有＝，＝，所以且解得和所以M＝.(2)因为＝＝且m：x′－y′＝4，所以(x＋2y)－(3x＋4y)＝4，即x＋y＋2＝0，即直线l的方程为x＋y＋2＝0.。
高中数学《集合》专题复习
第1节集合1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用.1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性: 、、.(2)元素与集合的关系是或,用符号和表示.(3)集合的表示方法: 、、Venn图法.(4)常见数集的记法2.集合间的基本关系或(1)A⊆B包含两层含义:A B或A=B.3.集合的基本运算4.集合的重要性质(1)A∩A=A,A∩∅=∅,A∩B=B∩A.(2)A∪A=A,A∪∅=A,A∪B=B∪A.(3)A∩(∁U A)=∅,A∪(∁U A)=U,∁U(∁U A)=A.1.对于有限集合A,其元素个数为n,则集合A的子集个数为2n,真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.2.A⊆B,A∩B=A,A∪B=B,∁U B⊆∁U A以及A∩(∁U B)=∅两两等价.3.∁U(A∩B)=(∁U A)∪(∁U B),∁U(A∪B)=(∁U A)∩(∁U B).1.(2021·新高考Ⅰ卷)设集合A={x|-2<x<4},B={2,3,4,5},则A∩B 等于( )A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}2.(必修第一册P9习题1、2T1改编)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(∁U P)∪Q等于( )A.{1}B.{3,5}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5}3.已知集合A={1,2,5,6},B={5,X},若B⊆A,则X可以取的值为( )A.1,2B.1,6C.2,6D.1,2,64.(2021·云南昆明一中高三月考)已知集合A={(x,y)|x-y=0},B= {(x,y)|-2x+y=3},则A∩B等于( )A.(-3,-3)B.(3,3)C.{(-3,-3)}D.{(3,3)}∈Z},则列举法表示集合A= ,集合5.已知集合A={x∈N|y=12x+3A的真子集有个.集合的概念与表示1.(多选题)下列各个说法中,正确的是( )A.高三(1)班所有高个子的同学可以构成一个集合B.若m∈N,n∈N且m≠n,则m+n的最小值为2C.四个集合{x|x=1},{y|(y-1)2=0},{x=1},{1}所表示的含义不完全相同D.若{x|x2+ax+b=x}={1},则a=-1,b=12.(2021·四省名校高三联考)已知集合A={(x,y)|y≤√3-x2,x,y∈N},则集合A中元素的个数为( )A.3B.4C.5D.6},B={0,1-b,1},a,b 3.(2021·河北石家庄模拟)已知集合A={0,a+b,ab∈R,若A=B,则a+2b等于( )A.-2B.2C.-1D.14.已知集合A={1,2,3,4},B={(x,y)|x∈A,y∈A,y-x∈A},则集合B中的元素的个数为( )A.4B.5C.6D.75.已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,则 2 023a的值为.义如下表:2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.3.求解集合相等问题,要注意分类讨论以及集合中元素性质的应用.集合间的基本关系1.(2021·山东潍坊高三联考)已知集合A={-1,0,1},B={(x,y)|x∈A,y∈A,xy∈N},则集合B的子集个数为( )A.4B.8C.13D.162.(2021·江西重点中学协作体模拟)已知集合A={x|x2-5x-6<0},若B⊆A,则B可以是( )A.{x|-2<x<0}B.{x|x<6}C.{x|x>-1}D.{x|0<x<2}3.设集合M={x|x=k3+16,k∈Z},N={x|x=k6+23,k∈Z},则( )A.M=NB.M⊆NC.N⊆MD.无法确定4.已知集合A={x|-1≤x≤3},集合B={x|1-m≤x≤1+m}.若B⊆A,则m 的取值范围是( )A.(-∞,2]B.[-1,3]C.[-3,1]D.[0,2]1.判断集合之间的关系的常用方法:对于用列举法表示的集合,只需要观察其元素即结合定义判断它们之间的关系,对于用描述法表示的集合,要从所含元素的特征来分析,若集合之间可以统一形式,则需要统一形式后判断.2.已知两个集合间的关系求参数时,关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系.合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.确定参数所满足的条件时,一定要把端点值代入进行验证,否则易增解或漏解.集合的基本运算角度一给定具体集合的基本运算(1)(2021·广东深圳高三二模)已知A={x∈N|x<7},B={5,6,7, 8},则集合A∪B中的元素的个数为( )A.7B.8C.9D.10(2)(2021·安徽合肥高三三模)已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5}, B={-2,0,1,2}之间关系的Venn图如图所示,则图中阴影部分表示的集合为( )A.{-2,0}B.{-2}C.{-2,0,1}D.{-2,0,2,1}1.进行集合运算时,首先看集合能否化简,能化简的先化简,再研究其关系并进行运算.2.涉及与集合的补集有关的集合运算问题,要求出补集后再求解.3.由Venn图给出的集合运算问题,首先将Venn图转化为集合之间的运算关系后再求解.4.若由集合的元素性质具有明显的几何意义的两曲线构成的集合交集问题,可以利用解方程组的方法求解,涉及点集时,也可以利用列举法求解.角度二 含参数的集合运算(1)(2021·广东江门高三调研)已知集合A={1,2a },B={a,b},若A ∩B={12},则A ∪B 等于( )A.{1,12} B.{-1,12}C.{-1,1,12} D.{b,1,12}(2)(2021·宁夏高三联考)已知集合A={1,a 2(a ∈R)},B={-1,0,1},若A ∪B=B,则A 中元素的和为( ) A.0 B.1 C.2 D.-1(3)(2021·安徽示范高中高考模拟)若集合A={x|x<a},B={x|lg x ≥0},且满足A ∪B=R,则实数a 的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.[1,+∞) C.(0,+∞) D.[0,+∞)求解含参数的集合运算问题,主要有以下方法(1)涉及离散的集合运算求参数,要注意所求参数是否满足集合中元素的性质.(2)与集合的运算性质有关的集合运算,要注意将运算性质转化为集合之间的关系.(3)涉及与连续的数集有关的集合运算,要注意借助数轴转化为与参数有关的不等式(组),此时要注意集合端点的取值. 角度三 抽象集合的运算(1)(2021·江苏、福建等八省高三联合模拟)已知M,N均为R 的子集,且∁R M⊆N,则M∪(∁R N)等于( )A.∅B.MC.ND.R(2)(2021·百校联盟高三联考)已知全集为U且P,Q为U的子集,P∩(∁U Q)=P,则Q∩(∁U P)等于( )A.∅B.PC.QD.U涉及抽象集合的运算问题,可利用集合的包含关系或者画出Venn图,结合Venn图求解.[针对训练]1.(2021·河南新乡高三一模)已知集合A={a,a2-2,0},B={2a,a+b},若A∩B={-1},则b等于( )A.-1B.-2C.0D.12.(2021·山东滨州高三二模)设全集U={-3,-2,0,2,3},A={-3,3}, B={x|(x-3)(x-2)=0},则图中阴影部分所表示的集合为( )A.{-3,2,3}B.{-3,-2,0,2}C.{3}D.{-2,0}3.若集合M={(x,y)∣3x-y=0},N={(x,y)|x2+y2=0},则( )A.M∩N=MB.M∪N=MC.M∪N=ND.M∩N=∅4.(2021·江苏连云港高三联考)若非空且互不相等的集合M,N,P满足:M∩N=M,N∪P=P,则M∪P等于( )A. B.M C.N D.P请完成“课时作业”第195页的内容。
全国高三高中数学专题试卷带答案解析
全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.（2015•深圳校级模拟）用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）A ．方程x 2+ax+b=0没有实根B ．方程x 2+ax+b=0至多有一个实根C ．方程x 2+ax+b=0至多有两个实根D ．方程x 2+ax+b=0恰好有两个实根2.已知，且，则的最小值为（ ）A ．5B ．7C ．8D ．9二、填空题设S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1=﹣1，a n+1=S n S n+1，则S n =_____．三、解答题1.为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间(单位：天)变化的函数关系式近似为若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天? （2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a （）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．2.如图所示,已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内,M,N 分别为AB,DF 的中点.(1)若CD=2,平面ABCD ⊥平面DCEF,求MN 的长; (2)用反证法证明:直线ME 与BN 是两条异面直线.3.已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且对任意x ＞0，都有f ′(x)＞．（Ⅰ）判断函数F(x)＝在(0，＋∞)上的单调性；（Ⅱ）设x 1，x 2∈(0，＋∞)，证明：f(x 1)＋f(x 2)＜f(x 1＋x 2)；（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论．全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、选择题1.（2015•深圳校级模拟）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根【答案】A【解析】直接利用命题的否定写出假设即可．解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2+ax+b=0没有实根．故选：A．【考点】反证法与放缩法．2.已知，且，则的最小值为（）A．5B．7C．8D．9【答案】D【解析】由题意得，，所以，当且仅当时，即等号是成立的，故选D.【考点】基本不等式的应用.【方法点晴】本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题，属于中档试题，此类问题解答中要注意基本不等式的成立的条件和等号成立的条件，灵活应用，着重考查了构造思想的应用，本题的解答中，由，两边同除以，得，即可化为，利用基本不是求解最值，解答中注意灵活运用条件.二、填空题设Sn 是数列{an}的前n项和，a1=﹣1，an+1=SnSn+1，则Sn=_____．【答案】【解析】因为，所以，所以，即，又，即，所以数列是首项和公差都为的等差数列，所以，所以．【考点】数列的递推关系式及等差数列的通项公式．【方法点晴】本题主要考查了数列的通项公式、数列的递推关系式的应用、等差数列的通项公式及其性质定知识点的综合应用，解答中得到，，确定数列是首项和公差都为的等差数列是解答的关键，着重考查了学生灵活变形能力和推理与论证能力，平时应注意方法的积累与总结，属于中档试题．三、解答题1.为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间(单位：天)变化的函数关系式近似为若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天?（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．【答案】（1）可达8天;（2）a的最小值为．【解析】（1）根据题中条件每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间(单位：天)变化的函数关系已经给出，则易得一次喷洒4个单位的净化剂时的函数关系式：，这样就得到一个分段函数，对分段函数的处理常用的原则：先分开，现合并，解两个不等式即可求解; （2）中若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（）个单位的药剂，根据题意从第6天开始浓度来源与两方面，这是题中的难点，前面留下的为：，后面新增的为：，所得化简即可得到：，结合基本不等式知识求出最小值，最后解一个不等式：，即可求解．试题解析：（1）因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度则当时，由，解得，所以此时． 3分当时，由解得，所以此时．综合得，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天． 7分（2）设从第一次喷洒起，经x（）天，浓度． 10分因为，而，所以，故当且仅当时，y有最小值为.令，解得，所以a的最小值为． 14分【考点】1.实际应用问题;2.分段函数;3.基本不等式．2.如图所示,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.(1)若CD=2,平面ABCD⊥平面DCEF,求MN的长;(2)用反证法证明:直线ME与BN是两条异面直线.【答案】（1）（2）见解析【解析】(1)解:取CD的中点G,连结MG,NG.因为四边形ABCD,DCEF为正方形,且边长为2,所以MG⊥CD,MG=2,NG=.因为平面ABCD⊥平面DCEF,所以MG⊥平面DCEF.可得MG⊥NG.所以MN==.(2)证明:假设直线ME与BN共面,则AB⊂平面MBEN,且平面MBEN与平面DCEF交于EN.由题意知两正方形不共面,故AB⊄平面DCEF.又AB∥CD,所以AB∥平面DCEF,而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线,所以AB ∥EN.又AB ∥CD ∥EF,所以EN ∥EF, 这与EN∩EF=E 矛盾,故假设不成立. 所以ME 与BN 不共面,它们是异面直线.3.已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且对任意x ＞0，都有f ′(x)＞．（Ⅰ）判断函数F(x)＝在(0，＋∞)上的单调性；（Ⅱ）设x 1，x 2∈(0，＋∞)，证明：f(x 1)＋f(x 2)＜f(x 1＋x 2)；（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论． 【答案】（Ⅰ）F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数；（Ⅱ）f(x 1)＋f(x 2)＜f(x 1＋x 2)；（Ⅲ）f(x 1)＋f(x 2)＋…＋f(x n )＜f(x 1＋x 2＋…＋x n ).【解析】（Ⅰ）判断F(x)的单调性，则需对F(x)求导，得F′(x)＝，∵f ′(x)＞，x ＞0，则xf ′(x)－f(x)＞0，即F′(x)＞0，F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数.（Ⅱ）要证明f(x 1)＋f(x 2)＜f(x 1＋x 2)，可以从第（Ⅰ）的结论入手，∵x 1＞0，x 2＞0，∴0＜x 1＜x 1＋x 2，F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，则F(x 1)＜F(x 1＋x 2)，即＜，而x 1＞0，所以f(x 1)＜f(x 1＋x 2)，同理f(x 2)＜f(x 1＋x 2)，两式相加，得f(x 1)＋f(x 2)＜f(x 1＋x 2)，得证.（Ⅲ）（Ⅱ）中结论的推广形式为：设x 1，x 2，…，x n ∈(0，＋∞)，其中n≥2，则f(x 1)＋f(x 2)＋…＋f(x n )＜f(x 1＋x 2＋…＋x n )．证明的方法同（Ⅱ）的证明，∵x 1＞0，x 2＞0，…，x n ＞0，∴0＜x 1＜x 1＋x 2＋…＋x n ．F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，F(x 1)＜F(x 1＋x 2＋…＋x n )，即＜，而x 1＞0，所以f(x 1)＜f(x 1＋x 2＋…＋x n )，同理f(x 2)＜f(x 1＋x 2＋…＋x n )，……f(x n )＜f(x 1＋x 2＋…＋x n )，以上n 个不等式相加，得f(x 1)＋f(x 2)＋…＋f(x n )＜f(x 1＋x 2＋…＋x n )，得证.试题解析：（Ⅰ）对F(x)求导数，得F′(x)＝．∵f ′(x)＞，x ＞0，∴xf ′(x)＞f(x)，即xf ′(x)－f(x)＞0，∴F′(x)＞0． 故F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数．（Ⅱ）∵x 1＞0，x 2＞0，∴0＜x 1＜x 1＋x 2． 由（Ⅰ），知F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数， ∴F(x 1)＜F(x 1＋x 2)，即＜．∵x 1＞0，∴f(x 1)＜f(x 1＋x 2)． 同理可得f(x 2)＜f(x 1＋x 2)．以上两式相加，得f(x 1)＋f(x 2)＜f(x 1＋x 2)． （Ⅲ）（Ⅱ）中结论的推广形式为：设x 1，x 2，…，x n ∈(0，＋∞)，其中n≥2，则f(x 1)＋f(x 2)＋…＋f(x n )＜f(x 1＋x 2＋…＋x n )． ∵x 1＞0，x 2＞0，…，x n ＞0， ∴0＜x 1＜x 1＋x 2＋…＋x n ． 由（Ⅰ），知F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，∴F(x 1)＜F(x 1＋x 2＋…＋x n )，即＜．∵x 1＞0，∴f(x 1)＜f(x 1＋x 2＋…＋x n )．同理可得 f(x 2)＜f(x 1＋x 2＋…＋x n )， f(x 3)＜f(x 1＋x 2＋…＋x n )，…… f(x n )＜f(x 1＋x 2＋…＋x n )．以上n 个不等式相加，得f(x 1)＋f(x 2)＋…＋f(x n )＜f(x 1＋x 2＋…＋x n )． 【考点】1.利用导数求单调性；2.利用函数单调性证明不等式.。
全国高三高中数学专题试卷带答案解析
全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知集合A ＝{x|33－x <6}，B ＝{x|lg(x －1)<1}，则A∩B ＝________．2.已知a 、b 为正实数，函数f(x)＝ax 3＋bx ＋2x 在[0，1]上的最大值为4，则f(x)在[－1，0]上的最小值为________．3.若函数f(x)＝x 3－ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1，4)上是减函数，在区间(6，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．4.已知函数y ＝f(x)是偶函数，对于x ∈R 都有f(x ＋6)＝f(x)＋f(3)成立．当x 1、x 2∈[0，3]，且x 1≠x 2时，都有>0，给出下列命题：①f(3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f(x)的图象的一条对称轴； ③函数y ＝f(x)在[－9，－6]上为单调增函数； ④函数y ＝f(x)在[－9，9]上有4个零点． 其中正确的命题是________．(填序号)5.已知函数f(x)＝||x －1|－1|，若关于x 的方程f(x)＝m(m ∈R)恰有四个互不相等的实根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是________．6.关于函数f(x)＝lg(x>0，x ∈R)，下列命题正确的是________．(填序号)①函数y ＝f(x)的图象关于y 轴对称；②在区间(－∞，0)上，函数y ＝f(x)是减函数； ③函数y ＝f(x)的最小值为lg2；④在区间(1，＋∞)上，函数y ＝f(x)是增函数．7.已知函数f(x)＝2x 2＋m 的图象与函数g(x)＝ln|x|的图象有四个交点，则实数m 的取值范围是________． 8.在平面直角坐标系xOy 中，设定点A(a ，a)，P 是函数y ＝(x>0)图象上一动点．若点P 、A 之间的最短距离为2，则满足条件的实数a 的所有值为________．9.设函数f(x)＝ (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．若存在b ∈[0，1]使f(f(b))＝b 成立，则a 的取值范围是________． 10.已知函数f(x)＝若关于x 的方程f(x)＝kx(k ＞0)有且仅有四个根，其最大根为t ，则函数g(t)＝t 2－6t ＋7的值域为________．11.若奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝2x ，则函数g(x)的最小值是________． 12.设函数f(x)＝ (a<0)的定义域为D ，若所有点(s ，f(t))(s 、t ∈D)构成一个正方形区域，则a 的值为________．13.对于实数a 和b ，定义运算“”：ab ＝设f(x)＝(2x －1)(x －1)，且关于x 的方程为f(x)＝m(m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1、x 2、x 3的取值范围是________．二、解答题1.已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x2. (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性； (3)求函数f(x)的值域．2.已知函数f(x)＝ax 2－|x|＋2a －1(a 为实常数)． (1)若a ＝1，作函数f(x)的图象；(2)设f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式； (3)设h(x)＝，若函数h(x)在区间[1，2]上是增函数，求实数a 的取值范围．3.设函数f(x)＝其中b>0，c ∈R.当且仅当x ＝－2时，函数f(x)取得最小值－2.(1)求函数f(x)的表达式；(2)若方程f(x)＝x ＋a(a ∈R)至少有两个不相同的实数根，求a 取值的集合．4.已知f(x)＝xlnx ，g(x)＝－x 2＋ax －3. (1)求函数f(x)在[t ，t ＋2](t>0)上的最小值；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围； (3)证明对一切x ∈(0，＋∞)，都有lnx>－成立．5.定义在D 上的函数f(x)，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M 成立，则称f(x)是D 上的有界函数，其中M 称为函数f(x)的上界．已知函数f(x)＝1＋a·＋.(1)当a ＝1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由； (2)若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围． 6.已知函数f(x)＝a x ＋x 2－xlna(a>0，a≠1)．(1)当a>1时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； (2)若函数y ＝|f(x)－t|－1有三个零点，求t 的值；(3)若存在x 1、x 2∈[－1，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1，试求a 的取值范围．7.已知函数f(x)＝lnx －ax 2＋(2－a)x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)设a>0，证明：当0<x<时，f>f；(3)若函数y ＝f(x)的图象与x 轴交于A 、B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：＜0.全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、填空题1.已知集合A ＝{x|33－x <6}，B ＝{x|lg(x －1)<1}，则A∩B ＝________． 【答案】(2－log 32，11)【解析】由33－x <6，知3－x<log 36，即x>3－log 36， 所以A ＝(2－log 32，＋∞)．由lg(x －1)<1，知0<x －1<10，即1<x<11， 所以B ＝(1，11)，所以A∩B ＝(2－log 32，11)．2.已知a 、b 为正实数，函数f(x)＝ax 3＋bx ＋2x 在[0，1]上的最大值为4，则f(x)在[－1，0]上的最小值为________． 【答案】－【解析】因为a 、b 为正实数，所以函数f(x)是单调递增的．所以f(1)＝a ＋b ＋2＝4，即a ＋b ＝2.所以f(x)在[－1，0]上的最小值为f(－1)＝－(a ＋b)＋＝－.3.若函数f(x)＝x 3－ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1，4)上是减函数，在区间(6，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 【答案】[5，7]【解析】f′(x)＝x 2－ax ＋(a －1)，由题意，f′(x)≤0在(1，4)恒成立且f′(x)≥0在(6，＋∞)恒成立，即a≥x ＋1在(1，4)上恒成立且a≤x ＋1在(6，＋∞)上恒成立，所以5≤a≤7.4.已知函数y ＝f(x)是偶函数，对于x ∈R 都有f(x ＋6)＝f(x)＋f(3)成立．当x 1、x 2∈[0，3]，且x 1≠x 2时，都有>0，给出下列命题：①f(3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f(x)的图象的一条对称轴； ③函数y ＝f(x)在[－9，－6]上为单调增函数； ④函数y ＝f(x)在[－9，9]上有4个零点． 其中正确的命题是________．(填序号) 【答案】①②④【解析】令x ＝－3，得f(－3)＝0，由y ＝f(x)是偶函数，所以f(3)＝f(－3)＝0，①正确；因为f(x ＋6)＝f(x)，所以y ＝f(x)是周期为6的函数，而偶函数图象关于y 轴对称，所以直线x ＝－6是函数y ＝f(x)的图象的一条对称轴，②正确；由题意知，y ＝f(x)在[0，3]上为单调增函数，所以在[－3，0]上为单调减函数，故y ＝f(x)在[－9，－6]上为单调减函数，③错误；由f(3)＝f(－3)＝0，知f(－9)＝f(9)＝0，所以函数y ＝f(x)在[－9，9]上有个零点，④正确．5.已知函数f(x)＝||x －1|－1|，若关于x 的方程f(x)＝m(m ∈R)恰有四个互不相等的实根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是________． 【答案】(－3，0)【解析】f(x)＝||x －1|－1|＝方程f(x)＝m 的解就是y ＝f(x)的图象与直线y ＝m 交点的横坐标，由图可知，x 2＝－x 1，x 3＝2＋x 1，x 4＝2－x 1，且－1<x 1<0.设t ＝x 1x 2x 3x 4＝(－2)2－4，则t ＝(－2)2－4，易得－3<t<0.6.关于函数f(x)＝lg(x>0，x ∈R)，下列命题正确的是________．(填序号)①函数y ＝f(x)的图象关于y 轴对称；②在区间(－∞，0)上，函数y ＝f(x)是减函数； ③函数y ＝f(x)的最小值为lg2；④在区间(1，＋∞)上，函数y ＝f(x)是增函数． 【答案】①③④ 【解析】由f(－x)＝lg ＝lg ＝f(x)，知函数f(x)为偶函数，故①正确；由f(－2)＝lg＝f，知②错误；由＝|x|＋≥2，知f(x)＝lg≥lg2，故③正确；因为函数g(x)＝x ＋在(1，＋∞)上为增函数，所以y ＝f(x)在(1，＋∞)上也是增函数，故④正确．综上所述，①③④均正确．7.已知函数f(x)＝2x 2＋m 的图象与函数g(x)＝ln|x|的图象有四个交点，则实数m 的取值范围是________． 【答案】【解析】由于f(x)与g(x)都是偶函数，因此只需考虑当x>0时，函数f(x)与g(x)的图象有两个交点即可．当x>0时，g(x)＝lnx ，令h(x)＝f(x)－g(x)＝2x 2－lnx ＋m ，则h′(x)＝4x －，由h′(x)＝0，得x ＝.易知当x ＝时，h(x)有极小值为＋ln2＋m ，要使函数f(x)与g(x)的图象在(0，＋∞)内有两个交点，则h <0，即＋ln2＋m<0，所以m<－－ln28.在平面直角坐标系xOy 中，设定点A(a ，a)，P 是函数y ＝(x>0)图象上一动点．若点P 、A 之间的最短距离为2，则满足条件的实数a 的所有值为________．【答案】－1，【解析】设P ，x>0，则 PA 2＝(x －a)2＋＝x 2＋－2a＋2a 2＝－2a＋2a 2－2.令t ＝x ＋，则由x>0，得t≥2，所以PA 2＝t 2－2at ＋2a 2－2＝(t －a)2＋a 2－2. 由PA 取得最小值，得或解得a ＝－1或a ＝.9.设函数f(x)＝(a ∈R ，e 为自然对数的底数)．若存在b ∈[0，1]使f(f(b))＝b 成立，则a 的取值范围是________． 【答案】[1，e]【解析】若存在b ∈[0，1]使f(f(b))＝b 成立， 则A(b ，f(b))，A′(f(b)，b)都在y ＝f(x)的图象上． 又f(x)＝在[0，1]上单调递增， 所以(x A ′－x A )(y A ′－y A )≥0，即(f(b)－b)(b －f(b))≥0，所以(f(b)－b)2≤0， 所以f(b)＝b ，从而f(x)＝x 在[0，1]上有解， 即＝x 在[0，1]上有解， 所以a ＝e x ＋x －x 2，x ∈[0，1]， 令φ(x)＝e x ＋x －x 2，x ∈[0，1]， 则φ′(x)＝e x －2x ＋1≥0，所以φ(x)在[0，1]上单调递增． 又φ(0)＝1，φ(1)＝e ，所以φ(x)∈[1，e]，即a ∈[1，e]．10.已知函数f(x)＝若关于x 的方程f(x)＝kx(k ＞0)有且仅有四个根，其最大根为t ，则函数g(t)＝t 2－6t ＋7的值域为________．【答案】【解析】在直角坐标系中分别画出函数f(x)在区间[0，2]，[2，4]，[4，6]上的三个半圆的图象，最大根t 一定在区间(3，4)内，g(t)＝t 2－6t ＋7是二次函数，对称轴方程为4＞t ＝＞3，g(t)的最小值为g ＝－，直线y ＝kx(k ＞0)与区间[2，4]上半圆相交，与区间[4，6]上半圆相离，故<k 2<，而k 2＝时，直线与半圆相切，由得(1＋k 2)x 2－6x ＋8＝0，取k 2＝，得x 2－6x ＋7＝－1，t<x ，所以g(t)＝t 2－6t ＋7＜－111.若奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝2x ，则函数g(x)的最小值是________． 【答案】1【解析】由f(x)＋g(x)＝2x ，得f(－x)＋g(－x)＝2－x ， 由f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， ∴－f(x)＋g(x)＝2－x ，∴g(x)＝(2x ＋2－x )，∴g(x)≥1.12.设函数f(x)＝ (a<0)的定义域为D ，若所有点(s ，f(t))(s 、t ∈D)构成一个正方形区域，则a 的值为________． 【答案】－4【解析】|x 1－x 2|＝f max (x)，＝，|a|＝2，∴a ＝－413.对于实数a 和b ，定义运算“”：a b ＝设f(x)＝(2x －1)(x －1)，且关于x 的方程为f(x)＝m(m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1、x 2、x 3的取值范围是________． 【答案】【解析】由新定义得f(x)＝作出函数f(x)的图象，由图可知，当0<m<时，f(x)＝m(m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1、x 2、x 3，不妨设x 1<x 2<x 3，易知x 2>0，且x 2＋x 3＝2×＝1，∴x 2x 3<.令解得x ＝或x ＝ (舍去)，∴<x 1<0，∴<x 1x 2x 3<0.二、解答题1.已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x2. (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性； (3)求函数f(x)的值域．【答案】（1）(－1，1)（2）f(x)是偶函数（3）(－∞，0] 【解析】(1)由得－1<x<1，所以函数f(x)的定义域为(－1，1)．(2)由f(－x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)＋(－x)4－2(－x)2＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x 2＝f(x)， 所以函数f(x)是偶函数．(3)f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x 2＝lg(1－x 2)＋x 4－2x 2， 设t ＝1－x 2，由x ∈(－1，1)，得t ∈(0，1]．所以y ＝lg(1－x 2)＋x 4－2x 2＝lgt ＋(t 2－1)，t ∈(0，1]， 设0<t 1<t 2≤1，则lgt 1<lgt 2，<， 所以lgt 1＋(－1)<lgt 2＋(－1)，所以函数y ＝lgt ＋(t 2－1)在t ∈(0，1]上为增函数， 所以函数f(x)的值域为(－∞，0]．2.已知函数f(x)＝ax 2－|x|＋2a －1(a 为实常数)． (1)若a ＝1，作函数f(x)的图象；(2)设f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式； (3)设h(x)＝，若函数h(x)在区间[1，2]上是增函数，求实数a 的取值范围．【答案】（1）（2）g(a)＝（3）【解析】(1)当a ＝1时，f(x)＝x 2－|x|＋1＝作图如下．(2)当x ∈[1，2]时，f(x)＝ax 2－x ＋2a －1.若a ＝0，则f(x)＝－x －1在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝－3. 若a≠0，则f(x)＝a＋2a －－1，f(x)图象的对称轴是直线x ＝.当a<0时，f(x)在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a －3. 当0<<1，即a>时，f(x)在区间[1，2]上是增函数，g(a)＝f(1)＝3a －2.当1≤≤2，即≤a≤时，g(a)＝f ＝2a －－1.当>2，即0<a<时，f(x)在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a －3.综上可得g(a)＝(3)当x ∈[1，2]时，h(x)＝ax ＋－1，在区间[1，2]上任取x 1、x 2，且x 1<x 2，则h(x 2)－h(x 1)＝ ＝(x 2－x 1)＝(x 2－x 1).因为h(x)在区间[1，2]上是增函数，所以h(x 2)－h(x 1)>0. 因为x 2－x 1>0，x 1x 2>0，所以ax 1x 2－(2a －1)>0， 即ax 1x 2>2a －1.当a ＝0时，上面的不等式变为0>－1，即a ＝0时结论成立． 当a>0时，x 1x 2>，由1<x 1x 2<4，得≤1，解得0＜a≤1. 当a<0时，x 1x 2<，由1<x 1x 2<4，得≥4，解得－≤a ＜0.所以实数a 的取值范围为3.设函数f(x)＝其中b>0，c ∈R.当且仅当x ＝－2时，函数f(x)取得最小值－2.(1)求函数f(x)的表达式；(2)若方程f(x)＝x ＋a(a ∈R)至少有两个不相同的实数根，求a 取值的集合． 【答案】（1）f(x)＝（2）【解析】(1)∵当且仅当x ＝－2时，函数f(x)取得最小值－2. ∴二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－＝－2.且有f(－2)＝(－2)2－2b ＋c ＝－2，即2b －c ＝6. ∴b ＝4，c ＝2.∴f(x)＝(2)记方程①：2＝x ＋a(x>0)， 方程②：x 2＋4x ＋2＝x ＋a(x≤0)．分别研究方程①和方程②的根的情况：(ⅰ)方程①有且仅有一个实数根a<2，方程①没有实数根a≥2.(ⅱ)方程②有且仅有两个不相同的实数根，即方程x 2＋3x ＋2－a ＝0有两个不相同的非正实数根．∴－<a≤2；方程②有且仅有一个实数根，即方程x 2＋3x ＋2－a ＝0有且仅有一个非正实数根． ∴2－a<0或Δ＝0，即a>2或a ＝－.综上可知，当方程f(x)＝x ＋a(a ∈R)有三个不相同的实数根时，－<a<2； 当方程f(x)＝x ＋a(a ∈R)有且仅有两个不相同的实数根时，a ＝－或a ＝2.∴符合题意的实数a取值的集合为4.已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>－成立．＝（2）a≤4（3）见解析【答案】（1）f(x)min【解析】(1)解：f′(x)＝lnx＋1，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．①当0<t<t＋2<时，t无解；②当0<t<<t＋2，即0<t<时，f(x)＝f＝－；min③当≤t<t＋2，即t≥时，f(x)在[t，t＋2]上单调递增，f(x)＝f(t)＝tlnt，min所以f(x)＝.min(2)解：由题意，要使2xlnx≥－x2＋ax－3在x∈(0，＋∞)恒成立，即要使a≤2lnx＋x＋恒成立．设h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，则h′(x)＝＋1－.当x∈(0，1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增．所以x＝1时，h(x)取得极小值，也就是最小值，即[h(x)]＝h(1)＝4，所以a≤4.min(3)证明：问题等价于证明xlnx>－，x∈(0，＋∞)．由(1)知，f(x)＝xlnx在(0，＋∞)上最小值是－，当且仅当x＝时取得．设m(x)＝－，x∈(0，＋∞)，则m′(x)＝，易得[m(x)]＝m(1)＝－，max当且仅当x＝1时取得，从而对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>－成立5.定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界．已知函数f(x)＝1＋a·＋.(1)当a＝1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；(2)若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．【答案】（1）不是有界函数（2）[－5，1]【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝1＋因为f(x)在(－∞，0)上递减，所以f(x)>f(0)＝3，即f(x)在(－∞，0)的值域为(3，＋∞)，故不存在常数M>0，使|f(x)|≤M成立，所以函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数．(2)由题意知，|f(x)|≤3在[0，＋∞)上恒成立．－3≤f(x)≤3，－4－≤a·≤2－，所以－4·2x－≤a≤2·2x－在[0，＋∞)上恒成立．所以≤a≤，设2x ＝t ，h(t)＝－4t －，p(t)＝2t －，由x ∈[0，＋∞)得t≥1，设1≤t 1<t 2，h(t 1)－h(t 2)＝>0，p(t 1)－p(t 2)＝<0，所以h(t)在[1，＋∞)上递减，p(t)在[1，＋∞)上递增，h(t)在[1，＋∞)上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在[1，＋∞)上的最小值为p(1)＝1，所以实数a 的取值范围为[－5，1]．6.已知函数f(x)＝a x ＋x 2－xlna(a>0，a≠1)．(1)当a>1时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； (2)若函数y ＝|f(x)－t|－1有三个零点，求t 的值；(3)若存在x 1、x 2∈[－1，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1，试求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析（2）t ＝2（3）∪[e ，＋∞)【解析】审题引导：本题考查函数与导数的综合性质，函数模型并不复杂，(1)(2)两问是很常规的，考查利用导数证明单调性，考查函数与方程的零点问题．第(3)问要将“若存在x 1、x 2∈[－1，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1”转化成|f(x)max －f(x)min |＝f(x)max －f(x)min ≥e －1成立，最后仍然是求值域问题，但在求值域过程中，问题设计比较巧妙，因为在过程中还要构造函数研究单调性来确定导函数的正负． 规范解答：(1)证明：f′(x)＝a x lna ＋2x －lna ＝2x ＋(a x －1)·lna.(2分)由于a>1，故当x ∈(0，＋∞)时，lna>0，a x－1>0，所以f′(x)>0. 故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(4分)(2)解：当a>0，a≠1时，因为f′(0)＝0，且f′(x)在R 上单调递增，故f′(x)＝0有唯一解x ＝0.(6分)所以x 、f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示：x(－∞，0)(0，＋∞)f′(x)－＋f(x)极小值又函数y ＝|f(x)－t|－1有三个零点，所以方程f(x)＝t±1有三个根，而t ＋1>t －1，所以t －1＝f(x)min ＝f(0)＝1，解得t ＝2.(10分)(3)解：因为存在x 1、x 2∈[－1，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1，所以当x ∈[－1，1]时，|f(x)max －f(x)min |＝f(x)max －f(x)min ≥e －1.(12分)由(2)知，f(x)在[－1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x ∈[－1，1]时，f(x)min ＝f(0)＝1，f(x)max ＝max{f(－1)，f(1)}．而f(1)－f(－1)＝(a ＋1－lna)－＝a －－2lna ，记g(t)＝t －－2lnt(t>0)，因为g′(t)＝1＋－＝≥0(当且仅当t ＝1时取等号)，所以g(t)＝t －－2lnt 在t ∈(0，＋∞)上单调递增，而g(1)＝0， 所以当t>1时，g(t)>0；当0<t<1时，g(t)<0，也就是当a>1时，f(1)>f(－1)；当0<a<1时，f(1)<f(－1)．(14分) ①当a>1时，由f(1)－f(0)≥e －1a －lna≥e －1a≥e ， ②当0<a<1时，由f(－1)－f(0)≥e －1＋lna≥e －10＜a≤，综上知，所求a 的取值范围为∪[e ，＋∞)．(16分)7.已知函数f(x)＝lnx －ax 2＋(2－a)x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)设a>0，证明：当0<x<时，f>f；(3)若函数y ＝f(x)的图象与x 轴交于A 、B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：＜0.【答案】（1）在上单调递增，在上是减函数（2）见解析（3）见解析【解析】(1)解：f(x)的定义域为(0，＋∞), f′(x)＝－2ax ＋(2－a)＝－.①若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数． ②若a>0，则由f′(x)＝0得x ＝，且当x ∈时，f′(x)>0，当x>时，f′(x)<0.所以f(x)在上单调递增，在上是减函数.(2)解：设函数g(x)＝f－f，则g(x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax ， g′(x)＝－2a ＝.当0<x<时，g′(x)>0，而g(0)＝0，所以g(x)>0. 故当0<x<时，f>f.(3)证明：由(1)可得，当a≤0时，函数y ＝f(x)的图象与x 轴至多有一个交点， 故a>0，从而f(x)的最大值为f，且f>0.不妨设A(x 1，0)，B(x 2，0)，0<x 1<x 2，则0<x 1<<x 2.由(2)得f ＝f >f(x 1)＝0. 从而x 2>－x 1，于是x 0＝>.由(1)知，f′(x 0)<0。
全国高三高中数学专题试卷带答案解析
全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)，若f(2)>f(3)，则实数a 的取值范围是________．2.若幂函数y ＝f(x)的图象经过点，则f(25)＝________．3.函数f(x)＝ln是________(填“奇”或“偶”)函数．4.不等式lg(x －1)<1的解集为________.5.对于任意的x 1、x 2∈(0，＋∞)，若函数f(x)＝lgx ，则与f的大小关系是______________________.6.(1)设a>1，函数f(x)＝log a x 在区间[a ，2a]上的最大值与最小值之差是，则a ＝________； (2)若a ＝log 0.40.3，b ＝log 54，c ＝log 20.8，用小于号“<”将a 、b 、c 连结起来________； (3)设f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x 的取值范围是________；(4)已知函数f(x)＝|log 2x|，正实数m 、n 满足m<n 且f(m)＝f(n)，若f(x)在区间[m 2，n]上的最大值为2，则m 、n 的值分别为________.7.（1）设log a＜1，则实数a 的取值范围是________；（2）已知函数f(x)＝lg(x 2＋t)的值域为R ，则实数t 的取值范围是________；（3）若函数f(x)＝log a |x ＋1|在(－1，0)上有f(x)>0，则函数f(x)的单调减区间是________； （4）若函数f(x)＝(x 2－2ax ＋3)在(－∞，1]内为增函数，则实数a 的取值范围是________．8.已知函数f(x)＝log 2x －2log 2(x ＋c)，其中c>0，若对任意x ∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1，则c 的取值范围是________． 9.已知函数f(x)＝ln ＋1，则f(lg2)＋f ＝________．10.已知＋(0.5)－y <＋(0.5)x ，则实数x 、y 的关系为________．11.已知f(x)＝若对任意的x ∈R ，af 2(x)≥f(x)－1成立，则实数a 的最小值为________．12.若函数f(x)＝log 2|ax －1|(a ＞0)，当x≠时，有f(x)＝f(1－x)，则a ＝________．13.已知函数f(x)＝，x ∈[－1，8]，函数g(x)＝ax ＋2，x ∈[－1，8]，若存在x ∈[－1，8]，使f(x)＝g(x)成立，则实数a 的取值范围是________．14.已知函数f(x)＝|lgx|，若0<a<b ，且f(a)＝f(b)，则a ＋2b 的取值范围是________．二、解答题1.已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数． (1)求m 的值；(2)求满足不等式(a ＋1)－<(3－2a)－的实数a 的取值范围．2.已知幂函数y ＝f(x)经过点. (1)试求函数解析式；(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．3.已知函数f(x)＝log 4(4x ＋1)＋kx(k ∈R)是偶函数． (1)求k 的值； (2)设g(x)＝log 4，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．4.已知函数f(x)＝lg(a x －b x )(a>1>b>0)． (1)求函数y ＝f(x)的定义域；(2)在函数y ＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使过此两点的直线平行于x 轴； (3)当a 、b 满足什么关系时，f(x)在区间上恒取正值． 5.已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝，l 1与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点A 、B ，l 2与函数y＝|log 2x|的图象从左至右相交于点C 、D.记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a 、b.当m 变化时，求的最小值．全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、填空题1.已知函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)，若f(2)>f(3)，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(0，1)【解析】因为f(2)>f(3)，所以f(x)＝log a x 单调递减，则a ∈(0，1)．2.若幂函数y ＝f(x)的图象经过点，则f(25)＝________．【答案】【解析】设f(x)＝x α，则＝9α，∴α＝－，即f(x)＝x －，f(25)＝3.函数f(x)＝ln 是________(填“奇”或“偶”)函数．【答案】奇【解析】因为f(－x)＝ln＝ln＝－ln＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．4.不等式lg(x －1)<1的解集为________. 【答案】(1，11)【解析】由0<x －1<10，∴1<x<11.5.对于任意的x 1、x 2∈(0，＋∞)，若函数f(x)＝lgx ，则与f的大小关系是______________________. 【答案】≤f【解析】(解法1)作差运算； (解法2)寻找与f的几何意义，通过函数f(x)＝lgx 图象可得．6.(1)设a>1，函数f(x)＝log a x 在区间[a ，2a]上的最大值与最小值之差是，则a ＝________；(2)若a ＝log 0.40.3，b ＝log 54，c ＝log 20.8，用小于号“<”将a 、b 、c 连结起来________； (3)设f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x 的取值范围是________；(4)已知函数f(x)＝|log 2x|，正实数m 、n 满足m<n 且f(m)＝f(n)，若f(x)在区间[m 2，n]上的最大值为2，则m 、n 的值分别为________.【答案】(1)4(2)c ＜b ＜a(3)－1＜x ＜0(4)，2【解析】解析：(1)∵a>1，∴函数f(x)＝log a x 在区间[a ，2a]上是增函数，∴log a 2a －log a a ＝，∴a ＝4.(2)由于a>1，0<b<1，c<0，所以c<b<a. (3)由f(－x)＋f(x)＝0，得a ＝－1，则由lg<0，得解得－1<x<0.(4)结合函数f(x)＝|log 2x|的图象，易知0<m<1，n>1，且mn ＝1，所以f(m 2)＝|log 2m 2|＝2，解得m ＝，所以n＝2.7.（1）设log a＜1，则实数a 的取值范围是________；（2）已知函数f(x)＝lg(x 2＋t)的值域为R ，则实数t 的取值范围是________；（3）若函数f(x)＝log a |x ＋1|在(－1，0)上有f(x)>0，则函数f(x)的单调减区间是________； （4）若函数f(x)＝(x 2－2ax ＋3)在(－∞，1]内为增函数，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(1)0＜a ＜或a ＞1(2)a≤0(3)(－1，＋∞)(4)[1，2)【解析】(1)分a ＞1与a ＜1两种情形进行讨论． (2)值域为R 等价于x 2＋a 可以取一切正实数．(3)函数f(x)的图象是由y ＝log a |x|的图象向左平移1个单位得到，∴0<a<1. (4)令g(x)＝x 2－2ax ＋3，则解得1≤a<2.8.已知函数f(x)＝log 2x －2log 2(x ＋c)，其中c>0，若对任意x ∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1，则c 的取值范围是________． 【答案】c≥【解析】由题意，在x ∈(0，＋∞)上恒成立，所以c≥9.已知函数f(x)＝ln ＋1，则f(lg2)＋f ＝________．【答案】2【解析】f(x)＋f(－x)＝ln(－3x)＋ln(＋3x)＋2＝ln(1＋9x 2－9x 2)＋2＝2，所以f(lg2)＋f ＝f(lg2)＋f(－lg2)＝2. 10.已知＋(0.5)－y <＋(0.5)x ，则实数x 、y 的关系为________．【答案】x ＋y<0 【解析】由＋(0.5)－y <＋(0.5)x ，得－(0.5)x <－(0.5)－y .设f(x)＝－(0.5)x ，则f(x)<f(－y)，由于0< 0.5<1，所以函数f(x)是R 上的增函数，所以x<－y ，即x ＋y<011.已知f(x)＝若对任意的x ∈R ，af 2(x)≥f(x)－1成立，则实数a 的最小值为________．【答案】【解析】易得x ∈R ，f(x)>0，由af 2(x)≥f(x)－1，得 a≥≤(当且仅当f(x)＝2时等号成立)，所以实数a 的最小值为.12.若函数f(x)＝log2|ax－1|(a＞0)，当x≠时，有f(x)＝f(1－x)，则a＝________．【答案】2【解析】由f(x)＝f(1－x)，知函数f(x)的图象关于x＝对称，而f(x)＝log2＋log2|a|，从而＝，所以a＝2.13.已知函数f(x)＝，x∈[－1，8]，函数g(x)＝ax＋2，x∈[－1，8]，若存在x∈[－1，8]，使f(x)＝g(x)成立，则实数a的取值范围是________．【答案】∪[1，＋∞)【解析】分别作出函数f(x)＝，x∈[－1，8]与函数g(x)＝ax＋2，x∈[－1，8]的图象．当直线经过点(－1，1)时，a＝1；当直线经过点(8，4)时，a＝.结合图象有a≤或a≥1.14.已知函数f(x)＝|lgx|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是________．【答案】(3，＋∞)【解析】因为f(a)＝f(b)，即|lga|＝|lgb|，所以a＝b(舍去)或b＝，得a＋2b＝a＋.又0<a<b，所以0<a<1<b.令f(a)＝a＋，则f′(a)＝1－＜0，所以f(a)在a∈(0，1)上为减函数，得f(a)>f(1)＝1＋2＝3，即a＋2b的取值范围是(3，＋∞)．二、解答题1.已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数．(1)求m的值；(2)求满足不等式(a＋1)－<(3－2a)－的实数a的取值范围．【答案】（1）m＝1（2）a<－1或<a<【解析】(1)因为函数y＝x3m－9在(0，＋∞)上是减函数，所以3m－9<0，所以m<3.因为m∈N*，所以m＝1或2.又函数图象关于y轴对称，所以3m－9是偶数，所以m＝1.(2)不等式(a＋1)－<(3－2a)－即为(a＋1)－<(3－2a)－.结合函数y＝x－的图象和性质知：a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a或a＋1<0<3－2a.解得a<－1或<a<，即实数a的取值范围是a<－1或<a<.2.已知幂函数y＝f(x)经过点.(1)试求函数解析式；(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．【答案】（1）f(x)＝x－3（2），【解析】(1)由题意，得f(2)＝2a＝a＝－3，故函数解析式为f(x)＝x－3.(2)定义域为∪，关于原点对称，因为f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，故该幂函数为奇函数．其单调减区间为，3.已知函数f(x)＝log 4(4x ＋1)＋kx(k ∈R)是偶函数． (1)求k 的值； (2)设g(x)＝log 4，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）k ＝－.（2）{－3}∪(1，＋∞)．【解析】(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)，∴log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4(4－x ＋1)－kx. log 4＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，∴k ＝－.(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log 4(4x ＋1)－x ＝log 4有且只有一个实根，化简得方程2x ＋＝a·2x －a 有且只有一个实根．令t ＝2x >0，则方程(a －1)t 2－at －1＝0有且只有一个正根．①a ＝1t ＝－，不合题意；②a≠1时，Δ＝0a ＝或－3.若a ＝t ＝－2，不合题意，若a ＝－3t ＝；③a≠1时，Δ>0，一个正根与一个负根，即<0a>1.综上，实数a 的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．4.已知函数f(x)＝lg(a x －b x )(a>1>b>0)． (1)求函数y ＝f(x)的定义域；(2)在函数y ＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使过此两点的直线平行于x 轴； (3)当a 、b 满足什么关系时，f(x)在区间上恒取正值． 【答案】（1）(0，＋∞)（2）不存在（3）a≥b ＋1 【解析】(1)由a x －b x >0，得x>1，因为a>1>b>0，所以>1，所以x>0，即函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．(2)设x 1>x 2>0，因为a>1>b>0，所以ax 1>ax 2，bx 1<bx 2，则－bx 1>－bx 2，所以ax 1－bx 1>ax 2－bx 2>0，于是lg(ax 1－bx 1)>lg(ax 2－bx 2)，即f(x 1)>f(x 2)，因此函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．假设函数y ＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，使得直线AB 平行于x 轴，即x 1≠x 2，y 1＝y 2，这与f(x)是增函数矛盾．故函数y ＝f(x)的图象上不存在不同的两点，使过此两点的直线平行于x 轴．(3)由(2)知，f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，所以当x ∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)，故只需f(1)≥0，即lg(a －b)≥0，即a －b≥1，所以当a≥b ＋1时，f(x)在区间(1，＋∞)上恒取正值．5.已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝，l 1与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点A 、B ，l 2与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点C 、D.记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a 、b.当m 变化时，求的最小值． 【答案】8【解析】由题意得x A ＝m，x B ＝2m ，x C ＝，x D ＝，所以a ＝|x A －x C |＝，b ＝|x B－x D |＝，即＝＝·2m ＝2＋m.因为＋m ＝ (2m ＋1)＋－≥2－＝，当且仅当 (2m ＋1)＝，即m ＝时取等号．所以，的最小值为＝8.。
全国高三高中数学专题试卷带答案解析
全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若双曲线＝1(a>0，b>0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是()．A．(1,2)B．(1,2]C．(1，)D．(1，]2.直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于()．A．B．2C．D．43.已知抛物线y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D(如图所示)，则|AB|·|CD|的值正确的是()．A．等于1B．最小值是1C．等于4D．最大值是44.已知椭圆＝1(0<b<2)与y轴交于A，B两点，点F为该椭圆的一个焦点，则△ABF面积的最大值为()．A．1B．2C．4D．85.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线分别交于A，B两点，则的值等于()．A．5B．4C．3D．2二、填空题1.抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p ＝________.2.已知点F是双曲线＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．是椭圆＋y2＝1的左焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，则·的最大值为________．3.设F1三、解答题1.已知A ，B ，C 是椭圆W ：＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．2.如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．3.已知椭圆的焦点坐标为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2垂直于长轴的直线交椭圆于P ，Q 两点，且|PQ |＝3. (1)求椭圆的方程；(2)过F 2的直线l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，则△F 1MN 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、选择题1.若双曲线＝1(a >0，b >0)与直线y ＝x 无交点，则离心率e 的取值范围是( )．A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(1，)D ．(1，]【答案】B【解析】因为双曲线的渐近线为y ＝±x ，要使直线y ＝x 与双曲线无交点，则直线y ＝x 应在两渐近线之间，所以有≤，即b ≤a ，所以b 2≤3a 2，c 2－a 2≤3a 2，即c 2≤4a 2，e 2≤4，所以1<e ≤2.2.直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋＝0的距离等于( )． A ．B ．2C ．D ．4【答案】C【解析】直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k ，即直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的焦点.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋＝4，故x 1＋x 2＝，则弦AB 的中点横坐标是，弦AB 的中点到直线x ＋＝0的距离是＋＝.3.已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则|AB |·|CD |的值正确的是( )．A ．等于1B ．最小值是1C ．等于4D ．最大值是4【答案】A【解析】设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程， 得y 2－4ty －4＝0.设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 根据抛物线定义|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1， 故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2，所以|AB |·|CD |＝x 1x 2＝，而y 1y 2＝－4，代入上式，得|AB |·|CD |＝1.故选A.4.已知椭圆＝1(0<b <2)与y 轴交于A ，B 两点，点F 为该椭圆的一个焦点，则△ABF 面积的最大值为( )． A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】B【解析】不妨设点F 的坐标为(，0)，而|AB |＝2b ，∴S △ABF ＝×2b ×＝b＝≤＝2(当且仅当b 2＝4－b 2，即b 2＝2时取等号)，故△ABF 面积的最大值为2.5.过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线分别交于A ，B 两点，则的值等于( )．A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1>x 2，易知直线AB 的方程为 y ＝x －p ，代入抛物线方程y 2＝2px ，可得x 1＋x 2＝p ，x 1x 2＝，可得x 1＝p ，x 2＝，可得=＝3.二、填空题1.抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p＝________. 【答案】6【解析】由题意知B ，代入方程＝1得p ＝6.2.已知点F 是双曲线＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________． 【答案】(1,2)【解析】由题意知，△ABE 为等腰三角形．若△ABE 是锐角三角形，则只需要∠AEB 为锐角．根据对称性，只要∠AEF <即可．直线AB 的方程为x ＝－c ，代入双曲线方程得y 2＝，取点A，则|AF |＝，|EF |＝a ＋c ，只要|AF |<|EF |就能使∠AEF < ，即<a ＋c ，即b 2<a 2＋ac ，即c 2－ac －2a 2<0，即e 2－e －2<0，即－1<e <2.又e >1，故1<e <2.3.设F 1是椭圆＋y 2＝1的左焦点，O 为坐标原点，点P 在椭圆上，则·的最大值为________．【答案】4＋2【解析】设P (x 0，y 0)，依题意可得F 1(－，0)，则·＝＋＋x 0＝＋1－＋x 0＝＋x 0＋1＝2.又－2≤x 0≤2，所以当x 0＝2时，·取得最大值4＋2.三、解答题1.已知A ，B ，C 是椭圆W ：＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由． 【答案】（1）（2）不可能 【解析】(1)由椭圆W ：＋y 2＝1，知B (2,0)．因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分，所以可设A (1，t )，代入＋y 2＝1，得t ＝±.∴|AC |＝2|t |＝.因此菱形的面积S ＝|OB |·|AC |＝×2×＝.(2)假设四边形OABC 为菱形．因点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)． 由，消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则，∴线段AC 中点M .因为M 为AC 和OB 的交点，∴k OB ＝－.又k ·＝－≠－1，∴AC 与OB 不垂直．故四边形OABC 不是菱形，这与假设矛盾．所以，当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形2.如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程． 【答案】（1）＋y 2＝1（2）y ＝±x －1【解析】(1)由题意得所以椭圆C 1的方程为＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为y ＝kx －1.又圆C 2：x 2＋y 2＝4， 故点O 到直线l 1的距离 d ＝，所以|AB |＝2＝2.又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由 消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0，故x 0＝－.所以|PD |＝.设△ABD 的面积为S ，则S ＝|AB |·|PD |＝，所以S ＝≤＝，当且仅当k ＝±时取等号．所以所求直线l 1的方程为y ＝±x －1.3.已知椭圆的焦点坐标为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2垂直于长轴的直线交椭圆于P ，Q 两点，且|PQ |＝3. (1)求椭圆的方程；(2)过F 2的直线l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，则△F 1MN 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）＝1（2）最大值为π，且此时直线l 的方程为x ＝1.【解析】(1)设椭圆方程为＝1(a >b >0)，由焦点坐标可得c ＝1.由|PQ |＝3，可得＝3.又a 2－b 2＝1，得a ＝2，b ＝.故椭圆方程为＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，不妨令y 1>0，y 2<0， 设△F 1MN 的内切圆的半径R ， 则△F 1MN 的周长为4a ＝8，S △F 1MN ＝(|MN |＋|F 1M |＋|F 1N |)R ＝4R ，因此要使△F 1MN 内切圆的面积最大，则R 最大，此时S △F 1MN 也最大． S △F 1MN ＝F 1F 2||y 1－y 2|＝y 1－y 2，由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为x ＝my ＋1， 由得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，得y 1＝，y 2＝，则S △F 1MN ＝y 1－y 2＝，令t ＝，则t ≥1，则S △F 1MN ＝＝＝.令f (t )＝3t ＋，则f ′(t )＝3－，当t ≥1时，f ′(t )>0，所以f (t )在[1，＋∞)上单调递增， 有f (t )≥f (1)＝4，S △F 1MN ≤＝3，当t ＝1，m ＝0时，S △F 1MN ＝3，又S △F 1MN ＝4R ，∴R max ＝这时所求内切圆面积的最大值为π.故△F 1MN 内切圆面积的最大值为π，且此时直线l 的方程为x ＝1.。
全国高三高中数学专题试卷带答案解析
全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.若sin＝，则sin＝______.2.已知函数f(x)＝A cos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的______条件．3.已知cos ＋sin α＝，则sin 的值是________．4.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为________．5.将函数y＝cos x＋sin x(x∈R) 的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m 的最小值是________．6.若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.7.已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是______．8.给出下列说法：①正切函数在定义域内是增函数；②函数f(x)＝2tan 的单调递增区间是 (k∈Z)；③函数y＝2tan的定义域是；④函数y＝tan x＋1在上的最大值为＋1，最小值为0.其中正确说法的序号是________．二、解答题1.已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象的一部分如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值．2.已知函数f(x)＝sin ·sin ＋sin x cos x(x∈R)．(1)求f的值；(2)在△ABC中，若f＝1，求sin B＋sin C的最大值．3.已知函数f(x)＝sin＋cos x－，g(x)＝2sin2.(1)若α是第一象限角，且f(α)＝.求g(α)的值；(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、填空题1.若sin＝，则sin＝______.【答案】－【解析】sin＝－cos＝－cos＝2sin2－1＝－.2.已知函数f(x)＝A cos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的______条件．【答案】必要不充分【解析】φ＝⇒f(x)＝A cos ＝－A sin ωx为奇函数，∴“f(x)是奇函数”是“φ＝”的必要条件．又f(x)＝A cos(ωx＋φ)是奇函数⇒f(0)＝0⇒φ＝＋kπ(k∈Z)D/⇒φ＝.∴“f(x)是奇函数”不是“φ＝”的充分条件．3.已知cos ＋sin α＝，则sin 的值是________．【答案】-【解析】cos ＋sin α＝cos α＋sin α＝，∴cos α＋sin α＝，即sin ＝.故sin ＝－sin ＝－4.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为________．【答案】2【解析】由f＝0知是f(x)图象的一个对称中心，又x＝是一条对称轴，所以应有解得ω≥2，即ω的最小值为25.将函数y＝cos x＋sin x(x∈R) 的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m 的最小值是________．【答案】【解析】y＝cos x＋sin x＝2sin ，向左平移m个单位长度后得到y＝2sin ，由它关于y轴对称可得sin(＋m)＝±1，∴＋m＝kπ＋，k∈Z，∴m＝kπ＋，k∈Z又m>0，∴m的最小值为.6.若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.【答案】【解析】由题意知f(x)的一条对称轴为直线x＝，和它相邻的一个对称中心为原点，则f(x)的周期T＝，从而ω＝.7.已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是______．【答案】【解析】由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin，那么当x∈时，－≤2x－≤，所以－≤sin(2x－)≤1，故f(x)∈.8.给出下列说法：①正切函数在定义域内是增函数；②函数f(x)＝2tan 的单调递增区间是 (k∈Z)；③函数y＝2tan的定义域是；④函数y＝tan x＋1在上的最大值为＋1，最小值为0.其中正确说法的序号是________．【答案】②④【解析】①正切函数在定义域内不具有单调性，故错误；②由kπ－＜x＋＜kπ＋ (k∈Z)，解得x∈ (k∈Z)，故正确；③由2x＋≠＋kπ(k∈Z)，解得x≠ (k∈Z)，故错误；④因为函数y＝tan x＋1在上单调递增，所以x＝时取得最大值为＋1，x＝－时取得最小值为0，故正确，所以正确说法是②④.二、解答题1.已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象的一部分如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值．【答案】（1）f(x)＝2sin（2）x＝－时，最大值为, x＝－4时，小值为－2【解析】(1)由图象知A＝2，T＝8＝，∴ω＝，得f(x)＝2sin.由×1＋φ＝2kπ＋⇒φ＝2kπ＋，又|φ|<，∴φ＝.∴f(x)＝2sin.(2)y＝2sin＋2sin＝2sin＋2cos.＝2sin＝2cos x，∵x∈，∴x∈，∴当x＝－，即x＝－时，y的最大值为；当x＝－π，即x＝－4时，y的最小值为－2.2.已知函数f(x)＝sin ·sin ＋sin x cos x(x∈R)．(1)求f的值；(2)在△ABC中，若f＝1，求sin B＋sin C的最大值．【答案】（1）1（2）【解析】(1)f(x)＝sin sin＋sin x cos x＝cos 2x＋sin 2x＝sin，所以f＝1.(2)由f＝1，有f＝sin＝1，因为0＜A＜π，所以A＋＝，即A＝.sin B＋sin C＝sin B＋sin＝sin B＋cos B＝sin.因为0＜B＜，所以＜B＋＜π，0＜sin≤1，所以sin B＋sin C的最大值为.3.已知函数f(x)＝sin＋cos x－，g(x)＝2sin2.(1)若α是第一象限角，且f(α)＝.求g(α)的值；(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．【答案】（1）（2）{x|2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z}【解析】f(x)＝sin＋cos＝sin x－cos x＋cos x＋sin x＝sin x，g(x)＝2sin2＝1－cos x.(1)由f(α)＝，得sin α＝，又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g(α)＝1－cos α＝1－＝1－＝.(2)f(x)≥g(x)等价于sin x≥1－cos x，即sin x＋cos x≥1.于是sin≥.从而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z.故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为{x|2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z}。
全国高三高中数学专题试卷带答案解析
全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、解答题1.甲、乙两人玩猜数字游戏，规则如下：①连续竞猜3次，每次相互独立；②每次竞猜时，先由甲写出一个数字，记为a，再由乙猜甲写的数字，记为b，已知a，b∈{0,1,2,3,4,5}，若|a－b|≤1，则本次竞猜成功；③在3次竞猜中，至少有2次竞猜成功，则两人获奖．求甲乙两人玩此游戏获奖的概率．2.某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A，B，C，D，E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A，B，C，D四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为.(1)求该生被录取的概率；(2)记该生参加考试的项数为X，求X的分布列和期望．3.某次考试中，从甲，乙两个班各抽取10名学生的成绩进行统计分析，两班10名学生成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格．(1)从每班抽取的学生中各抽取一人，求至少有一个及格的概率；(2)从甲班10人中取两人，乙班10人中取一人，三人中及格人数记为X，求X的分布列和数学期望．4.盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字－1,0,1,2.称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验(设每次试验的结果互不影响)．(1)在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；(2)在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；(3)在两次试验中，记卡片上的数字分别为X，η，试求随机变量X＝X·η的分布列与数学期望E(X)．5.现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得1分，没有命中得0分；向乙靶射击一次，命中的概率为，命中得2分，没有命中得0分，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中两次的概率；(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望E(X)；(3)求该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率．全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、解答题1.甲、乙两人玩猜数字游戏，规则如下：①连续竞猜3次，每次相互独立；②每次竞猜时，先由甲写出一个数字，记为a，再由乙猜甲写的数字，记为b，已知a，b∈{0,1,2,3,4,5}，若|a－b|≤1，则本次竞猜成功；③在3次竞猜中，至少有2次竞猜成功，则两人获奖．求甲乙两人玩此游戏获奖的概率．【答案】【解析】由题意基本事件的总数为×＝36(个)，记事件A为“甲乙两人一次竞猜成功”，若|a－b|＝0，则共有6种竞猜成功；若|a－b|＝1，a＝1,2,3,4时，b分别有2个值；而a＝0或5时，b只有一种取值．利用古典概型的概率计算公式即可得出P(A)＝＝.设随机变量X表示在3次竞猜中竞猜成功的次数，则甲、乙两人获奖的概率P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－×03－12＝.2.某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A，B，C，D，E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A，B，C，D四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为.(1)求该生被录取的概率；(2)记该生参加考试的项数为X，求X的分布列和期望．【答案】（1）（2）【解析】(1)该生被录取，则A，B，C，D四项考试有4项合格或3项合格，并且第五项也合格，所以该生被录取的概率为P＝＝.(2)该生参加考试的项数X可以是2,3,4,5.P(X＝2)＝×＝；P(X＝3)＝××＝；P(X＝4)＝×2×＝；P(X＝5)＝1－－－＝.X的分布列为：E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.3.某次考试中，从甲，乙两个班各抽取10名学生的成绩进行统计分析，两班10名学生成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格．(1)从每班抽取的学生中各抽取一人，求至少有一个及格的概率；(2)从甲班10人中取两人，乙班10人中取一人，三人中及格人数记为X，求X的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）【解析】(1)由茎叶图可知甲班有4人及格，乙班5人及格．事件“从两班10名学生中各抽取一人，至少有一人及格”记作A，则P(A)＝1－＝1－＝.(2)X取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＋＝，P(X＝2)＝＋＝，P(X＝3)＝＝.所以X的分布列为X 0123因此E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.4.盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字－1,0,1,2.称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验(设每次试验的结果互不影响)．(1)在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；(2)在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；(3)在两次试验中，记卡片上的数字分别为X，η，试求随机变量X＝X·η的分布列与数学期望E(X)．【答案】（1）（2）（3）【解析】(1)记事件A为“在一次试验中，卡片上的数字为正数”，则P(A)＝＝.(2)记事件B为“在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数”．由(1)可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是.所以P(B)＝1－＝.(3)由题意可知，X，η的可能取值都为－1,0,1,2，所以随机变量X的可能取值为－2，－1,0,1,2,4.P(X＝－2)＝××2＝；P(X＝－1)＝××2＝；P(X＝0)＝××7＝；P(X＝1)＝××2＝；P(X＝2)＝××2＝；P(X＝4)＝×＝.所以随机变量X的分布列为X－2－10124所以E(X)＝－2×－1×＋0×＋1×＋2×＋4×＝.5.现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得1分，没有命中得0分；向乙靶射击一次，命中的概率为，命中得2分，没有命中得0分，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中两次的概率；(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望E(X)；(3)求该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】(1)记：“该射手恰好命中两次”为事件A，“该射手第一次射击甲靶命中”为事件B，“该射手第二次射击甲靶命中”为事件C ，“该射手射击乙靶命中”为事件D . 由题意知，P (B )＝P (C )＝，P (D )＝，所以P (A )＝P (BC)＋P (B D )＋P (CD )＝P (B )P (C )P ()＋P (B )P ()P (D )＋P ()P (C )P (D )＝××＋××＋××＝.(2)根据题意，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4.P (X ＝0)＝P ()＝××＝；P (X ＝1)＝P (B )＋P (C)＝××＋××＝； P (X ＝2)＝P (BC )＋P (D )＝××＋××＝；P (X ＝3)＝P (BD )＋P (CD )＝××＋××＝； P (X ＝4)＝P (BCD )＝××＝.故X 的分布列为X 0 1 2 3 4所以E (X )＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.(3)设“该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次”为事件A 1，“该射手向甲靶射击命中一次且向乙靶射击未命中”为事件B 1，“该射手向甲靶射击命中2次且向乙靶射击命中”为事件B 2，则A 1＝B 1∪B 2，B 1，B 2为互斥事件． P (A 1)＝P (B 1)＋P (B 2)＝××＋××＝. 所以，该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率为.。
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高中数学专题
专题01 集合与简易逻辑
一集合
1．1集合
1．2 子集、全集、补集
1．3交集、并集
二简易逻辑
1．6逻辑联结词
1．7四种命题
1．8充分条件与必要条件
专题02 函数
一函数
2．1函数
2．2函数的表示法
2．3函数的单调性
2．4反函数
二指数与指数函数
2．5指数
2．6指数函数
三对数与对数函数
2．7对数
2．8对数函数
2．9函数的应用举例
专题03 数列
第三章数列
3．1数列
3．2等差数列
3．3等差数列的前n项和
3．4等比数列
3．5等比数列的前n项和
专题04 三角函数
一任意角的三角函数
4．1角的概念的推广
4．2弧度制
4．3任意角的三角函数
4．4同角三角函数的基本关系式
4．5正弦、余弦的诱导公式
二两角和与差的三角函数
4．6两角和与差的正弦、余弦、正切
4．7二倍角的正弦、余弦、正切
三三角函数的图象和性质
4．8正弦函数、余弦函数的图象和性质
4．9函数y=Asin（ωx+φ）的图象
4．10正切函数的图象和性质
4．11已知三角函数值求角
四解斜三角形
5．9正弦定理、余弦定理
5．10解斜三角形应用举例
专题05 平面向量
一向量及其运算
5．1向量
5．2向量的加法与减法
5．3实数与向量的积
5．4平面向量的坐标运算
5．5线段的定比分点
5．6平面向量的数量积及运算律
5．7平面向量数量积的坐标表示
5．8平移
专题06 不等式
1．4含绝对值的不等式解法
1．5一元一次不等式解法
6．1不等式的性质
6．2算术平均数与几何平均数
6．3不等式的证明
6．4不等式的解法举例
6．5含有绝对值的不等式
专题07 直线与圆的方程
7．1直线的倾斜角和斜率
7．2直线的方程
7．3两条直线的位置关系
7．4简单的线性规划
7．5曲线和方程
7．6圆的方程
专题08 圆锥曲线
8．1椭圆及其标准方程
8．2椭圆的简单几何性质
8．3双曲线及其标准方程
8．4双曲线的简单几何性质
8．5抛物线及其标准方程
8．6抛物线的简单几何性质
专题09 立体几何
9．1平面的基本性质
9．2空间的平行直线与异面直线
9．3直线和平面平行与平面和平面平行
9．4直线和平面垂直
9．5空间向量及其运算
9．6空间向量的坐标运算
9．7直线和平面所成的角与二面角
9．8距离
9．9棱柱与棱锥
9．10球
专题10 排列、组合、二项式定理
10．1分类计数原理与分步计数原理
10．2排列
10．3组合
10．4二项式定理
专题11 概率与统计（理科）
11．1随机事件的概率
11．2互斥事件有一个发生的概率
11．3相互独立事件同时发生的概率
1．1离散型随机变量的分布列
1．2离散型随机变量的期望与方差
1．3抽样方法
1．4总体分布的估计
1．5正态分布
1．6线性回归
专题11 概率与统计（文科）
11．1随机事件的概率
11．2互斥事件有一个发生的概率
11．3相互独立事件同时发生的概率
1．1抽样方法
1．2总体分布的估计
1．3总体期望值和方差的估计
专题12 复数、推理与证明
2．1数学归纳法及其应用举例
2．2数列的极限
2．3函数的极限
2．4极限的四则运算
2．5函数的连续性
3．1导数的概念
3．2几中常见函数的导数
3．3函数的和、差、积、商的导数
3．4复合函数的导数
3．5对数函数与指数函数的导数
3．6函数的单调性
3．7函数的极值
3．8函数的最大值与最小值
4．1复数的概念
4．2复数的运算
4．3数系的扩充
专题12导数（文科）
2．1导数的背景
2．2导数的概念
2．3多项式函数的导数
2．4函数的单调性与极值
2．5函数的最大值与最小值
2．6微积分建立的时代背景和历史意义。