高中数学必修二《直线的倾斜角与斜率》课件
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高中数学人教版必修2直线的倾斜角与斜率 课件PPT
考（）
探 索 ○2 直线l 的斜率为 tan30 ，则它的倾斜角为30 .（ ） 新 知 ○3 直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为 tan . （ ）
○4 直线的斜率为 tan ，则它的倾斜角为 . （ ）
动 脑 问题 6：在平面直角坐标系中，已知直线上两点 P1(x1, y1), P2(x2, y2) 且 思 考 x1 x2 ，能否用 P1, P2 的坐标来表示直线斜率 k ？
设点 P1(x1, y1)、P2 (x2 , y2 ) 为直线l上的任意两点，则直
线l的斜率为
k y2 y1 x2 x1
(x1 x2 )
当 P1、P2 的纵坐 标相同时，斜率是否
存在？倾角是多少？
例2 根据下面各直线满足的条件，分别求出直线的斜率：
（1）倾斜角为 30 ；
巩
（2）直线过点A(2, 2) 与点 B(1,1)
k 0
90
90 180 0
k 不存在
k 0
k 0
问题 5：倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度，哪个量更优越？
倾斜角：从“形”的角度 斜 率：从“数”的角度
动
例1、 判断下列命题是否正确：
脑 思 ○1 直线l1 、l2 的倾斜角分别为 、 ，斜率分别为 k1 、k2 ，若 （, 为锐角），则 k1 k2 .
整 体 建
k y2 y1 x2 x1
(x1 x2 ).
构
作业
继 续
读书部分：阅读教材相关章节
探
书面作业：教材习题8.2 A（必做）
索
活
教材习题8.2 B（选做）
动
探
实践调查：编写一道关于求直线
究
高中数学人教A版必修23.直线的倾斜角与斜率PPT课件
正向与直线向上方向之间所成的 角叫做直线的 倾斜角。
y
l
p
o x
y
ly
p
o x
o p x
y
p
l
o
x
l
规定：当直线和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0° 注意： (1)直线向上方向；(2)x轴的正方向。
问题1：下列图中标出的直线的倾斜角对不对？如果不对， 违背了定义中的哪一条？
y
y
y
y
o x
o
x o
解：
直线AB的斜率
k AB
22 84
0
直线BC的斜率
kBC
22 0 (8)
4 8
1 2
直线CA的斜率
kCA
2 (2) 40
4 4
1
y.
B
.A
.
.
. . o.
.
.
.
x
C
∵ kAB 0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。
∵ kBC 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角。
∵ kCA 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角
三、直线的倾斜角与斜率的关系：
问题4：当 =0°时，k值如何？
当0°＜ ＜ 90°时，k值如何？ 当 =90°时，k值如何？ 当90° ＜ ＜180°时，k值如何？
a 0 k tan 0 0
0 a 90 k tan a 0
a
90
tan
a(不存在)
k不存在
90 a 180 k tan a 0 高 中 数 学 人 教A版必 修23. 直线的 倾斜角 与斜率 PPT课件
通过问题2的分析可知倾斜角的取值范围是
0°≤ ＜180°
在此范围内，坐标平面上的任何一条直线都有唯一的 倾斜角。而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向，倾斜 角直观地表示了直线对x轴正方向的倾斜程度。
y
l
p
o x
y
ly
p
o x
o p x
y
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o
x
l
规定：当直线和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0° 注意： (1)直线向上方向；(2)x轴的正方向。
问题1：下列图中标出的直线的倾斜角对不对？如果不对， 违背了定义中的哪一条？
y
y
y
y
o x
o
x o
解：
直线AB的斜率
k AB
22 84
0
直线BC的斜率
kBC
22 0 (8)
4 8
1 2
直线CA的斜率
kCA
2 (2) 40
4 4
1
y.
B
.A
.
.
. . o.
.
.
.
x
C
∵ kAB 0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。
∵ kBC 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角。
∵ kCA 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角
三、直线的倾斜角与斜率的关系：
问题4：当 =0°时，k值如何？
当0°＜ ＜ 90°时，k值如何？ 当 =90°时，k值如何？ 当90° ＜ ＜180°时，k值如何？
a 0 k tan 0 0
0 a 90 k tan a 0
a
90
tan
a(不存在)
k不存在
90 a 180 k tan a 0 高 中 数 学 人 教A版必 修23. 直线的 倾斜角 与斜率 PPT课件
通过问题2的分析可知倾斜角的取值范围是
0°≤ ＜180°
在此范围内，坐标平面上的任何一条直线都有唯一的 倾斜角。而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向，倾斜 角直观地表示了直线对x轴正方向的倾斜程度。
直线的倾斜角与斜率完整(公开课)ppt课件
直线的斜率
定义：我们把一条直线的的倾斜角的正切值叫做 这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
ktan（ 90）
注：倾斜角是90 °的直线没有斜率。 我们也可以用斜率表示直线的倾斜程度
试一试 提 ta 1 示 - n 8 - 0 t： a n
已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率.
( 1 ) 3 0 o ; ( 2 ) 4 5 o ; ( 3 ) 1 2 0 o ; ( 4 ) 1 3 5 o ;
y
这些直线有何区别？
l O Px
它们的倾斜程度不同．
用什么量来刻画直 线的倾斜程度？
直线的倾斜角
定义：当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基 准，x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做 直线 l 的倾斜角．
y
规定 当直线l与x轴平行或重合时，
它的倾斜角为 0 .
注意： (1)直线向上方向； o (2)x轴的正方向。
()
⑤两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等 ( )
⑥平行于x轴的直线的倾斜角是 0或π ( )
典例讲解
1 、 若 直 线 的 倾 斜 角 为 6 ， 3 ， 求 斜 率 k 的 取 值 范 围 。
变式训练
1 、 若 直 线 的 倾 斜 角 为 6 ， 3 4 ， 求 斜 率 k 的 取 值 范 围 。
如图，直线的斜率分别为，则（C）
A．k1k2 k3 B． k3 k1 k2
Y
l1
C．k3 k2 k1 D．k1 k3 k2
O
X
l3
判断正误：
①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为 tan（ ）
②直线的斜率的范围是 (,)
（）
∨
③任一条直线都有倾斜角，所以任一条直线都有
定义：我们把一条直线的的倾斜角的正切值叫做 这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
ktan（ 90）
注：倾斜角是90 °的直线没有斜率。 我们也可以用斜率表示直线的倾斜程度
试一试 提 ta 1 示 - n 8 - 0 t： a n
已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率.
( 1 ) 3 0 o ; ( 2 ) 4 5 o ; ( 3 ) 1 2 0 o ; ( 4 ) 1 3 5 o ;
y
这些直线有何区别？
l O Px
它们的倾斜程度不同．
用什么量来刻画直 线的倾斜程度？
直线的倾斜角
定义：当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基 准，x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做 直线 l 的倾斜角．
y
规定 当直线l与x轴平行或重合时，
它的倾斜角为 0 .
注意： (1)直线向上方向； o (2)x轴的正方向。
()
⑤两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等 ( )
⑥平行于x轴的直线的倾斜角是 0或π ( )
典例讲解
1 、 若 直 线 的 倾 斜 角 为 6 ， 3 ， 求 斜 率 k 的 取 值 范 围 。
变式训练
1 、 若 直 线 的 倾 斜 角 为 6 ， 3 4 ， 求 斜 率 k 的 取 值 范 围 。
如图，直线的斜率分别为，则（C）
A．k1k2 k3 B． k3 k1 k2
Y
l1
C．k3 k2 k1 D．k1 k3 k2
O
X
l3
判断正误：
①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为 tan（ ）
②直线的斜率的范围是 (,)
（）
∨
③任一条直线都有倾斜角，所以任一条直线都有
直线的斜率与倾斜角ppt
斜率的计算公式
对于直线上的两点$(x_1, y_1)$和 $(x_2, y_2)$，斜率$m$可由下式计算： $m = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
当$x_2$与$x_1$相等时，斜率不存在 ，表示直线垂直于x轴。
斜率与倾斜角的关系
斜率与倾斜角$alpha$之间存在一一 对应关系，即斜率等于倾斜角正切值， 即$m = tanalpha$。
倾斜角定义
直线倾斜角是指直线与x 轴正方向之间的夹角，通 常用α表示，取值范围为 [0,π)。
计算方法
斜率m=tan(α)，其中α为 直线的倾斜角。
直线的斜率与倾斜角的关系及应用
关系
直线的斜率与倾斜角α是线性关系，即 m=tan(α)。当α在[0,π/2)范围内时，斜 率为正，表示直线从左下到右上上升； 当α在(π/2,π)范围内时，斜率为负，表 示直线从左上到右下下降。
直线的斜率与倾斜角
目录
• 直线的斜率 • 直线的倾斜角 • 直线的斜率与倾斜角的应用 • 特殊情况的讨论 • 总结与回顾
01 直线的斜率
斜率的定义
01
斜率是直线在平面上的倾斜程度 ，表示为直线上的任意两点间纵 坐标差与横坐标差之商。
02
斜率是直线的重要属性，用于描 述直线的方向和倾斜程度，是解 析几何中重要的概念之一。
中研究直线的基础。
计算距离和角度
利用直线的斜率和倾斜角，可以计 算直线上的点到直线的垂直距离， 以及两条直线之间的夹角。
解决几何问题
在解决几何问题时，如求两条直线 的交点、判断直线与圆的位置关系 等，需要使用直线的斜率和倾斜角。
在物理学中的应用
描述运动轨迹
在物理学中，直线的斜率和倾斜 角可以用来描述物体的运动轨迹， 如自由落体运动、抛物线运动等。
【人教版】高中数学必修二：《直线的倾斜角与斜率》ppt课件
3.设是直线 l 的倾斜角,k为其斜率 当0k1时, 的取值范围是_0_____4_5__
2020/6/26
35
例1 、如图，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求
直线AB、BC、CA的斜率，并判断这 些直线
的倾斜角是什么角？
解：
y.
B
.A
直线AB的斜率
k AB
22 84
0
.
.
. . o.
3x 3
450 y x
1350 y x
2020/6/26
系 数 是 倾 斜 角 正 切 值
24
定义:
倾斜角不是 900 的直线,它的倾斜角的正
切叫做这条直线的斜率.
记作 k ,即 k tan
倾斜角为 900的直线没有斜率.
2020/6/26
25
练习:指出下列直线的倾斜角和斜率.
(1)y 3x (2)y 3x (3)y 3 x
2020/6/26
8
问题：已知直线上的两个点，如何求直线的斜率呢？
P2 (x2 ,y2 )
三、直线的斜率公式
2 P1( x1 ,y1)
△x
△y
1
k y x
y2 y1
x x 2020/6/26
2
1
9
你注意到了吗？
1.当x1=x2时，公式右边没有意义，直线的斜率不存 在；
2. K与点P1、P2的顺序无关； 3.斜率k可以不通过倾斜角而由直线上两点的坐标求 得；
yl
o
x
2020/6/26
18
练习：
下列四图中，表示直线的倾斜角的是( A )
y
y
o
o
x x
2020/6/26
35
例1 、如图，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求
直线AB、BC、CA的斜率，并判断这 些直线
的倾斜角是什么角？
解：
y.
B
.A
直线AB的斜率
k AB
22 84
0
.
.
. . o.
3x 3
450 y x
1350 y x
2020/6/26
系 数 是 倾 斜 角 正 切 值
24
定义:
倾斜角不是 900 的直线,它的倾斜角的正
切叫做这条直线的斜率.
记作 k ,即 k tan
倾斜角为 900的直线没有斜率.
2020/6/26
25
练习:指出下列直线的倾斜角和斜率.
(1)y 3x (2)y 3x (3)y 3 x
2020/6/26
8
问题：已知直线上的两个点，如何求直线的斜率呢？
P2 (x2 ,y2 )
三、直线的斜率公式
2 P1( x1 ,y1)
△x
△y
1
k y x
y2 y1
x x 2020/6/26
2
1
9
你注意到了吗？
1.当x1=x2时，公式右边没有意义，直线的斜率不存 在；
2. K与点P1、P2的顺序无关； 3.斜率k可以不通过倾斜角而由直线上两点的坐标求 得；
yl
o
x
2020/6/26
18
练习：
下列四图中，表示直线的倾斜角的是( A )
y
y
o
o
x x
《直线倾斜角和斜率》课件
斜率决定了直线与x轴之间的夹角，即倾斜角。
斜率与直线图像的平移
01 斜率不变，平移直线图像
当直线沿x轴或y轴平移时，其斜率保持不变。
02 平移影响直线与坐标轴的交点
平移会导致直线与x轴或y轴的交点发生变化。
03 平移影响直线与坐标轴的距离
平移距离决定了直线与坐标轴之间的距离。
斜率与直线图像的旋转
斜率的计算公式
总结词
斜率的计算公式是$frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$，其中 $(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$是直线上任意两点的坐标。
详细描述
根据定义，斜率是直线在坐标系中倾斜程度的数值表示 。通过两点坐标可以计算出直线的斜率。当两点横坐标 相等时，斜率不存在。
在电磁学中，斜率可以用来描述电流与电 压之间的关系。
在重力场中，斜率可以用来描述物体下落 的加速度。
在光学中，斜率可以用来描述光的折射率 。
斜率在经济学中的应用
斜率在经济学中常被用于描述供求关 系，即需求曲线和供给曲线的斜率。
斜率在经济学中还可以用于描述边际 效用、边际成本等概念。
需求曲线的斜率表示价格与需求量之 间的关系，供给曲线的斜率表示价格 与供给量之间的关系。
1 2
斜率随旋转角度而变化
当直线围绕原点旋转时，其斜率会发生变化。
旋转影响直线与坐标轴的夹角
旋转角度决定了直线与x轴之间的夹角。
3
旋转影响直线图像的对称性
在某些旋转角度下，直线图像可能会呈现对称性 。
直线的斜率在实际生活中的05 Nhomakorabea应用
斜率在物理中的应用
斜率在物理中常被用于描述物体的运动状 态，如速度、加速度等。
关系图通常以角度为横轴，以 斜率为纵轴，使用不同的线型 或标记表示不同倾斜角下的斜 率值。
斜率与直线图像的平移
01 斜率不变，平移直线图像
当直线沿x轴或y轴平移时，其斜率保持不变。
02 平移影响直线与坐标轴的交点
平移会导致直线与x轴或y轴的交点发生变化。
03 平移影响直线与坐标轴的距离
平移距离决定了直线与坐标轴之间的距离。
斜率与直线图像的旋转
斜率的计算公式
总结词
斜率的计算公式是$frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$，其中 $(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$是直线上任意两点的坐标。
详细描述
根据定义，斜率是直线在坐标系中倾斜程度的数值表示 。通过两点坐标可以计算出直线的斜率。当两点横坐标 相等时，斜率不存在。
在电磁学中，斜率可以用来描述电流与电 压之间的关系。
在重力场中，斜率可以用来描述物体下落 的加速度。
在光学中，斜率可以用来描述光的折射率 。
斜率在经济学中的应用
斜率在经济学中常被用于描述供求关 系，即需求曲线和供给曲线的斜率。
斜率在经济学中还可以用于描述边际 效用、边际成本等概念。
需求曲线的斜率表示价格与需求量之 间的关系，供给曲线的斜率表示价格 与供给量之间的关系。
1 2
斜率随旋转角度而变化
当直线围绕原点旋转时，其斜率会发生变化。
旋转影响直线与坐标轴的夹角
旋转角度决定了直线与x轴之间的夹角。
3
旋转影响直线图像的对称性
在某些旋转角度下，直线图像可能会呈现对称性 。
直线的斜率在实际生活中的05 Nhomakorabea应用
斜率在物理中的应用
斜率在物理中常被用于描述物体的运动状 态，如速度、加速度等。
关系图通常以角度为横轴，以 斜率为纵轴，使用不同的线型 或标记表示不同倾斜角下的斜 率值。
高中数学人教版必修2直线的倾斜角与斜率 课件PPT
2
3、 k 的图像
y
y
l
l
O
x
α
O
x
yyyOππx2
l
α
A
O
l
α
x
O
x
例 1、直线 l 的斜率 k 1,1 ，则直线 l 的倾斜角
。
例 2、已知直线 l 的倾斜角是 15o ，则 的范围是（
）
（A） 0o 180o （B）15o 180o （C）15o 180o （D）15o 195o
4、直线 l 上两点 P x1, y1 ,Q x2, y2 ，当 x1 x2 时，
y
k y1 y2 x1 x2
Q(x2,y2)
l
P(x1,y1)
M(x2,y1)
O
x
注意倾斜角为 90o 时斜率不存在。
例题 3 已知点 A3, 2, B4,1,C(0, 1) ，求直线 AB, BC,CA 的斜率，并判断这些直线
3.1.1直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角、斜率
1、直线的倾斜角 ：
（1）若直线 l / /x 轴，或 l 与 x 轴重合， 0
（2）若直线 l 与 x 轴相交，直线向上的方向与 x 轴正方向所成的最小正角是倾斜角。
（3） 0, ；
y
y
l
O
x
l
α
O
x
y
l
α
A
O
y
l
α
x
O
x
2、直线的斜率 k ： k tan ， 0, , 且
的倾斜角是钝角还是锐角？
例题 4、过点 P2,3 的直线 l 与线段 AB 有公共点，其中 A1,1 、 B4, 1。求直线 l 的
3、 k 的图像
y
y
l
l
O
x
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α
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例 1、直线 l 的斜率 k 1,1 ，则直线 l 的倾斜角
。
例 2、已知直线 l 的倾斜角是 15o ，则 的范围是（
）
（A） 0o 180o （B）15o 180o （C）15o 180o （D）15o 195o
4、直线 l 上两点 P x1, y1 ,Q x2, y2 ，当 x1 x2 时，
y
k y1 y2 x1 x2
Q(x2,y2)
l
P(x1,y1)
M(x2,y1)
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注意倾斜角为 90o 时斜率不存在。
例题 3 已知点 A3, 2, B4,1,C(0, 1) ，求直线 AB, BC,CA 的斜率，并判断这些直线
3.1.1直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角、斜率
1、直线的倾斜角 ：
（1）若直线 l / /x 轴，或 l 与 x 轴重合， 0
（2）若直线 l 与 x 轴相交，直线向上的方向与 x 轴正方向所成的最小正角是倾斜角。
（3） 0, ；
y
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O
x
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α
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x
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α
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2、直线的斜率 k ： k tan ， 0, , 且
的倾斜角是钝角还是锐角？
例题 4、过点 P2,3 的直线 l 与线段 AB 有公共点，其中 A1,1 、 B4, 1。求直线 l 的
2-1-1倾斜角与斜率 课件(共43张PPT)
④若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)；
⑤若α是直线l的倾斜角，且sinα＝ 22，则α＝45°.
其中正确命题的个数是( A )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 (1)都不满足倾斜角的定义，图(3)中α与倾斜角的 大小一样，但不是倾斜角．
(2)任意一条直线有唯一的倾斜角；倾斜角不可能为负；倾 斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此①正确，② ③错误．④中当α＝0°时，sinα＝0，故④错误．⑤中α有可能为 135°，故⑤错误．
答：不对．
当x1≠x2时，k＝yx22－ －yx11＝xy11－－xy22； 当x1＝x 2时，斜率不存在．
课时学案
题型一 倾斜角的求法
例1 (1)下列图中标出的直线的倾斜角中正确的有___0_____ 个．
(2)给出下列命题：
①任意一条直线有唯一的倾斜角；
②一条直线的倾斜角可以为－30π；
③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；
2．斜率与倾斜角的关系
设直线的倾斜角为α，斜率为k.
α的大小 0°
0°<α<90°
90° 90°<α<180°
k的范围 k＝0
k>0
不存在
k<0
k的增减性 相同 随α的增大而增大 无 随α的增大而增大
3.任意过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率均为k＝
y2－y1 x2－x1
对吗？
在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜 角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方 向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等．因此，我们 可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也 就表示了直线的方向．
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这说明当倾斜角不等于零的两条直线关于 x 轴对称时，两条 直线的倾斜角互补，如果倾斜角不等于 90°，则两条直线的斜率 互为相反数．
第44讲 │ 要点探究
要点探究
► 探究点1 直线的倾斜角和斜率
例 1 (1)过 P(4，－3)，Q(2，y)两点的直线的倾斜角是34π， 则 y 的值是( )
A．－5 B．－1 C．1 D．5 (2)已知过点 P(1－a,1＋a)与点 Q(3,2a)的直线的倾斜角是 钝角，则实数 a 满足的条件是( ) A．－2<a<1 B．－1<a<2 C．1<a<2 D．－12<a<1
第44讲 │ 要点探究
► 探究点3 直线方程的综合应用
例 3 如图 44－1，一科学考察船从港口 O 出发，沿北偏东 α
角的射线 OZ 方向航行，而在离港口 O 13a n mile(a 为正常数)的
北偏东 β 角的 A 处有一个供给科考船物资的小岛，其中已知 tanα
＝13，cosβ＝
2 13
.现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口 O 正东 m n
③直线 l 在 x 轴上的截距为12；
④直线 l 在 y 轴上的截距为－1；
⑤这样的直线 l 有两条．
则其中正确结论的序号是________．
第44讲 │ 要点探究
[答案] (1)A (2)②④
[解析] (1)直线 y＝－x－1 的斜率是－1，故其倾斜角是34π， ∴所求直线的倾斜角是π2，直线与 x 轴垂直，故所求直线的方程 是 x＝2；(2)依题意直线 l 与直线 l1 的倾斜角互补，故其斜率为－ 2，过点 P(－1,1)，故直线 l 的方程为 2x＋y＋1＝0.故正确结论只 有②④.
第44讲 │ 要点探究
[点评] 直线方程中点斜式方程最为根本，但要注意这个形式 的方程，当直线的倾斜角等于 90°时，不能应用；求直线方程关 键是求出确定直线的几何要素，即直线的倾斜角和直线经过的 点，只要这两个要素清楚了，就可以写出直线方程；使用直线的 截距式方程时，要始终考虑两个问题，一是直线的截距是不是存 在，二是直线的截距是不是零，不然很容易出现错误．
[答案]错
[解析] 能使用两点式表示的直线和两条坐标轴不平行， 这样的直线一定存在斜率和在 y 轴上的截距，所以可以使用斜 截式表示；能用斜截式表示的直线当斜率 k≠0，可在直线上 任取两点使用两点式表示，当斜率 k＝0 时，由于直线上任意 两点的纵坐标相等，此时不能使用两点式表示．
第44讲 │ 问题思考
第44讲 │ 要点探究
[思路]
(1)根据斜率和倾斜角的关系，即直线的斜率是
3π tan 4
＝－1；(2)倾斜角为钝角时，直线的斜率为负值，根据过两点的
斜率公式，求出斜率解不等式即可．
[答案] (1)B (2)A
第44讲 │ 要点探究
[解析] (1)由y2＋ －34＝tan34π＝－1 解得 y＝－1.故选 B. (2)tanα＝k＝23a－－11－＋aa＝aa－ ＋12<0，即(a－1)(a＋2)<0，故得 －2<a<1.
(3)一般式：任何一条直线都能表示为 Ax＋By＋C＝0(A2＋ B2≠0)的形式．
当 A＝0 时，则表示平行于 x 轴的直线； 当 B＝0 时，则表示平行于 y 轴的直线； 当 B≠0 时，直线的斜率 k＝－BA，在 y 轴上的截距 b＝－CB.
第44讲 │ 问题思考
问题思考
► 问题 1 倾斜角与斜率 (1)任何直线都有倾斜角；( ) (2)任何直线都有斜率．( )
► 问题 4 已知直线 l 的倾斜角为 α，且直线 l1 与直线 l 关
于 x 轴对称，则直线 l1 的倾斜角 α1 可以表示为
α1＝α18α0＝°－0α°，0°<α<180°. (
)
[答案]对
第44讲 │ 问题思考
[解析] 当直线 α＝0°时，直线 l，l1 平行或者重合，此时 α1 ＝0°；当 α≠0°时，如图，根据对称关系 α1＝180°－α，故 α1＝ αα＝0°， 180°－α0°<α<180°.
第44讲 │ 知识梳理
知识梳理
1．直线的倾斜角和斜率 (1)直线的倾斜角：①定义：平面直角坐标系中，对于一条 与 x 轴相交的直线，把 x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋 转到和直线重合时所转的最小_正__角_____称为直线的倾斜角．当直 线和 x 轴平行或重合时，直线倾斜角为___0_°_______； ②范围：倾斜角 α 的范围是_0_°_≤_α_<_18_0_°____． (2)斜率：①定义：一条直线的倾斜角 α 的_正__切_值____叫做这 条直线的斜率．
第44讲 │ 要点探究
[解答] (1)以 O 点为原点，指北的方向为 y 轴，指东的方向 为 x 轴建立直角坐标系，则直线 OZ 的方程为 y＝3x.
设 点 A(x0 ， y0) ， 则 x0 ＝ 13 asinβ ， y0 ＝ 13 acosβ ， 即 A(3a,2a)．又 B(m,0)．
所以直线 AB 的方程是 y＝3a2－am(x－m)． 上面方程与 y＝3x 联立得 C 点坐标为3m2a－m7a，3m6a－m7a. ∴S(m)＝12|OB|×|yC|＝3m3a－m72 am>73a.
[答案] (1)C (2)C (3)D
第44讲 │ 要点探究
[解析] (1)已知直线的斜率 k1＝2－ 3＝tan15°，∴所求直线 的倾斜角为 60°，∴所求直线的斜率 k＝tan60°＝ 3，由点斜式得 所求直线的方程为 y－3＝ 3(x＋1)，即 3x－y＋3＋ 3＝0.(2)点 A，B 在 x 轴上，第三个顶点在第四象限，说明直线 BC 的倾斜 角是π3，又直线经过点 B(4,0)，故所求的直线方程是 y＝ 3(x－4)； (3)当直线经过坐标原点时，直线方程为 y＝25x，即 2x－5y＝0； 当直线不经过坐标原点时，设直线方程为2xb＋by＝1，则25b＋b2＝1， 解得 b＝92，故所求的直线方程是x9＋29y＝1，即 x＋2y－9＝0.
第44讲 │ 要点探究
[点评] 直线的斜率和倾斜角之间的关系在解题中往往相互 转化，实现问题的一个方面向另一个方面的过渡．当直线的倾 斜角为锐角时，直线的斜率大于零；当直线的倾斜角为钝角时， 直线的斜率小于零；当直线的倾斜角为 90°时，直线斜率不存在； 当直线的倾斜角为 0°时，直线的斜率为零．
第44讲 │ 知识梳理
当直线的倾斜角 α≠90°时，该直线的斜率 k＝__t_an_α____； 当直线的倾斜角等于 90°时，直线的斜率__不_存__在___． y2)(x1②≠过x2两)的点直的线直的线斜的率斜公率式公k式＝：__过__yx两_22－ －_点_yx_11_P_1(_x_1.，y1)，P2(x2，
若 x1＝x2，则直线的斜率不_存__在_____，此时直线的倾斜角 为 90°.
2．直线的方程 (1)点斜式和斜截式：已知一点(x1，y1)及斜率 k 时，直 线方程为__y_－__y1_＝_k_(_x－__x_1)________；当已知点为(0，b)时，化 为 y＝kx＋b，但应注意点斜式和斜截式不包括与 x 轴垂直的 直线．
mile 的 B 处的补给船，速往小岛 A 装运物资供给科考船．该船沿
BA 方向全速追赶科考船，并在 C 处相遇．经测算当两船运行的
航线与海岸线 OB 围成的三角形 OBC 的面积 S 最小时，这种补给
最适宜．
(1)求 S 关于 m 的函数关系式 S(m)；
(2)应征调 m 为何值处的船只，补给最适宜？
第44讲 │ 要点探究
图44－1
第44讲 │ 要点探究
[思路] (1)根据已知的角和其三角函数值，求出点 A 的坐标 即可建立起直线 AB 的方程，再求出直线 OC 的方程，通过两 直线方程求出点 C 的坐标，根据三角形的面积公式即可建立起 S 关于 m 的函数关系式 S(m)；(2)即求出 S(m)取得最小值时的 m 值．
第44讲 │ 要点探究
[解析] (1)即4a－ ＋a2＝1，由此解得 a＝1；(2)tanα＝k＝－m2＋ 1≤1，利用正切线即得．
第44讲 │ 要点探究
► 探究点2 直线方程的求法
例 2(1)过点 P(－1,3)，且倾斜角比直线 y＝(2－ 3)x＋ 3的 倾斜角大 45°的直线的方程是( )
第44讲 │ 知识梳理
程为(_2_)_y两y_2－－_点_yy_式11_＝_和_xx_截2－_－_距x_x1_1式_，：当已它知经两过点坐(x标1，轴y1上)，两(x点2，(ay,20))时，(，0，直b线)时方， 化为xa＋by＝1，但应注意两点式和截距式不包括与坐标轴垂直的 直线，且截距式表示的直线不过原点．
第44讲 │ 要点探究
变式题 (1)过点(2,1)，且倾斜角比直线 y＝－x－1 的倾斜角
小π4的直线方程是(
)
A．x＝2 B(－1,1)，且与直线 l1：2x－y＋3＝0 及 x 轴围成一个底边在 x 轴上的等腰三角形，给出下列结论：
①直线 l 与直线 l1 的斜率互为倒数； ②直线 l 与直线 l1 的倾斜角互补；
[答案] (1)错 (2)错 (3)对
第44讲 │ 问题思考
[解析] (1)斜率不存在时不能用 y－y0＝k(x－x0)表示；(2)斜率 不存在时不能表示为 y＝kx＋b；(3)当直线平行于坐标轴时不能表 示为xa＋by＝1；(4)该直线方程可以表示坐标平面上的所有直线．
第44讲 │ 问题思考
► 问题 3 凡能用两点式表示的直线都可以用斜截式表示， 反之亦然．( )
[答案] (1)对 (2)错
[解析] (1)直线的倾斜角的范围是[0，π)，所以任何直线都有 倾斜角；(2)倾斜角为 90°的直线没有斜率．
第44讲 │ 问题思考
第44讲 │ 要点探究
要点探究
► 探究点1 直线的倾斜角和斜率
例 1 (1)过 P(4，－3)，Q(2，y)两点的直线的倾斜角是34π， 则 y 的值是( )
A．－5 B．－1 C．1 D．5 (2)已知过点 P(1－a,1＋a)与点 Q(3,2a)的直线的倾斜角是 钝角，则实数 a 满足的条件是( ) A．－2<a<1 B．－1<a<2 C．1<a<2 D．－12<a<1
第44讲 │ 要点探究
► 探究点3 直线方程的综合应用
例 3 如图 44－1，一科学考察船从港口 O 出发，沿北偏东 α
角的射线 OZ 方向航行，而在离港口 O 13a n mile(a 为正常数)的
北偏东 β 角的 A 处有一个供给科考船物资的小岛，其中已知 tanα
＝13，cosβ＝
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.现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口 O 正东 m n
③直线 l 在 x 轴上的截距为12；
④直线 l 在 y 轴上的截距为－1；
⑤这样的直线 l 有两条．
则其中正确结论的序号是________．
第44讲 │ 要点探究
[答案] (1)A (2)②④
[解析] (1)直线 y＝－x－1 的斜率是－1，故其倾斜角是34π， ∴所求直线的倾斜角是π2，直线与 x 轴垂直，故所求直线的方程 是 x＝2；(2)依题意直线 l 与直线 l1 的倾斜角互补，故其斜率为－ 2，过点 P(－1,1)，故直线 l 的方程为 2x＋y＋1＝0.故正确结论只 有②④.
第44讲 │ 要点探究
[点评] 直线方程中点斜式方程最为根本，但要注意这个形式 的方程，当直线的倾斜角等于 90°时，不能应用；求直线方程关 键是求出确定直线的几何要素，即直线的倾斜角和直线经过的 点，只要这两个要素清楚了，就可以写出直线方程；使用直线的 截距式方程时，要始终考虑两个问题，一是直线的截距是不是存 在，二是直线的截距是不是零，不然很容易出现错误．
[答案]错
[解析] 能使用两点式表示的直线和两条坐标轴不平行， 这样的直线一定存在斜率和在 y 轴上的截距，所以可以使用斜 截式表示；能用斜截式表示的直线当斜率 k≠0，可在直线上 任取两点使用两点式表示，当斜率 k＝0 时，由于直线上任意 两点的纵坐标相等，此时不能使用两点式表示．
第44讲 │ 问题思考
第44讲 │ 要点探究
[思路]
(1)根据斜率和倾斜角的关系，即直线的斜率是
3π tan 4
＝－1；(2)倾斜角为钝角时，直线的斜率为负值，根据过两点的
斜率公式，求出斜率解不等式即可．
[答案] (1)B (2)A
第44讲 │ 要点探究
[解析] (1)由y2＋ －34＝tan34π＝－1 解得 y＝－1.故选 B. (2)tanα＝k＝23a－－11－＋aa＝aa－ ＋12<0，即(a－1)(a＋2)<0，故得 －2<a<1.
(3)一般式：任何一条直线都能表示为 Ax＋By＋C＝0(A2＋ B2≠0)的形式．
当 A＝0 时，则表示平行于 x 轴的直线； 当 B＝0 时，则表示平行于 y 轴的直线； 当 B≠0 时，直线的斜率 k＝－BA，在 y 轴上的截距 b＝－CB.
第44讲 │ 问题思考
问题思考
► 问题 1 倾斜角与斜率 (1)任何直线都有倾斜角；( ) (2)任何直线都有斜率．( )
► 问题 4 已知直线 l 的倾斜角为 α，且直线 l1 与直线 l 关
于 x 轴对称，则直线 l1 的倾斜角 α1 可以表示为
α1＝α18α0＝°－0α°，0°<α<180°. (
)
[答案]对
第44讲 │ 问题思考
[解析] 当直线 α＝0°时，直线 l，l1 平行或者重合，此时 α1 ＝0°；当 α≠0°时，如图，根据对称关系 α1＝180°－α，故 α1＝ αα＝0°， 180°－α0°<α<180°.
第44讲 │ 知识梳理
知识梳理
1．直线的倾斜角和斜率 (1)直线的倾斜角：①定义：平面直角坐标系中，对于一条 与 x 轴相交的直线，把 x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋 转到和直线重合时所转的最小_正__角_____称为直线的倾斜角．当直 线和 x 轴平行或重合时，直线倾斜角为___0_°_______； ②范围：倾斜角 α 的范围是_0_°_≤_α_<_18_0_°____． (2)斜率：①定义：一条直线的倾斜角 α 的_正__切_值____叫做这 条直线的斜率．
第44讲 │ 要点探究
[解答] (1)以 O 点为原点，指北的方向为 y 轴，指东的方向 为 x 轴建立直角坐标系，则直线 OZ 的方程为 y＝3x.
设 点 A(x0 ， y0) ， 则 x0 ＝ 13 asinβ ， y0 ＝ 13 acosβ ， 即 A(3a,2a)．又 B(m,0)．
所以直线 AB 的方程是 y＝3a2－am(x－m)． 上面方程与 y＝3x 联立得 C 点坐标为3m2a－m7a，3m6a－m7a. ∴S(m)＝12|OB|×|yC|＝3m3a－m72 am>73a.
[答案] (1)C (2)C (3)D
第44讲 │ 要点探究
[解析] (1)已知直线的斜率 k1＝2－ 3＝tan15°，∴所求直线 的倾斜角为 60°，∴所求直线的斜率 k＝tan60°＝ 3，由点斜式得 所求直线的方程为 y－3＝ 3(x＋1)，即 3x－y＋3＋ 3＝0.(2)点 A，B 在 x 轴上，第三个顶点在第四象限，说明直线 BC 的倾斜 角是π3，又直线经过点 B(4,0)，故所求的直线方程是 y＝ 3(x－4)； (3)当直线经过坐标原点时，直线方程为 y＝25x，即 2x－5y＝0； 当直线不经过坐标原点时，设直线方程为2xb＋by＝1，则25b＋b2＝1， 解得 b＝92，故所求的直线方程是x9＋29y＝1，即 x＋2y－9＝0.
第44讲 │ 要点探究
[点评] 直线的斜率和倾斜角之间的关系在解题中往往相互 转化，实现问题的一个方面向另一个方面的过渡．当直线的倾 斜角为锐角时，直线的斜率大于零；当直线的倾斜角为钝角时， 直线的斜率小于零；当直线的倾斜角为 90°时，直线斜率不存在； 当直线的倾斜角为 0°时，直线的斜率为零．
第44讲 │ 知识梳理
当直线的倾斜角 α≠90°时，该直线的斜率 k＝__t_an_α____； 当直线的倾斜角等于 90°时，直线的斜率__不_存__在___． y2)(x1②≠过x2两)的点直的线直的线斜的率斜公率式公k式＝：__过__yx两_22－ －_点_yx_11_P_1(_x_1.，y1)，P2(x2，
若 x1＝x2，则直线的斜率不_存__在_____，此时直线的倾斜角 为 90°.
2．直线的方程 (1)点斜式和斜截式：已知一点(x1，y1)及斜率 k 时，直 线方程为__y_－__y1_＝_k_(_x－__x_1)________；当已知点为(0，b)时，化 为 y＝kx＋b，但应注意点斜式和斜截式不包括与 x 轴垂直的 直线．
mile 的 B 处的补给船，速往小岛 A 装运物资供给科考船．该船沿
BA 方向全速追赶科考船，并在 C 处相遇．经测算当两船运行的
航线与海岸线 OB 围成的三角形 OBC 的面积 S 最小时，这种补给
最适宜．
(1)求 S 关于 m 的函数关系式 S(m)；
(2)应征调 m 为何值处的船只，补给最适宜？
第44讲 │ 要点探究
图44－1
第44讲 │ 要点探究
[思路] (1)根据已知的角和其三角函数值，求出点 A 的坐标 即可建立起直线 AB 的方程，再求出直线 OC 的方程，通过两 直线方程求出点 C 的坐标，根据三角形的面积公式即可建立起 S 关于 m 的函数关系式 S(m)；(2)即求出 S(m)取得最小值时的 m 值．
第44讲 │ 要点探究
[解析] (1)即4a－ ＋a2＝1，由此解得 a＝1；(2)tanα＝k＝－m2＋ 1≤1，利用正切线即得．
第44讲 │ 要点探究
► 探究点2 直线方程的求法
例 2(1)过点 P(－1,3)，且倾斜角比直线 y＝(2－ 3)x＋ 3的 倾斜角大 45°的直线的方程是( )
第44讲 │ 知识梳理
程为(_2_)_y两y_2－－_点_yy_式11_＝_和_xx_截2－_－_距x_x1_1式_，：当已它知经两过点坐(x标1，轴y1上)，两(x点2，(ay,20))时，(，0，直b线)时方， 化为xa＋by＝1，但应注意两点式和截距式不包括与坐标轴垂直的 直线，且截距式表示的直线不过原点．
第44讲 │ 要点探究
变式题 (1)过点(2,1)，且倾斜角比直线 y＝－x－1 的倾斜角
小π4的直线方程是(
)
A．x＝2 B(－1,1)，且与直线 l1：2x－y＋3＝0 及 x 轴围成一个底边在 x 轴上的等腰三角形，给出下列结论：
①直线 l 与直线 l1 的斜率互为倒数； ②直线 l 与直线 l1 的倾斜角互补；
[答案] (1)错 (2)错 (3)对
第44讲 │ 问题思考
[解析] (1)斜率不存在时不能用 y－y0＝k(x－x0)表示；(2)斜率 不存在时不能表示为 y＝kx＋b；(3)当直线平行于坐标轴时不能表 示为xa＋by＝1；(4)该直线方程可以表示坐标平面上的所有直线．
第44讲 │ 问题思考
► 问题 3 凡能用两点式表示的直线都可以用斜截式表示， 反之亦然．( )
[答案] (1)对 (2)错
[解析] (1)直线的倾斜角的范围是[0，π)，所以任何直线都有 倾斜角；(2)倾斜角为 90°的直线没有斜率．
第44讲 │ 问题思考