高中数学必修二《直线的倾斜角与斜率》课件

第44讲 │ 要点探究
► 探究点3 直线方程的综合应用
例 3 如图 44－1，一科学考察船从港口 O 出发，沿北偏东 α
角的射线 OZ 方向航行，而在离港口 O 13a n mile(a 为正常数)的
北偏东 β 角的 A 处有一个供给科考船物资的小岛，其中已知 tanα
＝13，cosβ＝
2 13
.现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口 O 正东 m n
[答案] (1)对 (2)错
[解析] (1)直线的倾斜角的范围是[0，π)，所以任何直线都有 倾斜角；(2)倾斜角为 90°的直线没有斜率．
第44讲 │ 问题思考
► 问题 2 直线的方程 (1)经过定点 P0(x0，y0)的直线都可以用方程 y－y0＝k(x－x0) 表示；( ) (2)经过定点 A(0，b)的直线都可以用方程 y＝kx＋b 表示； () (3)不经过原点的直线都可以用xa＋by＝1 表示；( ) (4)经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可 以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( )
第44讲 │ 要点探究
[解答] (1)以 O 点为原点，指北的方向为 y 轴，指东的方向 为 x 轴建立直角坐标系，则直线 OZ 的方程为 y＝3x.
设 点 A(x0 ， y0) ， 则 x0 ＝ 13 asinβ ， y0 ＝ 13 acosβ ， 即 A(3a,2a)．又 B(m,0)．
所以直线 AB 的方程是 y＝3a2－am(x－m)． 上面方程与 y＝3x 联立得 C 点坐标为3m2a－m7a，3m6a－m7a. ∴S(m)＝12|OB|×|yC|＝3m3a－m72 am>73a.
若 x1＝x2，则直线的斜率不_存__在_____，此时直线的倾斜角 为 90°.
2．直线的方程 (1)点斜式和斜截式：已知一点(x1，y1)及斜率 k 时，直 线方程为__y_－__y1_＝_k_(_x－__x_1)________；当已知点为(0，b)时，化 为 y＝kx＋b，但应注意点斜式和斜截式不包括与 x 轴垂直的 直线．
A. 3x＋y＋3＋ 3＝0 B．(3－2 2)x＋y＋3＋2 2＝0 C. 3x－y＋3＋ 3＝0 D．(3＋2 2)x－y＋6＋2 2＝0
第44讲 │ 要点探究
(2)已知等边△ABC 的两个顶点 A(0,0)，B(4,0)，且第三个顶 点在第四象限，则 BC 边所在的直线方程是( )
A．y＝－ 3x B．y＝－ 3(x－4) C．y＝ 3(x－4) D．y＝ 3(x＋4) (3)过点(5,2)，且在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 2 倍的 直线方程是( ) A．2x＋y－12＝0 B．2x＋y－12＝0 或 2x－5y＝0 C．x－2y－1＝0 D．x＋2y－9＝0 或 2x－5y＝0
第44讲 │ 要点探究
[思路] (1)求出已知直线的倾斜角得所求直线的倾斜角，进而 得所求直线的斜率，根据点斜式写出直线方程；(2)根据三角形的 顶点位置确定 BC 边所在直线的倾斜角，根据点斜式求解；(3) 当直线经过坐标原点时，直线在两坐标轴上的截距都等于零，满 足题目要求；当直线不经过坐标原点时，设直线方程为2xb＋by＝1， 将已知点的坐标代入，求出系数 b 即可．
[答案] (1)错 (2)错 (3)对
第44讲 │ 问题思考
[解析] (1)斜率不存在时不能用 y－y0＝k(x－x0)表示；(2)斜率 不存在时不能表示为 y＝kx＋b；(3)当直线平行于坐标轴时不能表 示为xa＋by＝1；(4)该直线方程可以表示坐标平面上的所有直线．
第44讲 │ 问题思考
► 问题 3 凡能用两点式表示的直线都可以用斜截式表示， 反之亦然．( )
第44讲 │ 要点探究
变式题 (1)过点 M(－2，a)和 N(a,4)的直线的斜率为 1，则实 数 a 的值为( )
A．1 B．2 C．1 或 4 D．1 或 2 (2)直线 l 过点 A(2,1)和 B(1，m2)(m∈R)，那么直线 l 的倾斜 角的取值范围是( ) A.0，π4 B.0，π4∪π2，π C.π4，π2 D.π4，π2 [答案] (1)A (2)B
这说明当倾斜角不等于零的两条直线关于 x 轴对称时，两条 直线的倾斜角互补，如果倾斜角不等于 90°，则两条直线的斜率 互为相反数．
第44讲 │ 要点探究
要点探究
► 探究点1 直线的倾斜角和斜率
例 1 (1)过 P(4，－3)，Q(2，y)两点的直线的倾斜角是34π， 则 y 的值是( )
A．－5 B．－1 C．1 D．5 (2)已知过点 P(1－a,1＋a)与点 Q(3,2a)的直线的倾斜角是 钝角，则实数 a 满足的条件是( ) A．－2<a<1 B．－1<a<2 C．1<a<2 D．－12<a<1
第44讲 │ 要点探究
[点评] 直线的斜率和倾斜角之间的关系在解题中往往相互 转化，实现问题的一个方面向另一个方面的过渡．当直线的倾 斜角为锐角时，直线的斜率大于零；当直线的倾斜角为钝角时， 直线的斜率小于零；当直线的倾斜角为 90°时，直线斜率不存在； 当直线的倾斜角为 0°时，直线的斜率为零．
[答案] (1)C (2)C (3)D
第44讲 │ 要点探究
[解析] (1)已知直线的斜率 k1＝2－ 3＝tan15°，∴所求直线 的倾斜角为 60°，∴所求直线的斜率 k＝tan60°＝ 3，由点斜式得 所求直线的方程为 y－3＝ 3(x＋1)，即 3x－y＋3＋ 3＝0.(2)点 A，B 在 x 轴上，第三个顶点在第四象限，说明直线 BC 的倾斜 角是π3，又直线经过点 B(4,0)，故所求的直线方程是 y＝ 3(x－4)； (3)当直线经过坐标原点时，直线方程为 y＝25x，即 2x－5y＝0； 当直线不经过坐标原点时，设直线方程为2xb＋by＝1，则25b＋b2＝1， 解得 b＝92，故所求的直线方程是x9＋29y＝1，即 x＋2y－9＝0.
第44讲 │ 知识梳理
程为(_2_)_y两y_2－－_点_yy_式11_＝_和_xx_截2－_－_距x_x1_1式_，：当已它知经两过点坐(x标1，轴y1上)，两(x点2，(ay,20))时，(，0，直b线)时方， 化为xa＋by＝1，但应注意两点式和截距式不包括与坐标轴垂直的 直线，且截距式表示的直线不过原点．
第44讲 │ 要点探究
图44－1
第44讲 │ 要点探究
[思路] (1)根据已知的角和其三角函数值，求出点 A 的坐标 即可建立起直线 AB 的方程，再求出直线 OC 的方程，通过两 直线方程求出点 C 的坐标，根据三角形的面积公式即可建立起 S 关于 m 的函数关系式 S(m)；(2)即求出 S(m)取得最小值时的 m 值．
第44讲 │ 要点探究
[解析] (1)即4a－ ＋a2＝1，由此解得 a＝1；(2)tanα＝k＝－m2＋ 1≤1，利用正切线即得．
第44讲 │ 要点探究
► 探究点2 直线方程的求法
例 2(1)过点 P(－1,3)，且倾斜角比直线 y＝(2－ 3)x＋ 3的 倾斜角大 45°的直线的方程是( )
第44讲 │ 知识梳理
当直线的倾斜角 α≠90°时，该直线的斜率 k＝__t_an_α____； 当直线的倾斜角等于 90°时，直线的斜率__不_存__在___． y2)(x1②≠过x2两)的点直的线直的线斜的率斜公率式公k式＝：__过__yx两_22－ －_点_yx_11_P_1(_x_1.，y1)，P2(x2，
(3)一般式：任何一条直线都能表示为 Ax＋By＋C＝0(A2＋ B2≠0)的形式．
当 A＝0 时，则表示平行于 x 轴的直线； 当 B＝0 时，则表示平行于 y 轴的直线； 当 B≠0 时，直线的斜率 k＝－BA，在 y 轴上的截距 b＝－CB.
第44讲 │ 问题思考
问题思考
► 问题 1 倾斜角与斜率 (1)任何直线都有倾斜角；( ) (2)任何直线都有斜率．( )
第44讲 │ 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
第44讲 直线的倾斜角与 斜率、直线的方程
第44讲 │ 考纲要求
考纲要求
1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置 的几何要素．
2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线 斜率的计算公式．
3．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种 形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关 系．
第44讲 │ 要点探究
变式题 (1)过点(2,1)，且倾斜角比直线 y＝－x－1 的倾斜角
小π4的直线方程是(
)
A．x＝2 B．y＝1 C．x＝1 D．y＝2
(2)已知直线 l 过点 P(－1,1)，且与直线 l1：2x－y＋3＝0 及 x 轴围成一个底边在 x 轴上的等腰三角形，给出下列结论：
①直线 l 与直线 l1 的斜率互为倒数； ②直线 l 与直线 l1 的倾斜角互补；
[答案]错
[解析] 能使用两点式表示的直线和两条坐标轴不平行， 这样的直线一定存在斜率和在 y 轴上的截距，所以可以使用斜 截式表示；能用斜截式表示的直线当斜率 k≠0，可在直线上 任取两点使用两点式表示，当斜率 k＝0 时，由于直线上任意 两点的纵坐标相等，此时不能使用两点式表示．
第44讲 │ 问题Baidu Nhomakorabea考
► 问题 4 已知直线 l 的倾斜角为 α，且直线 l1 与直线 l 关
于 x 轴对称，则直线 l1 的倾斜角 α1 可以表示为
α1＝α18α0＝°－0α°，0°<α<180°. (
)
[答案]对
第44讲 │ 问题思考
[解析] 当直线 α＝0°时，直线 l，l1 平行或者重合，此时 α1 ＝0°；当 α≠0°时，如图，根据对称关系 α1＝180°－α，故 α1＝ αα＝0°， 180°－α0°<α<180°.
第44讲 │ 知识梳理
知识梳理
1．直线的倾斜角和斜率 (1)直线的倾斜角：①定义：平面直角坐标系中，对于一条 与 x 轴相交的直线，把 x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋 转到和直线重合时所转的最小_正__角_____称为直线的倾斜角．当直 线和 x 轴平行或重合时，直线倾斜角为___0_°_______； ②范围：倾斜角 α 的范围是_0_°_≤_α_<_18_0_°____． (2)斜率：①定义：一条直线的倾斜角 α 的_正__切_值____叫做这 条直线的斜率．
mile 的 B 处的补给船，速往小岛 A 装运物资供给科考船．该船沿
BA 方向全速追赶科考船，并在 C 处相遇．经测算当两船运行的
航线与海岸线 OB 围成的三角形 OBC 的面积 S 最小时，这种补给
最适宜．
(1)求 S 关于 m 的函数关系式 S(m)；
(2)应征调 m 为何值处的船只，补给最适宜？
第44讲 │ 要点探究
[思路]
(1)根据斜率和倾斜角的关系，即直线的斜率是
3π tan 4
＝－1；(2)倾斜角为钝角时，直线的斜率为负值，根据过两点的
斜率公式，求出斜率解不等式即可．
[答案] (1)B (2)A
第44讲 │ 要点探究
[解析] (1)由y2＋ －34＝tan34π＝－1 解得 y＝－1.故选 B. (2)tanα＝k＝23a－－11－＋aa＝aa－ ＋12<0，即(a－1)(a＋2)<0，故得 －2<a<1.
第44讲 │ 要点探究
[点评] 直线方程中点斜式方程最为根本，但要注意这个形式 的方程，当直线的倾斜角等于 90°时，不能应用；求直线方程关 键是求出确定直线的几何要素，即直线的倾斜角和直线经过的 点，只要这两个要素清楚了，就可以写出直线方程；使用直线的 截距式方程时，要始终考虑两个问题，一是直线的截距是不是存 在，二是直线的截距是不是零，不然很容易出现错误．
③直线 l 在 x 轴上的截距为12；
④直线 l 在 y 轴上的截距为－1；
⑤这样的直线 l 有两条．
则其中正确结论的序号是________．
第44讲 │ 要点探究
[答案] (1)A (2)②④
[解析] (1)直线 y＝－x－1 的斜率是－1，故其倾斜角是34π， ∴所求直线的倾斜角是π2，直线与 x 轴垂直，故所求直线的方程 是 x＝2；(2)依题意直线 l 与直线 l1 的倾斜角互补，故其斜率为－ 2，过点 P(－1,1)，故直线 l 的方程为 2x＋y＋1＝0.故正确结论只 有②④.