二次函数与相似.
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演示
一.关于相似三角形点的存在性问题
2.典型示例
y x2 2x
设M(t,0),(t>0);则P(t, t2+2t) ∵∠PMA＝∠BOC＝90°
OC 2 1 OB 3 2 3
PM 1 或 PM 3 AM 3 AM 1
t2 2t 1 或 t2 2t 3 t2 3 t2 1
t 3或t 1 3
二次函数与相似
一.关于相似三角形点的存在性问题
1.认知基础
①关于“对应”
AB DE BC EF AB DE AC DF AB BC DE EF
上=上 下下 上=上 全全 上=上 全全
一.关于相似三角形点的存在性问题
1.认知基础
②关于“对应边的比”
AB AC A`B` A`C` AB A`B` AC A`C`
（2）在x轴上方的抛物线上是否存 在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂 足为点E，使以B、P、E、为顶点的 三角形与△CBD相似，若存在，请求 出点P的坐标；若不存在，请说明理由;
演示
一.关于相似三角形点的存在性问题
2.典型示例
y x2 1
设E(m,0),(-1<m<1);则P(m,-m2+1) ∵∠PEB＝∠CBD＝90°
△ADP2∽△ACB
一.关于相似三角形点的存在性问题
2.典型示例
1.如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C
（1）求抛物线的函数解析式． y x2 2x
（2）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否 存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由
（
C(－2，1)，交y轴于点M. (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线上是否存在一点P（不与M重合），作PN垂直x轴于点N，使 得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标； 若不存在，请说明理由.
演示
一.关于相似三角形点的存在性问题
2.典型示例
OM 1 OA 3
y 1 x2 2 x 1 33
一.关于相似三角形点的存在性问题
1.认知基础
③点的存在问题
如图，△ABC中，AB=6，AC=8， AD=4，在AC上是否存在一点P， 使得以A、D、P为顶点的三角形 与△ABC相似？
AD AP1 AP1 4 AB AC 8 6
△ADP1∽△ABC
AD AP2 AP 2 4 AC AB 6 8
BC 2 1 BD 3 2 3
PE 1 或 PE 3 BE 3 BE 1
m2 1 1 或 m2 1 3 m1 3 m1 1
m 2 或m 1(舍),m=-2(舍) 3
(2 , 5) 39
一.关于相似三角形点的存在性问题
2.典型示例
4.如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（－3，0）、B(1,0)、
（2014•山东威海，第25题12分）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0， 2）三点． （1）求这条抛物线的解析式； （2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为 顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标； 若不存在，请说明理由；
△ADP2∽△ACB
一.关于相似三角形点的存在性问题
1.认知基础
③点的存在问题
如图，△ABC中，AB=6，AC=8， AD=4，在AC上是否存在一点P， 使得以A、D、P为顶点的三角形 与△ABC相似？
AD AB 4 6 AP1 AC AP1 8
△ADP1∽△ABC
AD AC 4 8 AP2 AB AP2 6
t 3或t 1 3
(3,15), (1 , 7) 39
一.关于相似三角形点的存在性问题
2.典型示例
2.如图，已知抛物线 y ax2 b 与x轴交于点A、B，且A点坐标为 （1，0），与y轴交于点C（0，1）,过点B作BD//CA 交抛物线于点D
（1）求抛物线的解析式，并求出点B的坐标； y x2 1
（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若 S=S1+S2，求S的最小值．
（2014•湖南衡阳,第28题10分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0） 的图象与x轴的交点为A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y 轴交于点C（0，﹣3m）（其中m＞0），顶点为D． （ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）； （2）如图①，当m=2时，点P为第三象限内的抛物线上的 一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x 之间的函数关系式及S的最大值； （3）如图②，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形 与△BOC相似？
(3,15), (1 , 7) 39
一.关于相似三角形点的存在性问题
2.典型示例
y x2 2x
设M(t,0),(t>0);则P(t, t2+2t) ∵∠PMA＝∠BOC＝90°
OC 2 1 OB 3 2 3
PM 1 或 PM 3 AM 3 AM 1
t2 2t 1 或 t2 2t 3 t2 3 t2 1
点N在点A左边:
AN 1 或 AN 3 PN 3 PN 1
点N在点A右边:
AN 1 或 AN 3 PN 3 PN 1
(8,15), (2, 5), (10,39) 3
（2014•益阳，第21题，12分）如图，在直角梯形ABCD中， AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线 段AB从点A向点B运动，设AP=x． （1）求AD的长； （2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三 角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的 值；若不存在，请说明理由；
一.关于相似三角形点的存在性问题
2.典型示例
y x2 2x
设M(t,0),(t>0);则P(t, t2+2t) ∵∠PMA＝∠BOC＝90°
OC 2 1 OB 3 2 3
PM 1 或 PM 3 AM 3 AM 1
t2 2t 1 或 t2 2t 3 t2 3 t2 1
t 3或t 1 3
二次函数与相似
一.关于相似三角形点的存在性问题
1.认知基础
①关于“对应”
AB DE BC EF AB DE AC DF AB BC DE EF
上=上 下下 上=上 全全 上=上 全全
一.关于相似三角形点的存在性问题
1.认知基础
②关于“对应边的比”
AB AC A`B` A`C` AB A`B` AC A`C`
（2）在x轴上方的抛物线上是否存 在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂 足为点E，使以B、P、E、为顶点的 三角形与△CBD相似，若存在，请求 出点P的坐标；若不存在，请说明理由;
演示
一.关于相似三角形点的存在性问题
2.典型示例
y x2 1
设E(m,0),(-1<m<1);则P(m,-m2+1) ∵∠PEB＝∠CBD＝90°
△ADP2∽△ACB
一.关于相似三角形点的存在性问题
2.典型示例
1.如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C
（1）求抛物线的函数解析式． y x2 2x
（2）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否 存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由
（
C(－2，1)，交y轴于点M. (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线上是否存在一点P（不与M重合），作PN垂直x轴于点N，使 得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标； 若不存在，请说明理由.
演示
一.关于相似三角形点的存在性问题
2.典型示例
OM 1 OA 3
y 1 x2 2 x 1 33
一.关于相似三角形点的存在性问题
1.认知基础
③点的存在问题
如图，△ABC中，AB=6，AC=8， AD=4，在AC上是否存在一点P， 使得以A、D、P为顶点的三角形 与△ABC相似？
AD AP1 AP1 4 AB AC 8 6
△ADP1∽△ABC
AD AP2 AP 2 4 AC AB 6 8
BC 2 1 BD 3 2 3
PE 1 或 PE 3 BE 3 BE 1
m2 1 1 或 m2 1 3 m1 3 m1 1
m 2 或m 1(舍),m=-2(舍) 3
(2 , 5) 39
一.关于相似三角形点的存在性问题
2.典型示例
4.如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（－3，0）、B(1,0)、
（2014•山东威海，第25题12分）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0， 2）三点． （1）求这条抛物线的解析式； （2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为 顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标； 若不存在，请说明理由；
△ADP2∽△ACB
一.关于相似三角形点的存在性问题
1.认知基础
③点的存在问题
如图，△ABC中，AB=6，AC=8， AD=4，在AC上是否存在一点P， 使得以A、D、P为顶点的三角形 与△ABC相似？
AD AB 4 6 AP1 AC AP1 8
△ADP1∽△ABC
AD AC 4 8 AP2 AB AP2 6
t 3或t 1 3
(3,15), (1 , 7) 39
一.关于相似三角形点的存在性问题
2.典型示例
2.如图，已知抛物线 y ax2 b 与x轴交于点A、B，且A点坐标为 （1，0），与y轴交于点C（0，1）,过点B作BD//CA 交抛物线于点D
（1）求抛物线的解析式，并求出点B的坐标； y x2 1
（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若 S=S1+S2，求S的最小值．
（2014•湖南衡阳,第28题10分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0） 的图象与x轴的交点为A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y 轴交于点C（0，﹣3m）（其中m＞0），顶点为D． （ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）； （2）如图①，当m=2时，点P为第三象限内的抛物线上的 一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x 之间的函数关系式及S的最大值； （3）如图②，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形 与△BOC相似？
(3,15), (1 , 7) 39
一.关于相似三角形点的存在性问题
2.典型示例
y x2 2x
设M(t,0),(t>0);则P(t, t2+2t) ∵∠PMA＝∠BOC＝90°
OC 2 1 OB 3 2 3
PM 1 或 PM 3 AM 3 AM 1
t2 2t 1 或 t2 2t 3 t2 3 t2 1
点N在点A左边:
AN 1 或 AN 3 PN 3 PN 1
点N在点A右边:
AN 1 或 AN 3 PN 3 PN 1
(8,15), (2, 5), (10,39) 3
（2014•益阳，第21题，12分）如图，在直角梯形ABCD中， AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线 段AB从点A向点B运动，设AP=x． （1）求AD的长； （2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三 角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的 值；若不存在，请说明理由；