同余运算及其基本性质 by Matrix67
第二章 同余
3
定理 2 模m同余是等价关系, 即 (1) 对任一整数a , a ≡ a (mod m ); (3)若a ≡ b (mod m ), b ≡ c (mod m ), 则a ≡ c (mod m ) (传递性 ) (自反性 ) (2)若a ≡ b (mod m ), 则b ≡ a (mod m ); (对称性 )
即:欧拉( Euler ) 数ϕ ( x )是定义在正整数上的 函 函数,ϕ ( m )的值等于0,1, 2,L , m − 1中与m互素的数的 个 数.
12
二、简化剩余系
定义 2 如果模m的剩余类里面的数与m互素,就 .(又 把这个类叫做一个与模m互素的剩余类.(又称简化 剩余类)
定义3 设m是一个正整数,在模m的所有不同简 化剩余类中,从每个类任取一个数组成的整数的集合, 叫做模m的一个简化剩余系.
证 因(e , ϕ ( n)) = 1, 则存在整数d ,1 ≤ d < ϕ ( n), 使得
ed ≡ 1 (mod ϕ ( n))
由2.3定理4 2.3定理4 定理
19
于是存在正整数k , 使得 ed = 1 + kϕ ( n). 因(a , pq ) = 1, 所以(a , p ) = 1,由Euler 定理
定 理13 设 m 是 正 整 数 , a ≡ b (mod m ), 则 ( a , m ) = ( b , m ). 因 而 若 d 能 整 除 m 及 a, b二 者 之 一, 则 d 必 能 整 除 a, b 中的另一个.
7
证明同余式的一般方法(基本的方法):
初等数论2.
我喜欢数学
性质(6)
性质(7)
若a =a1d, b =b1d, (m, d) =1, a ≡b (mod m)，则 a1 ≡ b1 (mod m) .
性质(8) 若a ≡b (mod m)，k 为正整数 ， 则 ka ≡ kb (mod km) .
a b m (mod ). d为a，b及m的任一正公约数，则 d d d
2019年4月13日11时56分
性质(5) 若a ≡b (mod m)，c ≡d (mod m) ， 则 ac ≡ bd (mod m) .
同余式可以相乘。
推论
若a ≡b (mod m)， 则 a k ≡ b k (mod m), k 为任意整数.
同余式的数乘。
推广
E
2019年4月13日11时56分
2019年4月13日11时56分
2、同余的性质：
(1) 反身性： a ≡ a (mod m). (2) 对称性：若 a ≡ b (mod m)， 则 b ≡ a (mod m). (3) 传递性：若 a ≡ b (mod m), b ≡ c (mod m), 则 a ≡ c (mod m). (4) 若a ≡b (mod m)，c ≡d (mod m) ， 则 a + c ≡ b + d (mod m) , a－c ≡ b－d (mod m). 同余式可以相加减。
例7 用弃九法验算 28947×34578 =1001865676 是否正确. 解 28947≡3 (mod 9), 34578≡0 (mod 9) 应有28947×34578 ≡0 (mod 9), 而 1001865676 ≡0 (mod 9), 所以计算必有错误. 弃九法只是运算结果正确的必要条件，而非充 分条件 ! 因此只能判误.
同余运算原理
同余运算原理同余运算原理是数论中一个重要的概念，它描述了两个整数之间的一种等价关系。
在数学中，同余运算是指两个整数除以同一个正整数所得的余数相等。
这个概念在密码学、计算机科学和其他领域中都有广泛的应用。
本文将从同余运算的定义、性质、应用以及相关定理等方面进行介绍。
同余运算的定义很简单，对于给定的整数a、b和正整数m，如果a和b除以m所得的余数相等，即(a mod m) = (b mod m)，则称a与b在模m下同余，记作a ≡ b (mod m)。
其中mod是取模运算的符号，表示取余数的操作。
同余运算可以理解为将整数集合划分为若干个等价类，每个等价类中的整数与模m下的余数相等。
同余运算具有以下几个重要的性质：传递性、反射性、对称性和合并性。
传递性指如果a ≡ b (mod m)且b ≡ c (mod m)，则a ≡ c (mod m)。
反射性指a ≡ a (mod m)，即任意整数与自身在模m下同余。
对称性指如果a ≡ b (mod m)，则b ≡ a (mod m)。
合并性指如果a ≡ b (mod m)且c ≡ d (mod m)，则a + c ≡ b + d (mod m)和a - c ≡ b - d (mod m)。
同余运算在密码学中有广泛的应用，特别是在公钥密码学中。
RSA 加密算法就是基于同余运算原理设计的一种非对称加密算法。
在该算法中，两个大质数的乘积被用作模数m，并选择一个与欧拉函数值互质的整数作为加密密钥e。
通过对明文进行加密运算得到密文，密文再通过解密运算得到原始的明文。
RSA算法的安全性基于大整数分解的困难性，即将大整数因式分解的难题。
除了密码学，同余运算还在计算机科学中起到重要的作用。
在计算机中，同余运算常常用于计算哈希函数的值。
哈希函数将任意长度的输入数据映射为固定长度的哈希值，而同余运算可以将哈希值映射到一个较小的范围内。
这在数据索引、数据校验和数据完整性验证等方面都具有重要的应用。
第二章同余与同余式
足 abl(mod p), 故得2·3…(p-2) (mod p), 即可得
(p-1)! -1 (mod p).
定理 (威尔逊定理) p为素数 iff (p-l)!-1(mod p).
充分性: 若(p-1)! = -l (mod p), 则 p为素数.
解： 2001年国庆节到2010年国庆节之间共有2个闰年 7个平年，即有“366×2+365×7”天。 ∵ 366×2≡2×2≡4（mod 7）， 365×7≡1×7≡0（mod 7）， ∴366×2+365×7≡2×2+1×7≡4+0≡4（mod 7） 答：2010年的国庆节是星期五。
同余的应用举例
的弃九数与其模9的余数相等。
利用这种方法可以验算较大整数的加法、减法、乘 法运算的结果是否正确，也可验算除法，但需转化 成乘法。
弃九法
例1 验算 851+346=1198．
解： 先分别求出两个加数的弃九数与和的弃九数．
851、346的弃九数分别是5，4，1198的弃九数1． 两个加数的弃九数相加得4+5=9，弃掉9后是0，而题 目中和的弃九数是1，可以说这道题一定错误。 注：利用弃九法检验运算的结果是否正确时，
同余的应用1：国际图书标准(ISBN编码) ISBN是international standard of book number 的缩写，即国 际标准图书编号。ISBN是国际通用的图书或独立的出版物(除定期出版 的期刊)代码。出版社可以通过ISBN清晰地辨认所有非期刊书籍。一个 ISBN只有一个或一份相应的出版物与之对应。新版本如果在原来旧版 的基础上没有内容上太大的变动，在出版时也不会得到新的ISBN号码。 当平装本改为精装本出版时，原来相应的ISBN号码也应当收回。 国际标准图书编号问世后，很快得到推广，主要是因为它对出版 商、书商的工作有很大的益处，体现在:国际标准书号是机读的编码， 从图书的生产到发行、销售始终如一，对图书的发行系统起了很大的 作用;它的引入使图书的定购、库存控制、账目和输出过程等任何图书 业的分支程序都简化了;国际标准书号也对图书馆和文献中心的订购、 采选、编目和流通程序都有促进作用;ISBN系统的引入也服务于书目信 息的流动和使用，而且为一个国家的图书生产提供经济的书目控 制;ISBN对图书市场更有效率，它能确定国际上出版的任何图书及其出 版社。在书业中习惯称ISBN为库藏码(Stock Number)，就是因为其被 普遍应用于书库管理。
同余的概念及其基本性质
学院学术论文题目: 同余的概念及其基本性质学号：学校：专业：班级：姓名：指导老师：时间：摘要：初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。
它以算术方法为主要研究方法，在日常生活中，我们所要注意的常常不是某些整数，而是这些数用某一固定的数去除所得的余数。
同余概念的产生可以说大大丰富了数学的内容。
同余是数论中的一个基本概念，同余的应用，一：检查因数的一些方法；二：弃九法。
在本专题的学习中，培养我分析推理解决问题的能力，理解问题的实质。
关键字：同余整数算术Summary：The number of elementary number theory is to study the law, in particularinteger nature of the branch of mathematics. It arithmetic method as the main research methods in their daily lives, we are often not to pay attention to some integer, but these numbers with a fixed a number of removal from the remainder. I created the concept of the same can be said to have greatly enriched the content of mathematics. Number theory congruence is a basic concept of the application with more than one: Check factor of some of the ways; 2: abandoned nine law. In the topic of study, training my analysis reasoning ability to solve problems, understand the essence of the problem.Keyword ：Congruence Integer Arithmetic引言数论是研究整数性质的一门学科，它是数学中最古老的分支之一，内容极为丰富，曾被数学家说成是数学的皇后。
数的性质 同余性 同余
若 ≡ ( 1 )， ≡ ( 2 )，
则 ≡ ( 1 ，2 )。
三、同余的运算性质
3.可约性
（1）若 ≡ ( )， , = 1，则 ≡ ( )
（2）若 ≡ ( )，则 ≡ ( )
（3）若 ≡ ( )，则 ≡ ( )
（4）若 ≡ ( )， , = ，则 ≡ (
)
四、欧拉函数
欧拉函数 ()是定义在正整数上的函数，()表示序列0，1，
2，...， − 1中与互质的整数的个数。
欧拉函数的计算公式：设 = 1 1 2 2 … … ，则
（3）传递性：
Hale Waihona Puke 若 ≡ ( )， ≡ ( )
则 ≡ ( )
三、同余的运算性质
1.可加性
若 ≡ ( )， ≡ ( )
则 + ≡ + ( )
推论
若 + ≡ ( )， ∈ ，
则 ≡ − ( )
() = (1
1
− )
1
(1 −
1
1
) … … (1 − )
2
欧拉定理：设是大于1的整数，（，） = 1，则
() ≡ 1( )
五、典型例题分析
【例1】已知今天是星期三，问1012 后的那一天是星期几？
解：10 ≡ 3( 7)；
1012 ≡ 312 ≡ 274 ≡ −1
三、同余的运算性质
2.可乘性
（1）若 ≡ ( )， ∈ ，则 ≡ ( )
（2）若 ≡ ( )， ≡ ( )，则 ≡ ( )
（3）若 ≡ ( )， ∈ ∗ ，则 ≡ ( )
（4）若 ≡ ( 1 )， ≡ ( 2 )， 1 , 2 = 1，
同余的概念和性质
你会解答下面的问题吗？问题1:今天是星期日，再过15天就是六一”儿童节了，问六一”儿童节是星期几？这个问题并不难答.因为，一个星期有7天，而15 + 7=2…」即15= 7>2+1，所以六一”儿童节是星期一。
问题2:1993年的元旦是星期五，1994年的元旦是星期几？这个问题也难不倒我们.因为， 1 993年有365天，而365 = 7 >52 + 1 ，所以1 994年的元旦应该是星期六。
问题 1 、2的实质是求用7去除某一总的天数后所得的余数.在日常生活中，时常要注意两个整数用某一固定的自然数去除，所得的余数问题.这样就产生了“同余”的概念.如问题1 、2 中的15 与365 除以7 后，余数都是1 ，那么我们就说15 与365 对于模7 同余。
同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a=b modm）. *）上式可读作：a同余于b, 模m。
同余式（*）意味着（我］假设a>b :a-b=mk, k 是整数，即m | Q-b）.例如：① 15三365mod7),|为365-15=350=7X50。
② 56三20mod9),g为56-20=36 = 9X4。
③ 90三0mod10),囲90-0 = 90=10X9。
由例③我们得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为：a三0(nodm )。
例如，表示a是一个偶数，可以写a=0 mod 2)表示 b 是一个奇数，可以写b=1 mod 2)补充定义：若m a-b),就说a、b对模m不同余，用式子表示是：ab(modm)我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相似.同余式有如下一些性质(其中a、b、c、d 是整数，而m 是自然数)。
性质1 ：a=amod m),(反身性)这个性质很显然.因为a-a=0=m-0o性质2: 若a=b mod m),那么)三a mod m)，对称性)。
同余
m
n
j 0
p
k 0
证明 由定理2.1.3和已知: • 又ab=c, 故 p . m n ( ai )( b j ) ( ck )(mod 9) • ,
i 0 j 0 k 0
• 可见, 若
( ai )( b j ) ( ck )(mod 9)
15:51:43
2.1 同余式定义和基本性质
证明 请自己完成.
15:51:43
2.1 同余式定义和基本性质
定理2.1.3正整数a能被9整除 iff 9整除a的 十进制表示各数字的和． n a ai 10 i , 则由10i1(mod 证明 若 i 0 9)(i=1,2,…,n)和定理 2.1.2 ③可得:
15:51:43
2.2 剩余类和剩余系
证明 ①设a是任一整数, 则a＝mq+r, 0≤r<m, 故a 恰包含在[r]中. ②若a和b是两整数, 且在[r]中, 则a＝mq1+r, b=mq2+r, 故m|(a-b). 反之, m|(a-b), 则由同余定 义即知a和b同在某一类[r]中, 0≤r<m. 定义2.2.2 在模m剩余类[0], [1], …,[m-1]中各取 一数ar[r], 0≤r≤m-1, 该m个数a0,a1,…,am-1称 为模m的一完全剩余系. 若令x={a0,a1,…,am-1}, 则称x是过模m的完全剩余系. • 由此定义得以下定理.
2.2 剩余类和剩余系
定理2.2.4 若a0,a1,…,am-1是模m的一完全剩余系, (b,m)=1. 则 ba0,ba1,…,bam-1也是模m的一完全 剩余系. 证明 仿定理2.2.3可证. • 由定理2.2.3和2.2.4可证如下定理. 定理2.2.5 若a0,a1,…,am-1是模m的一完全剩余系b 和c是任意二整数且(b,m)=1, 则ba0+c, ba1+c, …,bam-1+c也是模m的一完全剩余系.
第二章 同余=
100 1，101 3，102 4，103 1， (mod 13)
N = a n 1 a n 2 a1 a 0 a 2 a1 a 0 10 0 a 5 a 4 a 3 10 3
一个自然数被4整除，当且仅当它的
x y 1 = 9或18， 3 y x = 0或11。 x y 1 a 这样得到四个方程组：
3 y x b
其中a取值9或18，b取值0或11。 在0 x, y 9的条件下解这四个方程组， 得到x = 8，y = 0，z = 6。
例 说明 2
25
证明 由定理1，只需证明：若ai aj，则 nai k naj k (mod m)。 (1) 事实上，若 nai k naj k (mod m)， 则 nai naj (mod m)， 由此及性质（7）得到 ai aj (mod m)， 因此ai = aj。所以式(1)必定成立。证毕。
i 0
n
(ⅳ) 13│N 13│ a 2 a1 a 0 a 5 a 4 a 3 。
解 由 100 1，101 1，102 1， (mod 3) n n i 由上定理知 N = ai 10 ai (mod 3)，
i 0 i 0
由上式可得到结论(ⅰ)。
结论(ⅱ)，(ⅲ)用同样方法证明。
设m是正整数，从模m的每一个剩 余类中任取一个数xi（0 i m 1）， 称集合{x0, x1, ,xm 1}是模m的一个完全 剩余系（或简称为完系）。
由于xi的选取是任意的，所以模m的完全剩余系有无穷 多个，通常称 (ⅰ) {0, 1, 2, , m 1}是模m的最小非负完全剩余系； (ⅱ)
同余与模运算的性质与应用
同余与模运算的性质与应用在数学中，同余是一个重要的概念，它与模运算密切相关。
同余关系是指对于两个整数a 和b，若它们除以某个整数m 所得的余数相等，则称 a 与 b 同余，记作a ≡ b (mod m)。
同余关系具有以下性质和应用，下面将逐一进行探讨。
一、性质：1. 反身性：对于任意整数 a，有a ≡ a (mod m)。
2. 对称性：如果a ≡ b (mod m)，则b ≡ a (mod m)。
3. 传递性：如果a ≡ b (mod m) 且b ≡ c (mod m)，则 a ≡ c (mod m)。
4. 同余定理：如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m)，则a±c ≡ b±d (mod m)，ab ≡ cd (mod m)。
其中 ±表示加法或减法。
二、应用：1. 模重复性：对于一个模 m，同余式的结果具有周期性的特点。
例如，对于任意整数 a，a+2m ≡ a (mod m)，即 a 与 a+2m 同余。
这种周期性的特点在计算中具有很大的应用价值。
2. 素数判定：同余关系可以用于判定一个数是否为素数。
根据费马小定理，对于任意素数 p 和不为 p 的整数 a，a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
因此，如果对于某个 a，a^(p-1) ≢ 1 (mod p)，则 p 一定不是素数。
这为素数的判定提供了一种有效的方法。
3. 数据加密与安全：同余关系在数据加密和安全领域有广泛应用。
其中最典型的例子就是 RSA 加密算法。
RSA 算法基于大数的分解困难性问题，通过同余关系实现了数据的加密和解密过程。
4. 数字校验：同余关系可以用于数字校验，例如校验码的生成和校验等。
通过对数据进行同余计算，可以检测数据在传输或存储过程中是否发生错误。
5. 互模运算：互模运算是同余关系的另一种扩展形式。
对于给定的两组模数 m1 和 m2，如果两个整数 a 和 b 满足a ≡ b (mod m1) 且a ≡ b (mod m2)，则称 a 与 b 互模同余。
同余
a 用a modm表示余数r，则 a [ ]m ( a m odm ) m
定理3 整数a, b模m 同余 a modm=b modm
ab (modm) m|a-b a modm=b modm
a=b+km
性质：
(1) ( 2) ( 3)
[(a modm ) (b modm )]modm (a b) modm [(a modm ) (b modm )]modm (a b) modm [(a modm ) (b modm )]modm (a b) modm
(r r ) a b (q q)m
m a b的充分必要条件是 m r r. 但因为 0 r r m ， 因此，
且 m r r 的充分必要条件是 r r 0 ，所以 m a b 的充分必 要条件是 r r 0. 这就是定理的结论.
2
2003
2
22 1 4 4(mod 7).
故第 22003 天是星期二。 定理5 若 x y(mod m),
ai bi (mod m),
0 i k, 则 0 i k.
a0 a1 x ak x k b0 b1 y bk yk (mod m).
故 3 n, 9 ｜ n.
k 定理7 设 n ak 1000 a11000 a0 , 0 ai 1000. 则7或11,或
13 n 7或11或 13 a0 a2 - a1 a3 .
例4 设 n 637693.
例5 设n 75312289.
定理10 设a b ( mod m) . 若d | m, 则a b ( mod d) .
2.1 同余及其基本性质
总结
在遇到很大的数时，我们很难直观判断余 数是几，这时我们就要把被除数变小，降次，反 复进行这个过程，直至求出结果.
如被除数为Ab （假设 Ab是一个很大的数）,除 数为C, 若C除以A余数为D,则Ab Db (mod C) ;反复 进行此过程直到求出结果.
课堂小结
同余定义
一般地，设n为正整数，a和b为整数.如果a 和b被n除后余数相同，那么称a和b模n同余，
- (-4 ) 3 64 (mod100). ∴ 2999 (-4)83 23 (-646 ) 23 - 2 9
-512 88 (mod100). ∴ 2999的最后两位数字为88.
课堂练习
1、2006年“五一节”是星期一，同年“国 庆节”是星期（日 ）. 2、有一个数能被5整除，但除以4余3，这 个正整数最小是（15 ）.
除数 商 余数
5
2
2
5
3
2
5
4
2
5
5
2
5
6
2
5
7
2
5 …2
观察上表有什么规律
通过观察，我们发现这些数被5整除后，得到 的余数是相同的，这种情况我们成为模7同余.
一般地，设n为正整数，a和b为整数. 如果a和b被n除后余数相同，那么称a和 b模n同余，记作a b (mod n) .若a和b 被n除后余数不同，则称a和b模n不同
2、若abac(mod m), 且（a，n）=1，则bc(mod m)
高考链接
1、设a、b、n(n>0)为整数，若a和b被n除的余
数相同，则称a和b对模n同余，记作a≡b(mod
n).已知 a
1
1 2
(C200
同余运算及其基本性质
同余运算及其基本性质100除以7的余数是2，意思就是说把100个东西七个七个分成一组的话最后还剩2个。
余数有一个严格的定义：假如被除数是a，除数是b（假设它们均为正整数），那么我们总能够找到一个小于b的自然数r和一个整数m，使得a=bm+r。
这个r就是a除以b的余数，m被称作商。
我们经常用mod来表示取余，a除以b余r就写成a mod b = r。
如果两个数a和b之差能被m整除，那么我们就说a和b对模数m同余（关于m同余）。
比如，100-60除以8正好除尽，我们就说100和60对于模数8同余。
它的另一层含义就是说，100和60除以8的余数相同。
a和b对m同余，我们记作a≡b(mod m)。
比如，刚才的例子可以写成100≡60(mod 8)。
你会发现这种记号到处都在用，比如和数论相关的书中就经常把a mod 3 = 1写作a≡1(mod 3)。
之所以把同余当作一种运算，是因为同余满足运算的诸多性质。
比如，同余满足等价关系。
具体地说，它满足自反性（一个数永远和自己同余）、对称性（a和b同余，b和a也就同余）和传递性（a和b同余，b和c同余可以推出a和c同余）。
这三个性质都是显然的。
同余运算里还有稍微复杂一些的性质。
比如，同余运算和整数加减法一样满足“等量加等量，其和不变”。
小学我们就知道，等式两边可以同时加上一个相等的数。
例如，a=b可以推出a+100=b+100。
这样的性质在同余运算中也有：对于同一个模数m，如果a和b同余，x和y同余，那么a+x和b+y也同余。
在我看来，这个结论几乎是显然的。
当然，我们也可以严格证明这个定理。
这个定理对减法同样有效。
性质：如果a≡b(mod m)，x≡y(mod m)，则a+x≡b+y(mod m)。
证明：条件告诉我们，可以找到p和q使得a-mp = b-mq，也存在r和s使得x-mr = y-ms。
于是a-mp + x-mr = b-mq + y-ms，即a+x-m(p+r) = b+y-m(q+s)，这就告诉我们a+x和b+y除以m的余数相同。
同余定理的定义与应用
同余定理的定义与应用同余定理（Congruence theorem）是数论中一种重要的工具，用于描述整数之间“除以某个数的余数相同”的关系。
它在密码学、代数、组合数学等领域都有广泛的应用。
本文将从同余定理的定义和基本性质入手，介绍其在数论和应用领域的具体应用。
一、同余定理的定义在数论中，同余定理指的是：对于任意整数a、b和正整数n，如果a与b除以n的余数相同，即a ≡ b (mod n)，则称a与b在模n下是同余的。
同余关系具有以下几个性质：1. 自反性：a ≡ a (mod n)；2. 对称性：若a ≡ b (mod n)，则b ≡ a (mod n)；3. 传递性：若a ≡ b (mod n)，b ≡ c (mod n)，则a ≡ c (mod n)。
二、同余定理的基本性质1. 同余的运算性质（1）同余的和与差性质：若a ≡ b (mod n)，c ≡ d (mod n)，则a+c ≡ b+d (mod n)，a-c ≡ b-d (mod n)；（2）同余的积性质：若a ≡ b (mod n)，c ≡ d (mod n)，则a·c ≡ b·d (mod n)。
2. 模运算的唯一性对于每一个正整数n，模n同余关系分割整数集合Z成了n个完全的互不相交的子集，即[Z] ≡ [0],[1],[2],...,[n-1]。
任何整数都可以唯一地属于其所对应的整数集合。
三、同余定理在数论中的应用1. 同余方程的求解对于形如ax ≡ b (mod n)的同余方程，可以利用同余定理来求解。
设d是a与n的最大公约数，若b能被d整除，方程有解；否则方程无解。
若方程有解，则可以使用扩展欧几里得算法求出方程的一组特解，并通过枚举生成其他所有解。
2. 质数测试同余定理在质数测试中有着重要的应用。
费马小定理和欧拉定理就是同余定理在质数测试中的两个重要应用。
根据费马小定理，若p为质数且a是整数，则a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
3.1 同余的概念及其基本性质
附记 最小公倍数的一个常用性质是，若m1 | a, m2 | a, ,
mk | a, 则 m1, m2 , , mk | a.
证 由带余除法，设 a m1 , m2 , , mk q r ,0 r m1, m2 ,
则由m1 | a, m2 | a, , mk | a及mi | m1, m2 , , mk , i 1,2, , k 得
故 a, m b, m .
a b mt , a mt b.
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例 一个整数a 0被9整除的充分必要条件是的a各位数 字（十进制）的和9整被除.
证 设a an10 an110
n
n1
a0 ,0 ai 10.
因10 1 mod9 ，故 10i 1 mod9 , ai10i ai mod9 , i 0,1, , n. 于是，
§1 同余的概念及其基本性质
定义 给定一个正整数m，若用m去除两个整数a和b所得
的余数相同，则称a, b对模m同余，记作a b mod m . 若余 数不同，则称a, b对模m不同余，记作a / b mod m .
同余有如下一些简单性质.
甲 a a mod m .
证 设a b mod m ，则a mq1 r , b mq2 r ,0 r m. 于是，a b m q1 q2 , m | a b. 反之，设m | a b. 由带余除法，a mq1 r1,0 r1 m,
25
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5. 若a是任一奇数，则
2n
a 1 mod 2n 2 n 1 .
证 对n作数学归纳法.
当n 1时，因a为奇数，故可设a 2a1 1，则
同余的概念及其基本性质
4.证明：641 232 1 解：依次计算对模641的同余数
22 4，24 16，28 256， 216 256 256 154(mod641) 232 154 154 1(mod641) 232 1 0(mod641)
5.设a为奇数，则a2n 1(mod 2n2 ) (n 1). 解：设a = 2m 1， 当n = 1时，有 a2 = (2m 1)2 = 4m(m 1) 1 1 (mod 23)（*）成立。 设式(*)对于n = k成立，则有
a2k 1(mod 2k2 ) a2k 1 q 2k2 所以 a2k1 (1 q 2k2 )2 1 q 2k3 q2 2(k2)2 记 1 q'2k3 1(mod 2k3 ),q' Z. 这说明式(*)当n = k 1也成立。由归纳法得证.
一般地，求a bc 对模m的同余的步骤如下： ① 求出整数k，使ak 1 (mod m)；
② 求出正整数r，r < k，使得bc r (mod k)；
③ abc ar (mod m)
——减小幂指数
练习：若a Z ,证明 10|a1985 a1949 . 提示：a5 a(mod10)
一、问题的提出 1、今天是星期一，再过100天是星期几？ 再过1010 天呢？ 2、3145×92653=2910 93995的横线处漏写了一个 数字，你能以最快的办法补出吗？
3、13511，13903，14589被自然数m除所得余数 相同，问m最大值是多少？
同余理论—同余的概念与同余基本性质(小学数学课件)
则有：127156 = 5056 = 5054 × 502 = 5027
2
× 502
又因为502 ≡ 58 111 ，503 ≡ 14 111 ，509 ≡ 80 111 ，
（509 ）3 ≡ 68（111）， 5027
2
× 502 ≡ 16（111）
即可得（16 + 34）28 除以111
5028 = 5027 × 50 ≡ 68 ×50（mod111）≡ 70（111）
同余基本性质在小学中的应用
例1.求437×309×1993被7除的余数。
思路分析：如果将437×309×1993算出以后，再除以7，从而应得到，即
437×309×1993=269120769，此数被7除的余数为1。但是能否寻找更为简变的办法呢？
(mod m)。
1.可加性
a c b d (mod m)
；
2.可乘性
ac bd (mod m);
3.可幂性
ak ≡ bk (modm).
同余基本性质的运用
例1.今天是星期日，过20042004 天后的今天是星期几？
分析：20042004 这个数很大，我们很难直接判断7除20042004 的余数是几。现在我们想办法把
20042004 变小。首先考虑的是7除底数2004的余数是几，利用这个余数替换底数2004，然后降次，
反复进行这个过程，直至去掉指数。
解：
因为2004=7×286+2，所以2004≡ 2 7 .由同余的性质，
又20042004 ≡ 22004 (7）
而22004 = 8668 ，所以22004 ≡ 8668 (7）
又因为8 ≡1(7），所以8668 ≡ 1668 7
同余运算及其基本性质
同余运算及其基本性质取模：a%b b定是正整数，尽管语⾔上b<0合法。
/b=0出现除0错（a+b）mod n=((a mod n)+(b mod n)) mod n(a-b)mod n=((a mod n)-(b mod n)+n)mod n //注意减法， a mod n 可能⼩于 b mod n 结果需加上nab mod n=(a mod n)(b mod n)mod n注意乘法，注意(a mod n)(b mod n)是否会溢出，⽤long long 保存中间结果1int mul_mod(int a,,int b,int n)2 {3 a%=n;b%=n;4return (int)((long long)a*b%n);5 }除法不可直接取模，⽤到乘法逆元同余运算：若(a-b)%m==0,就称a,b关于m同余/a,b对模数m同余e.g. (100-60)%8==0,我们就说100和60对于模数8同余它的另⼀层含义就是说，100和60除以8的余数相同。
a和b对m同余，我们记作a≡b(mod m)你会发现这种记号到处都在⽤，⽐如和数论相关的书中就经常把a mod 3 = 1写作a≡1(mod 3)性质：如果a≡b(mod m)，x≡y(mod m)，则a+x≡b+y(mod m)//两边分别相加也是如果a≡b(mod m)，x≡y(mod m)，则ax≡by(mod m)//两边分别相乘也是如果ac≡bc(mod m)，且c和m互质，则a≡b(mod m)//c,m互质时，去掉c也是模线性⽅程组：输⼊正整数a,b,n 解⽅程ax≡b(mod n).a,b,n<=10^9⽅程可理解为ax-b是n的正整数倍，设倍数为y，则ax-b=ny;即ax-ny=b 解此不定⽅程----扩展欧⼏⾥得算法同余⽅程的解是⼀个同余等价类b=1时,ax≡1(mod n)的解称a关于模n的逆invers----乘法逆元有解条件，a,n互质gcd（a,n）=1，此时，⽅程只有唯⼀解。
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100除以7的余数是2，意思就是说把100个东西七个七个分 成一组的话最后还剩2个。余数有一个严格的定义：假如被除数是a，除数是b（假设它们均为正整数），那么我们总能够找到一个小于b的自然数r和一个整数 m，使得a=bm+r。这个r就是a除以b的余数，m被称作商。我们经常用mod来表示取余，a除以b余r就写成a mod b = r。 如 果两个数a和b之差能被m整除，那么我们就说a和b对模数m同余（关于m同余）。比如，100-60除以8正好除尽，我们就说100和60对于模数8同 余。它的另一层含义就是说，100和60除以8的余数相同。a和b对m同余，我们记作a≡b(mod m)。比如，刚才的例子可以写成100≡60(mod 8)。你会发现这种记号到处都在用，比如和数论相关的书中就经常把a mod 3 = 1写作a≡1(mod 3)。 之所以把同余当作一种运算，是因为同余满足运算的诸多性质。比如，同余满足等价关系。具体地说，它满足自反性（一个数永远和自己同余）、对称性（a和b同余，b和a也就同余）和传递性（a和b同余，b和c同余可以推出a和c同余）。这三个性质都是显然的。 同 余运算里还有稍微复杂一些的性质。比如，同余运算和整数加减法一样满足“等量加等量，其和不变”。小学我们就知道，等式两边可以同时加上一个相等的数。例 如，a=b可以推出a+100=b+100。这样的性质在同余运算中也有：对于同一个模数m，如果a和b同余，x和y同余，那么a+x和b+y也同余。在 我看来，这个结论几乎是显然的。当然，我们也可以严格证明这个定理。这个定理对减法同样有效。 性质：【如果a≡b(mod m)，x≡y(mod m)，则a+x≡b+y(mod m)。】 证 明：条件告诉我们，可以找到p和q使得a-mp = b-mq，也存在r和s使得x-mr = y-ms。于是a-mp + x-mr = b-mq + y-ms，即a+x-m(p+r) = b+y-m(q+s)，这就告诉我们a+x和b+y除以m的余数相同。 容易想到，两个同余式对应相乘，同余式两边仍然相等： 【如果a≡b(mod m)，x≡y(mod m)，则ax≡by(mod m)。】 证明：条件告诉我们，a-mp = b-mq，x-mr = y-ms。于是(a-mp)(x-mr) = (b-mq)(y-ms)，等式两边分别展开后必然是ax-m(...) = by-m(...)的形式，这就说明ax≡by(mod m)。 现在你知道为什么有的题[/Problem_Show.asp?id=1093]要 叫你“输出答案mod xxxxx的结果”了吧，那是为了避免高精度运算，因为这里的结论告诉我们在运算过程中边算边mod和算完后再mod的结果一样。假如a是一个很大的数， 令b=a mod m，那么(a * 100) mod m和(b * 100) mod m的结果是完全一样的，这相当于是在a≡b (mod m)的两边同时乘以100。这些结论其实都很显然，因为同余运算只关心余数（不关心“整的部分”），完全可以每一次运算后都只保留余数。因此，整个运算过 程中参与运算的数都不超过m，避免了高精度的出现。 在证明Fermat小定理[/blog/article.asp?id=280]时，我们用到了这样一个定理： 【如果ac≡bc(mod m)，且c和m互质，则a≡b(mod m)】 （就是说同余式两边可以同时除以一个和模数互质的数）。 证明：条件告诉我们，ac-mp = bc-mq，移项可得ac-bc = mp-mq，也就是说(a-b)c = m(p-q)。这表明，(a-b)c里需要含有因子m，但c和m互质，因此只有可能是a-b被m整除，也即a≡b(mod m)。 可能以后还要用到更多的定理，到时候在这里更新。Matrix67原创转贴请注明出处