等差数列的前n项和公开课课件

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《等差数列的前n项和公式》课件

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变式练习2
已知an，d，n
2.一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，从上
往下铺瓦片，每一层比上面一层多铺1块，
斜面上铺了20层，最下面一层铺了39块瓦片，
第一层铺了多少块瓦片？共铺瓦片多少块？
解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦片数构成
等差数列{an}，且a20=39，d=1，n=20
则由an a1 (n 1)d得：法a21：19 39, 解得：a1 20
问题就是：计算1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100
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高斯的算法
计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100
高斯算法的高明之处在于他发现这100
个数可以分为50组：
首尾
第一个数与最后一个数一组；
中间的一组数是什
配对第二个数与倒数第二个数一组；么呢？
相加第三个数与倒数第பைடு நூலகம்个数一组，……
法每组数的和均相等，都等于101，50个
101 就等于 5050 了。高斯算法将加法问题
转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.
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创设情景
平行四三边角形形
若V形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层有很多支铅笔，老师说有n支。问：这个V形架上共放着多少支铅笔？问题就是： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ (n-1) ＋ n
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谢谢观看!
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答案: n=9，或n=-3（舍去）
练习3、在等差数列an中，d 2, a15 10,求a1及S10. 答案:a1=-38，S10=-290
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课堂小结
1．等差数列前n项和的公式；（两个）

4.2.2等差数列的前n项和(第一课时)课件(人教版)

最小值时n的值为(
A.5
√
B.6
C.7
)
D.8
a1
17
解析由 7a5＋5a9＝0，得 d ＝－ 3 .
又a9>a5，所以d>0，a1<0.
d
1 a1 1 17 37
d 2
因为函数 y＝2x ＋a1－2x 的图象的对称轴为 x＝2－ d ＝2＋ 3 ＝ 6 ，

取最接近的整数 6，故 Sn 取得最小值时 n 的值为 6.
已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数
是n，第n项为an，求前n项和Sn .
S n a1 (a1 d ) (a1 2d ) ... [a1 (n 1)d ], ①
S n an (an d ) (an 2d ) ... [an (n 1)d ], ②
跟踪练习
8.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距
10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前
来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．
解析假设20位同学是1号到20号依次排列，
使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，
由①+②，得
2Sn （a1 an）+（a1 an）+（a1 an）+...+（a1 an）
n个
n(a1 an )
2 S n n(a1 an ) 即Sn
2
求和公式
可知三
求一
等差数列的前n项和的公式：
n(a1 an )
Sn
不含d

第1课时等差数列的前n项和(一)课件人教新课标

∴an=6n-68.令an≥0得n≥12,
∴{an}的前11项为负数,从第12项开始各项为正数.
①当1≤n≤11时,Tn=-Sn=65n-3n2;
②当n≥12时,Tn=-S11+(a12+a13+…+an)=-S11+(Sn-S11)=Sn-2S11=3n2-65n+704.
2
3 , 1
65 −
考点类析
变式将等差数列{an}的前n项和记
为Sn,已知a10=30,a20=50.
(1)求Sn;
(2)若Sn=242,求n的值.
1 + 9 = 30,
解:(1)设{an}的公差为d,则ቊ
解得
1 + 19 = 50,
1 = 12,
(−1)
ቊ
∴Sn=na1+ 2 d=n2+11n.
= 2,
2
数,则ab=
-1
.
方法二:由条件a1+a2+…+an
3
(1 + )
a1= ,∴{an}的前n项和Sn=
=
2
2
= 2,
1 故ab=-1.
an2+bn,得൝
=− ,
2
5
n}为等差数列,由an=4n-2知
2
=an +bn知数列{a
3
5
+4−
2
2
2
1
=2n2- n=
2
考点类析
考点一
等差数列{an}的前n项和Sn
第三站上三位乘客,每一站下一位乘客,第几站后,车上坐满乘客?
解:每一站上车的乘客人数构成首项为1,公差为1的等差数列,下车的乘客人数为常

等差数列前n项和(公开课)PPT课件

几何等领域。
组合数学
等差数列的前n项和公式可以应用于组合数学中，解决一些组合问题，如计算组合数的公式等。
数列求和
等差数列的前n项和公式是数列求和的一种重要方法，可以用于
解决等差数列的求和问题。
在物理中的应用
力学
在物理学中，等差数列的前n项和公式可以应用于求解一些力学问题，如计算多自由度振动的周期等。
简化计算
等差数列的前n项和公式在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，如计算存款利息、解决生产计划问题等。
对于一些较大的等差数列，使用前n 项和公式可以大大简化计算过程，提高计算效率。
验证答案
使用前n项和公式可以快速验证一些等差数列求和问题的答案，确保计算的准确性。
实例解析
简单实例
例如，一个等差数列1, 4, 7, 10... ，使用前n项和公式可以快速求出
统计学
在统计学中，等差数列的前n项和公式可以用于计算平均值、中位数等统计指标。
信号处理
在信号处理中，等差数列的前n项和可以用于计算信号的频谱、滤波等操作。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，等差数列的前n项和公式可以应用于一些数据结构的设计，如数组、链表等。
算法设计
等差数列的前n项和公式可以用于设计一些算法，如排序算法、查找算法等。
详细描述
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻的项之间的差是一个固定的值，这个值被称为公差。等差数列的通项公式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是首项，d 是公差。
性质
总结词
等差数列具有一些重要的性质，包括对称性、中项性质和等差中项性质等。

2.3等差数列前n项和(公开课)优质课件

?
1 2 3 99 100 100 99 3 2 1
1 100100 5050
2
100 99
1
03
试一试
新
知
探
究
1 2 3 ( n 1) n
n n-1
1
凯里实验高级中学
Kailishiyangaojizhongxue
Kailishiyangaojizhongxue
新
知
探
究
等差求和的数学史
我国数列求和的概念起源很早，到南北朝时，张丘建始创等差数列求和解法。他在《张丘建算经》中给出等差数列求和问题：例如：今有女子不善织布，每天所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，共织三十日，问共织几何？
原书的解法是：并初、末日织布数，半之再乘以织日数，即得.
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例
题
讲
解
例2
等差数列｛an｝中，d=4,n=5, Sn =45,求a1的值。
解: 由 S n na 1
n( n 1)d 得： 2
5(5 1) 45 5a1 4 2
解得
a1 1
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想一想
新
知
探
究
如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放100支. 这个V形架上共放了多少支铅笔？ 100 99
1
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?

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数学建模
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列分布，例如光的波长、音阶的频率等，等差数列的前n项和公式可以用于计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可以用等差数列的前n项和公式来解决，例如在求解一些物理问题的近似解时，可以利用等差数列的前n项和来简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益呈等差数列分布，例如定期存款、基金定投等，等差数列的前n项和公式可以用于计算这些投资组合的总收益。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指从第一项到第n项的所有项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
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汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法

《等差数列的前n项和》课件(全国讲课比赛一等奖)

对学生的答疑解惑
01
解答学生在学习过程中遇到的疑惑和问题，帮助他们更好地理解和掌握等差数列的前n项和。
02
针对学生的不同学习需求和问题，提供个性化的指导和建议。
下节课预告：等差数列的性质探究
• 预告下节课的学习内容，引导学生对等差数列的性质进行探究和思考，激发他们的学习兴趣和好奇心。
THANKS。
详细描述
首先，将等差数列的项倒序排列，然后将其与原数列相加。由于倒序数列与原数列的对应项相加都等于同一个常数（等差数列的首项加末项），因此，这些相加的结果都相互抵消，除了第一项和最后一项。因此，等差数列的前n项和可以通过求第一项和最后一
项的和，然后乘以项数n再除以2来得到。
错位相减求和
总结词
错位相减法是一种通过将等差数列的每一项乘以一个递增或递减的系数，然后求和来找到等差数列的和的方法。
等差数列的前n项和公式的扩展
推广到等差数列的任意项和
总结词
等差数列的任意项和公式是等差数列前n项和公式的一种扩展，它可以计算等差数列中任意一项的值。
详细描述
等差数列的任意项和公式是基于等差数列的通项公式和前n项和公式推导出来的。通过设定等差数列的首项、公差以及项数，可以计算出任意一项的值。这个公式在解决一些数学问题时非常有用，特别是那些需要精确计算等差数列中某一项的值的问题。
要点二
详细描述
首先，将等差数列的每一项拆分成两个部分，通常是一个常数和一个递增或递减的等差数列。然后，将这些拆分后的项重新组合成新的数列，并求和。由于相邻的拆分项会相互抵消，因此最后只剩下首项和末项的和。因此，等差数列的前n项和可以通过求首项和末项的和，然后乘以项数n再除以2来得到。

等差数列的前n项求和公式市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件

1指出S1，S2 S12中哪个最大，并说明理由；
2求公差d的取值范围.
解：1 S12
0, S13
0
aa76
a7 a7
0 0
a6 a7
0 0
S6最大
2
1212 1312
2d 2d
66d 78d
0 0
24 d 3 7
练习
1、已知 a6+a9+a12+a15=192,求 S20 2、一种项数为36旳数列旳前四项和是21，后四项和是67，求这个数列旳和。 3、{an}是等差数列，S10>0,S11<0,则求使an<0旳n旳最小值
根据等差数列旳前n项求和公式
Sn
n
a1
nn 1
2
d
得
SS20102100aa1 12100222100- 11dd
310 1220
解得 a1=4，d=6 将此成果代入上面旳求和公式，得Sn=4n+n(n-1)×3=3n2+n
所以，等差数列旳前n项和旳公式是 Sn 3n2 n
解:根据题意，由7n<100 得 n<100／7
解1： 3a 3d 11a 55d
8a 52d a 13 d 0 d 0
2
Sn
na1
nn 1 d
2
n2
14n 2
d
解2： S3 S11 a1 0
由等差数列构成旳函数图象，可知 n=（3+11）/2=7时，Sn最大
即 n=7
例8.等差数列an 若令A=d/2,B=a1-d/2，则 S=An2+Bn
将等差数列旳前n项和公式写成上述形式,有利于求其前n项和旳极值:

等差数列前n项和(公开课)PPT课件

所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =25。
04
第二题答案：16；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有4a + 6d = 12，解得a+d=2，所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +4 =16。
感谢您的观看
THANKS
习题答案与解析
进阶习题答案与解析
01
输标02入题
第一题答案：42；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有5a + 10d = 25，解得a+d=5，所以第6项到第10项的和为5a+35d=42。
03
第三题答案：25；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有5a + 20d = 80，解得a+4d=8，
第二题答案：18；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有3a + 3d = 15，解得a+d=5，所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +3 =18。
习题答案与解析
• 第三题答案：30；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有5a + 45d = 200，解得a+d=5，所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =30。
公式5
$S_n - S_{n-1} = a_n$
公式6
$S_n = S_{n-1} + a_n$
公式之间的联系与区别
联系
公式1、2、3都是求等差数列前n项和的基本公式，而公式4、5、6则是基于这些基本公式的推导或变种。
区别
公式1和公式2形式较为简洁，而公式 3则更便于观察等差数列的对称性质。公式4、5、6则更注重于相邻两项和之间的关系，可以用于求解某些特定问题。

2.4等差数列前n项和公开课(第一课时)课件人教新课标

如何算的呢？
高斯 (1777—1855）德国著名数学家
我们先看下面的问题.
怎样才能快速计算出一堆钢管有多少根呢？
(1)先算出各层的根数， (2)再算出钢管的层数，共7层. 所以钢管总根数是：
一 4+10=14
二 5+9=14
三
6+8=14
四 7+7=14
五 8+6=14
六 9+5=14
七 10+4=14
Sn
n(a1 2
an )
证：Sn= a1+ a2 + a3 + … +an-2+an-1+an
即Sn=an+an-1+an-2+…+ a3+ a2 +a1
+得： 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)
由等差数列的性质：当m+n=p+q时，am+an=ap+aq 知： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1，所以式可化为：
说明：两个求和公式的使用-----知三求二.
2Sn=(a1+an)+(a1+an)+ … +(a1+an) = n(a1+an)
多共少有个n个(a(1a+1a+na)n)?
因此，Sn
n(a1 2
an )
这种求和的方法叫倒序相加法！
等差数列的前n项和公式的其它情势
Sn
n（a1 2

3.3等差数列前n项和公式省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件

7,27, 37, 47, , 14 7,
即 7，14，21，28，…，98
这个数列是成等差数列，记为 an
a1 7, a14 98, n 14
S14
14 (7 98) 2
735.
Sn
n（a1 2
an )
答：集合M共有14个元素，它们和等于735.
第8页
等差数列前n项和练习1
S 1. 依据以下条件，求对应等差数列 an
C组: 在等列前多少项和最大?
第16页
数列{an}前n项和Sn=100n-n2 (n∈N*) (1)判断数列{an}是什么数列? (2)设bn=│an│,求数列{bn}前n项和.
第17页
第18页
第19页
第20页
A ab 2
第3页
高斯求和故事
等差数列 1,2,…50,51,…100和
Sn=1+2+…+100
1+100=2+99=3+98=…=50+51=101
Sn=
100 •101 2
=5050
第4页
等差数列前n项和公式推导
等差数列 a1, a2 , a3 , …，an , …，前n项和
Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an
n
(1)a1 5, an 95, n 10;
S10
10 (5 95) 2
500.
Sn
n（a1 2
an )
(2)a1 100, d 2, n 50;
5（ 0 50 1)
Sn
na1
n（n 2
1)
d
S50 50 100
2

等差数列前n项和(公开课)PPT课件

成立。
代数证明
利用等差数列的性质和代数方法，通过一系列的推导和变换，证
明前n项和公式的正确性。
图形证明
通过图形证明前n项和公式的正确性。将等差数列的项表示为坐标平面上的点，利用梯形的面积
公式推导出前n项和公式。
03
等差数列前n项和的性质
和的最小值和最大值
最小值
等差数列的前n项和的最小值出现在首项小于0，公差小于0的情况下，此时最小值为 S_n=a_1×n+d/2×n(n-1)。
等差数列的实例
01
自然数列：1, 2, 3, 4, ...
03
三角数列：1, 3, 6, 10, ...
02
偶数数列：2, 4, 6, 8, ...
04
等差数列的前n项和为Sn=n/2*(2a1+(n-1)d)，其中a1是第一项，d是公差。
02
等差数列的前n项和公式
前n项和公式的推导
1 2
3
最大值
等差数列的前n项和的最大值出现在首项大于0，公差大于0的情况下，此时最大值为 S_n=a_1×n+d/2×n(n-1)。
和的奇偶性
奇数项和
等差数列的奇数项和等于中间项乘以项数，即S_n=(a_n+a_1)/2×n。
偶数项和
等差数列的偶数项和等于首尾两项的和乘以项数再除以2，即 S_n=(a_1+a_n)×n/2。
统计学
在统计学中，等差数列的前n项和可以用于描述一系列数据的分布特征，例如测量误差、概率分布等。
在经济中的应用
金融
等差数列的前n项和可以用于计算一系列金融数据的累加值，例如股票价格、债券收益、投资回报等。

《等差数列前n项和公式》优秀课件(公开课)

2021/1/21
（一）创设问题
德国伟大的数学家高斯"神速求和"的故事：小高斯上小学四年级时，一次教师布了一道数学习题："把从1到100 的自然数加起来，和是多少？"年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使教师非常吃惊，那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？如大家也懂得那样巧妙计算，那你们就是二十世纪末的新高斯。
由等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d

n(n 1) d 2
2021/1/21
例1 等差数列 10，6，2，2，…前多少项的和是54？
解：设题中的等差数列为{an}，前n项和是 Sn，
则a1= 10，d= 6(10) 4,设 Sn=54，根据等差数列前 n项和公式，得
下面将对等差数列的前n项和公式进行推导
设等差数列a1,a2,a3,… 它的前n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1) 若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2) 由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=… 由(1)+(2) 得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
2021/1/21
课堂小结：
1. 数列{an}前 n项和公式的概念
2. 等差数列前 n项和公式的推导过程
3. 等差数列前 n项和公式及公式应用
2021/1/21
谢谢再见
2021/1/21
即 Sn=n(a1+an)/2 即前n项的和与首项末项及项数有关若已知a1，n，d，则如何表示Sn呢？

等差数列的前n项和课件

详细描述
当等差数列的公差d等于0时，数列中的每一项都相等，此时等差数列退化为常数列。在这种情况下，前n项和公式将简化为求单一数值的和。
当d≠0时，等差数列前n项和的公式简化
总结词：公式简化
详细描述：当公差d不等于0时，等差数列前n项和的公式可以通过求和公式进行简化。具体来说，可以使用等差数列的通项公式和求和公式来推导出一个更简单的公式，用于计算前n项和。
等差数列前n项和与首末项的和的关系
等差数列前n项和等于首末项的和乘以项数再除以2。
THANKS
感谢观看
等差数列前n项和公式的变种形式
等差数列前n项和的平方公式
等差数列前n项和的平方等于首项与末项的平方和加上4倍的第二项到倒数第二项的各项之和。
等差数列前n项和与中间项的和
等差数列前n项和等于中间项与其余各项和的平均值乘以项数。
等差数列前n项和公式的极限形式
等差数列前n项和的极限
当n趋向于无穷大时，等差数列前n项和的极限等于首项与末项的和除以2。
等差数列的前n项和ppt课件
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的实际应用 • 等差数列前n项和的扩展知识
01
等差数列的定义与性质
等差数列的定义
定义
等差数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻项的差是一个常数，这个常数被称为公差。
前n项和公式的应用
前n项和公式在数学、物理、工程等领域有广泛的应用。
前n项和公式可以用于解决等差数列相关的问题，如求和、比较大小等。此外，该公式还可以用于解决一些实际问题，如计算存款利息、评估投数列退化为常数列
总结词
等差数列退化为常数列

等差数列的前n项和公式的性质省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件

公式一：Sn
n(a1 2
an )
公
式
二：Sn
na1
n(n 2
1)
d
议（5分钟）
『知识探究（一）——等差数列与前n项和旳关系』
思索1：若数列{an}旳前n和
Sn
n(a1 2
an )
那么数列{an}是等差数列吗？
{an}是等差数列
Sn
n(a1 2
an )
思索2：将等差数列前n项和公式
Sn
讨论二次函数旳性质
措施2：讨论数列{an} 旳通项，找出正负临界项。（1）若a1>0，d<0，则Sn有大值，且Sn最大时旳n
满足an≥0且an+1<0; （2）若a1<0，d>0，则Sn有小值，且Sn最小时旳n
满足an≤0且an+1>0;
『变式探究』
1.首项为正数旳等差数列{an}，它旳前3项和与前11项和相等，则此数列前___7_____项和最大？
na1
n(n 1) 2
d
看作是一种有关n旳函数，这个函数有什么特点？
Sn
d 2
n2
(a1
d )n 2
当d≠0时，Sn是常数项为零旳二次函数.
思索3：一般地，若数列{an}旳前n和Sn＝An2＋Bn，那么数列{an}是等差数列吗？若Sn＝An2＋Bn＋C 呢？（1）数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn （2）数列{an} 旳前n项和是Sn＝An2＋Bn＋C ，则：
解析：当n＝1时，a1＝S1＝12－12＝11；当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝12n－n2－[12(n－1)－(n－1)2]＝13－2n. ∵n＝1时适合上式，∴{an}旳通项公式为an＝13－2n. 由an＝13－2n≥0，得n≤ ，

等差数列前n项和(公开课)PPT课件

实例
总结词
等差数列的实例包括正整数序列、负数序列、斐波那契数列等。
详细描述
正整数序列1, 2, 3, ...是一个等差数列，其中首项a=1，公差d=1；负数序列-1, 2, -3, ...也是一个等差数列，其中首项a=-1，公差d=-1；斐波那契数列0, 1, 1, 2, 3, 5, ...也是一个等差数列，其中首项a=0，公差d=1。
01
求等差数列3, 6, 9, ..., 3n的前n项和。
进阶习题2
02
求等差数列-2, -4, -6, ..., -2n的前n项和。
进阶习题3
03
求等差数列5, 10, 15, ..., 5n的前n项和。
高阶习题
1 2
Байду номын сангаас
高阶习题1
求等差数列-3, -6, -9, ..., -3n的前n项和。
高阶习题2
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的差是一个常数。
详细描述
等差数列通常表示为“an”，其中a是首项，n是项数，d是公差（任意两个相邻项的差）。
性质
总结词
等差数列的性质包括对称性、递增性、递减性等。
详细描述
等差数列的对称性是指任意一项与它的对称项相等，即a_n=a_(n+2m)，其中 m是整数；递增性是指如果公差d>0，则数列是递增的；递减性是指如果公差 d<0，则数列是递减的。
PART 04
等差数列前n项和的变式与拓展
REPORTING
变式公式
01
02
03
04
公式1
$S_n = frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$

等差数列的前n项和公式(课件)-2024-2025学年高二数学同步课件

问题1 求 S100=1+ 2+3+ … +98+99+100
解：S100=1+2+3+ … +98+99+100 （1） S100=100+99+98+ … +3+ 2+1 （2）
（1）+（2）得 2S100=(1+100) ×100，
S100
100 (1100) 2
5050
设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，即
n1 n
Sn n
是公差为
d 2
的等差数列.
知识探究2:等差数列前n项和公式的性质
证明： Sn a1 a2 an
S2n Sn an1 an2 a2n a1 a2 an n2d
S3n S2n a2n1 a2n2 a3n an1 an2 a2n n2d
题型一
1．已知数列{an}是等差数列且an＞0，设其前n项和为
Sn.若a1＋a9＝a，则S9＝( C )
A．36
B．27
C．18
D．9
解析：由数列{an}是等差数列且 an＞0，
a1＋a9＝a25，
∴2a5＝a25≠0，解得 a5＝2.
则 S9＝9a1＋2 a9＝9a5＝18.
知三求二
知三求二
S2n Sn Sn S3n S2n S2n Sn n2d
(2)由(1)知 an＝2n＋1，所以 bn＝a2n－1 1＝2n＋112－1 ＝14·nn1＋1＝14·1n－n＋1 1，所以 Tn＝141－12＋12－13＋…＋n1－n＋1 1 ＝141－n＋1 1＝4nn＋1，即数列{bn}的前 n 项和 Tn＝4nn＋1.