线性空间与线性变换习题

所以, R+对所定义的运算不构成线性空间.
2. 子空间的判定
例1: 设A为n阶实对称矩阵, 问在什么条件下满足 xAxT=0的n维实向量 x=(x1, x2, ···, xn)构成Rn的子空间?
解: 记V={ x=(x1, x2, ···, xn) | xAxT= 0 } 显然0 V, 所以V非空. 对任意的 xV, kR, 有xAxT=0. 则
则称T为从Vn到Um的线性变换.
一个从线性空间Vn到其自身的线性变换称为线性 空间Vn中的线性变换.
零变换O: O()=0 恒等变换(或称单位变换)E: E()=, V,
九、线性变换的性质
1. T(0)=0, T(–)=–T().
2. 若 =k11+k22+···+kmm , 则 T =k1T1+k2T2+···+kmTm .
构成的集合)是Vn的子空间. 称ST为线性变换T的核.
对Rn上的线性变换: T(x)=Ax, xRn, 则有
(1) T(x)=Ax的象空间T(Rn)就是由1, 2, ···, n 所
生成的向量空间: 即
T(Rn)={ y = x11+x22+···+xnn | x1, x2, ···, xnR }
3. 若1, 2, ···, m 线性相关, 则T1, T2, ···, Tm
亦线性相关.
注意: 若1, 2, ···, m 线性无关, 则T1, T2, ···, Tm不一定线性无关.
4. 线性变换T的象集T(Vn)是线性空间Vn的一个子 空间, 称T(Vn)为线性变换T的象空间.
5. ST={ | T1=0, Vn}(经T变换到0的全体元素
e1, e2, ···,en为单位坐标向量组.
十一、线性变换在给定基下的矩阵
定义: 设T是线性空间Vn中的线性变换, 在Vn中取
定一个基1, 2, ···, n, 如果这个基在变换T下的象为
T (1 ) = a111 + a21 2 + + an1 n
T
(
2
T ( n
)=
)=
a12 1
a1n 1
(1) 1, 2, ···, n 线性无关; (2) V中任意元素总可以由1, 2, ···, n线性表示, 则称1, 2, ···, n为线性空间V的一个基, 称n为线性空
间V的维数.
维数为n的线性空间V称为n维线性空间, 记作Vn. 当一个线性空间V中存在任意多个线性无关的向 量时, 就称V是无限维的.
第六章 习题课
一、线性空间的定义
定义: 设V是一个非空集合, R为实数域. 如果对于
任意两个元素, V, 总有唯一的一个元素 V与之 对应, 称 为与 的和(简称加法运算), 记作 = +.
若对于任一数R与任一元素V, 总有唯一的 元素 V与之对应, 称为数与的积(简称数乘运算), 记作 = .
= x11+x22+···+xnn , 则称有序数组 x1, x2, ···, xn 为元素在基1, 2, ···, n 下的坐标, 并记作 = (x1, x2, ···, xn)T.
线性空间V的任一元素在一个基下对应的坐标是 唯一的, 在不同的基下所对应的坐标一般不同.
在向量用坐标表示后, 它们的运算就归结为坐标 的运算, 因而对线性空间Vn的讨论就归结为线性空间 Rn的讨论.
定义: 设有两个非空集合A, B, 如果对于A中任一
元素, 按照一定规则, 总有B中一个确定的元素 和它
对应, 那么, 这个对应规则称为从集合A到集合B的变
换(或称映射), 记作 =T() 或记作 =T (A). 设A, T()= , 就说变换T把元素变为, 称为
在变换T下的象, 称为 在变换T下的源(或象源), 称
A为变换T的源集, 象的全体所构成的集合称为象集, 记作T(A), 即
T(A)={ =T() | A }.
显然, T(A)B. 变换概念是函数概念的推广.
定义: 设Vn, Um分别是实数域R上的n维和m维线 性空间, T是一个从Vn到Um的变换, 如果变换T满足:
(1) 任给1, 2Vn , 都有 T(1+2)=T(1)+T(2); (2) 任给Vn , kR, 都有 T(k)= kT().
定义: 设U, V是两个线性空间, 如果它们的元素之 间有一一对应关系, 且这个对应关系保持线性组合的 对应, 那末就称线性空间U与V同构.
结论1. 同一数域P上的同维数线性空间都同构; 结论2. 同构的线性空间之间具有等价性. 同构的意义: 在对抽象线性空间的讨论中, 无论构成线性空间 的元素是什么, 其中的运算是如何定义的, 我们所关心 的只是这些运算的代数(线性运算)性质. 从这个意义 上可以说, 同构的线性空间是可以不加区别的, 而有限 维线性空间唯一本质的特征就是它的维数.
而 1, x–1, (x–2)(x–1)P[x]2, 令
整理得
k1·1+k2(x–1)+k3(x–2)(x–1)=0 (k1–k2+2k3)+(k2–3k3)x +k3x2=0
比较等式两边得
k1
k2 k2
+
2 3
k k
3 3
= =
0 0
,
k3 = 0
由方程组易得 k1=k2=k3=0, 于是1, x–1, (x–2)(x–1)
若1, 2, ···, n为Vn的一个基, 则Vn可表示为:
Vn = { = x11+x22+···+xnn | x1, x2, ···, xnR }
五、元素在给定基下的坐标
定义: 设1, 2, ···, n为线性空间Vn的一个基, 对 任意V, 总有且仅有一组有序数x1, x2, ···, xn, 使
比较等式两边得:
a1
a2 a2
+
2 3
a3 a3
= =
1 1
,
解得:
a1 a2
= =
3 4
,
a3 = 1
a3 = 1
所以 1+x+x2 在给定基下的坐标为: (3, 4, 1)T.
即
1+x+x2 = 3+4(x–1)+(x–2)(x–1).
证二: 已知 1, x, x2 是P[x]2的一组基, 而 1, (x–1), (x–2)(x–1)P[x]2, 所以, 1, (x–1), (x–2)(x–1)由1, x, x2 线 性表示;又由于
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律, 那 么, 就称V为数域R上的向量空间(或线性空间):
设, , , O V, 1, l, k R,
(1) 加法交换律: + = + ; (2) 加法结合律: (+ )+ =+( + ) ; (3) 零元素: 存在O V, 对任一向量 , 有+O= ;
(4) 负元素: 对任一元素V, 存在 V, 有+ =O , 记 =– ;
(x+y)A(x+y)T=xAyT+yAxT =2xAyT=0
故,V构成Rn的子空间需要再增加条件: 对任意的 x, yV, 有xAyT=0.
3. 求向量在给定基下的坐标
例3: 证明: 1, x–1, (x–2)(x–1)是P[x]2的一组基, 并 求向量 1+x+x2 在这组基下的坐标.
证一: 因为P[x]2是3维线性空间, 所以P[x]2中任意 三个线性无关的向量都构成它的一组基.
则有坐标变换公式:
x1 x2
=
P
x1 x2
'',
xn xn'
或
x1 x2
''
=
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x1 x2
.
xn'
xn
反之, 若任一元素的两种坐标满足上述坐标变换
公式, 则两个基满足基变换公式:
(1, 2, ···, n)=(1, 2, ···, n)P.
八、线性变换的概念
+ a22 2
+ a2n 2
+ + an2 n
+ + ann n
记
T(1, 2, ···, n)=(T(1), T(2), ···, T(n)),
则上式可表示为
T(1, 2, ···, n)= (1, 2, ···, n)A
其中
A
=
a11 a21
an1
a12 a22
an2
a1n a2n
典型例题
1. 线性空间的判定
(1) 如果在一个集合上定义的加法和乘数运算是 通常实数间的加乘运算, 则只需检验运算的封闭性.
(2) 一个集合, 如果定义的加法和乘数运算不是通 常的实数间的加, 乘运算, 则必需检验是否满足八条线 性运算规律.
例1: 正实数的全体记作R+, 在其中定义加法及乘 数运算为:
1, 2, ···, n;, 由基1, 2, ···, n到基1, 2, ···, n的过渡矩阵为P, Vn
中的线性变换T在这两个基下的矩阵依次为A和B, 那 末B=P-1AP.
定义: 线性变换T的象空间T(Vn)的维数, 称为线性 变换T的秩.
若A是线性变换T的矩阵, 则T的秩就是R(A).
若线性变换T的秩为r, 则T的核ST的维数为n–r.
(1, 2, ···, n)=(1, 2, ···, n)P
在基变换公式中, 矩阵P称为由基1, 2, ···, n到 基1, 2, ···, n的过渡矩阵, 过渡矩阵P是可逆的.
七、坐标变换公式
定理1: 设n维线性空间Vn中的元素, 在基1, 2, ···, n下的坐标为: (x1, x2, ···, xn)T, 在基1, 2, ···, n 下的坐标为: (x1, x2, ···, xn)T, 若两个基满足关系式: (1, 2, ···, n)=(1, 2, ···, n)P.
(2) T(x)=Ax的核ST就是齐次线性方程组Ax=0的解 空间.
十、线性变换的矩阵表示式
Rn中任何线性变换T, 都可用关系式
T(x)=Ax (xRn)
表示, 其中A = (T(e1), T(e2), ···, T(en))
=
a11 a21
an1
a12 a22
an2
a1n a2n
ann
,
(kx)A(kx)T= k2(xAxT) = 0, 所以 kxV. 因此, V构成Rn的子空间的条件为:
对任意的 x, yV, 有 (x+y)A(x+y)T = 0. 而 (x+y)A(x+y)T=(x+y)A(xT+yT)=xAxT+xAyT+yAxT+yAyT
由于x, yV, 则有xAxT=0, yAyT=0. 所以,
ann
,
则称A为线性变换T在基1, 2, ···, n下的矩阵.
结论: 在Vn中取定一个基后: 由线性变换T可唯一 地确定一个矩阵A; 反之, 由一个矩阵A也可唯一地确 定一个线性变换T.
在给定一个基的条件下, 线性变换与矩阵是一一 对应的.
十二、线性变换在不同基下的矩阵
定理1: 设线性空间Vn中取定两个基:
线性无关, 所以1, (x–1), (x–2)(x–1)是P[x]2的一组基.
设1+x+x2在给定基1, (x–1), (x–2)(x–1)下的坐标为:
(a1, a2, a3)T. 则有
1+x+x2 = a1·1+a2(x–1)+a3(x–2)(x–1), 整理得 1+x+x2 = (a1–a2+2a3)+(a2–3a3)x +a3x2
(5) 1 = ; (6) 数乘结合律: k(l ) = (l k) ; (7) 数乘对加法的分配律: k(+ )= k+k ; (8) 数量加法对数乘的分配律: (k+l) = k+l .
二、线性空间的性质
1. 零元素是唯一的. 2. 负元素是唯一的.
3. 0=0; (–1) =– ; 0=0. 4. 如果 = 0, 则 = 0 或 = 0.
三、线性空间的子空间
定义2: 设V是一个线性空间, L是V的一个非空子 集, 如果L对于V中所定义的加法和乘数两种运算也构 成一个线性空间, 则称L为V的子空间.
定理: 线性空间V的非空子集L构成子空间的充分 必要条件是: L对于V中的线性运算封闭.
四、线性空间的基与维数
定义: 在线性空间V中, 如果存在n个元素1, 2, ···, nV, 满足:
六、基变换公式与过渡矩阵
设1, 2, ···, n及1, 2, ···, n是n维线性空间Vn的
两个基,
且有
1
=
p11 1
+
p21 2
++
pn1 n
2 = p121 + p22 2 + + pn2 n
n = p1n1 + p2n 2 + + pnn n
称以上公式为基变换公式. 将上式用矩阵形式表示为:
a b = a+b, °a = a, (R, a, bR+)
问R+对上述加法与乘数运算是否构成(实数域R上的) 线性空间.
解: 可以验证, 所定义的运算是上的运算. 但对于 八条运算规律并不都成立. 对(7), (8)两条不成立.
例如,
(8) (k+l)°a = ak+l = ak al ak+al = ak al = k°a l °a .