第2章 解析函数

Ln(
z1 z2
)
Ln
z1
Ln
z2
• （5）对数函数的解析性
• 可以证明 ln z在除去原点与负实轴的 Z
平面内解析，所以Ln z的各个分支也在除去原 点与负实轴的 Z 平面内解析（因 Ln z 的每一
个单值连续分支与ln z只相差一个复常数），
且
d ln z 1 dz z
• 2.3.3 幂函数
• 证 因为
lim
zz0
f (z)
f (z0 )
lim (z
z z0
z0
)
f (z) f (z0 ) z z0
lim (z
zz0
z0 )
lim
z z0
f (z) f (z0) z z0
0 f (z0 ) 0
•
知
lim
zz0
f (z)
f (z0 )，故
f (z)在点
z 0处连续.
• 2.1.3 复变函数的微分
• 定义2 称函数 f (z)的改变量w的线性部分
f (z0 )z 为函数 f (z)在点 z 0 处的微分，记作
dw
z z0
或
df(z)
，即
z z0
dw zz0 f (z0 )z
• 当 f (z) z 时，dw= dz z ，所以 f (z)在点
z 0处的微分又可记为
• 设 u x, v y ，而
u 1, v 1
x
y
• 所以 f (z) z 在复平面上处处不解析．
• （3） 因为
f (z) z Re( z) (x iy)x x2 ixy
• 设 u x2 , v xy ，
• 由于
u 2x, v x, u 0, v y
x
y
y
x
• 这四个偏导数虽然处处连续，但C—R条 • 件仅在原点处成立，因而函数 f (z) z Re(z) • 在复平面内的原点处可导，其它点不可导， • 可知该函数在复平面上处处不解析.
• 复变量对数函数具有与实变量对数函数同样
的基本性质：
（1）z x 0时，ln z ln x
（2）z x 0，Ln x ln x i(2k 1) (k 0, 1, 2, )
（3） eLn z z, Ln ez z 2k i (k 0, 1, 2, )
（4） Ln(z1z2) Ln z1 Ln z2 ；
• 定义6 设 为任意复常数，定义一般幂函数
为
z e Ln z (z 0)
• 它是指数与对数函数的复合函数，是多值函
数(因 Ln z是多值的).
• 幂函数的几种特殊情形：
• （1）当 为整数时，ei2k 1 ，w z e ln z
是与 k 无关的单值函数（ n（n 为正整数）
时， f (z)为 z n 的 z 次乘n 方，当 （ 为正n
• （3）指数函数是以2i 为周期的周期函数．
• （4）指数函数 e z在整个复平面上解析，且有
(ez ) ez
• 2.3.2 对数函数
• 定义5 对数函数定义为指数函数的反函数.
• 若 z ew (z 0, )，则称 w 是 z 的对数函
数，记作 w Ln z．
• 对数函数是一个多值函数，每一个 z 对
dw zz0 f (z0 ) d z
• 亦即
dw dz zz0
f (z0 )
• 由此可知，函数 w f (z) 在点 z 0 处可导与可 微是等价的.
• 2.1.4 导数运算法则
• 复变函数的求导法则（以下出现的函数均假 设可导）：
• （1） (C) 0, 其中 C为复常数；
• （2）（z n） nz n1, 其中 n 为正整数；
z 0
z
•
（或 lim f (z) f (z0 ) ）
z z0
z z0
（2.1）
• 存在，则称 f (z)在点 z 0 处可导，
• 此极限值称为 f (z)在点 z 0处的导数，记作 f (z0 ) 或 dw ，即
dz zz0
f (z0 )
dw lim
dz zz0 z0
f (z0 z) f (z0 ) z
• 解 因为1的模为 1 ，其辐角的主值为 ，
所以 ln(1) ln1 i i
而 Ln(1) i 2ki (2k 1)i (k 0, 1, 2,L )
又因为 i 的模为 1 ，而其辐角的主值为 ，
所以
2
ln i ln1 i i ,
22
Ln
i
2
i
2k
i
(2k
12)
i
(k 0, 1, 2, )
如果函数 f (z)在区域 D 内每一点都可导， 则称 f (z)在 D内可导.
•
• 例1 求函数 f (z) zn的导数（n 为正整数）.
• 解 因为
n
(z z)n Cnk zk (z)nk
k 0
(z ) n
C
1 n
(z ) n1
z
C
2 n
(z ) n2
z
2
C
n n
(z)
nn
z
n
所以，由导数定义有
• 得 u(x, y) x2 y2, v(x, y) 2xy
•则
u 2x, u 2 y, v 2 y, v 2x
x
y
x
y
•
• 显然，在复平面内u(x, y)和 v(x, y)的偏 导数处处连续，
•且
u v 2x, u v 2 y
x y
y x
• 即 u(x, y)和 v(x, y)处处满足C—R条件且处 处可微，所以，f (z) z2 在复平面内处处
x
y
• 显然，对复平面上任意一点 (x, y)，f (z) 都不满足C—R条件，所以 f (z) z在整个复 平面上不可微.
• 例5 讨论下列函数的解析性.
• （1） f (z) 2x(1 y) i(x2 y 2 2 y) ；
• （2） f (z) z ；（3） f (z) z Re(z) .
应着多个Ln z 的值.
• 若令 k 0，则上式中的多值函数便成为了
单值函数，则．称这个单值函数为多值函数
Ln z的主值，记作 ln z，即
ln z ln z i arg z
Ln z ln z 2k i (k 0, 1, 2, )
• 例1 求 ln(1), Ln(1), ln i和Ln i .
4(3 2i)(1 i)
4 20i
第2章 解析函数
2.2 解析函数的概念
• 2.2.1解析函数的定义及其性质
• 1. 解析函数的定义
• 定义3 如果函数 f (z)不仅在点 z 0 处可导， 而且在点 z 0 的某邻域内的每一点都可导，则 称 f (z) 在点 z 0处解析，并称点 z 0是函数的解 析点；如果函数 f (z)在区域 D 内每一点都解 析，则称 f (z)在区域 D内解析或称 f (z)为区 域 D 内的解析函数，区域 D称为的 f (z)解析 区域.
件为 u, v 在 D内任一点 z x iy处
• （1）可微； • （2）满足
u v , u v x y y x
• 上式称为柯西—黎曼（Cauchy-Riemann） 条件（或方程），简称C—R条件（或方程）.
• 定理２ 函数 f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域 D 内解析的充要条件为
（2）f
( z )
4(1
z2 )3 2z3 z4
2 z (1
z2 )4
2 (1 z2 )3(3z2 1) z3
• 例4 设 f (z) (z 2 2z 4)2 ,求f (i) .
• 解 因为
f (z) 2(z 2 2z 4) (2z 2)
• 所以
f (i) 2[(i)2 2(i) 4] [2 (i) 2]
第2章 解析函数
2.1 复变函数的导数与微分
• 2.1.1 复变函数的导数
• 定义1 设函数 f (z)在包含 z 0 的某区域 D内有定
义，当变量 z 在点 z 0处取得增量 z(z0 z 时D，)
相应地，函数 取f (得z) 增量
w f (z0 z) f (z0 )
• 若极限 lim f (z0 z) f (z0 )
（7）f
( z )
1 ，其中w
(w)
f
(z)和z
(w)
是两个互为反函数的单值函数，且 （ w） 0 .
.
• 例3 求下列函数的导数. • （1）f (z) (2z 2 i)5
• •
（2） f (z)
解 （1）
(1 z 2 )4 z2
(z 0)
f (z) 5(2z 2 i)4 4z 20 z(2z 2 i)4
• 解 （1）设 u 2x(1 y), v x2 y 2 2 y
• 因为
u 2(1 y) v , u 2x v
x
y y
x
• 且这四个偏导数处处连续，故 f (z) 2x(1 y) i(x2 y 2 2 y)
• 在复平面上处处解析.
• （2）因为 f (z) z x iy ，
可导且
f (z) u i v 2z . x x
• 例3 讨论函数 f (z) z Re的z 可导性.
• 解 因为 f (z) (x iy)x x2 ixy
• 得 u(x, y) x2, v(x, y) xy
u 2x, u 0, v y, v x
x
y x y
• 显然，u(x, y)、v(x, y) 处处具有一阶连续
• 如果 f (z) 在点 z0 处不解析，但在 z0 的任一邻 域内总有 f (z)的解析点,则称 z0为 f (z) 的奇点.
• 例1 讨论函数 f (z) z 2 的解析性. • 解 由例2知， f (z) z 2 在整个复平面内处处
• 可导且 f (z) 2z，则由函数在某区域内解析
h g(z) 在区域 D内解析，且 g(D) G ，
则复合函数 w f. [g(z)]在 D内也解析，且.
df [g(z)] df (h) dg(z)
dz
dh dz
• 2.2.2函数解析的充要条件
• 定理１ 设函数 f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域 D 内有定义，则 f (z)在 D内解析的充分必要条
第2章 解析函数
2.3 初等函数及其解析性
• 2.3.1 指数函数 • 定义4 复变量的指数函数定义为
ez exiy ex (cos y i sin y)
• 指数函数的一些重要性质：
• （1）指数函数 Z e 在整个 z （2） 的有限平面内都
有定义，且处处不为零.
ez
• e （2） z1z2 e z1 e z2
f (z) (z n ) lim (z z)n z n
z 0
z
lim [(z)n1
z0
Cn1 (z)n2 z
C n1 n
z
n1
]
nzn1
• 例2 求 f (z) z 2的导数.
• 解 由例1
f (z) df 2z dz
• 2.1.2 可导与连续的关系
• 若函数 w f (z)在点 z 0处可导，则 f (z)在 点 z 0 处必连续.
偏导数，但仅当 x 0, y 0 时，u(x, y)、
v(x, y) 满足C—R条件.因此，f (z)仅在点
z 0 处可导.
• 例4 证明 f (z) z 在复平面上不可微.
• 证 由于 f (z) x iy wk.baidu.com于是，
u(x, y) x,v(x, y) y
• 从而
u 1, v 1
整数n ）时，
•
f
(z)
z
zn
1 zn
）；
（2）当 为有理数
m n
时（为既约分数，n 0），
•
z
m
zn
m Ln z
en
m (ln zi2k )
en
m ln z i m2k
en e n
m ln z
en
(ei2km
1
)n
1
• (ei2km ) n 只有 n个不同的值，即当 k 取0,1, 2,L , n 1
• （1） u , u , v , v 在 D内连续； x y x y
• （2） u, v 在 D 内满足C—R条件 ，
u v , u v x y y x
• 例2 讨论函数 f (z) z2的可导性，并求其 导数.
• 解 由 f (z) z2 (x iy)2 x2 y2 i2xy
• （3） f (z) g(z) f (z) g(z) ；
（4） f (z) g(z；) f (z)g(z) f (z)g(z)
（5）
f (z)
g(z)
f (z)g(z) f (z)g(z) [ g ( z )] 2
(g(z) 0)
（6）{ f [(z)]} f (w) (z), 其中w (z) ；
• 的定义可知，函数 f (z) z 2在整个复平面上
• 解析.
• 2. 解析函数的运算性质： （1）若函数 f (z) 和 g(z)在区域 D 内解析，
则 f (z) g(z)、f (z) g(z)、 f (z) (g(z) 0) 在
g(z)
D 内也解析；
（2）若函数 w f (h) 在区域 G 内解析，而