叶邦角-稳恒磁场

Fl
Fi
k
2I 2 d
li
k
2I 2l d
二、磁感应强度
试探电流元： I0l ，引入不改变空间的 磁场分布，类似于试探点电荷，但困难 是并不存在这样的电流元。
磁感应强度B：反映磁场本身的特性 的物理量，磁场是矢量场。
F0 F0
I0l qE,
B sin , (试探电流元在磁场中）
(试探点电荷在电场中）
0nI
2
z R
cos2
0nI
2
cos
0nI 2
sin
0nI
2
(sin
1
sin
ห้องสมุดไป่ตู้2)
0nI
2
(cos1
cos2 )
cos1 1, cos2 1
B 0nI 为均匀磁场
在两个端点处，cos1 1(or 0), cos2 0(or 1)
B 0nI
2
磁场减半，半无限长
三、磁场的基本定理
【解】空管的存在使电流分
布失去对称性，采用“填补
法”将空管部分等效于同时
存在电流密度为j和-j的电流，
因二空间任一点的电场由二
个圆柱形长直导线的磁场叠
加而成。
BB B
1
2
a R Pb r d
I
由安培环路定理，有：
B 1 Rj, B 1 rj,
2 1
0
2 2
0
注意到两者的方向，有
B2 B2 B2 2B B cos
洛仑兹力
安培定律说明, 载流导线在磁场中受到 力的作用。导线中的电流是导体中自由电 子的定向运动形成的。显然，运动着的带 电粒子在磁场中也将受到力的作用。从安 培定律可以推算每个运动的带电粒子在磁 场中所受到的力。
任一电流元Il在磁场中B所受力为：
ΔF IlBsin
又I=nqvS, S为电流元的截面积。故：
N r ba
电流为： I NI r ba
这些电流在圆心处产生的磁感应强度为：
B 0I 0 NI r
2r 2(b a) r
在数学上，有： b lim r ln b
r a r0
a
b
所以：B B
0 NI
b lim r 0 NI ln b
a
2(b a) a r0 r 2(b a) a
1
2
12
2 R2 j 2 2r 2 j 2 2 2 Rrj 2 R2 r 2 d 2
0
0
0
4
4
4
2Rr
d
Id
B 0 j
0
2
2 (a2 b2 )
方向与两轴线连线垂直，为一均匀场。
P
a
R
r
b
d
I
【例】一同轴电缆，中心是 半径为a的圆柱形导线，外部 是由内半径为b，外半径为c 的圆筒，内外导体电流相向 流动，电流强度为I，求各个 区域的磁感应强度。
2R
cos2 2 cos2 cos2 0)
0I (sin2 0 cos2 0) (sin2 cos2 ) 2R
0I N 0 NI
2R 2 4R
I O
2l
a b B jl ln b b2 l 2
0
0
a a2 l2
B nI 0
【例】在半径为a的圆柱形长直导线中挖有一个半径 为b的空管部分（a>2b），两轴线平行，相距为d， 当电流仍均匀分布在管的截面上且电流为I时，求 空管内的磁感应强度。
B l I
闭合环路L
L内
反映了磁场的“有旋性”。
I的正负根据回路L的绕行方向按右 手定则规定。在设定了L绕行方向 后，采用右手定则，四指沿L方向， 则电流方向与大姆指一致时取正， 反之取负。
L1 : L2:
I I1 I2
L1
I I1 I2
L2
L1 : I 8I
L2:
B1 S1 B2 S2
B1S1 B2S2
B1 S2 B2 S1
磁场的高斯定理对线电流、面电流和体 电流产生的磁场均成立，因为磁场服从 叠加原理。
高斯定理表明磁场是无源场，或自然 界不存在磁荷。
磁场处处无源。
3.安培环路定理
安培环路定理：沿任何闭合曲线L磁感应强度的
环流等于穿过L的电流强度的代数和的μ0倍，即
【解】作如图所示的积分回路，由对称性，管外
B=0，管内B为 常数：
B l BL 0nIL
B 0nI
【例】表面绝缘的细导线密
绕成一个“蚊香”型平面环 带，总匝数为N匝，内外半径 分别为a和b，当导线中通有 电流I时，求圆心处的磁感应 强度。
【解】圆环在圆心处产生的 磁感应强度为：
B1
0I
2r
r处r宽的环带的匝数为：
0I (R sin )2
2(R2 )3/ 2
0I
2R
sin 2
N匝线圈把半球面分成N份，各线圈对应的角度分
别为： 0, , 2 ,, ( 2 ), ( ),
2
2
2
所以，B
N i 1
Bi
0I
2R
(sin 2
0 sin2
sin 2
2
sin 2
2
sin( ) cos
2
B 0I (sin2 0 sin2 sin2 2
【例】在半径为R的绝缘球上 密绕有密集的粗细均匀的细导 线，线圈平面彼此平行，且以 单层线圈盖住半个球面，设总 匝数为N，通过线圈的电流强 度为I，求球心处的磁感应强度。
【解】可以把半球面上的线圈 看成是许许多多半径不等的圆 环在圆心处产生的磁感应强度 的叠加。如图所示，则：
B
0 Ir 2
2(r 2 x2 )3/ 2
ΔF qnvSBΔl sin θ
该电流元中的运动的带电粒子数为：
N=nSl,所以每个运动的带电粒子
受力为：
f F qnvSlBsin qvBsin
N
nSl
粒子带正电，v与l同向；粒子带负电，v与l反
向。故上式可写成：
f qv B
带电粒子在磁场和电场存在的空间受到 的作用力为：
F q(E v B)
B的单位：牛顿/（安培米），或特斯拉(T)， 1 T=104 Gauss
1.磁场叠加原理
F0i I0l Bi sini, (i 1,2,3,,n)
由力的叠加原理，有：
F0 F0i I0l Bi sini
i
i
sin cos cos sin
2
cos cos2 cos1
叶邦角
一、安培定律
安培通过四个著名的“示零”实验得到两个电流 元之间的相互作用力公式。 电流元对电流元的作 用力为:
考虑到电流元的方向，则：
该式的正确性无法用实验来检验，因为无法得 到稳恒电流元，但是在计算两个线圈的作用力 时是正确的。
在该式上加上任意一个附加项，只要该附加项 满足对任意闭合路径的求和为零，则附加项并 不影响其结果，说明该式不是唯一的，它仅是 最简单又比较合理的一种形式。
Bx
0
2
I a
电偶极子在无限远处产生的电场：E 电流磁矩在无限远处产生的磁场：B
1
2
0 2
p
0
r
3
m
r3
电偶极子和磁偶极子场的比较
E
B
r r
p
E
p
4 0r3
3( p r )r
4 0r5
m
B
0 4
m r3
0 4
3(m r )r
r5
不一定是圆形电流，可以是任意形状的闭合电流
1 2
1
sin
sin2 sin1
2.磁感应强度
线电流中的一段电流元Il 在I0l0处产生的磁场为B
F I0l0 B sin
得到：
B
0
Il sin
4 r 2
由叠加原理，有：
B 0
4
Il sin 0
r2
4
Il r2
【例】无限长直线电流I，在距I为r0处一点P1的磁场。
【解】
1.磁通量
磁通量
B
S
B
垂直通过曲面的磁感应线根数。
B
S
磁通量的单位为韦伯(Wb),1Wb=1T/m2磁通量也
和一样满足叠加原理。
2、高斯定理
高斯定理：通过任意闭合曲面S的磁通量等 于零，即:
B S 0
物理意义：反映了磁场的“无源性”，即 孤立磁荷不可能存在。
讨论：
对任意的载流回路，磁力线管的截面一般是不均 匀的。
B
0I 4r
(cos1
cos2 )
在这里，21，
1
arcsin
a R
cos1 1 sin 2 1
R2 a2 R
所以两根等长直导线在中心 处产生的磁场为：
B1
2
0I 4a
(
2
R2 a2 ) 0I R2 a2
R
aR
圆弧在圆心产生的磁场为： B 0I 2R 2
21
所以，圆弧在圆心处产生的磁场为：
Bx
0 4
I l a2 x2
cos
0 4
a2
I
x2
a l
a2 x2
0 4
Ia (a2 x2 )3/2
2 a
0
2
Ia2 (a2 x2 )3/2
Bx
0 2
m r3
其中 m Ia2, m
I a 2
IS,
称电流的磁矩
无限远处， x a,
B
0Ia 2
2 x3
0m 2x3
,
圆心处：x 0,
0I 4r0
(sin2
s in 1 )
对无限长直导线，
1
,
2
2
2
所以：
B 0I 2 r0
磁场的方向如图所示
【例】半径为a的圆形电流I，在轴线上 距离为x的P点的磁场。
【解】由于对称性，x轴上P点处的磁感应强度只 有x分量，其余分量互相抵消，
B
0 4
Il r2
0 4
Il a2 x2
与轴线的夹角均为，
B
0 4
Il r2
B
B 0I 4
l r2
作辅助线，即以P点为中心，r0为半径，画一圆， 直线上电流元两端分别与P点相连，在圆上截得 一弧元，长为l’，有几何关系：
l
l'
rr
0
r0 r cos
所以：
B 0I cos l' 0I cos
4
r0 r0 4r0
0I
4r0
sin
【例】将均匀的细导线作 成的圆环上的任意两点A和 B与固定的电源连接起来， 连线延长线通过圆心，求 圆环中心的磁感应强度。
【解】直导线的延长线通过圆心，所以在O点产生 的磁感应强度为零。 设AB间的电压为U，单位长度的电阻为r，则：
I1
U
Rr
I
2
U
R(2 )r
圆弧在圆心处产生的磁感应强度可视为各部 分叠加而成，因为：
该式也称洛仑兹力。
2．带电粒子在磁场中的运动
洛仑兹力不作功：所以在洛仑兹力作用下，粒
子的动能和速率不会改变，变化的只是粒子的
速度方向。
功率： F v (qv B) v 0
在均匀磁场中： 粒子的运动方程为
ma qv B
均匀磁场，B为常数，设B=Bez，则
F 0, v const
L1
I 0
L2
【例】一圆形的无限长直导线，截面半径R，电流
I均匀地流过导体的截面，求导线内外的磁场分 布。
【解】根据对称性，可以判定磁感应强度B的大 小只与观察点到园柱体轴线的距离有关，方 向沿圆周的切线。
B
l
2rB
0
I
R2
r
2
当r<R时，有：
B 0 I r 2 R2
当r>R时，有：
B 0 I 2 r
【解】由对称性和安培环路定理，有：
r a,
2rB
0I a 2
r 2 ,
B
0Ir 2a 2
a
r
b,
2rB
0 I ,
B
0I 2r
b
r
c,
2rB
0
I
I (c2
b2)
(r 2
b
2
),
B
0I 2r
1
r2 c2
b2 b2
r c, B 0
四、磁场与物质的相互作用
1. 洛仑兹力
1) R
L
R
I 2 3
B 0 ( )
o 4 L 2R
【例】电流均匀地通过无限长的平面导体薄板， 求两边的磁感应强度。
【解】由于电流分布的对称性，两边等距离处的 磁感应强度大小相等，方向相反。作矩形环路， 如图，则
B l 2Bl 0il
L
B
1 2
0i
0i
0
0i
60
【例】求无限长螺线管内外的磁感应强度。设电 流强度为I，单位长度的匝数为n。
B2
0I 4R
4 arc sin
a R
0I R
arcsin
a R
所以总磁感应强度为：
B
B1
B2
0I R
(
R2 a2 arcsin a )
R
R
B 0I 4a
P
I
a
R
O
Bo
0I
8R
Bo
0I
4R
R
O
R O
Bo 0
R
2
O
OR
Bo
(1 )0I 2R
Bo
0I 2R
(
tg )
R
O r
Bo
0I
8
(3 r
S S
S
aF
I
F
b a
I
B 0 F 4a
Ia
B 0 F 2b2
B ? 0
【例】载流螺线管轴线上的磁场，单位长度上的匝数为 n。
Bx
0
2
(a2
a2I x2 )3/2
Z处圆电流Inz在Z1处 产生的磁感应强度
R cos r0 , z cos R ,
B
0
2
Inr02z R3
B
B
B 0I 2R 2
所以：
B1
0 I1
2R
2
B2
0I2
2R
(2 ) 2
把电流值代入上式，得：
B1
B2
0U 4R 2 r
但两者的方向相反，故合磁 场为零。
B0
【例】一段载有电流I的导线 弯成如图所示的环路，两边 是相距为2a的平行直线，另 外两边是半径为R的圆弧， 求圆心处的磁感应强度。
【解】有限长直导线产生 的磁感应强度为：
通常
k 0 4
0 4 10 7 N A2
电流元之间的相互作用力不一定满足牛顿 第三定律，原因是实际上不存在孤立的稳 恒电流元，它们总是闭合回路的一部分。
闭合线圈总的作用力总是与反作用力大小 相等，方向相反。
F12 0
F21
k
I1l1I 2 l2 r122
无限长直导线对l长导线的作用力为：