第四章 曲面的第二基本形式与曲面上的曲率
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Mrunv0 ,Nrvnv0 ,
于是
0． □
在上例中，若取准线使al0且l1，则可展曲面S的第一和第二基本形式系数矩阵同时对角化，Weingarten矩阵则为特征值对角阵，而且
(5.8)1 ,20．
三
nS2(1)
UGn
S
rn
u2
r1(U)
u1
图4-5
Gauss在考察曲面的弯曲程度刻画时，注意到曲面的单位法向在单位球面上的行为对于曲面弯曲状况的反映，并进一步明确了两者的依赖程度，进而在曲面论中做出了卓有成效的工作．观察熟知的一些曲面，比如平面、圆柱面、圆锥面、椭球面、双叶双曲面、双曲抛物面等等，可以直观感受到单位法向不同的行为和曲面不同的弯曲状况之间有着密切联系．
注记1①Weingarten变换的特征值和特征方向，分别是曲面的主曲率和主方向．
② 当两个主曲率1(P)2(P)时，曲面在点P处有且仅有正交的两组主方向，每一组的单位化向量分别就是Weingarten变换的单位正交特征向量．而当两个主曲率1(P)2(P)时，曲面在点P处的任何非零切向都是主方向，Weingarten矩阵(P)1(P)I2，即(P)1(P)g(P)．
② 对于主方向的算法，各种等价算式为
aairi0为主方向，即非零切方向a1:a2为主方向
,(a1,a2)(a1,a2) , (a1,a2)(0, 0)
,(a1,a2)(a1,a2)g, (a1,a2)(0, 0)
det. 0
0．
主方向所对应的微分方程通常写为
(5.3) 0．
定义2若曲面S在点P处的两个主曲率相等，则称点P为曲面S上的一个脐点．若曲面S处处为脐点，则称曲面S为全脐曲面．若脐点处的主曲率为零，则称之为平点；若脐点处的主曲率不为零，则称之为圆点．
④ 当曲面三阶连续可微时，Gauss曲率和平均曲率分别是连续可微函数；此时，两个主曲率函数
(5.7)iH ,i1, 2
处处连续，并且在非脐点处连续可微．
⑤ 平均曲率等于法曲率按切方向的积分平均值（留作习题）．
⑥平均曲率不是等距不变量．反例如圆柱面和平面．
例1证明可展曲面的Gauss曲率0．
证明对可展曲面S的直纹面参数化r(u,v)a(u)vl(u)，由可展定义得知nv0，故其第二基本形式系数满足
注记2全脐曲面S的法曲率只与点有关而不依赖于切向选取，故只有平面和球面两类；平面上各点为平点，球面上各点为圆点．全脐曲面主方向所对应的微分方程是蜕化的恒等式．
二
定义3对于正则曲面S，其在点P处的两个主曲率的乘积，称为其在点P处的Gauss曲率或总曲率；其在点P处的两个主曲率的算术平均值H，称为其在点P处的平均曲率．
①S和S*在对应点具有相同的单位法向和法线；
②S和S*在对应点的Weingarten矩阵具有关系式*(I2)1；
③S和S*在对应点的Gauss曲率和平均曲率具有关系式
* ，H* ；
④S的曲率线对应于S*的曲率线．
⒍ 已知曲面S在一点处沿着一组等分周角的m个切方向的法曲率分别为n(1),…,n(m)，m2．试证：S在该点的平均曲率H ．
定义4对于C3正则曲面S:r(u1,u2)及其单位法向量场n(u1,u2)，曲面S到以原点为心的单位球面S2(1)上的映射
(5.9)
称为曲面S的Gauss映射．二次微分形式
(5.10)Ⅲdndn
称为曲面S的第三基本形式．
性质①n1n2r1r2．
②(P)limU收缩至P ，其中PUS,U为单连通区域，A(G(U))是G(U)S2(1)的面积，A(U)是US的面积．
第四章 曲面的第二基本形式与曲面上的曲率
§
利用上一节所作的准备，围绕曲面弯曲状况的刻画，本节将引入曲面上的基本的和重要的曲率概念，并简要讨论相关的几何体．
一
定义1曲面S上的点P处的法曲率关于切方向的两个最值，分别称为曲面S在点P处的主曲率；使得法曲率达到最值的两个切方向，分别称为曲面S在点P处的主方向．
主曲率和主方向的计算，自然归结为Weingarten变换的特征值和特征方向的计算，也就是Weingarten矩阵的特征值和特征方向的计算．即：
① 对于主曲率的算法，当易知Weingarten矩阵之时，方程为(4.3)式，或直接写为
(5.1)I20；
等价地，当易知系数矩阵和g之时，其方程可变形为
(5.2)g0．
③Ⅲ2HⅡⅠ0．
证明① 由Weingarten公式得
n1n2[(11r112r2)][(21r122r2)]
r1r2r1r2．
②A百度文库U)r1(U)r1r2du1du2,
A(G(U))r1(U)n1n2du1du2r1(U)r1r2du1du2．
而由积分中值定理，P*U使
r1(U)r1r2du1du2(P*)r1(U)r1r2du1du2．
注记3① 注意到(4.4)-(4.5)式，Gauss曲率和平均曲率分别具有用Weingarten矩阵或两个基本形式系数的表达式，分别列为
(5.4) ,
(5.5)H ．
②主曲率方程(4.3)式现可改写为
(5.6)22H0；
其中H2 ≥0．
③Gauss曲率在容许参数变换下不变；平均曲率在保向参数变换下不变，在反向参数变换下变号．
习 题
⒈对于螺面r(ucosv,usinv,uv)，试求：
① 主曲率1和2；
②Gauss曲率和平均曲率．
⒉试求球面的Gauss曲率和平均曲率与球面半径的关系．
⒊试证：平均曲率等于法曲率按切方向的积分平均值，即2H(P) (P,) d．
⒋试证：直纹面的Gauss曲率处处非正．
⒌ 设正则曲面S:r(u1,u2)当常数足够小时12H20．按参数相同作对应曲面S*:r*(u1,u2)r(u1,u2)n(u1,u2)，其中n为曲面S的单位法向量场．试证：
故而
limU收缩至P limP*P(P*)(P)．
③ 结论用系数矩阵等价表示为
(g1)g(g1)T2Hg0
g12Hg0
g1g12Hg1I20
(tr.)I20．
而最后的等式对于二阶方阵总成立（用特征值理论则知是显然的），用元素计算可直接验证为
ikkj(tr.)ijij
i11ji22j(1122)ij(11221221)ij0． □
⒎试证：曲面S的第三基本形式恒为零的充要条件为S是平面．
于是
0． □
在上例中，若取准线使al0且l1，则可展曲面S的第一和第二基本形式系数矩阵同时对角化，Weingarten矩阵则为特征值对角阵，而且
(5.8)1 ,20．
三
nS2(1)
UGn
S
rn
u2
r1(U)
u1
图4-5
Gauss在考察曲面的弯曲程度刻画时，注意到曲面的单位法向在单位球面上的行为对于曲面弯曲状况的反映，并进一步明确了两者的依赖程度，进而在曲面论中做出了卓有成效的工作．观察熟知的一些曲面，比如平面、圆柱面、圆锥面、椭球面、双叶双曲面、双曲抛物面等等，可以直观感受到单位法向不同的行为和曲面不同的弯曲状况之间有着密切联系．
注记1①Weingarten变换的特征值和特征方向，分别是曲面的主曲率和主方向．
② 当两个主曲率1(P)2(P)时，曲面在点P处有且仅有正交的两组主方向，每一组的单位化向量分别就是Weingarten变换的单位正交特征向量．而当两个主曲率1(P)2(P)时，曲面在点P处的任何非零切向都是主方向，Weingarten矩阵(P)1(P)I2，即(P)1(P)g(P)．
② 对于主方向的算法，各种等价算式为
aairi0为主方向，即非零切方向a1:a2为主方向
,(a1,a2)(a1,a2) , (a1,a2)(0, 0)
,(a1,a2)(a1,a2)g, (a1,a2)(0, 0)
det. 0
0．
主方向所对应的微分方程通常写为
(5.3) 0．
定义2若曲面S在点P处的两个主曲率相等，则称点P为曲面S上的一个脐点．若曲面S处处为脐点，则称曲面S为全脐曲面．若脐点处的主曲率为零，则称之为平点；若脐点处的主曲率不为零，则称之为圆点．
④ 当曲面三阶连续可微时，Gauss曲率和平均曲率分别是连续可微函数；此时，两个主曲率函数
(5.7)iH ,i1, 2
处处连续，并且在非脐点处连续可微．
⑤ 平均曲率等于法曲率按切方向的积分平均值（留作习题）．
⑥平均曲率不是等距不变量．反例如圆柱面和平面．
例1证明可展曲面的Gauss曲率0．
证明对可展曲面S的直纹面参数化r(u,v)a(u)vl(u)，由可展定义得知nv0，故其第二基本形式系数满足
注记2全脐曲面S的法曲率只与点有关而不依赖于切向选取，故只有平面和球面两类；平面上各点为平点，球面上各点为圆点．全脐曲面主方向所对应的微分方程是蜕化的恒等式．
二
定义3对于正则曲面S，其在点P处的两个主曲率的乘积，称为其在点P处的Gauss曲率或总曲率；其在点P处的两个主曲率的算术平均值H，称为其在点P处的平均曲率．
①S和S*在对应点具有相同的单位法向和法线；
②S和S*在对应点的Weingarten矩阵具有关系式*(I2)1；
③S和S*在对应点的Gauss曲率和平均曲率具有关系式
* ，H* ；
④S的曲率线对应于S*的曲率线．
⒍ 已知曲面S在一点处沿着一组等分周角的m个切方向的法曲率分别为n(1),…,n(m)，m2．试证：S在该点的平均曲率H ．
定义4对于C3正则曲面S:r(u1,u2)及其单位法向量场n(u1,u2)，曲面S到以原点为心的单位球面S2(1)上的映射
(5.9)
称为曲面S的Gauss映射．二次微分形式
(5.10)Ⅲdndn
称为曲面S的第三基本形式．
性质①n1n2r1r2．
②(P)limU收缩至P ，其中PUS,U为单连通区域，A(G(U))是G(U)S2(1)的面积，A(U)是US的面积．
第四章 曲面的第二基本形式与曲面上的曲率
§
利用上一节所作的准备，围绕曲面弯曲状况的刻画，本节将引入曲面上的基本的和重要的曲率概念，并简要讨论相关的几何体．
一
定义1曲面S上的点P处的法曲率关于切方向的两个最值，分别称为曲面S在点P处的主曲率；使得法曲率达到最值的两个切方向，分别称为曲面S在点P处的主方向．
主曲率和主方向的计算，自然归结为Weingarten变换的特征值和特征方向的计算，也就是Weingarten矩阵的特征值和特征方向的计算．即：
① 对于主曲率的算法，当易知Weingarten矩阵之时，方程为(4.3)式，或直接写为
(5.1)I20；
等价地，当易知系数矩阵和g之时，其方程可变形为
(5.2)g0．
③Ⅲ2HⅡⅠ0．
证明① 由Weingarten公式得
n1n2[(11r112r2)][(21r122r2)]
r1r2r1r2．
②A百度文库U)r1(U)r1r2du1du2,
A(G(U))r1(U)n1n2du1du2r1(U)r1r2du1du2．
而由积分中值定理，P*U使
r1(U)r1r2du1du2(P*)r1(U)r1r2du1du2．
注记3① 注意到(4.4)-(4.5)式，Gauss曲率和平均曲率分别具有用Weingarten矩阵或两个基本形式系数的表达式，分别列为
(5.4) ,
(5.5)H ．
②主曲率方程(4.3)式现可改写为
(5.6)22H0；
其中H2 ≥0．
③Gauss曲率在容许参数变换下不变；平均曲率在保向参数变换下不变，在反向参数变换下变号．
习 题
⒈对于螺面r(ucosv,usinv,uv)，试求：
① 主曲率1和2；
②Gauss曲率和平均曲率．
⒉试求球面的Gauss曲率和平均曲率与球面半径的关系．
⒊试证：平均曲率等于法曲率按切方向的积分平均值，即2H(P) (P,) d．
⒋试证：直纹面的Gauss曲率处处非正．
⒌ 设正则曲面S:r(u1,u2)当常数足够小时12H20．按参数相同作对应曲面S*:r*(u1,u2)r(u1,u2)n(u1,u2)，其中n为曲面S的单位法向量场．试证：
故而
limU收缩至P limP*P(P*)(P)．
③ 结论用系数矩阵等价表示为
(g1)g(g1)T2Hg0
g12Hg0
g1g12Hg1I20
(tr.)I20．
而最后的等式对于二阶方阵总成立（用特征值理论则知是显然的），用元素计算可直接验证为
ikkj(tr.)ijij
i11ji22j(1122)ij(11221221)ij0． □
⒎试证：曲面S的第三基本形式恒为零的充要条件为S是平面．