第四章 曲面的第二基本形式与曲面上的曲率
§23_曲面的第二基本形式
L = r uu · n = −r u · n u = √M = r u v · n = −r u · n v = −r v · n u = √ N = r vv · n = −r v · n v = √§2.3 曲面的第二基本形式2.3.1 第二基本形式前面我们引进出了曲面的第一基本形式 I , 研究了曲面的一些内蕴性质, 即只依赖于曲 面本身, 而不依赖于曲面在空间中如何弯曲的几何性质. 在理论和实际应用中, 必须考虑曲 面在空间中的弯曲程度, 为此, 我们将引进曲面的另一个二次微分式.对正则 C k (k ≥ 2) 曲面 S : r = r (u, v ) , 单位法向量 n =r u ×r v|r u ×r v |作为参数 u, v 的函数,其微分表示为 dn = n u du + n v dv . 由于 0 = d (n · n ) = 2n · dn , 所以 dn 是切平面中的向 量. 令 II = −dr · dn , 称 II 为曲面 S 的 第二基本形式. 下面我们首先计算第二基本形式的 参数表示. 由于 dr = r u du + r v dv , 所以II = −dr · dn= −(r u du + r v dv ) · (n u du + n v dv )= Ldu 2 + 2Mdu dv + Ndv 2,其中 L = −r u · n u , M = −(r u · n v + r v · n u )/2, N = −r v · n v , 它们作为参数 u, v 的函 数, 称为曲面 S 的第二基本形式系数.由于 r u · n = 0, r v · n = 0, 两式分别关于 u, v 求偏导数, 我们有r uu · n + r u · n u = 0, r vu · n + r v · n u = 0,因此第二基本形式系数可以表示为r uv · n + r u · n v = 0, r vv · n + r v · n v = 0,(r uu , r u , r v ) EG − F 2, (r uv , r u , r v ) EG − F 2,(r vv , r u , r v )EG − F 2.另外, 因为 n · dr = 0 , 微分便得 d 2r · n = −dr · dn , 于是我们得到曲面的第二基本形式的 以下三种等价的表示II = Ldu 2 + 2Mdudv + Ndv 2= n · d 2r = −dr · dn.78+ g 2+ g 2f+ g 2f【例 1】 对平面, 因法向量 n 为常向量, 所以 II = −dn · dr ≡ 0.对中心径矢为 r 0, 半径为 a 的球面, 因其单位法矢量 n = a 1 (r − r 0) 或 n = a 1 (r 0 − r ), 于 是 II = −dn · dr = ± a 1 I .【例 2】 求旋转曲面 r (u, v ) = {f (v ) cos u, f (v ) sin u, g (v )} 的第二基本形式. 【解】 直接计算得到以下各量r uu = {−f cos u, −f sin u, 0}, r uv = {−f sin u, −f cos u, 0}, r vv = {f cos u, f sin u, g },n =f1 2{g cos u, g sin u, −f },因此L = r uu · n =−fg 2,M = r uv · n = 0, N = r vv · n =f g − f g 2.【例 3】 求曲面 z = f (x, y ) 的第二基本形式.【解】 我们知道: 曲面 z = f (x, y ) 可以写成向量形式r (u, v ) = {u, v, f (u, v )},直接计算得到以下各量r u = {1, 0, f u },r v = {0, 1, f v }, n =r u × r v |r u × r v |= 1 1 + f u 2 + f v 2{−f u , −f v , 1},r uu = {0, 0, f uu }, r uv = {0, 0, f uv }, r vv = {0, 0, f vv },因此L = n · r uu =M = n · r uv =N = n · r vv =f uu 1 + f u 2 + f v 2f uv 1 + f u 2 + f v 2f vv 1 + f u 2 + f v 2,,,79= [dr + d 2r + o (du 2 + dv 2)] · n= dr · n + d 2r · n + o (du 2 + dv 2)= II + o (du 2 + dv 2)曲面 z = f (x, y ) 的第二基本形式是II =1 1 + f u2 + f v 2[f uu du 2 + 2f uv dudv + f vv dv 2].2.3.2 第二基本形式的几何意义−−→对曲面 S : r = r (u, v ) 上的给定点 P (u, v ) 及其邻近点 Q (u + du, v + dv ) , 令 d = P Q · n ,−−→即位移向量 P Q 在点 P 处单位法向量 n 方向上的投影. |d| 即从 Q 点到 P 点切平面的垂直距 离, 而 d 的正负号依赖于 Q 点是位于 P 点切平面的一侧或另一侧, 换句话说, d 的正负号反 映曲面 S 在 P 点处的弯曲方向. 利用向量形式的 Tayloy 展开式及事实 n · r u = 0, n · r v = 0,有−−→ d = P Q · n = (r (u + du, v + dv ) − r (u, v )) · n 12 1212−−→由此可见, II 代表起点在 P 的位移向量 P Q 在法向量上投影的主要部分的二倍, 它描 述了 Q 点在法方向上相对于 P 的改变, 即描述了曲面在 P 0 点附近弯曲的状况.【例 4】容易验证平面 r (u, v ) = {u, v, 0} 与圆柱面 r (u, v ) = {cos u, sin u, v} 具有相同的第一基本形式 du 2 + dv 2, 但平面的第二基本形式 II ≡ 0 , 而圆柱面的第二基 本形式 II = −du 2, 这表明它们在空间中的形状完全不同(事实正是如此).与第一基本形式 I 不同, 曲面的第二基本形式II 作为 (du, dv ) 的二次型, 当 LN − M 2 > 0 时是正定或负定; 当 LN − M 2 < 0 时是不定的; 而当 LN − M 2 = 0 时是退化 的.下面定理表明, 第二基本形式在一点的值与这点邻近曲面形状的关系. 定理 3.1曲面上, 使第二基本形式正定或负定的点邻近, 曲面的形状是凸的(或凹的, 由法向选取决定); 在第二基本形式不定的点邻近, 曲面是马鞍型的.证明 设 P 0(u 0, v 0) 是曲面 S : r = r (u, v ) 上的任一取定点, 我们考察到 P 0 点切80平面的高度函数f(u, v) = (r(u, v)− r(u0, v0)) · n(u0, v0),由于f u = r u · n(u0, v0), f v = r v · n(u0, v0),所以f u(u0, v0) = f v(u0, v0) , 即(u0, v0) 是f的临界点. 在这一点, 高度函数f的二阶导数方阵(Hessian矩阵)为f uu f uv f vu f vv (u0, v0) =LMMN(u0, v0).因此, 当第二基本形式II在点(u0, v0) 正定或负定时, f(u0, v0) = 0 是最大值或最小值, 这说明曲面S的形状是凸或凹的(如图2(1)). 而当第二基本形式II在点(u0, v0) 既非正定也非负定时, f(u0, v0) = 0 既不是最大值也不是最小值, 因而曲面S在这点附近是马鞍型(如图2(2)).根据上述定理, 我们对曲面上的点进行如下分类:(1) 椭圆点—使LN − M 2 > 0 的点. 在椭圆点处, 第二基本形式沿任何方向都不变号, 而且曲面在椭圆点邻近总位于切平面的一侧(如图2(1)).(2) 双曲点—使LN − M 2 < 0 的点. 在双曲点的切平面上, 有通过该点的两条直线将切平面分成四部分, 第二基本形式在这四部分或为正, 或为负, 而沿这两条直线, 第二基本形式为零. 曲面在双曲点邻近位于切平面的两侧(如图2(2)).(3) 抛物点—使LN − M 2 = 0 , 且L2 + M 2 + N 2 = 0 的点. 在抛物点的切平面81du ¯ = ∂u ¯ du + ∂u ¯ dv, ¯ v v ¯ v ¯ ¯ ¯ v v ¯ ¯ v ¯ u v ¯上, 有通过该点的惟一一条直线, 沿这条直线, 第二基本形式为零; 而沿其它任何方向 第二基本形式都不变号(如图2(3)).(4) 平点 — 使 L = M = N = 0 的点.【例 5】对环面 r (θ, φ) = {(b + a sin φ) cos θ, (b + a sin φ) sin θ, a cos φ} , 其中a <b 是正常数, 参数 0 ≤ θ, φ ≤ 2π . 直接计算知L = r uu · n = (b + a sin φ) sin φ, M = r uv · n = 0, N = r vv · n = a,而且LN − M 2 = a (b + a sin φ) sin φ,注意到第二基本形式系数只依赖于参数 φ , 即沿参数曲线 φ = φ0 , 第二基本形式系数 为常数. 又因为 0 < a < b, a (b + a sin φ) > 0 , 所以 LN − M 2 与 sin φ 同号. 最后我们 得到环面上点的如下分类(如图3):(1) 参数 φ 满足 0 < φ < π 的点是椭圆点(对应环面的外侧点); (2) 参数 φ 满足 π < φ < 2π 的点是双曲点(对应环面的内侧点); (3) 参数 φ = 0 及 φ = π 的点是抛物点(对应环面的内外侧交界点).2.3.3 第二基本形式的性质 定理 3.2在容许相差一个正负号的意义下, 第二基本形式 II 与曲面 S 上正则参数 (u, v ) 的选取无关.证明 设 r = r (u, v ) 和 r = r (¯u, v ¯) 是曲面 S 的两个不同参数表示, 相应的单位法 向量分别为 n 和 n . 利用下面两组等式∂u ∂vd ¯ = ∂u du +∂v dv,及r u = r u ∂u + r ¯ ∂u , r v = r u ∂v + r ¯ ∂v ,82¯ ¯ ¯ ¯容易验证, dr = dr (或者直接利用一阶微分形式的不变性), 同理有 dn = ±dn (正负 号依赖于参数变换 (u, v ) → (¯u, v ¯) 是同向或反向参数变换). 因此dr · dn = ±dr · dn,即在同向参数变换下, 第二基本形式不变, 而在反向参数变换下, 第二基本形式改变 符号.定理 3.3 下改变符号.曲面的第二基本形式在 R 3 的刚性运动下不变; 而在 R 3 的反刚性运动证明 设 f : f (P ) = P · T + P 0 是 R 3 的任一刚性或反刚性变换, 曲面 S : r =r (u, v ) 在 f 下的像为 S ∗ : r ∗(u, v ) = f ◦ r (u, v ). 则r ∗u × r ∗v =(r u × r v ) · T , 当 det T = 1, −(r u × r v ) · T , 当 det T = −1,因此我们有 n ∗ = sgn(det T ). 又因为 dr ∗ = dr · T , 所以II ∗ = −dr ∗ · dn ∗ = −sgn(det T ) (dn · T ) · (dr · T ) = sgn(det T )II.注意到 det T = 1 或 −1 分别表示 f 是刚性运动或反刚性运动, 所以定理得证.83。
§1 曲面的第二基本形式
第四章 曲面的第二基本形式与曲面上的曲率本章将以刻画曲面的弯曲程度为中心而展开讨论．类比于讨论曲线的方式，按照微积分学的一般观点，可以选择两种直观的出发点来考虑曲面的弯曲：一者是调查曲面与其切平面在切点附近的近似程度，一者是研究曲面的切平面的变化率．从此出发而作进一步分析，一者需要考察切向微元的微分，也就是位置向量的二次微分；而另一者需要考察单位法向的微分．本章首先要说明上述两种方式是殊途同归的，并导致相关基本概念的合理引进；其次要研究所衍生出的刻画弯曲的几何量——各种曲率．在本章的学习过程中，除几何直观以外，应该注意体会所用方法的一般性．§1曲面的第二基本形式对正则曲面S: r=r(u, v) , (u, v)∈U⊂R2，在上一章中已经知道如何了解一些基本情况，诸如位置向量的微分 d r=r u d u+r v d v、第一基本形式Ⅰ=d s2= d r•d r=E d u2+ 2F d u d v+G d v2、单位法向n=r u×r v|r u×r v|等等．容易知道，d r•n= 0 ，d n•n= 0 ，即微分 d n=n u d u+n v d v是切向微元．下面进一步研究曲面．观察公切于一点的两张球面的弯曲程度，可见下述一般讨论是极其自然的．一．切点邻近点到切平面的有向距离在曲面S上考虑点P: r(u, v) 处的切平面T P与曲面的差异．任取邻近一点P*: r(u+d u, v+d v) ，则点P* 到切平面T P的有向距离为δ=Δr•n= [r(u+d u, v+d v) − r(u, v)]•n．而由Taylor展开式，可写图4-1Δr= d r+12 d2r+o(d u2+d v2)= (r u d u+r v d v) +12 ( r uu d u2+ 2ruvd u d v+r vv d v2) +o(d u2+d v2) ；δ=12 d2r•n+o(d u2+d v2)≈ 1 2 d 2r •n = 1 2 ( r uu •n d u 2 + 2r uv •n d u d v + r vv •n d v 2) ．而 0 = d(d r •n ) = d 2r •n + d r •d n ，故又有δ = −1 2 d r •d n + o (d u 2+d v 2)≈ −1 2 d r •d n = −1 2 [r u •n u d u 2 + (r u •n v + r v •n u ) d u d v + r v •n v d v 2) ，其中 r u •n v = − r uv •n = − r vu •n = r v •n u ．二．第二基本形式定义1 对正则曲面 S : r = r (u , v ) , (u , v )∈U ⊂R 2 ，称二次微分式(1.1) Ⅱ = −d r •d n = d 2r •n = L d u 2 + 2M d u d v + N d v 2为曲面 S 的第二基本形式，其系数 L , M , N 也称为曲面的第二基本量；称矩阵 ⎝⎛⎠⎞L M M N 为曲面 S 在参数 (u , v ) 下的第二基本形式系数矩阵，其行列式称为曲面 S 在参数 (u , v ) 下的第二基本形式系数行列式．第二基本形式的几何意义即为切点邻近点到切平面的有向距离的二倍．其计算较为直接；但同样也是关于曲面的最基本的计算，需要熟练掌握．按照定义以及前一段计算的结果，可列出下列算式：(1.2) L = L (u , v ) = −r u •n u = r uu •n= r uu • r u ×r v |r u ×r v | = (r uu , r u , r v ) |r u ×r v | = (r uu , r u , r v ) EG − F 2; (1.3) M = M (u , v ) = −r u •n v = −r v •n u = r uv •n = r vu •n= (r uv , r u , r v ) |r u ×r v | = (r uv , r u , r v ) EG − F 2; (1.4) N = N (u , v ) = −r v •n v = r vv •n = (r vv , r u , r v ) |r u ×r v | = (r vv , r u , r v ) EG − F 2; (1.5) Ⅱ = −d r •d n = −(d u , d v )⎝⎛⎠⎞r u r v ⎝⎛⎠⎞n u n v T ⎝⎛⎠⎞d u d v ,(1.6) ⎝⎛⎠⎞L M M N = − ⎝⎛⎠⎞r u r v ⎝⎛⎠⎞n u n v T = − ⎝⎛⎠⎞r u r v •(n u , n v ) ． 下例展示了具体运算的两种基本途径．例1已知圆环面r(θ, ϕ) = ((b+a cosϕ ) cosθ , (b+a cosϕ ) sinθ , a sinϕ) ，其中两个常数a, b满足条件 0 <a<b．求其第二基本形式．解：直接计算可知rθ= (b+a cosϕ ) (−sinθ , cosθ , 0) ，图4-2 rϕ=a (−sinϕ cosθ , −sinϕ sinθ , cosϕ) ，rθ×rϕ=a(b+a cosϕ ) (cosϕ cosθ , cosϕ sinθ , sinϕ) ，|rθ×rϕ|=a(b+a cosϕ ) ，n=rθ×rϕ|rθ×rϕ|= (cosϕ cosθ , cosϕ sinθ , sinϕ) ．途径①：rθθ= (b+a cosϕ ) (−cosθ , −sinθ , 0)=−(b+a cosϕ ) (cosθ , sinθ , 0) ，rϕθ=a (sinϕ sinθ , −sinϕ cosθ , 0) =a sinϕ (sinθ , − cosθ , 0) ，rϕϕ=a (−cosϕ cosθ , −cosϕ sinθ , −sinϕ) =−a n；L=rθθ•n=−(b+a cosϕ ) cosϕ，M=rϕθ•n= 0 ，N=rϕϕ•n=−a，从而第二基本形式为Ⅱ= d2r•n=L dθ 2+ 2M dθdϕ+N dϕ2=−(b+a cosϕ ) cosϕ dθ 2−a dϕ2．途径②：nθ= (−cosϕ sinθ , cosϕ cosθ , 0) = cosϕ (−sinθ , cosθ , 0) ，nϕ= (−sinϕ cosθ , −sinϕ sinθ , cosϕ) ，L=−rθ•nθ=−(b+a cosϕ ) cosϕ，M=−rϕ•nθ= 0 ，N=−rϕ•nϕ=−a，Ⅱ=−d r•d n=L dθ 2+ 2M dθdϕ+N dϕ2=−(b+a cosϕ ) cosϕ dθ 2−a dϕ2．三．在容许参数变换下的行为注意到 (1.5) 式，由一次微分形式的不变性易知，第二基本形式在保向容许参数变换下不变，在反向容许参数变换下变号；并且可证（留作习题）其在刚体运动下不变．下面考虑第二基本形式系数在容许参数变换下的变换规律．在容许参数变换 {u = u (u *, v *)v = v (u *, v *)下，分别记Jacobi 矩阵和Jacobi 行列式为 J = ⎝⎜⎛⎠⎟⎞∂u ∂u * ∂v ∂u *∂u ∂v * ∂v ∂v * ，∂(u , v ) ∂(u *, v *) = |J | ； 记参数 (u *, v *) 下曲面 S 的第二基本形式为Ⅱ = L *(u *, v *) d u *2 + 2M *(u *, v *) d u *d v * + N *(u *, v *) d v *2 ．若参数变换为保向的，则由复合求导链式法则可得(1.7) ⎝⎛⎠⎞L * M *M * N * = − ⎝⎛⎠⎞r u * r v * ⎝⎛⎠⎞n u * n v *T= − J ⎝⎛⎠⎞r u r v ⎝⎛⎠⎞n u n vT J T = J ⎝⎛⎠⎞L M M N J T ， (1.8) L *N * − M *2 = |J |2(LN − M 2) ．若参数变换为反向的，则 (1.7) 式右端差一负号，而 (1.8) 式仍然成立．这说明，类似于第一基本形式系数矩阵，第二基本形式系数矩阵仍然服从所谓“张量”的变换规律；其系数行列式变换规律，也与第一基本形式的相仿．特别值得注意的事实是，成立(1.9) L *N * − M *2 E *G * − F *2 = LN − M 2EG − F 2． 此式说明，利用两个基本形式的系数可以构造出曲面的几何量．(1.9) 式所确定的几何量将在后续内容中进一步得到考察．习 题⒈ 证明曲面的第二基本形式在刚体运动下不变．⒉ 对正则曲面 S ，试证： S 是平面片的充要条件为其第二基本形式恒等于零．⒊ 讨论可展曲面的第二基本形式，并用以证明：曲面的第二基本形式不是内蕴量． ⒋ 计算下列曲面 r (u , v ) 的第二基本形式系数．① r (u , v ) = (u , u 2 − 2uv , u 3 − 3uv ) ；② r (u , v ) = (u + v , u − v , 2uv ) ；③ r (u , v ) = (u , v , f (u , v )) ．⒌ 试证：正则球面片的第二基本形式是其第一基本形式的一个非零常数倍．⒍ 已知正则曲面 S : r (u , v ) 的第二基本形式是其第一基本形式的一个非零函数倍，即在参数 (u , v ) 下有 Ⅱ = f (u , v )Ⅰ ，f (u , v ) ≠ 0 ．试证：① d n=−f d r； ② 函数f为常值函数；③ S为球面片.⒎设正则曲面S: r(u, v) 的两族坐标曲线都是直线，并且切平面沿v线重合．试证S是平面片．。
最新第四章曲面的第二基本形式与曲面上的曲率
第四章 曲面的第二基本形式与曲面上的曲率§5 曲面上的曲率概念利用上一节所作的准备，围绕曲面弯曲状况的刻画，本节将引入曲面上的基本的和重要的曲率概念，并简要讨论相关的几何体．一．主曲率定义1 曲面 S 上的点 P 处的法曲率关于切方向的两个最值，分别称为曲面 S 在点 P 处的主曲率；使得法曲率达到最值的两个切方向，分别称为曲面 S 在点 P 处的主方向．注记1 ① Weingarten 变换的特征值和特征方向，分别是曲面的主曲率和主方向．② 当两个主曲率 1(P ) 2(P ) 时，曲面在点 P 处有且仅有正交的两组主方向，每一组的单位化向量分别就是Weingarten 变换的单位正交特征向量．而当两个主曲率 1(P ) 2(P ) 时，曲面在点 P 处的任何非零切向都是主方向，Weingarten 矩阵 (P ) 1(P )I 2 ，即 (P )1(P )g (P ) ．主曲率和主方向的计算，自然归结为Weingarten 变换的特征值和特征方向的计算，也就是Weingarten 矩阵的特征值和特征方向的计算．即：① 对于主曲率的算法，当易知Weingarten 矩阵 之时，方程为 (4.3) 式，或直接写为(5.1)I 2 0 ； 等价地，当易知系数矩阵 和 g 之时，其方程可变形为(5.2) g 0 ． ② 对于主方向的算法，各种等价算式为a a i r i 0 为主方向，即非零切方向 a 1:a 2 为主方向, (a 1, a 2) (a 1, a 2) , (a 1, a 2) (0, 0), (a 1, a 2) (a 1, a 2)g , (a 1, a 2) (0, 0) det. ⎝⎛⎭⎫(a 1, a 2) (a 1, a 2)g 0(a2)2a1a2 (a1)2g11g12g22Ω11 12 220 ．主方向所对应的微分方程通常写为(5.3)(d u2)2d u1d u2 (d u1)2g11g12g22Ω11 12 220 ．定义2若曲面S在点P处的两个主曲率相等，则称点P为曲面S上的一个脐点．若曲面S处处为脐点，则称曲面S为全脐曲面．若脐点处的主曲率为零，则称之为平点；若脐点处的主曲率不为零，则称之为圆点．注记2全脐曲面S的法曲率只与点有关而不依赖于切向选取，故只有平面和球面两类；平面上各点为平点，球面上各点为圆点．全脐曲面主方向所对应的微分方程是蜕化的恒等式．二．Gauss曲率和平均曲率定义3对于正则曲面S，其在点P处的两个主曲率的乘积 ，称为其在点P处的Gauss曲率或总曲率；其在点P处的两个主曲率的算术平均值H，称为其在点P处的平均曲率．注记3①注意到(4.4)-(4.5) 式，Gauss曲率和平均曲率分别具有用Weingarten矩阵或两个基本形式系数的表达式，分别列为(5.4) |Ω||g|LN-M2EG-F2,(5.5) H tr.2LG- 2MF NE2(EG-F2)．②主曲率方程 (4.3) 式现可改写为(5.6) 2 2H 0 ；其中H 2 ( 1 2)24≥0 ．③Gauss曲率在容许参数变换下不变；平均曲率在保向参数变换下不变，在反向参数变换下变号．④当曲面三阶连续可微时，Gauss曲率和平均曲率分别是连续可微函数；此时，两个主曲率函数(5.7) i H H2 , i 1, 2处处连续，并且在非脐点处连续可微．⑤ 平均曲率等于法曲率按切方向的积分平均值（留作习题）．⑥ 平均曲率不是等距不变量．反例如圆柱面和平面．例1 证明可展曲面的Gauss 曲率 0 ．证明 对可展曲面 S 的直纹面参数化 r (u , v ) a (u )v l (u ) ，由可展定义得知 n v 0 ，故其第二基本形式系数满足M r u n v 0 , N r v n v 0 ,于是LN - M 2 EG - F 20 ． □ 在上例中，若取准线使 a l 0 且 l 1 ，则可展曲面 S 的第一和第二基本形式系数矩阵同时对角化，Weingarten 矩阵则为特征值对角阵，而且(5.8) 1 L E, 2 0 ． 三．Gauss 映射和第三基本形式Gauss 在考察曲面的弯曲程度刻画时，注意到曲面的单位法向在单位球面上的行为对于曲面弯曲状况的反映，并进一步明确了两者的依赖程度，进而在曲面论中做出了卓有成效的工作．观察熟知的一些曲面，比如平面、圆柱面、圆锥面、椭球面、双叶双曲面、双曲抛物面等等，可以直观感受到单位法向不同的行为和曲面不同的弯曲状况之间有着密切联系．定义4 对于 C 3 正则曲面 S : r (u 1, u 2) 及其单位法向量场 n (u 1, u 2) ，曲面 S 到以原点为心的单位球面 S 2(1) 上的映射(5.9) G : S S 2(1) r (u 1, u 2) G (r (u 1, u 2)) n (u 1, u 2)称为曲面 S 的Gauss 映射．二次微分形式图4-5(5.10) Ⅲ d n d n称为曲面S的第三基本形式．性质①n1 n2 r1 r2．② (P) limU收缩至P A(G(U))A(U)，其中P U S , U为单连通区域，A(G(U)) 是G(U)⊂S2(1) 的面积，A(U) 是U S的面积．③Ⅲ 2HⅡ Ⅰ 0 ．证明①由Weingarten公式得n1 n2 [( 11r1 12r2)] [( 21r1 22r2)]r1 r2 r1 r2．②A(U)r1(U)| r1 r2| d u1d u2 ,A(G(U))r1(U) | n1 n2| d u1d u2r1(U)|K|| r1 r2|d u1d u2．而由积分中值定理，P* U使r1(U) |K||r1 r2|d u1d u2 |K (P*)|r1(U)|r1 r2|d u1d u2．故而lim U收缩至P A(G(U))A(U)limP* P|K (P*)| |K (P)|．③结论用系数矩阵等价表示为( g1)g( g1)T 2H g 0g1 2H g 0g1 g1 2H g1 I2 0(tr. ) I2 0 ．而最后的等式对于二阶方阵总成立（用特征值理论则知是显然的），用元素计算可直接验证为i k k j (tr. ) i j i ji1 1j i2 2j ( 11 22) i j ( 11 22 12 21) i j 0 ．□习题⒈对于螺面r= (u cos v , u sin v , u v) ，试求：①主曲率 1和 2；②Gauss曲率和平均曲率．⒉试求球面的Gauss曲率和平均曲率与球面半径的关系．⒊试证：平均曲率等于法曲率按切方向的积分平均值，即 2 H(P) 2πκ(P, ) d ．⒋试证：直纹面的Gauss曲率处处非正．⒌设正则曲面S: r(u1, u2) 当常数 足够小时 1 2 H 2 0 ．按参数相同作对应曲面S*: r*(u1, u2) r(u1, u2) n(u1, u2) ，其中n为曲面S的单位法向量场．试证：①S和S* 在对应点具有相同的单位法向和法线；②S和S* 在对应点的Weingarten矩阵具有关系式 * (I2 )1；③S和S* 在对应点的Gauss曲率和平均曲率具有关系式*1 2 H 2，H*H1 2 H 2；④S的曲率线对应于S* 的曲率线．⒍已知曲面S在一点处沿着一组等分周角的m个切方向的法曲率分别为 n(1), …,n (m)，m 2 ．试证：S在该点的平均曲率Hn(1)… n(m)m．⒎试证：曲面S的第三基本形式恒为零的充要条件为S是平面．工作总结-财务处长个人工作总结[工作总结-财务处长个人工作总结]工作总结-财务处长个人工作总结（范文）工作总结-财务处长个人工作总结2009-07-06 11：52财务处长个人工作总结光阴似箭、岁月如梭，转眼之间一年过去了，新的一年已经开始，工作总结-财务处长个人工作总结。
§4 Weingarten变换
第四章 曲面的第二基本形式与曲面上的曲率§4 Weingarten 变换Weingarten 公式刻画了曲面单位法向的运动状况，必然可以用以进一步了解曲面的弯曲状况．为了简化计算，也为了以后在更为抽象的几何对象上作类似的一般性讨论，本节将使用线性代数的语言讨论Weingarten 公式以及相关的线性变换．现改写Weingarten 公式为矩阵形式(4.1) d n = (d u 1, d u 2)⎝⎛⎠⎞n 1n 2 = −(d u 1, d u 2) ω ⎝⎛⎠⎞r 1r 2 = −(d u 1, d u 2) Ω g −1⎝⎛⎠⎞r 1r 2， 其中矩阵 ω 称为曲面在参数 (u 1, u 2) 下的Weingarten 矩阵．一．Weingarten 矩阵的性质⒈ 在参数变换下的行为在参数变换⎯u i =⎯u i (u 1, u 2) 下，记Jacobi 矩阵 J = ⎝⎛⎠⎞ ∂⎯u j∂u i 2×2 ，已知有 g = J ⎯g J T ，Ω = ± J ⎯Ω J T ．故(4.2) ω = ± (J ⎯Ω J T )(J ⎯g J T )−1 = ± J ⎯ω J −1 ．此式说明，Weingarten 矩阵在保向的不同参数下相似，从而其特征值在保向参数变换下不变，在反向参数变换下变号；其特征值方程(4.3) λ2 − tr.ω λ + |ω | = 0在保向参数变换下不变，从而其系数分别构成几何量(4.4) tr.ω = tr.(Ω g −1) =g 11Ω22 − 2g 12Ω12 + g 22Ω11 | g | = EN − 2FM + GL EG − F 2 ， (4.5) |ω | = |Ω g −1| = |Ω | | g | = LN − M 2 EG − F 2． ⒉ 实特征值与特征向量定理1 正则曲面上的Weingarten 矩阵 ω 具有两个实特征值．证明 考虑曲面上的函数f = (tr.ω)2 − 4 |ω | = (ω11 + ω22)2 − 4 (ω11ω22 − ω12ω21)= (ω11 − ω22)2 + 4 ω12ω21 ．由于它在参数变换下不变，故不妨设已经在正交参数网下考虑；此时，ω = Ω g −1 = ⎝⎛⎠⎞L M M N ⎝⎜⎛⎠⎟⎞1 E 00 1 G =⎝⎜⎛⎠⎟⎞L E M GME N G ， f = ⎝⎛⎠⎞L E − N G 2 + 4M 2EG ≥ 0 ． 故特征值方程 (4.3) 具有两个实根，即得结论． □注记 在正交网下，注意到Weingarten 矩阵 ω 的两个特征值相等时 M = 0从而 ω 对称，故由定理1结论进一步可知：在正则曲面上任何一点，矩阵 ω 可以实相似于实对角矩阵；特征值和特征向量都是实数．并且对两个实特征值 κ1 和 κ2 ，有 κ1 + κ2 = tr.ω , κ1κ2 = |ω | ．定理2 在正则曲面上任何一点 P ，Weingarten 矩阵 ω 的两个特征值在点 P 相等的充要条件为 ω 是单位矩阵的倍数，即基本形式系数矩阵 Ω 与 g 在点 P 成比例．证明 充分性显然．下证必要性，并总在点 P 考虑．取矩阵 ω 的互相独立的两个特征向量 (a i 1, a i 2) , i = 1, 2 ，使 (a i 1, a i 2)ω = κi (a i 1, a i 2) ，则矩阵 A = (a i j )2×2 是非奇异方阵，且 A ω = κ1I 2 A = κ1 A ．故此时有ω = A −1 (κ1 A ) = κ1I 2 ，Ω = ωg = κ1 g ． □推论 在正则曲面上任何一点 P ，Weingarten 矩阵 ω 的两个特征值在点 P 相等的充要条件点 P 处的法曲率与切向无关． 二．Weingarten 变换 与Euler 公式在 E 3 的正则曲面 S 上，其每一点 P 的切平面 T P 都具有 E 3 的诱导内积而成为二维欧氏空间 E 2 ．按Weingarten 公式 (4.1) 定义线性变换 (4.6) W : T P →T Pa = a i r i |P → W (a ) = a i W (r i |P ) ，其中定义W (r i |P ) = (ωi j r j )|P ，则称之为曲面 S 在点 P 处的切平面 T P 上的Weingarten 变换或Weingarten 映射．Weingarten 变换在切平面 T P 上的自然基 {r 1, r 2}|P 下的分量表示即为 (4.7) W : (1, 0) → (ω11, ω12) ,(0, 1) → (ω21, ω22) ,(a 1, a 2) → (a 1, a 2)ω = (a 1, a 2)Ωg −1 ；此即说明，Weingarten 变换在自然基 {r 1, r 2}|P 下以 ω|P 为表示矩阵．Weingarten 变换在切向微元上的作用为W (d r ) = W (d u i r i ) = (d u 1, d u 2)ω ⎝⎛⎠⎞r 1r 2 = −(d u 1, d u 2)⎝⎛⎠⎞n 1n 2= −d n ； Weingarten 公式 (4.1) 用Weingarten 变换反过来表达为(4.8) d n = −W (d r ) ．此式说明，Weingarten 变换不依赖于自然基的选取，是由曲面本身所确定的切平面到自身的线性变换．曲面的第二基本形式和法曲率用Weingarten 变换分别表达为(4.9) Ⅱ = −d n •d r = W (d r )•d r ，(4.10) κn (P , d r ) = −d n •d r d r •d r = W (d r )•d r d r •d r = W ⎝⎛⎠⎞ d r |d r | • d r |d r |． Weingarten 变换 W 的特征值即为 ω 的实特征值 κ1 和 κ2 ； W 的特征向量 ξ = ξ i r i |P ∈T P −{0} 对应于矩阵 ω 的实特征向量 (ξ 1, ξ 2)∈R 2−{(0, 0)} ．定理3 在正则曲面上任何一点 P ，Weingarten 变换 W 是 T P 上的自共轭线性变换，即：对 ∀a , b ∈T P ，成立 W (a )•b = a •W (b ) ．证明 在自然基 {r 1, r 2}|P 下，记 a = a i r i |P , b = b i r i |P ，则W (a )•b = (a 1, a 2)ω ⎝⎛⎠⎞r 1r 2 ⎝⎛⎠⎞r 1r 2T ⎝⎛⎠⎞b 1b 2 = (a 1, a 2)ω g ⎝⎛⎠⎞b 1b 2 = (a 1, a 2)Ω ⎝⎛⎠⎞b 1b 2 = (b 1, b 2)Ω ⎝⎛⎠⎞a 1a 2 = W (b )•a = a •W (b ) ． □推论1 对Weingarten 变换 W 的实特征值 κ1 和 κ2 ，存在对应的单位正交特征向量 ξi = ξi j r j ≠ 0 , i = 1, 2 ，即： W (ξi ) = κi ξi 且 ξi •ξ j = δij ．证明 取定曲面上一点 P 考虑．在 T P 上，有以下两种情形：① κ1 = κ2 ，则 W 以 T P 上的任何一个非零向量为特征向量，故取单位正交向量 ξi = ξi j r j ≠ 0 , i = 1, 2 ，即为单位正交特征向量．② κ1 ≠ κ2 ，则可取单位特征向量 ξi = ξi j r i ≠ 0 , i = 1, 2 ，使W (ξi ) = κi ξi ，i = 1, 2 ．此时，W (ξ1)•ξ2 = κ1ξ1•ξ2 , W (ξ2)•ξ1 = κ2ξ2•ξ1 ；故由自共轭性质可知两式相等，从而(κ1 − κ2)ξ1•ξ2 = 0 ，此即 ξ1•ξ2 = 0 ，即两特征向量正交．综合以上两种情形，得证． □推论2 给定Weingarten 变换 W 的实特征值 κ1 和 κ2 ，以及相应的单位正交特征向量 ξi = ξi j r j ≠ 0 , W (ξi ) = κi ξi 且 ξi •ξ j = δij ，i = 1, 2 ．对于任何 a = |a | (ξ1cos θ + ξ2sin θ) ∈T P −{0} ，成立(4.11) κn (P , a ) = κ1|P cos 2θ + κ2|P sin 2θ ；(4.12) min{κ1|P , κ2|P } ≤ κn (P , a ) ≤ max{κ1|P , κ2|P } ．证明 注意到 (4.10) 式以及特征向量的单位正交属性，由条件有κn (P , a ) = W ⎝⎛⎠⎞ a |a | • a |a |= [W (ξ1cos θ + ξ2sin θ)•(ξ1cos θ + ξ2sin θ)]|P= [κ1ξ1cos θ + κ2ξ2sin θ)•(ξ1cos θ + ξ2sin θ)]|P= κ1|P cos 2θ + κ2|P sin 2θ ．此即结论 (4.11) 式；且由此易得 (4.12) 式． □(4.11) 式称为Euler 公式．若将上述切方向和法曲率都视为夹角 θ 的函数，则Euler 公式改写为常见的形式(4.13) κn (P , θ ) = κ1(P ) cos 2θ + κ2(P ) sin 2θ ．从Euler 公式来看，曲面在一点附近的弯曲状况，主要依赖于两条法截线在该点的弯曲状况，这两条法截线的切向向量是Weingarten 变换的特征向量；这是Euler 截线法有效性的理论支持，同时也揭示出进一步考虑Weingarten 变换的特征值和特征方向的意义．以下两节将据此讨论．习 题⒈ 对于双曲抛物面 r = (u + v , u − v , uv ) ，试求：① Weingarten 矩阵 ω ；② Weingarten 变换 W 的特征值 κ1 和 κ2 ；③ 在点 (0, 0, 0) 处，Weingarten 变换的单位特征向量．⒉ 试证：在曲面上的任意一点之处，沿着两个正交的切方向的法曲率之和为常数． ⒊ 给定曲面上的一点，设此点处的Weingarten 变换 W 的两个特征值 κ1 ≠ κ2 ．在该点处，沿着任意两个夹固定角 θ0 的切方向的法曲率之和为常数，试证：θ0 是直角．⒋在曲面的Weingarten变换W之下，若a, b∈T P−{0} 满足W(a)•b= 0 ，则称两个切向a和b是相互共轭的．试证：① W的单位正交特征向量ξ1和ξ2在切点是相互共轭的；② 自然切向量场r1和r2处处相互共轭的充要条件为Ω12≡ 0 ；③ 切向量场a=a i r i和自身处处相互共轭的充要条件为a i a jΩij≡ 0 ．⒌ 回避线性变换语言，则采用下列所示步骤也可确定曲面在一点处的法曲率关于方向的最值情况．给定曲面在该点的两个基本形式系数矩阵g, Ω以及Weingarten矩阵ω，作二元实函数f(λ1, λ2) =λiΩijλjλi g ijλj , (λ1, λ2) ≠ (0, 0) ．试证：① f(μλ1, μλ2) = f(λ1, λ2) , ∀μ∈R−{0} ；② f一定存在最大值和最小值；③ f的最值是ω的两个特征值κ1和κ2，f的最值点是ω的两个特征方向向量；④ f取常值的充要条件是ω以任何非零向量为特征向量；⑤ 当f不取常值时，最值κ1≠κ2．并且，此时f的相应最值点 (ξi1, ξi2) 满足ξ1i g ijξ2j= 0 , ξ1iΩijξ2j= 0 ．。
§6 曲面的特殊参数网
第四章曲面的第二基本形式与曲面上的曲率§6曲面的特殊参数网按照第三章§5定理1的一般性结论，本节具体讨论两种特殊参数网．一．曲率线和曲率线网鉴于主曲率和主方向在曲面弯曲程度刻画中的重要地位，利用主方向向量场构造相应的参数网将是有意义的．定义1若曲面S上的曲线C的切向总是S的主方向，则称曲线C为曲面S的一条曲率线．注记1①曲率线就是曲面上的主方向场的积分曲线．②对于全脐曲面而言，其上任意一条曲线都是曲率线；因而对于平面和球面而言，曲率线没有特别意义．而在曲面的非脐点处，有且仅有正交的主方向，因而对应有两条正交的曲率线．对于曲面S: r(u1, u2) 上的曲线C: u i=u i(s) , i= 1, 2 ，其单位切向T(s) =r i d u id s成为主方向的充要条件为沿C成立W(T) =λT，由(5.3) 式化为(6.1)( d u2d s)2- d u1d sd u2d s( d u1d s)2g11g12g22Ω11Ω12Ω22= 0 ．因而，曲率线微分方程由 (5.3) 式或由 (6.1) 式给定，也经常写为(6.2)(d u2)2-d u1d u2 (d u1)2E F GL M N= 0 ．例1对于正则的旋转面S: r(u, v) = ( f(v) cos u , f(v) sin u , h(v)) ，证明其经线和纬线都是曲率线．证明：易知旋转面S的相应基本形式系数分别为E=f 2 , F= 0 , G= (f')2+ (h')2 ,L = -f h '(f ')2 + (h ')2 , M = 0 , N = f "h ' - f 'h "(f ')2 + (h ')2, 故 S 的曲率线方程为d v 2 - d u d v d u 2 f 2 0 (f ')2 + (h ')2 -f h '(f ')2 + (h ')2 0 f "h ' - f 'h "(f ')2 + (h ')2= 0 ．对 S 的经线 v 线，u = const. 即 d u = 0 ，显然适合该方程；同理，对 S 的纬线 u 线，v = const. 即 d v = 0 ，同样适合该方程．故 S 的经、纬线都是曲率线． □从上例可见，旋转面上的经纬参数网是正交网并且坐标曲线都是曲率线．在曲面上，由处处正交的曲率线所构成的参数网通常称为正交曲率线网；而对于无脐点的曲面，若存在曲率线所构成的参数网，则该网处处正交，此时正交曲率线网也简称为曲率线网．关于曲率线网的性质有下列结果，列为定理．定理1 已知正则曲面 S : r (u , v ) ．① 若 S 的第一和第二基本形式系数矩阵处处同时对角化，即 F = M ≡ 0 ，则其两族坐标曲线都是曲率线，即 (u , v ) 参数网为正交曲率线网； ② 若 S 无脐点，并且 (u , v ) 坐标曲线都是曲率线，则 F = M ≡ 0 ； ③ 若 S 无脐点，则局部存在参数使坐标曲线网构成曲率线网．证明 ① 由曲率线微分方程，结论是显然的．② 由曲率线的定义知 r u 和 r v 都是主方向向量，并且由曲面正则性知道 r u 和 r v 是处处线性无关的．故由主方向的正交性知道 F ≡ 0 ．再由曲率线微分方程 (6.2) 式，将 d u :d v = 1:0 和 d u :d v = 0:1 分别代入，得0 0 1E 0 G L M N ≡ 0 ≡ 1 0 0E 0 G L M N．此即 EM ≡ 0 ≡ GM ，从而由第一基本形式的正定性得知 M ≡ 0 ．③ 此时两族单位正交主方向向量场在 S 上处处线性无关并且连续可微．故由第三章§5定理1即知，局部存在参数使两族坐标曲线分别为单位正交主方向向量场的两族积分曲线，此即构成曲率线网． □推论1 已知正则曲面 S : r (u , v ) 无脐点．则 (u , v ) 坐标曲线网构成曲率线网的充要条件为 S 的第一和第二基本形式系数矩阵处处同时对角化．注记2 ① 在无脐点 S 的曲率线网之下，Weingarten 矩阵简化为ω = Ω g -1 = ⎝⎛⎭⎫L 00 N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 E 0 0 1 G = ⎝ ⎛⎭⎪⎫L E 0 0 N G ； 此时主曲率分别简化为 κ1 = L E , κ2 = N G，相应的单位主方向分别简化为 ξ1 = r 1 E , ξ2 = r 2 G． ② 在曲面的孤立脐点附近，曲率线网的存在性和正交性在脐点处并不能保证．③ 对于全脐曲面，局部总存在正交曲率线网．此时正交曲率线网同样使第一和第二基本形式系数矩阵处处同时对角化．理由可参见定理的证明过程．曲率线的特征也可以用曲面单位法向的行为或法线的行为来刻画． 定理2（Rodriques 公式） 已知正则曲面 S : r (u 1, u 2) 的弧长参数化曲线 C : r (u 1(s ), u 2(s )) ．C 是曲率线的充要条件为：沿 C 存在函数 λ(s ) ，使 d n d s = - λ(s ) d r d s， 即沿 C 成立 d n = - λ(s ) d r ．证明 由曲率线定义和Weingarten 公式，下列条件等价是显然的：C 是曲率线⇔沿 C 存在函数 λ(s ) 使 W (T ) = λ(s ) T⇔沿 C 存在函数 λ(s ) 使 d n = - λ(s ) d r ． □推论2 正则曲面 S 上的曲线 C 是曲率线的充要条件为： S 的法线沿C 所织成的直纹面可展．证明 对于正则曲面 S : r (u 1, u 2) 上的弧长参数化曲线 C : a (s ) = r (u 1(s ), u 2(s )) ，记 l (s ) = n (u 1(s ), u 2(s )) ，S 的法线沿 C 所织成的直纹面即为 S *: r *(s , t ) = a (s ) + t l (s ) ．由直纹面可展的解析条件，S * 可展的解析条件化为0 = (a '(s ), l (s ), l '(s )) = ⎝⎛⎭⎫d r d s , n , d n d s ． 现若曲线 C 是曲率线，则由上式和Rodriques 公式即知 S * 可展．反之，若S* 可展，则由解析条件即知S的两个切向量d rd s和d nd s平行，从而沿C存在函数λ(s) 使 d n=-λ(s) d r．再由Rodriques公式即知曲线C是曲面S上的曲率线．□利用上面这个结论观察旋转面的经纬线，可直观看到例1的结果．在§8之中，曲率线网将用来讨论可展曲面的曲率特征．二．渐近曲线和渐近曲线网上面已经看到，作为法曲率关于方向的最值，主曲率是曲面上的重要几何量．接下来将简单介绍一下对应于法曲率零值的切方向场及其积分曲线．定义2若曲面S上在点P处沿切向a∈T P的法曲率取零值，则称切向a∈T P为S在点P处的一个渐近方向；若曲面S上的曲线C的切向量总是S 上的渐近方向，则称C为S的一条渐近曲线．注记3①从Euler公式易见，存在渐近方向的充要条件是曲面的Gauss曲率非正．②渐近方向a∈T P是T P上的Weingarten变换的自共轭方向，即W(a)•a= 0 ．③曲面上的直线一定是曲面上的渐近曲线．曲面S: r(u1, u2) 上渐近曲线的微分方程为Ωij d u i d u j= 0 ．在S上，由渐近曲线所构成的参数网通常称为渐近曲线网．类似于对曲率线网的讨论，对于渐近曲线网可证（留作习题）下述结论．定理3已知正则曲面S: r(u, v) ．则 (u, v) 坐标曲线网构成渐近曲线网的充要条件为S的第二基本形式系数满足Ω11=Ω22≡ 0 ．习题⒈对可展曲面，试证：直母线既是渐近曲线也是曲率线，并且过非脐点处的另一族曲率线是直母线的正交轨线．⒉设两张正则曲面S和S* 有正则交线C，并且S和S* 沿着C具有恒定的交角．试证：C是S的曲率线的充要条件为C是S* 的曲率线．⒊设两张可展曲面S和S* 有正则交线C，并且S和S* 的直母线分别沿着C处处正交于C．试证：S和S* 沿着C具有恒定的交角．⒋设曲面S上的一条曲率线C不是渐近曲线，并且C的密切平面与S的切平面具有恒定的交角．试证：C是平面曲线．⒌设正则曲面S由右手直角坐标系O-xyz下的隐式方程Q(x, y, z) = 0 确定．试证S的曲率线微分方程为d x d y d zQ x Q y Q zd Q x d Q y d Q z= 0 ．⒍证明定理3．⒎试证：若曲面在一点处具有三个两两不平行的渐近方向，则该点必为平点．⒏已知曲面S在每一点处具有负Gauss曲率．试证：曲面S在每一点处的主方向平分该点处的渐近方向．⒐设曲面S上的正则曲线C无逗留点．试证：C为S上的渐近曲线的充要条件为C的密切平面与S的切平面重合．⒑设无逗留点曲线C: u i=u i(s) 为曲面S: r(u1, u2) 上的弧长参数化渐近曲线，以τ为挠率函数．试证：沿曲线C，①S的Gauss曲率K=-τ 2；②τ=1|g|( d u2d s)2- d u1d sd u2d s( d u1d s)2g11g12g22Ω11Ω12Ω22．。
§8 特殊曲面的曲率特征
第四章 曲面的第二基本形式与曲面上的曲率§8 特殊曲面的曲率特征按照本章前面所建立的一般理论，本节将作一些具体讨论．一．可展曲面的曲率特征根据§5和§6的理论已经知道（参见§5例1和§6习题1），对可展曲面，直母线既是渐近曲线也是曲率线，并且过非脐点处的另一族曲率线是直母线的正交轨线；可展曲面的Gauss 曲率处处为零．换个角度来看，若按Gauss 曲率来衡量曲面的弯曲程度，则可展曲面是“平坦”的．这种看法与可展曲面局部等距对应于平面是相互印证的，这个现象的理论意义将在以后深入考虑．这里考虑其逆命题是否成立，即Gauss 曲率处处为零的曲面是否可展．定理1 若无脐点的曲面 S 的Gauss 曲率 K ≡ 0 ，则 S 可展．证法分析 不妨在正交曲率线网 (u 1, u 2) 下考虑，即设 F = M ≡ 0 ，且 W (r 1) = - n 1 = κ1r 1 ≠ 0 , W (r 2) = - n 2 = κ2r 2 ≡ 0 ,κ1 = L E ≠ 0 , κ2 = N G≡ 0 ． 由可展定义，要证明：① u 2 线是直线；② S 的切平面沿 u 2 线重合．其中若能证明第①条，则第②条是显然的．为证第①条，只要等价证明 u 2 线的单位切向与 u 2 无关，即 r 2 |r 2|只与 u 1 有关．现在容易知道的是 n 只与 u 1 有关，进而 n 1 也只与 u 1有关；由此可以考虑利用它们表示出 r 2 |r 2|． 证明 因曲面 S 无脐点，故存在正交曲率线网 (u 1, u 2) 使Weingarten 公式化为 n 1 = -κ1r 1 , n 2 = -κ2r 2 ．而Gauss 曲率 K = κ1κ2 ≡ 0 ，不妨设 κ2 ≡ 0 , κ1 ≠ 0 ，则有图4-6n1=-κ1r1≠0 , n2=-κ2r2≡ 0 ．此式说明n只与u1有关，可记为n=n(u1) ，从而n沿u2线平行，并且n1 =n1(u1) ≠0．注意到n1∥r1 , r2•r1≡ 0 , r2•n≡ 0 ，便得r2 |r2|=n⨯r1|r1|=-sgn(κ1) n⨯n1|n1|，此式右端只与u1有关，从而u2线是直线，曲面是直纹面且可展．□推论1对于无脐点的曲面，可展的充要条件是其Gauss曲率K≡ 0 ．二．曲面面积的第一变分公式肥皂膜的均匀张力通常使膜的表面达到一种极小面积值所对应的稳定状态．对于此种状态及其推广情形的研究，是近代和现代微分几何学中较为活跃和有意义的分支之一．为了考察曲面形变对于其面积的影响，可以利用变分法对于其面积进行一般化的讨论．下面将讨论较为简单的情形，对应的几何直观可以参照鼓膜的振动．考虑具有固定边界曲线的单参数正则曲面族Sβ :rβ: U→E3(u1, u2) →rβ(u1, u2) =ρ(u1, u2; β) ,β∈(-ε, ε) ，其中U⊂R2是具有光滑边界曲线的有界区域，并且假设ρ关于β∈(-ε, ε) 也是连续可微的，ε是某个正数．记曲面S=S0: r=r(u1, u2) =ρ(u1, u2; 0) ，通常称曲面族 { Sβ|β∈(-ε, ε)} 是曲面S的一个变分族．取曲面S的单位法向n=n(u1, u2) ，则曲面Sβ可表示为(8.1)ρ(u1, u2; β) =r(u1, u2) +μ(u1, u2; β) n(u1, u2) ，μ(u1, u2; 0) ≡ 0 ，其中μ(u1, u2; β) 是连续可微的，并且通常称其为曲面S的一个法向变分函数．为考虑曲面S的面积变分，首先表示出曲面Sβ的面积为(8.2)A(β) =A(Sβ) =⎰⎰U dσβ=⎰⎰U|ρ1⨯ρ2| d u1d u2，从而转化成考虑曲面S的面积的第一变分 d A(β)dβ|β= 0= ? 下列引理中的公式(8.3) 称为曲面面积的第一变分公式．引理对于上述曲面族 { Sβ|β∈(-ε, ε)} ，成立(8.3) d A(β)dβ|β= 0=-2⎰⎰U(∂μ∂β|β= 0)H dσ，其中H和 dσ分别为S的平均曲率和面积元素．证明由 (8.1) 式求导得ρi=r i+μi n+μn i=r i+μi n-μωi j r j , i= 1, 2 ，故有ρ1⨯ρ2= (r1+μ1n-μω1j r j)⨯(r2+μ2n-μω2j r j)= [(1 -μω11)r1-μω12r2+μ1n)]⨯[-μω21r1+ (1 -μω22)r2+μ2n]= [(1 -μω11)(1 -μω22) -μ2ω12ω21] r1⨯r2+ [(1 -μω11)μ2+μ1μω21] r1⨯n+ [(1 -μω22)μ1+μ2μω12] n⨯r2= [1 - 2Hμ+Kμ2] r1⨯r2+ [(1 -μω11)μ2+μ1μω21] r1⨯n+ [(1 -μω22)μ1+μ2μω12] n⨯r2．又由于μ(u1, u2; 0) ≡ 0 ，从而μ1(u1, u2; 0) ≡ 0 , μ2(u1, u2; 0) ≡ 0 ，故有(ρ1⨯ρ2)|β= 0=r1⨯r2 ,(∂∂β(ρ1⨯ρ2))|β= 0=-2 (∂μ∂β|β= 0)H r1⨯r2+ (μ2β|β= 0) r1⨯n+ (μ1β|β= 0) n⨯r2．进一步，注意到(∂∂β|ρ1⨯ρ2|)|β= 0=∂∂β(|ρ1⨯ρ2|2)2|ρ1⨯ρ2|2|β= 0=(∂∂β(ρ1⨯ρ2)•(ρ1⨯ρ2))|β= 0|r1⨯r2|=(∂∂β (ρ1⨯ρ2))|β= 0•n，则有(∂∂β|ρ1⨯ρ2|)|β= 0=-2 (∂μ∂β|β= 0)H|r1⨯r2|，d A(β) dβ|β= 0=⎰⎰U(∂∂β|ρ1⨯ρ2|)|β= 0 d u1d u2=⎰⎰U-2 (∂μ∂β|β= 0)H|r1⨯r2| d u1d u2=-2 ⎰⎰U (∂μ∂β|β= 0)H dσ．□当曲面S没有脐点时，上述计算可在曲率线网之下简化．曲面面积的第二变分公式较为复杂，有兴趣的读者可阅读相关专业文献．三．极小曲面定义若曲面的平均曲率恒为零，则称之为极小曲面．从曲面面积的第一变分公式易见，极小曲面在其任意一个变分族中达到面积变分的逗留值，从而成为变分族中具有最小面积值的曲面的候选对象．反之，若曲面S的平均曲率不恒为零，不妨设点P0∈S使H(P0) > 0 ，则存在点P0在参数平面上的小邻域U0⊂⎺U0⊂U和连续可微函数h使H(P) > 0 , ∀P∈U0 ;h(P0) > 0 ; h(P) {≥ 0 , P∈U0 ;= 0 , P∈U-U0 .构造曲面S的法向变分函数μ(P; β) =β h(P) ，则使-2 ⎰⎰U (∂μ∂β|β= 0)H dσ=-2 ⎰⎰U0hH dσ< 0 ．于是得到下列定理和推论．定理2曲面S为极小曲面的充要条件是S的面积在其任意变分族中总达到逗留值．推论2若曲面S的面积在其任意变分族中达到最小值，则S必为极小曲面．在一些特定条件下，确定极小曲面的过程可以转化为求解微分方程的过程，有时可以由平均曲率为零而得到比较容易求解的常微分方程．习题⒈证明双曲抛物面不可展．⒉证明单叶双曲面不可展．⒊对于无脐点的极小曲面S，试证：①S的Gauss曲率K< 0 ；②S的渐近曲线族构成正交参数网．⒋对于正则旋转面S: r(u, v) = ( v cos u , v sin u , f(v) ) ，试证：①若S可展，则或为平面，或为圆锥面；②若S极小，则或为平面，或为悬链面 (v cos u , v sin u , ±a ln(v+v2-a2 ) ) ．⒌对于Ennerper曲面S: r= (3(1+v2)u-u3, 3(1+u2)v-v3, 3(u2-v2)) ，试证：①S极小；②S的曲率线都是平面曲线．⒍对于正螺面S: r= ( v cos u , v sin u , b u ) , b= const. ≠ 0 ，试证：①S极小；②若极小直纹面无脐点，则必为正螺面．⒎证明直角坐标系O-xyz下的下列曲面是极小曲面：①z=a arctg yx , a= const. ≠ 0 ；②Scherk曲面z=1a lncos aycos ax , a= const. ≠ 0 ．⒏设直角坐标系O-xyz下的平移曲面z=ϕ(x) +ψ(y) 是极小曲面，证明其在相差一个常数的意义下可写为上题中的Scherk曲面．⒐已知曲面S: r=r(u1, u2) 的第一基本形式 d s2 =ρ2[(d u1)2+(d u2)2] , ρ=ρ(u1, u2) > 0 ．记∆=∂2(∂u1)2+∂2(∂u2)2，试证：曲面S极小的充要条件为∆r = 0．⒑设曲面S按Gauss映射的对应关系共形（即第一基本形式成比例）对应于单位球面．试证：S或为极小曲面，或为球面．。
微分几何陈维桓第四章讲稿
微分⼏何陈维桓第四章讲稿⽬录第四章曲⾯的第⼆基本形式 (50)§ 4.1 第⼆基本形式 (50)§ 4.2 法曲率 (52)§ 4.3 Weingarten映射和主曲率 (55)⼀、Gauss映射和W eingarten变换 (55)⼆、主曲率和主⽅向 (55)§ 4.4 主⽅向和主曲率的计算 (57)⼀、Gauss曲率和平均曲率 (57)⼆、Weingarten变换在⾃然基底下的矩阵 (59)三、第三基本形式 (61)§ 4.5 Dupin标形和曲⾯参数⽅程在⼀点的标准展开 (61)§ 4.6 某些特殊曲⾯ (64)⼀、Gauss曲率K为常数的旋转曲⾯ (65)⼆、旋转极⼩曲⾯ (66)第四章曲⾯的第⼆基本形式本章内容：第⼆基本形式，法曲率，Gauss 映射和Weingarten 变换，主⽅向与主曲率，Dupin 标形，某些特殊曲⾯计划学时：12学时，含习题课3学时. 难点：主⽅向与主曲率§ 4.1 第⼆基本形式设:(,)S r r u v = 为正则曲⾯，(,)n n u v = 是单位法向量. 向量函数(,)r u v的⼀阶微分为u v dr r du r dv =+，⼆阶微分为()222222u v u v uu uv vv d r d r du r dv r d u r d v r du r dudv r dv =+=++++ .由于0dr n ?= ，再微分⼀次，得2d r n dr dn ?=-? .定义⼆次微分式222II 2d r n dr dn Ldu Mdudv Ndv =?=-?=++ (1.6)称为曲⾯S 的第⼆基本形式(second fundamental form)，其中uu u u L r n r n =?=-? ，uv u v v u M r n r n r n =?=-?=-?，vv v v N r n r n =?=-? (1.4-5) 称为曲⾯S 的第⼆类基本量.第⼆基本形式的⼏何意义：刻划了曲⾯偏离切平⾯的程度，也就是曲⾯的弯曲程度.由微分的形式不变性可知第⼆基本形式在保持定向的参数变换下是不变的，⽽在改变定向的参数变换下会相差⼀个符号. 但是，在参数变换下第⼆类基本量,,L M N ⼀般都会改变.第⼆基本形式与空间坐标系的选取⽆关. 对曲⾯:(,)S r r u v =作参数变换(,),(,)u u uv v v uv == (1.7) 在新的参数下，u u v u v r r r u u ??=+?? ，v u v u v r r r v v=+ .因此(,)(,)u v uv uv u vu v u v r r r r r r u v v u u v=-=. (1.10)当(,)0(,)u v uv ?>? 时，n n = ，从⽽ I I ,,I Id r d nd r d n =-=-=；当(,)0(,)u v uv ?n =- ，从⽽ II ,,II dr d n dr dn =-==- . 在保持定向的参数变换下，第⼆类基本量有和第⼀类基本量相同的变化规律. 事实上，记参数变换(1.7)的Jacobi 矩阵为u vu uu v vvJ =. 则()()(),,,u vu uu v vvdu dv dudv dudv J== ??. (1.14) 从⽽T II (,)(,)(,)II LM du L M dudu L M du dv du dv J J du dv MN dv M N dv dvMN ==== ?，即有T L M L M J J M N M N = ? ?. (1.13) 例求平⾯(,,0)r u v =和圆柱⾯()cos ,sin ,u u a ar a a v = 的第⼆基本形式. 解. (1) 对平⾯，(1,0,0)(0,1,0)dr du dv =+ ，20d r =，所以II 0=.(2) 对圆柱⾯，()sin ,cos ,0u uu a a r =- ，()0,0,1v r = ，()cos ,sin ,0u u u v a a n r r =?= . 因此 ()11sin ,cos ,0u u u a a a a dn du r du =-= ， ()()211 II u v u a a dr dn r du r dv r du du =-?=-+?=- . □定理1.1 正则曲⾯S 是平⾯(或平⾯的⼀部分)，当且仅当S 的第⼆基本形式II 0≡. 证明 “?”平⾯S 的单位法向量n是常向量，故II 0dr dn =-?=. “?” 由0u n n ?= ，0u u n r L ?=-= ，0u v n r M ?=-= 得0u n = . 同理有0v n =. 所以0n n =是常向量. 于是0()0dr n d r n ?=?=. 故0r n C ?=. □定理 1.2正则曲⾯S 是球⾯(或球⾯的⼀部分)，当且仅当S 的第⼆基本形式是第⼀基本形式的⾮零倍数：II I λ≡，其中(,)u v λλ=是⾮零函数.证明 “?”不妨设球⼼为原点，半径为a . 则22r a = ，0r dr ?= ，1an r =. 从⽽211II I aadr dn dr =-?=-=-.“?”由条件，L E λ=，M F λ=，N G λ=(因为,du dv 是独⽴的变量). 所以()0u u u n r r L E λλ+?=-+= ，()0u u v n r r M F λλ+?=-+=.⼜()0u u n r n λ+?=. 故u u n r λ=-. (1) 同理有v v n r λ=-. (2)因为S 是三次以上连续可微的，uv vu n n =. 于是v u uv uv vu u v vu r r n n r r λλλλ--===--，即有v u u v r r λλ=. 由于,u v r r线性⽆关，0,0u v λλ==. 故λ是⾮零常数. 由(1)和(2)得()0u n r λ+= ，()0v n r λ+=.所以110()n r n r r λλλ+=+=是常向量. 从⽽S 上的点满⾜球⾯⽅程2210()r r λ-= . □课外作业：习题1(1,4,5)，2(3)，3，6§ 4.2 法曲率设:(),()C u u s v v s ==是曲⾯:(,)S r r u v =上过点p 的⼀条正则曲线，s 是C 的弧长参数，00(,)((0),(0))u v u v =为p 点的曲纹坐标. 则C 的单位切向量为du dvu v ds ds dr ds r r r α===+ . (2.3) 根据Frenet 公式，C 的曲率向量22222222()2()d r d u d vdu du dv dv u vuu uv vv ds ds ds ds dsds dsr r r r r κβα===++++ ， (2.4) 其中κ是C 的曲率. 设n 为S 的单位法向量，(,)n θβ=∠，则cos n θβ=? .定义函数000000(,,,):(0)cos (0)(0)(,)(0)(,)n n u v du dv n u v r n u v κκκθκβ===?=?(2.6)22000000(,)()2(,)(,)()du du dvdv ds ds ds dsL u v M u v N u v =++ (2.5) 称为曲⾯S 在p 点沿着切⽅向(,)du dv (即d r)的法曲率(normal curvature).注曲⾯上所有在p 点相切的曲线在p 点有相同的法曲率，并且在p 点这些曲线的曲率中⼼位于垂直于切⽅向的平⾯(C 的法平⾯∏)内的⼀个直径为1/||n κ的圆周上：曲率中⼼为11((0),(0))(0)((0),(0))cos (0)(0)nc r u v r u v βθβκκ=+=+.沿着曲线C ，有dr rds= . 由于s 是弧长参数，因此在p 点成⽴ 22200000(,)2(,)(,)d s d r d r E u v d u F u v d u d v G u vd v=?=++.定义2.1 在曲⾯S 上对应于参数(,)u v 的点p 处，沿着切⽅向(,)du dv 的法曲率为22222II (,,,)2In n Ldu M dudv Ndv u v du dv Edu Fdudv G dvκκ++===++. (2.8)注法曲率除了与点p 有关，还与切⽅向即⽐值:du dv 有关. 但是与切向量d r的⼤⼩⽆关. 上⾯的定义不要求以d r为切向量的曲线C 以弧长s 为参数.定义曲⾯S 上过p 点的⼀个切⽅向(,)d u d v 与p 点的法线确定的平⾯π称为由切⽅向(,)du dv 确定的法截⾯. 法截⾯π与曲⾯S 的交线称为该点的⼀条法截线.定理2.1 曲⾯S 在(,)u v 点，沿切⽅向(,)du dv 的法曲率n κ等于该切⽅向确定的法截线C 在相应的有向法截⾯π(以d r n ?为平⾯π的定向)中的相对曲率，即有n r κκ=.证明设该点是000(,)r r u v =，沿切⽅向(,)du dv 的单位切向量为000(,)()|u v uv r du r dv α=+，在00(,)u v 点的单位法向量为000(,)n n u v =. 则法截⾯的定向是00n α?，从⽽法截线C 的弧长参数⽅程为000()()()r s r x s y s n α=++，其中(0)(0)0x y ==. 因为00(0)(0)(0)r x y n α=+ 是S 的切向量，0(0)(0)0y r n =?= . 从⽽(0)1x = . 因此0(0)r α= 是由(,)du dv 确定的切⽅向. 由定义，沿切⽅向(,)du dv 的法曲率 0000(0)[(0)(0)](0)n r n x y n n y κα=?=+?=.另⼀⽅⾯，法截线C 在该点的相对曲率(0)(0)(0)(0)(0)r x y x y y κ=-= . 所以有n r κκ=. □例 (1) 平⾯的法曲率.在平⾯S 上，II 0≡. 所以在任意点p S ∈，沿任意切⽅向(,)du dv ，都有法曲率0n κ=.(2) 圆柱⾯()cos ,sin ,u u a ar a a v =的法曲率. 对圆柱⾯，由上⼀节的例，22I du dv =+，21II adu =-，所以222()dun a du dv κ+=-.(3) 球⾯()2():cos cos ,cos sin ,sin S a r a u v a u v a u = 的法曲率.由定理1.2，1II I a =-. 所以1n aκ=-是⾮零常数. □定理2.2 在曲⾯S 上任意⼀点p 处，法曲率必定在两个彼此正交的切⽅向上分别取到最⼤值和最⼩值.证明在固定点p ，,,,,,E F G L M N 都是常数，法曲率n κ仅与⽐值:du dv 有关. 取p 点邻近的正交参数⽹. 则任意单位切向量p dr T S ∈，可以写成12cos sin u v dr r du r dv e e θθ=+=+，其中12,u v e e ==，1(,)dr e θ=∠即,du dv θθ==.沿着切⽅向:du dv 的法曲率22()cos sin sinn n L N E G κκθθθθθ==++ ()θ∈R是R 上的连续可微周期函数，必定在闭区间[0,2]π上取到最⼤值和最⼩值.如果n κ是常值函数，则n κ在任意两个彼此正交的切⽅向上分别取到最⼤值和最⼩值. 设()n κθ不是常值函数，则它的最⼤值和最⼩值不相等. 通过对曲⾯作参数变换00cos sin u uv θθ=- ，00sin cos v u v θθ=+ ，不妨设在0θ=处()n κθ取到最⼤值(0)/n L E κ=. 由于()sin 22nN L G E κθθθ??'=-+ ?，(0)0n κ'==，并且/(/2)(0)/n n N G L E κπκ=≤=，有222()cos sin cos n L N NL N N E GG E G G κθθθθ??=+=+-≥ ?. 所以()n κθ在/2θπ=±处取到最⼩值/N G . □定义2.2在曲⾯S 上⼀个固定点p 处，法曲率取最⼤值和最⼩值的切⽅向称为曲⾯S 在该点的主⽅向(principal direction)，相应的法曲率称为S 在该点的主曲率(principal curvature).注由上⾯的推导过程可知，如果在p 点n κ不是常值函数，()()sin 2NL nGEκθθ'=-在闭区间[0,2]π上只有4个零点，所以在p 点n κ只有两个主曲率1/L E κ=，2/N G κ=. 于是有下⾯的Euler 公式：2212()cos sin n κθκθκθ=+，其中(,)u dr r θ=∠，12κκ>，并且12()n κκθκ≥≥.定义 2.3 (1) 在曲⾯S 上⼀点，使法曲率为零的切⽅向(,)du dv 称为该点的⼀个渐近⽅向(asymptotic direction).(2) 设C 是曲⾯S 上的⼀条曲线. 若C 上每⼀点的切向量都是曲⾯在该点的渐近⽅向，则称C 是曲⾯S 上的⼀条渐近曲线(asymptotic curve).在⼀点(,)u v 处，渐近⽅向(,)du dv 是⼆次⽅程 2220Ldu Mdudv Ndv ++= (2.5) 的解. 当20LN M-<时，有两个实渐近⽅向::du dv M L N M =-±=-当20LN M -=时，只有⼀个实渐近⽅向:::du dv M L N M =-=-；当20LN M ->时，没有实渐近⽅向.让(,)u v 变动，则(2.5)就是渐近曲线的微分⽅程. 如果在曲⾯上每⼀点，20LN M -<，则曲⾯上存在两个处处线性⽆关的渐近⽅向向量场. 根据第三章定理4.1，在曲⾯上有由渐近曲线构成的参数曲线⽹，称为渐近线⽹.定理2.3 参数曲线⽹是渐近线⽹的充分必要条件是：0L N ==.证明 “?” 在u -曲线上0,0dv du =≠. 由(2.5)得0L =. 同理可得0N =. “?” (2.5)现在成为0M dudv =. 因此u -曲线和v -曲线都是渐近曲线. □定理 2.4 设C 是曲⾯S 上的⼀条曲线. 则C 是渐近线，当且仅当C 是直线，或C 的密切平⾯与曲⾯的切平⾯重合.证明由公式cos (,)n n κκβ=∠可得. □课外作业：习题1，4，7.§ 4.3 Weingarten 映射和主曲率⼀、Gauss 映射和W eingarten 变换设:(,)S r r u v = (2(,)u v ∈Ω? )是⼀个正则曲⾯，(,)n n u v =是它的单位法向量. 向量函数(,)n u v 定义了⼀个映射2::(,)(,)n S u v n u v Ω→，其中2S 是3E 中的单位球⾯. 因为空间3E 中的点与它的位置向量是⼀⼀对应的，映射n诱导了映射12::(,)((,))(,)g n r S S r u v g r u v n u v -=→= . (3.1)这个映射2:g S S →称为Gauss 映射. 注意Gauss 映射的象不⼀定是2S 的⼀个区域.Gauss 映射g 的切映射2():p g p g T S T S *→是⼀个线性映射，满⾜()g dr dn *=，即 ()u v u v g r du r du n du n dv *+=+，p dr T S ?∈，p S ?∈. (3.2)特别有()u u g r n *= ，()v v g r n *=. (3.4)因为(,)n u v同时也是2()g p T S 的法向量，S 在(,)p u v 点的切平⾯与2S 在()g p 点的切平⾯是平⾏的，从⽽在⾃由向量的意义下可将2()g p T S 与p T S 等同.定义线性映射2():p p g p W g T S T S T S *=-→≡称为曲⾯S 在p 点的Weingarten 变换(Weingarten transformation).事实上，因为0u v n n n n ?=?= ，所以,u u p n n T S ∈. 由定义可知， ()()()u v uv p W d r W r d u r d v d n n d un d v T S =+=-=-+∈，p dr T S ?∈. (3.5)⼆、主曲率和主⽅向定理3.1 II ()W dr dr =?. □定理3.2 相对于切空间的内积，Weingarten 变换:p p W T S T S →是⾃共轭(对称)的，即()()W dr r dr W r δδ?=?，,p dr r T S δ?∈ .证明 ()()()u v u v W dr r dn r n du n dv r u r v δδδδ?=-?=-+?+L d u u M d u v M d v u N dδδδδ=+++ ()()()(u v uvr d u r d v n u n v d r n d r W r δδδδ=-+?+=?-=?. □根据线性变换理论，Weingarten 变换W 的2个特征值12,λλ都是实的(这2个特征值可能相等). 设12,p X X T S ∈分别是从属于它们的特征向量，即111()W X X λ= ，222()W X X λ= . 当12λλ≠时，12,X X所确定的切⽅向:du dv 和:u v δδ是唯⼀的，且相互正交. 当12λλ=时，p T S 中的任何⾮零向量都是特征向量. 因此仍然有两个相互正交的特征⽅向.定理3.3在曲⾯S 上任意⼀点p 处，W 的2个特征值12,λλ正好是曲⾯S 在p 点的主曲率，对应的特征⽅向是曲⾯S 在p 点的主⽅向.证明取p T S 的由W 的特征向量构成的单位正交基{}12,e e，使得111()W e e λ= ，222()W e e λ=， (3.12)并设12λλ≥.对任意⼀个单位切向量p e T S ∈，可设 12cos sin e e e θθ=+. (3.13)则有121122()cos ()sin ()cos sin W e W e W e e e θθλθλθ=+=+. (3.14)于是沿切⽅向e的法曲率为2211221212II ()()I (cos sin )(cos sin )cos sin .n n W e ee ee e e e κκθλθλθθθλθλθ?===?=+?+=+由12λλ≥可知2222121121()cos ()()sin n λλλλθκθλλλθλ≤+-==--≤，并且()n κθ在0θ=时取最⼤值1λ，在/2θπ=时取最⼩值2λ. 所以12,λλ就是曲⾯S 在p 点的主曲率12,κκ，相应的切⽅向12,e e就是主⽅向. □注1 由定理可知沿特征⽅向:du dv 的法曲率n κ就是对应于特征向量d r的特征值：II()()I nW dr dr dr drdr dr dr dr λκλ??====?? . 注2 曲⾯S 在每⼀点p 有2个主曲率12,κκ. 当12κκ≠时，只有2个主⽅向，它们相互正交. 此时可取2个单位特征向量12,e e. 当12κκ=时，任何⽅向都是主⽅向. 此时可任取2个正交的单位特征向量12,e e.定理3.4(Euler 公式) 设{}12,e e是p 点的2个正交的单位特征向量，对应的主曲率为12,κκ.则对任意单位切向量12cos sin p X e e T S θθ=+∈，沿着X ⽅向的法曲率为2212()cos sin n κθκθκθ=+. (3.15)在曲⾯S 上⼀点p 处，如果12κκλ==，则由Euler 公式可知沿任何切⽅向:du dv ，都有II In κλ==， (3.16)即II I λ=. 这样的点称为脐点(umbilical point). 此时在该点有:::L E M F N G λ===. (3.17)当0λ=时，该点称为平点(planar point)；当0λ≠时，该点称为圆点(circle point).定理1.1和定理1.2的推论曲⾯S 是平⾯(或其⼀部分)，当且仅当S 上的点都是平点；曲⾯S 是球⾯(或其⼀部分)，当且仅当S 上的点都是圆点.定义3.1 设C 是曲⾯S 上的⼀条曲线. 若C 上每⼀点的切向量都是曲⾯在该点的主⽅向，则称C 是曲⾯S 上的⼀条曲率线(curvature line).定理 3.5(Rodriques 定理) 曲⾯:(,)S r r u v =上⼀条正则曲线:(),()C u u t v v t ==是曲率线的充分必要条件是：沿着曲线C ，()//()dn t dr t ，即((),())//((),())dn u t v t dr u t v t. 证明. 由定义，C 是曲率线，当且仅当对所有的t ，()dr t是Weingarten 变换的特征向量，即()()()()W dr t t dr t λ= ，也就是()()()()()dn t W dr t t dr t λ=-=-. □定理3.6 曲⾯S 上⼀条曲线C 是曲率线的充分必要条件是：曲⾯S 的沿着曲线C 的法线构成可展曲⾯.证明. 对曲⾯S 上任意⼀条曲线C ，曲⾯S 的沿着曲线C 的法线构成直纹⾯1:(,)((),())((),())S X X s t r u s v s t n u s v s ==+，其中s 是C 的弧长参数. 由于()()r s s α= 和()n s 是相互正交的单位向量，从⽽是线性⽆关的.1S 是可展曲⾯?()(),(),()0s n s n s α'≡()()()()(n s s s s n s λαµ'=+. 上式两边与()n t作内积可得()0s µ=，从⽽上式等价于 ()()()n s s s λα'=，这正好是曲线C 是曲率线的充分必要条件. □例3.1 求旋转⾯上的曲率线.解设旋转⾯的⽅程为()(,)()cos ,()sin ,()r u v f v u f v u g v =. 其中()0f v >，并且v 是经线的弧长参数，221f g ''+=. 则()sin ,cos ,0u r f u u =- ，()cos ,sin ,v r f u f u g '''=， ()cos ,sin ,u v r r f g u g u f '''?=- ，()cos ,sin ,n g u g u f '''=-. 由于()sin ,cos ,0u n g u u '=- ，()cos ,sin ,v n g u g u f ''''''=-，并且0f fg g ''''''+=，有0v v n r ?= ，0v v n r ?=. 所以u -曲线(纬线圆)和v -曲线(经线)都是曲率线. 当0g '=时，这个旋转⾯是平⾯，任何曲线都是曲率线. 当0g '≠时，1 g g f f -''''''=-. 如果f g f g a ''''''-=是常数，即经线是圆弧，则旋转⾯是球⾯.此时任何曲线都是曲率线. □例3.2 求可展曲⾯上的曲率线.解设可展曲⾯⽅程为(,)()()r u v a u vl u =+ . 已经知道它的单位法向量()n n u =与v ⽆关，沿着v -曲线(直母线)有0//v v n r =. 所以v -曲线是它的⼀族曲率线. 于是v -曲线的正交轨线是它的另⼀族曲率线. 如果可展曲⾯是平⾯，任何曲线都是曲率线. □课外作业：习题1，4，5§ 4.4 主⽅向和主曲率的计算⼀、Gauss 曲率和平均曲率设曲⾯S 的参数⽅程为(,)r r u v =，,,E F G 和,,L M N 分别是S 的第⼀、第⼆类基本量. 引理设λ是(,)p u v 点的主曲率，则λ满⾜0L E M F M FN Gλλλλ--=--， (4.4)即λ是⼆次⽅程222()(2)()0EG F LG M F NE LN M λλ---++-=的根，也就是⽅程220H K λλ-+= (4.8)的根，其中222()LG M F NEH EG F -+=-，22LN MK EG F -=-，分别称为曲⾯S 的平均曲率(或中曲率)(mean curvature)和Gauss 曲率(或总曲率)(Gaussian curvature). 换句话说，H λ= (4.9)证明. 设:du dv 是对应的主⽅向. 则有()W dr dr λ=，即()()u v u u n du n dv r du r dv λ-+=+.分别⽤,u v r r与上式两边作内积，得()Ldu M dv Edu Fdv λ+=+，()M du Ndv Fdu Gdv λ+=+.所以主⽅向:du dv 满⾜ ()()0,()()0.L E d u M F d v M F d uN G d v λλλλ-+-=??-+-=? (4.3)由于,du dv 不全为零，可得(4.4)式. □设12,κκ是(,)p u v 点的两个主曲率. 由根与系数的关系可得12222L G M F N EH E G Fκκ-++==-，2122LN M K EG Fκκ-==-. (4.6-7)因此1H κ=+，2H κ=-(4.9)p 点是脐点的充分必要条件是在p 点成⽴20H K ==.注⽅程(4.4)即(4.8)是Weingarten 变换的特征⽅程，在保持定向的参数变换下保持不变. 事实上，主曲率在保持定向的参数变换下不变，在反转定向的参数变换下相差⼀个符号. 因此平均曲率12()/2H κκ=+在保持定向的参数变换下不变，在反转定向的参数变换下相差⼀个符号. ⽽Gauss 曲率12K κκ=在参数变换下保持不变.定理4.1 假定曲⾯S 是3r ≥次连续可微的. 则主曲率函数12,κκ是连续的，且在⾮脐点邻近是2r -次连续可微的. □在脐点，20K H=≥，12H κκ==. 从⽽由II I H =可知L H E =，M HF =，N H G =，(4.3)中的两个⽅程成为恒等式. 此时，任何⽅向都是主⽅向.在⾮脐点，分别⽤1λκ=和2λκ=代⼊(4.3)，得到相应的主⽅向1111:():()():()d u d vM F L E N G M F κκκκ=---=--- (4.10) 和2222:():()():()u v M F L E N G M F δδκκκκ=---=---. (4.11)将(4.3)改写成()()0,()()0.L d u M d v E d u F d v M d u N d v F d uG d v λλ+-+=??+-+=? (4.12)由于1,λ-不全为零，有 0Ldu M dv E du F dv M du N dv F du G dv++=++， (4.14)即22()()()0FL EM du G L EN dudv G M FN dv -+-+-=. (4.15) 上式可写成220dv dudv du E F G LMN-=. (4.16)(4.14)或(4.15)或(4.16)就是曲⾯上曲率线的微分⽅程.定理4.2 设p 是曲⾯:(,)S r r u v =上⼀个固定点，它的曲纹坐标为00(,)u v . 则在该点参数曲线的切⽅向是相互正交的主⽅向，当且仅当在该点有00(,)0F u v =，00(,)0M u v =. 此时，曲⾯S 在该点的两个主曲率分别为00100(,)(,)L u v E u v κ=，00200(,)(,)N u v G u v κ=.证明必要性. 在00(,)p u v 点，u -曲线和v -曲线相互正交，故000000(,)(,)(,)0u v F u vr u v r u v =?=. (1) ⼜00(,)u r u v ，00(,)v r u v是W 的特征向量，故()0000100(,)(,)(,)u u un u v W r u v r u v κ-==， ()0000200(,)(,)(,)v v vn u v W r u v r u v κ-==. 分别⽤,u v r r与上⾯两式作内积得00(,)0M u v =，并且00100(,)(,)L u v E u v κ=，00200(,)(,)N u v G u v κ=. (4.17)充分性. 由条件，0000(,)(,)0u v r u v r u v ?= ，即00(,)u r u v ，00(,)v r u v相互正交. ⼜00000000(,)(,)(,)(,)0u v v u n u v r u v n u v r u v ?=?=.因此()000000(,)(,)//(,)u u u n u v W r u v r u v -= ，()000000(,)(,)//(,)v v vn u v W r u v r u v -=，即00(,)u r u v ，00(,)v r u v是W 的特征向量. □下⾯的两个定理是定理4.2的直接推论.定理4.3 参数曲线⽹是正交的曲率线⽹的充分必要条件是0F M ==，此时222212I ,II Edu G dv Edu G dv κκ=+=+. (4.18) 定理4.4 在⾮脐点，定理4.3中的参数曲线⽹局部总是存在的. □注若曲⾯S 上没有脐点，则可取正交的曲率线⽹作为参数曲线⽹. 事实上，此时由(4.10)和(4.11)可确定两个相互正交的主⽅向:du dv 和:u v δδ. 从⽽有两个相互正交的⾮零向量场u v dr r du r dv =+ 和u v r r u r v δδδ=+，它们是连续可微的. 根据第三章定理4.1，这样的参数曲线⽹是存在的.若曲⾯S 上的点都是脐点，则曲⾯上任意曲线都是曲率线，此时任何正交参数曲线⽹都是曲率线⽹. 但是在孤⽴脐点邻近，未必有正交的曲率线⽹作为参数曲线⽹.⼆、W eingarten 变换在⾃然基底下的矩阵我们知道{},u v r r是切空间p T S 的基，称为p T S 的⾃然基. 在这组基下，设Weingarten 变换的矩阵为11211222a a A a a ??=，即()()()11211222,(),(),u v u v u v a a n n W r W r r r a a ??--==， (4.19) 也就是11122122(),().u u u v v v u v n W r a r a r n W r a r a r -==+??-==+? 分别⽤,u v r r与上⾯⼆式作内积得11211222a a L M E F a a MN FG ??= ? ? ???. 因此11121212221a aE F LM G F LM A a a F G MN FE MN EG F --===--21G L F M G M F NE MF L E NF ME GF --??=---. (4.21) 代⼊(4.19)得()()1,,u v u v E F L M W r r r r F G MN -=()21,u v G L FM G M FN r r EM FL EN FM EG F --?=---. (4.22)我们知道Weingarten 变换W 的特征多项式 ()10()d e t 0EF L M f I A FG M N λλλλ-=-=- ?121E F E L F M E L F MF GF MG NF MG NEG F λλλλλλλλ-----==-----.其中I 是单位矩阵. W 的特征值12,κκ是特征多项式()f λ的根，与基的取法⽆关，从⽽Gauss 曲率2122det LN M K A EG Fκκ-===-和平均曲率12212trace 222()LG M F NE H A EG F κκ+-+===-与参数取法⽆关，是曲⾯的⼏何不变量.Gauss 曲率K 的⼏何意义：从(4.19)可得1112212211221221()()()u v u v u v u v u v n n a r a r a r a r a a a a r r K r r ?=+?+=-?=? .因此曲⾯S 上⼀个区域D 在Gauss 映射g 下的像()g D 的⾯积元素 0||||||||u v u v d n n dudv K r r dudv K d σσ=?=?= . (4.23)所以()g D 的⾯积()0()||()g D DA d K d g D σσ==.根据积分中值定理，存在pD ∈使得 ()|()|||()()()DA K pd K p A D g D σ==? .让区域D 收缩到⼀点p D ∈，取极限得到(())|()|lim()D pA g D K p A D →=. (4.25)这个公式是曲线论中||()limlim||s s s s sθθκ?→?→??==??的⼀个推⼴,其中θ?是曲线上⼀段由s 到s ?的弧在切线像α下的弧长.三、第三基本形式定义设(,)n u v 是曲⾯:(,)S r r u v =的单位法向量. ⼆次微分式22III 2dn dn e du f dudv g dv =?=++ (4.27)称为曲⾯S 的第三基本形式，其中()()22,,u u v v e n f n n g n ==?= . (4.28)注利⽤Gauss 映射，第三基本形式0III I g *=，其中0I 是单位球⾯2S 的第⼀基本形式. 定理4.5 曲⾯:(,)S r r u v =上的三个基本形式满⾜III 2II I 0H K -+=. 证明因为Weingarten 变换W 的特征多项式为2()2f H K λλλ=-+，所以 220W H W K I -+=.其中::p pI T S T S X X →是单位变换. 于是有 ()()()()()2()()()(2)()22.u u u u u u u uu u u e n n W r W r W r r H W K I r r H n K r r H L K E =?=?=?=-?=--?=-同理可得2u v f n n HM KF =?=- ，2u v g n n HN KG =?=-课外作业：习题2，4，6§ 4.5 Dupin 标形和曲⾯参数⽅程在⼀点的标准展开设(,)p u v 是曲⾯:(,)S r r u v = 上⼀个固定点，12,e e是p 点的两个相互正交的单位主向量 (即Weingarten 变换的特征向量)，对应的主曲率为12,κκ. 对单位切向量12cos sin e e e θθ=+([0,2]θπ∈)，沿该⽅向的法曲率为2212()cos sin n κθκθκθ=+. 当()0n κθ≠时，在p 点的切平⾯π中取⼀点q 使得)1211cos sin pq e e θθ==+. (5.3)p 点切平⾯π中这样的点q 的轨迹称为曲⾯S 在p 点的Dupin 标形(或标线indicatrix ).在平⾯π中取直⾓标架{}12;,p e e, 现在来导出Dupin 标线的⽅程.设轨迹上的点q 在此坐标系中的坐标为(,)x y . 则)1212cos sin xe ye pq e e θθ+==+.因此1x θ=，1y θ=. (5.4)由Euler 公式得到2212sgn(())n x y κκκθ+=. (5.5)这就是Dupin 标线的直⾓坐标⽅程，它是平⾯π中的⼆次曲线. 如果在平⾯π中取极坐标系，那么Dupin 标线的极坐标⽅程可由(5.3)⽴即得到：()ρρθ==当p 点的Gauss 曲率120K κκ=>时，()n κθ，1κ，2κ同号，Dupin 标线(5.5)是⼀个椭圆2212||||1x y κκ+=. (5.6) 当120K κκ=<时，1κ，2κ异号，Dupin 标线(5.5)是两对共轭双曲线2212||||1x y κκ-=±. (5.7)它们的公共渐近线的⽅向正是曲⾯S 在p 点的渐近⽅向00:cos :sin du dv θθ=.当120K κκ==时，若1κ，2κ不全为零，Dupin 标线(5.5)是两条平⾏直线x =±(20κ=) 或y =±(10κ=). (5.8)当p 点为平点，即120κκ==时，Dupin 标线不存在.定义. 设p S ∈，若()0K p >，则称p 点为曲⾯S 上的椭圆点；若()0K p <，则称p 点为曲⾯S 上的双曲点；若()0K p =，则称p 点为曲⾯S 上的抛物点.下⾯考察曲⾯S 在⼀点p 邻近的形状. 在p 点邻近取正交参数曲线⽹(,)u v ，使得p 点对应的参数为(0,0)，且(0,0)u r，(0,0)v r是p 点的两个单位主向量. 则(0,0)(0,0)(0,0)u v n r r =?，且在p 点有(0,0)(0,0)E G ==，(0,0)(0,0)0F M ==，1(0,0)L κ=，2(0,0)N κ=. (5.9)以标架{}123;(0,0),(0,0),(0,0)u v p e r e r e n === 建⽴3E 的坐标系. 根据Taylor 公式，(,)(0,0)(0,0)(0uvr u v r r u r v =++22212(0,0)2(0,0)(0,0)()u u u v v v r u r u v r v o ρ??+ +++?, (5.10)其中ρ=. 由于(0,0)0r p p == ，31(0,0)(0,0)uu r e L κ?==， 3(0,0)(0,0)0uv r e M ?==，32(0,0)(0,0)vv r e N κ?==， (5.11)(5.10)可化为()()()2221121232(,)()()()r u v u o e v o e u v oe ρρκκρ=++++++. (5.12)(5.12)称为曲⾯S 在p 点的标准展开.当ρ=我们得到S 的近似曲⾯S *，在标架{}123;,,p e e e 下，S *的参数⽅程为()221122(,),,()r u v u v u v κκ*=+ ，显式⽅程为 221122()z x y κκ=+. (5.14)直接计算可知近似曲⾯S *与原曲⾯S 在p 点相切(即它们的切平⾯相同). 并且沿着p 点切空间的任何相同的切⽅向，两者有相同的法曲率，即在p 点具有公共切⽅向的法截线有相同的曲率和相同的弯曲⽅向.在椭圆点p ，近似曲⾯S *是椭圆抛物⾯. S *在p 点是凸的.在双曲点p ，S *是双曲抛物⾯. S *在p 点不是凸的，且p 点的切平⾯与S *相交成两条直线，它们是S *上过p 点的两条渐近曲线.在⾮平点的抛物点p ，S *是抛物柱⾯，p 点的切平⾯与S *相交成⼀条直线，是S *上过p 点的渐近曲线.在平点p ，S *是平⾯. 此时，要考察曲⾯S 的近似形状，需要将Taylor 展式(5.10)展开到更⾼阶的项. 见例5.2.⽤平⾯12z =±去截近似曲⾯S *，再投影到p 点的切平⾯上，就得到p 点的Dupin 标线.例5.1 考察圆环⾯()(cos )cos ,(cos )sin ,sin r a r u v a r u v r u =++，2(,)u v ∈R上各种类型点的分布，其中常数,a r 满⾜0a r >>.解 ()sin cos ,sin sin ,cos u r r u v u v u =-- ，()(cos )sin ,cos ,0v r a r u v v =+-， ()(cos )cos cos ,cos sin ,sin u v r r r a r u u v u v u ?=-+ ，()cos cos ,cos sin ,sin n u v u v u =-.()1sin cos ,sin sin ,cos u u n u v u v u r r =-=- ，()cos cos sin ,cos ,0cos v v u n u v v r a r u=-=-+.所以两个主曲率为121cos ,cos u r a r uκκ=-=-+.Gauss 曲率和平均曲率分别为其中0a ≥. 它的母线是xO z 平⾯上的曲线：()z f x =. 则由()cos ,sin ,()u r v v f u '= ，()sin ,cos ,0v r u v u v =-.)()cos ,()sin ,1n f u v f u v ''=-- ，()0,0,()uu r f u ''= ，()sin ,cos ,0uv r v v =-，()cos ,sin ,0vv r u v u v =--.可得()21E f '=+，0F =，2G u =， (6.2)L ''=，0M =，N '=. (6.3)因此参数曲线⽹是正交的曲率线⽹. 由定理4.2，主曲率为()13/221L f E f κ''=='+， ()21/221N f Gu f κ'=='+.于是Gauss 曲率和平均曲率分别为 ()221f f K u f '''='+， ()23/22(1)21f f uf H u f ''''++='+. (6.4)⼀、Gauss 曲率K 为常数的旋转曲⾯如果K 是常数，则函数()f u 应满⾜()2211K u f ''=-??'+??. (6.5) 积分得到2211C K u f =-'+， (6.6)其中C 为积分常数. 即有2221C Ku f C Ku-+'=-.于是()f u =±?. (6.7)1.若0K =，则()f u Au B =+，其中A =，B 为积分常数. 当0A =时，S 是平⾯；当0A ≠时，S 是圆锥⾯. 另⼀个0K =的旋转曲⾯是圆柱⾯()cos ,sin ,r a v a v u =，它不能写成(6.1)的形式.2.若0K >，令21a K =(0a >). 则由(6.6)可知0C >. 设2C b =(0b >). (6.7)化为()f u =±?. (6.9)若21b =，则()f u c =±=+?. (6.10)于是S 是由xO z 平⾯上的半圆弧222()x z c a +-=(0x u =>)绕z 轴旋转⽽成的球⾯.当21b >或201b <<时，由(6.9)定义的函数()f u 仍然存在，但旋转曲⾯S 不是球⾯，虽然S 的Gauss 曲率也是常数21a K =.3.若0K <，令21aK =-(0a >).则由(6.6)可知1C <.设21C b =-(0b >). (6.7)可化为()f u =±?. (6.11)若21b =，则[]()ln(sec tan )sin f u a c u=±=±+-+?，其中arccosu a=. 不妨设积分常数0c =. 则旋转曲⾯S 的母线是xO z 平⾯上的两条曳物线[]c o s ,l n (s ec t a n )s i n .x u az a ==??=±+-? (6.13)其中0z >的⼀⽀绕z 轴旋转⽽得的旋转曲⾯S 称为伪球⾯，它的参数⽅程为[]()c o s c o s ,c o s s i n ,l n (s e c t a n )s i n r a a a ?θ?θ=+-， (,)(0,/2)(0,?θππ∈?. (6.14)当21b >或201b <<时，由(6.11)定义的函数()f u 给出Gauss 曲率为负常数的旋转曲⾯的其他例⼦.⼆、旋转极⼩曲⾯平均曲率0H ≡的曲⾯称为极⼩曲⾯. 现在我们来研究有哪些旋转极⼩曲⾯. 由(6.4)可知函数()f u 应满⾜2(1)0f f uf ''''++=. (6.16)也就是()211f uf f ''=-''+.则()()222222ln()ln(1)2ln 1f f f f u uf f '''''''??-+==-=-??'+.积分得2221f Cf u'='+， (6.17)其中积分常数0C ≥.如果0C =，则()f u A =是常数，从⽽S 是平⾯z A =.如果2C a =，0a >. 则22211u C f u-='+，即f '=±故(()ln f u a u c ??=±=±++. (6.19)不妨设积分常数ln c a =-. 令(ln ua. 则cosh u a t =，S 的参数⽅程可改写为()cosh cos ,cosh sin ,r a t v a t v at =，(,)(0,2)t v π∈? .这个旋转极⼩曲⾯S 称为悬链⾯.⽤变分法可以证明，如果在所有以给定曲线C 为边界的曲⾯中，S 的⾯积达到最⼩值，则S ⼀定是极⼩曲⾯.极⼩曲⾯是微分⼏何研究的重要课题之⼀. ⼀百多年来，数学家们在关于以已知曲线为边界的极⼩曲⾯的存在性的Plateau 问题，⼤范围极⼩曲⾯的性质，极⼩曲⾯在⾼维的推⼴⽅⾯作了⼤量的⼯作，取得了丰富的成果.在极⼩曲⾯上，Gauss 曲率21210K κκκ==-≤，只有平点或双曲点. 在双曲点，2个渐进⽅向是正交的. 事实上，根据Euler 公式，渐近⽅向与主⽅向的夹⾓θ满⾜cos 20θ=.著名的Bernstein 定理是说：极⼩图只能是平⾯，即习题6中的⼆阶偏微分⽅程22(1)2(1)0y xx x y xy x yy f f f f f f f +-++=的定义在全平⾯上的解只能是线性函数.平均曲率H 为⾮零常数的曲⾯，即常平均曲率曲⾯，也是微分⼏何研究的⼀个重要课题. 课外作业：习题2，4，6。
3.3 第二基本形式
3.3曲面的第二基本形式-例子
于是有
n
L
( p, q,1) 1 p q
2 2
,
,
M s 1 p q
2 2
r 1 p q
2 2
,
N
t 1 p2 q2
.
2 2 r d x 2 s d x d y t d y .
II
1 1 意义
定理. 如图，II ≈ 2d .
n P' S
P
d ≈ II/2
Q(dx,dy)
p
证明见这里．
练习题 １．求正螺面 r(u,v) = (aucosv, ausinv, bv) 的 第二基本形式． ２．求旋转抛物面 r(u,v) = (ucosv, usinv, u2) 的第二基本形式． ３．求圆柱面 r(u,v) = (Rcosv, Rsinv, u) 的第 二基本形式． ４．求悬链面 r(u,v) = (acoshucosv, acoshusinv, au) 的第一、第二基本形式，其中 coshu = ½(eu + e-u)．
3.3 曲面的第二基本形式
内容：第二基本形式的概念、计算与 几何意义 重点：第二基本形式的计算
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3.3 曲面的第二基本形式-概念
设曲面 S: r = r(u,v)，n = (ru×rv) / |ru×rv| 是 它的单位法向量．称二次型 II = n ⋅ d2r 为曲 面的第二基本形式．容易算出 II = Ldu2 + 2Mdudv + Ndv2, 其中 L = ruu ⋅ n，M = ruv ⋅ n，N = rvv ⋅ n．函 数 L、M 和 N 都叫曲面的第二类基本量． 由于 n ⋅ dr = 0，两边求微分可得 n ⋅ d2r = – dn ∙ dr， 因此 II = – dr ⋅ dn．由此可得 L = – ru ⋅ nu, M = – ru ⋅ nv = – rv ⋅ nu, N = – rv ⋅ nv.
微分几何 §3 曲面的第二基本形式
t , 1+ p + q ∂ z ∂ z ∂ z s= ,r = ,t= ∂y ∂x ∂x∂y
2 2
2
2
2
2
2
注1 第二基本形式不是正定型： 2、参数变换下最多差有一个符号：
3.2 曲面上曲线的曲率
给出曲面S 给出曲面S ：r=r(u,v)及 S上曲线C：u=u(s),v=v(s) 上曲线C P是C上一点对应参数为s，则对C有 对应参数为s，则对C
2 2
两个共轭方向满足 两个共轭方向满足
L duδu + M (duδv + dvδv ) + N 0 dvδ v = 0
0 0
给出曲面上的两族曲线,如果过曲面上每一点, 给出曲面上的两族曲线,如果过曲面上每一点,此两族 曲线的两条曲线的切方向都是共轭方向, 曲线的两条曲线的切方向都是共轭方向,则这两族曲 线称为曲面上的共轭网 线称为曲面上的共轭网
r r r r = α， = k β， ⊥ α，β ⊥ α， n，β 共面,设n，β 夹角θ , 则 r n ⇒ r r 2 II= r n( ds ) = k β n( ds ) 2 = k cos θ ( ds ) 2 = ( ds ) 2 I
2 2 2 2
n
II Ldu + 2 Mdudv + Ndv ∴ k cos θ = = Edu + 2 Fdudv + Gdv I
所以第二基本形式 基
II = −( R cos 2 θ dϕ 2 + Rdθ 2 )
对于曲面 r = {x , y , z ( x , y )} 有
r L = r ⋅n = , 1+ p + q
xx 2 2
曲面的第二基本形式在曲面论中的作用
曲面的第二基本形式在曲面论中的作用1引言为了研究曲而在空间中的弯曲性而引入了曲面的第二基本形式，它近似等于曲而与切平而的有向距离的两倍，从而刻画了曲而离开切平而的弯曲程度，即曲面在空间中的弯曲性，并且与曲而的第一基本形式共同构成了曲而论的基本左理.从而确立了曲而一点附近的结构与形状.由此可见曲而的第二基本形式在曲面论中的作用举足轻重，同时由它引出的曲而的几何性质又是曲而论中的难点.本文将主要通过对曲而的各种曲率（如法曲率，测地曲率，主曲率等），曲面上的各种特殊曲线（如渐近线，曲率线等）和曲线网（如曲率网，共辄网等），曲而上点的类型（如椭圆点，双曲点等）等内容的讨论举例来阐述曲而的第二基本形式在曲面论中的作用.2曲面的第二基本形式定义曲面的第二基本形式C’类曲W5: r = r ，曲线（C）： 7 = F（s）（s 为自然参数）为S 上过一固左点P的曲线，兀为S在P点的切平而，万为曲面在P点的单位法向量，则n • rds~ = n • r ia du2+ 2n • r ia dudv+n • r v dv2（ 1 ）令L = r lui-n , M =r w-h , N =心•斤（2）则（1）式变为II =n d2r=n-d2f = Lehr + 2Mdudv + Ndv2（ 3 ）称之为曲而的第二基本形式，它的系数厶、M、"称为曲面的第二类基本量.它就近似等于曲而到切平而有向距离的两倍.此外，对关系式而•（护=0微分得dn-dr + h = 0所以曲而的第二基本形式也可写为II =h-d2r = -chi-dr .一般来说曲而第二基本形式的这种表达方式主要应用于曲而相关性质的证明.计算曲面的第二基本形式所以根据以上公式来讣算曲面的第二基本形式.例1讣算球而F ={Rcos&cos 0,7?cos Osin® RsinO}的第二基本形式.球而方程为 F ={RcosOcos%/?cos&sin0,Rsin&},所以有r Q ={-/? cos Osin®/? cos Ocos 0,0} , f e = [-R sin ^cos (p y —R sin ^sin (p. R cos 0}于是得E = f 9^=R 2 COS 26>,F = B •爲=0,G = r 0r d =R 2所以r x 7^, = =(cos Ocos (p. cos Osin cp 、sin 0}J EG _心={-Rcos&cos0-7?cos&sin09O}心={/?sin Osin 0,-7? si n& cos®0}J ={-7?cos&cos0-/?cos&sin0-Rsin&},所以厶=和•万= -Rcos~ 0> M =忌亓=°, N =①• ii = _R因而〃=-(/? cos'& + -/?)・3法曲率法曲率设(C): f = [M (5),v(^)] = r(5)为曲而S 上经过一固定点P 的一条曲线.k 为曲线(C)在P 点的曲率，&为B 和斤间的夹角(0<6><^),则有 由于曲而的单位法向量亓一 EH. _ y|兀"| J EG -尸'代入(2)中得 1/1-I Edu 2+2Fdudv + Gdv 2对于曲而上的法截线（C （J 有00 = ±亓，%=0或兀，cos& = ±l所以它的曲率于是我们将k _I1 _ Lclu 2 + IMdudv + N 小3"一厂 Edu 2 + 2Fdudv + Gdv 2称之为曲面在一点沿所取方向的法曲率.|2,（Pl58H59>II>0时，k n = k 0 ,法截而朝切而的正向弯曲：IIVO 时，气=—%,法截而朝切面的负向弯曲：11 = 0时，人=心=0,法曲率和法截线曲率都等于零. 例1求抛物面 -（。
微分几何曲面论曲面的第二基本形式
(5 )若(曲 S ):z 面 f(x ,y)则 .r {x ,y ,z (x ,y )， }
于 r r x xx 是 {{0 1 ,,0 0,,rp }} ， ， r rxyy{{00,,10,,qs}}， ， ryy{0,0,t}，
其
中 p
f ，q x
fy，r 2 xf2， sx2fy， t2 yf2 .
(1 4 a 2 x 2 )d2 x 8 a 2 xy d (1 4 x a 2 y d 2 )d2 y .y
I I r d2 x 2 s dx dty d2
1 p 2 q 2
1 p 2 q 2
1 p 2 q 2
2 a
d2x
2 a
d2y
14 a2x24 a2y2
14 a2x24 a2y2
E r 2 R 2c2 o,F sr r 0 ,G r 2R 2,
n rr
EGF2
R 2c 1o sR R s ce io 1 n c ssio ns R R cso e i2 c n s so in sR c e 0 3o s
{c c o o ,c ss o s s i,s n i} n
与定义比较可知：
L r u n u r u n u , M r un v r u n v rvnu, N r v v n r v n v . ( 4 ) 事I 实 上I ，d n d n r d r 0 ， d n d r n 2 d r 0 ， 故 I n I 2 d r d n d r .
例4 在球面上验证梅尼埃定 理. 证：
(C )C . P
n (C 0 )
3.3 杜邦(Dupin)指标线
II Ld 2u 2Md uNd2 dvv knI Ed 2u 2Fd uG d2 d v v
微分几何-§3-曲面的第二基本形式PPT优秀课件
k
n
f
( p,
du ) dv
S上点p的切方向d和曲面的法向确定的平面称为曲面 上一点处沿切方向的法截面 ，法截面 和曲面的交线 就是P点处沿切方向的法截线 对法曲率，是否存在一条曲线使得这条曲线的曲率就 是法曲率呢？只要 cos 1即可，这就是法截线
n
7
梅尼埃定理：曲面上曲线 在给定点p处的曲率中
证明:因为直线的曲率 k 0 ,所以沿直线方向的 法曲率 kn kcos0,即
Ld u22M d u d vNd v20
因而直线是曲面的渐近曲线.
13
命题2 曲面在渐进线上一点的切平面一定是渐进曲 线的密切平面
证明:沿渐近曲线有 kn kcos0得到
k0或 cos0.
当 k 0 时, 渐近曲线是直线,这时曲面的切平面
计算公式2：因为 n d r 0 d n d r n d 2 r 0
所以 IIdndr 可得
L n u r u , M r u n v , N n v r v
3
例1 求球面 r { R c o sc o s,R c o ss i n ,R s i n }
的第二基本形式
解：n {cos cos , cos sin , sin }
I Ed2 u2FduG dvd2 v
只要在p点及与C相切的曲线，这个值不变，这就是曲面 在P点沿C方向的法曲率 定义3.4.2 设点P是曲面上曲线C上一点, k是C在点p 的曲率,. 则称 k 为C在点p的曲率向量, 称 k n 为在 曲面S上的点P处沿曲线C的切方向的法曲率.记为 k n
6
曲面法曲率是曲面上点P和方向 (d ) 的函数 同一点只要方向相同，则法曲率相同
所以第二基本形式 II (R co s2d 2R d 2)
第四章曲面论基本定理
（25）
求曲面 z = f ( x, y ) 的 Christoffel 记号。 因为已经给出了曲面方程，我们用运动公式（ 16 ）出发直接求 Γ
α βγ
，曲面的参数
方程是
r ( x, y ) = ( x, y, f ( x, y )),
因此 x, y 分别对应于 u , u .Γ
1 2 1 11 就是 xx
γ Dβ = −bβ γ
γ
γ
（15）
由于 n 是单位向量场，故从（ 11）式得到 Dβ = 0 ，综上所述， （ 11 ）式成为
∂rα = Γγ αβ rγ + bαβ n β ∂u ∂n = −b γ r β γ ∂u β
现在我们来求 Γ
γ αβ
（16）
。
在（ 16 ）的第一式两边点乘 rξ ，则得
实际上，
（8）
g 11 g 21
g 12 1 g 22 = g 22 g − g 21
− g 12 。 g11
（9）
采用上述记号，曲面上的自然标架就成为 {r , r1 , r2 , n} ，要考虑的是自然标架场的运动 公式。着先，标架原点的微商根据定义为
（13）
下在我们引进用第一类基本量（ g αβ ） 将一组带指标的量的上指标或下指标下降或上升 的概念。命
bβ = bβξ g γξ
把 bβ 看成是将 bβγ 的指标 v 借助于（ g
γ bβ = bβξ g γξ
γ
（14 ）
αβ
γ
）上升的结果，这个过程是可逆的。即
（ bβ ）这组量与（ bβγ ）是彼此 故 bβγ 恰是将 bβ 的指标借助于（ g αβ ）下降的结果。 决定的。这样，所求的系数是
§2 法曲率
第四章 曲面的第二基本形式与曲面上的曲率§2 法曲率曲面上的曲线的行为，必然受到曲面几何性质的制约，而反过来又可以表现出曲面的某些几何性质．在Euler 时代，曲面通常理解为由曲线构成，曲面的截线往往成为关注的对象；同时，截线法自然成为揭示曲面几何性质的重要方法——至今仍然是最具直观的基本方法之一．一．曲面上曲线的曲率考虑曲面 S : r = r (u , v ) 上的弧长 s 参数化曲线 C : {u = u (s )v = v (s )的曲率向量的行为．C 的单位切向为T (s ) = r u (u (s ), v (s )) d u d s + r v (u (s ), v (s )) d v d s ，沿曲线 C 满足d s 2 = (E d u 2 + 2F d u d v + G d v 2)|u = u (s ), v = v (s ) ．沿曲线 C 的单位正交右手标架场{r (u (s ), v (s )); n (u (s ), v (s )), T (s ), n (u (s ), v (s ))×T (s )}n ×T 及其运动公式，将曲线和曲面的弯曲程度紧紧联系在一起；其中曲线的曲率向量T ′(s ) 在此标架下的分量，可预期成为重要的几何量．事实上，利用曲面的两个基本形式，曲率向量的上图4-3述分量有下列沿曲线 C 的计算：T ′(s )•n (u (s ), v (s ))= d d s ⎝⎛⎠⎞r u (u (s ), v (s )) d u d s + r v (u (s ), v (s )) d v d s • n (u (s ), v (s )) = ⎝⎛⎠⎞r uu •n ⎝⎛d u d s 2 + 2r uv •n d u d s d v d s + r vv •n ⎝⎛⎠⎞d v d s 2 |u = u (s ), v = v (s ) = ⎝⎛⎠⎞L ⎝⎛⎠⎞d u d s 2 + 2M d u d s d v d s + N ⎝⎛⎠⎞d v d s 2 |u = u (s ), v = v (s ) = Ⅱ d s 2 |u = u (s ), v = v (s ) = Ⅱ Ⅰ|u = u (s ), v = v (s ) ； T ′(s )•[n (u (s ), v (s ))×T (s )] = (T ′(s ), n (u (s ), v (s )), T (s )) ．定义1 曲面 S : r = r (u , v ) 上的曲线 C 在点 r (u , v ) 处的曲率向量分解为(2.1) d T d s = κn n + κg n ×T ，则称 κn n 为曲线 C 在曲面 S 上的法曲率向量(场)，称 κn 为曲线 C 在曲面 S 上的法曲率(函数)；称 κg n ×T 为曲线 C 在曲面 S 上的测地曲率向量(场)，称 κg 为曲线 C 在曲面 S 上的测地曲率(函数)．例1 以下各条事实具有明显的几何直观，通过简单运算也可验证． ① 曲面 S 上若有直线 C ，则 C 在曲面 S 上的法曲率和测地曲率恒为零；反之亦然．② 对于圆柱面 S 上的纬圆 C ，C 的曲率向量是 S 的内法向，C 的测地曲率恒为零，法曲率为非零常数．③ 对于平面 S 上的曲线 C ，C 在 S 上的法曲率恒为零，测地曲率即为相对曲率．④ 曲面 S 上曲线的法曲率不是曲面的等距不变量．⑤ 球面上的圆周的法曲率和测地曲率都是常数． □本节着重讨论法曲率的概念，而测地曲率将留待下一节以及第六章中进行详细讨论．根据前面的计算结果，法曲率(2.2) κn = T ′(s )•n (u (s ), v (s )) = Ⅱ Ⅰ |u = u (s ), v = v (s )只依赖于点 r (u (s ), v (s )) 以及曲线 C 的切向 (d u , d v )|u = u (s ), v = v (s ) ．因此，法曲率可以改写为点 P : r (u (s ), v (s )) 和切向微元 d r |u = u (s ), v = v (s ) 的函数κn = κn (P ; d u (s ):d v (s )) ，并导致下述结果．定理1(Meusnier) 若曲面上的两条曲线在点 P 相切，则它们在点 P 处具有相同的法曲率．定义2 过曲面 S 上点 P 处法线的平面称为曲面 S 的法截面；法截面与曲面 S 的交线称为曲面 S 的法截线．注记1 给定曲面 S 上点 P 处的切向微元 d r ，存在曲面 S 的唯一一条法截线以 d r 为切向．n (P )=N(P ) ) 图4-4推论 曲面 S 上的曲线 C 在点 P 处的法曲率，等于曲面 S 上的与曲线 C 在点P 处具有相同切向的法截线 C * 在点 P 处的法曲率，等于 C * 在法截面标以正向(T ×n )|P 时的相对曲率． 二．曲面的法曲率由于法曲率只依赖于曲面的点和切向，可以脱离曲线而存在，故可用以定义曲面上的相应概念．定义3 给定曲面 S 上在点 P 处的任一切向 d r ∈T P −{0} ， S 上过点 P 且以 d r 为切向的曲线在点 P 处的法曲率，称为曲面 S 在点 P 处沿切向 d r 的法曲率．注记2 给定曲面 S 上点 P 处的切向微元 d r ，法曲率可以改写为点 P : r (u , v ) 和切向微元 d r 的函数(2.3) κn = κn (P ; d r ) = κn (P ; d u :d v ) = ⅡⅠ|P , d u :d v ． 例2 ① 平面的法曲率恒为零．② 球面的法曲率恒为常数，其绝对值是球面的半径的倒数．③ 对于 a , b = const. , 0 < a < b ，圆环面r (θ, ϕ) = ((b + a cos ϕ ) cos θ , (b + a cos ϕ ) sin θ , a sin ϕ)具有第一基本形式Ⅰ = (b + a cos ϕ )2 d θ 2 + a 2 d ϕ2和第二基本形式Ⅱ=−(b+a cosϕ ) cosϕ dθ 2−a dϕ2．此圆环面的法曲率κn=κn(P; dθ:dϕ)=ⅡⅠ=−(b+a cosϕ ) cosϕ dθ 2−a dϕ2(b+a cosϕ )2 dθ 2+a2 dϕ2；沿着其经线圆周ϕ线切向的法曲率为κn(P; 0:1) =−(b+a cosϕ ) cosϕ dθ 2−a dϕ2(b+a cosϕ )2 dθ 2+a2 dϕ2|dθ:dϕ= 0:1=−1a；沿着其纬线圆周θ线切向的法曲率为κn(P; 1:0) =−(b+a cosϕ ) cosϕ dθ 2−a dϕ2(b+a cosϕ )2 dθ 2+a2 dϕ2|dθ:dϕ= 1:0=−cosϕb+a cosϕ .例3已知曲面S: r=r(u, v) 的两个基本形式的全部系数，则在点P0: r(u0, v0) 处沿切向r u的法曲率为κn(P0; r u(u0, v0))=L(u0, v0)E(u0, v0) ；在点P0处沿切向r v的法曲率为κn(P0; r v(u0, v0))=N(u0, v0)G(u0, v0) ． □习 题⒈ 求下列正则曲面的法曲率：①r= (cos v , sin v , u+v) ；② r= (u cos v , u sin v , v) ；③ r= (u , v , f(u, v)) ；④ r= (f(u) cos v , f(u) sin v , g(u)) ．⒉对于例2中的圆环面，讨论其法曲率在何处、沿何切向取到最大值或最小值．⒊ 取定正则曲面S: r(u, v) 上过点P0: r(u0, v0) 的正则曲线C；S的过点P0与C相切于点P0的法截面记为Π0；C向Π0的垂直投影曲线记为C* ．试证：C在点P0关于S 的法曲率，等于C* 在点P0关于适当定向后的Π0的相对曲率．⒋对正则曲面S: r(u1, u2) 上的正则曲线C，沿C取S的切平面构成单参数平面族；已知该族平面具有包络面S* ．试证：C关于S的测地曲率，等于C关于S* 的测地曲率．⒌已知正则曲面S的法曲率只与点有关而不依赖于切向选取．试证：S或是平面片，或是球面片．⒍设两张正则曲面S和S* 的交线C具有曲率κ，并且C关于S的法曲率为κn，C关于S* 的法曲率为κn* ．记曲面S和S* 沿交线C各点有交角θ．试证：κ2 sin2θ= (κn)2+ (κn*)2− 2κnκn* cosθ．⒎ 当曲面的第二基本形式是自变量微分的正定的二次型时，曲面的局部形状大致如何？对于二次型的其他情形，相应进行讨论．。
曲面的第二基本形式
§2.3 曲面的第二基本形式一、曲面的第二基本形式二、曲面曲线的曲率三、Dupin指标线四、曲面的渐近方向和共轭方向五、曲面的主方向和曲率线六、曲面的主曲率、Gauss曲率和平均曲率七、曲面在一点邻近的结构八、Gauss映射一、曲面的第二基本形式SQπn单位法向量δ(,)(,)(,),uu u v u v L r u v n =⋅ 其中,uv M r n =⋅ .vv N r n =⋅222II d d 2d d d ,n r L u M u v N v ==++ 曲面的第二基为本形式称(,),(,),(,).L u v M u v N u v 称为曲面的第二类基本量PP '2II d d n r n ⋅⇒=-=例P114-23. Meusnier(梅尼埃)定理00.P C P C ΓΓΓΓ曲面曲线在给定点的曲率中心就是与曲线具有共同切线的法截线上同一个点的曲率中心在曲线的密切平面上的投影Meusnier 定理揭示了平面截线与法截线之间的联系.请理解课本内容后及时独立地完成如下作业！P114: 3，4, 5补充作业题32.3.2.()(,)()()C r u R u v r u vr u '=+ 求类曲线的切线面().u v c c +=上的曲线为常数的法曲率2.3.1.(,)(cos ,sin ,sin 2)r u v u v u v v =求曲面的第一类基本形式和第二类基本形式.4. 根据Dupin指标线的形状对切点进行分类(1)椭圆点20LN M ->(2)双曲点20LN M -<(3)抛物点2,,0LN M L M N ⎧-=⎨⎩不同时为(4)平点0L M N ===Dupin 指标线不存在请理解课本内容后及时独立地完成如下作业！P115: 24补充作业题232.3.3.(,)(,,)r u v u v u v =+ 求曲面上的抛物点、.椭圆点和双曲点的集合2.渐近曲线每一点的切方向都是渐近方向的曲面曲线.渐近曲线的微分方程22L u v u M u v u v N u v v++=(,)d2(,)d d(,)d0P93 命题1如果曲面上有直线则它一定是曲面的渐近曲线,. P94 命题2曲面在渐近曲线上一点处的切平面一定是渐近曲线的密切平面.3. 渐近网如果曲面上的点都是双曲点,则每个点处都有两个不相切的渐近方向,在曲面上会有两族渐近曲线,称曲面上这两族曲线为的渐近网.P94 命题30.L N≡≡曲纹坐标网为渐近网的充要条件是.此时渐近曲线的微分方程就渐近网的微分方程是4. 共轭方向直径一族平行弦的中点的轨迹.直径AB 的共轭直径AB 平行于的弦的中点的轨迹.Dupin ,,.P P 设曲面上点处的某两个切方向所在的某直线段是点处指标线的共轭直径则称这两个切方向互共轭曲面的为共轭方向相共轭方向的等价定义(d)d :d (δ)δ:δ.d δ(d δd δ)d δ0P P P L u u M u v v u N P u v u v v v +++===曲面的共轭曲面上点处的两个切方向和为当方向当且仅共轭其他等价定义d δ0n r ⋅=⇔ d 0n r δ⇔⋅= 渐近方向为自共轭方向.,,.如果曲面上的两族曲线使得过曲面上的每一点此两族曲线的两条曲线的切方向都是共轭方向则称这曲面的族曲线为共轭网两5. 共轭网共轭网的微分方程(已知一族曲线, 求它的共轭曲线族)(,)d δ(,)(d δd δ)(,)d δ0.L u v u u M u v u v v u N u v v v +++=P96 命题4(,)0.M u v ≡曲纹坐标网为共轭网的充要条件是2. 主方向判别定理(Rodrigues(罗德里格斯)定理)(d)(d :d )d d ;u v n r λλ=∃=是主方向的充要条件是使,(d).n n k k λ=-在上述条件下有其中为沿方向的法曲率曲率线网及其应用(Ref: Spectral Quadrangulation with Orientation and Alignment Control)(Ref: Extracting lines of curvature from noisy point clouds,,.对于曲面上任意两族不相切的曲线族都可以通过参数选择使其成为曲纹坐标网,,,特别地在不含脐点的曲面上可以经过参数选择使曲率线网成为曲纹坐标网.P99 命题5(,)(,)0.F u v M u v ≡≡曲面上的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是例如(,)(()cos ,()sin ,()),0,r t t t t F M θϕθϕθψ=≡≡在旋转面中它的曲纹坐标网就是曲率线网.请理解课本内容后及时独立地完成如下作业！P114: 13补充作业题求曲面上的脐点xyz2.3.5.1.六、曲面的主曲率、Gauss 曲率和平均曲率1. 主曲率主方向上曲面上一点处的法曲率.沿曲率线即：曲面方向的上一点处法曲率.2. Euler 公式()法曲率随着切方向变化映的规律反2212cos sin n k k k θθ=+SπP1k 2k nk θ请理解课本内容后及时独立地完成如下作业！补充作业题2.3.6.2.xy z =求双曲抛物面的两个主曲率之比122.3.7.(cos ,sin ,)Gauss ,.r u v u v u v K H k k =+求螺旋面的曲率、平均曲率和主曲率2.3.8.,Gauss .S S K H 证明：如果曲面上的渐近曲线网的夹角是常数则曲面的曲率和平均曲率的平方成比例P114: 18.1()d 2()d nP开口向下的抛物线开口向上的抛物线开口向下的抛物线)00(,2)πθπθ+-(2π-1(d 2()d nP。
第四章曲面论基本定理
∂r = rα ∂u α
另外，既然 r1 , r2 , n 是线性无关的，不妨假定。
（10 ）
∂rα γ = Γ αβ rγ + Cαβ n, ∂u β ∂n = D γ β r + D n γ β ∂u β
其中 Γ
γ αβ
（11）
， Cαβ ， Dβ ， D β 都是待定系数。
（25）
求曲面 z = f ( x, y ) 的 Christoffel 记号。 因为已经给出了曲面方程，我们用运动公式（ 16 ）出发直接求 Γ
α βγ
，曲面的参数
方程是
r ( x, y ) = ( x, y, f ( x, y )),
因此 x, y 分别对应于 u , u .Γ
1 2 1 11 就是 xx
Γ111 = Γ122 Γ212
1 ∂E 1 ∂E , , Γ112 =Γ121 = 2 ∂u 2 ∂u ∂F 1 ∂G ∂F 1 ∂E , Γ211 = , = − − ∂v 2 ∂u ∂u 2 ∂v 1 ∂G 1 ∂G = Γ221 = , Γ222 = 2 ∂u 2 ∂v
（23）
Γ 111 =
Γ 212 = Γ 2 21 = Γ 2 22
如果取正交参数曲线网，则 F≡ 0 ，上面的公式便大大化简了：
Γ 111 = Γ
例 解
2 11
1 ∂ ln E 1 ∂ ln E 1 ∂G , Γ 112 = Γ1 21 = , Γ1 22 = − , 2 ∂u 2 ∂v 2 E ∂u 1 ∂E 1 ∂ ln G 1 ∂ ln G =− , Γ 2 12 = Γ 2 21 = , Γ 2 22 = . 2G ∂v 2 ∂u 2 ∂v
第三节+++++曲面的第二
二 .曲面的第二基本形式
2 Ⅱ= n r ds 2 2 n ruu du 2 n ruv dudv n rvv dv Ldu 2 Mdudv Ndv
2 2
第二类基本量 : L n ruu , M n ruv , N n rvv
三.曲面的法曲率 1.曲面上曲线的曲率 在引入曲面的第二基本形式时, 我们已经 了解到曲面在已知点邻近的弯曲性可以 由曲面离开它的切平面的快慢程度来决 定. 但是在给定点处, 曲面沿不同方向的 弯曲程度不同,也就是说沿不同方向曲 面以不同的速度离开切平面. 因此当我 们想刻画曲面在已知点邻近的弯曲性时, 就需要用曲面上过该点的不同的曲线的 曲率来进行研究, 并由此引进法曲率的 概念, 以起到承上启下的作用.
( EN GL ) 4 ( EM FL )( FN GM )
2
[( EN GL ) 4 ( EG F )
2
2F E
( EM FL )]
2
2
E
2
( EM FL ) 0
当且仅当
EN-GL=EM-FL=0------(2.36) 或 E:F:G=L:M:N时,Δ=0. 除此外, Δ>0,曲面有且只有两个(实)主方向; 而当E:F:G=L:M:N时,(2.35)’’是恒等式,这时 每一方向都是主方向. 3.脐点,平点,圆点. 曲面上满足E:F:G=L:M:N的点称为曲面的 脐点. L=M=N=0的脐点称为平点. L,M,N,不全为零的脐点称为圆点. [脐点处每一方向都是主方向]
六.曲面的渐近方向,渐近曲线,渐近网 1.满足方程
的方向du:dv叫做曲面(在点P)处的渐近方 向. 例.求球面在点(450,450)处的渐近方向.
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⒈对于螺面r(ucosv,usinv,uv)，试求：
① 主曲率1和2；
②Gauss曲率和平均曲率．
⒉试求球面的Gauss曲率和平均曲率与球面半径的关系．
⒊试证：平均曲率等于法曲率按切方向的积分平均值，即2H(P) (P,) d．
⒋试证：直纹面的Gauss曲率处处非正．
⒌ 设正则曲面S:r(u1,u2)当常数足够小时12H20．按参数相同作对应曲面S*:r*(u1,u2)r(u1,u2)n(u1,u2)，其中n为曲面S的单位法向量场．试证：
故而
limU收缩至P limP*P(P*)(P)．
③ 结论用系数矩阵等价表示为
(g1)g(g1)T2Hg0
g12Hg0
g1g12Hg1I20
(tr.)I20．
而最后的等式对于二阶方阵总成立（用特征值理论则知是显然的），用元素计算可直接验证为
ikkj(tr.)ijij
i11ji22j(1122)ij(11221221)ij0． □
③Ⅲ2HⅡⅠ0．
证明① 由Weingarten公式得
n1n2[(11r112r2)][(21r122r2)]
r1r2r1r2．
②A(U)r1(U)r1r2du1du2,
A(G(U))r1(U)n1n2du1du2r1(U)r1r2du1du2．
而由积分中值定理，P*U使
r1(U)r1r2du1du2(P*)r1(U)r1r2du1du2．
注记1①Weingarten变换的特征值和特征方向，分别是曲面的主曲率和主方向．
② 当两个主曲率1(P)2(P)时，曲面在点P处有且仅有正交的两组主方向，每一组的单位化向量分别就是Weingarten变换的单位正交特征向量．而当两个主曲率1(P)2(P)时，曲面在点P处的任何非零切向都是主方向，Weingarten矩阵(P)1(P)I2，即(P)1(P)g(P)．
注记2全脐曲面S的法曲率只与点有关而不依赖于切向选取，故只有平面和球面两类；平面上各点为平点，球面上各点为圆点．全脐曲面主方向所对应的微分方程是蜕化的恒等式．
二
定义3对于正则曲面S，其在点P处的两个主曲率的乘积，称为其在点P处的Gauss曲率或总曲率；其在点P处的两个主曲率的算术平均值H，称为其在点P处的平均曲率．
定义4对于C3正则曲面S:r(u1,u2)及其单位法向量场n(u1,u2)，曲面S到以原点为心的单位球面S2(1)上的映射
(5.9)
称为曲面S的Gauss映射．二次微分形式
(5.10)Ⅲdndn
称为曲面S的第三基本形式．
性质①n1n2r1r2．
②(P)limU收缩至P ，其中PUS,U为单连通区域，A(G(U))是G(U)S2(1)的面积，A(U)是US的面积．
①S和S*在对应点具有相同的单位法向和法线；
②S和S*在对应点的Weingarten矩阵具有关系式*(I2)1；
③S和S*在对应点的Gauss曲率和平均曲率具有关系式
* ，H* ；
④S的曲率线对应于S*的曲率线．
⒍ 已知曲面S在一点处沿着一组等分周角的m个切方向的法曲率分别为n(1),…,n(m)，m2．试证：S在该点的平均曲率H ．
第四章 曲面的第二基本形式与曲面上的曲率
§
利用上一节所作的准备，围绕曲面弯曲状况的刻画，本节将引入曲面上的基本的和重要的曲率概念，并简要讨论相关的几何体．
一
定义1曲面S上的点P处的法曲率关于切方向的两个最值，分别称为曲面S在点P处的主曲率；使得法曲率达到最值的两个切方向，分别称为曲面S在点P处的主方向．
② 对于主方向的算法，各种等价算式为
aairi0为主方向，即非零切方向a1:a2为主方向
,(a1,a2)(a1,a2) , (a1,a2)(0, 0)
,(a1,a2)(a1,a2)g, (a1,a2)(0, 0)
det. 0
0．
主方向所对应的微分方程通常写为
(5.3) 0．
定义2若曲面S在点P处的两个主曲率相等，则称点P为曲面S上的一个脐点．若曲面S处处为脐点，则称曲面S为全脐曲面．若脐点处的主曲率为零，则称之为平点；若脐点处的主曲率不为零，则称之为圆点．
Mrunv0 ,Nrvnv0 ,
于是
0． □
在上例中，若取准线使al0且l1，则可展曲面S的第一和第二基本形式系数矩阵同时对角化，Weingarten矩阵则为特征值对角阵，而且
(5.8)1 ,20．
三
nS2(1)
UGn
S
rn
u2
r1(U)
u1
图4-5
Gauss在考察曲面的弯曲程度刻画时，注意到曲面的单位法向在单位球面上的行为对于曲面弯曲状况的反映，并进一步明确了两者的依赖程度，进而在曲面论中做出了卓有成效的工作．观察熟知的一些曲面，比如平面、圆柱面、圆锥面、椭球面、双叶双曲面、双曲抛物面等等，可以直观感受到单位法向不同的行为和曲面不同的弯曲状况之间有着密切联系．
注记3① 注意到(4.4)-(4.5)式，Gauss曲率和平均曲率分别具有用Weingarten矩阵或两个基本形式系数的表达式，分别列为
(5.4) ,
(5.5)H ．
②主曲率方程(4.3)式现可改写为
(5.6)22H0；
其中H2 ≥0．
③Gauss曲率在容许参数变换下不变；平均曲率在保向参数变换下不变，在反向参数变换下变号．
主曲率和主方向的计算，自然归结为Weingarten变换的特征值和特征方向的计算，也就是Weingarten矩阵的特征值和特征方向的计算．即：
① 对于主曲率的算法，当易知Weingarten矩阵之时，方程为(4.3)式，或直接写为
(5.1)I20；
等价地，当易知系数矩阵和g之时，其方程可变形为
(5.2)g0．
⒎试证：曲面S的第三基本形式恒为零的充要条件为S是平面．
④ 当曲面三阶连续可微时，Gauss曲率和平均曲率分别是连续可微函数；此时，两个处连续，并且在非脐点处连续可微．
⑤ 平均曲率等于法曲率按切方向的积分平均值（留作习题）．
⑥平均曲率不是等距不变量．反例如圆柱面和平面．
例1证明可展曲面的Gauss曲率0．
证明对可展曲面S的直纹面参数化r(u,v)a(u)vl(u)，由可展定义得知nv0，故其第二基本形式系数满足