第八章 假设检验(修)
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A批 : 0.140 0.138 0.143 0.142 0.144 0.137 B批 : 0.135 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140
2 设这两批电器的电阻分 别服从 N (1 , 1 ), N ( 2 , 2 2 )， 且两样
本独立 ， 问这两批器材的电阻值 是否有显著性差异 ( 0.05) ?
§8.2 正态总体均值的假设检验
8.2.1 单个正态总体均值的检 验
2 1. 巳知2 0 ， 检验H0 : 0 , H1 : 0
例 某测距仪在 500米 范 围 内 ， 测距精度 10米， 今 对 距 离 500米 的 目 标 测 量 9次， 得 到 平 均 距 离 x 510米， 设 测 量 的 离 服从正态分布 。 问 该 测 距 仪 是 否 存 在统 系误 差 ( 0.05) ?
H 0 : p( x ) p0 ( x ).
分布函数拟合检验法的 步骤:
1. 把随机变量的取值范围 分成k个互不相交的实数集 A1 , A2 , , Ak .
2. 若H 0为 真， 且F0 ( x )不 含 未 知 参 数 ， 求 出pi P0 ( Ai ) P{ X Ai }; 若F0 ( x )含 未 知 参 数 ， 先 求 出 的 极 大 似 然 估 计 ˆ， 再求出 ˆ ( A ), i 1,2, , k . ˆi P pi P0 ( Ai )的 估 计 p 0 i k k ˆ i )2 ( ni npi ) 2 ( ni np 2 2 3. 检 验 统 计 量 为 或 ，样 ˆi npi np i 1 i 1
2. 方差巳知时的单边假设 检验
2 (1) 巳知2 0 ， 检验H0 : 0 , H1 : 0 2 (2) 巳知2 0 ， 检验H0 : 0 , H1 : 0
注 : (1) 无论 单边检 验 ， 还是 双边检 验 ， 均使 用相同 的检验 统计 量 ;
3. 方差2未知， 检验H0 : 0 , H1 : 0
例 某批矿砂的 5个样本中镍含量经测定 为
3.25 3.27 3.24 3.26 3.24 设测定值服从正态分布 ， 问能否认为这批矿砂的 镍含量为 3.25( 0.01) ?
例 巳 知 某 种 元 件 的 寿 命从 服正 态 分 布 ， 要求该元件的平均 寿命不低于 1000 小 时， 现 从 这 批 元 件 中 随 机 取 抽25只， 得 样 本平均寿命 x 980小 时， 标 准 差 s 65小 时， 试 在 显 著 性 水 平 0.05下 确 定 这 批 元 件 是 否 格 合.
0.05下是否可以相信该厂的 铜丝折断力的方差为 64?
2 2 检验H0 : 2 0 , H1 : 2 0 2 2 检验H0 : 2 0 , H1 : 2 0
例 某种电子元件 ， 要求标准差不超过 130小 时， 现 从 一 批 该种元件中抽取 25只， 测 得 标 准 差 s 148小 时， 确 定 这 批 元 件是否合格 ( 0.05) .
8.3.2 两个正态总体的方差检 验
2 2 2 检验H0 : 1 2 , H : (方差齐性检验 ) 2 1 1 2
例(8.3.3) 甲、 乙 两 个 农 业 试 验 区 各 10 分个 小 区 ， 各小区面积 区相同 .试 验 结 果 如 下 (公 斤) : 甲 : 62 57 65 60 63 58 57 60 60 58
8.2.3 成对数据与两处理比较 的检验
例(8.2.7 ) 现 在 比 较 甲 、 乙 两 种 橡 胶 制 成 的 轮的 胎耐 磨 性 ， 今从甲 、 乙 两 种 轮 胎 中 各 随 机抽 地 取8个， 然 后 各 取 一 个 组 成一对 ， 随机搭配给 8辆 不 同 类 型 的 汽 车 ， 作耐磨性试验 ， 行驶了一定时间 ， 测得轮胎的磨损量 (单 位 : 毫 克)数 据 如 下:
2 机 床 生 产 的 产 品 的 重都 量服 从 正 态 分 布 ， 方差分别为 1
60， 2 ， 问在显著性水平 0.05下， 两 台 机 床 生 产 的 产 2 80 品 的 重 量 是 否 有 显 著差 性 异.
2 2 2 2. 1 , 2 未知 ， 但巳知 H0 : 1 2 , H1 : 1 2 2 1 2， 检验
( 2) 在双边检验中， 临界值为u 2， 而在单边检验中， 临界 值为u 或 u ;
( 3) 双 边 检 验 的 拒 绝 域 为 W {| U | u 2 }， 单 边 检 验 的 拒 绝 域 为W {u u }或W {U u }， 不 等 号 的 方 向 与 备 择 假 设H 1的 不 等 号 的 方 向 一 致 .
8.2.2 两个正态总体均值的假 设检验
2 1. 1 , 2 ， 检验H0 : 1 2 , H1 : 1 2 2巳知时
例(8.2.5) 设 甲、 乙 两 台 机 床 生 产 同 一 产 种 品， 今 从 甲 机 床 生产的产品中抽取 30件， 测 得 平 均 重 量 为 130克; 从 乙 机 床 生产的产品中抽取 40件， 测 得 平 均 重 量 为 125克. 假 定 两 台
假定处理前后的含脂率 服从正态分布 ， 且方差不变 ， 试问处 理后的平均含脂率是否 有显著性变化 ( 0.05) ?
2 3. 1 , 2 ， 但n1 n2 n, 2 未知且不等
检验H 0 : 1 2 , H1 : 1 2
例 测得两批电子器件的样 本的电阻 ()为
例(8.2.6) 对 于 某 种 羊 毛 ， 分 别 处 理 其 前 和 处 理抽 后 样， 测 得其含脂率为
处理前: 0.19 0.18 0.21 0.30 0.66 0.42 0.08 0.12 0.30 0.27 处理后: 0.15 0.13 0.00 0.07 0.24 0.19 0.04 0.08 0.20 0.12 0.24
5. 作判断: 若u W， 则拒绝 H0， 若u W， 则接受 H0 .
2.4 W , 拒绝H0， 即认为包装机工作不正 常.
8.1.4 假设检验的两类错误
第一类错误 (弃真) : P{拒绝H 0 | H 0为真} P{u W | H 0为真};
第二类错误 (存伪) : P{接受H 0 | H 0 不真} P{u W | H 0 不真}
1. 两总体的方差是否差异 显著?
2. 施磷肥对玉米的产量是 否有显著提高 ?
例(8.1.4) 设 总 体 N (,12 )， 现 从 总 体 中 抽 取 一 个 量 容 为n的 样 本， 要 检 验 的 假 设 为 H 0 : 0 0 , H 1 : 1 1， 若 给 定显著性水平 ， 求 犯 两 类 错 误 的 概 率 .
8.3 正态总体方差的假设检验
8.3.1 单个正态总体方差的检 验
2 2 检验H0 : 2 0 , H1 : 2 0
例(8.3.1) 某厂生产的铜丝 ， 质量一向比较稳定 ， 今从是随 机抽取 10根检查其折断力 ， 测得数据 (单位 : kg)如下:
575 576 570 569 572 582 577 580 572 585 设铜丝的折断力服从正 态分布 N (, 2 ) , 试问在显著性水平
乙 : 56 59 56 57 58 57 60 55 57 55 2 设甲各小区的玉米产量 X ~ N ( 1 , 1 )， 乙各小区的玉米产量
相 等， 作 种 植 玉 米 的 试 验 ， 甲区除施磷肥外 ， 其它条件与乙
Y ~ N ( 2 , 2 0.01， 试判断 2 )， 对显著性水平
例 某厂对废水进行处理 ， 要 求 某 种 有 毒 物 质 的度 浓不 超 过 19(毫 Baidu Nhomakorabea/ 升).对 处 理 后 的 废 水 抽 样 查 检得 到 10个 数 据 ， 样本 均 值x 17.1， 假 定 有 毒 物 质 的 含 量 从 服正 态 分 布 ， 巳知方差 2 8.5， 问 在 显 著 性 水 平 0.05下 处 理 后 的 废 水 是 否 格 合?
8.4 皮尔逊的 检验法
2
8.4.1 分布函数的拟合检验
检验H0 : F ( x) F0 ( x); H1 : F ( x) F0 ( x)
当总体 X为离散型随机变量 ， 则上述 H 0等价于： H 0 : P{ X xi } pi , i 1,2,. 当总体 X为连续型随机变量 ， 则上述 H 0等价于：
例 为了研究一种新化肥对 种植小麦的效力 ， 选用了 13块条 件相同面积相等的土地 进行试验 ， 各块产量如下 (单位: kg) :
施肥的: 34 35 30 33 34 32
未施肥的 : 29 27 32 28 32 31 31
设X , Y分 别 表 示 在 一 块 土 地 施 上肥 与 未 施 肥 情 况 下小 的麦 的
3. 根 据 给 定 的 检 验 统 计 U 量 ， 选定显著性水平 ， 确定临界 值和拒绝域 W. W {| U | u 2 }， 其中u 2称为临界值 .
W {| U | u0.025 1.96}.
4. 根据样本观察值 ， 计算统计量 U的观察值 u.
x 0 50.72 50 u 2.4 0 n 1.2 16
1. 根据实际情况 ， 提出原假设 H0和备择假设 H1 .
H1 : 0 50 2. 根据H 0构造一个检验统计量 U， 当H 0为真， 该统计量的
H0 : 0 50
分布巳知且与未知参数 无关. X 0 检验统计量 :U ， 当H 0为真时 ， U ~ N (0,1). n ，
第八章 假设检验
8.1 假设检验的基本概念
8.1.1 问题的提出
例 某 牙 膏 厂 用 自 动 包 装罐 机装 牙 膏 ， 在正常情况下 ， 每个 牙 膏 管 内 装 入 的 牙 膏( 量 克 )服 从 正 态 分 布 N (50, 1.2 2 ). 某 日 从 生 产 的 牙 膏 中 随 机抽 地 取16支， 测 得 平 均 每 支 牙 膏 的 重 净 量x 50.72( 克)， 根 据 以 往 生 产 实 践 表 ， 明标 准 差 比 较 稳 定 ， 仍 为 1.2( 克)， 问 这 一 天 包 装 机 工 作 否 是 正 常?
2 产 量， 且 分 别 服 从 N ( 1 , 1 ), N ( 2 , 2 2 )， 问 这 种 化 肥 对 小 麦
产量是否有显著性影响 ?
8.1.2 假设检验的基本思想
8.1.3 假设检验的步骤
例 某 牙 膏 厂 用 自 动 包 装罐 机装 牙 膏 ， 在正常情况下 ， 每个 牙 膏 管 内 装 入 的 牙 膏( 量 克 )服 从 正 态 分 布 N (50, 1.2 2 ). 某 日 从 生 产 的 牙 膏 中 随 机抽 地 取16支， 测 得 平 均 每 支 牙 膏 的 重 净 量x 50.72( 克)， 根 据 以 往 生 产 实 践 表 ， 明标 准 差 比 较 稳 定 ， 仍 为 1.2( 克)， 问 这 一 天 包 装 机 工 作 否 是 正 常?
甲 : 4900 5220 5500 6020 6340 7660 8650 4870
乙 : 4930 4900 5140 5700 6110 6880 7930 5010
设X , Y分 别 表 示 甲 、 乙两种轮胎的磨损量 ， 并假定 ( X , Y )服 从二元正态分布 ， 试 问 这 两 种 轮 胎 的 磨性 损有 无 显 著 性 差 异 ( 0.05).
2 设这两批电器的电阻分 别服从 N (1 , 1 ), N ( 2 , 2 2 )， 且两样
本独立 ， 问这两批器材的电阻值 是否有显著性差异 ( 0.05) ?
§8.2 正态总体均值的假设检验
8.2.1 单个正态总体均值的检 验
2 1. 巳知2 0 ， 检验H0 : 0 , H1 : 0
例 某测距仪在 500米 范 围 内 ， 测距精度 10米， 今 对 距 离 500米 的 目 标 测 量 9次， 得 到 平 均 距 离 x 510米， 设 测 量 的 离 服从正态分布 。 问 该 测 距 仪 是 否 存 在统 系误 差 ( 0.05) ?
H 0 : p( x ) p0 ( x ).
分布函数拟合检验法的 步骤:
1. 把随机变量的取值范围 分成k个互不相交的实数集 A1 , A2 , , Ak .
2. 若H 0为 真， 且F0 ( x )不 含 未 知 参 数 ， 求 出pi P0 ( Ai ) P{ X Ai }; 若F0 ( x )含 未 知 参 数 ， 先 求 出 的 极 大 似 然 估 计 ˆ， 再求出 ˆ ( A ), i 1,2, , k . ˆi P pi P0 ( Ai )的 估 计 p 0 i k k ˆ i )2 ( ni npi ) 2 ( ni np 2 2 3. 检 验 统 计 量 为 或 ，样 ˆi npi np i 1 i 1
2. 方差巳知时的单边假设 检验
2 (1) 巳知2 0 ， 检验H0 : 0 , H1 : 0 2 (2) 巳知2 0 ， 检验H0 : 0 , H1 : 0
注 : (1) 无论 单边检 验 ， 还是 双边检 验 ， 均使 用相同 的检验 统计 量 ;
3. 方差2未知， 检验H0 : 0 , H1 : 0
例 某批矿砂的 5个样本中镍含量经测定 为
3.25 3.27 3.24 3.26 3.24 设测定值服从正态分布 ， 问能否认为这批矿砂的 镍含量为 3.25( 0.01) ?
例 巳 知 某 种 元 件 的 寿 命从 服正 态 分 布 ， 要求该元件的平均 寿命不低于 1000 小 时， 现 从 这 批 元 件 中 随 机 取 抽25只， 得 样 本平均寿命 x 980小 时， 标 准 差 s 65小 时， 试 在 显 著 性 水 平 0.05下 确 定 这 批 元 件 是 否 格 合.
0.05下是否可以相信该厂的 铜丝折断力的方差为 64?
2 2 检验H0 : 2 0 , H1 : 2 0 2 2 检验H0 : 2 0 , H1 : 2 0
例 某种电子元件 ， 要求标准差不超过 130小 时， 现 从 一 批 该种元件中抽取 25只， 测 得 标 准 差 s 148小 时， 确 定 这 批 元 件是否合格 ( 0.05) .
8.3.2 两个正态总体的方差检 验
2 2 2 检验H0 : 1 2 , H : (方差齐性检验 ) 2 1 1 2
例(8.3.3) 甲、 乙 两 个 农 业 试 验 区 各 10 分个 小 区 ， 各小区面积 区相同 .试 验 结 果 如 下 (公 斤) : 甲 : 62 57 65 60 63 58 57 60 60 58
8.2.3 成对数据与两处理比较 的检验
例(8.2.7 ) 现 在 比 较 甲 、 乙 两 种 橡 胶 制 成 的 轮的 胎耐 磨 性 ， 今从甲 、 乙 两 种 轮 胎 中 各 随 机抽 地 取8个， 然 后 各 取 一 个 组 成一对 ， 随机搭配给 8辆 不 同 类 型 的 汽 车 ， 作耐磨性试验 ， 行驶了一定时间 ， 测得轮胎的磨损量 (单 位 : 毫 克)数 据 如 下:
2 机 床 生 产 的 产 品 的 重都 量服 从 正 态 分 布 ， 方差分别为 1
60， 2 ， 问在显著性水平 0.05下， 两 台 机 床 生 产 的 产 2 80 品 的 重 量 是 否 有 显 著差 性 异.
2 2 2 2. 1 , 2 未知 ， 但巳知 H0 : 1 2 , H1 : 1 2 2 1 2， 检验
( 2) 在双边检验中， 临界值为u 2， 而在单边检验中， 临界 值为u 或 u ;
( 3) 双 边 检 验 的 拒 绝 域 为 W {| U | u 2 }， 单 边 检 验 的 拒 绝 域 为W {u u }或W {U u }， 不 等 号 的 方 向 与 备 择 假 设H 1的 不 等 号 的 方 向 一 致 .
8.2.2 两个正态总体均值的假 设检验
2 1. 1 , 2 ， 检验H0 : 1 2 , H1 : 1 2 2巳知时
例(8.2.5) 设 甲、 乙 两 台 机 床 生 产 同 一 产 种 品， 今 从 甲 机 床 生产的产品中抽取 30件， 测 得 平 均 重 量 为 130克; 从 乙 机 床 生产的产品中抽取 40件， 测 得 平 均 重 量 为 125克. 假 定 两 台
假定处理前后的含脂率 服从正态分布 ， 且方差不变 ， 试问处 理后的平均含脂率是否 有显著性变化 ( 0.05) ?
2 3. 1 , 2 ， 但n1 n2 n, 2 未知且不等
检验H 0 : 1 2 , H1 : 1 2
例 测得两批电子器件的样 本的电阻 ()为
例(8.2.6) 对 于 某 种 羊 毛 ， 分 别 处 理 其 前 和 处 理抽 后 样， 测 得其含脂率为
处理前: 0.19 0.18 0.21 0.30 0.66 0.42 0.08 0.12 0.30 0.27 处理后: 0.15 0.13 0.00 0.07 0.24 0.19 0.04 0.08 0.20 0.12 0.24
5. 作判断: 若u W， 则拒绝 H0， 若u W， 则接受 H0 .
2.4 W , 拒绝H0， 即认为包装机工作不正 常.
8.1.4 假设检验的两类错误
第一类错误 (弃真) : P{拒绝H 0 | H 0为真} P{u W | H 0为真};
第二类错误 (存伪) : P{接受H 0 | H 0 不真} P{u W | H 0 不真}
1. 两总体的方差是否差异 显著?
2. 施磷肥对玉米的产量是 否有显著提高 ?
例(8.1.4) 设 总 体 N (,12 )， 现 从 总 体 中 抽 取 一 个 量 容 为n的 样 本， 要 检 验 的 假 设 为 H 0 : 0 0 , H 1 : 1 1， 若 给 定显著性水平 ， 求 犯 两 类 错 误 的 概 率 .
8.3 正态总体方差的假设检验
8.3.1 单个正态总体方差的检 验
2 2 检验H0 : 2 0 , H1 : 2 0
例(8.3.1) 某厂生产的铜丝 ， 质量一向比较稳定 ， 今从是随 机抽取 10根检查其折断力 ， 测得数据 (单位 : kg)如下:
575 576 570 569 572 582 577 580 572 585 设铜丝的折断力服从正 态分布 N (, 2 ) , 试问在显著性水平
乙 : 56 59 56 57 58 57 60 55 57 55 2 设甲各小区的玉米产量 X ~ N ( 1 , 1 )， 乙各小区的玉米产量
相 等， 作 种 植 玉 米 的 试 验 ， 甲区除施磷肥外 ， 其它条件与乙
Y ~ N ( 2 , 2 0.01， 试判断 2 )， 对显著性水平
例 某厂对废水进行处理 ， 要 求 某 种 有 毒 物 质 的度 浓不 超 过 19(毫 Baidu Nhomakorabea/ 升).对 处 理 后 的 废 水 抽 样 查 检得 到 10个 数 据 ， 样本 均 值x 17.1， 假 定 有 毒 物 质 的 含 量 从 服正 态 分 布 ， 巳知方差 2 8.5， 问 在 显 著 性 水 平 0.05下 处 理 后 的 废 水 是 否 格 合?
8.4 皮尔逊的 检验法
2
8.4.1 分布函数的拟合检验
检验H0 : F ( x) F0 ( x); H1 : F ( x) F0 ( x)
当总体 X为离散型随机变量 ， 则上述 H 0等价于： H 0 : P{ X xi } pi , i 1,2,. 当总体 X为连续型随机变量 ， 则上述 H 0等价于：
例 为了研究一种新化肥对 种植小麦的效力 ， 选用了 13块条 件相同面积相等的土地 进行试验 ， 各块产量如下 (单位: kg) :
施肥的: 34 35 30 33 34 32
未施肥的 : 29 27 32 28 32 31 31
设X , Y分 别 表 示 在 一 块 土 地 施 上肥 与 未 施 肥 情 况 下小 的麦 的
3. 根 据 给 定 的 检 验 统 计 U 量 ， 选定显著性水平 ， 确定临界 值和拒绝域 W. W {| U | u 2 }， 其中u 2称为临界值 .
W {| U | u0.025 1.96}.
4. 根据样本观察值 ， 计算统计量 U的观察值 u.
x 0 50.72 50 u 2.4 0 n 1.2 16
1. 根据实际情况 ， 提出原假设 H0和备择假设 H1 .
H1 : 0 50 2. 根据H 0构造一个检验统计量 U， 当H 0为真， 该统计量的
H0 : 0 50
分布巳知且与未知参数 无关. X 0 检验统计量 :U ， 当H 0为真时 ， U ~ N (0,1). n ，
第八章 假设检验
8.1 假设检验的基本概念
8.1.1 问题的提出
例 某 牙 膏 厂 用 自 动 包 装罐 机装 牙 膏 ， 在正常情况下 ， 每个 牙 膏 管 内 装 入 的 牙 膏( 量 克 )服 从 正 态 分 布 N (50, 1.2 2 ). 某 日 从 生 产 的 牙 膏 中 随 机抽 地 取16支， 测 得 平 均 每 支 牙 膏 的 重 净 量x 50.72( 克)， 根 据 以 往 生 产 实 践 表 ， 明标 准 差 比 较 稳 定 ， 仍 为 1.2( 克)， 问 这 一 天 包 装 机 工 作 否 是 正 常?
2 产 量， 且 分 别 服 从 N ( 1 , 1 ), N ( 2 , 2 2 )， 问 这 种 化 肥 对 小 麦
产量是否有显著性影响 ?
8.1.2 假设检验的基本思想
8.1.3 假设检验的步骤
例 某 牙 膏 厂 用 自 动 包 装罐 机装 牙 膏 ， 在正常情况下 ， 每个 牙 膏 管 内 装 入 的 牙 膏( 量 克 )服 从 正 态 分 布 N (50, 1.2 2 ). 某 日 从 生 产 的 牙 膏 中 随 机抽 地 取16支， 测 得 平 均 每 支 牙 膏 的 重 净 量x 50.72( 克)， 根 据 以 往 生 产 实 践 表 ， 明标 准 差 比 较 稳 定 ， 仍 为 1.2( 克)， 问 这 一 天 包 装 机 工 作 否 是 正 常?
甲 : 4900 5220 5500 6020 6340 7660 8650 4870
乙 : 4930 4900 5140 5700 6110 6880 7930 5010
设X , Y分 别 表 示 甲 、 乙两种轮胎的磨损量 ， 并假定 ( X , Y )服 从二元正态分布 ， 试 问 这 两 种 轮 胎 的 磨性 损有 无 显 著 性 差 异 ( 0.05).