3.3垂径定理1((浙教版2014))
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（1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴; （2）圆的对称轴有无数条．
如图,AB是⊙O的一条弦,CD是⊙O直径.
(1)该图是轴对称图形吗？
(2)能不能通过改变AB、CD的位置关系,使它成 为轴对称图形? C O D
A A
E
思考：你能 利用等腰三 角形的性质， B 说明CD平 B 分AB吗？
A
M
O ．
B
若点A在圆上，则： d＝ r 若点B在圆内，则： d＜r 若点C在圆外，则： d＞r
r
O
d
d B d
C
A
提问： 圆是什么对称图形？ 在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD,
然后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么?
C D
O
判断：任意一条直径都是圆的对称轴（
X）
结论1：
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。 强调：
• 连接圆上任意两点间的线段叫做 弦
• 经过圆心的弦叫做 直径 .
.
• 圆上任意两点间的部分叫做 圆弧 , 简称 弧 .
• 直径将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆 . • 小于半圆的弧叫做 劣弧 . • 大于半圆的弧叫做 优弧 .
不在同一直线上的三 个点确定一个圆。
点与圆的位置关系
如图，设⊙O的半径为r， 点到圆心的距离为d。
A
O d
．
C
r
B
弦长AB 2 r d .
2 2
2、已知⊙O的半径为10cm，点P是⊙O内一点，且
OP=8，则过点P的所有弦中，最短的弦是（ D ）
(A)6cm (B)8cm (C)10cm (D)12cm
O P
8
10 6
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，OC ⊥AB OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径.
课内练习（P77）
1.已知:如图,在⊙O中，AB是⊙O的直 径,OA⊥CD于点P. 求证:BC=BD( (课内练习（P78）
2、已知:如图,在⊙O中,弦AB∥CD. 求证: AC=BD.
( (
E
你还认识我吗?
B O
A
M└
C
D
C
●
A
M└
●
B
A
M└
●
B O
O
例：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径
如果把能够重合的圆弧叫做等弧,那么在下 图中,哪些线段和圆弧相等?
结论： ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ①EA=EB； ② AC=BC，AD=BD．
A
几何语言叙述:
∵直径CD⊥AB（或半径OC⊥AB） ∴ EA=EB， AC=BC， AD=BD．
⌒
C
E B
O
D
⌒
⌒
⌒
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧．
1、已知⊙O的半径为13cm，一条弦的弦心距为5cm， 求
这条弦的长. 想一想：在同一个圆中，两条弦
A
D 5
.
B 13
C
的长短与它们所对应的弦心距之
间有什么关系？
O
在同圆或等圆中， 弦心距越长,对应弦越短;
弦心距相等,对应弦相等.
归纳： 1．作弦心距和半径是 圆中常见的辅助线；
2 ．半径（r)、半弦、弦 心距(d)组成的直角三角 形是研究与圆有关问题 的主要思路，它们之间 的关系：
OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
想一想:排水管中水最深多少?
解:作OC⊥AB于C, 由垂径定理得: AC=BC=1/2AB=0.5×16=8 由勾股定理得:
OC OB BC 10 8 6
2 2 2 2
8
C
10 8
答:截面圆心O到水面的距离为6.
D
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
A
C 1 D 3 O
3
B
目标训练
1．已知⊙0的半径为13，一条弦的AB的弦心距 为5，则这条弦的弦长等于 24 ． 2．如图，AB是⊙0的中直径，CD为弦， CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是 A （ C ） O ． ⌒ ⌒ A．∠COE=∠DOE B．CE=DE
C
C．OE=BE
D．BD=BC
E B
D
目标训练
3．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦 长为8cm，那么OM长为（ A ） A．3 B．6cm C． 41cm D．9cm
4．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是 弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ A ）
A．3≤OM≤5
C．3<OM<5
B．4≤OM≤5
D．4<OM<5
如图,AB是⊙O的一条弦,CD是⊙O直径.
(1)该图是轴对称图形吗？
(2)能不能通过改变AB、CD的位置关系,使它成 为轴对称图形? C O D
A A
E
思考：你能 利用等腰三 角形的性质， B 说明CD平 B 分AB吗？
A
M
O ．
B
若点A在圆上，则： d＝ r 若点B在圆内，则： d＜r 若点C在圆外，则： d＞r
r
O
d
d B d
C
A
提问： 圆是什么对称图形？ 在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD,
然后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么?
C D
O
判断：任意一条直径都是圆的对称轴（
X）
结论1：
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。 强调：
• 连接圆上任意两点间的线段叫做 弦
• 经过圆心的弦叫做 直径 .
.
• 圆上任意两点间的部分叫做 圆弧 , 简称 弧 .
• 直径将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆 . • 小于半圆的弧叫做 劣弧 . • 大于半圆的弧叫做 优弧 .
不在同一直线上的三 个点确定一个圆。
点与圆的位置关系
如图，设⊙O的半径为r， 点到圆心的距离为d。
A
O d
．
C
r
B
弦长AB 2 r d .
2 2
2、已知⊙O的半径为10cm，点P是⊙O内一点，且
OP=8，则过点P的所有弦中，最短的弦是（ D ）
(A)6cm (B)8cm (C)10cm (D)12cm
O P
8
10 6
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，OC ⊥AB OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径.
课内练习（P77）
1.已知:如图,在⊙O中，AB是⊙O的直 径,OA⊥CD于点P. 求证:BC=BD( (课内练习（P78）
2、已知:如图,在⊙O中,弦AB∥CD. 求证: AC=BD.
( (
E
你还认识我吗?
B O
A
M└
C
D
C
●
A
M└
●
B
A
M└
●
B O
O
例：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径
如果把能够重合的圆弧叫做等弧,那么在下 图中,哪些线段和圆弧相等?
结论： ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ①EA=EB； ② AC=BC，AD=BD．
A
几何语言叙述:
∵直径CD⊥AB（或半径OC⊥AB） ∴ EA=EB， AC=BC， AD=BD．
⌒
C
E B
O
D
⌒
⌒
⌒
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧．
1、已知⊙O的半径为13cm，一条弦的弦心距为5cm， 求
这条弦的长. 想一想：在同一个圆中，两条弦
A
D 5
.
B 13
C
的长短与它们所对应的弦心距之
间有什么关系？
O
在同圆或等圆中， 弦心距越长,对应弦越短;
弦心距相等,对应弦相等.
归纳： 1．作弦心距和半径是 圆中常见的辅助线；
2 ．半径（r)、半弦、弦 心距(d)组成的直角三角 形是研究与圆有关问题 的主要思路，它们之间 的关系：
OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
想一想:排水管中水最深多少?
解:作OC⊥AB于C, 由垂径定理得: AC=BC=1/2AB=0.5×16=8 由勾股定理得:
OC OB BC 10 8 6
2 2 2 2
8
C
10 8
答:截面圆心O到水面的距离为6.
D
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
A
C 1 D 3 O
3
B
目标训练
1．已知⊙0的半径为13，一条弦的AB的弦心距 为5，则这条弦的弦长等于 24 ． 2．如图，AB是⊙0的中直径，CD为弦， CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是 A （ C ） O ． ⌒ ⌒ A．∠COE=∠DOE B．CE=DE
C
C．OE=BE
D．BD=BC
E B
D
目标训练
3．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦 长为8cm，那么OM长为（ A ） A．3 B．6cm C． 41cm D．9cm
4．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是 弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ A ）
A．3≤OM≤5
C．3<OM<5
B．4≤OM≤5
D．4<OM<5