高一数学必修4知识点复习及重点题型
高一数学知识点总结必修四
高一数学知识点总结必修四在高一的数学学习中，我们接触到了必修四这一部分内容。
在必修四中，包含了一系列的数学知识点，涉及到了函数、数列、立体几何等多个方面。
下面将对这些知识点进行总结和归纳。
一、函数与方程1. 函数及其性质函数是一个非常重要的概念，在必修四中我们学习了函数的定义、函数的图像、函数的符号表示等基本知识。
我在学习中发现，函数的图像可以通过画出函数的坐标点来表示，这样能够更直观地理解函数的性质。
2. 反函数与复合函数反函数是指将原函数的自变量和因变量对调得到的新函数，在必修四中我们深入学习了反函数的概念和性质。
另外，复合函数也是一个重要的概念，在学习中我们需要注意掌握复合函数的计算方法和性质。
3. 一次函数与二次函数一次函数是指函数的最高次幂为1的函数，二次函数则是指最高次幂为2的函数。
在必修四中，我们学习了一次函数和二次函数的性质、图像以及相关的应用问题。
这些知识点对我们理解函数和方程是非常有帮助的。
4. 根与系数的关系对于一次方程和二次方程，我们学习了它们的根与系数之间的关系。
通过这些关系，我们可以更深入地理解方程的解的性质，并且能够在解题时更加灵活地运用这些关系。
二、数列与数学归纳法1. 等差数列与等比数列等差数列是指一个数列中相邻两项之间的差是一个常数的数列，等比数列则是指一个数列中相邻两项之间的比是一个常数的数列。
在学习中我们需要掌握等差数列和等比数列的性质、通项公式以及求和公式。
2. 数列求和在学习数列时，数列求和是一个重要的应用题型。
通过了解数列的求和公式，我们能够快速求解数列的前n项和，从而解决一系列数学问题。
3. 数学归纳法数学归纳法是一种证明方法，可以用来证明数列中的一系列性质。
在必修四中，我们学习了数学归纳法的使用条件和基本步骤，通过练习数学归纳法的证明题目，提升了我们的逻辑思维和推理能力。
三、立体几何1. 空间几何体的认识在必修四中，我们学习了多种立体几何体，包括长方体、正方体、棱柱、棱锥、球等。
高考数学必修4知识点
高考数学必修4知识点高考数学是每个中国高中学生必须面对的一项考试。
其中，必修4是数学学科的核心内容之一。
本文将以高考数学必修4的知识点为主题，介绍其中的一些重要内容，以帮助学生更好地复习和应对高考数学考试。
一、平面向量平面向量是必修4中的重要内容之一。
首先介绍向量的概念，向量的表示方法以及向量的加减法。
然后，深入讨论向量的数量积和向量的叉乘。
数量积主要应用于求夹角和判断两向量的垂直关系；叉乘主要应用于求向量的模长、面积和判断两向量的平行关系。
在实际应用中，平面向量可以用于表示力的合成与分解、解决平面几何的问题等。
二、三角函数三角函数是必修4的另一个重要内容。
首先介绍弧度制和角度制的转换与计算。
然后，详细介绍正弦、余弦和正切等常用三角函数的定义、性质和图像。
特别是正弦定理和余弦定理的应用非常广泛，可以用于解决各种三角形的边长和角度关系问题。
此外，还应重点掌握三角函数的逆函数和解三角方程的方法。
三、平面解析几何平面解析几何是必修4中较难的部分之一。
首先，介绍平面直角坐标系的建立和直线的方程。
然后，进一步讨论平面上点、直线、圆和椭圆的方程。
对于直线方程，可以通过点斜式、两点式和截距式等多种方法进行表示。
对于圆和椭圆方程，要学会根据已知信息进行适当的变形和方程的化简。
在解题时，还应注意如何利用几何关系和代数求解相结合，得到正确的答案。
四、概率与统计概率与统计是必修4中的最后一部分。
学习概率与统计的目的是帮助学生理解和分析随机事件的规律性，掌握概率计算和数据分析的基本方法。
在概率部分，要掌握基本事件、对立事件、和事件以及条件概率的概念和计算方法。
此外，还要学会用排列组合进行概率计算。
在统计部分，要学习数据的收集、整理和分析的方法，例如平均数、中位数、众数和标准差等。
这些统计指标可以帮助我们从数据中提取有用的信息，进行合理的判断和预测。
综上所述，高考数学必修4的知识点包括平面向量、三角函数、平面解析几何和概率与统计等。
高一数学必修四知识点加题型
高一数学必修四知识点加题型高一数学必修四是一门重要的学科，其中包括了多个知识点和题型。
下面将为大家详细介绍这些内容以及相应的解题方法。
1. 二次函数二次函数是高一数学必修四中的重点内容。
它的一般形式为f(x) = ax² + bx + c。
其中，a、b、c为常数，a ≠ 0。
我们可以通过以下几个步骤来解二次函数相关题目：- 确定抛物线的开口方向：若a > 0，则开口向上；若a < 0，则开口向下。
- 求解顶点坐标：顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
- 求解零点：根据二次函数的解的性质，利用求根公式或配方法可以求得二次函数的零点。
2. 三角函数三角函数在高一数学必修四中也占有重要地位。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
我们可以通过以下几个步骤来解三角函数相关题目：- 根据已知条件确定所需求的角所在象限。
- 利用三角函数的定义和性质，结合已知条件求解所需角的值。
- 结合三角函数的图像和周期性，求解三角函数的方程式。
3. 数列与数列的通项公式数列是高一数学必修四中的基础内容。
在解数列的相关题目时，我们可以采用以下几个方法：- 根据给定的数列前几项，观察它们之间的规律，推测数列的通项公式。
- 利用已知的数列通项公式，计算指定位置上的项的值。
- 根据数列的性质，如等差数列、等比数列等，解决相应题目。
4. 平面向量平面向量也是高一数学必修四的重点内容。
在解平面向量相关题目时，我们可以采用以下几个步骤：- 确定平面向量的坐标或起点和终点的坐标。
- 利用平面向量的定义和性质进行向量的运算，如加法、减法、数量乘法等。
- 根据已知条件和向量运算的结果，求解题目所需的向量。
5. 概率与统计概率与统计是高一数学必修四的重要内容。
在解概率与统计的相关题目时，我们可以采用以下几个步骤：- 确定事件的样本空间和可能的结果。
- 利用概率的定义和性质，计算事件发生的概率。
- 对样本数据进行统计分析，如计算平均值、方差、标准差等。
(完整版)高一数学必修4三角函数知识点及典型练习
第一、任意角的三角函数一：角的概念：角的定义，角的三要素，角的分类（正角、负角、零角和象限角），正确理解角，与角终边相同的角的集合}{|2,k k z ββπα=+∈ ，弧度制，弧度与角度的换算，弧长lr α=、扇形面积21122s lr r α==，二：任意角的三角函数定义：任意角α的终边上任意取一点p 的坐标是（x ，y ），它与原点的距离是22r x y =+(r>0)，那么角α的正弦r y a =sin 、余弦r x a =cos 、正切xya =tan ，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。
三角函数值在各象限的符号：三：同角三角函数的关系式与诱导公式： 1. 平方关系：22sincos 1αα+= 2. 商数关系：sin tan cos ααα=3．诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。
正弦余弦正切4. 两角和与差公式 ：()()()sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ⎧⎪±=±⎪⎪±=⎨⎪±⎪±=⎪⎩m m5.二倍角公式：22222sin 22sin cos cos 2cos sin 2cos 112sin 2tan tan 21tan ααααααααααα⎧⎪=⎪=-=-=-⎨⎪⎪=-⎩余弦二倍角公式变形： 222cos1cos2,2sin 1cos2αααα=+=-第二、三角函数图象和性质基础知识:1、三角函数图像和性质2、熟练求函数sin()y A x ωϕ=+的值域，最值，周期，单调区间，对称轴、对称中心等 ，会用五点法作sin()y A x ωϕ=+简图：五点分别为：、 、 、 、 。
3、图象的基本变换：相位变换：sin sin()y x y x ϕ=⇒=+ 周期变换：sin()sin()y x y x ϕωϕ=+⇒=+ 振幅变换：sin()sin()y x y A x ωϕωϕ=+⇒=+ 4、求函数sin()y A x ωϕ=+的解析式：即求A 由最值确定，ω有周期确定，φ有特殊点确定。
高一年级数学必修四知识点复习
高一年级数学必修四知识点复习（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的教育资料，如幼儿教案、音乐教案、语文教案、知识梳理、英语教案、物理教案、化学教案、政治教案、历史教案、其他范文等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor.I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!Moreover, this store provides various types of educational materials for everyone, such as preschool lesson plans, music lesson plans, Chinese lesson plans, knowledge review, English lesson plans, physics lesson plans, chemistry lesson plans, political lesson plans, history lesson plans, and other sample texts. If you want to learn about different data formats and writing methods, please stay tuned!高一年级数学必修四知识点复习本店铺为各位同学整理了《高一年级数学必修四知识点复习》，希望对你的学习有所帮助！1.高一年级数学必修四知识点复习篇一等比数列求和公式(1)等比数列：a(n+1)/an=q(n∈n)。
数学必修4知识点归纳总结
数学必修4知识点归纳总结第一章 三角函数周期现象与周期函数周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T ；x 必须是定义域内的任意值； f(x ＋T)＝f(x)。
练习:（1）已知函数f(x)对定义域内的任意x 满足：存在非零常数T ，使得f(x ＋T)＝f(x)恒成立。
求：f(x ＋2T) ，f(x ＋3T)解：f(x ＋2T)＝f[(x ＋T)＋T]＝f(x ＋T)＝f(x)， f(x ＋3T)＝f[(x ＋2T)＋T]＝f(x ＋2T)＝f(x)(2)已知函数f(x)是R 上的周期为5的周期函数，且f(1)＝2005,求f(11) 解：f(11)＝f(6＋5)＝f(6)＝f(1＋5)＝f(1)＝2005(3)已知函数f(x)是R 上的奇函数，且f(1)＝2，f(x ＋3)＝f(x)，求f(8) 解：f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2 角的概念的推广1、正角、负角、零角的概念一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向(或顺时针方向)旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。
规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们认为这时它也形成了一个角，并把这个角叫做零角,如果α是零角，那么α＝0°；钟表的时针和分针在旋转时所形成的角总是负角。
过去我们研究了0°～360°（00360α≤<）范围的角。
如果我们将角α=030的终边OB 继续按逆时针方向旋转一周、两周……而形成的角分别得到390°，750°……的角。
角的概念经过这样的推广以后就成为任意角，任意角包括正角、负角和零角． 2．象限角、坐标轴上的角的概念．由于角是一个平面图形，所以今后我们常在直角坐标系内讨论角，我们使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴(包括原点)重合，那么角的终边(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 300°、－60°角都是第四象限角；585°角是第三象限角。
高一数学必修4知识点归纳加题型
高一数学必修4知识点归纳加题型高一数学必修4是一门重要的学科，涵盖了许多重要的数学知识点。
在本文中，将对高一数学必修4中的知识点进行归纳整理，并附加一些相关的题型，以帮助同学们更好地掌握这些知识。
1. 函数与方程1.1 一次函数一次函数的数学表示形式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
常见的题型包括求解线性方程组，求解一次函数的图像等。
示例题：已知一次函数的图像为直线y = 2x - 3，求函数的解析式。
1.2 二次函数二次函数的数学表示形式为y = ax^2 + bx + c，其中a为二次项的系数，b为一次项的系数，c为常数。
常见的题型包括求顶点坐标，求零点，绘制二次函数的图像等。
示例题：已知二次函数的顶点坐标为(-2, 5)，且过点(1, 2)，求函数的解析式。
2. 三角函数2.1 正弦函数正弦函数的数学表示形式为y = A*sin(Bx + C) + D，其中A为振幅，B为周期，C为初相位，D为垂直位移。
常见的题型包括求解三角方程，求解三角函数的图像等。
示例题：在区间[0, 2π]上，求解方程sin(2x) = 1的解。
2.2 余弦函数余弦函数的数学表示形式为y = A*cos(Bx + C) + D，其中A为振幅，B为周期，C为初相位，D为垂直位移。
常见的题型包括求解三角方程，求解三角函数的图像等。
示例题：在区间[0, 2π]上，求解方程cos(2x) = -1/2的解。
3. 平面向量平面向量的数学表示形式为A = (x, y)，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
常见的题型包括向量的加法、减法，向量的数量积，向量的模等。
示例题：已知向量A = (2, -1)，向量B = (-3, 4)，求向量A与向量B的数量积。
4. 解析几何4.1 直线和圆的方程直线的一般方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。
圆的标准方程为(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2，其中(h, k)为圆心坐标，r为半径长度。
高一数学必修4重点知识点
高一数学必修4重点知识点在高一数学必修4中，有许多重要的知识点需要掌握和理解。
这些知识点不仅是高中数学学习的基础，也是后续学习的关键。
本文将对高一数学必修4的重点知识点进行简要的介绍和分析。
一、函数与导数函数是高一数学必修4中的重要内容。
函数是数学中的基本概念，它描述了一种输入和输出之间的关系。
在函数的学习中，我们需要掌握函数的定义域、值域、图象、奇偶性等基本概念。
在函数的图象绘制中，我们需要了解如何根据函数的定义来绘制图象，并且能够正确地解读图象中的各种信息。
导数是函数中的重要概念之一。
导数描述了函数在某一点处的变化速率。
在导数的学习中，我们需要掌握导数的定义、性质以及计算方法。
特别是需要注意函数的可导性和导数的连续性等重要概念。
二、不等式不等式是高一数学必修4中的另一个重要内容。
不等式描述了数学中的一种不等关系。
我们需要掌握不等式的基本性质，如加减乘除不等号的运算规则、绝对值不等式的性质等。
此外，我们还需要掌握解不等式的方法，如利用数轴图解法、区间判别法等。
在不等式的学习中，需要特别注意联立不等式的解法。
联立不等式要求同时满足多个不等条件，因此需要合理地利用已知条件进行分析和求解。
三、数列与数学归纳法数列是高一数学必修4中的一个重要内容。
数列描述了一系列具有特定关系的数的集合。
在数列的学习中，我们需要掌握数列的基本概念，如等差数列、等比数列等，并且能够利用递推公式或通项公式求解数列中的某一项。
数学归纳法是数列中的一个重要解题方法。
数学归纳法通过证明第一步成立和第n+1步推论成立来证明n步成立。
理解和掌握数学归纳法的原理和应用是解决数列问题的关键。
四、平面向量平面向量是高一数学必修4中的一个重要内容。
平面向量描述了平面上的方向和长度。
在平面向量的学习中，我们需要掌握向量的定义、运算方法以及向量的线性组合等基本概念。
此外，我们还需要了解向量的共线、垂直和平行等重要性质，并能够应用这些性质解决实际问题。
必修4 数学最全 知识点梳理(完整版)
高中数学必修4 知识点总结第一章：三角函数§1.1.1、任意角1、 正角、负角、零角、象限角的概念.2、 与角α终边相同的角的集合：{}Z k k ∈+=,2παββ.§1.1.2、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、 rl =α. 3、弧长公式：R Rn l απ==180. 4、扇形面积公式：lR R n S 213602==π.§1.2.1、任意角的三角函数1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin 2、 设点(),A x y为角α终边上任意一点，那么：（设r =sin y r α=，cos x r α=，tan y xα= 3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法.正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 4、 特殊角0°，30°，45°，60°，§1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系：1cos sin 22=+αα. 2、 商数关系：αααcos sin tan =. §1.3、三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限”Z k ∈）1、 诱导公式一： ()()().tan 2tan ,cos 2cos ,sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k （其中：Z k ∈） 2、 诱导公式二： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+3、诱导公式三： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin αααααα-=-=--=- 4、诱导公式四： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ-=--=-=-5、诱导公式五： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛- 6、诱导公式六： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图.sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： 30010-12022ππππ（，）（，，）（，，）（，，）（，，）.§1.4.3、正切函数的图象与性质12、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.周期函数定义：对于函数()x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()，那么函数()x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质§1.5、函数()ϕω+=x A y sin 的图象 1、对于函数：()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>有：振幅A ，周期2T πω=，初相ϕ，相位ϕω+x ，频率πω21==Tf .2、能够讲出函数x y sin =的图象与()sin y A x B ωϕ=++的图象之间的平移伸缩变换关系.① 先平移后伸缩：sin y x = 平移||ϕ个单位 ()sin y x ϕ=+（左加右减） 横坐标不变 ()sin y A x ϕ=+纵坐标变为原来的A 倍纵坐标不变 ()sin y A x ωϕ=+横坐标变为原来的1||ω倍平移||B 个单位 ()sin y A x B ωϕ=++（上加下减）② 先伸缩后平移：sin y x = 横坐标不变 sin y A x =纵坐标变为原来的A 倍 纵坐标不变 sin y A x ω=横坐标变为原来的1||ω倍()sin y A x ωϕ=+平移||B 个单位()sin y A x B ωϕ=++（上加下减）3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期2||T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||T πω=. 对于sin()y A x ωϕ=+和cos()y A x ωϕ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. 求函数sin()y A x ωϕ=+图像的对称轴与对称中心，只需令()2x k k Z πωϕπ+=+∈与()x k k Z ωϕπ+=∈解出x 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.4、由图像确定三角函数的解析式 利用图像特征：max min 2A =，max min2y y B +=. ω要根据周期来求,ϕ要用图像的关键点来求.§1.6、三角函数模型的简单应用 1、 要求熟悉课本例题.第三章、三角恒等变换§3.1.1、两角差的余弦公式记住15°的三角函数值：§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ 2、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=- 3、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+ 4、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-5、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-+=. 6、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+-=.§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、αααcos sin 22sin =， 变形： 12sin cos sin 2ααα=. 2、ααα22sin cos 2cos -=1cos 22-=α α2sin 21-=. 变形如下：升幂公式：221cos 22cos 1cos 22sin αααα⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 降幂公式：221cos (1cos 2)21sin (1cos 2)2αααα=+=-⎧⎪⎨⎪⎩ 3、ααα2tan 1tan 22tan -=.4、sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2ααααα-==+ §3.2、简单的三角恒等变换1、 注意正切化弦、平方降次.2、辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y（其中辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ).第二章：平面向量§2.1.1、向量的物理背景与概念1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、 既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、 向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作AB ；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.2++.§2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、 与a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量.2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、 规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a λ，它的长度和方向规定如下：⑴= ⑵当0>λ时, a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时, a λ的方向与a 的方向相反. 2、 平面向量共线定理：向量()≠与 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使λ=. §2.3.1、平面向量基本定理1、 平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=. §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 ()y x y x ,=+=. §2.3.3、平面向量的坐标运算1、 设()()2211,,,y x b y x a ==，则： ⑴()2121,y y x x b a ++=+，⑵()2121,y y x x --=-， ⑶()11,y x λλλ=， ⑷1221//y x y x =⇔. 2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则： ()1212,y y x x AB --=. §2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则⑴线段AB 中点坐标为()222121,y y x x ++， ⑵△ABC 的重心坐标为()33321321,y y y x x x ++++.§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、 θ=⋅.2、 在θcos .3、 2=.4、=.5、 0=⋅⇔⊥.§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设()()2211,,,y x y x ==，则：⑴2121y y x x b a +=⋅2121y x +=⑶121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+= ⑷1221//0a b a b x y x y λ⇔=⇔-= 2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则：()()212212y y x x -+-=.3、 两向量的夹角公式 2cos a b a bx θ⋅==+4、点的平移公式平移前的点为(,)P x y （原坐标），平移后的对应点为(,)P x y '''（新坐标），平移向量为(,)PP h k '=，则.x x hy y k '=+⎧⎨'=+⎩函数()y f x =的图像按向量(,)a h k =平移后的图像的解析式为().y k f x h -=-§2.5.1、平面几何中的向量方法 §2.5.2、向量在物理中的应用举例知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. ⑵．平面的法向量：若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥，如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量.⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系．②设平面α的法向量为(,,)n x y z =．③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==． ④根据法向量定义建立方程组00n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩.⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量. （如图）2 用向量方法判定空间中的平行关系设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈. 即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线.⑵线面平行①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a u ⊥，即0a u ⋅=. 即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可. ⑶面面平行若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=. 即：两平面平行或重合两平面的法向量共线. 3、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明12l l ⊥，只需证明a b ⊥，即0a b ⋅=. 即：两直线垂直两直线的方向向量垂直.⑵线面垂直①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l α⊥，只需证明a ∥u ，即a u λ=.②（法二）设直线l 的方向向量是a ，平面α内的两个相交向量分别为m n 、，若0,.0a m l a n α⎧⋅=⎪⊥⎨⋅=⎪⎩则 即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直. ⑶面面垂直若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证αβ⊥，只需证u v ⊥，即证0u v ⋅=. 即：两平面垂直两平面的法向量垂直. 4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角A ，C 与B ，D 分别是,a b 上的任意两点，,a b 所成的角为θ，则cos .AC BD AC BDθ⋅=⑵求直线和平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角②求法：设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为ϕ， 则θ为ϕ的余角或ϕ的补角 的余角.即有：cos s .ina ua uϕθ⋅==①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角.如图：②求法：设二面角l αβ--的两个半平面的法向量分别为m n 、，再设m n 、的夹角为ϕ，二面角l αβ--的平面角为θ，则二面角θ为m n 、的夹角ϕ或其补角.πϕ- 根据具体图形确定θ是锐角或是钝角： ◆如果θ是锐角，则cos cos m n m nθϕ⋅==；◆ 如果θ是钝角，则cos cos m n m nθϕ⋅=-=-.5、利用法向量求空间距离⑴点Q 到直线l 距离若Q 为直线l 外的一点,P 在直线l 上，a 为直线l 的方向向量，b =PQ ，则点Q 到直线l 距离为1(||||h a b a =⑵点A 到平面α的距离若点P 为平面α外一点，点M 为平面α内任一点，平面α的法向量为n ，则P 到平面α的距离就等于MP 在法向量n 方向上的投影的绝对值.即cos ,d MP n MP =n MP MP n MP⋅=⋅n MP n⋅=⑶直线a 与平面α之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等.由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离.即.n MP d n⋅=⑷两平行平面,αβ之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离.即.n MP d n⋅=⑸异面直线间的距离高中数学必修四 知识梳理 10设向量n 与两异面直线,a b 都垂直，,,M a P b ∈∈则两异面直线,a b 间的距离d 就是MP 在向量n 方向上投影的绝对值.即.n MP d n⋅=6、三垂线定理及其逆定理⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直推理模式：,,PO O PA A a PA a a OA αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭概括为：垂直于射影就垂直于斜线.⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直推理模式：,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭概括为：垂直于斜线就垂直于射影.7、三余弦定理设AC 是平面α内的任一条直线，AD 是α的一条斜线AB 在α内的射影，且BD ⊥AD ，垂足为D.设AB 与α (AD)所成的角为1θ， AD 与AC 所成的角为2θ， AB 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.8、 面积射影定理已知平面β内一个多边形的面积为()S S 原，它在平面α内的射影图形的面积为()S S '射，平面α与平面β所成的二面角的大小为锐二面角θ，则'cos =.S S S S θ=射原9、一个结论长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++= 222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.。
高一数学必修四知识点归纳
高一数学必修四知识点归纳（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的教育资料，如幼儿教案、音乐教案、语文教案、知识梳理、英语教案、物理教案、化学教案、政治教案、历史教案、其他范文等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor.I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!Moreover, this store provides various types of educational materials for everyone, such as preschool lesson plans, music lesson plans, Chinese lesson plans, knowledge review, English lesson plans, physics lesson plans, chemistry lesson plans, political lesson plans, history lesson plans, and other sample texts. If you want to learn about different data formats and writing methods, please stay tuned!高一数学必修四知识点归纳本店铺为你加油！1.高一数学必修四知识点归纳(1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
高中数学必修4第一章知识点总结
高中数学必修4第一章知识点总结一、数列的定义与表示方法：1.数列的定义：由一列按照一定规律排列的有序数构成的集合称为数列。
2.数列的表示方法：可以通过用元素的代号表示每一项，如a₁,a₂,a₃,...,aₙ表示数列的前n项；或者使用通项公式表示数列的一般项。
二、数列的分类：1.根据数列的前后项之间的关系，可以将数列分为等差数列、等比数列和等差数列的和。
2.等差数列：若一个数列中任意两项之差都相等，则称该数列为等差数列。
等差数列的通项公式为aₙ=a₁+(n-1)d，其中a₁为首项，d为公差，n为项数。
3.等比数列：若一个数列中任意两项之比都相等，则称该数列为等比数列。
等比数列的通项公式为aₙ=a₁*q^(n-1)，其中a₁为首项，q为公比，n为项数。
4.等差数列的和：等差数列的和是等差数列前n项和，记为Sₙ，可由通项公式推导出来。
三、常用的数列公式：1.前n项和公式：-等差数列的前n项和公式为Sₙ=(a₁+aₙ)*n/2-等比数列的前n项和公式为Sₙ=a₁*(1-q^n)/(1-q)，其中q≠12.末项公式：-等差数列的末项公式为aₙ=a₁+(n-1)d。
-等比数列的末项公式为aₙ=a₁*q^(n-1)。
四、数列的性质：1.数列的递增和递减性：若数列的相邻两项之差为正数，称该数列为递增数列；若相邻两项之差为负数，称该数列为递减数列。
2.数列的有界性：若数列的所有项都不小于一个常数M，称该数列是下有界的；若数列的所有项都不大于一个常数N，称该数列是上有界的。
3.数列的单调性：若数列的前后项之间的关系始终保持一致，称该数列是单调数列。
4.数列的极限：如果数列中的项无限增大或无限逼近一些常数，那么这个常数称为该数列的极限。
五、常见的数列应用问题：1.求等差数列的前n项和、末项或项数的方法。
2.求等比数列的前n项和、末项或项数的方法。
3.判断数列的递增性、递减性、有界性或单调性。
4.使用数列的公式解决实际问题，如等差电费问题、等比人口增长问题等。
人教版高中数学必修四常见公式及知识点总结(完整版)
必修四常考公式及高频考点第一部分 三角函数与三角恒等变换考点一 角的表示方法 1.终边相同角的表示方法：所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以构成一个集合：{β|β= k ·360 °+α,k ∈Z } 2.象限角的表示方法：第一象限角的集合为{α| k ·360 °<α<k ·360 °+90 °,k ∈Z }第二象限角的集合为{α| k ·360 °+90 °<α<k ·360 °+180 °,k ∈Z } 第三象限角的集合为{α| k ·360 °+180 °<α<k ·360 °+270 °,k ∈Z } 第四象限角的集合为{α| k ·360 °+270 °<α<k ·360 °+360 °,k ∈Z } 3.终边在某条射线、某条直线或两条垂直的直线上(如轴线角)的表示方法：（1）若所求角β的终边在某条射线上，其集合表示形式为{β|β= k ·360 °+α,k ∈Z },其中α为射线与x 轴非负半轴形成的夹角（2）若所求角β的终边在某条直线上，其集合表示形式为{β|β= k ·180 °+α,k ∈Z },其中α为直线与x 轴非负半轴形成的任一夹角（3）若所求角β的终边在两条垂直的直线上，其集合表示形式为{β|β= k ·90 °+α,k ∈Z },其中α为直线与x 轴非负半轴形成的任一夹角 例：终边在y 轴非正半轴上的角的集合为{α|α= k ·360 °+270 °,k ∈Z }终边在第二、第四象限角平分线上的集合为{α|α= k ·180 °+135 °,k ∈Z } 终边在四个象限角平分线上的角的集合为{α|α= k ·90 °+45 °,k ∈Z } 易错提醒：区别锐角、小于90度的角、第一象限角、0～90、小于180度的角 考点二 弧度制有关概念与公式 1.弧度制与角度制互化π=︒180，1801π=︒，1弧度︒≈︒=3.57180π2.扇形的弧长和面积公式（分别用角度制、弧度制表示方法）弧长公式：R Rn l απ==180, 其中α为弧所对圆心角的弧度数 扇形面积公式：lR R n S 213602==π=12 R 2|α|, 其中α为弧所对圆心角的弧度数 易错提醒：利用S=12R 2|α|求解扇形面积公式时，α为弧所对圆心角的弧度数，不可用角度数规律总结：“扇形周长、面积、半径、圆心角”4个量，“知二求二”，注意公式选取技巧考点三 任意角的三角函数 1.任意角的三角函数定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么sin y r α=，cos x r α=，tan y x α=（22||r OP x y ==+）；化简为xyx y ===αααtan ,cos ,sin . 2.三角函数值符号规律总结：利用三角函数定义或“一全正、二正弦、三正切、四余弦”口诀记忆象限角或轴线角的三角函数值符号. 3.特殊角三角函数值SIN15º=SIN(60º-45º)=SIN60ºCOS45º-SIN45ºCOS60º=(√6-√2)/4 COS15º=COS(60º-45º)=COS60ºCOS45º+SIN60ºSIN45º=(√6+√2)/4除此之外，还需记住150、750的正弦、余弦、正切值 4.三角函数线经典结论： (1)若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<(2)若(0,)2x π∈，则1sin cos 2x x <+≤(3)|sin ||cos |1x x +≥考点四 三角函数图像与性质y OxyOxα终边yOx yOx P M A TPM A T正弦线余弦线 正切线PP MA TP MA T α终边α终边α终边sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min1y=-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数； 在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数； 在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z 对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z⎪⎝⎭无对称轴考点五 正弦型（y=Asin(ωx ＋φ)）、余弦型函数（y=Acos(ωx ＋φ)）、正切性函数（y=Atan(ωx ＋φ)）图像与性质 1.解析式求法字母 确定途径 说明A 由最值确定 A ＝最大值－最小值2B 由最值确定B ＝最大值＋最小值2ω 由函数的周期确定相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点差的绝对值为0.25个周期φ由图象上的特殊点确定可通过认定特殊点是五点中的第几个关键点，然后列方程确定；也可通过解简单三角方程确定A 、B 通过图像易求，重点讲解φ、ω求解思路： ①φ求解思路：函数性质代入图像的确定点的坐标.如带入最高点),(11y x 或最低点坐标),(22y x ，则)(221Z k k x ∈+=+ππϕω或)(2232Z k k x ∈+=+ππϕω，求ϕ值． 易错提醒：y=Asin(ωx＋φ)，当ω>0，且x=0时的相位（ωx+φ=φ）称为初相.如果不满足ω>0，先利用诱导公式进行变形，使之满足上述条件，再进行计算.如y=-3sin(-2x+600)的初相是-600②ω求解思路：利用三角函数对称性与周期性的关系，解ω.相邻的对称中心之间的距离是周期的一半；相邻的对称轴之间的距离是周期的一半；相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期的四分之一. 2.“一图、两域、四性” “一图”：学好三角函数，图像是关键。
高一数学第四册重点知识点
高一数学第四册重点知识点一、平面向量1. 平面向量的定义与性质平面向量是具有大小和方向的量，可以用有向线段表示。
向量的大小称为向量的模，记作|AB|或AB，表示向量的长度。
向量的方向可以用箭头表示，从起点指向终点。
2. 向量的加法与减法向量的加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A和(A + B) + C = A + (B + C)。
向量的减法可以转化为加法操作，即A - B = A + (-B)，其中-A表示与向量A大小相等，方向相反的向量。
3. 数量积与向量积数量积（又称点积或内积）是两个向量的乘积，结果是一个实数。
向量积（又称叉积或外积）是两个向量的乘积，结果是一个向量。
4. 向量的共线与垂直两个向量共线意味着它们的方向相同或相反。
两个向量垂直意味着它们的数量积为0。
二、数列与数列的表示1. 数列的基本概念数列是按照一定规律排列的数的集合。
数列中的每个数称为数列的项。
2. 数列的通项公式数列可以通过通项公式来表示，通项公式可以通过观察数列的规律或使用递推关系等方法得到。
3. 等差数列与等比数列等差数列是指数列中的相邻两项之差都相等的数列。
等比数列是指数列中的相邻两项之比都相等的数列。
4. 数列的求和数列求和可以使用求和公式进行计算，求和公式依赖于数列的类型及已知条件。
三、三角函数1. 三角函数的定义三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们是在直角三角形中定义的。
2. 三角函数的基本关系三角函数之间存在一系列基本关系，比如正弦函数与余弦函数的平方和等于1，正切函数等于正弦函数除以余弦函数等。
3. 三角函数的性质与图像特点三角函数具有一些特殊的性质与图像特点，比如正弦函数的值范围在-1到1之间，余弦函数的值范围也在-1到1之间。
4. 三角函数的应用三角函数在数学中有广泛的应用，比如用于解决三角形的边长和角度等问题，还可以在物理、工程等领域中应用。
四、平面几何1. 二维图形的性质与判定二维图形的性质与判定是研究平面几何中各种图形的基本特征及其相互关系的内容，比如三角形的内角和为180度等。
高一必修四数学知识点重点
高一必修四数学知识点重点在高中数学教学中，必修四是一门非常重要的课程，它包含了许多数学知识点，对于学生的数学基础和学科发展具有重要的意义。
本文将重点介绍高一必修四数学知识点的重点内容，以供学生参考。
一、函数与方程1. 一次函数一次函数是指函数的表达式中最高次项为1的函数，其一般形式为y = kx + b。
在学习一次函数时，需要掌握函数图像的绘制、截距与斜率的关系以及解一次方程等基本知识点。
2. 二次函数二次函数是指函数的表达式中最高次项为2的函数，其一般形式为y = ax^2 + bx + c。
在学习二次函数时，需要理解二次函数图像的特点，包括顶点、对称轴等，并掌握解二次方程和判别二次函数的开口方向的方法。
3. 指数函数与对数函数指数函数是指以指数为变量的函数，其一般形式为y = a^x。
对数函数则是指以对数为变量的函数，其一般形式为y = loga(x)。
学习指数函数和对数函数时，需要了解其性质、图像和变换规律，并能够解决与指数函数和对数函数相关的问题。
二、数列与数列的应用1. 等差数列等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的差相等的数列。
学习等差数列时，需要掌握等差数列的通项公式、前n项和以及等差数列的性质，并能够解决与等差数列相关的应用问题。
2. 等比数列等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的比相等的数列。
学习等比数列时，需要理解等比数列的通项公式、前n项和以及等比数列的性质，并能够解决与等比数列相关的应用问题。
3. 数列的应用数列的应用包括等差数列、等比数列、斐波那契数列等，这些数列的应用广泛，如在金融、经济、生物等领域都有应用。
学习数列的应用时，需要应用数列的性质和公式进行问题求解，灵活运用数学知识。
三、平面向量与解析几何1. 平面向量平面向量是指具有大小和方向的量，它可以用有序数对表示。
学习平面向量时，需要了解平面向量的定义、向量的加法与减法、数量积与向量积等基本运算，并能够应用平面向量解决相关的几何问题。
(完整版)高中数学必修4知识点及其配套习题,推荐文档
⎩ 高中数学必修4 知识点⎧正角: 按逆时针方向旋转形成的角⎪、任意角负⎨角: 按顺时针方向旋转形成的角⎪零角: 不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的集合为{k ⋅360 <<k ⋅360 + 90 , k ∈Z}第二象限角的集合为{k ⋅360 + 90 <k ⋅360 +180 , k ∈Z}第三象限角的集合为{k ⋅ 360 +180 <<k ⋅ 360 +270 , k ∈Z}第四象限角的集合为{k ⋅ 360 + 270 <<k ⋅ 360 + 360 , k ∈Z}终边在 x 轴上的角的集合为{=k ⋅180 , k ∈Z}终边在 y轴上的角的集合为{=k ⋅180 + 90 , k ∈Z}终边在坐标轴上的角的集合为{=k ⋅90 , k ∈Z}3、与角终边相同的角的集合为{=k ⋅360 +, k ∈Z}4、已知是第几象限角，确定(n ∈N* )所在象限的方法：先把各象限均分nn 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域．n5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角所对弧的长为l ，则角的弧度数的绝对值是=l ．r7、弧度制与角度制的换算公式：2= 360 ，1 =⎛180 ⎫≈57.3 ．， 1 = ⎪180 ⎝⎭8、若扇形的圆心角为(为弧度制)，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l =r ，C = 2r +l ，S =1lr =1r 2 ．2 29、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点P的坐标是(x, y )，它与原1x 2 + y 2 tan 点的距离是r (r = > 0)，则sin = y ， cos = x ， tan = y(x ≠ 0)．r r x 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线： sin= MP ， cos= OM ， tan = AT ．12、同角三角函数的基本关系： (1)sin 2+ cos 2= 1 sin 2=(1- c os 2,cos 2=1-sin 2 ；(2)sin) ⎛sin = tan cos, cos= sin ⎪⎫ ．⎝⎭13、三角函数的诱导公式：= tancos(1)sin (2k +)= sin ， cos (2k +)= cos ， tan (2k +)= tan (k ∈ Z )．(2)sin (+)= -sin， cos (+)= -cos ， tan (+)= tan．(3)sin (-)= -sin ， cos (-)= cos ， tan (-)= - tan ．(4)sin (-)= sin ， cos (-)= -cos， tan (-)= -tan ． 口诀：函数名称不变，符号看象限． 5 sin ⎛ ⎫ ⎛ ⎫ ( ) 2 -⎪ = cos ， cos 2 -⎪ = sin ． ⎝ ⎭ ⎝ ⎭6 sin ⎛ ⎫ ⎛⎫( ) 2 +⎪ = cos， cos 2 +⎪ = -sin．⎝ ⎭⎝ ⎭口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．14．函数 y = A sin(x +) + B （其中A > 0，> 0）最大值是 A + B ，最小值是 B - A ，周期是T = 2，频率是 f= ，相位是2 x +，初相是；其图象的对称轴是直线x += k + (k ∈ Z ) ，凡是该图2象与直线 y = B 的交点都是该图象的对称中心。
高一必修四数学知识点总结
高一必修四数学知识点总结一、集合与函数1. 集合的概念集合是由一些特定的对象组成的整体。
在数学中，我们可以将一组数、一组点、一组变量等看作一个集合。
集合的表示方法有两种，分别是列举法和描述法。
列举法是将集合中的元素一一列举出来，用大括号{}括起来；描述法是使用一个条件式来表示集合，例如{x|x是一个自然数}，表示集合中的元素x是一个自然数。
2. 集合的运算集合之间有并、交、差、补等各种运算。
- 并集：将两个集合中的元素合并在一起，去除重复的元素即可得到并集。
- 交集：两个集合中共同存在的元素所组成的集合。
- 差集：一个集合减去另一个集合后，得到的新集合。
- 补集：在全集中减去某个集合的元素所得到的集合。
3. 函数的概念函数是一种对应关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素上。
数学中通常用函数的变量表示自变量（输入）和函数值表示因变量（输出）。
4. 函数的性质- 定义域：函数中自变量的取值范围。
- 值域：函数中因变量的取值范围。
- 奇函数与偶函数：奇函数有f(-x) = -f(x)，偶函数有f(-x) = f(x)。
- 单调性：函数的增减性质。
- 周期函数：函数值在一定的周期内重复出现。
5. 反函数函数f的反函数记作f^(-1)，它的定义域和值域互换。
如果f(x) = y，则f^(-1)(y) = x。
6. 复合函数将一个函数的输出作为另一个函数的输入，形成新的复合函数。
如f(g(x))表示g(x)的输出作为f的输入。
7. 指数函数和对数函数指数函数是以指数为自变量的函数，对数函数是指数函数的反函数。
8. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们是表达角度和边长之间关系的函数。
9. 线性规划线性规划是一种优化问题的数学模型，通过线性不等式约束和线性目标函数来寻找最优解。
常见的线性规划问题有最大化利润、最小化成本等。
二、解析几何1. 平面直角坐标系平面直角坐标系是由两条相互垂直的直线和它们的交点所确定的坐标系。
高一期末复习必修4、5、2数学知识点
必修4数学知识点第一章、三角函数. §1.1.1、任意角1、 正角、负角、零角、象限角的概念.2、 与角α终边相同的角的集合：{}Z k k ∈+=,2παββ.§1.1.2、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、 rl =α. 3、弧长公式：R R n l απ==180. 4、扇形面积公式：lR R n S 213602==π. §1.2.1、任意角的三角函数1、任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，则：xyx y ===αααtan ,cos ,sin . 2、 设点()00,y x A 为角α终边上任意一点，那么：（设2020y x r +=）r y 0s i n=α，r x 0cos =α，00tan x y=α. 3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法.4、 诱导公式一：()()().tan 2tan ,cos 2cos ,sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k （其中：Z k ∈）1、 平方关系：1cos sin 22=+αα. 2、 商数关系：αααcos sin tan =. §1.3、三角函数的诱导公式1、 诱导公式二：2、诱导公式三：()()().tantan,coscos,sinsinααπααπααπ=+-=+-=+()()().tantan,coscos,sinsinαααααα-=-=--=-3、诱导公式四：4、诱导公式五：5、诱导公式六：()()().tantan,coscos,sinsinααπααπααπ-=--=-=-.sin2cos,cos2sinααπααπ=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-.sin2cos,cos2sinααπααπ-=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+§1.4.1、正弦、余弦函数的图象1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、会用五点法作图.（a=0，2π，π，23π，2π）§1.4.2、正弦、余弦函数的性质（正弦必须背熟）siny x=cosy x=tany x=图象定义域R R,2x x k kππ⎧⎫≠+∈Z⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x kππ=+()k∈Z时，max1y=；当22x kππ=-()k∈Z时，min1y=-．当()2x k kπ=∈Z时，max1y=；当2x kππ=+()k∈Z时，min1y=-．既无最大值也无最小值函数性质周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性 在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性 对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴§1.5、函数()ϕω+=x A y sin 的图象1、 能够讲出函数x y sin =的图象和函数()b x A y ++=ϕωsin 的图象之间的平移伸缩变换关系.函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 2、 对于函数：函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 3、由函()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的解析式：⑴根据最值求A ；⑵根据周期求w ；⑶代入最高点或最低点结合ϕ的范围求ϕ第二章、平面向量§2.1.1、向量的物理背景与概念1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、 既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、 向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度（或称模）；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.§2.1.3、相等向量与共线向量1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、 与长度相等方向相反的向量叫做的相反向量. 向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+ ．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++§2.2.2、向量减法运算及其几何意义baCBA⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--．§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、 规定：实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：λ，它的长度和方向规定如下：⑴λλ=⑵当0>λ时, a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时, a λ的方向与的方向相反.2、 平面向量共线定理：向量()≠与 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使λ=. §2.3.1、平面向量基本定理1、 平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e λλ+=. §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 ()y x y x ,=+=. §2.3.3、平面向量的坐标运算1、 设()()2211,,,y x b y x a ==，则： ⑴()2121,y y x x b a ++=+，⑵()2121,y y x x b a --=-， ⑶()11,y x a λλλ=， ⑷1221//a b x y x y ?r r（重要）. 2、 设()()1122,,,A x y B x y ，则：()1212,y y x x AB --=. §2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则 ⑴线段AB 中点坐标为()222121,y y x x ++，⑵△ABC 的重心坐标为()33321321,y y y x x x ++++.§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、 1212cos a ba b x x y y q ?=+r r r r. 2、 在θ.3、 2=. 4、=. 5、 0a b a b ^圩=r r r r.§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、 设()()2211,,,y x y x ==，则：⑴1212a bx x y y ?+r r ⑵a =r⑶12120a b x x y y ^?=r r（重要）！数量积运算不满足结合律，即()()a b c a b c 鬃棺 r r r r r r满足加法分配律，完全平方公式，平方差公式都适合。
高中数学必修4知识点(完美版)
高中数学必修 4第一章 三角函数⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=． 6、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 7、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．8、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r >，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．10、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 11、角三角函数的基本关系()221sin cos 1αα+=()2222sin1cos ,cos 1sin αααα=-=-()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．12、函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．13、①的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．②数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 14、函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()m a x m i n 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<．15 周期问题◆()()()()()()ωπωϕωωπωϕωωπωϕωωπωϕωωπωϕωπωϕω2T , 0b , 0 , 0A , b 2T , 0 b , 0 , 0A , b T , 0 , 0A , T , 0 , 0A , 2T , 0 , 0A , 2T , 0 , 0A , =≠>>++==≠>>++==>>+==>>+==>>+==>>+=x ACos y x ASin y x ACos y x ASin y x ACos y x ASin y()()()()ωπωϕωωπωϕωωπωϕωωπωϕω=>>+==>>+==>>+==>>+=T , 0 , 0A , cot T , 0 , 0A , tan T, 0 , 0A , cot T , 0 , 0A , tan x A y x A y x A y x A yR ,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭第二章平面向量16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑷运算性质：①交换律：a b b a+=+；②结合律：()()a b c a b c++=++；③00a a a+=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y=，()22,b x y=，则()1212,a b x x y y+=++．18、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．baCBA⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--．19、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+ ．⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ==．20、向量共线定理：向量()0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y = ，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a、()0b b ≠共线．21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ；③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅ ．⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y = ，()22,b x y =，则1212a b x x y y ⋅=+．测试题一、选择题1．若三点(2,3),(3,),(4,)A B a C b 共线，则有（ ）A ．3,5a b ==-B ．10a b -+=C ．23a b -=D ．20a b -= 2．设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是（ ）A .2B .3C .23D .32 3．下列命题正确的是（ ）A ．单位向量都相等B ．若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量（ ）C ．|||b -=+，则0a b ⋅=D ．若0a 与0b 是单位向量，则001a b ⋅=4．已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为060，那么3a b += （ ）A ．7B ．10C ．13D ．45．已知向量a ，b 满足1,4,a b ==且2a b ⋅= ,则a 与b 的夹角为A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 6．若平面向量b 与向量)1,2(=a 平行，且52||=b ，则=b ( )A ．)2,4(B ．)2,4(--C ．)3,6(-D ．)2,4(或)2,4(-- 二、填空题1．若||1,||2,a b c a b ===+ ，且c a ⊥ ，则向量a 与b的夹角为 ．2．已知向量(1,2)a →=，(2,3)b →=-，(4,1)c →=，若用→a 和→b 表示→c ，则→c =____。
人教版高中数学必修四知识点归纳总结
人教版高中数学必修四知识点归纳总结1.1．1 任意角1．角的有关概念： ①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称：③角的分类： ④注意：⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． 2．象限角的概念：①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．1.1.2弧度制（一）1．定 义我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略． 弧度制的性质：①半圆所对的圆心角为;ππ=r r②整圆所对的圆心角为.22ππ=rr ③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数．⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=. rl4．角度与弧度之间的转换： ①将角度化为弧度：π2360=︒； π=︒180；rad 01745.01801≈=︒π；rad n n 180π=︒．②将弧度化为角度：︒=3602π；︒=180π；815730.57)180(1'︒=︒≈︒=πrad ；︒=) 180 (πn n ．5．常规写法：① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数． ② 弧度与角度不能混用． 6．特殊角的弧度正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角顶点AOαα⋅=⇒=r l rl弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积．4-1.2.1任意角的三角函数（三）1. 三角函数的定义2. 诱导公式)Z (tan )2tan()Z (cos)2cos()Z (sin )2sin(∈=+∈=+∈=+k k k k k k ααπααπααπ 当角的终边上一点(,)P x y 1=时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高一数学必修4知识点复习及重点题型-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN必修3重要知识点梳理第一部分知识回顾：一、算法与程序框图：1.程序框图相关符号及对应名称和功能.2.基本逻辑结构：顺序结构、条件结构和循环结构.3.基本算法语句：输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句.4.算法案例：求最大公约数----辗转相除法与更相减损术；秦九韶算法；进位制.二、统计：（一）随机抽样抽样方法：①简单随机抽样(抽签法和随机数法) ②系统抽样③分层抽样. （二）用样本估计总体：1.用样本的频率分布估计总体分布频率分布表，频率分布直方图，茎叶图，频率分布折线图，总体密度曲线.2.用样本的数字特征估计总体的数字特征①通过原始数据求众数、中位数、平均数和方差/标准差.②通过频率分布直方图估计数据的众数、中位数、平均数和方差/标准差.（三）变量间的相关关系1.相关关系--正相关和负相关2.两个变量的线性相关回归直线，最小二乘法求回归直线方程三、概率：（一）随机事件的概率①事件、频数和频率以及概率的正确理解.②事件的关系：包含、相等、互斥和对立.事件的运算：并(和)事件和交(积)事件.③概率的基本性质.（二）古典概型和几何概型：相应概率模型的特征及运算公式.第二部分习题巩固：算法和程序框图部分：1.如果执行下面的程序框图，那么输出的S等于()A．2 450 B．2 500 C．2 550 D．2 6522.若下面的程序框图输出的S是126，则①应为()A．n≤5B．n≤6?C．n≤7D．n≤8?3.阅读下列程序，则其输出的结果为()A.6364 B.3132 C.127128 D.1516S＝0n＝2i＝1DOS＝S＋1/nn＝n*2i＝i＋1LOOP UNTIL i>＝7PRINT SEND第1题第2题第3题4.如图是求x1，x2，…，x10的乘积S的程序框图，图中空白框中应填入的内容为()A．S＝S*(n＋1) B．S＝S*x n＋1 C．S＝S*n D．S＝S*x n 5．某程序框图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内为()1题2题23A ．k >4B ．k >5?C ．k >6D ．k >7?6.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的结果是16，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是________．第4题 第5题 第6题7已知三个数12(16)，25(7)，33(4)，将它们按由小到大的顺序排列为________． 8把10 231(5)化为四进制数为________．统计部分：1.某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为36的样本，则老年人、中年人、青年人分别应抽取的人数是( ) A ．7,11,19 B ．6,12,18 C ．6,13,17 D ．7,12,172.已知一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数是2，方差是13，那么另一组数3x 1－2,3x 2－2,3x 3－2,3x 4－2,3x 5－2的平均数，方差分别是( )A ．2，13B ．2,1C ．4，23D ．4,33.如果在一次实验中，测得(x ，y )的四组数值分别是A (1,3)，B (2,3.8)，C (3,5.2)，D (4,6)，则y 与x 之间的回归直线方程是( )A.y ^＝x ＋1.9 B.y ^＝1.04x ＋1.9 C.y ^＝0.95x ＋1.04 D.y ^＝1.05x －0.94.某商店统计了最近6个月某商品的进价x 与售价y(单位：元)的对应数据如下表：x 3 5 2 8 9 12 y 4 6 3 9 12 14假设得到的关于x 和y 之间的回归直线方程是y ^＝b ^x ＋a ^，那么该直线必过的定点是________．5.某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温.气温(℃) 14 12 8 6 用电量22 26 34 38(度)由表中数据得回归方程y ^ ＝b ^ x ＋a ^ 中b ^＝－2，据此预测当气温为5℃时，用电量的度数约为______．6.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据.x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出回归直线方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)7.农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从甲、乙两种麦苗的试验田中各抽取6株麦苗测量麦苗的株高，数据如下：(单位：cm)(1)在下面给出的方框内绘出所抽取的甲、乙两种麦苗株高的茎叶图；(2)分别计算所抽取的甲、乙两种麦苗株高的平均数与方差，并由此判断甲、乙两种麦苗的长势情况．甲：9,10,11,12,10,20 乙：8,14,13,10,12,21.8.今年西南一地区遭遇严重干旱，某乡计划向上级申请支援，为上报需水量，乡长事先抽样调查了100户村民的月均用水量，得到这100户村民月均用水量的频率分布表如下表：(月均用水量的单位：吨)用水量分组 频数 频率[0.5,2.5) 12第5题[2.5,4.5)[4.5,6.5) 40[6.5,8.5) 0.18[8.5,10.5] 6合计100 1(1)请完成该频率分布表，(2)估计样本的中位数是多少？(3)已知上级将按每户月均用水量向该乡调水，若该乡共有1 200户，请估计上级支援该乡的月调水量是多少吨？9.从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下的频率分布直方图．试利用频率分布直方图求：(1)这50名学生成绩的众数与中位数．(2)这50名学生的平均成绩．概率部分：随机事件的概率：1.一口袋内装有大小一样的4只白球与4只黑球,从中一次任意摸出2只球.记摸出2只白球为事件A,摸出1只白球和1只黑球为事件B.问事件A和B是否为互斥事件是否为对立事件2.在一个盒子内放有10个大小相同的小球,其中有7个红球、2个绿球、1个黄球,从中任取一个球,求：（1）得到红球的概率；（2）得到绿球的概率；（3）得到红球或绿球的概率；（4）得到黄球的概率.（5）“得到红球”和“得到绿球”这两个事件A、B之间有什么关系,可以同时发生吗？（6）（3）中的事件D“得到红球或者绿球”与事件A、B有何联系？3.若A表示四件产品中至少有一件是废品的事件,B表示废品不少于两件的事件,试问对立事件A、B各表示什么?4.回答下列问题：(1)甲、乙两射手同时射击一目标,甲的命中率为0.65,乙的命中率为0.60,那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0.65+0.60=1.25,为什么?(2)一射手命中靶的内圈的概率是0.25,命中靶的其余部分的概率是0.50,那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0.25+0.50=0.75,为什么?(3)两人各掷一枚硬币,“同时出现正面”的概率可以算得为221.由于“不出现正面”是上述事件的对立事件,所以它的概率等于432112=-,这样做对吗?说明道理.5.在一只袋子中装有7个红玻璃球,3个绿玻璃球.从中无放回地任意抽取两次,每次只取一个.试求：(1)取得两个红球的概率；(2)取得两个绿球的概率；(3)取得两个同颜色的球的概率；(4)至少取得一个红球的概率.46.盒中有6只灯泡,其中2只次品,4只正品,有放回地从中任取两次,每次取一只,试求下列事件的概率：(1)取到的2只都是次品；(2)取到的2只中正品、次品各一只；(3)取到的2只中至少有一只正品.7.某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛.甲、乙两队夺取冠军的概率分别是73和41.试求该市足球队夺得全省足球赛冠军的概率.古典概型：8.在大小相同的5个球中,2个是红球,3个是白球,若从中任取2个,则所取的2个球中至少有一个红球的概率是_____________.9.抛掷2颗质地均匀的骰子,求点数和为8的概率.10.豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定,其中决定高的基因记为D,决定矮的基因记为d,则杂交所得第一子代的一对基因为Dd,若第二子代的D,d基因的遗传是等可能的,求第二子代为高茎的概率（只要有基因D则其就是高茎,只有两个基因全是d时,才显现矮茎）.11.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4，(1)从袋中随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．几何概型：12.有一段长为10米的木棍,现要将其截成两段,要求每一段都不小于3米,则符合要求的截法的概率是多大？13.郭靖、潇湘子与金轮法王等武林高手进行一种比赛,比赛规则如下：在很远的地方有一顶帐篷,可以看到里面有一张小方几,要将一枚铜板扔到这张方几上.已知铜板的直径是方几边长的43,谁能将铜板整个地落到方几上就可以进行下一轮比赛.郭靖一扔,铜板落到小方几上,且没有掉下,问他能进入下一轮比赛的概率有多大？14甲、乙两人相约在上午9：00至10：00之间在某地见面,可是两人都只能在那里停留5分钟.问两人能够见面的概率有多大？15.在5升水中有一个病毒,现从中随机地取出1升水,含有病毒的概率是多大？56现在我们将这个问题拓展一下：16.在5升水中有两个病毒,现从中随机地取出1升水,含有病毒的概率是多大？17.在圆心角为90°的扇形中,以圆心为起点作射线OC,求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率.18.设关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=. (1)若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求使上述方程组有实数根都概率.(2)若a 是从[0,3]上任取的一个数，b 是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率.19.某工厂生产A 、B 两种元件，其质量按测试指标划分为：大于或等于7.5为正品，小于7.5为次品.现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：A 7 77.5 9 9.5B6x8.58.5y由于表格被污损，数据x 、y 看不清，统计员只记得x y <，且A 、B 两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等.①求表格中x 与y 的值②从被检测的5件B 种元件中任取2件，求2件都为正品的概率.。