浙江省杭州市浙教版初中八年级下册数学第6章反比例函数图象和性质(教师版)——西湖洪小爱

反比例函数的图像和性质

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重点：能结合具体情境确定反比例函数的表达式，并理解反比例函数系数k 的具体意义；掌握反比例函数的图象的基本特征。

难点：会运用反比例函数的性质解决一些简单的实际问题。

一、反比例函数

1、函数 （k 为常数，k ≠ ）叫做反比例函数，k 叫做 。自变量x 的取值范围

是x 0，函数值 y 0.反比例函数常见的表达形式还有（k ≠0）和xy=k （k ≠0）.

2、要确定一个反比例函数的表达式，只需求出 .如果已知一对自变量与函数的对应值，就可以由此求出 .然后写出所求的反比例函数。

二、反比函数的图象和性质

1、用描点法画反比例函数图象的基本步骤① ；② ；③ .

1-=kx y x k y =

2、反比例函数（k ≠0）的图象是由两个分支组成的曲线，当k>0时，图象在 象限；

当k<0时，图象在 象限.反比例函数

（k ≠0）的图象关于直角坐标系的 成中心对称。

3、反比例函数的图象的对称轴有 条。

4、反比例函数

（k ≠0）的性质：当k>0时，在图象所在的每一象限内，函数值y 随自变量x 的增大而 ；当k<0时，在图象所在的每一象限内，函数值y 随自变量x 的增大而 ；

知识点一、反比例函数

定义

例1．函数y=（m 2﹣m ）

是反比例函数，则（ ） A ．m ≠0

B ．m ≠0且m ≠1

C ．m=2

D ．m=1或2

练习1、若函数y=

是反比例函数，则

k= ． 练习2、若函数是y 关于x 的反比例函数，求m 的值。

反比例函数的意义和函数值

例2、已知变量y 关于（x+5）成反比例函数，且x=2时，y=2，求x=2017时，y 的函数值.

x k y =

x k

y =x y 1=

x k

y =132)1(+++=m m x m y

练习1、已知y -1 与x 成反比，且x=2时,y=9. 求x=2017时，y 的函数值。

练习2、若，其中与x 成反比，与（x -1）成正比，且x=3时，y=5；x=2时，y=- 1.求x=- 1时，y 的值.

反比例函数的动点问题

例3、如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，P 是AD 上的一个动点，且与A 、D 不重合，过C 作CQ ⊥PB ，垂足为Q ．设CQ 为x ，BP=y ，

（1）求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；

（2）当BP=CQ 时，求BP 的长．

练习、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=1，AB=，BC=2，P 是BC 边上的一个动点（点P 与点B 不重合），DE ⊥AP 于点E ．设AP=x ，DE=y ．求y 关于x 的函21y y y -=1y 2

y

数关系式，并指出自变量x的取值范围．

知识点二、反比例函数的图象和性质

例1、如图，边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O，AB∥x轴，BC∥y轴，反比例函数y=与y=﹣的图象均与正方形ABCD的边相交，则图中阴影部分的面积之

和是

.

练习1、如右上图，有反比例函数，的图象和一个以原点为圆心，2为半径的圆，则= .

例2、已知点P是x轴正半轴的一个动点，过点P作x轴的垂线PA交双曲线y=于点A，连接OA．

（1）如图甲，当点P在x轴的正方向上运动时，Rt△AOP的面积大小是否变化答：（请填“变化”或“不变化”）

x

y

1

=

x

y

1

-

=

阴影

s

若不变，请求出Rt △AOP 的面积= ；若改变，试说明理由（自行思索，不必作答）；

（2）如图乙，在x 轴上的点P 的右侧有一点D ，过点D 作x 轴的垂线交双曲线于点B ，连接BO 交AP 于C ，设△AOP 的面积是S 1，梯形BCPD 的面积为S 2，则S 1与S 2的大小关系是S 1 S 2（请填“＞”、“＜”或“=”）．

练习1、如图：P 是反比例函数图象上的一点，由P 分别向x 轴和y 轴引垂线，阴影部分面积为3，求函数的表达式．

练习2、如图，菱形OABC 的顶点O 是原点，顶点B 在y 轴上，菱形的两条对角线的长分别是6

()_____,0,4的值为则的图象经过反比例函数和k C x x

k y <=

例3、若点（﹣2，y 1），（1，y 2），（2，y 3）都在反比例函数y=的图象上，则有（ ） A ． y 1＞y 2＞y 3 B ． y 1＞y 3＞y 2 C ． y 3＞y 1＞y 2 D ． y 2＞y 3＞y 1

练习1、如果反比例函数y=﹣的图象过点（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3），且x 1＞x 2＞0＞x 3，那么y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）

A．y3＞y1＞y2B．y3＞y2＞y1C．y1＞y2＞y3D．y2＞y1＞y3

练习2、若反比例函数y=的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），且当0＜x1＜x2时，y1＞y2＞0，则m的取值范围是（）

A．m＜0B．m＞0C．m＜D．m＞

例4、已知反比例函数的图象与一次函数y=kx+m的图象相交于点（3，2）．

（1）分别求出这两个函数的解析式；

（2）试判断点P（﹣4，6）关于y轴的对称点P′是否在一次函数y=kx+m的图象上．

练习1、已知反比例函数y=与一次函数y=2x+k是的图象的一个交点的纵坐标为﹣4．

（1）求k的值；

（2）求反比例函数与一次函数的交点坐标．

练习2、如图所示，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于A（-4，2），B（2，n）两点，且与x轴交于点C.

（1）确定上述反比例函数和一次函数的表达式；

（2）求△AOB的面积；

（3）根据图象写出一次函数的值小于反比例函数的值时x的取值范围。