工程数学基础教程课后习题答案

.工程数学基础习题解答习 题 一A一、判断题1.√；，2.√；3.×；4.×；5.×；6.×；7.×；8.√；9.√；10.×.二、填空题1.;C C A B2.111(){1,2,3,4},(){,,},(){,,},(){1,4},(){2,3};f f a b e f A a b e f B f b --=====D R3.满;4.2sup =E ,3inf -=E ; 5.0; 6.0; 7. n ; 8.Y .B1.证 ()y f A B ∀∈⋂,x A B ∃∈⋂使得)(x f y =.由x A B ∈⋂,得x A ∈,且x B ∈故()()y f x f A =∈且()y f B ∈,即()()y f A f B ∈⋂,因此()()()f A B f A f B ⋂⊂⋂.当f 是单射时,只需证明()()()f A f B f A B ⋂⊂⋂即可： ()()(),y f A f B f ∀∈⋂⊂R f 由是单射知,().(),(),1X y f x y f A y f B x ∃=∈∈∈使得且,,()(),x A x B x A B y f x f A B ∴∈∈∈⋂=∈⋂且即从而故()()()f A f B f A B ⋂⊂⋂.是可能的，例如,2:,[2, 0],[1, 3],[1, 0].f xx A B A B =-=-⋂=-取则()([1,0])[0, 1], f A B f ⋂=-=于是而[][]()()0, 4[0, 9]0, 4.f A f B ⋂=⋂=从而有 .2. 证（1）n ∀∈,有)2 ,2(12 ,12][-⊂-+-n n ,故 ∞=-⊂-+-1)2 ,2(12 12][n n ,n .另一方面,)2 ,2(-∈∀x ,k ∃∈,使][12 ,12k k x -+-∈,故 ∞=-+-∈1][12 12n n ,n x ,于是⊂-)2 ,2( ∞=-+-1][12 12n n,n .因此, ∞=-+-=-1][12 ,12)2 ,2(n nn .（2）n ∀∈,有)12 ,12(]2 ,2[n n +--⊂-,故 ∞=+--⊂-1)12 ,12(]2 ,2[n n n .另一方面,对任意]2 ,2[-∉x ,即2>x ,k ∃∈,使得212>+>kx ,即)12 ,12(k k x +--∉,从而 ∞=+--∉1)12 ,12(n n n x ，故 ∞=-⊂+--1]2,2[)12 ,12(n n n .因此,∞=+--=-1)12,12(]2,2[n nn . 3. sup ,sup ,sup ,.A A A μμμμ''===证设且要证唯一只需证明即可sup ,,,sup ,,;.inf .A A A A A μμμμμμμμμμ'''=≤=''≤= 因为是最小上界而是的上界故又因为是最小上界而是的上界故因此 类似地可以证明是唯一的 4. 证 设{}D Y αα∈是线性空间X 的一族子空间,要证D Y X αα∈⋂也是的线性子空间.显然D Y αα∈⋂≠∅，z 只需证明.D Y X αα∈⋂对的线性运算是封闭的事实上，,Dx y Y αα∈∀∈⋂及,λ∀∈,从而对每一个D ∈α,有,x y Y α∈,故x y Y α+∈,x Y αλ∈.于是,D x y Y αα∈+∈⋂,D x Y ααλ∈∈⋂.因此,DY αα∈⋂是X 的线性子空间. 5. ,,,W f g W λ∀∈∀∈证显然包含零多项式故非空；又及，有()(0)()(0)(0)(0)(0)(0)[(0)(0)][(0)(0)]000,f g f g f g f g f f g g '''''+++=+++=+++=+=即;()(0)()(0)(0)(0)[(0)(0)]00,.f g W f f f f f f f W λλλλλλλ'''+∈+=+=+==∈即[0, 1].n W P 所以,是的线性子空间1111021121001121 [0, 1],(),()2.(0)(0)0,0,,()(1).n n n n n n n n n n n f W P f x a x a x a x a f x na x a x a f f a a a a f x a x a x a x a x -----'∀∈⊂=++++=+++'+=+==-=++++-设则由得即故23(1,,,,),dim .n x x x x W W n -=由上可知,是的一个基故6. 1(1),(0)0.()0,0.T T T x T T x -⇒===“”:因为是线性的故有于是,若则由存在知是单射,从而有 1T T -⇐“”:要证存在,只需证明是单射：121212121212,,((),()()()0,0,,.x x X T x T x T x x T x T x x x x x T ∀∈=-=-=-==当)即时由条件得即故是单射 1112121211221122(2),,,,,s.t.,,(),().y y Y x x X y Tx y Tx x T y x T y λλ--∀∈∀∈∃∈====及即于是有1111111221122112211221122(+)[()()][()]()(),T y y T T x T x T T x x x x T y T y λλλλλλλλλλ-----=+=+=+=+1:.T Y X -→故是线性的7. 2222:,.B A σ⨯⨯→解首先验证是线性的然后求其在即下的矩阵221212,,,,X X k k σ⨯∀∈∀∈由的定义，有 10010000,,,0001001()B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1122011221012021122(+)(+)+()+(),k X k X A k X k X k A X k A X k X k X σσσ===2222:.σ⨯⨯→故是线性的1112212210010000,,,00001001E E E E B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦关键是求基元的像在基下的坐标：()()()11111221221110000000,00,Tab acd cE aE E cE E E a c σσ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即()()()12111221221201000000,00,Tab a cd c E E aE E cE E a c σσ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即()()()21111221222100010000,00,T ab bcd d E bE E dE E E b d σσ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即()()()2211122122200001000,00,Tab b cd d E E bE E dE E b d σσ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即 0000.0000aba b A c d c d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥⎣⎦习 题 二A一、判断题1.√；2.×；3.√；4.√；5.×；6.√；7.×；8.×；9.√；10.√；11.×；12.×.二、填空题1.x ；2.n ；3.2,(1),i,i λλλλ-+-；4. 1,1λλ-+；5.200004014⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦；6.200020012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；7.O ； 8.O ；9.1λ-；10.6.三、单项选择题1.(d)；2. (b)；3. (b)；4. (d)；5. (a).B1.解（1）E A λ-()[]−−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----=-+212]3,2[]2,1[020012201200120012λλλλλλλ ()[]()[]()[]()[]222311322132232)2(00)2(10001020)2(10201-⋅+-⋅-⋅--⋅+−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----−−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----λλλλλλλλ ()[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---⋅3123)2(11)2(00010001λλ, 3123()()1, ()(2).d d d λλλλ∴===-（2）E A λ-[][]()[]−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡------−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡------=+-λλλλλλλ13123,1111111111111()[][]3211222311111011010011012λλλλλλλλλλ+⋅-⎡⎤⎣⎦+----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+--−−−→+−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎣⎦⎣⎦[]()[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++−−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++---⋅-+)2)(1(11)2)(1(0001011117312λλλλλλλλ, 1()1d λ∴=,1)(2+=λλd ,)2)(1()(3-+=λλλd .（3）E A λ-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---=52340100010012345100010001λλλλλλλλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++---→542300100100012λλλλλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++--→543200100010001232λλλλλλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++→5432111234λλλλ, 12()()()1d d d λλλ∴===,5432)(2344++++=λλλλλd .（4）[]1,2310013004100140071211721761671E A λλλλλλλλλ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥-=−−→⎢⎥⎢⎥--------⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()[]()()()21122314162131113001000021000(1)0004210(4)210611106111λλλλλλλλλλλλλλ+-+⎡⎤⎣⎦-+-⎡⎤⎣⎦+⋅-⎡⎤⎣⎦⋅-⎡⎤⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥−−−−→−−−−→⎢⎥⎢⎥-----+--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦[]()2243232100010000(1)000(1)000621062106101010(1)0λλλλλλλλ+⋅⎡⎤⎣⎦+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥−−−→−−−−→⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦()()()2421[4()][24(1)]10[246][41][342]2210001000(1)0(1)0000010********(1)(1)0100101010λλλλλλ-⋅-⋅-+⋅-⋅-+⋅-⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥−−−→−−−−→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦[][]242,4(2)3,4[32]1041000100(1)010001110(1)λλλ-+⋅⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥−−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦, 123()()()1d d d λλλ∴===,44)1()(-=λλd .2. 解 (1)∵4det ()(2)A λλ=-+，∴44)2()(+=λλD ,又∵01021210100≠-=++λλ,∴1)(3=λD ,从而1)()(21==λλD D .于是不变因子为1)()()(321===λλλd d d ,44)2()(+=λλd ；初等因子组为4)2(+λ. (2)2210010010010()00000()000()B λαλαλαλαλλαλαλαλα++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥≅≅⎢⎥⎢⎥+-+⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++≅22)()(11αλαλ, 故不变因子为 1)()(21==λλd d ,23)()(αλλ+=d ,24)()(αλλ+=d ; 初等因子组为 22)(,)(αλαλ++.(3)显然313()1,det ()(1)()D C D λλλλ==+=,而2(1)(5)08(1)adj ()3(1)(1)6(1)2(1)0(1)(3)C λλλλλλλλλλ+++⎡⎤⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥-++-⎣⎦， ∴1)(2+=λλD .因此2321)1()(,1)(,1)(+=+==λλλλλd d d ; 初等因子组:2)1(,1++λλ.（4）由第1题（4）知1)()()(321===λλλd d d ,44)1()(+=λλd .也可这样解：由行列式的Laplace 展开定理得43121det ()(1)411D λλλλλλ----=⋅=-+，故44)1()(-=λλD ;又)(λD 的左下角的三阶子式372471672170142+-=---+λλλλ与)(4λD 是互质的,所以1)(3=λD ,从而1)()(12==λλD D .因此44321)1()(,1)()(,1)(-====λλλλλd d d d ;初等因子组:4)1(-λ.3.解（1）∵12020(1)(1)(2)211E A λλλλλλλ---=-=+--+，∴1~12A J ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦.（2）∵E A λ-611123034371230343104252373-+-+-=-++-+-=--+--=λλλλλλλλλλλλ 611123036411022-+-+++----=λλλλλλλ)i )(i )(1(123+--=-+-=λλλλλλ，∴~A J ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=i i 1. （3）∵[]1,231001300410014007121172117616171E A λλλλλλλλλ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥-=→⎢⎥⎢⎥--------⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[][][])1(12)1(13)6(14+⋅+-⋅+⋅+−−−→−λ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------λλλλλλλλλλ2222)1()1(0100000)1(000011160124000)1(00031⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→22)1()1(11λλ, ∴初等因子组为2)1(-λ,2)1(-λ,于是⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11011J ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11012J ,故12111111JJ J ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦. （4）0001001E A λλλλ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,()det()n nD E A λλλ=-=,又有一个1-n 阶子式0)1(1111≠-=----n λλλ,∴1)()(11===-λλD D n ，故1)()()(121====-λλλn d d d ,n n d λλ=)(;初等因子组为n λ,所以010~110A J ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (事实上，A 本身就是一个Jordan 块)4.解（1）由第1题（2）知1)(1+=λλϕ,2)2)(1()(22--=-+=λλλλλϕ,所以12100~002011CA C C -⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦. （2）由第1题（3）知5432)(234++++=λλλλλϕ，故B 的有理标准是0005100401030012C -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦.5.解 由J 立即可知A 的初等因子组为2)1(-λ,2-λ,2)2(-λ,于是不变因子为1)()()(321===λλλd d d ,()24-=λλd ,225)2()1()(--=λλλd .即2)(1-=λλϕ，412136)(2342+-+-=λλλλλϕ，故200000000401001200101300016C ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦.6.解 （1）744744()481099418418f E A λλλλλλλλλ----=-=-+=++++2)9)(9(71490847+-=++--=λλλλλ.因为2441644(9)(9)4171 4114117411A E A E O ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+=---=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦,所以最小多项式为)9)(9()(+-=λλλm .（2）32310()det()0132(2)(1)23D E B λλλλλλλλλ-=-=-=--=-+--,∵有一个二阶子式01101≠=--λ,∴1)()(21==λλD D .因此,23)1)(2()()(+-==λλλλd m . （3）对E C λ-施行初等变换得其Smith 标准形23()diag(1, 1, 1,(3),(3))S λλλ=--，∴35)3()()(-==λλλd m .7.证 若A 可对角化,则A 的最小多项式)(λm 无重零点,必要性得证. 若A 有一个无重零点的零化多项式)(λϕ,则因为)(deg )(deg λϕλ≤m ,故)(λm 也无重零点,由定理2.16知A 可对角化.8. 证 (1) 22A A E +=,22A A E O +-=,∴)1)(2(2)(2+-=-+=λλλλλϕ是A 的一个无重零点的零化多项式,故A 可对角化. (2)mA E =,∴1-mλ是A 的零化多项式,其零点2i ek mk πλ=(0,1,,1)k m =-是互不相同的,故A 可对角化.习 题 三A一、判断题1.√；2.√；3.√；4.√；5.√；6.√；7.√；8.×；9.√；10.×；11.√；12.√；13.×； 14.× 15.√；16.√；17.√；18.√；19.√；20.×；21.√；22√；.23.×；24.√；25.√.二、填空题1.0；2.0y ；3.()T111,,,2n；4. 12；5.Banach ；6.1；7.3；8.15,2FA A A∞==+=；9.3.三、单项选择题1.(c)；2. (c)；3. (b)；4. (a)；5. (b);6.(c).B1. 证 仅验证三角不等式,其余是显然的.设Tn ),,(1ξξ =x ,T n ),,(1ηη =y 是n中的任意两个元素.∑∑∑∑====+=+=+≤+=+n i ni ni i ni i i i i i 1111111)(y x y x ηξηξηξ；i ni i ni i i ni i ni ηξηξηξ≤≤≤≤≤≤≤≤∞+≤+≤+=+11111max max }{max max y x∞∞+=y x .2. 证 因为[],, x y C a b ∀∈及∈∀α,有(N 1) t t x x bad )( 1⎰=0≥,显然若0=x ,即0)(≡t x ,则01=x ;反之,若01=x ,即0d )( =⎰t t x ba,则由)(t x 的连续性,知0)(≡t x ,即0=x ;(N 2) 11d )(d )(x t t x t t x xba b aαααα===⎰⎰;(N 3) t t y t t x t t y t x yx bab ab ad )(d )(d )()(1⎰⎰⎰+≤+=+11y x +=;所以1 ⋅是[], C a b 上的范数.3.解121i 1i 22,max{1,i ,1i}x x x ∞=+-++===-+= 4.解1max{101,210,i 11i }max{2,3,22max{12i ,011,101i }max{4,2,1 4.A A ∞=++-++-+-+-===++-++--++-==5.证 (1)lim ,lim ,.n n n n x x X x y Y x y →∞→∞=∈=∈=设又只需证明即可 {}0lim lim lim lim lim 000,0,0,.n n n n n n n n n n n x y x y x x x y x x x y x x x y x y x y x y →∞→∞→∞→∞→∞≤-=-=-+-≤-+-=-+-=+=∴-=-==故即122lim ,1,,1,1, 1. max{,,,,1},,().n n n n n n N n n x x X N n N x x x x x x x x M x x x x n x M x ε→∞=∈=∃∈>-≤-≤-≤≤+=+∀∈≤ （）设则对使得当时,恒有从而有即取则，有故有界6.证 设x 是,()n X x X x 中任意一点是中收敛于的任一序列.()():,lim ()();:,lim ()().lim()()()(),:.n n n n n n n f X Y Y f x f x g Y Z Z g f x g f x g f x g f x g f X Z x →∞→∞→∞→=→==∴→ 由连续知在中有又由连续知在中有即在点处连续,:.x X g f X Z ∈→由的任意性知是连续映射7. 证 由于()n x 和()n y 都是X 中的Cauchy 序列，则0>∀ε,12,N N ∃∈,使得当1,N m n >时，2ε<-m n x x ； 当2,N m n >时，2ε<-m n y y .令},m ax {21N N N =,则当N n m >,时,有)()( m m n n m m n n y x y x y x y x ---≤---εεε=+<-+≤22m n m n y y x x ,这表明()n n x y -是中Cauchy 的序列,由的完备性知,数列()n n x y -收敛.100001110101010121 (1)[0, 1],0,[0, 1],()0,max ()()0,(N ).d(())d(())[0, 1],,max ()maxmax ()max ,d d (N ). ,[0,dx d ddx x x x d f C f x f x f f x f x f x f x f C f f x f x fx x f g C λλλλλλλ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤∀∈≠∃∈>≥≥>⋅∀∈∀∈=+=+=⋅∀∈8.证且即使得故即满足即满足01010101010d(()())1],max ()()maxd d ()dg() max ()()max d d max ()max dx x x x x f x g x f gf xg x xf x x f xg x x x f x ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤++=++⎡⎤≤⎡+⎤++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤+101010101010131d ()dg()()max maxd d d ()dg()max ()maxmax ()max ,d d (N ).,[0, 1].x x x dd x x x x d d f x x g x x x f x x f x g x f g x x C ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤++⎡⎤⎡⎤=+++=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⋅⋅即满足 所以是上的范数(2):D ]1 ,0[1C ]1 ,0[C →显然是线性的.因为1[0, 1]f C ∀∈,有110101d ()d ()maxmax ()max ,d d dx x t f x f x Df f x f x x≤≤≤≤≤≤=≤+=故D 是有界的. 9. 证 由于 ⋅是n n⨯上的方阵范数,故,n nA B ⨯∀∈及α∀∈,有(1)1*0AS AS -=≥,并且11*0A S AS S AS O A O --==⇔=⇔=;(2)11**A S AS O S AS A αααα--====;(3)()11111*A B S A B S S AS S BS S AS S BS -----+=+=+≤+**A B =+;(4)111*()()AB S ABS S AS S BS ---==11**S AS S BS AB --≤=;因此,* ⋅是n n⨯上的方阵范数.10. 2;F A 解 21i()det(),()0;i1f E A A λλλλρλ--=-==∴=-+H HH 21i 1i 22i 22i,(4),()4,i 1i 12i 22i 22.A A E A A A A A λλλλρλ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==-==-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴=11. 证 显然A λ≤.∵λ是可逆阵A 的特征值,则λ1是1A -特征值,故11A λ-≤,即11Aλ-≥. ∴11A A λ-≤≤.12.证 要证0(),x T ∈N 只需证明00.Tx =()0()(),0.lim ,,n n nn x T Tx n xx T →∞⊂=∀∈=由知于是当且是有界线性算子时有N0(lim )lim ()lim00,n n n n n Tx T x T x →∞→∞→∞====故0().x T ∈N习 题 四A一、判断题1.×；2.√；3.√；4.×；5.√；6.√；7.×；8.×.二、填空题1.2213e e 001cos x x x x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；2.222(1)tE t -+；3.1；4. 3e t ；5.22222222e e e e e e tt t t tt t t t ------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； 6.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-t t t 2cos 2cos cos ；7.1； 8.3e -. B1. sin cos d (),d cos sin tt A t t tt -⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦解 []22d d det ()cos sin 0d d A t t t t t =+=⎡⎤⎣⎦,22sin cos d ()det()sin cos 1.d cos sin t t A t t t t t t-==+=-- 2. 2213e e 0 ().01cos x x x f x ⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦解x3. 1 1 0 0 11 10 0 0 110 0e d e d e 11 ()d d2d 11.sin d cos d 1cos1sin1t tt t t A t t t t t t t t t ⎡⎤-⎡⎤⎰⎰⎢⎥⎢⎥==⎰⎰⎰⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎰⎰⎣⎦⎣⎦解 4. 证明（1）d d d d d d ()()()()d d d d d d T T T T T f x x x x Ax Ax x Ax Ax x A t t t t t t==+=+d d d d d ()2;d d d d d T T T T T T T T x x x x x x A x A x A x A x A t t t t t=+=+=.（2）d d d d d d ()()2.d d d d d d T T T T T T T x x x x x x x x x x x x t t t t t t=+=+=5. 证（1）若lim k k A A →∞=,则2lim 0k k A A →∞-=. ∵222()T TTk k k A AA A A A -=-=-(可以证明[1]2222H T A A A A ===)，∴2lim 0T Tk k A A →∞-=,即lim T Tk k A A →∞=. 同理可证lim k k A A →∞=,由上已证的结果立即可得lim H H k k A A →∞=.（2）000()lim ()lim ()NNTkT kk Tk k k N N k k k c A c A c A ∞→∞→∞=====∑∑∑0lim()Nk Tk N k c A →∞==∑ 0(lim )N k T k N k c A →∞==∑0()k Tk k c A ∞==∑ 6. 证 令()3200det()11120113E A λλλλλ--=---=-=--得A 的全部特征值均为 2. 于是13B A =的所有特征值都是32,故()213B ρ=<,因此lim k k B O →∞=.7. 证 方法一: 当0=t 时,显然成立,故设0≠t .记010100t t A t ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦. 22det()(i )(i )E A t t t λλλλ-=+=-+，t i 1=λ,t i 2-=λ.对t i 1=λ,解方程(i )0tE A x -=可得11i x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；对t i 2-=λ解方程(i )0tE A x --=得21i x ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.令11i i P ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,则P 可逆且11/2i /21/2i /2P --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.所以01i 10i i 1i 111/2i /2e 0ee diag(e ,e )i i 1/2i /20e tt Attt P P ⎡⎤⎢⎥---⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+---+=----t t t t t t t t t t t t cos sin sin cos )e e (21)e e (i 21)e e (i 21)e e (21i i i i i i i i .方法二：记0110B ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,21det()11E B λλλλ--==+,{}()i,i B σ=-.B 的最小多项式1)(2+=λλϕ,2)(deg =λϕ. 故设01e ()()tB a t E a t B =+.∵λt e 与λ)()(10t a t a +在()B σ上的值相等,即⎩⎨⎧=-=+-tt t a t a t a t a i 10i 10e )(i )(e )(i )(, ∴t t a t t cos 2e e )(i i 0=+=-，t t a tt sin i2e e )(i i 1=-=-.因此0110cos sin ecos sin sin cos t t t tE tB t t ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦⎡⎤=+=⎢⎥-⎣⎦.8. 2eJordan ,e e e .e e e 2ttAtt t tt A t t t ------⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦解是块 9. 解 2214det()02(2)(1)031E A λλλλλλ----=-=----.∵(2)()A E A E O --≠,∴A 的最小多项式)1()2()(2--=λλλϕ.3)(deg =λϕ，故设2012()()()()()f At a t E a t A a t A T At =++=. 由()f t λ与()T t λ在{}()1,2A σ=上的值相等,于是(1)对()e Atf At =有⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=++tttt t a t a t a t a t a t a t a t a 2212210210e )(4)(e )(4)(2)(e )()()(,解得⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+-=+-=t t t t t t t t t t t a t t a t t a 222221220e e e )(e 3e 4e 4)(e 2e 3e 4)(所以22100e (4e 3e 2e )010001tA t t t t ⎡⎤⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+130020412)e 3e 4e 4(22t t t t⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+19004012164)e e e (22t t t t ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-=ttt t t t t t t tt e e 3e 300e 0e 4e 4e 13e 12e 12e 222222(2)对()sin()f At At =有01201212()()()sin ()2()4()sin 2()4()cos 2a t a t a t t a t a t a t t a t a t t t ++=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩，解得⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+-=+-=tt t t t a t t t t t a t t t t t a 2cos 2sin sin )(2cos 32sin 4sin 4)(2cos 22sin 3sin 4)(210. ∴2012sin()()()()At a t E a t A a t A =++sin 212sin 12sin 213cos 24sin 4sin 20sin 2003sin 3sin 2sin t t t t t t t t t t t -+-+⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦（注）可利用(1)的结果求(2)（或cos()At ）：在(1)中分别以t i 和t i -替代t 得i e tA 和i etA-，再由公式i i i i e e e e sin()(cos())2i 2tA tA tA tAAt At ---+==或即得. 10. 解 210det()01(+1)01+2E A λλλλλλ-==-()A A E O -≠且,故A 的最小多项式2()(1)φλλλ=+，3)(deg =λϕ，故设2012()()()()()f At a t E a t A a t A T At =++=,即012100010001()()010()001()012001012023f At a t a t a t -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦012021212012()()()0()()()2()0()2()()2()3()a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t -⎡⎤⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦. 由()f t λ与()T t λ在A 上的谱值相等,于是(1)对()e Atf At =有001212()1()()()e ()2()e tta t a t a t a t a t a t t --=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩,解得012()1()22e e ()1e e t t t t a t a t t a t t ----=⎧⎪=--⎨⎪=--⎩012021212012()()()e 0()()()2()0()2()()2()3()122e e 1e e 0e e e 0e e e At t t t t t t tt t ta t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t t t t t t t -----------⎡⎤⎢⎥∴=--+⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦-++-+⎡⎤⎢⎥=+-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. (2)对()sin()f At At =有001212()0()()()sin ()2()cos a t a t a t a t t a t a t t t =⎧⎪-+=-⎨⎪-=⎩，解得012()0()2sin cos ()sin cos a t a t t t t a t t t t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩.012021212012()()()sin()0()()()2()0()2()()2()3()a t a t a t At a t a t a t a t a t a t a t a t a t -⎡⎤⎢⎥∴=--+⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦02sin cos sin cos 0sin cos cos 0cos sin cos t t t t t t t t t t t t t t t t -+-⎡⎤⎢⎥=-+-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦11.tr 2i 332i det(e )e e e .A A +-===解12. 解 此处775885050A --⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,122()()()()x t x t x t x t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,321C ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦.因为775det()885(5)(5)(15),deg ()3,05E A λλλλλλϕλλ+--=+=-++=故设2012e ()()()()At a t E a t A a t A T At =++=.由tλe 与)(t T λ在(){5,5,15}A σ=--上的值相同,得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++--ttt t a t a t a t a t a t a t a t a t a 1521052105210e )(225)(15)( e )(25)(5)( e )(25 )(5 )(,解得 ⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=-+=-----)e e 2(e )( )e (e )( )e 6e (3e )(1555200125510111555810t t t t t t t tt a t a t a ;于是 0121775105800e ()1()885()12014501050404025At a t a t a t --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+---+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++--+-+-+-+---+--++=---------------t t tt t t t t t t t t t tt t t t t t t t t t 551555155555155515555515551555e 5e 5e 2e e 3e 24e e 2e 5e 5e 6e e 3e64e 2e e 5e 5e 4e e 3e 44e e 2101. 所以,解为 55155515551517e 9e 4e 1()e 17e 9e 6e 1017e 9e 2e t t t At t t t t t tx t C ------++⎡⎤⎢⎥==--+⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=++=------)e 2e 9e 17(101)()e 6e 9e 17(101)()e 49e e 17(101)(155531555215551tt t t t t t t t t x t x t x .习 题 五A一、判断题1.√；2.×；3.√；4.√；5.√；6.×；7.√；8.√；9.×；10.√；11.√；12.×；13.√；14.√ 15.√.二、填空题1.0；2.{}0；3.span A ；4.1；5.3；6.O ；7.123()1,()1,()(1)(2)d d d λλλλλλ==-=--；8.实；9.0; 10.1;11.1,a b c ===.三、单项选择题1.(d)；2. (c)；3. (c).B1.证 121212(1)(,,,),(,,,),(,,,),,T T T nn n n x y z ξξξηηηςςςλμ∀===∈∀∈及，有1111(I ),(),,;nnnk k k k k k k k k k k k k x y z k k k x z y z λμλξμηςλξςμηςλμ===<+>=+=+=<>+<>∑∑∑211(I ),,;n nk k k k k k k k x y k k y x ξηηξ==<>===<>∑∑231221(I ),0, ,=01,2,,,=01,2,,,00;nk k k nk kk k k x x k x x k k n k n x ξξξξ==<>=≥<>=⇔∀=⇔∀==⇔=∑∑且有有,.nk <⋅⋅>故是上的一种内积(2),,,,n nij ij ij A a B b C c λμ⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤∀===∈∀∈⎣⎦⎣⎦⎣⎦及,有1111111(I ),(),,;nnnnnnij ij ij ij ij ij ij i j i j i j A B C a b c a c b c A C B C λμλμλμλμ======<+>=+=+=<>+<>∑∑∑∑∑∑2111111(I ),,;nnnnnnij ij ij ij ij ij i j i j i j A B a b a b a b B A ======<>====<>∑∑∑∑∑∑2311112211(I ),0, ,0,1,2,,,00;n n n nij ij ij i j i j nnijijij i j A A a a a A A a i j n a a A O ======<>==≥<>==⇔∀===⇔=∑∑∑∑∑∑且有即,.n n⨯<⋅⋅>故是上的一种内积12211.nnij F i j A a A ==⎛⎫>== ⎪⎝⎭∑∑2. 证 右端) , ,(41>--<->++<=y x y x y x y x><+><+><+><=y y x y y x x x ,,,,(41),,,,><-><+><+><-y y x y y x x x 1(4,)4x y =<>=左端.3.证 （1）若⊥∈B x ,则B y ∈∀皆有y x ⊥,由假设B A ⊂,于是对每一个A y ∈皆有y x ⊥,即⊥∈A x ,故⊥⊥⊂A B .（2）若A x ∈,则⊥∈∀A y 皆有y x ⊥,故⊥⊥∈)(A x ,于是⊥⊥⊂)(A A .4.解 显然123.det 20,det 110,det 380,.A A A A A =>=>=>∴是实对称矩阵正定其余略.5. 证 “⇒”: 若n nA ⨯∈正定,则det det 0n A A =>,故A 非奇异.“⇐”: 若A 非奇异,则1det 0ni i A λ==≠∏,从而),,2,1(0n i i =≠λ. 又因为A 半正定,故有0≥i λ,于是),,2,1(0n i i =>λ,所以A 是正定的.6.证 先验证2A 是Hermite 矩阵.22222()()(),Hermite .H H H H H H H H H H H A A AA AA A A AA A AA A AA AA AAA A A A A ======∴是矩阵再证2A 是正定的.12222 ,,Hermite 0(1,2,,).0(1,2,,),.n i i i A n A i n A i n A λλλλλλ∈≠=>=设是的个特征值,由是矩阵且可逆知,且从而的所有特征值故是正定矩阵7. 解 （1）令3i 1i 02010E A λλλλλλ---==-=-得01=λ,22=λ,23-=λ,由此判定A不是正定的.对01=λ解方程组0Ax -=,即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---000i 0100i 1i 0321ξξξ,亦即⎩⎨⎧==+ 00i 132ξξξ,得⎩⎨⎧==321i 0ξξξ. 若取13=ξ,则有10i 1x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=. 对22=λ解)0A x -=可得2i 1x ⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-.对23-=λ解()0A x -=可得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=1i 23x .由于1x ,2x ,3x 分别对应于A 的不同特征值,故彼此正交.将它们单位化,得10i 1/α⎡⎤⎢⎢⎢⎣=，2i /21/2α⎡⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-，3i /21/2α⎡⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦-=-.令[]12301/,,i i /2i /21/21/2U ααα⎡-⎢==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,01/i /21/2i /21/2H U ⎡-⎢=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，则0H U AU ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎣.习 题 六A一、判断题1.×；2.√；3.×；4.×；5.×；6.×；7.×；8.√；9.×.二、填空题1.1122112201010-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦；2. (1)()12(1)(1)()213(1)(1)321( 3 24)41(3 30)(0,1,2,)41( 24)4k k k k k k k x x x x x k x x +++++⎧=-+⎪⎪=-++=⎨⎪⎪=-⎩；3.1()D L U --；4.Seidel,Jacobi .B1. 解（1）110000100005000.55000A-⎡⎤⎢⎥⎣⎦-=-, 3.0001A ∞=,120000A-∞=,∴cond 60002A ∞=.（2）1 1.38 2.1810.2106 2.79 4.56B -⎡⎤⎢⎥⎣⎦-=-,17.35B =，1132.00B -=，∴1cond 235.2B =.（3）12212max{,}1009910099,cond (6-3).min{,}99989998C C λλλλλλ--⎡⎤==⎢⎥--⎣⎦是实对称矩阵故见令12122019810,9999cond 39206.C λλλλλλ=--===∴==≈得 2. 解（1）对增广矩阵施行行的初等变换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡330002121041123232300212104112522162134112得到等价的上三角方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+-=++330212142332321x x x x x x .进行回代,得方程组的解为：12/)4( ,1)21/(21 ,13/3321323=--==--===x x x x x x .故解为(1,1,1).T x =（2）对增广矩阵施行初等行变换11034110341103421111011590115931123041715003132112314033280001319⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥----------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦得到等价的上三角方程组1242343443459313211319x x x x x x x x x ++=⎧⎪---=-⎪⎨+=⎪⎪-=-⎩.进行回代,得方程组的解：43419219/(13), (2113)/3,133x x x =--==-=2341244055(95), 433939x x x x x x =--++==--=-,故解为()5540192,,,.3939313Tx -=3. 解 首先用顺序Gauss 消去法.对增广矩阵施行初等行变换：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1.982.4120032001.1291.58334.016781.0167.001.0012.0 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯→-65424101798.0104453.0101467.00104441.0108007.0106667.006781.0167.001.0012.0⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯-⨯-⨯-⨯-⨯→-9924109774.0101762.000104441.0108007.0106667.006781.0167.001.0012.0,经回代得547.53=x ，43.722=x ，05.811-=x . 此时,620.174310Ax b -=⨯. 下面用列主元素Gauss 消去法.对增广矩阵施行初等行变换（下画横线者为主元素）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡9812.4120032001.1291.58334.016781.0167.001.0012.0 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯⨯⨯→-6744.01670.0105500.00101179.0105909.04584.009812.41200320022⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯⨯⨯→-5329.0109610.000101179.0105909.04584.009812.41200320012, 经回代得46.17,76.45,545.5123=-==x x x . 此时,289.22=-b Ax .列主元素Gauss 消去法比顺序Gauss 消去法的精度高.4. 解 Jacobi 迭代格式为()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+--=+--=+++30] 32[151]12[ 81 ]2432 [201)(2)(113)(3)(112)(3)(211k k k k k k k k k x x x x x x x x x ( ,2,1,0=k ). 计算结果如下表：解为767354.01=x ，138410.12=x ，125368.23=x .Seidel 迭代格式与计算结果如下：()()()⎪⎪⎪⎪⎨⎧++-=+--=+--=++++++30] 32[151]12 [ 81 ]2432 [201)1(2)1(113)(3)1(112)(3)(211k k k k k k k k k x x x x x x x x x ( ,2,1,0=k );5. 解 Jacobi 迭代格式为()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+--=+--=+++30] 32[151]12[ 81 ]2432 [201)(2)(113)(3)(112)(3)(211k k k k k k k k k x x x x x x x x x ( ,2,1,0=k ), 因为()()21113300044335110,det(),1,444481100044M E M M λλλλλρλ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=--=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦所以Jacobi 迭代格式收敛.Seidel 迭代格式为()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+--=+--=++++++30] 32[151]12 [ 81 ]2432 [201)1(2)1(113)(3)1(112)(3)(211k k k k k k k k k x x x x x x x x x ( ,2,1,0=k ).因为系数矩阵A 对称，且123det 40,det 70,det 240,,A A A A =>=>=>从而正定故Seidel 迭代格式收敛.6. 解（1）Jacobi 迭代矩阵1111022()10111022M D L U -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=+=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦;215det()()4E M λλλ-=+,1()1M ρ=>.因此,Jacobi 迭代格式发散.Seidel 迭代矩阵12111000222011111()100010222000111000222M D L U -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦; 221det()()2E M λλλ-=+,21()2M ρ=.因此Seidel 迭代格式收敛.（2）Jacobi 迭代矩阵1100022022010101101001220220M --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦;31det()E M λλ-=,1()0M ρ=.因此, Jacobi 迭代格式收敛.Seidel 迭代矩阵2100022022110001023021000002M --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦;()22det()2E M λλλ-=-,2()21M ρ=>.因此, Seidel 迭代格式发散.*7.用追赶法解线性方程组12123233 1, 247, 259.x x x x x x x +=-⎧⎪++=⎨⎪+=⎩解 系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=520142013A .31=u ,3/2/212==u l ,3/101422=⋅-=l u ,5/3/223==u l ,5/221533=⋅-=l u ;11-=y ，3/237122=-=y l y ，5/229233=-=y l y ；1/333==∴u y x ，2/)1(2322=⋅-=u x y x ，1/)1(1211-=⋅-=u x y x .即解为(1,2,1).Tx =- 8. 解 把方程组调整为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=++22846231312123x x x x x x x , 此时系数矩阵为312041102A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.Seidel 迭代矩阵111200033301211()000010044000111106263M D L U -⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦, 11det()(66E M λλλλ-=---+,()1M ρ=<.因此,此时Seidel 迭代格式()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=--=++++ )2(21)8(41)26(3113111121213k k k k k k k x x x x x x x 收敛.习 题 七A一、判断题1.×；2.√；3.×；4.×.二、填空题1.1,1n +；2. 11:455;:;:33-一阶差商，，二阶差商1,三阶差商；3.16.640,0.096,16.736.B1. 解 因为0120.15,0.00,0.10,0.20.x x x x ====故取则2(0.150.10)(0.150.20)(0.15)(0.15)0.000(0.000.10)(0.000.20)(0.150.00)(0.150.20)0.0998(0.100.00)(0.100.20)(0.150.00)(0.15 f L --≈=⨯----+⨯----+0.10)0.1987(0.200.00)(0.200.10)00.074850.074510.1494.⨯--=++= 521(0.15)(0.150.00)(0.150.10)(0.150.20) 6.2510.3!R -≤---=⨯2.解 对于点76.35x =,取076x =,177x =,278x =,379x =. 作差商表于是有2(1)(76.35)(76.35)2.832670.0689(76.3576)0.00306(76.3576)(76.3577) 2.832670.024120.00070 2.85609.f N ≈=+-+--=+-=32(2)(76.35)(76.35)(76.35)0.00017(76.3576)(76.3577)(76.3578) 2.856090.00006 2.85615.f N N ≈=+---=+=3. 解 选01220.20,0.40,0.60,0.80x x x x ====.作差商表：。