随机波动率模型分析与应用

随机波动率模型分析与应用

陈杨林;夏正喜

【摘要】本文首先分析了金融时间序列中常用的随机波动率模型结构,介绍了马尔可夫链蒙特卡洛MCMC方法并采用基于MCMC模拟的贝叶斯分析对随机波动率模型的参数进行估计了,其次应用该模型对世界黄金价格指数时间序列的走势与波动进行分析,实证结果表明SV模型能较好的拟合金价走势并作出预测.

【期刊名称】《九江职业技术学院学报》

【年(卷),期】2010(000)004

【总页数】3页(P78-80)

【关键词】随机波动率模型;MCMC方法

【作者】陈杨林;夏正喜

【作者单位】九江职业技术学院,信息工程系,江西九江,332007;九江职业技术学院,信息工程系,江西九江,332007

【正文语种】中文

【中图分类】O141.4

一、模型介绍

在对金融数据的处理上人们建立了大量的模型来拟合分析数据进而想作出合理的预测和估计,随机波动 (stochastic volatility)模型就是其中大量被采用的一种金融模型,它具有数理金融学和金融计量经济学的双重根源。早在1973年, Clark提出把

资产收益作为信息到达随机过程的函数建模。此后,Tauchen及Pitts细化了这项

工作,提出一种与信息到达时间相关的资产收益的混合分布模型。在研究过程中

Hull和White没有直接把资产收益和信息到达联系起来,而是对欧洲期权定价产生兴趣。他们假定基础资产收益是连续时间随机波动模型,进而对具有波动的基础资

产提出一种扩散表达式,其中波动服从一个正扩散过程。另一个方法来自于Taylor

的工作,他建立了一种非连续时间的随机波动模型,替代自回归条件异方差 (ARCH)

模型,此后经过许多专家和学者的研究发展了许多SV模型构成了随即波动率模型族。本文分析的是带正态分布的SV模型,但是由于SV模型的参数很难估计 (主要是其

似然函数难以得到)SV模型的应用受到很大的限制,随着近代计量经济学理论的不

断进步,SV模型的参数估计变得容易了,因此,它比起其它金融模型 (如ARCH模型)

更具有吸引力。

随机波动 (stochastic volatility)模型基本结构如下:

其中 yt是对数收益率即

yt= log(pt/pt-1)-是条件异方差

二、模型参数的估计方法及其介绍

由于随机波动率模型观测数据的离散性、似然函数是一个高维积分难以用显式表达,所以它的参数估计一直是一个难点,这是估计连续时间模型的最大难题。虽然理论

上借助数值计算可以得到最大似然估计,但是如果估计模型时要求隐含变量必须从

似然函数中积分出来,但是计算量和算法难度都很大。

近些年来,随着计算机CPU特性的不断增强和计算机技术的飞速发展,针对连续时

间模型的估计问题已经涌现出许多方法,SV模型的参数估计变得容易了。最初用来估计的这些方法可以大致归为两类:一类是基于矩的方法,它的中心是依靠某些准则

得到似然函数。这类方法的代表是Ait Sahalia(1998)的广义矩估计方法 G

MM(Generalized Moment Method);另一类是以马尔可夫链蒙特卡罗 (Markov Chain Monte Carlo)方法为代表的基于模拟的方法。本文介绍MCMC方法来估计我们的模型相关参数。

MCMC方法是使用Markov链的Monte Carlo模拟积分,它的基本思路就是构造一条Markov链,使其平稳分布为待估参数的后验分布。利用这条链上的各个样本值就可以估计参数、进行各种统计推断。MCMC算法构建的基础是Clifford-Hammersley理论。该理论指出基于参数的后验信息P(Θ|X, Y)和状态变量的后验信息P(X|Θ,Y)可以唯一地确定联合后验分布P(Θ|X,Y)。由于MCMC算法要求从联合后验分布P(Θ|X,Y)中抽取样本,但是这个后验分布函数的封闭形式解很难得到,因此依据Clifford-Hammersley理论就可以分别从P(X|Θ,Y)、P(Θ|X,Y)中抽取样本了,而参数和状态变量各自的后验分布函数一般都比较容易得到:由贝叶斯原理,参数的后验分布可以写成似然函数、参数的先验分布函数和某个常数的乘积形式。MCMC方法实施的关键在于将高维度的联合分布P(Θ,X,Y)分解成较低维的P(Θ|X, Y)和P(X|Θ,Y),进而再分别从它们中逐一产生样本。简单来说就是,先给定两个初始值和Θ0,X0,从P(X|Θ0, Y)中抽取X1,然后从P(X|Θ1,Y)中抽取Θ1。这样依次迭代,算法就会得到一条由随机变量组成的长度为 G的序列{Xg,Θg}可以用于参数和状态变量的估计,这时就要用到Monte Carlo方法。假定函数f(Θ,Y)存在一阶矩,则

E[f(Θ,X)Y]=f(Θ,X)P(Θ,XY)dXdΘ的Monte Carlo估计为当G→∞时,MCMC算法具有很好的收敛属性。首先就是马尔可夫链的分布收敛到P(Θ| X,Y),其次是收敛到条件期望E[f(Θ,X)Y]。MCMC算法的基本步骤可以归纳为:

第一步:初始化参数Θ和状态变量Χ;

第二步:求出参数和状态变量的联合后验分布函数P(Θ,XY),并将其分解为P(Θ|X,Y)和P(X|Θ,Y);

第三步:依次从参数的后验分布函数P(Θ|X,Y)和状态变量的后验分布函数P(X|Θ,Y)

中抽取样本值,并依据一定的概率决定是否接受这个值;

第四步:抽样值形成一条马尔科夫链,验证其是否收敛,收敛的序列可以用来进行统计分析,如求参数估计的均值、标准差等。

三、模型的应用

(1)数据来源和初步分析

为突出金融时间序列模型的结构特征本文选取世界黄金协会网站2000年—2006

年世界黄金每日开盘价格指数,形成价格时间序列为{xt}的共1700个数据组成的样本序列。采用的软件为SAS9.0和winbugs1.4应用随机波动率模型对数据进行以下实证分析。

首先对价格序列进行取对差分并减去均值得到新的收益率序列{yt},即下表1和图1是对{yt}的描述性统计。我们发现收益率序列略微左偏,符合金融数据普遍的高峰厚尾的特点。(如表1和图2所示)。

表1 序列{yt}的基本统计特征?

分别对原始数据pt和收益率序列{yt}进行描述和正态性检验,结果显示收益率序{yt}列有正态分布的性质符合我们的带正态分布的随即波动率模型特点,如下图(2)所示。图 (1) 收益率序列 ({yt})

图 (2) 收益率序列正态性检验图

(2)模型各参数的估计结果与过程

从上面的分析可知原始的价格序列不服从正态分布而收益率序列服从正态分布符合我们的SV模型的假设,下面我们应用wibugs1.4软件采用MCMC抽样方法对SV 模型的参数进行估计在Wingugs中写入我们的随机波动率模型的程序迭代60000次去掉开始的30000次得出如下各个参数的估计结果

表 (2) 各个参数的估计值及其标准差?