2019—2020年新课标北师大版高中数学选修1-1《变化率与导数》章末综合测评及答案解析.docx

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1 章末综合测评(三) 变化率与导数

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．若y＝5

x，则y′＝( )

A.

1

5

x4B．

1

5

5

x4

C.5

x4

3

D．

1

5x x

【解析】y＝x 1

5，则y′＝

1

5

x

-

4

5＝

1

5

5

x4

.

【答案】 B

2．某质点沿直线运动的位移方程为f(x)＝－2x2＋1，那么该质点从x＝1到x＝2的平均速度为( )

A．－4 B．－5

C．－6 D．－7

【解析】v＝f(2)－f(1)

2－1

＝

－2×22＋1－(－2×12＋1)

2－1

＝－6.

【答案】 C

3．如果物体做S(t)＝2(1－t)2的直线运动，则其在t ＝4 s 时的瞬时速度为( )

A ．12

B ．－12

C ．4

D ．－4

【解析】 S(t)＝2(1－t)2＝2t 2－4t ＋2，则S ′(t)＝4t －4，所以S ′(4)＝4×4－4＝12.

【答案】 A

4．曲线y ＝e x 在点A(0,1)处的切线斜率为( ) A ．1 B ．2 C ．e

D ．1

e

【解析】 由题意知y ′＝e x ，故所求切线斜率k ＝e x |x ＝0＝e 0＝1. 【答案】 A

5．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎪

⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则

实数a 等于( )

A ．－1

B ．1

2

C ．－2

D ．2

【解析】 ∵y ′＝－sin 2x －(1＋cos x )cos x sin 2x ＝－1－cos x

sin 2x ，

又f ′⎝ ⎛⎭

⎪⎪

⎫π2＝－1，∴1a ＝－1，

∴a ＝－1，故选A. 【答案】 A

6．(2016·淮北高二检测)若曲线y ＝f(x)＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b)处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )

A ．a ＝1，b ＝1

B ．a ＝－1，b ＝1

C ．a ＝1，b ＝－1

D ．a ＝－1，b ＝－1

【解析】 y ′＝2x ＋a ，∴f ′(0)＝a ＝1，

∴y ＝x 2＋x ＋b ，又点(0，b)在切线上，故－b ＋1＝0， ∴b ＝1. 【答案】 A

7．若函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 的图像的顶点在第四象限，则函数f ′(x)的图像是( )

【解析】 f ′(x)＝2x ＋b ，因为f(x)顶点⎝ ⎛⎭⎪⎪

⎫－b 2，4c －b 24在第四象限．所以b<0，则f ′(x)图像与y 轴交于负半轴．

【答案】 A 8．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋

23

上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取

值范围是( )

A.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，π2

B ．⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪

⎫3π4，π

C.⎣⎢⎢⎡⎭

⎪⎪⎫3π4，π D ．⎝ ⎛⎦

⎥⎥⎤π2，3π4

【解析】 y ′＝3x 2－1≥－1，则tan α≥－1. ∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪

⎫3π4，π.

【答案】 B

9．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 在点(1,2)处的切线与其平行直线bx ＋y ＋c ＝0间的距离是( )

A.

24

B ．

22

C.

3

22

D ． 2

【解析】 ∵抛物线过点(1,2)，∴b ＋c ＝1.

又∵f ′(1)＝2＋b ，由题意得2＋b ＝－b ，∴b ＝－1，c ＝2. ∴所求的切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0，

∴两平行直线x －y ＋1＝0和x －y －2＝0间的距离d ＝|1＋2|2＝32

2.

【答案】 C 10．设函数f(x)＝

sin θ3

x 3＋

3cos θ2

x 2＋tan θ，其中θ∈⎣

⎢⎢⎡⎦⎥⎥

⎤0，5π12，则导

数f ′(1)的取值范围是( )

A ．[－2,2]

B ．[

2，

3]

C ．[3，2]

D ．[2，2]

【解析】 ∵f ′(x)＝x 2sin θ＋3xcos θ，

∴f ′(1)＝sin θ＋

3cos θ＝2sin ⎝

⎛⎭⎪⎪

⎫θ＋π3

因为θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，5π12，所以θ＋π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥

⎤π3，3π4，

所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥

⎤22，1，故f ′(1)∈[

2，2]．

【答案】 D

11．过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( ) A ．2x ＋y ＋2＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．x ＋y ＋1＝0

D ．x －y ＋1＝0

【解析】 y ′＝2x ＋1，设所求切线的切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)． 则x 20＋x 0＋1

x 0＋1＝2x 0＋1，

∴x 0＝0或x 0＝－2.

当x 0＝0时，曲线y ＝x 2＋x ＋1在点(0,1)处的切线斜率为1，方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0.当x 0＝－2时，切线方程为3x ＋y ＋3＝0.

【答案】 D

12．点P 是曲线x 2－y －2ln x ＝0上任意一点，则点P 到直线4x ＋4y ＋

1＝0的最短距离是( )

A.

22

(1－ln 2)

B ．

22

(1＋ln 2)