必修五简单的线性规划问题

规格类型 钢板类型
A规格
B规格 C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3
某顾客需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，若你是
经理,问各截这两种钢板多少张既能满足顾客要求又使所用钢板张
数最少。
分 析
解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，
2x+y≥15,
钢板总张数为Z则,
问
x+2y≥18,
它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值
问题，统称为线性规划问题。y
4
满足线性约束的解 可行3 域
最优解
（x，y）叫做可行解。
可行解
由所有可行解组成的集合
叫做可行域。
o
4
8x
使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做
这个问题的最优解。
解:按甲、乙两种产品分别生产x、y件，目标函数为Z,那么：
解线性规划问题的步骤：
1、找 找出线性约束条件、目标函数；
（1）2、画： 画出线性约束条件所表示的可行域；
（2）3、移： 在线性目标函数所表示的一组平行线中，
利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线； （3）4、求：通过解方程组求出最优解 ；（4）5、答：作出答案。
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例题6 某工厂现有两种大小不同规格的钢板可截成A、B、C三种规格， 每张钢板可同时截得三种规示 ：格的小钢板的块数如下表所
设工厂获得的利润为z，则z＝2x＋3y
把z＝2x＋3y变形为
y2 x z
3
3
y
x2y8
4
3
它表示斜率为
2 3
的直
线系，z与这条直线的
x4
M（4，2）
截距有关。
o
4
8x
如图可见，当直线经过区域上的点M时，截距最大
，即z最大。
二、基本概念
一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束条
件。
把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为
0 2 4 6 8 12 18
平移L找交点及交点坐标
2x+y=15 x+y=12 x+2y=18
x
27
x+3y=27
当直线L经过点A时z=x+y=11.4, 但它不是最优整数解. 作直线x+y=12
解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8) 直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解.
最大时，目标函数取得最大值。
o
4
8 x 由图可见，当 直线 zx4y
经过可行域上的N点时 z 最
y1x
z 大即 最大。
4
4
解方程组
y3
x
2
y
8
,得N点的坐标为（2，3）。
所以 zm ax24314
一、线性规划在实际中的应用：
线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，
一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下， 如何使用它们来完成最多的任务； 二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、 物力、资金等资源来完成该项任务学科网
下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：
二、例题
例5、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少 提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质， 0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物 ，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食 物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质， 0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日 常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B多少kg？
o
3/7
y4x 3
/ 57 6/7 x
4、求 M点是两条直线的交点，解方程组
7x 7 y 5
14x 7 y 6
x
1 7
得M点的坐标为：
y
4 7
所以zmin＝28x＋21y＝16
5、答由此可知，每天食用食物A143g，食物B约
571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低 ，最低成本为16元。
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域
把目标函数z＝28x＋21y 变形为 y 4 x z
2、画
它表示斜率为
4 3
纵截
3 28
距随z变化的一组平行 6/7 y 直线
z 28 是直线在y轴上
的截距，当截距最
5/7 M
小时，z的值最小。 3/7
3、移
如图可见，当直线z＝ 28x＋21y 经过可行 域上的点M时，纵截距 最小，即z最小。
3.3.2简单的线性规划问 题
z xxk
y
o
x
新课探究
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每 生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件 乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配 件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计 算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
解：按甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条 件可得二元一次不等式组
分析：将已知数据列成表格
解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z ，那么
0.105x＋0.10y 0.075 7x 7y 5
00..0174xx＋ 00..1047yy
0.06 0.06
174xx174yy
6 6
x 0
x 0
y 0
y 0
目标函数为：z＝28x＋21y
1、找
约束条件为
x x y
2 4 3
y
x 0
y 0
作出上述约束条件所表示的
可行域如下：
8 目标函数为 zx4y
1z
这行将是直z斜线率系x为，44z y是14变直形，线为随在yzY变轴化上4 的x的平4
y
x2y8
x4 N （2，3）
M
截距，当 z 最大时，z取得最
4 大值。所以直线
y
1
x
4
y 3 与可行域相交且在Y轴上的截距
题
x+3y≥27, x≥0
:
y≥0
标目函数: z=x+y (x,yN)
约束条件:
{ 2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0,
y 15
调整优解法
y≥0
目标函数:z=(xx,y + y N) 10
8
画可行域 x+y
=0
6
4
B(3,9)
C(4,8)
A(3.6,7.8)
Leabharlann Baidu
作出直线L:x+y=0，2
x＋2y 8 x 2 y 8
44xy
16 12
x y
4 3
x 0
x 0
y 0
y 0
2
将上述不等式组表示成平面上的区域
x x y x
2y 4 3 0
8
甲、乙两种产品分别生产x、y件
若生产一件甲产品获利2万元，生产
一件乙产品获利3万元，采用那种生产
y 0
安排利润最大？
{2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N* y≥0 y∈N*
目标函数t = x+y