第二章 信号检测理论与准则 作业评讲
信号检测理论第二章
(n) E[( X n mx )( X n mx ) ]
*
( x mx ) p ( x, n)dx
2
2 x
平稳随机信号，均值和方差均是与时间无关的常数。
信号检测理论 信号检测理论
2.2 离散随机信号的数学描述
如果一个随机信号的均值和方差为常数（与时间无 关），自相关仅与时间差有关（与时间起点无关）， 则称之为广义平稳随机信号（Wide-sense Stationary Random Signal）。 由严平稳随机信号和广义平稳随机信号的定义可以看 出：严平稳随机信号一定是广义平稳的；反之，广义 平稳随机信号却不一定是严平稳的。
信号检测理论
第二章 随机信号分析基础
信号检测理论
提纲
2.1 随机信号(过程) 2.2 离散随机信号的数学描述 2.3 几种特定的随机信号 2.4 随机信号的功率谱 2.5 随机信号通过线性系统 2.6 时间序列信号模型
信号检测理论
2.1随机信号(过程)
随机信号和确定性信号不同，它不能通 过一个确切的数学公式描述，也不能准确地 进行预测。因此，对随机信号一般只能在统 计的意义上来研究，这就决定了其分析与处 理的方法和确定性信号相比有着较大的差异。
x1 x 2
xN
p ( xn , xn m , n, n m) p ( xk , xk m , k , k m)
故平稳随机信号的二维概率密度函数表示为 此时此刻，恰如彼时彼刻！！
完全描述一个随机信号，需知道任意维联合分布函数或 概率密度函数。
信号检测理论
p ( xn , xn m , m)
2.2 离散随机信号的数学描述
自协方差
信号检测论——评价法
信号检测论——评价法姓名（上海师范大学应用心理学，上海，201418）摘要本实验采用信号检测论中的一个基础实验程序——评价法，考察男女两名不同被试对汉字再认的准确性和判断标准。
实验发现：（1）击中率和虚报率会随先定概率的提高而增加；（2）被试一的判断标准β相较于被试二的判断标准β更为严格，不易将测验项目判断为目标项目；（3）在同一先定概率下，被试一的辨别力d’要大于被试二，而被试一的判断标准β要小于被试二。
关键词信号检测论；评价法；ROC曲线；辨别力d’；判定标准β1 导言传统心理物理学创造性的提出“阈限”概念来反映心理量和物理量之间的对应关系，并将阈限定义为能引起心理感受（绝对感受或差别感受）的物理刺激强度。
但在实际研究中，非感觉因素对阈限测量的影响往往是难以排除的。
信号检测论挑战了传统的阈限定义，以一个“反应阈限”来取代感觉阈限作为被试报告有无刺激的分界点。
具体地说，信号检测论认为对信号的知觉包括感觉和决策两个过程。
被试先根据所侦测到的信号强度产生相应的心理感受，再将感觉强度与事先确立的判断标准进行比较，当感觉强度超过上述标准时，才会报告刺激或差异的存在，而该报告标准即“反应阈限”。
由于能有效分离个体客观的感受性与主观的反应偏向，信号检测论已经成为现代心理物理学总占据主导地位的理论。
信号和噪音是信号检测论中最基本的两个概念。
在心理学领域，信号检测论所指的信号可以理解为刺激。
而噪音就是信号所伴随着的背景。
信号检测论假定，噪音总是存在于系统之中，无法消除——无论这个系统是一个收音机，还是人的神经系统。
信号检测论有三个基础的实验程序：有无法、迫选法和评价法。
在评价法中，先定概率或/和奖惩办法恒定时，根据确信程度将回答分为n个评价等级，即让感觉强度划归到上述n 个等级，从而要求被试同时考虑（n-1）个判断标准。
因此需对每个判断标准，分别极端感受性和反应倾向的指标。
对于最严格的判断标准以下的各个标准所对应的击中率，都应是该标准以上各等级的击中率的累积。
信号检测与处理(覃亚丽)第二章
白噪声下的最优线性处理 匹配滤波器时间上的适应性：
注意: 只要信号波形不变，不管什么时间出现， 匹配滤波器的脉冲响应是一样的，匹配滤 波器的这一特性称为时间上的适应性
白噪声下的最优线性处理 (5)匹配滤波器的一些频域特性：
白噪声下的最优线性处理 匹配滤波器的一些频域特性：
白噪声下的最优线性处理 匹配滤波器的一些频域特性：
无关，于是
| x(t0 ) |2 2 E[| (t ) | ]
| a0 |2 | u (t0 )h( )d |2
0
2 N 0 | h( ) | d
2 0
(2.1.12’)
于是根据我们确定的最优标准（最大信噪比准
则）可知：最优线性检测就是设计一个滤波器， 使得输出信噪比达到极大值。这就是著名的纳 斯（North）滤波问题。
且等号只在
h( ) hm ( ) cu (t0 )
*
(2.1.14)
时成立。
将式(2.1.13)代入(2.1.12)得到
| a0 |2 | u (t0 ) |2 d
0
2 N0
m
(2.1.15)
在一切滤波器中，满足式(2.1.14)的滤波器是最
信号检测与处理
覃亚丽
第二章 信号的线性检测
信号检测理论的主要内容，是研究从受扰观测中获 得所传递信息的处理方法，寻找最优处理方式。 例子：雷达信号的处理模型
雷达的信号处理：
信号处理的内容分为两类：一是信号的检测；二 是参量的估计。前者是信号有无的判决问题，后 者是受扰观测中信号参量的确定问题。
0
信号检测与估计知识点总结(3)
第二章检测理论1 •二元检测:①感兴趣的信号在观测样本中受噪声干扰，根据接收到的测量值样本判决信号的有无。
②感兴趣的信号只有两种可能的取值，根据观测样本判决是哪一个。
2•二元检测的数学模型：感兴趣的信号s,有两种可能状态：sO、si。
在接收信号的观测样本y中受到噪声n的污染，根据测量值y作出判决：是否存在信号s,或者处于哪个状态。
即：y(t)=si(t)+n(t) i=0,1假设：H o :对应s o状态或无信号，H i:对应s i状态或有信号。
检测：根据y及某些先验知识，判断哪个假设成立。
3.基本概念与术语先验概率：不依赖于测量值或观测样本的条件下，某事件(假设)发生或成立的概率。
p(H o),p(H i)。
后验概率：在已掌握观测样本或测量值y的前提下，某事件(假设)发生或成立的概率。
p(H o/y),p(H i/y)。
似然函数：在某假设H o或H i成立的条件下，观测样本y出现的概率。
似然比：L(y)3Hi)p(y|H o)虚警概率P f:无判定为有;漏报概率P m:有判疋为无;(正确)检测概率P d :有判定为有。
平均风险：r =[R o C oo +P io C io] ・P(H°) +[P oi C oi + R i C ii] ・P(H i) 4.1最大后验概率准则(MAP )在二元检测的情况下，有两种可能状态：so、si，根据测量值y作出判决：是否存在信号s,或者处于哪个状态。
即:y(t)=si(t)+n(t) i=o,i假设：H o:对应s o状态或无信号，H i:对应s i状态或有信号。
如果P(H°|y) P(H i|y)成立，判定为H o成立；否则P(H i |y) . P(H o |y)成立，判定为H成立。
利用贝叶斯定理：P(H o|y)p(y)二p(y|H o)P(H o)可以得到：如果p(y|H o)P(H o) . p(y| H i)P(H i)成立，判定为H o成立；如果p(y|H i)P(H i) ■ p(y |H o)P(H o)成立，判定为H i 成立；定义似然比为：L(y)二p(y|H i)/p(y|H o)得到判决准则：［如果L(y) cth MAP =P(H°)/P(H i)成立，判定为H o成立；、如果L(y)3th MAP =P(H o)/P(HJ成立，判定为也成立；这就是最大后验准则。
第二章_信号检测理论与准则资料
思路一：
2019/3/10
D0
18
2.1、贝叶斯准则(Bayes Criterion)（2/8）
r D1 x r D0 x ，x X
D1 D0
D1
即：
C10 P H 0 x C11 P H1 x C00 P H 0 x C01P H1 x
R r H 0 P H 0 r H1 P H1 Cij P Di , H j
i, j
给定H1，判决的平均代价
判决的平均风险
2019/3/10
16
2.双择检测问题：平均风险（3/3）
可以证明，两种平均风险是一致的
R r x p x dx Cij P Di , H j
讨论：
C10（虚警代价）上升
3/10/2019
C01（漏检代价）上升
门限 0 上升 门限 0 下降
23
2.1、贝叶斯准则(Bayes Criterion)（7/8）
p x H1 P H 0 C10 C00 x p x H 0 P H1 C01 C11
19
2019/3/10
思路二： 总的平均风险：R r H P(H ) r H P(H )
R C00 P D0 H 0 P( H 0 ) C10 P D1 H 0 P( H 0 ) C01P D0 H1 P( H1 ) C11P D1 H1 P( H1 )
X i, j
信号检测论.评价法doc
3+4+5
4+5
5
信
号
击中
100
44
26
16
5
P(y/SN)
0.44
0.26
0.16
0.05
Z
-0.150
-0.643
-0.994
-1.645
O
0.3945
0.3245
0.2434
0.1032
噪
音
虚报
100
89
80
64
33
P(y/N)
0.89
0.80
0.64
0.33
Z
1.226
0.841
4.3由ROC曲线结果分析：ROC曲线的曲率反应敏感性指标d’：图中的对角线代表P(y/SN)=P(y/N),即被试的辨别力d’为0时，ROC曲线离这条线越远，表示被试辨别力越强，d’的值当然就越大。因而，两个被试对看过的字的辨别力和感受力均呈由高到低再到高的趋势。原因可能是：被试自身的生理特点，环境中的不安静因素造成了被试对于信号和噪音的辨别力下降，还有可能是因为本实验过程较繁琐，被试需再认大量枯燥无味的字，可能在实验过程中出现分心和注意力不集中的情况，从而导致了现在的实验结果。
-2.003
-1.774
-1.692
-1.212
β
3.6260
1.3022
1.1998
0.5952
ROC曲线
3.2被试二相关图表
类型 １ ２ ３ ４ ５合计
----------------------------------
信号56 18 1011 5100
噪音11 9 1631 33100
信号检测论之评价法
方法
被试：每组两个被试 仪器与材料 ： 计算机实验
评价法
信号检测论有三种基础实验程序，即有无法、迫选法 和评价法 其中评价法可以在Байду номын сангаас同的时间内获得更多的信息 又称多重决策法，或评级量表法 不仅要求被试对有无信号作出判断，还要求按规定的 等级作出评价 即说明每次判断的把握有多大 这样被试就会有几个标准，实验结果就可以绘制ROC 曲线
实验目的
学习信号检测论之基本程序——评价法
理论基础
统计决策 信号检测论本身就是一个以统计判定为根据的理论 基本原理：根据某一观察到的时间，从两个可供选择 的方面中选定一个。人们想要作这样的决策，必须有 一个选择的标准。由于事物之间的区别并不那么明显， 人在作选择决策时往往不是对就是错，因此当刺激超 过这个标准时被试就以有信号反应，当刺激达不到这 个标准时被试就以无信号反应。
信号检测论
-------评价法
信号检测论
信号检测论----signal detection theory,简称 SDT 研究对象是信息传输系统中的接收问题 在心理学中,它是借助于数学的形式描述“接 收者”在某一观察时间内将掺有噪音的信号从 噪音中辨别出来
基本原理
将人的感官、中枢分析综合过程看作是一个信息处理 系统，应用信号检测论中的一些概念、原理对它进行 分析。 具体应用时，常把刺激变量当作信号，把对刺激变量 起干扰作用的因素当作噪音，这样就把人接收外界刺 激时的分辨问题等效于一个在噪音中检测信号的问题， 从而便可应用信号检测论来处理心理学中的实验结果。
信号检测论——评价法
信号检测论——评价法姓名（小组成员：）摘要：本实验选取了两名上师大心理系本科生，两名被试均为女性，采用了信号检测论的评价法考察了两名被试对汉字再认的准确性和判断标准。
实验发现：（1）信号检测论的评价法是一种进行记忆再认研究的有效工具；（2）在同一种判断标准下，被试二的击中率和虚报率均高于被试一；（3）在同一种判断标准下，被试一的判定标准β要大于被试二的，辨别力要小于被试二的。
关键词：信号检测论评价法；ROC曲线；辨别力d’；判定标准β1 导言信号检测论是现代心理物理学最重要的内容之一，它的出现彻底改变了以往人们对阈限的理解，将个体客观的感受性和主观的动机、反应偏好等加以区分，从而解决了传统心理物理学所无法解决的问题[1]。
信号检测论认为：被试觉察信号有一个中枢神经效应，这种效应随着每次剌激呈现，时刻都在变化。
信号总是在噪音的背景上产生，信号的影响和噪音的影响都被假定为正态分布，这两种分布由于信号比噪音微弱增强，故有一定的重叠，而使信号和噪音都可能引起同一程度的感觉。
人类觉察是建立在统计决策论的基础上。
就是说被试选择一个标准，当给定的刺激超过这个标准时，被试就反应“有”，否则则说“元”，而这个反应标准的选择由很多因索（如感受性、利益得失、动机、态度、情绪、意志等）决定。
这个反应标准就是阈限，而不是感觉本身的东西，它包括两个独立指标：一个是反应偏向，可用似然比值(B)或报告标准(C)来表示，它包括利益得失、动机、态度等因素；另一个是感觉辨别力指标(d’)，表示感知能力。
信号检测论有三个基础的实验程序：有无法、迫选法和评价法。
评价法又称多重决策法，或评级量表法。
这一方法呈现刺激的方式同有无法一样，对信号和噪音的先验概率和奖惩办法，都可以随实验要求，由主试确定。
但对被试的要求有所不同，对被试的反应不是简单的“有”或”无”的方式，而是将被试从“有信号”到“无信号”这一感觉的连续体，规定出不同的感觉评价等级。
《信号检测论》课件
信号检测论的应用领域
心理学
通信
雷达探测
经济学
医学
信号检测论在心理学领 域的应用主要集中在感 知觉、注意、记忆等方 面，通过实验手段探究 人类信息处理过程的机 制和规律。
在通信领域，信号检测 论主要用于研究信号传 输过程中的噪声干扰和 信噪比等问题，以提高 通信系统的性能和可靠 性。
雷达探测是信号检测论 最早的应用领域之一， 通过研究雷达接收到的 信号和噪音，可以有效 地探测和识别目标。
生物医学工程
信号检测论在生物医学工程领域的应用将有 助于疾病的早期诊断和治疗。
通信领域
随着5G、6G等通信技术的发展，信号检测 论在通信领域的应用将更加重要。
环境保护
信号检测论在环境监测和保护领域的应用将 有助于及时发现和解决环境问题。
《信号检测论》PPT课件
目录
• 信号检测论概述 • 信号检测论的基本原理 • 信号检测论的实验方法 • 信号检测论的应用实例 • 信号检测论的未来发展与展望
01
信号检测论概述
信号检测论的定义
信号检测论是一种研究人类信息处理 系统特性的方法，它通过实验手段来 研究人类在信号检测过程中的心理和 行为特征。
04
信号检测论的应用实例
信号检测论在心理学中的应用
心理物理学
信号检测论在心理物理学中用于 研究感觉阈限和阈上感觉，探讨 人类对刺激的感知和识别过程。
认知心理学
信号检测论在认知心理学中用于 研究人类的注意、记忆、决策等 认知过程，解释人类在信息处理 和判断中的行为表现。
临床心理学
信号检测论在临床心理学中用于 评估和诊断各种心理障碍，例如 精神分裂症、抑郁症等，为制定 治疗方案提供依据。
第二章信号检测与估计理论1 PPT资料共74页
2019/11/22
21
1 均匀分布随机变量
若随机变量x()在[a,b]的概率密度函数为
p(x)b1a, axb (ab) 0, 其它
则称x服从区间[ a, b ]上的均匀分布，记作： x ～ U(a, b)
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22
分布函数为:
0,
F
(
x)
设 连 续 随 机 变 量 x()的 pdf为 p(x),则 其 统 计 均 值 定 义 为
E[x()]xxp(x)dx
E[ax()b]axb
随机变量函数的均值
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12
2 随机变量的矩
数学期望、方差、协方差(混合中心矩)等都是随机变量 的最常用的数字特征，它们都是某种矩，矩是最广泛使用的 一种数字特征，在概率论和数理统计中占有重要地位。最常 用的矩有两种：原点矩和中心矩。
统计评价——处理结果由概率，平均代价，平均错误概率，均方误 差等统计量来评价。
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4
2.1 引言
待处理的信号模型
x(t) s(t) n(t) 0 t T
x(t) s(t； ) n(t)，0 t T
[1 2 ... M ]T
是随机信号，但是其统计特性都非常有规律，因
a
dx
b
1
a
( x2
x1)
其均值和方差分别为
x
a
b 2
2 x
(b a)2 12
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24
2 高斯分布随机变量
正态分布（高斯分布）是应用最 广泛的一种分布.
第二节 信号检测论
判断标准与辨别力指数
噪音感觉分布与信号感 觉分布重叠的越多，距 离越小，越难区分；相 距越远则越容易辨别， 因此，可以两个正态分 布的距离来作为信号检 测者对信号可以做出一条垂直 于横坐标的线，可以得到在判断标准 处对应的信号引起的效应分布上的纵 坐标，它正好是击中概率P（y/SN） 对应的纵坐标值，可以记为OSN；还 可以得到在判断标准处对应的噪音引 起的效应分布上的纵坐标，它正好是 虚报概率P（y/N）对应的纵坐标值， 可以记为ON。 当判断标准C提高时，其在横坐标轴 上的位置右移，此时OSN增大，ON减 小，二者比值增大；反之，当判断标 准C降低时，其在横坐标轴上的位置 左移，此时OSN减少，ON增大，二者 比值减小。看来，OSN/ON增大的比值 可以反映信号检测过程中判断标准的 高低，信号检测理论将其称为是似然 比，记为β
噪音分布
正确拒绝 CR
信号分布
击中H 击中
Xc 漏报M 漏报 虚报FA 虚报
X
图1 信号和噪音分布
三、信号检测论的两个独立指标
如果被试的辨别力比较强，那么，他在进行有无信号 判断时，就能更准确地判断有无信号，击中的概率就 比较大、虚报的概率就比较小；如果该被试的辨别力 较弱，则击中率就小、虚报率就大。因此，从击中率 击中率 和虚报率 虚报率反映被试信号辨别能力的大小。 虚报率 如果被试比较谨慎，他在进行有无信号判断时，只有 当感觉强度比较大时才报告有信号，那么被试对信号 的漏报就会比较多，相应的虚报的概率就比较小；如 果被试比较冒进，有比较微弱的感觉强度就说有刺激， 那么，被试的漏报率就会下降，虚报率则会上升。由 此可见，被试的击中率 虚报率 击中率和虚报率 击中率 虚报率也可以反映出被试的 判断标准的高低。
二、信号检测论的统计学原理
第二章信号检测与估计理论总结
b 设是样本空间，F是由的一些子集构成的集合，如果满足以下三条
（i） F ; (ii) 若事件A F，则A F (iii) 若事件A n F，n=1,2...,则 A n F或者 A n F
[1 2 ... M ]
T
是随机信号，但是其统计特性都非常有规律，因此
选择用概率论，数理统计、随机过程等工具来描述 .
2019/1/22 13
2.1 随机变量、随机矢量及其统计描述
2.2.1 随机变量的基本概念
1 概率空间：在科尔莫戈罗夫的概率公理化结构中，称 （，F，P） 为概率空间， 为样本空间，F为事件域，P为概率。
统计意义上的最佳处理——满足指标要求的处理；
统计评价——处理结果由概率，平均代价，平均错误概率，均方误差等统计 量来评价。
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4
2.
基本概率公式 ① 乘法公式 ，设A,B是随机事件
P( AB) P( A | B) P( B) P( B | A) P( A)
事件相乘同 时发生
P( ABC ) P( A) P( B | A) P(C | AB)
②
全概率公式，设Bi是完备不相容事件,Bi 是样本空间的一个分割
完备： Bi 为必然事件（一定发生）
i
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不相容：Bi Bj ，不可能同时发生
5
A Bi A
i
P( A) P( A | Bi ) P(Bi )
而并不能直接看到袋子里面实际的情况。
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③ 贝叶斯公式(Bayes)
信号检测与处理第二章1
虚警概率P(D1/H0)和发现概率P(D1/H1)为：
P(D H0 ) = ∫D p(x H0 )dx 1 1 P(D H1 ) = ∫D1 p(x H1 )dx 1
n维概率密度函数（似然函数likelihood function）： 似然函数
R = C00P(H0 ) + C01P(H1 ) + ∫ {P(H0 )(C10 C00 ) p( x H0 ) P(H1 )(C01 C11) p( x H1 )}dx
d1 d2 dm s1 C C Cm1 11 21 s2 C12 C22 Cm2 Cmn sn C1n C2n 2.2 双择检测及最佳准则
建立一种最佳的判决规则（准则）。 规则——衡量判决性能的指标。 判决的平均损失（代价）应当最小。 贝叶斯（ 贝叶斯（Bayes）判决 ）
2.2.1 双择检测的基本概念
即判决准则为（似然比likelihood ratio ）： 似然比
p(x H1 ) P(H0 )(C10 C00 ) Λ(x) ≡ ≥ ≡ Λ0 (x) p(x H0 ) P(H1 )(C01 C11 )
满足此准则，判为H1 ，否则，判为H0 。 贝叶斯准则即为似然比准则，或者说，贝叶斯意义下的最佳判 决系统为似然比 似然比计算系统。 似然比 贝叶斯准则下的最佳检测器： x 计算Λ(x) ≥0，判为H1
L = P(D0 H1 ) + λP(D1 H0 ) 使目标函数达到极小。
比照： R = P(H0 )[C00P(D0 H0 ) + C10P(D1 H0 )] + P(H1 )[C01P(D0 H1 ) + C11P(D1 H1 )] 若满足 目标函数与平均风险一致 内曼-皮尔逊准则为贝叶斯（似 然比）准则的特例。 R = P(D0 H1 ) + λP(D1 H0 )
第二节 信号检测论
判断标准
β＝OSN/ON ＝ 判断标准（β）=击中率 的纵坐标/虚报率的纵坐 标
辨别力指数
如果被试判断标准为C，意味不 管是信号，还是噪音，只要刺激 引起的效应强度达到C的水平， 则判断有信号，否则无信号。 只要在检测实验中计算得到了击 中概率和虚报概率，那么就可以 根据正态分布中PZO对应表计算 出C点到两个分布峰值的距离。 在信号引起的效应强度分布中， 坐标C到其峰值的距离等于ZSN； 在噪音引起的效应强度分布中， 坐标C到其峰值的距离等于(-ZN) 所以两个分布的峰值的距离为： d ’ ＝ZSN－ZN
其实验过程是：甲乙两人在相同时间内同时学习并记 忆50个单词，然后将这50个单词与另外50个未学习的 单词混淆在一起，再逐个地分别呈献给甲乙两人，要 求其回答呈现的这个词“是”或“不是”前面学习过 的单词。于是得到如下表所示的测试结果，那么按照 测试的结果，请判断甲乙两人中谁的记忆能力比较强、 谁的判断标准比较高呢（结果请保留3位小数）？
辨别力指数
当信号和噪音在信号检测 系统中引起的效应强度分 布之峰值距离越大，信号 检测系统对信号的分辨能 力越强，反之越弱。 在信号检测理论中，就以 上式计算得到的d’作为信号 检测系统对信号分辨能力 的测量量数，称为辨别力 指数。
辨别力指数变化情况
如果N强度保持不变， 即FN（X）正态分布曲 线保持不变，SN强度 越低，即MN与MSN距离 越接近，d’值越小， SN和N就越不易分辨。
β 的具体计算方法
P（hit）=0.28，P（fa）=0.06，通过查PZO转 hit）=0.28， fa）=0.06，通过查PZO PZO转 换表（ ），求得 求得O 的纵轴值为0.3368 0.3368， 换表（P237），求得O击中的纵轴值为0.3368， 的纵轴值为0.1192 0.1192， O虚报的纵轴值为0.1192，则 SN） O（SN） 0.3368 ≈3(标准较严 标准较严) β = ————— = ———— ≈3(标准较严) O（ N） 0.1192
第二章 信号检测理论与准则 作业评讲
4
0
小结(4/5)
3. 最大似然（ML）准则
P 在MAP准则中， H
0
P (H 1)
1 2
，则
0 1
4. 极大极小（minmax）准则
在Bayes风险（最小风险）中，改变P(Hi)，找出最大的 风险（极大）
C 10 P D1 H 0 C 01 P D 0 H 1
先验信息： 似然函数 代价因子Ci,j
C0,0=C1,1=0
2012-11-10
分 界 x0
0
p x0 H1 p x0 H 0
5
小结(5/5) • 纽曼-皮尔逊（N-P）准则
虚警概率 P
f
P D1 H 0
已知，
0
Pf
x0
p x H
d x
分 界 x0
0
漏报概率：
P ( D0 H 1 )
p ( x | H 1 ) d x (3 .9 1)
带入平均风险公式可得所求
查表
R (1 0.2) 2 erfc (4.41) 0.2 1 ( 3.91) 0.2
8
1.3只用一次观测x来对下面两个假设做选择，H0：样本x为零均 2 值、方差为 02 的高斯变量，H1：样本x为零均值、方差 1 的 2 2 1 0 高斯变量，且 （1）根据观测结果x，确定判决区域D0和D1 （2）画出似然比接收机框图。 H1为真而选择H0的概率如何？ 解（a）（根据观测结果x，确定判决区域和D0和D1 ） 由题可知两种假设下的条件概率密度函数：
时，可知临界点
（ 选取使 (0,1) 判决区域： D 0 : | x | 1, D1 :| x | 1or | x | （2）由纽曼-皮尔逊准则，应满足虚警概率的约束条件，即 由于(a)(b)两种情况判决区域与门限选取无关，则针对第三种情况
测试技术(第二章 信号描述)
频谱是构成信号的各频率分量的集合，它完整地表示了 信号的频率结构，即信号由哪些谐波组成，各谐波分量的幅 值大小及初始相位，从而揭示了信号的频率信息。 对周期信号来说，信号的谱线只会出现在0,f1,f2,…fn等 离散频率点上，这种频谱称为离散谱。 （1）周期信号频谱特点：离散性、谐波性、收敛性 （2）频谱分析的工程意义 （3）付氏分析的局限性
其中An、φn分别为约定的（三角函数形式）傅立叶 级数标准形式中的幅值、相位。 由此可看出两种傅立叶级数参数间的联系。 以 Cn nn 绘出的曲线称为幅值谱
以 Cn nn 绘出的曲线称为相位谱
傅立叶级数的三角函数展开式为单边谱，傅立叶级数的 复指数展开式为双边谱。（后者的表达形式比较“稳定”） 两者均为离散谱，分布规律一致。 双边谱的幅值（和实部）为偶函数，相位（和虚部）为 奇函数。 引入负频率的概念意义 举例：
t e e e ; t t s j e cos t e sin t j
st
t
jt
(实部，或虚部)为幅值呈指数规律变化的正弦信号。 图示：
0
j
0
频率
放大
（5）其他信号 阶跃信号
斜坡信号
矩形窗函数
脉冲序列
矩形波、三角波
d) 非确定性信号：不能用数学式描述，其幅值、相位变化 不可预知，所描述物理现象是一种随机过程。 例如，汽车奔驰时所产生的振动、飞机在大气流中的 浮动、树叶随风飘荡、环境噪声等。下图为加工过程中螺 纹车床主轴受环境影响的振动信号波形 。
2
T /2 2 T T / 2
2 T
T /2
T――周期， T=2π/ω0； ω0――基波圆频率； f0=ω0 /2π
信号检测论 (2)
信号检测论的两种独立指标如上所述，信号检测论分离了两种指标：（1）辨别力指标d′，是观察者对刺激的感受性的度量；（2）判断标准，是观察者反应偏向的度量，常用似然比标准β或报告标准C来进行衡量。
（一）反应偏向反应偏向可用两种方法计算：一种是似然比值，另一种是报告标准。
1．似然比β似然比β的数学定义为：区分信号与噪音反应的心理感受水平Xc所对应的信号分布纵轴与噪音分布纵轴之比。
但是在信号检测论实验中，没有办法直接掌握心理感受水平Xc，因此β是通过间接方法计算得出的。
将被试在实验中的反应划分为四种：击中、虚报、漏报和正确拒斥。
表513对这四种反应的区分作了具体说明。
表5－13信号检测论实验中观察者的四种反应如图5－30所示：随着观察者掌握的判别标准Xc的变化，不但β值发生改变，与此同时改变的还有上述四种反应的概率。
当Xc右移，检测者的反应标准变得严格，于是击中率和虚报率均下降，而漏报率和正确拒斥率均上升，β值上升；当Xc左移，β值变低时，击中率和虚报率都会上升，而漏报率和正确拒斥率下降。
在图中还可以看到，四种反应概率之间存在如下关系：P(hit)+P(miss)=1P(fa)+P(cr)=1那么，可以通过四种反应概率的PZO转换得到Xc分别对应于信号分布和噪音分布上的纵轴长度O(SN)和O(N)。
而以上两者的比值就是β值了。
图5－30判断标准的变化（采自Gescheide，1997）举图5－31上A、B、C三种情况为例，说明β的具体计算方法。
图531A，击中概率为0．28，虚惊概率则是0．06，通过查PZO转换表，求得O击中的纵轴值为0．336 8，O虚惊的纵轴值为0．119 2。
则一般认为，β＞1说明被试掌握的标准较严。
图531B，击中概率为0．70，虚惊概率为0．30，查表得O击中的纵轴值为0．347 8，O虚惊的纵轴值为0．347 8，β值为β值接近或等于1，说明被试掌握的标准不严也不松。
图5－31C，击中概率为0．94，虚惊率为0．72，通过查表，求得O击中的纵轴值为0．119 2，O虚惊的纵轴值为0．336 8。
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漏报概率：
P ( D0 H 1 )
p ( x | H 1 ) d x (3 .9 1)
带入平均风险公式可得所求
查表
R (1 0.2) 2 erfc (4.41) 0.2 1 ( 3.91) 0.2
8
1.3只用一次观测x来对下面两个假设做选择，H0：样本x为零均 2 值、方差为 02 的高斯变量，H1：样本x为零均值、方差 1 的 2 2 1 0 高斯变量，且 （1）根据观测结果x，确定判决区域D0和D1 （2）画出似然比接收机框图。 H1为真而选择H0的概率如何？ 解（a）（根据观测结果x，确定判决区域和D0和D1 ） 由题可知两种假设下的条件概率密度函数：
2012年11月
14
1.9设两种假设为： H1：x(t)=2+n(t), H2: x(t)=n(t)，其中n(t)为零均值、方差 为2的高斯白噪声。根据M个独立样本xi(i=1,2,…M)应用纽曼-皮尔逊准则进 行检验，令P(D1|H0)=0.05,试求： (1)最佳判决门限 (2)相应的检测概率P(D1|H1). 解：（a）求最佳判决门限 由题设可写出单个样本所对应的似然函数为：
i 1 M j 1
i
1
[
e p(x j | H 0)
( xi 1 ) ]
i 1
M
M 则判决准则为 ( x ) e x p ( ( x 1) ) i 0 i 1
H1
H0
H1
将上式两边取对数进行整理后，得： 将
mx 1 M
1 M
i 1
M
xi
1 M
可知 ，则此时的判决区域应为： D : | x | 1 0
D 1 :| x | 1 o r | x |
12
1.7根据一次观测，用极大极小化检验对下面两个假设做判断 H1：x(t)=1+n(t), H2: x(t)=n(t) 2 设n(t)为零均值和功率 的高斯过程，且c00=c11=0,c10=c01=1。求 （1）判决门限 （2）与 相应的各假设先验概率。
H1
2 x 1
0
(1 p ) c f p ( H 0 ) c1 0 c 0 0 8 p ( H 1 ) c 0 1 c1 1 p cm
H1 1 2 H0
2
(x) e
2
2
H0
0 8 x
ln 0 8 .8 1 8
信号检测与估计
作业讲解（一） 雷霞 通信抗干扰技术国家级重点实验室
小结(1/5)
1 2 3 4
假设检验 双择检测及其最佳准则
M元信号检测及其最佳准则
6
2012-11-10 2
小结(2/5) • 基本问题
H 0 : x t s0 t n t H 1 : x t s1 t n t
P ( D1 H 0 ) 0 .0 5
和例题2结论，我们可得：
M 4
Mmx 4
2
P ( D1 H 0 )
e
d m x e r fc [
M 2
] 0 .0 5
（b）求相应的检测概率 P ( D 1 H 1 )
P ( D1 H 1 )
M 4
M (mx 2) 4
ln 0 1
i 1
M
H0
xi
作为判决统计量与门限进行对比
15
由于高斯分布函数的线性组合仍为正态分布，则我们可以得到 m 在两 种假设下的似然函数：
x
p (m x | H 0 )
M 4
Mmx 4
2
e
, p (m x | H 1 )
M 4
M (mx 2) 4
2
e
由题设
p 1 ( x )的偶函数性质，当 p 1 (1) p 1 ( 1)
时（此种情况不成立）
11
判决区域： p ( x ) p ( x ) 1 0
D 0 : , D1 :
（c）两函数有交叠部分，即
x 2
2
ln
2 2
1 p1 ( 0 ) 2 p (1) p ( 1) 1 1 1 2
对 的 N个观测样本 ，向量 • 统一的检测原则：似然比检测
x t
x1 , x 2 , , x N
x x1 , x 2 , , x N
T
似然比
x
p x H1 p x H 0
D1
0
门限
D0
• 统一的检测器结构
2012-11-10 3
小结(3/5)
p x0 H1 p x0 H 0
先验信息： 似然函数 C0,0=C1,1=0
2012-11-10
6
H : x n, 1.1 0
n ~ N (0, ) H 1 : x 1 n,
2
设噪声均方差为 2 代价为 c f 2, c m 1 信号存在的先验概率P=0.2.试确定贝叶斯意义下最佳门限 ，并计 算出相应的平均风险。
x
2 2
e
2
,
1 2 , (| x | 1) H 0 : p0 ( x) 0 , ( e ls e )
（1）假定 0 1 ，确定判决区域D0和D1 （2）应用纽曼-皮尔逊准则，并设 P ( D1 H 0 ) ，则判决区域如何？ 解（1）由似然比定义和题设可知：
2 0 1
2 2
2 2
1 0
0
ln
0 1
0
, ( 1 0 )
2 2
可得判决区域为： H
D0 :
x
; D1 : x
or x ;
9
（b）画出似然比接收框图如下：
观测x 求平方 + +
0，判
H1 H0
<0, 判
(x)
p(x | H 1) p(x | H 0)
H1
0 1
H0
题目所给概率密度函数参数未确定，分别讨论： (a)当 (b)由
p1 ( 0 ) 1 2 1 2
时，此时
p1 ( x ) m ax p 0 ( x ), (| x | 1)
1 2
判决区域： D0： x | 1 , D1 ：x | 1 | |
2 1
( ) e
2
2
0 0 1
又
0
p ( H 0 ) c1 0 c 0 0 p ( H 1 ) c 0 1 c1 1
且
p ( H 1 ) p ( H 0 ) 1 （假设的
完备性） 得到假设的先验概率为
p(H 0 ) p(H 1) 1 2
解：(a)判决门限
： 由题设可得相应假设的似然函数 p ( x | H 1 ) 2 x 1 则相应的似然比为 p(x | H 1)
(x) e
2
2
1 2
( x 1 ) 2
2
2
e
, p(x | H 0)
1 2
x
2 2
e
2
由极大极小化检验准则：两类错误的平均代价相等
P H0 P H1
4
0
小结(4/5)
3. 最大似然（ML）准则
P 在MAP准则中， H
0
P (H 1)
1 2
，则
0 1
4. 极大极小（minmax）准则
在Bayes风险（最小风险）中，改变P(Hi)，找出最大的 风险（极大）
C 10 P D1 H 0 C 01 P D 0 H 1
p(x | H 0) 1 2 0
x
2
e
2 0
2
; p(x | H 1)
1 2 1
x
2
x
2 2
e
1
2 1
则相应的似然比为
(x)
p(x | H1) p(x | H 0)
0 1
(
1
e
2
0
2
H1
2
1
)
0
将上式两边取自然对数化简后可得： H
1
H0
x
2
2
e
d m x e r fc [
M 2
( 2 )]
注：此题很多同学未看清楚题设中方差为2的条件 ，此时是 2 2 而非 2
16
D1
p ( x | H 0 )dx
P ( D H ) 1 0
1
p ( x | H 0 )dx
p ( x | H 0 )d x
1
p ( x | H 0 )dx
1 2 , (| x | 1) p(x | H 0) 0 , ( e ls e )
题中所述即求漏报概率
P (D0 H 1)
D0
p ( x | H 1)dx 1 2 1
x
2 2
e
2 1
dx
(
1
) (
1
) 2 (
1
) 1
10
1.4设计一个似然比校验，对下面两个假设做选择