高中数学中的自对称和互对称

浅析高中数学中的对称美
太康县第一高级中学数学组李云厅
函数是高中数学的灵魂，也是整个高中数学的基础。

函数的性质是近几年高考的重点与热点问题，而函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。

本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来体会高中数学中对称美。

一、自对称：函数自身的对称性
定理1.函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是
f (x) + f (2a－x) = 2b
证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴2b－y = f (2a－x)
即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。

（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)
∵f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。

故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。

推论：函数y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0
定理2.函数y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是
f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x)
推论：函数y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)
定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠
b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴
对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。

①②的证明留给读者，以下给出③的证明：
∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，
∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：
f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）
又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称，
∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：
f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a－b）－x代x得
f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：
f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。

二、互对称：两个不同函数对称性
定理4.函数y = f (x)与y = 2b－f (2a－x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。

定理5.①函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称。

②函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。

③函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。

定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③
设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)。

记点P( x ,y)关于直线x －y = a的轴对称点为P‘（x1，y1），则x1 = a + y0 , y1 = x0－a ，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f (x0)之中得x1－a = f (a + y1) ∴点P‘（x1，y1）在函数x－a = f (y + a)的图像上。

同理可证：函数x－a = f (y + a)的图像上任一点关于直线x－y = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。

故定理5中的③成立。

推论：函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。

三、三角函数图像的对称性列表
注：①上表中k∈Z
②y = tan x的所有对称中心坐标应该是(kπ/2 ,0 )
四、函数对称性应用举例
例1 确定函数()x
1
=3
(的图象的对称中心.
)
x
x
f+
-
解析1：设函数()x
1
)
=3
(的图象的对称中心为（h，k），在图象上任意
x
x
f+
-
取一点P （x ，y ），它关于（h ，k ）的对称点为Q （2h-x ，2k-y ），Q 点也在图象上，即有
()x h x h y k -+--=-21223，由于()x x y +-=3
1，两式相加得 ()()h x x h k 211223
3+-+--=，化简得 ()()()()
01241161322=+-+--+---h k h h h x h h x h （*）.
由于P 点的任意性，即（*）式对任意x 都成立，从而必有x 的系数和常数项都为0，即h=1，k=1.
所以函数()x x x f +-=31)(的图象的对称中心为（1,1）. 解析2：设函数()x x x g +=3，则g(x)为奇函数，其对称中心为原点，由于()1)1(1)1(1)(3
+-=+-+-=x g x x x f ，说明函数f(x)的图象是由g(x)的图象分别向右、向上平移1个单位得到，而原点向右、向上分别平移1个单位得到点(1,1).
所以函数()x x x f +-=3
1)(的图象的对称中心为（1,1）. 例2：设定义域为R 的函数y = f (x)、y = g (x)都有反函数，并且f(x －1)和g -1(x
－2)函数的图像关于直线y = x 对称，若g (5) = 1999，那么f(4)=（ ）。

（A ） 1999； （B ）2000； （C ）2001； （D ）2002。

解：∵y = f(x －1)和y = g -1
(x －2)函数的图像关于直线y = x 对称， ∴y = g -1(x －2) 反函数是y = f(x －1)，而y = g -1(x －2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x －1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001
故f(4) = 2001,应选（C ）
例3.设f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x ≤0时， f (x) = －2
1x ，则f (8.6 ) = _________ 解：∵f(x)是定义在R 上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；
又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。

故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3
例4.函数 y = sin (2x +
2
5π)的图像的一条对称轴的方程是（ ） (A) x = －2π (B) x = －4π (C) x = 8
π (D) x =45π 解：函数 y = sin (2x + 25π)的图像的所有对称轴的方程是2x + 25π = k π+2
π ∴x = 2πk －π,显然取k = 1时的对称轴方程是x = －2π 故选(A) 例5. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x ≤1时， f (x) = x ，则f (7.5 ) = （ ）
(A) 0.5 (B) －0.5 (C) 1.5 (D) －1.5
解：∵y = f (x)是定义在R 上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；
又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数。

∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故选(B)。