第2讲 椭圆、双曲线、抛物线

第2讲
椭圆、双曲线、 椭圆、双曲线、抛物线
1.圆锥曲线的定义、 1.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 圆锥曲线的定义 名称 定义 椭圆 |+|PF |=2a |PF1|+|PF2|=2a (2a>|F (2a>|F1F2|)
x y + 2 =1 2 a b （a>b>0)
2 2
双曲线
PF1 PF2 = 2a (2a < F1 F2 )
+4k +2k 消y得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0. (1+2k
4k 2 , 由根与系数的关系知x 由根与系数的关系知x1+x2= 2 1 + 2k
从而y 从而y1+y2=k(x1+x2+2)=
2k . 2 1 + 2k
∵ F2 M = ( x1 1, y1 ), F2 N = ( x2 1, y2 ), ∴ F2 M + F2 N = ( x1 + x2 2, y1 + y2 ). ∴ F2 M + F2 N = ( x1 + x2 2) 2 + ( y1 + y2 ) 2
e =1
x= p 2
2b 2 AB = a
源自文库
AB = 2 p
b y=± x a
2.椭圆中的最值 2.椭圆中的最值
为椭圆的任意一点， 为短轴的一个端点， 为椭圆的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原 点，则有 (2)|PF |∈［ （1）|OP|∈［b,a］. (2)|PF1|∈［a-c,a+c］. OP|∈［ |∈ |PF |∈［ .(4)∠F ≤∠F （3）|PF1| |PF2|∈［b2,a2］.(4)∠F1PF2≤∠F1BF2.
因为A 因为A、C在椭圆上 所以Δ=-12n2+64>0，解得 4 3 < n < 4 3 . 所以Δ=-12n +64>0， Δ=
2 3n ,x x = 3n 4 , ,x1 2 则x1 +x2 = 4 n 2
),(x 设A，C两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)， 两点坐标分别为(
S F1PQ
（1）解 设椭圆方程为
b ， M (c, ) kOM a
2
1 用设而不求的思路求解. = F1F2 y1 y2 用设而不求的思路求解. 2 x2 y 2
b2 b c 2 ∴ = b = c a = 2c,∴ e = = . ac a a 2
a b 2 b b = , k AB = , ac a
整理得： 整理得：5y2- 2 2cy -2c2=0, ∴y1 +y2 =
2 2c 5
2 2 c 2 8c 2 48c 2 ) + = ∴ （ y 1 - y 2 ） 2= ( . 5 5 25
2c 2 ,y ,y1 y2 = 5
.
1 4 3c 2 S PF2 Q = 2C y1 y2 = = 20 3 , c 2 = 25 2 5 x2 y 2 因此a =50,b =25,所以椭圆方程为 因此a2=50,b2=25,所以椭圆方程为 + = 1.
2b 2 2c 2 cos∠F ∴cos∠F1CF2≥ 2 1 = 2 1 = 0 ， a 2c
∴∠F ∴∠F1CF2≤
π
2 a 设直线PQ的方程为y PQ的方程为 （3）解 设直线PQ的方程为y=(x-c),即y=- 2 (x-c). ),即 b
.
1 1 y2 2 y) + 2 = 1 , 代入椭圆方程消去x 代入椭圆方程消去x得： 2 (c a b 2
c 2 = （1）由条件有 a 2 , 2 a = 2, c
3
2
解得a 解得a=
,c 2 ,c=1.
∴b= a 2 c 2 =1.
x2 ∴所求椭圆的方程为 + y 2
2
= 1.
(2)由 ）、F (2)由（1）知F1（-1，0）、F2（1，0）. 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1, 将x=-1代入椭圆方程得y=± 2 . 代入椭圆方程得y 2 不妨设 M ( 1, 2 )、N ( 1, 2 ), 2 2 2 2 ∴ F2 M + F2 N = ( 2, ) + ( 2, ) = ( 4,0). 2 2 ∴ F2 M + F2 N = 4, 与题设矛盾. 与题设矛盾. ∴直线l的斜率存在. 直线l的斜率存在. 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+1). 设直线l的斜率为k 则直线l的方程为y x2 + y 2 = 1, 设M（x1,y1）、N（x2,y2）,联立 2 ）、N y = k ( x + 1),
50
25
变式训练1 变式训练1
(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率 e = 2 , >0)的左、右焦点分别为F 的左
2
x2 y2 2009四川理 20） 四川理， （2009四川理，20）已知椭圆 + = 1 a 2 b2
右准线方程为x 右准线方程为x=2. （1）求椭圆的标准方程； 求椭圆的标准方程； 两点， （2）过点F1的直线l与该椭圆相交于M、N两点， 过点F 的直线l与该椭圆相交于M 求直线l的方程. 且 F M + F2 N = 2 26 ,求直线l的方程. 解
一、圆锥曲线的定义、几何性质、标准方程 圆锥曲线的定义、几何性质、 例1 圆右焦点F 的连线MF 圆右焦点F1的连线MF1与x轴垂
x2 y 2 如图所示， 上的点M 如图所示，椭圆 2 + 2 = 1上的点M与椭 a b
直，且OM（O是坐标原点）与椭 OM（ 是坐标原点） 圆长轴和短轴端点的连线AB平行. 圆长轴和短轴端点的连线AB平行. AB平行 （1）求椭圆的离心率； 求椭圆的离心率； 是椭圆的左焦点， 是椭圆上的任一点，证明： （2）F2是椭圆的左焦点，C是椭圆上的任一点，证明： ∠F1CF2≤
x2 y2 2 =1 2 a b >0,b (a>0,b>0)
抛物线 PF|= |PF|= PM 点F 不在直线l 不在直线l上， PM⊥l于M =2px px( y2=2px(p>0)
标准 方程
图象
范围 顶点 对称性 焦点 轴
x ≤ a, y ≤ b
x ≥a
x≥0
(± a,0), (0,±b)
探究提高（ 探究提高（1）求离心率，结合已知条件找到a,b,c的关系式； 求离心率，结合已知条件找到a,b,c的关系式 a,b,c的关系 为左、右焦点， （2）C为椭圆上的任意一点，F1，F2为左、右焦点，当C点是 为椭圆上的任意一点， 椭圆短轴的一个端点时， 取得最大值. 椭圆短轴的一个端点时，∠F1CF2取得最大值.
θ
2
=∠F ( θ =∠F1PF2).
4.抛物线中的最值 4.抛物线中的最值 px( 上的任一点， 为焦点， 点P为抛物线y2=2px(p>0)上的任一点，F为焦点， 为抛物线y =2px >0)上的任一点 p 则有: PF|≥ 则有:（1）|PF|≥ . 2 焦点弦AB以通径为最值， AB以通径为最值 AB|≥2 |≥2p （2）焦点弦AB以通径为最值，即|AB|≥2p. （3）A（m,n）为一定点，则|PA|+|PF|有最小值. 为一定点， PA|+|PF|有最小值. |+|PF 5.双曲线的渐近线 5.双曲线的渐近线 （1）求法：令双曲线标准方程的左边为零，分解 求法：令双曲线标准方程的左边为零， 因式可得. 因式可得.
x2 y 2 >0,b>0)的左 的左、 F1，F2为双曲线 2 2 = 1 (a>0,b>0)的左、 a b
则有
右焦点， 为双曲线上的任一点， 为坐标原点， 右焦点，P为双曲线上的任一点，O为坐标原点，
|≥c （1）|OP|≥a.（2）|PF1|≥c-a. OP|≥a |≥
S （2） F1PF2 = b2 tan
π
且与AB垂直的直线交椭圆于P AB垂直的直线交椭圆于 （3）过F1且与AB垂直的直线交椭圆于P、 求此时椭圆的方程. Q，若△PF2Q的面积是 20 3 ，求此时椭圆的方程.
2
；
思维启迪（ 思维启迪（1）从OM∥AB入手，寻找a，b，c的关 OM∥AB入手，寻找a 入手 系式，进而求出离心率. 系式，进而求出离心率. （2）在焦点三角形F1CF2中，用余弦定理求出 在焦点三角形F 再结合基本不等式. cos∠ F1CF2,再结合基本不等式. ）、Q ），则 （3）设P（x1,y1）、Q（x2,y2），则
2
8k 2 + 2 2 2k 2 4(16k 2 + 9k 2 + 1) =( ) +( ) = 2 2 1 + 2k 1 + 2k 4 k 4 + 4k 2 + 1 2 26 2 =( ) , 3
化简得40k 23k 化简得40k4-23k2-17=0, 40 解得k =1或 解得k2=1或k2=∴k=±1. ∴所求直线l的方程为y=x +1或y= -x -1. 所求直线l的方程为y +1或
（2）用法： 2 用法： b a 的值. ①可得 或 的值. a b ②利用渐近线方程设所求双曲线的方程. 利用渐近线方程设所求双曲线的方程. 6.直线与圆锥曲线的位置关系 6.直线与圆锥曲线的位置关系 （1）相离；（2）相切；（3）相交. 相离；（2 相切；（3 相交. ；（ ；（ 特别地， 当直线与双曲线的渐近线平行时， 特别地，①当直线与双曲线的渐近线平行时，直 线与双曲线相交且只有一个公共点. 线与双曲线相交且只有一个公共点. ②当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线 当直线与抛物线的对称轴平行或重合时， 与抛物线相交且只有一个公共点. 与抛物线相交且只有一个公共点.
3
3
所以y y1=-x1+n,y2=-x2+n.所以y1+y2= . 3n n 2 所以AC AC的中点坐标为 所以AC的中点坐标为 ( , ) . 4 4 由四边形ABCD为菱形可知， ABCD为菱形可知 由四边形ABCD为菱形可知，
x2 y 2 F1，F2为椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)的左、右焦点，P =1(a >0)的左、右焦点， 的左 a b
θ ( =∠F PF ). （5） F PF =b2tan S 1 2 θ =∠F1 2 2 焦点弦以通径为最短. （6）焦点弦以通径为最短.
3.双曲线中的最值 3.双曲线中的最值
17 (舍). 40
二、圆锥曲线中的定值与最值 已知菱形ABCD的顶点A ABCD的顶点 在椭圆x +3y 例2 已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4 对角线BD所在直线的斜率为1. BD所在直线的斜率为 上，对角线BD所在直线的斜率为1. 当直线BD过点（ BD过点 求直线AC的方程； AC的方程 （1）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程； ABC=60 =60° 求菱形ABCD面积的最大值. ABCD面积的最大值 （2）当∠ABC=60°时,求菱形ABCD面积的最大值. 思维启迪（ 根据菱形的性质及条件求解. 思维启迪（1）根据菱形的性质及条件求解. 由题意表示出菱形的面积， （2）由题意表示出菱形的面积，然后利用函数或不 等式知识求解. 等式知识求解. 解（1）由题意得直线BD的方程为y=x+1. 由题意得直线BD的方程为y BD的方程为 因为四边形ABCD为菱形，所以AC BD. ABCD为菱形 AC⊥ 因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD. 于是可设直线AC的方程为y AC的方程为 于是可设直线AC的方程为y=-x+n. +3y x2+3y2=4, nx+3 +3n 由 得4x2-6nx+3n2-4=0 y=-x+n,.
(± a,0)
(0,0) 关于x轴对 关于x 称
p ( ,0) 2
关于x轴，y轴和原点 关于x 对称 （ ± c,0 ） 长轴长2 长轴长2a, 短轴长2 短轴长2b 实轴长2 实轴长2a， 虚轴长2 虚轴长2b c b2 e = = 1+ 2 a a (e > 1)
几 c b2 e= = 1 2 何 离心率 a a (0 < e < 1) 性 a2 x=± 质 准线 c 通径 渐近线
2
+
2
= 1 (a>b>0)，则 >0)，
由椭圆定义得： |+|F |=2a （2）证明 由椭圆定义得：|F1C|+|F2C|=2a， cos∠F1CF2= cos∠F =
F1C + F2C F1F2 2 F1C F2C
2 2 2
4a 2 4c 2 2 F1C F2C 2 F1C F2C
2b 2 = 1 . F1C F2C F1C + F2C 2 ) =a2 ， ||F =a |F1C||F2C|≤ ( 2