静定拱结构
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《结构力学》第四章静定拱
受力特点概述
静定拱在荷载作用下，拱身主要承受 压力作用，这使得拱具有较好的受压 性能。
拱身受压力作用
由于拱的曲线形状和荷载作用位置的 不同，拱身内力分布通常不均匀，需 要进行详细的内力分析。
内力分布不均匀
静定拱在荷载作用下，其变形主要以 压缩变形为主，弯曲变形相对较小。
变形以压缩为主
影响因素分析
面内失稳
1
拱在面内发生屈曲，导致承载力急剧下降。
面外失稳
2
拱在面外方向发生侧倾或扭转，失去原有形状。
局部失稳
3
拱的局部区域发生失稳，如拱脚的局部压曲等。
提高稳定性的措施
合理选择拱的轴线形式 使拱在受力时能够均匀分布荷载，避 免应力集中。
加强拱的横向联系
通过设置横撑、横系梁等构件，增强 拱的横向稳定性。
贰
静定拱的受力特点
受力分析基本假设
拱身是理想弹性体 在分析中，假设拱身材料符合胡克定律， 即应力与应变成正比关系。 荷载作用在拱的节点上 为简化计算，通常将荷载（如均布荷载、 集中力等）作用在拱的节点上进行分析。 忽略拱身自重影响 在分析中，通常忽略拱身自重对受力的影 响，或将其简化为等效荷载进行处理。
增加拱的刚度
采用高强度材料、增加截面尺寸等措 施，提高拱的整体刚度。
考虑施工方法和顺序
合理的施工方法和顺序可以有效减少 拱在施工过程中的变形和应力，有利 于提高稳定性。
陆
静定拱的工程应用
桥梁工程中的应用
拱桥
静定拱是拱桥的主要结构形式，能够承受较大的竖向荷载和水平推 力，具有良好的经济性和美观性。
习题一
某静定拱的跨度为L，矢高为f，承受均布 荷载q作用，试求其拱脚处的水平推力H和 竖向反力V。
静定结构内力分析-3静定拱
N Q0sin FHcos
采用描点法绘制内力图
四、三铰拱的合理拱轴线
M M 0 FH y(x) 0
使拱在给定荷载下只产生轴力的拱轴线，称 为与该荷载对应的合理拱轴。
M 0 (x) y(x)
FH
在竖向荷载作用下，三 铰拱的合理拱轴线的纵坐标 与相应简支梁弯矩图的竖标 成比例。
第二章 静定结构受力分析
§2-3 三铰拱受力分析
一.概述 1.拱的定义
P
0
曲梁
拱—杆轴线为曲线，在竖向荷载作用
下会产生水平推力的结构。
P
2P /3 l/3
2l/3
2P /3 l/3
2l/3
2 Pl 9
M图
P
2 Pl
M图
9
拱
2.拱的受力特点
M图
三铰拱
两铰拱
无铰拱
三铰拱
带拉杆三铰拱
例 已知三铰拱的高度为f，跨度为l，试求在满跨竖向 均布荷载作用下的合理拱轴，荷载分布集度为q 。
解： M 0 (x) 1 q(lx x2 )
2
FH
ql 2 8f
q y
C f
A
Bx
y(x) M 0 (x) FH
4f l2
(lx x2 )
l/2
l/2
A
q
B
ql x
ql
2
2
FAx
1 f
M
0 C
FBx
FAx
FH
1 f
M
0 C
三. 三铰拱的内力计算
y
P1 D C φ
P2
y FH A
采用描点法绘制内力图
四、三铰拱的合理拱轴线
M M 0 FH y(x) 0
使拱在给定荷载下只产生轴力的拱轴线，称 为与该荷载对应的合理拱轴。
M 0 (x) y(x)
FH
在竖向荷载作用下，三 铰拱的合理拱轴线的纵坐标 与相应简支梁弯矩图的竖标 成比例。
第二章 静定结构受力分析
§2-3 三铰拱受力分析
一.概述 1.拱的定义
P
0
曲梁
拱—杆轴线为曲线，在竖向荷载作用
下会产生水平推力的结构。
P
2P /3 l/3
2l/3
2P /3 l/3
2l/3
2 Pl 9
M图
P
2 Pl
M图
9
拱
2.拱的受力特点
M图
三铰拱
两铰拱
无铰拱
三铰拱
带拉杆三铰拱
例 已知三铰拱的高度为f，跨度为l，试求在满跨竖向 均布荷载作用下的合理拱轴，荷载分布集度为q 。
解： M 0 (x) 1 q(lx x2 )
2
FH
ql 2 8f
q y
C f
A
Bx
y(x) M 0 (x) FH
4f l2
(lx x2 )
l/2
l/2
A
q
B
ql x
ql
2
2
FAx
1 f
M
0 C
FBx
FAx
FH
1 f
M
0 C
三. 三铰拱的内力计算
y
P1 D C φ
P2
y FH A
4.静定拱讲解
A
B
ql
ql
2x
2
y=4fx(l-x)/l2 抛物线
黑龙江大学 建筑工程学院
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
三铰拱在满跨竖向均布荷载作用下，其合理拱 轴线为二次抛物线。
在合理拱轴的抛物线方程中，拱高f 没有确定。 具有合理高跨比的一组抛物线都是合理轴线。
黑龙江大学 建筑工程学院
例4-4 求在回填土重量下三铰拱的合理拱轴线。q=q0+γy (书63)
yxmxfh43三铰拱的合理拱轴线黑龙江大学黑龙江大学建筑工程学院建筑工程学院例例4433试求图示对称三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴线试求图示对称三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴线mmcc00qlql22hhqlql228ffmm00qlxqlx22qxqxqxqxllxx24fxfxllxxll22抛物线抛物线43三铰拱的合理拱轴线黑龙江大学黑龙江大学建筑工程学院建筑工程学院三铰拱在满跨竖向均布荷载作用下其合理拱轴线为二次抛物线
的合理拱轴线是一悬链线。
y
q0
g
ch
g x 1
H
黑龙江大学 建筑工程学院
例4-5 求径向均匀水压力作用下的三铰拱的合理拱轴线。
q
t
n
d / 2
N+dN
d
N
∵拱处于无弯矩状态，∴各截面上只有轴力。
由t
0，
N
cos d
2
N
dN cos d
2
0, 得
dN 0
由于d很小，
即拱截面上的轴力N为常数。
t
Ft 0 dFN pds 0
由曲率的定义 : d 1
dS
故
FN q
(*)
4静定拱(李廉锟_结构力学)
第四章 静定拱
§4-1 概述 §4-2 三铰拱的计算 §4-3 三铰拱的合理拱轴线
拱 (arch)
§4-1 概述
杆轴线为曲线 在竖向荷载作 用下不产生水
平反力。
1.拱的定义
结构力学
这是拱结构吗?
曲梁
拱--杆轴线为曲
线，在竖向荷载 作用下会产生水
拱
平推力的结构。
退出
拱 (arch) 2.拱的受力特点 §4-1 概述
7.5kN
1 0
A
2
2
y2
x
x2=3m 6m
6
7 8
B
3m
f=4m 图所示拱的轴线为抛物线方程
H 7.5kN
y
4f l2
xl x
计算反力并绘
制内力图。
6m
VB 9kN （1）计算支座反力
VA 11kN
VA
P1
Qo
Q Q cos H sin
Mo
V
A
N Q sin H cos
Ｈ
三、受力特点
（1）在竖向荷载作用下有水平反力 H;
（2）由拱截面弯矩计算式可见，比相应简支梁小得多;
（3）拱内有较大的轴向压退力出 N.
q=2kN .m
P=8kN
结构力学
y
34
5
例 1、三铰拱及其所受荷载如
2.内力一般有弯矩、剪力和轴力，由于推力 的存在弯矩比同跨度梁小很多，拱主要承
点 受压力。 3.拱截面上应力分布均匀，更能发挥材料的 作用。可利用抗拉差抗压强的材料，如： 砖、石、混凝土。
退出
拱的特点：
结构力学
1.支座承受水平推力，需要更坚固的地基和
§4-1 概述 §4-2 三铰拱的计算 §4-3 三铰拱的合理拱轴线
拱 (arch)
§4-1 概述
杆轴线为曲线 在竖向荷载作 用下不产生水
平反力。
1.拱的定义
结构力学
这是拱结构吗?
曲梁
拱--杆轴线为曲
线，在竖向荷载 作用下会产生水
拱
平推力的结构。
退出
拱 (arch) 2.拱的受力特点 §4-1 概述
7.5kN
1 0
A
2
2
y2
x
x2=3m 6m
6
7 8
B
3m
f=4m 图所示拱的轴线为抛物线方程
H 7.5kN
y
4f l2
xl x
计算反力并绘
制内力图。
6m
VB 9kN （1）计算支座反力
VA 11kN
VA
P1
Qo
Q Q cos H sin
Mo
V
A
N Q sin H cos
Ｈ
三、受力特点
（1）在竖向荷载作用下有水平反力 H;
（2）由拱截面弯矩计算式可见，比相应简支梁小得多;
（3）拱内有较大的轴向压退力出 N.
q=2kN .m
P=8kN
结构力学
y
34
5
例 1、三铰拱及其所受荷载如
2.内力一般有弯矩、剪力和轴力，由于推力 的存在弯矩比同跨度梁小很多，拱主要承
点 受压力。 3.拱截面上应力分布均匀，更能发挥材料的 作用。可利用抗拉差抗压强的材料，如： 砖、石、混凝土。
退出
拱的特点：
结构力学
1.支座承受水平推力，需要更坚固的地基和
静定拱结构的变形公式推导
静定拱结构的变形公式推导好的，以下是为您生成的关于“静定拱结构的变形公式推导”的文章：咱先来说说啥是静定拱结构。
想象一下，有一个弯弯的桥，那个桥的形状就有点像静定拱结构。
比如说，咱经常在公园里看到的那种拱形的石桥。
这静定拱结构啊，它在受到各种力的作用时，会发生变形。
那咱就得搞清楚这个变形是咋来的，就得推导一下相关的公式。
比如说，有这么一个简单的静定拱结构，它就像一个被微微压弯的弓。
咱先假设这个拱受到一个竖直向下的集中力 P 。
这时候，拱的各个部分都会产生内力和变形。
那怎么推导这个变形公式呢？咱先得分析一下这个结构的受力情况。
就像解一道复杂的数学题一样，得一步步来。
咱把这个拱分成很多小段，每一小段都受到不同的力。
然后呢，通过一些力学的原理和方法，比如平衡方程、几何关系啥的，来逐步推导。
我记得有一次，我在一个建筑工地观察那些工人们搭建一个小型的拱结构。
他们非常仔细地测量每一个部件的尺寸，计算受力情况。
我就凑过去问一个老师傅：“师傅，这拱结构的变形咋算啊？”老师傅笑着说：“小伙子，这可复杂着呢，得一点点分析。
”他边说边比划着，给我讲了一些基本的概念和方法。
咱接着说这变形公式的推导。
通过对每个小段的分析，咱可以得到一些关于内力和变形的关系式。
然后把这些关系式整合起来，经过一番复杂的计算和推导，最终就能得到静定拱结构的变形公式。
这公式可重要啦，有了它，工程师们就能准确地预测拱结构在受力时的变形情况，从而保证结构的安全性和稳定性。
比如说，在设计一个大型的桥梁时，如果变形太大，那可就危险啦。
总之，静定拱结构的变形公式推导虽然有点复杂，但只要咱耐心分析，一步步来，就能搞明白其中的奥秘。
就像解决一个难题，只要不放弃，总有办法找到答案的。
第3章 三铰拱
（二） 对称三铰拱的数解法
1. 计算支座反力
图示三铰拱中，共有 四个反力： VA、HA、VB、HB。 根据整体的平衡 条件可建立三个 平衡方程： ∑MA=0 ∑MB=0 ∑X=0 再取中间铰一侧隔离 体， ∑ MC=0， 由这四个方程可 解出四个反力。
由∑MB= 0，得： VAl－P1b1－ P2b2－…= 0 VA= (P1b1 ＋ P2b2 ＋ …)/ l V0A 由∑MA= 0，得： VB= (P1a1＋ P2a2＋…)/ l V0B 把两个竖向反力VA 、VB与相应简支梁支座反力V0A 、 V0B 相比，可知竖向荷载作用下，对称三铰拱的竖向反力与 其相应简支梁的反力完全相同。
两个投影方程可用拱轴在该点的法线n和切线t为 投影轴。
∑n = 0 ，得： QD = VA cosφD －P1 cosφD －P2 cosφD －H sinφD = (V0A－P1－P2) cosφD －H sinφD
= Q0D cosφD －H sinφD
∑t = 0 ，得： ND = VA sinφD - P1 sinφD -P2 sinφD +H cosφD = (V0A－P1－P2) sinφD +H cosφD
由∑X= 0，得： HA= HB = H 中间铰左侧隔离体 ∑MC=0 得：
∑ MC =
VAl1－P1(l1 － a1) － P2(l1 － a2) － P3(l1 － a3)－ H f = 0 得： H=[VAl1－P1(l1 － a1)－ P2(l1 － a2)－ P3(l1 － a3)] / f 因 VA = V0A ，得：H= M0C / f M0C为相应简支梁截面C的弯矩。
最后根据本例的已知条件，进行具体计算。
VA=VB= V0A = q l / 2= 4× 16 / 2 = 32kN H = (q l 2 / 8) / f = (4× 162 / 8) / 4 = 32kN
第四章静定拱
小结： 1) 压力线一定通过铰C。
2) 压力线与拱轴形状无关，只与三个铰A、B、 C及荷载的相对位置和荷载的大小有关。 3) 合力大小由力多边形确定，合力作用线由压 力线确定。 4) 若荷载是竖向集中力，则压力线为折线；若 为均布荷载，压力线为曲线。
四. 三铰拱的合理拱轴线
在给定荷载作用下，三铰拱任一截面弯矩为零 的轴线就称为合理拱轴线。 若用压力线作为三铰拱轴线，则任一截面弯矩 都为零，故压力线为合理拱轴线。
下面列举工程实例给以说明:
三铰拱的构造特征:杆轴线通常为曲线，三个刚 片(包括地基基础)用不在同一直线上的三个铰两两 相连而组成。
三铰拱的受力特征:在竖向荷载作用下，拱脚处 产生很大的水平推力;因此拱轴任一截面的轴力FN 比 较大，弯矩比较小。 当基础薄弱时,常用拉杆来承受其水平推力，成 为带拉杆的三铰拱。
12.5kN 求MK
yk 44 16
2
4(1 6 4 ) 3 m .
M K 0,
M K 1 2 .5 4 1 0 3 2 0 k N m ( 下 拉 ).
求MJ
yJ 3m
M J 7 .5 4 1 0 3 3 0 3 0 0 .
三铰拱任一截面的弯矩为:
M M
0
FH y
令: 得到:
M 0
y M
0
FH
合理拱轴线方程的表达式。
例: 求三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴。 q C
FH A FVA l /2 q A
ql / 2
M qx( l x ) / 2
0
f B FH l /2 FVB
x 代 梁
解：
y
3f静定拱
绘内力图
H=6
A
VA 4m 4m 4m 4m
B H=6
VB =5
=7 1) 反力
(ΣM
(ΣM
B
=0
)
)
4( 4 ) + 8( 12 ) − V A ( 16 ) = 0 V A + VB − 1 ⋅ ( 8 ) − 4 = 0
2) 内力 沿跨度分成若干等份, 沿跨度分成若干等份, 算出控制截面内力值
2.三铰拱内力 三铰拱内力 三铰拱 拱的任一截面上一般有三个内力（ ），内力计算的基本 拱的任一截面上一般有三个内力（M, FQ, FN），内力计算的基本 方法仍是截面法。与直杆件不同的是拱轴为曲线时， 方法仍是截面法。与直杆件不同的是拱轴为曲线时，截面法线角 度不断改变，截面上内力（ 的方向也相应改变。 度不断改变，截面上内力（FQ , FN）的方向也相应改变。
静定拱 小结
沿跨度分成若干等份, 沿跨度分成若干等份, 算出控制截面内力值
E截面 x = 4m 截面, 截面
C －0.5
－0.5 1.5 2.0 1.5 2.0
M = M 0 − Hy 1 = 7( 4 ) − 4 2 − 6( 3 ) = 2 2
Q = Q 0 cos ϕ − H sin ϕ
= 3( 0 .894 ) − 6( 0 .447 ) = 0
M = M 0 − Hy
（截面一侧竖向外力之矩） 截面一侧竖向外力之矩）
拱为合理轴线时，M=0
M0 ∴ y = H
（ 可见，合理拱轴线 y与代梁截面M成正比 ） 可见，合理拱轴线 与代梁截面
上式求导两次
d2y q d M =± = ±q ） ∴ 2 （note: 2 dx H dx
H=6
A
VA 4m 4m 4m 4m
B H=6
VB =5
=7 1) 反力
(ΣM
(ΣM
B
=0
)
)
4( 4 ) + 8( 12 ) − V A ( 16 ) = 0 V A + VB − 1 ⋅ ( 8 ) − 4 = 0
2) 内力 沿跨度分成若干等份, 沿跨度分成若干等份, 算出控制截面内力值
2.三铰拱内力 三铰拱内力 三铰拱 拱的任一截面上一般有三个内力（ ），内力计算的基本 拱的任一截面上一般有三个内力（M, FQ, FN），内力计算的基本 方法仍是截面法。与直杆件不同的是拱轴为曲线时， 方法仍是截面法。与直杆件不同的是拱轴为曲线时，截面法线角 度不断改变，截面上内力（ 的方向也相应改变。 度不断改变，截面上内力（FQ , FN）的方向也相应改变。
静定拱 小结
沿跨度分成若干等份, 沿跨度分成若干等份, 算出控制截面内力值
E截面 x = 4m 截面, 截面
C －0.5
－0.5 1.5 2.0 1.5 2.0
M = M 0 − Hy 1 = 7( 4 ) − 4 2 − 6( 3 ) = 2 2
Q = Q 0 cos ϕ − H sin ϕ
= 3( 0 .894 ) − 6( 0 .447 ) = 0
M = M 0 − Hy
（截面一侧竖向外力之矩） 截面一侧竖向外力之矩）
拱为合理轴线时，M=0
M0 ∴ y = H
（ 可见，合理拱轴线 y与代梁截面M成正比 ） 可见，合理拱轴线 与代梁截面
上式求导两次
d2y q d M =± = ±q ） ∴ 2 （note: 2 dx H dx
结构力学第5章静定拱的内力计算
e 1 1` 1 F Q1 F N1
A
FA
图5-3-2(a)
同理，截取隔离体如图5-3-2(b)
FP G FN2 e2 2` D2 FQ2 A
F2
FA
图5-3-2(b)
容易看出:
图5-3-2两隔离体上截面1、2上 合力F1、F2与各自的三个内力分量 的等效关系。
AG和GB（注意GB过C铰）直线分别 是拱AD和DB段上合内力的作用线，又 叫压力线。
例5-3-1试设计一个三铰拱的轴线。
其拱上作用荷载与拱的三个铰相对位 置已定，如图(a)示
(a)
2 m 2 m 4 m
2m
2m
解
1)求支座反力
因拱的两个底铰不在一条直线上，须 先建立关于同一个铰的两个约束力的 平衡方程，联立求解，即：
先考虑支座B的约束力。以A点为 矩心，建立拱整体的力矩平衡方 程：
(a)
解 1)求支座反力
竖向反力
0 1 R FBy [q R FP ( R R cos )] 11.33kN () 2R 2
A
M
M
FAy
B
0
1 R [q R FP ( R R cos )] 1.33kN () 2R 2
结构力学
结构力学教研室
青岛理工大学工管系
第五章 静定拱的内力分析
§5.1
概 述
什么叫拱？
一般指杆的轴线为曲线形状，并且 在竖向荷载作用下会产生水平支座 反力的结构。
静定拱分类：
三铰拱 带拉杆三铰拱
静定拱的各部名称见图5-1-1。
拱 轴
( 底 铰 )
f（拱 高)
(a)三铰拱
(b)带拉杆三铰拱
A
FA
图5-3-2(a)
同理，截取隔离体如图5-3-2(b)
FP G FN2 e2 2` D2 FQ2 A
F2
FA
图5-3-2(b)
容易看出:
图5-3-2两隔离体上截面1、2上 合力F1、F2与各自的三个内力分量 的等效关系。
AG和GB（注意GB过C铰）直线分别 是拱AD和DB段上合内力的作用线，又 叫压力线。
例5-3-1试设计一个三铰拱的轴线。
其拱上作用荷载与拱的三个铰相对位 置已定，如图(a)示
(a)
2 m 2 m 4 m
2m
2m
解
1)求支座反力
因拱的两个底铰不在一条直线上，须 先建立关于同一个铰的两个约束力的 平衡方程，联立求解，即：
先考虑支座B的约束力。以A点为 矩心，建立拱整体的力矩平衡方 程：
(a)
解 1)求支座反力
竖向反力
0 1 R FBy [q R FP ( R R cos )] 11.33kN () 2R 2
A
M
M
FAy
B
0
1 R [q R FP ( R R cos )] 1.33kN () 2R 2
结构力学
结构力学教研室
青岛理工大学工管系
第五章 静定拱的内力分析
§5.1
概 述
什么叫拱？
一般指杆的轴线为曲线形状，并且 在竖向荷载作用下会产生水平支座 反力的结构。
静定拱分类：
三铰拱 带拉杆三铰拱
静定拱的各部名称见图5-1-1。
拱 轴
( 底 铰 )
f（拱 高)
(a)三铰拱
(b)带拉杆三铰拱
静定拱结构
静定拱结构拱是曲线轴线的结构，在垂直荷载作用下，支座处会产生水平推力,因此其基础为推力基础。
当基础的土层或岩层比较薄弱，不能形成推力时，基础之间需要做拉杆，形成对于拱支座的拉力。
拱截面内的弯矩比相应跨度的梁要小，截面以压力为主、压弯剪联合的作用，截面应力分布比梁均匀，因而更能发挥耐压的圬工材料（如砖、石、混凝土）的作用。
工程中常用的拱有三铰拱、两铰拱和无铰拱，前者是静定结构，后两者是超静定结构。
使拱在给定荷载下只产生轴力的拱轴线，被称为与该荷载对应的合理拱轴线即拱圈压力线。
当拱轴线为合理拱轴线时，拱的横截面上只受压力，而弯矩及剪力均为零，压应力均匀分布，因此材料能充分发挥作用。
例题拱结构如图，均布荷载q，求该结构的支座反力与合理拱轴。
解：y=f（x）= Hx(2L-x)/L21.建立坐标系，设拱方程为y=f(x)2.求支座反力，XA =XB=qL2/2H ,YA=YB=qL；3.取任意截面，力学平衡；4.若拱的曲线方程已知，则可以求解。
Σx= 0Σy= 0ΣM= 0X A +N(x)×cosα+ Q(x)×sinα=0Y+N(x)×sinα- Q(x)×cosα-qx=0AN(x)×sinα×x-N(x)×cosα×y-Q(x)×cosα×x-Q(x)×sinα×y+M(x)-qx2/2=0 5.根据合理拱轴的概念，M=0，Q=0，方程组可以化简为X+N(x)×cosα=0A+N(x)×sinα-qx=0YAN(x)×sinα×x-N(x)×cosα×y -qx2/2 =06.化简可得：tgα=(Y A–qx)/X=2（L-x）/L=f’（x）A7.因此，曲线方程y=f（x）=Hx(2L-x)/L2+C8.根据边界条件，x=0时，y=0，因此曲线方程为 y=f（x）= Hx(2L-x)/L2。
静定拱结构(力学)
全性。
03
静定拱结构的分析方法
解析法
解析法是通过数学公式和定理来求解静定拱结构 的内力和变形的方法。
这种方法基于力学的基本原理和数学工具，能够 得到精确的解答。
解析法适用于简单形状和边界条件的静定拱结构， 但不适用于复杂结构和非线性问题。
有限元法
有限元法是一种数值计算方法， 通过将连续的结构离散化为有 限个小的单元，来求解结构的
02
静定拱结构的力学原理
力的平衡原理
总结词
静定拱结构在力的平衡原理下保持稳定，各部分受力相互抵消，不产生额外的 力矩或力。
详细描述
静定拱结构通过合理的设计，使得作用在结构上的外力（如重力、风载、雪载 等）在内部各部分之间相互抵消，没有产生额外的力矩或力，从而保持结构的 稳定。
力的分布原理
总结词
THANKS
感谢观看
静定拱结构(力学)
目录
• 静定拱结构概述 • 静定拱结构的力学原理 • 静定拱结构的分析方法 • 静定拱结构的优化设计 • 静定拱结构的稳定性分析 • 静定拱结构的案例分析
01
静定拱结构概述
定特定受力 特性的拱形结构，其受力状态仅 由其自身刚度和所受外力决定， 不依赖于其他结构部分。
静定拱结构能够将外力均匀地传递到结构的各个部分，以减小局部应力集中。
详细描述
静定拱结构的设计能够确保外力在结构中均匀分布，避免应力集中现象，从而减 小结构损坏的风险。这种力的分布原理有助于提高结构的承载能力和稳定性。
弹性力学基础
总结词
静定拱结构在弹性力学基础上进行分析和设计，考虑结构的 变形和应力分布。
优化变量
设计过程中需要优化的参数，如拱的形状、尺寸、材料等。
优化设计的数学模型
03
静定拱结构的分析方法
解析法
解析法是通过数学公式和定理来求解静定拱结构 的内力和变形的方法。
这种方法基于力学的基本原理和数学工具，能够 得到精确的解答。
解析法适用于简单形状和边界条件的静定拱结构， 但不适用于复杂结构和非线性问题。
有限元法
有限元法是一种数值计算方法， 通过将连续的结构离散化为有 限个小的单元，来求解结构的
02
静定拱结构的力学原理
力的平衡原理
总结词
静定拱结构在力的平衡原理下保持稳定，各部分受力相互抵消，不产生额外的 力矩或力。
详细描述
静定拱结构通过合理的设计，使得作用在结构上的外力（如重力、风载、雪载 等）在内部各部分之间相互抵消，没有产生额外的力矩或力，从而保持结构的 稳定。
力的分布原理
总结词
THANKS
感谢观看
静定拱结构(力学)
目录
• 静定拱结构概述 • 静定拱结构的力学原理 • 静定拱结构的分析方法 • 静定拱结构的优化设计 • 静定拱结构的稳定性分析 • 静定拱结构的案例分析
01
静定拱结构概述
定特定受力 特性的拱形结构，其受力状态仅 由其自身刚度和所受外力决定， 不依赖于其他结构部分。
静定拱结构能够将外力均匀地传递到结构的各个部分，以减小局部应力集中。
详细描述
静定拱结构的设计能够确保外力在结构中均匀分布，避免应力集中现象，从而减 小结构损坏的风险。这种力的分布原理有助于提高结构的承载能力和稳定性。
弹性力学基础
总结词
静定拱结构在弹性力学基础上进行分析和设计，考虑结构的 变形和应力分布。
优化变量
设计过程中需要优化的参数，如拱的形状、尺寸、材料等。
优化设计的数学模型
第三章 静定结构受力分析三铰拱
B A B
C
0 A
B
a1
b1 a2
0 B
1 l l FH [YA P a1 )] 1( f 2 2
0 A
FY
B
0 A
FY =F
A
YB0
FY =FY
A
b2 FY l l 0 M c [ FY P a1 )] 1(
2 2
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱA
FX =FX =FH
B
FH= MC0 / f
§3-3
FN R 5 0.555 82.5 0.832 71.42kN
K
§3-3
三、合理拱轴线及求法 1、合理拱轴线的概念
三铰拱
一般情况下，拱在荷载作用下，其截面上将产生三 个内力。若能使所有截面上的 弯矩为零（可以证明此 时剪力也为零），此时截面上只有轴力作用，正应力沿 截面均匀分布，材料得到充分利用，从理论上讲这样的 拱最经济，故称在特定荷载作用下，使拱处于无弯矩状 态的拱轴线称力合理拱轴线。
（ 1 ）求反力：
F
y
0 Fy A 100 20 6 115 105kN
1 M 0 F (105 6 100 3) 82.5kN C H 4
§3-3
（2）求系数
三铰拱
4f 拱轴方程为抛物线：y 2 (l x) x L
yK 4 4 (12 3) 3 3m 12 12
K
FNK FQ 0 sin FH cos
K
注意： （1）以上简化公式只对平拱有效； （2）α 角度取截面的切线至水平轴的锐角， 顺时针为正。
§3-3
三铰拱
例1：计算图示三铰拱 K 截面内力。
C
0 A
B
a1
b1 a2
0 B
1 l l FH [YA P a1 )] 1( f 2 2
0 A
FY
B
0 A
FY =F
A
YB0
FY =FY
A
b2 FY l l 0 M c [ FY P a1 )] 1(
2 2
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱA
FX =FX =FH
B
FH= MC0 / f
§3-3
FN R 5 0.555 82.5 0.832 71.42kN
K
§3-3
三、合理拱轴线及求法 1、合理拱轴线的概念
三铰拱
一般情况下，拱在荷载作用下，其截面上将产生三 个内力。若能使所有截面上的 弯矩为零（可以证明此 时剪力也为零），此时截面上只有轴力作用，正应力沿 截面均匀分布，材料得到充分利用，从理论上讲这样的 拱最经济，故称在特定荷载作用下，使拱处于无弯矩状 态的拱轴线称力合理拱轴线。
（ 1 ）求反力：
F
y
0 Fy A 100 20 6 115 105kN
1 M 0 F (105 6 100 3) 82.5kN C H 4
§3-3
（2）求系数
三铰拱
4f 拱轴方程为抛物线：y 2 (l x) x L
yK 4 4 (12 3) 3 3m 12 12
K
FNK FQ 0 sin FH cos
K
注意： （1）以上简化公式只对平拱有效； （2）α 角度取截面的切线至水平轴的锐角， 顺时针为正。
§3-3
三铰拱
例1：计算图示三铰拱 K 截面内力。
3静定结构的受力分析-三铰拱结构力学
1 结构力学多媒体课件一、拱式结构的特征 1、拱与曲梁的区别拱式结构：指的是杆轴线是曲线，且在竖向荷载作用下会产生水平反力（推力）的结构。
FABH A ＝0 FABH A ＝0 三铰拱F PF P曲梁H≠0H≠0是否产生水平推力，是拱与梁的基本区别。
拱结构的应用：主要用于屋架结构、桥梁结构。
拱结构的应用：主要用于屋架结构、桥梁结构。
拱桥 （无铰拱）超静定拱 世界上最古老的铸铁拱桥（英国科尔布鲁克代尔桥) 万县长江大桥：世界上跨度最大的混凝土拱桥 灞陵桥是一座古典纯木结构伸臂曲拱型廊桥, 号称“渭水长虹”、“渭水第一桥” 主跨：40 米 建成时间：三峡工程对外交通专用公路下牢溪大桥（上承式钢管混凝土拱桥，主跨：160米 ，建成时间：1997）2、拱的类型三铰拱两铰拱无铰拱拉杆拱静 定 拱超 静 定 拱3、拱的优缺点a、在拱结构中，由于水平推力的存在，其各截面的弯矩要比相应简支梁或曲梁小得多，因此它的截面就可做得小一些，能节省材料、减小自重、加大跨度b、在拱结构中，主要内力是轴压力，因此可以用抗拉性能比较差而抗压性能比较好的材料来做。
c、由于拱结构会对下部支撑结构产生水平的推力，因此它需要更坚固的基础或下部结构。
同时它的外形比较复杂，导致施工比较困难，模板费用也比较大4、拱的各部分名称lf 高跨比 BACf拱顶拱轴线拱高 f拱趾 起拱线跨度 l 平拱斜拱二、三铰拱的计算 1、支座反力的计算L 2L 1Lb 2a 2b 3a 3b 1a 1k y kx kCBAfF P1F P2F P3kCBAF P1F P2F P3B M =∑0Pi iYA YAFbF FL ==∑0A M =∑0Pi iYB YBF a F FL==∑取左半跨为隔离体：CM=∑()()01111212YA P P CH F L F L a F L a M F ff⨯----==F HF H1、支座反力的计算L 2L 1Lb 2a 2b 3a 3b 1a 1k y kx kCBA fF P1F P2F P3kCBAF P1F P2F P3在竖向荷载作用下，三铰拱的支座反力有如下特点： 1）支座反力与拱轴线形状无关，而与三个铰的位置有关。
结构力学静定结构组合结构及拱
FN DA FN EB＝151kN
FCy 15kN
FNDF
FNDA
D
FNDE
求AC杆和BC杆弯矩
22.5kN
50kN.m
5kN.m
20kN.m 10kN/m
30kN.m
67.5kN
50
A
B
F
C
G
30
D
E
M图 kN.m
求AC杆和BC杆剪力
Fy 0, FQAC 7.5kN
22.5kN 7.5
4m
2m 2m
4m
M C 0, FAy 6 90 2 FN DE 2 0
90kN
Fy 0, FAy 90 FCy 0
A F
Fx 0, FN DE FCx 0
FAy D
C FCx
FCy FNDE
FN DE 135kN , FCx 135kN ,
FNDF FN EG =-67.5kN
MD 0
d1
M D FVA xD FHA yD FP1 d1
(FVA xD FP1 d1) FHA yD
(FV0A xD FP1 d1) FHA yD
M
0 D
FHA
yD
FHA A
由上式可见，因为有推力
FVA
存在，三铰拱任一截面之 弯矩不大于代梁中相应截
A
面旳弯矩，即M<DMºD 。
5
-1
2 sin 0.447 cos 0.894
FQJ 右
F0 QJ 右
cos
FH
sin
7.5
0.894
10 (0.447)
6.71 4.47 2.24kN
FNJ右 FQ0J右 sin FH cos (7.5) (0.447) 10 0.894
FCy 15kN
FNDF
FNDA
D
FNDE
求AC杆和BC杆弯矩
22.5kN
50kN.m
5kN.m
20kN.m 10kN/m
30kN.m
67.5kN
50
A
B
F
C
G
30
D
E
M图 kN.m
求AC杆和BC杆剪力
Fy 0, FQAC 7.5kN
22.5kN 7.5
4m
2m 2m
4m
M C 0, FAy 6 90 2 FN DE 2 0
90kN
Fy 0, FAy 90 FCy 0
A F
Fx 0, FN DE FCx 0
FAy D
C FCx
FCy FNDE
FN DE 135kN , FCx 135kN ,
FNDF FN EG =-67.5kN
MD 0
d1
M D FVA xD FHA yD FP1 d1
(FVA xD FP1 d1) FHA yD
(FV0A xD FP1 d1) FHA yD
M
0 D
FHA
yD
FHA A
由上式可见，因为有推力
FVA
存在，三铰拱任一截面之 弯矩不大于代梁中相应截
A
面旳弯矩，即M<DMºD 。
5
-1
2 sin 0.447 cos 0.894
FQJ 右
F0 QJ 右
cos
FH
sin
7.5
0.894
10 (0.447)
6.71 4.47 2.24kN
FNJ右 FQ0J右 sin FH cos (7.5) (0.447) 10 0.894
04第四章 静定拱
方程的一般解为
y A cosh
FH
x B sinh
FH
x
qc
由边界条件
x 0, y 0 : x 0, y 0 :
A
qc
B0
合理拱轴线的方程为
y
qc
(cosh
FH
x 1)
在填土重量作用下，三铰拱的合理拱轴线是一悬链线。
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
例4-4 试求三铰拱在垂直于拱轴线的均布荷载作用下的合理 拱轴线。
受力特点 （1）在竖向荷载作用下有水平反力 FH ; （2）由拱截面弯矩计算式可见，比相应简支梁小得多 ; （3）拱内有较大的轴向压力FN.
§4-2 三铰拱的计算
q=2kN .m y
1 0 3 4 5
F=8kN
6 7 8
2
2 y2 x
f=4m
B
例1 三铰拱及其所受荷载如 图所示拱的轴线为抛物线方 程 y 4 2f xl x
MC 0
FAV
FB V
d
F1
A
F2
c
f
B
FAV l1 F1 d FH f 0
M MC FH f 0 FH C f
FAV
x
c
F
BV
FH FAV
l1
§4-2 三铰拱的计算
二、内力计算
F1
x-a1 FS
D
FH
FN
y
以截面D为例 截面内弯矩要和竖向力及水平力对D点构成 的力矩相平衡，设使拱内侧受拉为正。 MD 0 M FAV x F1 x a1 FH y
y A cosh
FH
x B sinh
FH
x
qc
由边界条件
x 0, y 0 : x 0, y 0 :
A
qc
B0
合理拱轴线的方程为
y
qc
(cosh
FH
x 1)
在填土重量作用下，三铰拱的合理拱轴线是一悬链线。
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
例4-4 试求三铰拱在垂直于拱轴线的均布荷载作用下的合理 拱轴线。
受力特点 （1）在竖向荷载作用下有水平反力 FH ; （2）由拱截面弯矩计算式可见，比相应简支梁小得多 ; （3）拱内有较大的轴向压力FN.
§4-2 三铰拱的计算
q=2kN .m y
1 0 3 4 5
F=8kN
6 7 8
2
2 y2 x
f=4m
B
例1 三铰拱及其所受荷载如 图所示拱的轴线为抛物线方 程 y 4 2f xl x
MC 0
FAV
FB V
d
F1
A
F2
c
f
B
FAV l1 F1 d FH f 0
M MC FH f 0 FH C f
FAV
x
c
F
BV
FH FAV
l1
§4-2 三铰拱的计算
二、内力计算
F1
x-a1 FS
D
FH
FN
y
以截面D为例 截面内弯矩要和竖向力及水平力对D点构成 的力矩相平衡，设使拱内侧受拉为正。 MD 0 M FAV x F1 x a1 FH y
第四章 静定拱
结构力学
第四章 静定拱
海南大学土木工程系
韩建刚
1
三 角 拱 三角拱的内力计算 三角拱的合理拱轴线
2
§4.1 三角拱
拱是在竖向荷载作用下能 产生水平反力的结构，如图。 水平反力 产生负弯矩， 可以抵消一 部分正弯矩
1、拱的特点
C ↓↓↓↓↓
矢高f
A
B
l跨度
与简支梁相比拱的弯矩、剪力较小，轴力较大（压力）, 应力沿截面高度分布较均匀。 节省材料，减轻自重，能跨越大 跨度 , 宜采用耐压不耐拉的材料 ， 如砖石混凝土等。有较大 的可利用空间。 其缺点是：拱对基础或下部结构施加水平推力，增加了下部结构的 拱具有曲线形状，施工不方便. 材料用量；
11
重复上述步骤，可求出各等分截面的内力，作出内力图。 8
0.5 1.5 12 0.71 M° 0.4 2 1.5 M图 (kN.m) 0 20 24 -0.49 24 -1 -6 -1.79 -5.81 -7.6 0.49 1.79 20 2
0.5
Hy -0.40
Q图 (kN) -9.19
其中 ∑MBP 是所 有荷载对B点的矩 VB=YB； H=MC0/f
二、内力计算
M P H VA x P M° YA d Q°Y A
x
P N ϕ H
C
f
↓↓↓↓↓
A
a l/2
B H
l/2
P VB
y
Q VA
c
d
↓↓↓↓↓
l
a
YB
注：1、该组公式仅用于两底铰在
VA ×x 0 MM＝ A×M－P×d ＝VM°－H×y x－P×d－H×y Q＝Q°× cos ϕ－ H×sinϕ Q＝（VA－P）×cosϕ－H×sin ϕ N＝－Q°sin ϕ －Hcos ϕ N＝－（VA－P）sinϕ－Hcosϕ
第四章 静定拱
海南大学土木工程系
韩建刚
1
三 角 拱 三角拱的内力计算 三角拱的合理拱轴线
2
§4.1 三角拱
拱是在竖向荷载作用下能 产生水平反力的结构，如图。 水平反力 产生负弯矩， 可以抵消一 部分正弯矩
1、拱的特点
C ↓↓↓↓↓
矢高f
A
B
l跨度
与简支梁相比拱的弯矩、剪力较小，轴力较大（压力）, 应力沿截面高度分布较均匀。 节省材料，减轻自重，能跨越大 跨度 , 宜采用耐压不耐拉的材料 ， 如砖石混凝土等。有较大 的可利用空间。 其缺点是：拱对基础或下部结构施加水平推力，增加了下部结构的 拱具有曲线形状，施工不方便. 材料用量；
11
重复上述步骤，可求出各等分截面的内力，作出内力图。 8
0.5 1.5 12 0.71 M° 0.4 2 1.5 M图 (kN.m) 0 20 24 -0.49 24 -1 -6 -1.79 -5.81 -7.6 0.49 1.79 20 2
0.5
Hy -0.40
Q图 (kN) -9.19
其中 ∑MBP 是所 有荷载对B点的矩 VB=YB； H=MC0/f
二、内力计算
M P H VA x P M° YA d Q°Y A
x
P N ϕ H
C
f
↓↓↓↓↓
A
a l/2
B H
l/2
P VB
y
Q VA
c
d
↓↓↓↓↓
l
a
YB
注：1、该组公式仅用于两底铰在
VA ×x 0 MM＝ A×M－P×d ＝VM°－H×y x－P×d－H×y Q＝Q°× cos ϕ－ H×sinϕ Q＝（VA－P）×cosϕ－H×sin ϕ N＝－Q°sin ϕ －Hcos ϕ N＝－（VA－P）sinϕ－Hcosϕ
静定结构的内力—三铰拱(建筑力学)
愈大）。
三铰拱
（2）截面内力的计算
① 截面内力的正负规定
轴力以压力为正；剪力以有使截面产生顺时针转动的趋势者为正；弯矩
以拱内侧纤维受拉者为正。
② 任意截面的内力计算
设K截面形心的坐标分别为xK、yK，K截面的法线与x轴
的夹角为φK，且左半拱的φK为正值，右半拱的φK为负值。
取三铰拱的K截面以左
部分为隔离体，得
FNE FQ0E sin E Fx cosE 134kN
三铰拱
4 三铰拱的合理拱轴线
若拱的所有截面上的弯矩都为零，这样的拱轴线为合理拱轴线。
三铰拱在竖向荷载作用下任意截面上的弯矩为
MK
M
0 K
Fx yK
由 M M 0 Fx y 0 得
M0
合理拱轴线方程为： y
Fx
M 0——代梁在该竖向荷载作用下的弯矩方程
三铰拱
C B
C
C
A
B
A
B
l
有拉杆的三铰拱
两铰拱
(c)
(a)
梁式结构在竖向荷载作用下是不会产生推力的。
C
A B
B
A
B
曲梁
三铰拱
2 三铰拱的组成
拱顶
拱轴线
f 矢高
拱趾
拱趾
l 跨度
拱顶：拱的最高点
拱趾：支座处
跨度：两支座之间的水平距离，用l表示
矢高：拱顶到两拱趾间联线的竖向距离，用f 表示 高跨比 f/l 是拱的一个重要的几何参数 工程实际中，高跨比在1／10 ~ 1之间，变化的范围很大
Fx
M
0 C
f
ql 2 f
8 ql 2 8f
合理拱轴的方程为
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图4-3 拱的组成
第二节 实体三铰拱的数解法
一、支座反力的计算
拱顶铰 C
A 拱肋 跨度
B 拱趾铰
C
A
高差h B
(a) 等高三铰拱
(b) 不等高三铰拱
图4-4 实体三铰拱
严格的来说，实体三铰拱支座反力的计算与一般三铰 刚架结构反力计算相同。本书介绍的是等代梁解法。
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退出
(a)
a3
b3
a2
b2
2、拱通常受压力，所以 计算拱时，规定轴力以受 压为正。 对于竖向荷载作用三铰拱， 其内力计算有简捷公式。
退出
(a)
a3
b3
a2
b2
a1
b1
F P2
F P1 K
K C
F P3
y
yK
F Ax A x
F Ay (b)
xK
F P1
M K F NK K
K F QK
F Ax F Ay
(c)
F P1
F P2
F P3
常数
q ds C A
(a)
退出
n
d 2
q FQ
F N +dFN M+dM
M ds FQ+dFQ
FN
B
d
o'
图 4-15
(b)
(3)在填土重量作用下，三铰拱的合理轴线是一悬链线。
y qd (ch
q
qd
qj
C
f A
l 2y
x 1) FH
x B l 2
图 4-16
退出
图 4-12
退出
截面合力的图解作法： (1)确定各截面上合力的大小和方向 (2)确定各截面合力的作用线
图 4-13
退出
第四节 实体三铰拱的的压力线及合理拱轴的概念
1、压力线 在荷载作用下，三铰拱的任意截面一般有三个内力分量Mk、FQk、
FNk。这三个内力分量可用它的合力R代替。将三铰拱每一截面上合力
l2
(1)反力计算
图 4-10
FAy FA0y 7kN() FBy FB0y 5kN()
退出
FH
M
0 C
f
6kN
(2) 内力计算
为了绘制内力图将拱沿跨度方向分成八等分，计算出每个 截面的弯矩、剪力和轴力值。得到的内力图如图
退出
图 4-11
退出
第三节 实体三铰拱的图解法
1、三铰拱的压力线
二、拱式结构的特征及其应用
1、定义：通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支 座产生水平反力的结构。
2、特点： （1）弯矩比相应简支梁小，水平推力存在的原因。 （2）用料省、自重轻、跨度大。 （3）可用抗压性能强的砖石材料。 （4）构造复杂，施工费用高。
退出
3、拱的种类： 4、拱各部分的名称：
图4-2 拱的种类
退出
FH
M
0 C
f
82.5kN
退出
(2) 内力计算 为了绘制内力图将拱沿跨度方向分成八等分，计算出每个截面
的弯矩、剪力和轴力值。得到的内力图如图：
0.273m
133.5 3.0
132.5
15.9
0.0 0.7 13.1
127.0 41.6
67.5
71.4
41.6
79.9 21.4
13.1
0.273m
x(l x)
,
试求支座反力，并绘制内力图。
y1 FH=82.5kN A o
F Ay=105kN
100kN 34
2
q=20kN /m 5
6
4m
x 8×1.5m=12m
7 8 B FH=82.5kN
F By=115kN
图 4-8
(1)反力计算
FAy FA0y 105 kN()
FBy FB0y 115 kN()
作用点用折线或曲线连接起来，这些折线或曲线成为三铰拱的压力线。
2、合理拱轴的概念： （1）定义：在给定荷载作用下，拱各截面只承受轴力，而弯矩、
剪力均为零，这样的拱轴称为合理拱轴。 （2）如何满足合理拱轴：首先写出任一截面的弯矩表达式，而后
令其等于零即可确定合理拱轴。
退出
（3）求解公式：在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线使 拱的各截面处于无弯矩状态，即
图 4-9
82.5
0.5
86.2
2.4
99.1
0.0
0.7 0.0 5.6
7.5
118.4 1.8
5.6
141.52.9
0.0
M 图（单位kN.m）
F Q图（单位kN）
F N图（单位kN）
例2 三铰拱及其所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物 线 y 4 f x,(试l 求x) 支座反力，并绘制内力图。
a1
b1
F P2
F P1
C
F P3
F Ax A
F Ay
l1
l
(b) A
F F P1
P2
C
F0 Ay
l2 F P3
B F Bx F By B F0
By
图4-5 等代粱
FAy FA0y
FBy FB0y
FAx FBx FH
FH
M
0 C
f
退出
二、拱内截面内力的计算
1、拱的内力计算原理仍然 是截面法。
退出
需要指出的是，非竖向荷载作用不 等高三铰拱等情形，上述公式是不适用 的。这时需要由截面法直接求解内力。
退出
三 拱的内力图
将跨度等分成若干份，利用内力计算公式求等 分点处截面上的内力，再用直线连接等分点内力值 即可作出拱的内力图。
退出
四 算例
例1
三铰拱及其所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物线
4f y l2
M M 0 FH y 0
y M0 FH
退出
3、几种典型荷载作用下的合理拱轴 1)三铰拱在沿水平线均匀分布的竖向荷载作用下，合理轴线为一抛物线。
y
4f l2
x(l x)
(a) y A
(b) A
q
C f
B x
l
q B
图 4-14
退出
(2)三铰拱在均匀水压力作用下，合理轴线为一圆弧。
R
FN q
A
KC
F0 Ay l
B F Bx F By
B F0
By
图4-6 拱内截面内力
M M 0 FH y
FQ FQ0 cos FH sin
FN FQ0 sin FH cos
y
A FAx=FH FAy
Fy M
k Fx y x
A
FA0y
M0 FQ0
(a) 截面k坐标方向力
(b) 代梁受力
图4-7 拱内截面内力