方程与方程组
二元一次方程组与一元一次方程的区别和联系
二元一次方程组与一元一次方程的区别和联系
一元一次方程与二元一次方程组都是一次式，一次式都是线性方程；
解题时二元一次方程组需要化成一元一次方程的形式才能最后求解。
二元一次方程：如果一个方程含有两个未知数，并且未知数的指数是1那么这个整式方程就叫做二元一次方程，有无穷个解。
二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0(a,b不为0）。
二元一次方程组：把两个共含有两个未知数的一次方程合在一起就组成一个二元一次方程组。
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。
消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。
消元的方法有两种：
代入消元法。
加减消元法。
二元一次方程组的解
一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
求方程组的解的过程，叫做解方程组。
一次方程与方程组
一元一次一元二次方程及应用考点一 等式及方程的有关概念1．等式及其性质用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．等式的性质：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式．2．方程的有关概念(1)含有未知数的等式，叫做方程．(2)使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解(只含有一个未知数的方程的解，也叫做根)．(3)求方程解的过程，叫做解方程． 考点二 一元一次方程 1．一元一次方程在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程，叫做一元一次方程．ax ＋b ＝0(a ≠0)是一元一次方程的标准形式．2．解一元一次方程的一般步骤(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1. 考点三 二元一次方程组及解法1．二元一次方程组几个含有相同未知数的二元一次方程合在一起，叫做二元一次方程组； 2．解二元一次方程组的基本思路：消元3．二元一次方程组的解法：(1)代入消元法；(2)加减消元法； 考点四 列方程(组)解应用题1．列方程(组)解应用题的一般步骤：审、设、列、解、检验、答 2．列方程(组)解应用题的关键是：确定等量关系．一元二次方程及应用考点一 一元二次方程的定义在整式方程中，只含有一个未知数，并且含未知数项的最高次数是2，这样的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的标准形式是ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．考点二 一元二次方程的常用解法1．直接开平方法：如果x 2＝a(a ≥0)，则x ＝±a ，则x 1＝a ，x 2＝－ a. 2．配方法3．公式法：方程ax 2＋bx ＋c ＝0且b 2－4ac ≥0，则x ＝－b±b 2－4ac 2a.4．因式分解法考点三 列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、找、设、列、解、答六步．考点四 一元二次方程根的判别式关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式为b 2－4ac.1．b 2－4ac ＞0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根，则x 1,2＝－b±b 2－4ac2a；2．b 2－4ac ＝0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根，即x 1＝x 2＝－b 2a ；3．b 2－4ac ＜0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根；考点五 一元二次方程根与系数之间的关系若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两根分别为x 1、x 2，则x 1＋x 2＝－ba ，x 1·x 2＝c a经典例题例一(1)已知⎩⎨⎧ x ＝2y ＝1是二元一次方程组⎩⎨⎧mx ＋ny ＝8nx －my ＝1的解，则2m －n 的算术平方根为( )A ．4B ．2 C.2 D ．±2(2)已知方程x 2－5x ＋2＝0的两个解分别为x 1、x 2，则x 1＋x 2－x 1·x 2的值为( ) A ．－7 B ．－3 C ．7 D ．3例二(1)解方程：2x ＋13－10x ＋16＝1. (2)解方程组：⎩⎨⎧3x ＋4y ＝19，x －y ＝4.(2)解方程(x －3)2＋4x(x －3)＝0.例三如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD.求该矩形草坪BC 边的长．考点训练题 一、选择题1．方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝12x －y ＝5的解是( )A.⎩⎨⎧ x ＝－1y ＝2B.⎩⎨⎧ x ＝－2y ＝3C.⎩⎨⎧ x ＝2y ＝1D.⎩⎨⎧x ＝2y ＝－12、方程(x －3)(x ＋1)＝x －3的解是( ) A ．x ＝0 B ．x ＝3C ．x ＝3或x ＝－1D ．x ＝3或x ＝03．以方程组⎩⎨⎧y ＝－x ＋2y ＝x －1的解为坐标的点(x ，y)在平面直角坐标系中的位置是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若|3a ＋b ＋5|＋(2a －2b －2)2＝0，则2a 2－3ab 的值为( ) A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－45、．已知⎩⎨⎧ x ＝0y ＝－1和⎩⎨⎧x ＝1y ＝1是方程y ＝kx ＋b 的解，则k 、b 的值分别是( )A ．k ＝－2，b ＝1B ．k ＝2，b ＝3C ．k ＝－2，b ＝－1D ．k ＝2，b ＝－16．一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两根分别是x 1、x 2，则x 1＋x 2等于( ) A ．5 B ．6 C ．－5 D ．－67．上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程中正确的是( )A ．168(1＋a%)2＝128B ．168(1－a%)2＝128C ．168(1－2a%)＝128D ．168(1－a 2%)＝1288．用配方法解一元二次方程x 2－4x ＝5的过程中，配方正确的是( ) A ．(x ＋2)2＝1 B ．(x －2)2＝1 C ．(x ＋2)2＝9 D ．(x －2)2＝99．如果方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不等的实根，则实数a 的取值范围是( ) A ．a<1 B ．a<1且a ≠0 C ．a ≤1 D ．a ≤1且a ≠010．在一幅长80 cm 、宽50 cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸要制成一幅矩形挂图如下图所示，如果要使整个挂图的面积是5 400 cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是( )A ．x 2＋130x －1 400＝0B ．x 2＋65x －350＝0C ．x 2－130x －1 400＝0D ．x 2－65x －350＝011．若方程组⎩⎨⎧ 2m －3n ＝133m ＋5n ＝30.9的解是⎩⎨⎧ m ＝8.3n ＝1.2，则方程组⎩⎨⎧2(x ＋2)－3(y －1)＝133(x ＋2)＋5(y －1)＝30.9的解是( )A.⎩⎨⎧ x ＝8.3y ＝1.2B.⎩⎨⎧ x ＝10.3y ＝2.2C.⎩⎨⎧ x ＝6.3y ＝2.2D.⎩⎨⎧x ＝10.3y ＝0.212．若关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝5k x －y ＝9k 的解也是二元一次方程2x ＋3y ＝6的解，则k 的值为( )A ．－34 B.34 C.43 D ．－43 二、填空题13．1．方程(x －1)2＝4的解是__________14．方程x 2－3x ＋1＝0的解是__________．15．阅读材料：设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1、x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca .根据该材料填空：已知x 1、x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根，则x 2x 1＋x 1x 2的值为________．16．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋1＝0有实数根，则m 的取值范围是__________．17．设x 1、x 2是一元二次方程x 2－3x －2＝0的两个实数根，则x 21＋3x 1x 2＋x 22的值为________18、已知x ＝－1是方程x 2＋mx －5＝0的一个根，则m ＝________，方程的另一根为________．20．如图，在宽为20 m 、长为32 m 的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为草坪，要使草坪的面积为540 m 2，求道路的宽．21．解方程(组)．(1)当m 取什么值时，代数式5m ＋14与5(m －14)的值互为相反数；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋1＝y ，2(x ＋1)－y ＝6.(3) x 2－6x －6＝0；（配方法）(4)解方程(x －3)2＋4x(x －3)＝0.（因式分解法）22、某商场销售一批衬衫，平均每天可出售30件，每件赚50元，为扩大销售，加盈利，尽量减少库存，商场决定降价，如果每件降1元，商场平均每天可多卖2件，若商场平均每天要赚2100元，问衬衫降价多少元23．为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动在2009年正式开始．某经销商在政策出台前一个月共售出某品牌汽车的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共1 228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30%和25%.(1)在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台？ (2)若手动型汽车每台价格为8万元，自动型汽车每台价格为9万元，根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5%给购买汽车的用户补贴，问政策出台后的第一个月，政府对这1 228台汽车用户共补贴了多少万元？答案1—5 DDADD 6-10ABDBB 11-12CB 13、【答案】120(1－x)2＝10014、【答案】x 1＝3＋52，x 2＝3－5215、【解析】∵x 1、x 2是x 2＋6x ＋3＝0的两实数根，∴x 1＋x 2＝－6，x 1x 2＝3，∴x 2x 1＋x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝(－6)2－2×33＝10.16、【解析】∵方程有实数根，∴b 2－4ac>0，∴12－4(m －1)≥0,4m ≤5，m ≤54.∵方程是关于x 的一元二次方程，∴m －1≠0，∴m ≠1，∴m ≤54且m ≠1.17、【解析】由题意得x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－2，所以x 21＋3x 1x 2＋x 22＝x 21＋2x 1x 2＋x 22＋x 1x 2＝(x 1＋x 2)2＋x 1x 2＝33＋(－2)＝9－2＝7. 18、【答案】－4 x ＝519、【答案】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝－220、解：设道路的宽为x m ，根据题意，得(20－x)(32－x)＝540，∴x 2－52x ＋100＝0，∴x 1＝2，x 2＝50(不合题意，舍去)21、解：(1)由题意得5m ＋14＋5(m －14)＝0,5m ＋14＋5m －54＝0, ∴10m ＝1，m ＝110.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋1＝y ①2(x ＋1)－y ＝6 ②原方程组可化为⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝－3 ①2x －y ＝4 ②，①×2得2x －6y ＝－6 ③，②－③得5y ＝10，∴y ＝2，把y ＝2代入②，得x ＝3，∴原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝2. 3、【解答】(1)x 2－6x －6＝0 移项，得x 2－6x ＝6，配方，得(x －3)2＝15，∴x －3＝±15. ∴x 1＝3＋15，x 2＝3－15. 4、(x －3)2＋4x(x －3)＝0换公因式，得(x －3)(x －3＋4x)＝0，(x －3)(5x － 3)＝0.∴x －3＝0或5x －3＝0.∴x 1＝3，x 2＝35.22、解：(1)设在政策出台前的一个月销售手动型和自动型汽车分别为x 台、y 台，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝960x (1＋30%)＋y (1＋25%)＝1 228，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝560y ＝400.。
椭圆型偏微分方程与偏微分方程组
椭圆型偏微分方程与偏微分方程组椭圆型偏微分方程是一类常见的偏微分方程，其在物理学、工程领域以及其他科学领域中具有广泛的应用。
本文将简要介绍椭圆型偏微分方程以及相关的偏微分方程组。
椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程是指具有椭圆型算子的偏微分方程。
在二维情况下，通常表示为：$$\Delta u = 0$$其中，$\Delta$ 是拉普拉斯算子，$u$ 是未知函数。
椭圆型偏微分方程的解通常具有平滑性，可描述许多重要的物理现象，如热传导、电势分布等。
偏微分方程组偏微分方程组是由多个偏微分方程组成的方程系统。
在实际问题中，往往需要考虑多个物理量的变化以及它们之间的相互作用。
偏微分方程组通过引入多个未知函数和多个方程来描述这种复杂的关系。
椭圆型偏微分方程组在数学和物理领域中都具有重要的意义。
例如，泊松方程和拉普拉斯方程就是椭圆型偏微分方程组的常见形式之一。
这些方程组在电场、磁场、流体力学等领域的研究中起着关键作用。
应用领域椭圆型偏微分方程和偏微分方程组的应用非常广泛。
以下是一些常见的应用领域：1. 热传导方程：描述热量在材料中的传导过程，用于热传导问题的模拟和分析。
2. 电势分布方程：描述电势在电场中的分布情况，用于电场问题的求解和分析。
3. 流体力学方程：描述流体运动的行为，用于模拟流体流动和解决相关问题。
4. 生物医学领域：如心脏电生理学模拟、神经传导模拟等。
结论椭圆型偏微分方程和偏微分方程组是数学和物理领域中重要的研究对象。
它们的理论和应用发展为解决实际问题提供了有力的工具和方法。
在各个领域的研究中，深入理解和应用这些方程将有助于推动科学和技术的进步。
第6讲 一次方程与方程组
值为( A ) A．8 B．4 C．－4 D．－8
4 ． (2014·襄 阳 ) 若 方 程
mx ＋ ny＝ 6
的
两
个
解
是
x＝1， y＝1，
xy＝ ＝－2，1，则 m，n 的值为( A )
A．4，2
B．2，4
C．－4，－2
D．－2，－4
5．(2014·绍兴)如图①，天平呈平衡状态，其中左侧秤盘中有 一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有 2
两个方法 (1)代入消元法；(2)加减消元法．
1．(2014·咸宁)若代数式x＋4的值是2，则x等于( B )
A．2
B．－2
C．6
D．－6
2．(2014·无锡)某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2
元．该店在六一儿童节举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打八折出售，
圆珠笔按原价打九折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元．若设
个各 20 克的砝码．现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘， 并拿走右侧秤盘的 1 个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图②，则 被移动的玻璃球的质量为( A )
A．10 克 B．15 克 C．20 克 D．25 克
一元一次方程的解法
【例 1】 解下列方程： (1)12x－45＝170；
解：(1)5x－8＝7，5x＝8＋7，5x＝15，∴x＝3
x＝3 9＝0，x＝3，∴y＝－1 解法二：整理得(x＋y－2)a＝x－2y－5，
x＋y－2＝0，
x＝3
∴x－2y－5＝0，解得y＝－1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月3日星期四2022/3/32022/3/32022/3/3 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/32022/3/32022/3/33/3/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/32022/3/3March 3, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/32022/3/32022/3/32022/3/3
[原创]《南方中考》数学第一部分第二章第1讲第1课时一元一次方程和二元一次方程组[配套课]
![[原创]《南方中考》数学第一部分第二章第1讲第1课时一元一次方程和二元一次方程组[配套课]](https://img.taocdn.com/s3/m/3d972c207275a417866fb84ae45c3b3567ecddfe.png)
3．一元一次方程． 只含有__一__个__未知数，并且未知数的次数是___1___，系数 不为___0___，这样的方程叫做一元一次方程． 4．二元一次方程(组)． (1)二元一次方程：含有__两__个__未知数，并且含有未知数的 项的次数都是___1___的整式方程． (2)二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组 成的一组方程．
x－y＝2， ① (2) 3x＋5y＝14. ②
解：(1)方程两边同时乘 12，得 4(1－x)＝3×12－3(x＋2)． 去括号，得 4－4x＝36－3x－6. 移项、合并同类项，得－x＝26. 系数化 1，得 x＝－26.
(2)①×5，得 5x－5y＝10.③ ②＋③，得 8x＝24.解得 x＝3.④
【试题精选】
5．(2014 年广东深圳宝安模拟)仙湖有两种游船，已知1艘
大船、3 艘小船限载人数共计为 10 人，2 艘大船、1 艘小船限
载人数共计也为 10 人，那么 4 艘大船、6 艘小船限载人数共计
为( D )
A．22 人
B．24 人
C．26 人
D．28 人
6．(2014 年海南)海南五月瓜果飘香，某超市出售的“无核 荔枝”和“鸡蛋芒果”单价分别为 26 元/千克和 22 元/千克，李
(3)二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公 共解．
注：三元一次方程(组)的概念类似于二元一次方程(组)，只 是含有的未知数是三个．
考点2 解一元一次方程和二元一次方程组 1．解一元一次方程的步骤． (1)去分母；(2)去括号；(3)___移__项_____；(4)__合__并__同__类__项___； (5)系数化为 1. 2．二元一次方程组的解法． 解二元一次方程组的关键是消元，有代入消元法和__加__减__ 消元法两种．
方程与方程组知识点
第三章方程与方程组一、一元一次方程1•等式用等号表示相等关系的式子，叫做等式. 等式的性质：(1)等式的两边都加上 (或减去)同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式. 即若a=b，贝U a_m 二b_m.(2) _______________________________________________ 等式的两边都乘以同一个数(或除以同一个不为 ________________________________________________ 的数)，所得结果仍是等式•即a b若a = b，贝U am = bm，或(m = 0)m m2.方程含有未知数的等式叫方程叫方程.使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.求方程的解的过程叫解方程.3•同解方程及方程的同解原理(1 )如果两个方程的解相同，那么两个方程叫同解方程.(2)方程的同解原理：①方程的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得方程与原方程是同解方程.②方程的两边都乘以同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得方程与原方程是同解方程.4.一元一次方程在方程中，只含一个未知数，且未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程.标准形式：ax • b = 0(a = 0) 最简形式：ax二b(a = 0)补含字母系数的方程ax=b的解(1)若a = 0，则方程有唯一解x = b；a(2)若a=0，且b=0,方程变为0 • x=0,则方程有无数个解；(3)若a=0，且0，方程变为0・x=b，则方程无解.5•解一元一次方程的一般步骤(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b; (5)方程两边同除以未知数的系数(系数化为1)，得出方程的解.6 .列方程解应用题的方法及步骤(1 )审题：明确己知是什么，未知是什么及相互关系，并用x表示题中一个合理未知数.(2 )根据题意找出能表示应用题含义的等量关系(关键一步)(3)据等量关系列出正确方程.(4 )解出方程：求出未知数的值.(5)检验、作答，检验应是：检验所求的解既能使方程成立，又能使它符合实际意7 •一兀一次方程应用题的主要类型(1)和差倍分问题 (2)等积变形 (3) 行程问题 (4 )百分比浓度问题(5)劳力调配 (6) 比例问题 (7 )工程问题(8)商品利润率问题(9) 数字问题&几个典型问题 储蓄问题 (1) 本金 顾客存入银行的钱叫本金 (2)利息 银行付给储户的酬金叫利息(3) 本息和 本息和=本金+利息 (4) 期数 存款的时间(年、月等) (5)利率 每个期数内的利息与本金之比.记本金为P,利率为i ，期数为n 则① 单利：本息和=本金+本金利率期数=本金 (1+利率期数)，即S=P (1+in )利息税=利息税率 =本金+ 利息一利息税率=本金+ 利息(1—税率) 最后金额=本息和一税金 市场经济问题 (2)进价，原价，售价，利润率的关系：利润原价汉0.1x —进价打x 折：实际售价=原价X 0.1x .此时，禾U 润率=——=——-----进价进价练习：原价为a ,实际售价为b ,则打 _______________ 折，折扣率为 __________ . 行程问题有相遇问题，追及问题、逆(顺)流问题，上坡、下坡问题等，在运动形式上分直线 运动及曲线运动(如环形跑道、时钟问题)基本量之间的关系：路程 =速度 时间(s =v t )(1)相遇问题：s 甲 ■ s^ = s (或V 甲t V z t 二S), t 为甲、乙相遇时间.(2)追及问题：s 甲=s 乙■ s 0 ( V 甲 v z ,s 0为追及初距离)，V 甲t=V 乙t ■ S 0义.②复利：本息和=本金(1+利率)n即 S=P (1+i )(1)利润=售价一进价 利润率=利润=售价进价进价 进价 〜S 甲B工程问题基本量之间的关系：工作量=工作效率X工作时间. 常见等量关系：甲的工作量+乙的工作量基本量之间的关系：现产量=原产量X （1+增长率）• 百分比浓度问题基本量之间的关系：溶质=溶液X浓度. 水中航行问题基本量之间的关系：V静-v水 =切顺,v静- v水二V逆，v顺-v逆= 2v水川顺-v^ = 2v静二、二元一次方程组1.二元一次方程组的相关概念含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.一般形式：ax by c 0 a 0,b = 0 .含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组. 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做二元一次方程的一个解. 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解.2 .解二元一次方程组（1）代入消元法（代入法）：①用含有x（或y ）代数式表示y （或x），即变成y=ax，b（或x=ay，b）的形式;②将y =ax - b（或x =ay ■ b）代入另一个方程中，消去y （或x），得到一个关于x（或y）的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；④把x（或y）的值代入y=ax，b（或x=ay，b）中，求出y （或x）的值，从而得到方程组的解.（2）加减消兀法（加减法）：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程；④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解.I ------------ ----------------------------------------------- --------------------------------------------: 补三元一次方程组: 三元一次方程就是含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.; 由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.i 解三元一次方程组的一般步骤：[… ①利用代入法或加减法-把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，逍去两组______________《中考基础知识大扫描》中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元二次方程组; ■: ②解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；. : ③将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一i元一次方程；: ④解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值，从而得到方程组的解. iI __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ I3 •二元一次方程组的应用能分析出题目中的等量关系列二元一次方程组.*4 •二元一次方程与一次函数新课标要求：能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解.(1)一次函数与二元一次方程(组)以二元一次方程ax + by=c ( a,b = 0 )的解为坐标的点组成的图象与一次函数a cy x 的图象相同.b b广二元一次方程组」a i X+ b,y = c,的解可以看作是两个一次函数y = _ a i X十G和耳x + b2 y = c2b, b| a? C2y -x -的图象的交点.b2b2(2)一次函数与二元一次方程(组)的应用在实际生活中，如何应用函数知识解决实际问题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，再利用方程(组)求解.三、一元二次方程1•一元二次方程的概念方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程.含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一般形式：ax2bx c 二0(a = 0)其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项.2•一元二次方程的解法(1)直接开平方法形如(x a)^ b的一元二次方程当b 一0时，x • a二.b , x二-a -、b，当b <0时，方程没有实数根.(2)配方法通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法.用配方法解一元二次方程ax2 bx c 0的一般步骤：①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；②移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为(X • m)2二n的形式;④用直接开平方法解变形后的方程.2 b c小2丄b cax bx c = 0 =x x 0= x x 二a a a a2 b , b 、2 c , b、2/ b、2b2「4ac一x x ()() =(x )二a 2a a 2a a4a(3)公式法用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.对于一元二次方程ax2bx c = 0(a = 0)，当b2 -4ac _ 0时，它的根是:f b2_4acx =2a用公式法解一元二次方程的一般步骤：①把方程化为一般形式，确定a,b,c的值;②求出b2 -4ac的值;③若b2 -4ac _0，则把a,b,c及b2 -4ac的值代入一元二次方程的求根公式:「b 二、b2—4ac 2x ，求出X i, X2;若b -4ac：：：0,则方程没有实数根.2a(4)分解因式法当一元二次方程的一边为0时，将另一边分解成两个一次因式的乘积，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①将方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；一④解这两个二元一次方程，它们的解就是原方程的解. ___________ ________ _________ ______ i 补判别式、韦达定理；:1 .一元二次方程根的判别式[: 我们就把b2 -4ac叫做一元二次方程ax2 bx 0的根的判别式，通常用“丄”; 来表示，即—c. I I '元二次方程根的情况与判别式 的关系：厶＞0=方程有两个不相等的实数根;二=0：=方程有两个相等的实数根；匚＜0：=方程没有实数根； / _0：=方程有两个实数根.2 •一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)如果方程ax 2 • bx • c = 0(a = 0)的两个实数根是 X i ,X 2，那么两根之和，等于方程i 的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积，等于常数项除以二次项系数[I 所得的商，即为+x 2 =—b , X r X 2 =c .；a a:韦达定理的两个重要推论：:I I推论1：如果方程x 2 px ■ q = 0的两个根是x 1, x 2,那么x 1 x 2 - - p , x/2二q .I I推论2 :以两个数x 1,x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是I2x -（为 x 2）x x 1 x 2 = 0.一元二次方程的根与系数的关系的应用：(1) 验根，不解方程，利用韦达定理可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根. (2) 由已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数. ⑶不解方程，可以利用韦达定理求关于x 1,x 2的对称式的值，X 1,X 2互换，代数式不变，那么，我们就称这类代数；式为关于x 1,x 2的对称式.i: (4)已知方程的两根，求作这个一元二次方程. : (5)已知两数的和与积，求这两个数.； (6)已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值. i (7)证明方程系数之间的特殊关系.: (8)解决其它问题，如讨论根的范围，判定三角形的形状等. :根的符号的讨论：I2X1X 2 ,2X 1 x 2X 1X 22 %「x 2 X 1 x 2说明：如果把含x 1, x 2的代数式中；利用韦达定理，还可进一步讨论根的符号，设一元二次方程ax2• bx • c = 0 (a = 0)III的两根为x1,x2，则II■⑴A >0,且X j X2 >0二两根同号.IIII二0,且X1X2 0, x i x2・0：=两根同正；II! 二0,且x1x2 0, x.) x2：：：0二两根同数.II»(2)也a 0,且x1 x2■< 0 二ac v 0二两根异号.II；ac c0，且为+x2=0二两根异号且正根的绝对值较大；II: ac c0，且％+x2 £0二两根异号且负根的绝对值较大.；补二元二次方程组i ；含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程.关；I I 于x, y的二元二次方程的一般形式为：ax2■ bxy cy2dx e^ f = 0( a,b,c至少有[2 2一个不为0). ax ,bxy,cy叫做二次项，a,b,c叫做二次项系数；dx , ey叫做一次项，d,e : 叫做一次项系数；f叫做常数项. [ ；由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组成[ 的方程组都叫做二元二次方程组. 1 : 二元二次方程组的解法：: :1.由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法：: :(1)代入法[ : ①把二元一次方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示；: : ②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元方程；1 ; ③解这个一元方程，求得一个未知数的值；[ ；④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值，否则，如1果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现增解的问题；; ; ⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组合在一起，就是原方程组[ 的解. : :(2)逆用韦达定理法[ X ：卜y 二ai 对型如y 的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x, y看做一：: \Xy=b i元二次方程一_z2一二az…b 一二0 的两个根，一解这个方程'…求得的一z t,_z2的.值，就是一x, y .的值.所_：% = z 2；i 2 •由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法：；一般步骤：! ①先把方程组中的一个方程分解降次，化为两个一次方程；: ②将这两个一次方程分别与原方程组中的另一个方程联立， 方程和一个二元二次方程组成的方程组；一③解这两个新的方程组，所得的解都是原方程组的解:四、分式方程新课标要求：会解可化为一元一次方程的分式方程(方程中的分式不超过两个) (1) 分式方程的概念分母里含有未知数的方程叫分式方程. (2) 分式方程的解法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程” •它的一般解法是：① 去分母，方程两边都乘以最简公分母； ② 解所得的整式方程；③ 验根：将所得的根代入最简公分母，若等于 0就是增根，应该舍去；若不等于 0就是原方程的根. _______________________________________________________________________________' 补分式分式方程的特殊解法 换元法； 换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种 ［特别形式，一般的去分母不易解决时，可考虑换元法. :用换元法解分式方程的一般步骤：；(1)设辅助的未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式； ■ (2)解所得的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值； ;(3)把辅助未知数的值代入原式中，求出原未知数的值； :(4)检验做答.以原方程的解是两组对称解:h组成两个由一个二元一次。
二阶椭圆型方程与椭圆型方程组
二阶椭圆型方程与椭圆型方程组
二阶椭圆型方程和椭圆型方程组是数学中的两个重要概念，通常用来描述物理或工程问题中的某些现象。
在此，我们将对这两个概念进行详细介绍。
二阶椭圆型方程是指形如下面的方程：
$$Delta u=f(x,y)$$
其中，$Delta$是拉普拉斯算子，$u=u(x,y)$是待求函数，
$f(x,y)$是给定的函数。
这个方程在物理学和工程学中经常出现，例如，在热传导、电场、流体动力学等问题中，都可以用二阶椭圆型方程来描述。
椭圆型方程组是指形如下面的方程组：
$$begin{cases}L_1 u_1 + M_1 u_2 + N_1 u_3 = f_1 L_2 u_1 + M_2 u_2 + N_2 u_3 = f_2 L_3 u_1 + M_3 u_2 + N_3 u_3 =
f_3end{cases}$$
其中，$u_1,u_2,u_3$是待求函数，$f_1,f_2,f_3$是给定的函数，$L_i,M_i,N_i$是常数。
这个方程组在弹性力学、电场、流体动力学
等问题中经常出现。
二阶椭圆型方程和椭圆型方程组的共同特点是它们在解析上比
较复杂，需要采用一些高级的数学工具来处理。
例如，常用的方法包括分离变量法、格林函数法、变分法等。
总之，二阶椭圆型方程和椭圆型方程组是数学中的两个重要概念，它们在物理学和工程学中广泛应用。
对于理解这些问题的本质、解决
实际问题都非常有帮助。
第一章 数、式、方程、方程组
第一章 数、式、方程、方程组一、数1、有关数的基本概念： （1）实数：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数有限小数或循环小数负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数（2）数轴：原点、方向、单位长度 （3）相反数：0的相反数是0 （4）倒数：0没有倒数。
（5）绝对值：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a（6）实数大小的比较： 2、实数的运算： （1）基本运算： （2）运算顺序：先乘方、开方；然后乘、除，最后加、减，有括号时，去括号由里到外逐层去掉。
（3）运算法则：加法、减法、乘法、除法、乘方、开方（4）运算律：交换律、结合律、分配律 交换律：a+b=b+a ；a ×b=b ×a 结合律：a+(b+c)=(a+b)+c (a ×b)×c=a ×(b ×c) 分配律：ab+ac=a ×(b+c) 二、式：（一）代数式的有关概念： 1、代数式的意义： 2、代数式的分类：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧无理式分式多项式单项式整式有理式代数式 3、代数式的值：（二）整式：1、整式的有关概念：单项式、多项式 （1）单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式 注意：a.分母含有字母的式子不属于单项式。
例如，1/x 不是单项式。
b .单独的一个数字或字母也是单项式。
1和也是单项式。
c.如果一个单项式，只含有字母因数，含正号的单项式系数为1，含有负号的单项式系数为－1。
d.如果一个单项式，只含有数字因数，那么它的次数为0。
（2）多项式：由若干个单项式的和组成的代数式叫做多项式。
这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。
2、整式的运算： 加减：合并同类项。
乘法运算：幂的运算法则常用乘法公式：平方差：a ²-b ²=(a+b)(a-b) 完全平方：立方和： 立方差：完全立方：(a-b)³=a ³+3ab ²-3a ²b-b ³多项式的因式分解（三）分式：性质、符号法则、运算、 （四）二次根式 1、有关概念：2、基本性质：)0()(2≥=a a a⎩⎨⎧<-≥=)0()0()(2a a a a a a 3、二次根式的加减运算：化简，合并同类项4、二次根式的乘除运算：ab b a =⋅)0,0(≥≥=b a baba 5、分母有理化：分子、分母同乘分母的有理化因式。
3.6 三元一次方程组及其解法(课件)沪科版(2024)数学七年级上册
x＝1， 故这个三元一次方程组的解为y＝2，
z＝3.
x∶ y=1∶ 2， ①
(3) ൞y∶ z=2∶ 3， ② 解x：+由y+①z=和36②；，③得 x∶y∶z＝1∶2∶3， 所以设 x＝k，y＝2k，z＝3k(k≠0)． 将 x＝k，y＝2k，z＝3k 代入③， 得 k＋2k＋3k＝36，解得 k＝6. 所以 x＝6，y＝12，z＝18.
3y=6
xy－z=－3
x－z=1
y－x=－1，
ቐ x+z=3， 2y－z=0
感悟新知
知识点 2 解三元一次方程组
知2－讲
1. 解三元一次方程组的基本思路
通过“代入”或“加
减” 进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元
一次方程组转化为解二元一次方程组，再转化为解一元一
次方程 .
2. 求解方法 加减消元法和代入消元法 .
是三元一次方程，三元一次方程组中的方程，可 以是一元一次方程，或二元一次方程，或三元一 次方程，只需方程组中共有三个未知数即可.
2. 三元一次方程组
知1－讲
由三个一次方程组成，且含三个未知数的方程组，叫
作三元一次方程组 .
必备条件：(1)都是整式方程；(2) 含三个未知数；(3)
有三个方程；(4)都是一次方程 .
B.
1 x
，1y，1z不是整式，故
B
不是；
C. 方程组含有四个未知数，故 C 不是；
D. 符合三元一次方程组的定义 . 答案：D
知1－练
1-1.下列方程组中，不是三元一次方程组的是( B )
x+y=1，
x2－4=0，
x=2，
A. ቐ2y+z=－2，B. ቐ y+1=x， C. ቐ2y=－3， D.
方程(组)-第9讲方程与上
第九讲 方程与方程组 （上）方程在初中代数中占有重要地位，方程的运用是初中代数不同于小学数学的显著特征。
一次方程是方程的最基本内容，因此，学好这一部分就显得非常重要。
一方面，深入地理解一次方程的概念及其变化可以还好地锻炼大家的代数思维；另一方面，高次方程大多可以转化为一次方程，学好一元一次方程就为以后的学习铺平了道路。
一、 基础知识● 方程的定义及性质 i. 方程 含有未知数的等式称为方程。
ii. 方程的次和元 方程中未知数的最高次数称为方程的次，方程包含的不同未知数的个数称为几元。
iii. 方程的参数 iv. 方程的解或根 使方程左边和右边相等的未知数的值称为方程的解或根。
v. 同解方程和方程的同解原理1、 如果方程（1）的解都是方程（2）的解，并且方程（2）的解都是方程（1）的解，那么这两个方程是同解方程。
2、 方程同解原理（1）——方程两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程。
3、 方程同解原理（2）——方程两边同时乘以（或除以）同一个不为零的数，所得的方程与原方程是同解方程。
4、 方程同解原理（3）——方程()()0f x g x =与()0f x =或()0g x =是同解方程。
vi. 一次方程组一次方程合在一起，就组成了一次方程组，一次方程组至少是二元的。
vii. 消元的基本方法：代入消元和加减消元 ● 解方程解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1得方程的解，我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班(严格按步骤)地解方程，又要能随机应变(灵活打乱步骤)解方程． 方程的解是方程理论中的二个重要概念，对于方程解的概念，要学会从两个方面去运用： 1．求解：通过解方程，求出方程的解进而解决问题． 2．代解：将方程的解代入原方程进行解题．当方程中的未知数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的方程，含字母系数的一元一次方程总可以化为ax=b 的形式，其方程的解由a 、b 的取值范围确定，当字母a 、b 的取值范围确定或对解方程的过程并未产生实质性的景响，其解法同数字系数的一次方程解法一样；当字母a 、b 的取值范围未给出时，则需讨论解的情况，其方法是： 1．当a ≠o 时，原方程有唯一解x=ab； ． 2．当a=0且b=O 时，原方程有无数个解； 3．当a=0而b ≠0时，原方程无解． 二、 例题第一部分 方程的性质（次、元、参数） 例1. （1997，希望杯初一）若3m 5n 94m-2n-73x4y 2+++=是关于x 和y 的二元一次方程，则mn的值等于例2. （北京市中考模拟试题）已知关于x 的方程332xa x -=+的解是4，则2()2a a --=_______.例3. 在等式y kx b =+中，当0x =时，2y =；当3x =时，3y =。
第2讲：方程与方程组
第二讲 方程与方程组一、学习指引1．知识要点1一元一次方程 2二元一次方程组 3一元二次方程 4分式方程 5方程的整数根 6方程应用问题2．方法指导1一元一次方程经变形总可以化成ax=b 的形式;此时需注意对字母系数的讨论．2二元及多元二元以上一次方程组的求解;主要是通过同解变形进行消元;最终转化为一元一次方程来解决．所以;解方程组的基本思想是消元．3方程ax 2+bx+c=0a ≠0称为一元二次方程：①一元二次方程的基本解法有开平方法、配方法、公式法和因式分解法．②对于方程ax 2+bx+c=0a ≠0; b 2-4ac 称为该方程的根的判别式． 4解分式方程的基本方法：①去分母；②求出整式方程未知数的值；③验根.5列方程组解应用题其具体步骤是： ①审－－理解题意;弄清问题中已知量是什么;未知量是什么;问题给出和涉及的相等关系是什么；②设－－即找出题中和未知量;选择其中一个设为未知数；③列－－找出题中和等量关系;列出方程；④解－－解出所列的方程；⑤答－－检验作答.其中列是关键;特别是找等量关系..找等量关系的方法是—用两种方式表达同一个量二、典型例题例1．解关于x 的方程：14x+b=ax-8； 2 0232=+-x x ；3 6,234()5() 2.x y x yx y x y +-⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩ 421124x x x -=--例2．若关于x;y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+k y x ,k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解;求k 的值．例3．关于x 的方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根;求k 的取值范围．例4. 符号“a b c d”称为二阶行列式;规定它的运算法则为：a b ad bc c d=-;请你根据上述规定求出下列等式中x 的值：2111111xx =-- ．例5．设a 是方程0120062=+-x x 的一个根;求代数式20061200722++-a a a 的值．例6．求出二元一次方程2x+3y=20的非负整数解．例7．小明计划将今年春节期间得到的压岁钱的一部分作为自己一年内购买课外书籍的费用;其余的钱计划买这些玩具去看望市福利院的孩子们．某周日小明在商店选中了一种小熊玩具;单价是10元;按原计划买了若干个;•结果他的压岁钱还余30%;于是小明又多买了6个小熊玩具;这样余下的钱仅是压岁钱的10%．1问小明原计划买几个小熊玩具;小明的压岁钱共有多少元2为了保证小明购书费用不少于压岁钱的20%;•问小明最多可比原计划多买几个玩具例8．某超市对顾客实行优惠购物;规定如下： 1若一次购物少于200元;则不予优惠；2若一次购物满200元;但不超过500元;按标价给予九折优惠；3若一次购物超过500元;其中500元以下部分包括500元给予九折优惠;超过500元部分给予八折优惠．小李两次去该超市购物;分别付款198元和554元;现在小张决定一次性地购买和小李分两次购买同样多的物品;他需付多少元例9．春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游;推出了如图1对话中收费标准．某单位组织员工去天水湾风景区旅游;共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游例10．为了支援四川人民抗震救灾;某休闲用品有限公司主动承担了为灾区生产2万顶帐篷的任务;计划10天完成．1按此计划;该公司平均每天应生产帐篷 顶；2生产2天后;公司又从其它部门抽调了50名工人参加帐篷生产;同时;通过技术革新等手段使每位工人．．．．的工作效率比原计划提高了25％;结果提前2天完成了生产任务．求该公司原计划安排多少名工人生产帐篷图1如果人数超过25人;每增加1人;人均旅游费用降低20元;但人均旅游费用不得低于700元.如果人数不超过25人;人均旅游费用为1000元.第二讲 方程与方程组同步练习班级 姓名基础巩固1.若n 0n ≠是关于x 的方程220x mx n ++=的根;则m+n 的值为__________．2.如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根;那么k 的取值范围是 . 3.已知关于x 的方程322=-+x mx 的解是正数;则m 的取值范围为____________. 4.已知x ay b =⎧⎨=⎩是方程组||223x x y =⎧⎨+=⎩的解;则a+b 的值等于 ．5. 若x 与y 互为相反数;且532=-y x ;则=+332y x _________．6.一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价;又以8折优惠卖出;结果每件仍获利15元;这种服装每件的成本为 元.7.已知方程组325(1)7x y kx k y -=⎧⎨+-=⎩的解x;y;其和x+y=1;则k ＝_____8.篮球巨星姚明在一场比赛中24投14中;拿下28分;其中三分球三投全中;那么姚明两分球投中 球;罚球投中 球. 9. 用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时;如果设1x y x-=;将原方程化为关于y 的整式方程;那么这个整式方程是A ．230y y +-= B ．2310y y -+= C ．2310y y -+= D ．2310y y --= 10. 一条船顺流航行是逆流航行的速度的3倍;则船在静水中航速与水的流速之比为A ．3:1 B.2:1 C.1:1 D.5:211.方程(3)(1)3x x x -+=-的解是A ．0x =B ．3x =C ．3x =或1x =-D ．3x =或0x = 12．08年省政府提出确保到2010年实现全省森林覆盖率达到63%的目标;已知08年我省森林覆盖率为60.05%;设从08年起我省森林覆盖率年平均增长率为x ;则可列方程 A ．()60.051263%x += B ．()60.051263x += C ．()260.05163%x +=D ．()260.05163x +=13．方程4x+y=20的正整数解有 组.A ．2 B.3 C.4D.5142()x y =+;则x －y 的值为A ．－1B ．1C ．2D ．315．两位数的大小恰好等于其个位与十位数字之和的4倍;这样的两位数共有 个 A.3 B.4 C.5 D.6 16.方程12x ⨯+23x ⨯+…+19951996x ⨯=1995的解是 A.1995 B.1996 C.1997 D.1998能力拓展17.解下列关于x 的方程:1ax-1=bx 2 x 2－6x+9=5－2x 23271132x y y x -=⎧⎪⎨--=⎪⎩ 4 3215122=-+-x x x18．已知关于x;y 的方程组⎩⎨⎧=+=+12by ax y x 与⎩⎨⎧=-=-452by ax y x 的解相同;求a;b 的值．19. 已知等腰三角形两边长分别是方程28150x x -+=的两根;求此等腰三角形的周长．20．已知a;b 是一元二次方程x 2－x －1=0的两个根;求代数式3a 2+2b 2－3a －2b 的值．21.已知：关于x 的方程0122=-+kx x .1求证：方程有两个不相等的实数根；2若方程的一个根是-1;求另一个根及k 值.22.某人沿着向上移动的自动扶梯从顶部朝下走到底部用了7min30s;而他沿着自动扶梯从底部朝上走到顶部只用了1min30s;那么此人不走;•乘着扶梯从底部到顶部需用几分钟若停电;此人沿扶梯从底部走到顶部需几分钟假定此人上;下扶梯的行走速度相同23.一辆汽车从A地驶往B地;前13路段为普通公路;其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h;在高速公路上行驶的速度为100km/h;汽车从A地到B地一共行驶了2.2h．请你根据以上信息;就该汽车行驶的“路程”或“时间”;提出一个用二元一次方程组．．．．．．．解决的问题;并写出解答过程．24.通惠新城开发某工程准备招标;指挥部现接到甲、乙两个工程队的投标书;从投标书中得知：乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍；该工程若由甲队先做6天;剩下的工程再由甲、乙两队合作16天可以完成．1求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天2已知甲队每天的施工费用为0.67万元;乙队每天的施工费用为0.33万元;该工程预算的施工费用为19万元．为缩短工期;拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程;问：该工程预算的施工费用是否够用若不够用;需要追加预算多少万元请说明理由．25．如图;在Rt△ABC中;∠C=90°;AC=6cm;BC=8cm．点P、Q同时由A、B两点出发;分别沿AC、BC方向都以1cm/s的速度匀速移动;几秒后△PCQ的面积是△ABC面积的一半QCBA第二讲 方程典型例题例1.1 当a ≠4时;•方程有惟一解x=84b a +-； 当a=4且b=-8时;方程有无数个解；当a=4且b ≠-8时;方程无解；2x=1或2；3 ⎩⎨⎧==17y x ；4 x=23-．例2．k=103． 例3. ∵原方程有两个不相等的实数根;224(4(12)(1)480b ac k k -=---⋅-=-+∴．> ;∴2k <．又∵原方程中;021≠-k ;10k +≥;∴112k k -≠≥且 ∴1122k k -≠≤且<． 例4.x=4． 例5.-1． 例6.⎩⎨⎧==010y x ;⎩⎨⎧==27y x ;⎩⎨⎧==44y x ;⎩⎨⎧==61y x例7.1由小明原计划买x 个小熊玩具;压岁钱共有y 元由题意;得1030%,10(6)10%.y x y y x y -=⎧⎨-+=⎩ 解这个方程组;得21300x y =⎧⎨=⎩答：小明原计划买21个小熊玩具;压岁钱共有300元．2设小明比原计划多买z 个小熊玩具;由题意得300－1021+z≥20%×300;解得z≤3． 例8. 1小李第一次购物付款198元．①当小李购买的物品不超过200元时;不予优惠;此时实际购买198元的物品； ②当小李购买的物品超过200元时;设小李购买x 元的物品;依题意可得： x ×90%=198;解之;得x=220即小李实际购买220元的物品．2小李第二次购物付款554元;因为554>500;故第二次小李购物超过500元;•设第二次小李购物y 元;依题意可得：y －500×80%+500×90%=554;解之得y=630;即小李实际购买630元的物品．当小张决定一次性购买和小李分两次购买同样多的物品时;•小张应购买的物品为：198+630=828元或者220+630=850元;此时应付款为： 500×90%+828－500×80%=712.4元 或者：500×90%+850－500×80%=730元答：小张应付款712.4元或730元．例9. 设该单位这次共有x 名员工去天水湾风景区旅游.因为1000×25＝25000＜27000;所以员工人数一定超过25人.则根据题意;得1000－20x －25x ＝27000.整理;得x 2－75x +1350＝0;解这个方程;得x 1＝45;x 2＝30. 当x ＝45时;1000－20x －25＝600＜700;故舍去x 1； 当x 2＝30时;1000－20x －25＝900＞700;符合题意. 答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.例10.120002设该公司原计划安排x 名工人生产帐篷;则由题意得：20002000022000(125)(1022)(50)x x -⨯+=--+％;5163(50)x x ∴=+． ∴解这个方程;得750x =．经检验;750x =是所列方程的根;且符合题意．答：该公司原计划安排750名工人生产帐篷．第二讲 方程同步练习基础巩固 1．-2 2．k ＞14-且0k ≠ 3．m ＞-6 且m ≠-4 4．1或5 5．-1 6．125 7．5338．8;3 9．A 10．B 11．D 12．D 13．C 14．C 15．B 16．B能力拓展17．1当a ≠b 时;方程有惟一解x=1a b-；当a=b 时;方程无解；2x=38或2；3 ⎩⎨⎧-==31y x ； 4 x=21-18． ⎩⎨⎧-==13y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2365b a 19．11或13. 20.∵ a;b 是方程x 2－x －1=0的两个根 ∴ a= a 2－1 ;b= b 2－1∴ 3a 2+2b 2－3a －2b=3a 2+2b 2－3a 2－1－2b 2－1=5． 21.1略；2另一根为21；k=1． 22．设此不走;乘着扶梯从底部到顶部需要xmin;停电时此人从底部走到顶部需用ymin;依题意得 1111.51117.5x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得 3.752.5x y =⎧⎨=⎩ 故乘着扶梯从底部到顶部需要用3min45s ；•停电时此人从底部走到顶部需要用2min30s ． 23．答案不唯一;略..24．1设甲队单独完成这项目需要x 天;则乙队单独完成这项工程需要2x 天． 根据题意;得6111612x x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭解得30x =． 经检验;30x =是原方程的根． 则223060x =⨯=．答：甲、乙两队单独完成这项工程各需要30天和60天．2设甲、乙两队合作完成这项工程需要y 天．则有1113060y⎛⎫+=⎪⎝⎭．解得20y=．需要施工费用：20(0.670.33)20⨯+=万元．2019>;∴工程预算的施工费用不够用;需追加预算1万元．25．2秒．。
方程与方程组
方程与方程组一、知识点汇集：基础知识点：一、方程有关概念1、方程：含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。
3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。
4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。
二、一元方程1、一元一次方程（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）（2）一玩一次方程的最简形式：ax=b（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）（3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。
（4）一元一次方程有唯一的一个解。
2、一元二次方程（1）一元二次方程的一般形式：（其中x是未知数，a、b、c是已知数，a≠0）（2）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法（3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如果没有要求，一般不用配方法。
（4）一元二次方程的根的判别式：当Δ＞0时方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时方程有两个相等的实数根；当Δ< 0时方程没有实数根，无解；当Δ≥0时方程有两个实数根（5）一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两个根，那么：，（6）以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：三、分式方程（1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
（2）分式方程的解法：一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。
特殊方法：换元法。
（3）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。
四、方程组1、方程组的解：方程组中各方程的公共解叫做方程组的解。
2、解方程组：求方程组的解或判断方程组无解的过程叫做解方程组3、一次方程组：（1）二元一次方程组：一般形式：（不全为0）解法：代入消远法和加减消元法解的个数：有唯一的解，或无解，当两个方程相同时有无数的解。
二元一次方程的解的代数意义与方程组解释
二元一次方程的解的代数意义与方程组解释二元一次方程是一种常见的数学问题。
它由两个未知数、两个变量以及两个系数构成。
方程的一般形式为Ax + By = C，其中A、B和C是给定的常数。
在解方程的过程中，我们通常会探讨解的代数意义以及方程组的解释。
本文将详细介绍二元一次方程解的代数意义和方程组解释。
一、解的代数意义解方程的代数意义在于确定方程中未知数的取值范围，即找到使方程等式成立的值。
对于二元一次方程，它的解代表了平面上两个变量的坐标点。
以方程2x + 3y = 10为例，我们需要找到满足该方程的x和y的取值。
我们可以通过多种方法求解，例如图解法、代入法和消元法等。
1. 图解法：将方程转换为直线的形式，然后在平面坐标系上绘制该直线。
方程2x + 3y = 10可以转化为y = (-2/3)x + 10/3的标准形式，其中斜率为-2/3，截距为10/3。
通过画出这条直线，我们可以观察到直线与坐标轴的交点，即为方程的解。
在该例中，解的代数意义是两个变量的取值使得它们满足方程。
2. 代入法：将x或y的值代入方程，然后求解另一个变量。
例如，当x = 1时，将其代入方程2x + 3y = 10，得到2 + 3y = 10，进一步解得y = 8/3。
同样地，我们可以选择不同的x值进行代入，最终得到多组解。
3. 消元法：对于一般的二元一次方程组，我们可以通过消元的方式求解。
通过对方程进行适当的加、减、乘、除等运算，使得方程组中的一个变量被消去。
例如，对于方程组2x + 3y = 10和3x - 4y = 5，通过将第一个方程乘以4，第二个方程乘以3，然后相加，可消去y变量，最终得到5x = 40，解得x = 8。
将此x值代入第一个方程，可解得y =2/3。
因此，解的代数意义为x = 8，y = 2/3。
二、方程组解释二元一次方程也可以看作是一个方程组的形式，即包含两个方程的集合。
通过解方程组，我们可以了解方程组的几何意义和实际应用。
微分方程中的常微分方程与线性方程组
微分方程中的常微分方程与线性方程组微分方程是数学中重要且广泛应用的一个分支，在科学、工程等领域都有着重要的应用。
微分方程可以用来描述变化过程中的关系，其中常微分方程与线性方程组是其中的两个重要概念。
本文将分别介绍常微分方程和线性方程组的定义、特点和应用。
常微分方程是描述一个未知函数的导数与自变量的关系的方程。
通常常微分方程可以简化为形如：\[ \frac{d^n y}{dx^n} = f(x) \]其中，y是未知函数，x是自变量，n是正整数，f(x)是已知函数。
这种形式的常微分方程被称为n阶常微分方程。
常微分方程的解是确定函数y(x)，使得方程两边相等。
常微分方程的解可以通过积分法、特征值法、变量分离法等方法来求解。
通过求解常微分方程，我们可以获得未知函数的变化规律，从而深入理解问题的本质。
常微分方程在物理、生物、经济等领域有着广泛的应用。
例如，在自然科学研究中，常微分方程可以描述物体的运动、传热传质等过程。
在经济学中，常微分方程可以描述经济增长、人口增长等问题。
在生物学中，常微分方程可以描述群体的增长、物种的竞争等现象。
接下来，我们将介绍线性方程组与微分方程的关系。
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组。
通常线性方程组可以简化为形如：\[ A \cdot X = B \]其中，A是一个矩阵，X和B是向量。
线性方程组可以通过消元法、矩阵求逆等方法求解。
求解线性方程组可以帮助我们确定未知量的值，从而解决实际问题。
线性方程组与微分方程之间存在紧密的联系。
事实上，在一些复杂的问题中，常微分方程可以通过线性方程组来求解。
例如，在工程学领域，常微分方程可以描述电路中电流和电压的关系，而线性方程组可以通过电流、电压的关系来求解未知量。
简而言之，微分方程中的常微分方程与线性方程组是研究微分方程的两个重要内容。
常微分方程描述了未知函数的导数与自变量的关系，线性方程组描述了一组线性方程的关系。
两者在科学和工程领域都有着广泛的应用，对于深入理解和解决实际问题具有重要价值。
不定方程和方程组-高中数学知识点讲解
不定方程和方程组
1．不定方程和方程组
1、不定方程（组）：
不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是解往往有无穷多个，不能惟一确定． 对于不定方程（组），我们往往限定只求整数解，甚至只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定．
二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常转化为二元一次不定方程问题加以解决， 与之相关的性质有：
设 为整数，则不定方程 有如下两个重要命题：
a 、
b 、
c 、
d ax by ＝c
（1）若 且 d c ，则不定方程 没有整数解；
（a ，b ）＝d ， ax by ＝c
푥 = 푥0 + 푏
푡 （2）若 ， ，是方程 且 的一组整数解（称特解），则{
x
y ax by ＝c （a ，b ） ＝1
푦 = 푦0 ― 푎푡（t 为整数）是方 0 0 程的全部整数解（称通解）．
解不定方程（组），没有现成的模式、固定的方法可循，需要依据方程（组）的特点进行恰当的变形，并灵活运 用以下知识与方法；奇数偶数，整数的整除性、分离整系数、因数分解．配方利用非负数性质、穷举，乘法公式， 不等式分析等．
2、典型例题：
不定方程 有 组正整数解．
4x 7y ＝2001
解： ，易得{푦푥 == ―6667
67 4x 7y ＝3667
是其一组特解， ∴其通解为：{푥푦 == ―666767―+4푡7푡
， ，
t
Z 要求正整数解，即{6―6676―7 4+푡7≥푡 ≥1 1
， 解得 ，
96 t 166
∴可以取得的整数有个，
t 71
∴的正整数解有组．
4x 7y＝2001 71
1/ 1。
第四章 方程及方程组
（1）任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0（ａ≠0）的形式，ax2+bx+c=0（a、b、c 是常数，ａ≠0）称为一元二次方程的一般形式，其中ax2、bx、c分别称为二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数。
（2）要正确找出二次项系数、一次项系数和常数项，必须先化为一般形式。
（三）、一元二次方程的解法1、直接开平方法：利用平方根定义解一元二次方程。
（用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知数的平方式的方程）2、配方法解一元二次方程时，在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。
注意：用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（ａ≠0）时，前提是方程的二次项系数必须是1，当对方程的两边配方时，一定记住在方程的两边同时加上一次项系数的一半的平方。
用配方法解一元二次方程的步骤：①先把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；即化1；②移项：把二次项和一次项移到等号的右边，把常数项移到等号的右边；即移项；（移项时要变号）③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；即配方；④方程左边分解因式，右边合并同类项；即变形；⑤根据平方根定义，方程两边开方；即开方；⑥解一元一次方程；即求解；⑦写出原方程解；即定解。
3、公式法一元二次方程ax2+bx+c=0（ａ≠0），当ｂ2－4ａｃ≥0时，它们的根是：。
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。
注：用公式法解一元二次方程的前提是：方程必须化为一般形式且ｂ2－4ａｃ≥0。
用公式法解一元二次方程的步骤是：①把方程化为ax2+bx+c=0（ａ≠0）的形式；②确定的值ａ、ｂ、ｃ的值（注意符号）；③求出ｂ2－4ａｃ的值并与0做比较；④若ｂ2－4ａｃ≥0，则把ａ、ｂ、ｃ及ｂ2－4ａｃ的值代人求根公式，求出ｘ1,ｘ2；若ｂ2－4ａｃ＜0，则方程解。
二元一次方程与二元一次方程组的区别
用代入法解二元一次方程组的一般步骤：
1从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式；
2将y=ax+b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程；
3解这个一元一次方程，求出x的值；
4把求得的x的值代入y=ax+b中，求出y的值，从而得出方程组的解。
知识点二：加减消元法
用加减法解二元一次方程组的一般步骤：
1方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数乘方程的两边，使一个未知数的系数相等或互为相反数；
2把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次知数例如y用含另一个未知数例如x的代数式表示出来即写成yaxbyaxb代入另一个方程中消去y得到一个关于把求得的x的值代入yaxb中求出y的值从而得出方程组的解
二元一次方程与二元一次方程组的区别：
含有两个未知数，并且未知数的项的指数都是1的方程，叫做二元一次方程，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
3解这个一元一次方程
4将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解
例1：用两种方法解方程组
例2：解方程组
题型一：整体化思想求方程组的解
例3：
例4：解方程组
题型二：用换元法解方程组
例5：解方程组
题型三：利用非负数的性质建立方程组
例6：若 ，求 的值。
题型四：求方程组中系数的值
例7：已知方程组 与 有相同的解，求m,n的值
注意：1，二元一次方程中的“二元”就是指方程中有且只有两个未知数。2，含有未知数的项的次数是一次，切不可理解成两个未知数的次数都是1.如方程2xy+2=0含有两个未知数，且未知数的次数是1，但未知数项2xy的次数是2.
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知识网络
分式
方程
方
转
程
化
一元一 次方程
①去分母②去括号③ 解法 移项 ④合并同类项
⑤系数化为 1
整式 方程
一元二
解法
①直接开平方②配方 法③公式法 ④因式
次方程
分解法
消
方
元
程 二元一次方程组
解法 ①代入消元法
组
②加减消元法
义务教育课程标准实验教科书北师大教材
温州实验中学初三数学备课组
知识点回顾：
方程：含有未知数的等式叫做方程。
方程组：由若干个方程组成的一组方程叫做方程组。
一元一次方程：只含有一个未知数并且未知数的指数是 1，这样 的方程叫做一元一次方程。
二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都 是1的方程。
x? 2
x
2
4
例1、解方程
?
?
：
x ? 1 x ? 1 x2 ? 1
解：原方程变形为
x2 ??
4
x ? 1 x ? 1 (x ? 1)(x ? 1)
方程两边都乘以 ( x ? 1)( x ? 1) 去分母并整理得 ， x 2 ? x ? 2 ? 0
解这个方程得 x1 ? 2, x2 ? ?1
经检验 ， x ? 2是原方程的根， x ? ? 1 是原方程的增根。
（k 为实数），当 k
时，方程为一元二次方
程，当 k
时，方程为一元一次方程，且方程
的解为
。
2、一元二次方程 (1 ? 3 x)( x ? 3) ? 2 x 2 ? 1
化为一般形式为：
，二次项系数为： ___，
一次项系数为： ____，常数项为： _____。
1 2x ? 3
练一练
3、下列方程中，关于 x的一元二次方程是（ ）
（5）1 ?
6
x? 3 ?
x?5 x? 4
（6）( x ) 2 ? x ? 6 ? 0 x?1 x?1
2、请你编制一道关于 x的方程，形如
mx ? 1 x
1?
? ，使它的解在 1到2之间。
2
3
1
2
3、试讨论关于 x的方程
?
x?1 x? a
有解的条件和有Leabharlann 解的条件。∴原方程的根是 x ? 2 。
做一做
1.用因式分解法解方程： 3(x-5)2=2(5-x)
2.用代入法解
?3x ? 5 y ? ?9 ? ?2x ? 7 y ? ?6
3.用加减法解
?2x ? 2y ? 8 ? ?2x ? 2y ? 4
五、归纳总结，画龙点睛
解一元一次方程的一般步骤：①去分母、②去括号、 ③移项、④合并同类项
A. 3?x ? 1?2 ? 2 ?x ? 1?B.
C. ax 2 ? bx ? c ? 0 D.
11 ? ? 2? 0
x2 x
x2 ? 2x ? x2 ? 1
4、下列等式中是一元一次方程的是 ( )
A．S= 1 ab
B. x－y=0
2
C. x=0
1
D.
=1
2x ? 3
解方程的两个依据：
等式性质 1：等式两边都加上（或减去）同一个数与 式，所得 结果仍然是等式。
二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程组成的一组 方程。
一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程。
分式方程：分母中含有未知数的有理方程叫分式方程，解分式
方程常用方法有去分母。 解分式方程必须验根。
练一练
1、已知关于 x的方程 ( k 2 ? 1) x 2 ? ( k ? 1) x ? k ? 2 ? 0
二元一次方程组常用解法： ①代入消元法、②加减消元法、
解分式方程常用方法有 : 去分母
一元二次方程常用解法： ①直接开平方法、②因式分解法、 ③配方法、④公式法
1、解下列方程：
（1）、x ? 2 ? 1 ? 3 x ? 1
3
2
（2） x ? 1 ? 2 （3）3x 2 ? 4 x ? 4 ? 0
（4） x 2 ? 6 x ? 1 ? 0