第三章能量与动量

第三章 能量与动量

3–1 汽车在水平公路上做直线运动，它的功率保持不变，当汽车的速度为4m/s 时，加速度为0.4m/s 2，汽车所受阻力恒为车重的倍，若取g =10m/s 2，汽车行驶的最大速度为_______m/s 。

解：设汽车的速度为4m/s 时，汽车牵引力为F ，地面摩擦力为f ，v 为此时的速度，V 为最大速度。由题知

ma f F =-

将已知条件代入上式得

N 5.0m F = （1）

由于汽车的功率保持不变，故汽车在最大速度时的功率等于汽车速度为4m/s 时的功率。汽车达到最大速度时，其牵引力的大小等于所受阻力，即f F ='，故有

v F P = （2）

fV P = （3）

由（1）式、（2）式和（3）式解得

m/s 20=V

3–2 有一质量为m =0.5kg 的质点，在xy 平面内运动，其运动方程为222t t x +=，t y 3=（SI ），则在s 0=t 至s 3=t 这段时间内，外力对质点所做的功为 ，外力的方向是 。

解：由质点的运动方程得

N 24d d 22===m t x

m F x （1）

0d d 22==t y

m F y （2）

由功的定义得

⎰

⎰⎰+==y F x F W y x d d d r F （3） 又由运动方程得

t t x d )42(d +=，t y d 3d =

将上式代入（3）式得

48J )d 42(23

0=+=⎰t t W 由（1）式知力的方向沿x 正方向。

3–3 已知质点的质量m =5kg ，运动方程j i r 22t t +=（SI ），则质点在0~2秒内受的冲量I 为 ，在0—2秒内所做的功为 。

解：质点所受的力为

N 102d d 22j j r

F ===m t m

质点0—2秒内受的冲量I 的大小为

s N 20d 102020⋅===⎰⎰j j F t dt I

力在0—2秒内对质点所做的功为 J 40d 20d )22(10d 2020==+⋅==⎰⎰⎰t t t t W j i j r F

3–4 质量为m =5.0kg 的物体，于10s 的时间内，其速度由0v =48i +36j 变为v =j i 418-（SI ），则物体所受的平均作用力之量值应为 N 。

解：10s 内物体的动量变化为

j i P 40300--=-=∆v v m m N

10s 内物体所受的平均作用力为

j i j i P I F 4310

4030--=--=∆∆=∆=t t 10s 内物体所受的平均作用力大小为

N 25)4()3(||22=-+-=F 3–5 在一直在线，以t t F 26)(-=之力（t 的单位为秒，F 的单位为牛顿）施于质量m =2kg ，初速为12m/s 之物体上，则8秒末物体的速率为 。

解：解法一：由牛顿第二定律有

t

t m

t d d 2d d 26v v ==- 即 t t d )3(d -=v

积分

⎰⎰-=8

012

d )3(d t t v v 所以 m/s 4=v

解法二：物体从0到8s 末所受的冲量为

s 16N 2t)d -6(d 8080⋅-===

⎰⎰t t F I

由动量定理得 )12(2)(160-=-=∆=-=v v v m P I

所以

m/s 4=v

3–6 对功的概念有以下几种说法：（1）保守力做正功时系统内相应的势能增加；（2）质点运动经一闭合路径，保守力对质点做的功为零；（3）作用力与反作用力大小相等、方向相反，所以两者所做的功的代数和必为零。在上述说法中正确的是（ ）

A ．（1）、（2）是正确的

B ．（2）、（3）是正确的

C ．只有（2）是正确的

D ．只有（3）是正确的

解：质点运动经一闭合路径，保守力对质点做的功为零，这是保守力做功的特点，因此

（1）是正确的；保守力对系统所做的功等于系统势能增量的负值，因此（1）是错误的；作用力与反作用力虽然大小相等、方向相反，但它们作用于不同的质点，但由于两个质点的位

移大小以及位移与力的夹角一般不同，故一对作用力与反作用力做功的代数一般不为零，因此（3）也是错误的。综上，应选（C ）。

3–7 用锤压钉不易将钉压入木块，用锤击钉则很容易将钉击入木块，这是因为[ ]。

A ．前者遇到的阻力大，后者遇到的阻力小

B ．前者动量守恒，后者动量不守恒

C ．后者锤的动量变化大，给钉的作用力就大

D ．后者锤的动量变化率大，给钉的作用力就大

解：根据动量定理，一个质点受到的作用力等于这个质点的动量的变化率。用锤击打钉一是可提高锤的动量，二是锤与钉之间的相互作用时间短，因而击打过程中锤的动量变化率大，从而对钉产生很大的作用力，将钉击入木块。故应选（D ）

3–8 质点系内部保守力做功量度了[ ]。

A ．质点系动能的变化

B ．质点系机械能的变化

C ．质点系势能的变化

D ．质点系动能与势能的转化

解：质点系动机械能的变化可由于外力做功和非保守内力做功而发生变化，而机械能的变化有可能是系统动能、势能的变化引起的。因此质点系内部的保守力做功不能量度质点系动能、势能和机械能的变化。在满足机械能守恒定律的条件下，质点系的动能和势能是相互转换的，且转换的量值是相等的，动能的增加量等于势能的减小量，势能的增加量等于动能的减小量，二者的转换是通过质点系内部保守内力做功来实现的。故应选（D ）。

3–9 质点系内部非保守内力做功量度了[ ]。

A ．质点系动能的变化

B ．质点系势能的变化

C ．质点系内动能与势能的转化

D ．质点系内部机械能与其他形式能量的转化

解：根据功能原理，系统从一个状态变化到另一个状态的过程中，其机械能的增量等于外力所做功和系统的非保守内力所做功的代数和。外力不做功，表明系统与外界没有能量交换；非保守内力不做功，则说明系统内部不发生机械能和其它形式能量的转化。因此选（D ）。

3–10 自水平地面作斜抛运动的物体，在最高点时的动量值恰为抛出时的5/3，此时突然分裂为质量相等的两块，其中一块以初速为零落下，则此裂块落地时的动量值与原抛出时物体动量值之比值为[ ]。

A ．5/2

B ．5/3

C ．5/4

D ．1

解：设此斜抛运动物体的质量为m ，抛出的初速度为0v ，它与水平面的夹角为θ，则物体被抛出时动量值为0v m ，在最高点时物体只有水平方向的速度x v ，θcos 0v v =x ，最高点时的动量1p 值恰为抛出时的动量值P 的53，有θcos 5301===mv mv x P p ，即5

3cos =θ。在最高点突然分裂为质量相等的两块，其中一块以初速为零落下，则它下落到地的速度为θsin 0v v =y ，即应与原抛出物的速度在竖直方向的分量相同。此下落物体的动量与抛出时物体动量值之比值为5

2cos 15.0sin 5.050202=-===θθmv mv y .P p 。故答案应选（A ）。 3–11 如图3-1所示，质量为m 的平板A ，用竖立的弹簧支持

而处在水平位置。现从平台上投掷一个质量为m 的球B ，球的初速

度为v ，沿水平方向。球由于重力作用下落，与平板发生完全弹性

碰撞，且假定平板是平滑的，则球与平板碰撞后的运动方向应为

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