动量守恒和能量守恒定律

第三章 动量守恒和能量守恒定律

§1-1质点和质点系的动量定理

一、质点的动量定理 1、动量

质点的质量m 与其速度v

的乘积称为质点的动量，记为P

。

（3-1）

说明：⑴P

是矢量，方向与v

相同

⑵P

是瞬时量 ⑶P 是相对量

⑷坐标和动量是描述物体状态的参量

2、冲量

牛顿第二定律原始形式

)(v m dt

d F =

由此有)(v m d dt F

= 积分：

1221

2

1

p p P d dt F p p t t -==

⎰

⎰

（3-2）

定义：⎰2

1

t t dt F

称为在21t t -时间内力F

对质点的冲量。

记为

（3-3）

说明：⑴I

是矢量

⑵I

是过程量 ⑶I

是力对时间的积累效应 ⑷I

的分量式

⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎨⎧===⎰

⎰⎰2

1

2

12

1t t z z t t y y t t x x dt

F I dt F I dt F I

∵

⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎨⎧=-=-=

-⎰

⎰⎰2

1

2

12

1)()()(12121

2t t z z t t y y t t x x dt

F t t F dt F t t F dt F t t F （3-4）

∴分量式（3—4）可写成

⎪⎩⎪

⎨⎧-=-=-=)

()()(121212t t F I t t F I t t F I z z

y y x x （3-5）

x F 、y F 、z

F 是在21t t -时间内x F 、y F 、z F 平均值。

3、质点的动量定理

由上知

12p p I -=

（3-6）

结论：质点所受合力的冲量=质点动量的增量，称此为质点的动量定理。

说明：⑴I 与12p p

-同方向

⑵分量式⎪⎩⎪

⎨⎧-=-=-=z 1z 2z

y 1y 2y x 1x 2x p

p I p p I p p I （3-7）

⑶过程量可用状态量表示，使问题得到简化 ⑷成立条件：惯性系

⑸动量原理对碰撞问题很有用

二、质点系的动量定理

概念：系统：指一组质点

内力：系统内质点间作用力

外力：系统外物体对系统内质点作用力

设系统含n 个质点，第i 个质点的质量和速度分别为i m 、i v

，对于第i 个质点受合内

力为内i F ，受合外力为外i F

，由牛顿第二定律有

dt

v m d F F i i i i )(

=

+内外

对上式求和，有

∑

∑

∑

∑

=====

=

+

n

1

i i i n

1

i i i n

1

i i n

1

i i )v m (dt

d dt

)v m (d F F 内外

因为内力是一对一对的作用力与反作用力组成，故0=合内力F

， 有

P

dt

d F =合外力 （3-8）

结论：系统受的合外力等于系统动量的变化，这就是质点系的动量定理。 式（3-8）可表示如下

1221

2

1p p P d dt F p p t t

-==⎰⎰合外力 （3-9） 即 12p p I -=合外力冲量 （3-10）

结论：系统受合外力冲量等于系统动量的增量，这也是质点系动量定理的又一表述。

例3-1：质量为m 的铁锤竖直落下，打在木桩上并停下。设打击时间t ∆，打击前铁锤速

率为v ，则在打击木桩的时间内，铁锤受平均和外力的大小为？

解：设竖直向下为正，由动量定理知：

mv

t F -=∆0

t

mv

F ∆=⇒ 强调：动量定理中说的是合外力冲量=动量增量

例3-2：一物体受合力为t F 2=（SI ），做直线运动，试问在第二个5秒内和第一个5

秒内物体受冲量之比及动量增量之比各为多少？

解：设物体沿+x 方向运动，

25

25

5

1==

=⎰

⎰

tdt Fdt I N·S （1I 沿i

方向） 75

210

5

10

5

2==

=

⎰

⎰

tdt Fdt I N·S （2I

沿i

方向） 3/12=⇒I I

∵⎩⎨⎧∆=∆=1122)()(p I p I

∴3)()(1

2=∆∆p p

例3-3：如图3-1，一弹性球，质量为020.0=m kg ，

速率5=v m/s ，与墙壁碰撞后跳回。设跳回 时速率不变，碰撞前后的速度方向和墙的法 线夹角都为60=α °，

⑴求碰撞过程中小球受到的冲量?=I

⑵设碰撞时间为05.0=∆t s ，求碰撞过程中 小球 受到的平均冲力?=F

解：⑴?=I

如图3-1所取坐标，动量定理为12v m v m I

-= 〈方法一〉用分量方程解

⎩

⎨

⎧=-=-==--=-=0sin sin cos 2)cos (cos 1212αααααmv mv mv mv I mv mv mv mv mv I y y y x x x

图 3-1