圆总复习教案

圆总复习及专项训练

一、圆的基本性质

1．圆的有关概念：

（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点为圆心，定长为半径．（2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．

（3）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角．

（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．（5）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．

2．圆的有关性质：

（1）圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．

（3）同弧或同弦所对应的圆心角是圆周角的两倍。同弦所对这两个圆周角互补。

（4）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．

3．三角形的内心和外心

（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．

（2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．

（3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心

练习题：

1、“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝5寸，求直径CD的长”．依题意，CD长为（）

2、如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝

90，AO的延长线交BC于点D，AC＝4，DC＝1，，则⊙O的半径等于（）

3、如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝10厘米，AP∶PB＝1∶5，那么⊙O

的半径是（）

（第一题）（第二题）（第三题）

4、如图，⊙O 的弦AB ＝8厘米，弦CD 平分AB 于点E ．若CE ＝2厘米．ED 长为 （ ）

5、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，E 为DC 的中点，直线BE 交⊙O 于点F ．若⊙O 的半径为2，则BF 的长为 （ ）

6、如图，AB 是⊙O 的直径，∠ACD ＝

15，则∠BAD 的度数为 （ ）

7、如图，在⊙O 中，弦AC 垂直BD ，OE 垂直AB ，垂足为E ， 求证：OE=1

2CD （点拨：直角三角形中线，构造平行四边形或者

找到和构造EO 两倍的线段，连接AO 延长））

8、如图，AC ，BD 是⊙O 的两条弦，且AC 垂直BD ，⊙O 的半径为1

2，求

AB 2

＋CD 2

的值。（点拨：构造直角三角形利用勾股定理，连接BO 并延长）

9、如图，⊙O 是ABC 的外接圆，60BAC ∠=︒，AD ，CE 分别是 BC ，AB 上的高，且AD ，CE 交于点H ，求证：AH=AO

点拨：转化AH ，等于半径，延长CE ，构造等腰三角形和等边三角形

10、如图，在⊙O 的内接△ABC 中，AB ＝AC ，D 是⊙O 上一点，AD 的延长线

交BC 的延长线于点P 。（1）求证：AP AD AB ⋅=2

（2）若⊙O 的直径为25，AB ＝20，AD ＝15，求PC 和DC 的长。 点拨：利用相似证明（1），利用相交弦定理和勾股定理证明（2），延长AO ，构成相交弦

A

B

C

D

· P

O

第4题

第5题 第6题

二、圆的切线

1、直线与圆的位置关系

（1）如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离。

（2）如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切。此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点．

（3）如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交，此时这条直线叫做圆的割线．

如上图，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，从图中可以看出：

若d r

>⇔直线l与⊙O相离；若d r

=⇔直线l与⊙O相切；若d r

<⇔直线l与⊙O相交；

2、切线

（1）判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（2）性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论：1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

（3）切线长：把切线上某一点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

性质：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等。这一点与圆心的

连线平分两条切线的夹角。

（4）弦切交定理：角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半，

也就是等于所夹的弧的圆周角

证明：连接OC、OA

练习题：

1．如图（左1），BC是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于点A，如果PA＝3，PB＝1，那么∠APC等于（）

2、如图（左2），AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧上的一点，已知∠BAC＝

80，那么∠BDC＝__________度．

3、如图（左3），P是⊙O的直径AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，PC＝6，BC∶AC＝1∶2，则AB的长为___________．