立体几何截图和作图

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作图题9．求作一直线l使与两直线a、b相交，并通过此两直线以 外的一已知点M． 解：Ⅰ．若a、b共面于α． 1°当M∈α时，有无穷多个解答． 2°当Mα且a、b相交时，有唯一解答。 3°当Mα且a∥b时，没有解答。 Ⅱ．若a、b异面． 1°当M在过a而平行于b的平面β内或在过b而平行于a的平面γ内 时，没有解答。 2°当M既不在过a而平行于b的平面β内又不在过b而平行于a的平 面γ内时，有唯一解答。
命题：过两异面直线中一个有且只有一平面与另一直线平行。
证明：证明存在性。 设直线a、b异面。在a上任选取一点A，过A作b∥b。相交直线a 和b确定一平面α，则b∥α。 证明唯一性。 设点A和直线b确定平面β，则α∩β＝b，A∈b。假设过a还存在平 面γ∥b，则必有γ与β相交。设γ∩β＝b，则b∥b，A∈b。 ∴b∥b与A∈b且A∈b相矛盾。故α是唯一的。 ∴作图题5解答唯一存在。
立体几何专题
(1)☆多面体的截面 多面体的截面在课本 P59─例3、P63─B─1处体现。
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一、定义及相关要素
用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这
个几何体的截面．此平面与几何体表面的交集(交线)叫做
截线．此平面与几何体的棱的交集(交点)叫做截点．
二、作多面体截面
1．方法(交线法)．该作图关键在于确定截点，有了位于多
(4)在平面QQBR内过H作KH⊥面ABCD交QR于K。
(5)由平行线PP、AA1作平面PPAA1，则K必落在面PPAA1内。 (6)在面PPAA1内，连接PK，并延长交AA1于M。 (7)在面A1ADD1内，连接MQ，并延长交DD1于S。 (8)在面D1DCC1内，连接SP，并延长交CC1于T。 (9)连接RT、RM。则多边形SMRT即为所求。
作图题6．已知直四棱柱AC1，P在面D1DCC1内，Q在面A1ADD1 内，R在棱BB1上，画出过P、Q、R三点的截面。
D1
C1
A1
B1 P
Q D
A
R C
B
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作法：(1)过P作PP⊥CD于点P，过Q作Q Q⊥AD于Q。
(2)在底面ABCD内连接AP、BQ，并交于H。
(3)由平行线QQ、RB作平面QQBR，连接QR。
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作图题11．给定一平面及一斜线，求作在平面上通过斜足作一直 线，使与斜线成已知锐角．
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作图题12．通过一定直线求作一平面，使与平面成定角．
B1
B1
M
M
A
C
O
D
A
C
O
D
B
B
作法：(1)过A1A和OO1作平面AOO1A1，交BC于D，交B1C1于D1，
则D、D1分别为BC、B1C1的中点。
(2)在平面A1AM内，作直线DM交上底面A1B1C1于点G。
(3)在平面A1B1C1内，过G作EF∥B1C1交A1B1于E，交A1C1于F。
(4)连接BE，CF。则多边形BCF.E为所求。
三、简单作图题 作图题1．求作一平面使其满足下列条件之一： 1°通过一已知直线及其外一已知点； 2°通过两已知相交直线； 3°通过两已知平行直线． 作图题2．求已知直线和已知平面的交点． 作图题3．求三已知平面的交点． 作图题4．通过已知直线外一已知点，求作一直线使与该直线平行.
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作图题5(P62―4)．给定两条异面直线，求作一平面通过其中一线 而平行于另一线．
作法：(1)连接QP、QR并延长，分
D1 A1
C1
B1
Q
别交CB、CD的延长线于E、F.
R
(2)连接EF交AB于Ｔ，交AD于S．
D
PC
(3)连接RS、TP。则多边形PQRST
A
B
即为所求截面。
D1 A1
C1
B1
Q
R
F
SD
AT E
PC B
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作图题3．已知P、Q、R分别是四棱柱ABCD―A1B1C1D1的棱CD、 DD1和AA1上的点，且QR与AD不平行，求作过这三点的截面。
(5)连接AG、AH。则多边形AGEH即为所求。
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4°截面经过的三个已知点两两不在同一面内的棱
上作．图题9．P、Q、R三点分别在直四棱柱AC1的棱CC1、A1D1和
AB上，试画出过P、Q、R三点的截面． D1
C1
Q A1
B1
P
D
C
A
RB
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作法：(1)先过R、P两点作辅助平面。过点R作R1R∥BB1交A1B1 于R1，则面CRR1C1为所作的辅助平面。 (2)在面CRR1C1内延长R1C1，交RP的延长线于M。 (3)在面A1B1C1D1内，连接MQ，交C1D1于点S，延长MQ交B1A1 的延长线于点T。
面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截
面．
2．作截线与截点的主要根据有：
(1)确定平面的条件．
(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于
过此点的一条直线．
(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上
所有的点都在这个平面内．
(4)如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与
这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．
(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条
交线平行．
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三、作图题型
1°截面经过的三个已知点分别在多面体的棱上，且其中有 两点在同一个面的棱上．
作图题1．如图，正方体ABCD―A1B1C1D1中，E、F、G分别
在AB、BC、DD1上，求作过E、F、G三点的截面．
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作图题8．给定两直线a、b及一点A，求作一平面使通过A并平行 于a和b． 解：1°若a、b异面，且A不在通过其中过一线而平行于另一线 的平面内，则问题有唯一解答。 2°若a、b相交，且A不在a、b所确定的平面内，则问题有唯一 解答。 3°若a、b平行，且A既不在a上又不在b上，则问题不定，即有 无穷多个解答。 4°其它情形下，问题无解。 作法：在a和A确定的平面内过A作a∥a，在b和A确定的平面内 过A作b∥b。由a和b确定的平面α即为所求。
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作图题10．给定两条异面直线a和b，求作一直线l使与a、b相交， 并与第三直线c平行． 解：Ⅰ．若c、a相交且确定平面α． 1°当α∥b时，无解。 2°当α与b相交时，有一解。解为过b与α的交点A作c的平行线。 Ⅱ．若c、a异面。设过a且平行于c的平面为β。 1°当β∥b时，无解。 2°当β与b相交时，有一解。解为过b与β的交点B作c的平行线。 综上知，当a、b、c平行于同一平面时，无解；其它情况下，只 有一解。
D1 A1
Q C1
RD
B1
D1
A1
Q
C1
RD
B1
A
P
A
P
C
I
M
C
B
B
作法：(1)连接QP并延长交DA延长线于点I。
(2)在平面ABCD内连接PI交AB于点M。
(3)连接QP、RM。则四边形PQRM即为所求。
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作图题4．如图，五棱锥P―ABCDE中，三条侧棱上各有一已知
点F、G、H，求作过F、G、H的截面．
P
P
F H
E
D
A
G
C
K
F NM
L
S
H
T
E
D
A
G
C
B
B
作法：(1)将侧面PAB、PBC、PDE伸展得到三棱锥P―BST．
(2)在侧面PBS内，连结并延长GF，交PS于K．
(3)在侧面PBT内，连结并延长GH交PT于L．
(4)在侧面PST内，连结KL分别交PD、PE于M、N．
(5)连结FN、MH．则五边形FGHMN即为所求的截面． .
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作图题7．过给定平面外一点求作一平面，使平行于该平面． 命题：过平面外一点，有且只有一个平面与该平面平行。 证明：设A是面α外一点。在α内任取两相交直线a、b，过A作 a∥a，b∥b，两相交直线a、b确定面α。∴α∥α。存在性证 明了。 假设过A还存在γ∥α，则a∥γ，b∥γ。设过A和a的平面为β，则β 与γ必相交。设γ∩β＝a，则a∥a，∴a∥a，这与A∈a且 A∈a矛盾。故α是唯一的。唯一性也证明了。 ∴作图题7解答唯一存在。
D1
C1
D1
C1
A1
B1 P
A1 S
B1 P T
Q D
A
R C
B
K Q
M
D
Q'
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A
H
R P' C
B
3°截面经过的三个已知点中，有两个点在同一棱上，第三点在
多面体内．
作图题7．试画出过正三棱柱ABC―A1B1C1的底边BC及两底中心
连线OO1中点的截面。
A1
O1 D1 C1
A1 G E
F O1
D1 C1
作法：在直线a 上任取一点A，过 直线b与线外一点A作平面M，在平 面M内作直线c∥b，过相交直线a 与c作平面N．则平面N即为所求．
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作图题6．给定两条异面直线，过其一直线各作一平面使两平面 互相平行． 命题(P63―2)：a、b是异面直线，aα，a∥β，bβ，b∥α存 在唯一一对α、β使α∥β。 证明：∵a、b异面，aα，b∥α，由作图题5的命题知，这样的 面α有且只有一个。要确定它，只需在a上任取一点A作直线b∥b， 则a和b就确定了α。 同理，满足条件的β也有且只有一个。要确定它，只需在b上任取 一点B作直线a∥a，则b和a就确定了β。 综上知α、β存在且唯一。 又∵a∥a，b∥b，a、bα，b、aβ，∴α∥β。 ∴作图题6解答唯一存在。
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立体几何专题
(2) ☆空间图形的作图
空间图形的作图在课本P51─A─1、 P62─A─4、 P78─A─1&2处体现。