立体几何中的一个经典模型

立体几何中的一个经典几何模型

由四个直角三角形围成的四面体是一个经典的几何模型i ，俗称“三节棍”模型，如图1四面体A BCD -中，,,ABC ABD ∠∠

,BDC ADC ∠∠均为直角.我们研究它的产生背

景、各面所成的角及其棱所在直线与相关面所成的角的性质，为此，定义BDC ⌝为底面，ADC ⌝为斜面，ABC ⌝为主垂面，ABD ⌝为副垂面.(主副垂面之分在于BC BD >)AC 为

BDC ⌝

的主斜线，AD 为BDC ⌝副斜线，它们在

底面内的摄影BC BD 和也分别称作主射影和副射影.设,ACB α∠=,BCD β∠=.ACD γ∠=

这个模型的几何结构特点决定，在其

中，空间直角坐标系的建立以及相关向量的计算不易直接实现，因此我们有必要探讨在这种模型中如何避开利用空间向量的解析法而用纯几何的手段解决有关角的问题.

1. “三节棍”模型的背景：

①线面角背景：如图1，AB 是平面BCD 的垂线，B 为垂足，AC 是平面BCD 的斜线，C 是斜足，CD 是平面BCD 内另一异于BC 的直线，过B 作BD CD ⊥，垂足为D ，ABC ∠就是斜线AC 与底面BCD 所成的角，四面体A BCD - 即为“三节棍”模型

②长方体切割背景： 如图2，在长方体 ABCD A B C D ''''-中两个平面A AC '和A BC '切割所得四面体A ABC '-即为“三节棍”模型.

③球体切割背景：如图3，球O 的直径为AB ，过AB 作球的两个不同截面,ABD ABC ，再分别过AD

和BC 分别作共弦CD 的截面ACD 和BCD ，四面体A BCD -即为“三节棍”模型.

2. “三节棍”模型的性质：

在图1的“三节棍”模型中，我们可以得出下面的性质， ①最小角定理：

斜线AC 与BDC ⌝所成的角，是斜线AC 与BDC ⌝内过斜足的所有直线所成角中最小的角.

②三面角公式：cos cos cos γαβ=⋅———公式1

在图1中，,,αβγ满足cos cos cos γαβ=⋅.不仅如此，“三节棍”模型中各顶点的三个角中，对应斜面上的角的余弦等于其它两个互相垂直的面中对应角余弦之积.

如cos cos ADC BDC ∠=∠⋅cos ADB ∠.

由各面直角三角形锐角的互余关系，公式1还可化为：

sin sin sin CAD CAB CBD ∠=∠⋅∠———公式1'

③二面角公式：

1) 主、副垂面所成的二面角C AB D --，它的平面角CBD ∠等于2

πβ-

2) 主垂面与底面所成的角A BC D --为直二面角. 3) 副垂面与底面所成的二面角A BD C --为直二面角

B

A

C

D

图1

4)副垂面与斜面所成的二面角B AD C

--为直二面角

5)斜面与底面所成的二面角A CD B

--的平面角为ADB

∠，

ADB

∠满足：cos ADB

∠= tan

tan

β

γ

————公式2

证明：设1

CD=，则tan,

BDβ

=tan

ADγ

=，

所以cos ADB

∠= tan tan

β

γ

6)主垂面与斜面所成的二面角B AC D

--，设其平面角为,θ

cosθ= tan

tan α

γ

————公式3

证明：如图4，作,

DO BC

⊥垂足为O，连接AO.

设=1

CD，则cos

OCβ

=，

1

cos

AC

γ

=，

tan,

ADγ

=

④线面角

1).副斜线与主垂面所成的角为ϕ，ϕ满

足sin

sin

tan β

ϕ

γ

=.——公式4

证明：如图4，按照6)的作图，OAD

∠即为副斜线AD与主截面ABC所成的角，即OADϕ

∠=，同样设CD=1

则sin,

ODβ

=tan

ADγ

=，

sin sin

tan

OD

AD

β

ϕ

γ∴==

2).主射影与斜面所成的角为ψ

则ψ满足sin sin tan tan

sin

sin tan

αβαβ

ψ

γγ

==————公式5

证明：如图5，过B作BE AD

⊥，连接CE，

则BCE

∠即为主射影BC

与斜面ACD所成的角，

设1

BC=，则sin

BDβ

=

在ABD

∆中利用等面积关系得：

tan sin

cos tan

AB BD

BE

AD

αβ

βγ

⋅

==，

3.“三节棍”模型的应用举例

为说明“三节棍”模型及其相关规律在解题中的作用，我们试举下面例题

例1.

如图，在三棱柱

111

ABC A B C

-中，11

AAC C是边长为4的正方形平面ABC⊥平面

11

AAC C，3, 5.

AB BC

==

(I)求证：

1

AA⊥平面ABC；

(II)求二面角

111

A BC B

--的余弦值；

(III)证明：在线段

1

BC存在点D，使得

1

AD A B

⊥，并求

1

BD

BC

的值.

分析：该题中的几何关系尽管适合建立空

间直角坐标系，但我们直接用公式3更快

捷的解决问题.

解：(I)略

(II)由(I)知

1

BB⊥平面111

A B C，11

A C⊥

11

BB A，1A B=5

B

A

C

D

O

图4

图5

C

D

E

B

A

C

B

C1

B1