浙江省2018年9月浙江省名校协作体高三联考数学试题及答案

2018年9月浙江省名校协作体高三联考数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合}11|{<<-=x x P ，}20|{<<=x x Q ，=Q P （ ）A. )2,1(-B. )1,0(C. )0,1(-D. )2,1(2.双曲线1322=-y x 的焦距是（ ） A. 2 B. 22 C. 32 D. 43.在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，已知45=A ，60=B ，3=b ，则=a （ ）A. 2B.6 C. 223 D. 6234.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A. 38B. 4C. 2D. 345.已知函数x x f ln )(=，则“0)(>x f ”是“0))((>x f f ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.在一个箱子中装有大小形状完全相同的3个白球和2个黑球，现从中有放回地摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X ，黑球个数为Y ，则（ ）A. )()(Y E X E >，)()(Y D X D >B. )()(Y E X E =，)()(Y D X D >C. )()(Y E X E >，)()(Y D X D =D. )()(Y E X E =，)()(Y D X D = 7.若变量y x ,满足约束条件⎩⎨⎧-≥≥-122x y x ，则y x z -=2（ ）A. 有最小值3-，无最大值B. 有最大值1-，无最小值C. 有最小值3-，最大值1-D. 无最小值也无最大值8.已知R a ∈，函数||||||)(||||a x e a x e x f x x --+-+=，记)(x f 的最小值为)(a m ，则（ ）A. )(a m 在)0,(-∞上是增函数，在),0(+∞上是减函数B. )(a m 在)0,(-∞上是减函数，在),0(+∞上是增函数C. )(a m 在R 上是奇函数D. )(a m 在R 上是偶函数9.已知公差为d 的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若存在正整数0n ，对任意正整数m ，000<⋅+m n n S S 恒成立，则下列结论不一定成立的是（ ）A. 01<d aB. ||n S 有最小值C. 0100>⋅+n n a aD. 02100>⋅++n n a a10.已知ABC ∆，D 是边BC （不包括端点）上的动点，将ABD ∆沿直线AD 折起到BD A '∆，使B '在平面ADC 内的射影恰在直线AD 上，则（ ）A. 当CD BD =时，C B ,'两点的距离最大B. 当CD BD =时，C B ,'两点的距离最小C. 当CAD BAD ∠=∠时，C B ,'两点的距离最小D. 当AD BD ⊥时，C B ,'两点的距离最大二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分， 共36分.11.已知54sin =α，),2(ππα∈，则=αcos ________，α2tan ________. 12.已知i 是虚数单位，复数z 满足i i z =+⋅)2(，则=z _________，=||z _________.13.已知nx )21(+展开式第三项的二项式系数为15，则=n ________，含2x 的项的系数是_________.14.已知R b a ∈,，222=-+ab b a ，则b a +的最大值为________，ab 的取值范围是_________.15.已知平面向量,满足5||=，5=⋅，若52||≤-，则||的取值范围是_________.16.用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为_________.17.设函数|2|)(b ax xx f ++=，若对任意的实数a 和实数b ，总存在]3,1[0∈x ，使得m x f ≥)(0，则实数m 的最大值是________.三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本题满分14分）已知函数)0(21cos sin 3cos )(2>-+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π. （1）求ω的值；（2）求函数)(x f 在区间]2,0[π上的取值范围.19.（本题满分15分）如图，在三棱锥ABC P -中，PAC ∆和ABC ∆均为等腰三角形，且90=∠=∠BAC APC ，4==AB PB .（1）判断PC AB ⊥是否成立，并给出证明； （2）求直线PB 与平面ABC 所成角的正弦值.20.（本题满分15分）已知数列}{n a 满足31=a ，n n n a a a 221+=+，设数列}{n b 满足))(1(log 2*∈+=N n a b n n .（1）求数列}{n b 的前n 项和n S 及}{n a 的通项公式； （2）求证：)2(1131211≥<-++++n n b n .21.（本题满分15分）如图所示，已知抛物线x y C 4:2=的焦点为F ，),(11y x A ，))(,(2122x x y x B ≠是抛物线C 上的两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点P ，若4||||=+BF AF . （1）求点P 的坐标； （2）求PAB ∆面积的最大值.22.（本题满分15分）已知函数)()(R a x a e x f x∈+=-.（1）当0=a 时，直线kx y =是曲线)(x f y =的切线，求实数k 的值； （2）若21,x x 是函数)(x f 的两个极值点，且21x x <，求)(1x f 的取值范围.2018学年第一学期浙江省名校协作体试题模拟卷高三年级数学学科答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1-5 BDABB 6-10 CADCC二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上）11．53- ，724． 12．i 5251+.13．6，60 14．22，]2,32[-．15．⎡⎣ 16．20 17．332-4三、解答题（本大题共5小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．解：（Ⅰ）()1cos 2122x f x ω+=+-------------------2分c o s 23x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭--------------------------------------------5分由22ππω=，得1ω=；-----------------------------------------7分（Ⅱ）()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 因为[0,]2x π∈，所以22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，------------------------------10分 所以1(),12f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．------------------------------------------------------------14分19．解：（Ⅰ）AB ⊥PC 不成立，证明如下：-------------2分假设AB ⊥PC ，因为AB AC ⊥，且PC AC C=，所以AB ⊥面PAC ，---------5分 所以AB PA ⊥，这与已知4PB AB ==矛盾，------7分 所以AB ⊥PC 不成立．（Ⅱ）解法1：取AC 中点O ，BC 中点G ，连,,PO OG PG ，由已知计算得2PO OG PG ===，------------9分由已知得,AC PO AC OG ⊥⊥, 且PO OG O =， 所以AC ⊥平面POG ，所以平面ABC ⊥平面POG ，--------------12分 取OG 中点H ，连BH ，则PH ⊥平面ABC ，从而，PBH ∠就是直线PB 与平面ABC 所成的角，因为PH =4PB =，所以sin 4PH PBH PB ∠==----------------------15分解法2：如图，以A 为原点，,AB AC 所在直线为,x y 轴建立空间直角坐标系， 则()()()0,0,0,4,0,0,0,4,0A B C ，-----------------------------------------9分设(),,P x y z ，由()()222222222841648x y z x y z x y z ⎧++=⎪⎪-++=⎨⎪+-+=⎪⎩解得：(1,P -----------------------------11分(3,2,PB =--，因为平面ABC 的法向量是()0,0,1n =，--------13分由sin PB n PB nθ=⋅ =------------15分20．解：I.由n n n a a a 221+=+得2211121）（+=++=++n n n n a a a a 由31=a 易得0>n a ，所以两边取对数得到）（）（1log 21log )1(log 22212+=+=++n n n a a a 即n n b b 21=+ ……………2分 又02)1(log 121≠=+=a b}{n b ∴是以2为公比的等比数列，即n n b 2= 221-=∴+n n S ……………………6分又)1(log 2+=n n a b 122-=∴nn a ………………………7分 II 证法一、用数学归纳法证明：1当2=n 时，左边为261131211<=++=右边，此时不等式成立；………8分2假设当2≥=k n 时，不等式成立， 则当1+=k n 时，左边12112121121312111-++++-++++=+k k k k………10分121121211-++++<+k k k k个k k k k k 2212121+++<1+<k =右边∴当1+=k n 时，不等式成立。

综上可得：对一切2,*≥∈n N n ，命题成立 ………………………15分证法二12131211-+⋯+++n)12121()715141()3121(11-+⋯++⋯++⋯+++++=-n n112124142121--⋅+⋯+⋅+⋅+<n nn = ………………………15分 21．解：（Ⅰ）因为2p =，设()()()112200,,,,,A x y B x y C x y ，124AF BF x x p +=++=所以122x x +=，即01x =-------3分ABCPOG H设直线AB 的方程是：x my n =+， 代入24y x =得，2440y my n --=，所以124y y m +=，故02y m =，因为01x =，所以AB 中点坐标为)2,1(m 又因为AB 的中垂线方程是()21y m m x -=--，令0y =，得()3,0P ，-------7分 （Ⅱ）因为AB 中点)2,1(m 在直线x my n =+上 所以221m n +=，且216160m n ∆=+>，解得201m <<------------------------------------------9分所以12132PAB S n y y ∆=--(222m =+=-------12分 令21m t -=，()0,1t∈，则PAB S ∆= 设()()()22,0,1f t t t t =-∈，则()()()232f t t t '=--，易得，()f t 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 所以()2max224333f t f ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()max PAB S ∆=分22．解：（Ⅰ）当0a =时，()xf x e -'=-，设()00,P x y 是切点，则000xx e kkx e--⎧-=⎪⎨=⎪⎩，解得01x k e =-⎧⎨=-⎩ ------------------5分 （Ⅱ）()xf x e -'=-+=xx e x x ae 22-，------------------7分 令()0f x'=，即0x ae -=，则()x a g x e==()g x '=，所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>， 当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，且当x →+∞时，()0g x →，所以当()0f x '=有两个不等的根时，所以e ea 20<<此时2101<<x ，------------------12分()()111121x x f x e x e --=+=+，因为()()111120x f x x e -'=->恒成立，所以()1f x 在)21,0(上单调递增，所以()1f x )2,1(e∈------------------15分。