二项式定理教学设计(何磊)

课题：§1.3.1二项式定理（人教A版高中课标教材数学选修2-3）
教学设计
河北正定中学何磊
《二项式定理》教学设计
一、教学内容解析
《二项式定理》是人教A 版选修2-3第一章第三节的知识内容，它是初中学习的多项式乘法的继续．在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也是解决整除、近似计算、不等式证明的有力工具，同时也是后面的数学期望等内容的基础知识，二项式定理起着承上启下的作用．另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理可进一步深化对组合数的认识．总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识．
二、教学目标设置
新课标指出教学目标应体现学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习，形成正确价值观的过程．新课标要求：用计数原理分析2()a b +，3()+a b ，4()+a b 的展开式，归纳类比得到二项式定理，并能用计数原理证明．掌握二项展开式的通项公式，解决简单问题；学会讨论二项式系数性质的方法．根据新课标的理念及本节课的教学要求，制定了如下教学目标：
1.学生在二项式定理的发现推导过程中，掌握二项式定理及推导方法、二项展开式、通项公式的
特点，并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问题．
2.学生经历二项式定理的探究过程，体验“从特殊到一般发现规律，从一般到特殊指导实践”的思想方法，获得观察、归纳、类比、猜想及证明的理性思维探究能力．
3.通过二项展开式的探究，培养学生积极主动、勇于探索、不断创新的精神，感受合作探究的乐趣，感受数学内在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美．结合数学史，激发学生爱国热情和民族自豪感．
三、学情分析
１．有利因素
授课对象是高二的学生，具有一般的归纳推理能力，思维较活跃，初步具备了用联系的观点分析问题的能力．学生刚刚学习了计数原理和排列组合的知识，对本节()+n a b 展开式中各项系数的研究会有很大帮助．
２．不利因素
本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，学生学习起来有一定难度．在数学学习过程中，大部分学生习惯于重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程．
四、教法策略分析
遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则，采用“启发式教学法”，学生主要采用“探究式学习法”， 并利用多媒体辅助教学．
本课以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，完成二项式定理的探究，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程．
五、教学过程
（一）创设情境 引入课题
引入：通过“牛顿发现二项式定理”的历史引入课题．提出问题：2()+=a b ？ 3()+=a b ？
4()+=a b ？那么9()?a b +=……n b a )(+的展开式是什么？
【设计意图】学生的学习遵循“历史发生原理”，把二项式定理发现的历史融入新课导入，既能引起
学生的兴趣，符合新课程理念，还能提升课堂品味．创设有效的数学情景能激发学生的学习兴趣，为学生提供良好的学习环境．数学的来源，一是来自数学外部现实社会的发展需要；二是来自数学内部的矛盾，即数学本身发展的需要．这个问题将“多项式展开有哪些项”包含其中，为后面的研究做好铺垫．
（二）体验感知 探究归纳 1．归纳特点总结规律．
【设计意图】由特殊到一般的归纳总结，离不开大量特殊实例的观察．只有将大量具体实例进行整体
和局部多方面的分析，才能得到接近一般性规律的结论．也只有对得出各种结论进行整合，才能让学生顺畅的抓住展开过程的两个要点，即项的结构和项的系数，才能让学生有目的的进一步进行探讨和分析．
2．项的结构特点．
（学生叙述展开过程中各项是如何形成的．如果学生的叙述中没有说明从每个因式中取一个字母相乘得到展开式的项，老师提出预备问题：展开式的各项是由同一个因式中的字母相乘得到的吗？） 师：根据多项式乘法法则，()n
a b +的展开式就是从每个因式中任取一项相乘得到展开式的项．
【设计意图】多项式乘法法则是展开式的运算基础，同时也为用组合数表示系数创设情境．而学生对
于多项式乘法法则的理论叙述不够顺畅．通过教师强调多项式乘法法则，让学生思维建立旧知识与新知
识联系，为下面系数的确定做好铺垫．
3．项的系数特点．
【设计意图】
本节课的重点就是利用多项式的乘法法则和计数原理对展开式中各项进行分析．该问题
的提出，符合学生的思维发展规律，能准确地检验学生对问题分析能力和解决方法的掌握，突出体现本节课的思维方法．
（三）知识建构 形成定理
)
()(*110N n b C b a C b a C a C b a n
n n k k n k n n n n n n ∈+++++=+-- —— 二项式定理
证明：n
b a )(+是n 个)(b a +相乘，每个)(b a +在相乘时，有两种选择，选a 或选b ，由分步计数原理可知展开式共有n
2项（包括同类项），其中每一项都是k k
n b a
-),1,0(n k =的形式，对于每一项
k k n b a -，它是由k 个)(b a +选了b ，n －k 个)(b a +选了a 得到的，它出现的次数相当于从n 个)
(b a +中取k 个b 的组合数k
n C ，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．
二项式定理的公式特征：
①展开式中每一项的次数都是n ； ②展开式共1n +项；
③按照字母a 降幂排列，次数由n 递减到0，字母b 升幂排列，次数由0递增到n ； ④k
n k
k n C a
b -是展开式的第1k +项； k n k k
n C a b -叫二项展开式的通项，用1k T +表示．
⑤各项的系数(0,1,
)k
n C k n =叫二项式系数．
【设计意图】先由学生独立完成，然后组织讨论．完成有特殊到一般的归纳过程，训练学生的类比、
联想、归纳的探究能力．在讨论过程中要明确每一项的形式及相应的个数．
（四）巩固新知 提升能力
【设计意图】通过例题让学生熟悉二项展开式及其通项，区分二项式系数和系数，培养学生的运算能
力．设计题目考察学生的学习情况,各个题目设计的比较有梯度，逐渐加大难度，符合学生的认知水平．
（五）回顾反思 归纳总结
知识方面：二项式定理，通项，二项式系数；
思想方法：从特殊到一般；观察——归纳——类比——猜想——证明．
【设计意图】小结可以锻炼学生的概括能力、语言表达能力，可以使学生加深对本节课的认识，掌握
基本数学思维方法．
（六）课下作业 思维延伸
一、P 36: 1~3 二、1.求x x -12(
)3的展开式的中间一项； 2.求x -101(1)2展开式中含x
51
的项的系数． 思维延伸：
探究()5
a b c ++的展开式中22
a b c 的系数．
【设计意图】通过课下作业使学生深入理解知识，培养学生的创新精神、增强主动探究的意识和能力．
六、板书设计
练习：请写出9
1()x x
-
的展开式中3x 的系数． 例2：求10
(1)x -的展开式中第6项的二项式系数． 想一想：求展开式第6项的系数．。