连续周期性时间信号的傅里叶级数
信号与系统连续周期信号的频域分析
信号与系统连续周期信号的频域分析频域分析是信号与系统中一种重要的分析方法，用于研究信号的频谱特性。
连续周期信号是一种在时间域上具有周期性的信号，其频域分析包括傅里叶级数展开和频谱图表示。
傅里叶级数展开是一种将连续周期信号分解为若干个频率成分的方法。
对于周期为T的连续周期信号x(t)，其傅里叶级数展开可以表示为：x(t) = ∑[Cn * exp( j *2πn/T * t )]其中，Cn为信号中频率为n/T的分量的振幅，j为虚数单位。
通过计算信号的傅里叶系数Cn，可以得到信号的频率成分和其对应的振幅。
在频域分析中，经常使用的一个重要工具是频谱图。
频谱图是一种将信号在频域上进行可视化展示的方法，通过绘制信号的频谱，可以直观地观察到信号的频率信息。
频谱图中的横轴表示频率，纵轴表示振幅。
对于连续周期信号，其频谱图是离散的，只有在频率为基频及其倍数的位置上有分量值。
基频是连续周期信号的最低频率成分，其他频率成分都是基频的整数倍。
频谱图中的峰值代表了信号在不同频率上的能量分布情况，而峰值的高度代表了对应频率上的振幅大小。
通过分析频谱图，可以获得信号中各个频率成分的相对强度，从而对信号进行进一步的特征提取和处理。
在实际应用中，频域分析经常用于信号处理、系统建模和通信等领域。
例如，在音频处理中，通过频域分析可以实现音频信号的降噪、音乐特征提取和音频编码等任务。
在通信系统中，频域分析可用于频率选择性衰落信道的估计和均衡、多载波调制技术等。
总结起来，频域分析是信号与系统中对连续周期信号进行分析的重要方法。
通过傅里叶级数展开和频谱图表示，可以揭示信号的频率成分及其振幅特性，为信号处理和系统设计提供依据。
连续时间信号的频域分析及Matlab实现
function CTF3()
1/2 exp(-2 t) heaviside(t)
syms t v w x;
F = fourier(x);
0.4
x = 1/2*exp(-2*t)*sym('Heaviside(t)');0.2
fliplr例子
6 4
>> n = 0:4; >> a = [5 4 3 2 1]; >> subplot(2,1,1),stem(n,a);
2
>> b = fliplr(a);
>> k = -4:4; >> c = [b,a(2:end)];
0 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
4
>> subplot(2,1,2),stem(k,c);
0 0 0.5 1 t 1/2/abs(2+i w) 0.25 0.2 0.15 0.1 -6 -4 -2 0 w 2 4 6 1.5 2
subplot(2,1,1);
ezplot(x); subplot(2,1,2);
ezplot(abs(F));
f(t) = u(t+1) - u(t-1) 1
function [A_sym,B_sym] = CTF2()
syms t n k x T = 5; tao = T/5; a = 0; Nf = 16; Nn = 32; x1 = sym('Heaviside(t+0.5)')*h; x = x1 - sym('Heaviside(t-0.5)')*h; A0 = 2*int(x,t,-a,T-a)/T;%求出三角函数展开系数A0
傅里叶变换及其性质
αt
1
单边指数函数e-αt; (b) e-αt
的幅度谱
o
(b)
F(j) f(t)ejtdt etejtdt
01 02 e(j)t (j)
01j
1
ja rcta n
ea
a22
其振幅频谱及相位频谱分
解
别为
F ( ) 1
2 2
( ) arctan
例 2.4-3 求图 2.43(a)所示 双边指数 函数的频 谱函数。
02 或
2
B
2(rad/s)
1
Bf
(Hz)
周期信号的能量是无限的，而其平均功率是有界的， 因而周期信号是功率信号。为了方便，往往将周期信 号在1Ω电阻上消耗的平均功率定义为周期信号的功率。 显然，对于周期信号f(t)， 无论它是电压信号还是电
流信号，其平均功率均为 T
12 2
P f (t)dt 2.3.3 周期信号的功率T T2
( )
02
－
4
－
2
o
门函数； (b) 门函数的频谱；－ 4(c)－幅2 度谱； (d) 相位谱
o 2 4
2 4
－
(c)
(d )
f
(t)
e at
0
f (t)
例 2.4-2 求指数函数f(t)
的1频 谱 函 数 。 e－t (＞0)
o
t
(a)
t 0 ( 0)
t 0
图 2.4-2 单边指F(数)函数e-
性。
2.2 周期信号的连续时间傅里叶级数
f (t) Fnejnt
2.2.1 指数形式的傅里叶级数 n
满足Dirichlet条件的周期函数可以展成复指数形式的傅里叶级数:
第2章_连续时间信号的傅里叶分析_2.2傅里叶级数与连续时间周期信号的频谱
1 2 2 2 （6）Parseval定理 T xt dt X n0 T 2 n 此式说明，周期信号的平均功率在时域和频域的计算结果 相等，即满足能量守恒原理。离散频谱可以用来描述信号 的功率（能量）在不同谐波频率上的分配情况。
2.2.3 周期信号的傅里叶级数举例
第2章 连续时间信号的傅里叶分析
2.2 傅里叶级数与连续时间周期信号的频谱
2.2.1傅里叶级数的定义
连续时间周期信号的傅里叶级数的定义： 如果以T为周期的连续时间周期信号x(t)满足Dirichlet条件： ①连续时间周期信号x(t)在一个周期内绝对可积； ②连续时间周期信号x(t)在一个周期内只有有限个极值点； ③连续时间周期信号x(t)在一个周期内连续，或者只有有限 个第一类间断点。 则可以将其展开为三角级数，并且此三角级数收敛，称为傅 里叶级数（Fourier Series，FS）。 将连续时间周期信号x(t)展开为傅里叶级数的目的，就是用 三角函数或各次谐波的线性组合来表示该信号。 在一般情况下，在工程中所使用的连续时间周期信号x(t)都 能满足Dirichlet条件。因此，除非特殊需要，无需考虑这一 条件。
t0
根据分离变量法，得其解为
nx u x, t cn sin e L n 1
n 2 t a L
2
其中cn为φ(x)的傅里叶系数
2 L nx cn x sin dx L 0 L
2.2.5 Gibbs现象
E , 2 xt E , 2
E t 0 2 E 0t xt sin n0t n 1, 3, 5, n
取不同数量的谐波进行 叠加，观察傅里叶级数 的叠加过程。
信号与系统第6讲第3章周期信号的傅里叶级数表示
sin(2 k(1/ 4)) k
sin(k k
/ 2)
根据Example3.5的结果，用性质计算傅里叶级数的系数
分析：原函数为x(t),本函数为g(t)
g (t )
x(t
1)
1 2
,周期方波的参数T
4,T1
1,
如果原函数的系数为ak，x(t 1)的系数为bk
bk
a e jk (2 / 4)1 k
在不连续点上，傅里叶级数的收敛趋势-吉伯斯现象
不连续点上收敛于不连续点的平均值 不连续点附近呈现起伏现象，起伏的峰值不随N增加而降低 峰值为不连续点差值的9%
吉伯斯现象的实际意义
不连续信号的傅里叶级数截断近似在接近不连续点有高频起伏 选择足够大的N，可以保证这些起伏的总能量可以忽略
2024/6/10
2024/6/10
信号与系统－第6讲
19
§3.5 连续时间傅里叶级数性质
（4）Example3.8 计算周期冲激串的傅里叶级数系数 根据性质计算周期方波的系数
周期冲激串可表示为x(t) (t kT ) k
ak
1 T
T / 2 (t)e jk 2t /T dt 1
T / 2
T
周期方波为g (t ),它的导数为q(t )
c0为直流分量， c0 2T1 / T
对照前面 例题验证
结果
20
§3.5 连续时间傅里叶级数性质
（5）Example3.9
1.x(t)是实信号
2.x(t)是周期信号，T 4，傅里叶级数系数ak
3.ak 0，k 1
4.傅里叶系数为bk
e
j
k
/
2
a
的信号是奇信号
(完整版)周期信号傅里叶级数
C e dt T0 n0
j(nk )0t
n =
由{en (t)}的正交性得：
T0
0
e
dt j(nk )0t
T0
[n k]
T0 n=k 0 n不等于k
Ck
1 T
T
2 T
fT (t)e jk 0t dt
2
2. 指数形式傅立叶级数
连续时间周期信号可以用指数形式傅立叶级数表示为
f (t)
bn
2 T
T
2 T
2
f (t)sin n0tdt
(n = 1,2 )
纯余弦形式傅立叶级数
其中
f（t）
a0 2
n1
An
co（ s n0t
）
n
An an2 bn2
n
arctg
bn an
a0 2
称为信号的直流分量，
An cos(n0+ n)称为信号的n次谐波分量。
例题1 试计算图示周期矩形脉冲信号的傅立叶级数展 开式。
Cn e jn0t
jn 2 t
Cn e T
n =
n =
物理含义：周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和。
其中
Cn
1 T
T
2 T
fT (t)e jn0t dt
（傅立叶系数）
2
n 1 两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量
n 2 的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量
若 f (t)为实函数，则有 Cn Cn
利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为
1
f (t) C0
Cne jn0t
傅里叶变换公式
连续时间周期信号傅里叶级数：⎰=T dt t x Ta )(1⎰⎰--==T tTjkT tjk k dt et x Tdt et x Ta πω2)(1)(1离散时间周期信号傅里叶级数：[][]()∑∑=-=-==Nn nN jk Nn njkwk e n x Ne n x Na /2110π连续时间非周期信号的傅里叶变换：()⎰∞∞--=dt e t x jw Xjwt )(连续时间非周期信号的傅里叶反变换：()dw e jw X t x jwt ⎰∞∞-=π21)(连续时间周期信号傅里叶变换：∑+∞-∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=k k kw a jw X T 22)(πδπ连续时间周期信号傅里叶反变换：()dw e w w t x jwt ⎰∞∞--=0221)(πδπ离散时间非周期信号傅里叶变换：∑∞-∞=-=nnj e n x eX ωωj ][)(离散时间非周期信号傅里叶反变换：⎰=π2d e )(e π21][ωωωn j j X n x离散时间周期信号傅里叶变换：∑+∞-∞=-=kk k a X )(π2)e (0j ωωδω离散时间周期信号傅里叶反变换：[]ωωωδωd e n n j ⎰--=π20πl)2(π2π21][x拉普拉斯变换：()dt e t s Xst -∞∞-⎰=)(x拉普拉斯反变换：()()s j21t x j j d e s X st ⎰∞+∞-=σσπZ 变换：∑∞-∞=-=nnz n x X ][)z (Z 反变换： ⎰⎰-==z z z X r z X n x n nd )(πj21d )e ()(π21][1j π2ωω。
连续时间信号与系统的傅里叶分析
连续时间信号与系统的傅里叶分析连续时间信号与系统的傅里叶分析是一种非常重要的数学工具和技术，广泛应用于信号处理、通信系统、控制系统等领域。
通过傅里叶分析，我们可以将一个复杂的时域信号分解成一系列简单的正弦函数（或复指数函数）的叠加，从而更好地理解和处理信号。
在傅里叶分析中，我们首先需要了解傅里叶级数和傅里叶变换两个概念。
傅里叶级数是将一个周期信号分解成一系列正弦和余弦函数的叠加。
对于一个连续时间周期为T的周期信号x(t)，其傅里叶级数表示为：x(t) = a0/2 + ∑ {an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t)}其中，n为整数，ω0为角频率（ω0 = 2π/T），an和bn为信号的系数。
傅里叶级数展示了信号在频域上的频谱特性，即信号在不同频率上的成分。
通过傅里叶级数，我们可以得到信号的基频和各个谐波分量的振幅和相位信息。
而对于非周期信号，我们则需要使用傅里叶变换来分析。
傅里叶变换可以将一个非周期信号分解成一系列连续的正弦和余弦函数的叠加。
对于一个连续时间信号x(t)，其傅里叶变换表示为：X(ω) = ∫ x(t)*e^(-jωt) dt其中，X(ω)为信号在频域上的频谱表示，ω为角频率，e为自然对数的底。
通过傅里叶变换，我们可以将信号从时域转换到频域，从而得到信号在不同频率上的成分。
同时，我们还可以通过逆傅里叶变换将信号从频域再转换回时域。
傅里叶分析的重要性在于它能够提供信号在时域和频域之间的转换关系，从而可以更好地理解信号的特性和行为。
通过傅里叶分析，我们可以确定信号的频谱特性、频率成分等信息，从而在信号处理、通信系统设计等方面进行相应的优化和调整。
除了傅里叶级数和傅里叶变换，还有诸如快速傅里叶变换（FFT）、傅里叶变换对（FT pair）、功率谱密度（PSD）等相关概念和技术。
这些工具和技术在实际应用中非常有用，例如在音频处理、图像处理、雷达信号处理等方面经常被使用。
总之，连续时间信号与系统的傅里叶分析为我们提供了一个强大的数学工具，能够将信号从时域转换到频域，揭示信号的频谱特性和频率成分，为信号处理和系统设计提供了有力支持。
第三章周期信号的傅里叶级数表示
1、复指数傅里叶级数
sk =jk0，即:
eskt e jk0t , k 0, 1, 2,L
一个周期为T的周期信号x(t) 的复指数傅里叶级数：
x(t) ake jk0 t k
0 2 / T
其中系数 ak一般来说是 k0 的复函数。
e jk0t , k 0, 1, 2, 成谐波关系的复指数信号集
0
xˆ4
a4e j 40t
a4e j 40t
0
x(t) ake jk0 t
k
k
即：x(t) a0 xˆ1(t) xˆ3(t) xˆ5(t)
xˆ1 xˆ3 xˆ5 xˆ9 xˆ19
a0 xˆ1 xˆ3 a0 xˆ1 xˆ3 xˆ5 a0 xˆ1 xˆ7 a0 xˆ1 xˆ19 a0 xˆ1 xˆ99 x(t)
est 是连续LTI系统的特征函数
zn 是离散LTI系统的特征函数
对一个特定 sk 或 zk , H (sk )或 H (z就k ) 是对应的特征值。
7
4、将一个信号分解为特征函数(复指数信号) 的线性加权和
如果一个LTI系统的输入信号（连续/离散）可以分解 为复指数信号的线性加权和：
x(t) ak e skt
因此xn可以分解为n个不同的特征函数的线性加权和其傅里叶级数只需对连续n个独立k值求和记为352傅里叶级数系数的确定两边同乘以并在n内求和范围同的取值其中周期内求和为一个周期正弦信号在以下推导供学有余力同学参考36离散时间周期信号周期为n的傅里叶级数是一个有限项级数n个不同的复指数信号求和但a本身是一个周期为n的周期信号
T x(t)e jn0tdt T
0
0
ak e e jk0t jn0t dt
周期信号的傅里叶级数表示
弦波叠加起来，合成复杂的周期信号。
信号分析
02
对于给定的周期信号，可以利用傅里叶级数进行频谱分析，得
到信号中各个频率分量的幅度和相位信息。
频谱特性
03
通过傅里叶级数展开，可以清晰地展示信号在频域上的特性，
如主频、谐波分量等。
信号调制与解调
01 02
调制
在通信系统中，常常需要将低频信号调制到高频载波上进行传输。利用 傅里叶级数，可以将低频信号表示为一系列正弦波的叠加，进而实现调 制过程。
WENKU DESIGN
WENKU DESIGN
2023-2026
END
THANKS
感谢观看
KEEP VIEW
WENKU DESIGN
WENKU DESIGN
WENKU
REPORTING
https://
PART 01
傅里叶级数基本概念
周期信号与非周期信号
周期信号
具有固定时间周期的信号，即信 号在某个时间周期内重复出现。
非周期信号
不具有固定时间周期的信号，即 信号不会重复出现。
傅里叶级数定义及公式
傅里叶级数定义
将周期信号表示为一系列正弦波和余弦波的叠加，这些正弦波和余弦波具有不 同的频率和幅度。
数值计算与仿真实验
数值计算方法简介
01
离散傅里叶变换 （DFT）
将连续时间信号在时域上进行离 散化，并通过傅里叶变换得到频 域上的离散表示。
02
快速傅里叶变换 （FFT）
利用DFT中冗余计算的特点，采 用分治策略减少计算量，提高计 算效率。
03
迭代法
通过逐步逼近的方式求解傅里叶 系数，如雅可比迭代和高斯-赛 德尔迭代等。
周期信号的傅里叶级数分析
实验三周期信号的傅里叶级数分析一、实验目的熟悉连续时间周期信号的傅里叶级数分解原理及方法，掌握周期信号的傅里叶频谱的概念及计算方法，熟悉相应MATLAB 函数的调用格式和作用，掌握利用MATLAB 计算傅里叶级数系数及绘制频谱图的方法。
二、实验原理（一）周期信号的傅里叶级数分析原理按傅里叶分析的原理，任何周期信号都可以用一组三角函数)}cos(),{sin(t n t n ΩΩ的组合表示。
1、三角函数形式的傅里叶级数∑∞=Ω+Ω+=+Ω+Ω+Ω+Ω+=1022110)]sin()cos([2...)2sin()2cos()sin()cos(2)(n n n t n b t n a a t b t a t b t a a t f （1） 式中，n n b a a ,,0称为傅里叶系数。
()dt t f T a TT ⎰-=22012()...3,2,1)cos(222=Ω=⎰-n dt t n t f T a TT n ，(),...3,2,1,)sin(222=Ω=⎰-n dt t n t f T b TT n即可以用一组正弦波和余弦波合成任意的周期信号。
式（1）的三角函数形式傅里叶级数可以写成余弦函数的形式：∑∞=+Ω+=10)cos(2)(n n n t n A A t f ϕ其中：00a A =，22n n n b a A +=,nn n a b arctan -=ϕ 2、指数函数形式的傅里叶分析其中系数3、周期信号的频谱（1）三角函数形式频谱w A n ~关系曲线称为幅度频谱图关系曲线称为相位频谱图（2）指数函数形式频谱 w F n ~关系曲线称为幅度频谱图关系曲线称为相位频谱图（二）周期信号的傅里叶级数的MATLAB 实现例1：试用MATLAB 求如图1所示的周期方波信号的傅里叶级数分解。
解：周期方波信号是一个偶函数，又是一个奇谐函数，因此其傅里叶级数只含有奇次谐波的余弦项，即周期方波信号可以分解为： ()...5,3,1)cos(5.04)cos(244-22=Ω=Ω=⎰⎰-n dt t n T dt t n t f T a TT T T n ， 求傅里叶系数的程序如下：syms t n T;∑∞-∞==n t jn n F t f Ωe )(⎰-=22-Ωd e )(1T T t jn n t t f T F w n ~ϕw n ~ϕy=0.5*cos(n*2*pi/T*t);an=(4/T)*int(y,-T/4,T/4);运行结果为：an=2*sin(1/2*pi*n)/pi/n则此周期方波信号可以分解为：）（,...5,3,1)2sin(2,0===n n n a b n n ππ 将其展开为三角函数形式的傅里叶级数：,...)3,2,1()cos(2sin 2)(...])5cos(51)3cos(31)[cos(2(12==-+-=∑∞-=j nwt n n t f wt wt wt t f j n πππ） 例2：根据例1的结果，试用正弦信号的叠加近似合成一频率为50Hz ，幅值为3的方波。
信号与系统Matlab实验作业
实验一典型连续时间信号和离散时间信号一、实验目的掌握利用Matlab画图函数和符号函数显示典型连续时间信号波形、典型时间离散信号、连续时间信号在时域中的自变量变换。
二、实验内容1、典型连续信号的波形表示（单边指数信号、复指数信号、抽样信号、单位阶跃信号、单位冲击信号）1）画出教材P28习题1-1(3) ()[(63)(63)]t=----的波形图。
f t e u t u t2）画出复指数信号()()j t f t e σω+=当0.4, 8σω==(0<t<10)时的实部和虚部的波形图。
t=0:0.01:10;f1='exp(0.4*t)*cos(8*t)';f2='exp(0.4*t)*sin(8*t)';figure(1)ezplot(f1,t);grid on;figure(2)ezplot(f2,t);grid on;3）画出教材P16图1-18，即抽样信号Sa(t)的波形(-20<t<20)。
t=-10:0.01:10;f='sin(t)/t';ezplot(f,t);grid on;4）用符号函数sign画出单位阶跃信号u(t-3)的波形（0<t<10）。
t=0:0.01:10;f='(sign(t-3)+1)/2';ezplot(f,t);grid on;5）单位冲击信号可看作是宽度为∆，幅度为1/∆的矩形脉冲，即t=t 1处的冲击信号为11111 ()()0 t t t x t t t otherδ∆⎧<<+∆⎪=-=∆⎨⎪⎩画出0.2∆=, t 1=1的单位冲击信号。
t=0:0.01:2;f='5*(u(t-1)-u(t-1.2))';ezplot(f,t);grid on;axis([0 2 -1 6]);2、典型离散信号的表示（单位样值序列、单位阶跃序列、实指数序列、正弦序列、复指数序列）编写函数产生下列序列：1）单位脉冲序列，起点n0，终点n f，在n s处有一单位脉冲。
第三章 连续时间周期信号的傅里叶级数分析
如果
a x(t) 2 dt 则
T0
必k 存在。
x在(t一) 个周期内能量有限， 一定ak存在。
2. Dirichlet条件：
① x(t) d，t 在任何周期内信号绝对可积。 T0
ak
1
T0
x(t)e jk0t dt 1
T0
T0
x(t) dt
T0
因此，信号绝对可积就保证了 ak 的存在。
即： x(t) akeskt
k
y(t) ak H (sk )eskt
k
同理： x(n)
ak
Z
n k
k
y(n)
ak
H
(Z
k
)Z
n k
k
*问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的
线性组合来表示？
3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
Fourier Series Representation of Continuous-Time Periodic Signals
在均方误差最小的准则下，可以证明，此时 ak
应满足：
ak
1 T0
x(t )e jk0t dt
T0
这就是傅氏级数的系数
结论：在均方误差最小的准则下，傅里叶级数是对 周期信号的最佳近似。
二. 傅里叶级数的收敛
傅里叶级数收敛的两层含义：
① a是k 否存在? ② 级数是否收敛于 x(?t)
两组条件：
1.平方可积条件：
1807年提出任何周期信号都可以用正弦函数的级数来表示1822年首次发表热的分析理论1829年狄里赫利第一个给出收敛条件17681830傅里叶的两个最重要的贡献号的加权和傅里叶的第一个主要论点表示傅里叶的第二个主要论点由时域分析方法有32lti系统对复指数信号的响应ltisystemscomplexexponentials考查lti系统对复指数信号可见lti系统对复指数信号的响应是很容易求得的
连续周期性时间信号的傅里叶级数
连续周期性时间信号的傅⾥叶级数实验三连续周期性时间信号的傅⾥叶级数⼀、实验⽬的：1. 进⼀步掌握MATLAB⼦函数的表⽰⽅法2. 深刻理解傅⾥叶级数的信号分解理论及收敛性问题3. 理解周期性信号的频谱特点。
⼆、实验原理傅⾥叶级数设有连续时间周期信号，它的周期为T，⾓频率，且满⾜狄⾥赫利条件，则该周期信号可以展开成傅⾥叶级数，即可表⽰为⼀系列不同频率的正弦或复指数信号之和。
傅⾥叶级数有三⾓形式和指数形式两种。
1. 三⾓形式的傅⾥叶级数：式中系数，称为傅⾥叶系数，可由下式求得：[2. 指数形式的傅⾥叶级数：式中系数称为傅⾥叶复系数，可由下式求得：周期信号频谱具有三个特点：（1）离散性，即谱线是离散的；（2）谐波性，即谱线只出现在基波频率的整数倍上；（3）收敛性，即谐波的幅度随谐波次数的增⾼⽽减⼩。
周期信号的MATLAB表⽰周期信号的傅⾥叶分解⽤Matlab进⾏计算时，本质上是对信号进⾏数值积分运算。
在Matlab中有多种进⾏数值积分运算的⽅法，我们采⽤quadl函数，它有两种其调⽤形式。
(1) y＝quadl(‘func’, a, b)。
其中func是⼀个字符串，表⽰被积函数的.m⽂件名（函数名）；a、b分别表⽰定积分的下限和上限。
(2) y＝quadl(@myfun, a, b)。
其中“@”符号表⽰取函数的句柄，myfun表⽰所定义函数的⽂件名。
例：⽤MATLAB计算脉冲宽度T1 = 2；周期T = 4的周期性脉冲信号的复傅⾥叶级数，分别画出N = -2:2， -10:10， -50:50， -200:200的傅⾥叶级数展开及合成，观察吉普斯效应。
画出T = 4， T =8下的双边谱A.⾸先创建⼀个⼦函数singRect（t, T1），表⽰单个脉冲信号，时间为t，宽度为T1。
function y = singRect(t, T1)y = (abs(t) <= T1);endB.创建傅⾥叶积分的被积⼦函数function y = rectExp(t, k, w)y = (abs(t) <= 1) .* exp(-1j*k*w*t);endC.创建⼦函数⽤于傅⾥叶级数计算及合成function [x, ak] = fourierSeries(N, t)T1 = 1;T = 4; w = 2 * pi/T;ak = zeros(1, 2 * N + 1);for i = 1:2*N+1 %傅⾥叶分解，计算傅⾥叶系数akak(i) = quadl(@(t)fsInt(t, i - N - 1, w, T1), -2, 2)/T;end;x = 0;for i = 1:2*N + 1 %傅⾥叶级数合成x = x + ak(i) * exp(1j*(i - N - 1)*w*t);endendD.创建main函数，计算不同N下的傅⾥叶级数及合成。
第三章周期信号的傅里叶级数表
2T1 T0
Sa k
2
T0
T1
谱线为离散的（谐波性），在
k0
k
2
T0
时取值，
脉冲周期越大，谱线间隔 0 越小，越密；
各点频谱大小与脉宽 T1 成正比，与周期 T0 成反比；
频谱包络线形状：抽样函数，过零点为最大值为 2T1
T0
主要能量在第一过零点内，第一个零点坐标为:
k 1, kω0T1
k
k
ak
1 T
x(t)e jk0tdt 1
T
T
x(t)e jk(2 T )tdt
T
28
29
解：方法一：直接利用公式进行求解
ak
1 T
x(t)e jk0t dt 1
T
T
x(t)e jk(2 T )t dt
T
方法二：
x(t)
a k e jk0t
a e jk(2 T )t k
k
46
47
48
这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级 数收敛的充分条件。相当广泛的信号都能满足这 两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期 信号具有相当的普遍适用性。
49
50
三 、吉伯斯（Gibbs）现象 满足Dirichlet条件的信号，其傅里叶级数
是如何收敛于 的x。t 特别当 具有xt间
7
补充例题：
例:对单位冲激响应 h(t) 的 (LtT) I系统，其特征函数，
相应的特征值是什么?
解：Q h(t) (t) 的 LTI 系统是恒等系统，所以任何函 数都是它的特征函数，其特征值为 1。
例:如果一个LTI系统的单位冲激响应为， h(t) (t T)
（完整版）连续时间信号傅里叶级数分析及matlab实现
（完整版）连续时间信号傅⾥叶级数分析及matlab实现课程设计任务书学⽣姓名:专业班级:指导教师:⼯作单位:题⽬:连续时间信号傅⾥叶级数分析及MATLAB实现初始条件：MATLAB 6.5要求完成的主要任务：深⼊研究连续时间信号傅⾥叶级数分析的理论知识，利⽤MATLAB强⼤的图形处理功能，符号运算功能以及数值计算功能，实现连续时间周期信号频域分析的仿真波形。
1.⽤MATLAB实现周期信号的傅⾥叶级数分解与综合。
2.⽤MATLAB实现周期信号的单边频谱及双边频谱。
3.⽤MATLAB实现典型周期信号的频谱。
4.撰写《MATLAB应⽤实践》课程设计说明书。
时间安排：学习MATLAB语⾔的概况第1天学习MATLAB语⾔的基本知识第2、3天学习MATLAB语⾔的应⽤环境，调试命令，绘图能⼒第4、5天课程设计第6-9天答辩第10天指导教师签名：年⽉⽇系主任（或责任教师）签名：年⽉⽇⽬录摘要............................................................................................................................................ ABSTRACT ..............................................................................................................................绪论............................................................................................................................................1 MATLAB简介 ......................................................................................................................1.1MATLAB语⾔功能........................................................................................................1.2MATLAB语⾔特点........................................................................................................2 连续时间周期信号的傅⾥叶级数 .......................................................................................2.1连续时间周期信号的分解 .............................................................................................2.1.1 三⾓形式的傅⾥叶级数 ..........................................................................................2.1.2 指数形式的傅⾥叶级数 ..........................................................................................2.2连续时间周期信号的傅⾥叶综合 .................................................................................2.3吉布斯现象 ......................................................................................................................3 连续时间周期信号的频谱分析 ...........................................................................................3.1单边与双边频谱关系......................................................................................................3.2以单边幅度频谱为例，研究脉冲宽度与频谱的关系..................................................3.3以单边幅度频谱为例，研究脉冲周期与频谱的关系..................................................4 典型周期脉冲的频谱 ...........................................................................................................4.1周期⽅波脉冲频谱的MATLAB实现 ..........................................................................4.1.1 周期⽅波脉冲双边频谱的MATLAB实现 ...........................................................4.1.2 周期⽅波脉冲单边频谱的MATLAB实现 ...........................................................4.2周期三⾓波脉冲频谱的MATLAB实现 .....................................................................4.2.1 周期三⾓波双边频谱的MATLAB实现 ...............................................................4.2.2 周期三⾓波单边频谱的MATLAB实现 ...............................................................5⼩结即⼼得体会.....................................................................................................................致谢............................................................................................................................................参考⽂献....................................................................................................................................附录............................................................................................................................................摘要MATLAB⽬前已发展成为由MATLAB 语⾔、MATLAB ⼯作环境、MATLAB 图形处理系统、MATLAB 数学函数库和MATLAB 应⽤程序接⼝五⼤部分组成的集数值计算、图形处理、程序开发为⼀体的功能强⼤的系统。
周期信号的连续时间傅里叶级数
傅里叶级数的收敛性取决于信号的形状和频率范围。对于具有快速衰减特性的信号，其傅里叶级数可 能具有良好的收敛性；而对于具有缓慢衰减特性的信号，其傅里叶级数可能具有较差的收敛性。在实 际应用中，通常需要对信号进行截断或加窗处理，以提高傅里叶级数的收敛性。
傅里叶级数的重要性和应用价值
信号分析
傅里叶级数提供了将周期信号 分解为正弦和余弦波的方法，
是信号分析中的重要工具。
通信系统
在通信系统中，傅里叶级数用 于信号调制和解调，实现信号 的传输和接收。
控制系统
在控制系统中，傅里叶级数用 于频域分析和系统稳定性分析 。
物理和工程领域
在物理、化学、生物和工程领 域，傅里叶级数用于分析各种
DTFS的主要应用包括信号分析和数字信号处理中的频谱分析。
快速傅里叶变换（FFT）
1
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算离散 傅里叶变换（DFT）和其逆变换的算法。
2
FFT的主要思想是将长度为$N$的DFT分解为多 个较短的DFT，然后利用旋转因子的周期性和对 称性来减少计算的复杂度。
3
FFT的出现极大地促进了数字信号处理领域的发 展，使得实时信号处理成为可能。
滤波器设计
滤波器是信号处理中的重要元件，用于提取或抑制特定频率范围的信号。通过傅 里叶级数，可以设计出各种类型的滤波器，如低通、高通、带通和带阻滤波器等 。
滤波器设计在音频处理、图像处理、雷达和通信等领域有广泛应用，例如在音频 处理中可以通过滤波器来消除噪音或增强特定音色。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
实验三连续周期性时间信号的傅里叶级数
一、实验目的：
1. 进一步掌握MATLAB子函数的表示方法
2. 深刻理解傅里叶级数的信号分解理论及收敛性问题
3. 理解周期性信号的频谱特点。
二、实验原理
傅里叶级数
设有连续时间周期信号，它的周期为T，角频率，且满足狄里赫利条件，则该周期信号可以展开成傅里叶级数，即可表示为一系列不同频率的正弦或复指数信号之和。
傅里叶级数有三角形式和指数形式两种。
1. 三角形式的傅里叶级数：
式中系数，称为傅里叶系数，可由下式求得：
[
2. 指数形式的傅里叶级数：
式中系数称为傅里叶复系数，可由下式求得：
周期信号频谱具有三个特点：
（1）离散性，即谱线是离散的；
（2）谐波性，即谱线只出现在基波频率的整数倍上；
（3）收敛性，即谐波的幅度随谐波次数的增高而减小。
周期信号的MATLAB表示
周期信号的傅里叶分解用Matlab进行计算时，本质上是对信号进行数值积分运算。
在Matlab中有多种进行数值积分运算的方法，我们采用quadl函数，它有两种其调用形式。
(1) y＝quadl(‘func’, a, b)。
其中func是一个字符串，表示被积函数的.m文件名（函数名）；a、b分别表示定积分的下限和上限。
(2) y＝quadl(@myfun, a, b)。
其中“@”符号表示取函数的句柄，myfun表示所定义函数的文件名。
例：
用MATLAB计算脉冲宽度T1 = 2；周期T = 4的周期性脉冲信号的复傅里叶级数，分别画出N = -2:2， -10:10， -50:50， -200:200的傅里叶级数展开及合成，观察吉普斯效应。
画出T = 4， T =8下的双边谱
A.首先创建一个子函数singRect（t, T1），表示单个脉冲信号，时间为t，宽度为T1。
function y = singRect(t, T1)
y = (abs(t) <= T1);
end
B.创建傅里叶积分的被积子函数
function y = rectExp(t, k, w)
y = (abs(t) <= 1) .* exp(-1j*k*w*t);
end
C.创建子函数用于傅里叶级数计算及合成
function [x, ak] = fourierSeries(N, t)
T1 = 1;
T = 4; w = 2 * pi/T;
ak = zeros(1, 2 * N + 1);
for i = 1:2*N+1 %傅里叶分解，计算傅里叶系数ak
ak(i) = quadl(@(t)fsInt(t, i - N - 1, w, T1), -2, 2)/T;
end;
x = 0;
for i = 1:2*N + 1 %傅里叶级数合成
x = x + ak(i) * exp(1j*(i - N - 1)*w*t);
end
end
D.创建main函数，计算不同N下的傅里叶级数及合成。
T1 = 1;
T = 4;
t = -T/2:0.001:T/2;
figure,
subplot 221,
N = 2;
[x, ak] = fourierSeries(N, t);
plot(t, singRect(t, T1), 'k');
hold on ;
plot(t, real(x), 'r'); title('N = 2'); xlim([-2 2]);
subplot 222, N = 10;
[x, ak] = fourierSeries(N, t); plot(t, singRect(t, T1), 'k'); hold on ;
plot(t, real(x), 'r'); title('N = 10'); xlim([-2 2]);
subplot 223, N = 50;
[x, ak] = fourierSeries(N, t); plot(t, singRect(t, T1), 'k'); hold on ;
plot(t, real(x), 'r'); title('N = 50'); xlim([-2 2]);
subplot 224, N = 200;
[x, ak] = fourierSeries(N, t); plot(t, singRect(t, T1), 'k'); hold on ;
plot(t, real(x), 'r'); title('N = 300'); xlim([-2 2]);
运行结果如下图所示，可以看到明显的Gibbs 效应，随着N 的增加，合成越接近于原信号，但Gibbs 效应仍然存在。
N = 2
N = 10
N = 50
N = 300
T1 = 1, T = 8
T1 = 1, T = 4
上图是不同T下的频谱，可以看到T越大，谱线越密。
四、作业
计算连续周期性三角波的傅里叶级数，设周期为 T = 5s，画出N = 5；N = 10；N = 100；N = 300时的傅里叶级数合成图。
并画出T = 5,10,20的傅里叶系数a k。
function y=FsIntegralFunc(t,k,T,width)
w=2*pi/T
y=tripuls(t,width,0).*exp(-1j*k*w*t);
end
function ak=fourierSeries(t,k,T,width)
ak=quadl(@(t)FsIntegralFunc(t,k,T,width),-T/2,T/2)/T;
end
N=input('please Input N= ');
k=-N:N
width=4;
T=5;
t=-T/2:0.01:T/2;
w=2*pi/T;
ak=zeros(1,length(k));
x=0;
N=10
figure;
for m=-N:N;
ak(m+N+1)=fourierSeries(t,m,T,width);
x= x + ak(m+N+1) * exp(1j*m*w*t);
end
stem(k,real(ak),'k');
title('傅里叶系数ak')
xlabel('T=5');
figure('name','信号的合成');
plot(t,tripuls(t,width,0));
hold on;
plot(t,x,'r');
title(‘N= ’)
T=5
傅里叶系数ak
T=10
傅里叶系数ak
T=20。