电路原理之电容元件与电感元件

5.1 电容元件
5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.5 5.1.6 （理想）电容元件的定义 电容元件的伏安特性 电容元件的储能 电容电压的连续性和记忆性 电容元件的串、并联 电容器的参数和电路模型
5.1.1 （理想）电容元件的定义
电容器：把两块金属板用介质隔开就构成了一个 简单的电容器。 电容器是一种存贮电荷的器件（因为介质不导电， 所以极板上的电荷不会中和，能长久地存贮下 去）（存贮电场能量) 理想电容器：只存贮电荷从而在电容器中建立电 场，而没有其他的作用。即：理想电容器应该 是一种电荷与电压相约束的器件。
wC ( µ J )
1 3 5 7 9
t (ms)
解：
d u (t) i(t) = C dt
p (t) = i(t) u (t)
wC (t ) =
或
∫
t
0
p (ξ ) d ξ + w C ( 0 )
1 2 wC (t ) = C u (t ) 2
5.1.4 电容的特点
*电压有变化，才有电流。
du ( t ) i(t ) = C dt
i(t) 1m H +
解：
u(t) -
1 i(t ) = i(0) + L
∫
t
0
u (ξ ) d ξ
p (t ) = i(t ) u (t )
其中 t0 为初始时刻，i(t0) 为初始电流。
分段积分求表达式 。
1 0 < t < 1 ms 0 1 ms < t < 3 ms u ( t ) = − 1 3 ms < t < 5 ms 0 5 ms < t < 7 ms 1 7 ms < t < 8 ms
5.1.5 电容元件的串、并联
*串联 n个电容相串联的电路，各电容的端电流为同 一电流 i。
i + +
C1
u1 -
C2
+ u 2
Cn
+ un -
i
+
u -
u
-
Ceq
根据电容的伏安关系，有
1 u1 = C1 1 ∫−∞ idξ , u 2 = C 2
t
1 ∫−∞ idξ ,......, u n = C n
*电容可储能，不耗能，是无源元件。其储能公式为
1 2 wC (t) = C u (t) 2
*电容电压具有记忆性：
1 u (t ) = u (t0 ) + C
∫
t
t0
i (ξ ) dξ
= U + u 1( t )
即：一个已充电的电容可等效为一个电压源串联 一个未充电的电容。电压源的值为t0时电容两端 的电压U。
内为有界的，则电感电流iL(t)在开区间（ ta,tb ）内为连 续的。特别是，对任意的 ta<t<tb,有 iL (t-)=iL (t+) 换路定理
*电感可储能，不耗能，是无源元件。其储能公式为 1 w L (t ) = L i 2 (t ) 2
*电感电流具有记忆性：
1 t i (t ) = i (t0 ) + ∫ u (ξ )dξ L t0
q(t ) = Cu (t )
其中：q—电荷，单位：库仑（c） u—电压，单位：伏特（v） C—电容（正常数），单位：法拉（F）
5.1.2 电容元件的伏安特性
i (t) +
*若 u 与 i 取关联参考方向， 有
+ C
u(t) -
dq ( t ) d ( Cu ) du ( t ) i(t) = = = C dt dt dt
*若 u 与 i 取非关联参考方向，则
dψ (t) d i(t) u (t) = − = −L dt dt
5.2.3 电感元件的储能
关联参考方向下，电 感吸收的电功率为：
i(t)
L
+ u(t) -
d i(t) p (t) = i(t) u (t) = i(t)L dt
从 t0 时刻到目前时刻 t，电感吸ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的电能（即 磁场能量的增量）为：
L
C
C
G
C
G
5.2 电感元件
5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 5.2.5 5.2.6 （理想）电感元件的定义 电感元件的伏安特性 电感元件的储能 电感元件的特点 电感元件的串、并联 电感线圈的参数和电路模型
5.2.1 （理想）电感元件的定义
电感元件的定义：一个二端元件，如果在任一时刻t， 它的电流 i(t) 同它的磁链 ψ(t) 之间的关系可以用i- ψ 平面上的一条曲线来确定，则此二端元件称为电感 元件。
电感元件的符号
i ( t ) ψ ( t) + u (t )
-
（取 i(t) 与 ψ(t) 的参考方向符合右手螺旋则。）
电感元件的定义式： （线性时不变）电 感元件的定义式：
f ( i ( t ), ψ ( t )) = 0
ψ (t) = L i(t)
其中： ψ－磁通链，单位：韦伯（Wb） i－电流，单位：安培（A） L－电感（正常数），单位：亨利（H）
Ceq可称为n个电容串联的等效电容。
*并联 n个电容相并联的电路，各电容的端电压是同 一电压 u。
i
+
i
i1 i2
C2 Cn
in +
u
-
C1
u
-
Ceq
根据电容的伏安关系，有
du du du i1 = C1 , i2 = C 2 ,..., in = C n dt dt dt
由KCL，端口电流
du du i = i1 + i2 + ... + in = (C1 + C 2 + ... + C n ) = C eq dt dt
= I + i1(t )
即：一个具有初始电流的电感，i（t0）=I；可等效为 一个电流源并联一个初始电流为0的电感。电流源的 值为t0时电感的电流I 。
5.2.5 电感元件的串、并联
*串联 n个电感相串联的电路，流过各电感的电流为同 一电流 i。 根据电感的伏安关系，第k个（k=1,2,3,…,n)电感 的端电压 uk = Lk di 和KVL，可求得n个电感相
式中 C eq = C1 + C 2 + ... + C n = Ceq为n个电容并联的等效电容。
∑C
k =1
n
k
例: 如图所示电路，各个电容器的初始电压均为零， 给定 C1 = 1F , C2 = 2 F , C3 = 3F , C4 = 4 F试求ab间的等 值电容C C4 C1 a 解：C = C1C2 = 1× 2 = 2 F 12
−3
3
5 ×10 − 3 t
−3
3
∫
7 ×10 − 3
5.2.4 电感元件的特点
*电流有变化，才有电压。
d i(t) u (t) = L dt
i(t) L
+ u(t) -
*在直流稳态电路中，电感可视作短路。
8Ω 2Ω 10V 6Ω L
8Ω 10V
2Ω
6Ω
*电感电流具连续性：若电感电压u (t)在闭区间［ta,tb］
0dξ = 1 A
i ( t ) = i ( 3 × 10 i ( t ) = i ( 5 × 10 i ( t ) = i ( 7 × 10
) + 10 ) + 10 ) + 10
∫ ∫
t
3 ×10 − 3 t
− 1 d ξ = 4 − 10 3 t A 0dξ = −1 A 1 d ξ = − 8 + 10 3 t A
i ( t ) = i ( 0 ) + 10 i ( t ) = i (10
−3
3
∫
t
0
1 d ξ = 10 3 t A
3
0 < t ≤ 1 ms 1 ms < t ≤ 3 ms 3 ms < t ≤ 5 ms 5 ms < t ≤ 7 ms 7 ms < t ≤ 8 ms
) + 10
−3
∫
t
10 − 3 3
可视作开路。
8Ω 10V
i (t)
+
C
u(t) -
*具有隔直流作用，在直流稳态电路中，电容
2Ω
8Ω
C
10V
2Ω
*电容电压具有连续性：若电容电流i(t)在闭区间［ta,tb］ 内为有界的，则电容电压uc(t)在开区间（ ta,tb ）内为连 续的。特别是，对 ta<t<tb,有 uc(t-)=uc(t+) 换路定理
w L [t0 , t ] =
∫
t t0
p (ξ ) d ξ =
1 = L 2
[i
∫
i(t) i ( t0 )
L i di
2
( t ) − i 2 ( t0 )
]
若取尚未建立磁场时刻为初始时刻，可得 t 时 刻电感的储能为：
1 2 w L (t) = L i (t) 2
例：已知电感两端电压波形 如图所示，i(0)=0，求 电感的电流及功率 。
电容元件的定义：一个二端元件，如果在任 一时刻 t，它的电荷 q(t) 同它的端电压 u(t) 之间的关系可以用 u-q 平面上的一条曲线来 确定，则此二端元件称为电容元件。 电容元件的符号 （采用关联）：
i（t）+q
-q
+ U（t）-
如果u-q平面上的特性曲线是一条通过原点的直 线，且不随时间而变，则此电容称线性时不变 电容：
C1 + C2
1+ 2
3
C3 b
C2
2 11 ′ = C12 + C3 = + 3 = F C3 3 3
ab间等值电容为
11 4× ′ C 4 C3 3 = 1.913F Cab = = 11 ′ C 4 + C3 4+ 3
5.1.6 电容器的参数和电路模型
电容器的两个主要参数：电容，额定电压。 电容器的电路模型：
第五章 电容元件与电感元件
元件的伏安关系涉及对电流、电压的微分 或积分，则称这种元件为动态元件（dynamic element）如电容、电感。 包含动态元件的电路称为动态电路。
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5.1 电容元件 5.2 电感元件 5.3 一阶线性常系数微分方程的求解 5.4 二阶线性常系数微分方程的求解 5.5 例题
5.1.3 电容元件的储能
关联参考方向下，
i (t)
+
C
u(t) -
电容吸收的电功率为：
du ( t ) p (t ) = u (t )i(t ) = u (t )C dt
从 t0 时刻到目前时刻 t，电容吸收的电能（即 电场能量的增量）为：
w C [t0 , t ] =
∫
t t0
p (ξ ) d ξ =
1 = C 2
[u
∫
u (t) u ( t0 ) 2
C u du
2
(t) − u
( t0 )
]
若取尚未充电时刻为初始时刻，可得 t 时刻电 容的储能为：
1 2 wC (t) = C u (t) 2
例：已知电容两端电压波形 如图所示，求 电容的 电流、功率及储能 。
i (t)
+
1µF
u(t) -
0.5
dt
串联的等效电感
L eq =
∑
n
k =1
Lk
i + +
L1 u1 -
L2 + u 2
Ln + un -
i
+
u -
u -
Leq
*并联 n个电感相并联的电路，各电感的端电压是同一 电压u。根据电感的伏安关系，第k个（k=1,2, 1 t 3,…,n)电感的电流 ik = ∫−∞ udξ 和KCL，可求 Lk 得n个电感相并联时的等效电感Leq
1 u ( t ) = u ( t0 ) + C
∫
t t0
i (ξ ) d ξ
其中 t0 为初始时刻，u(t0) 为初始电压。
*若 u 与 i 取非关联参考方向， 则
dq ( t ) du ( t ) i(t) = − = −C dt dt
*即：某时刻电容的电流取决于该时刻电 容电压的变化率；电压有变化，才有电 流；具有隔直作用，在直流电路中，电 容可视开路。
Leq的倒数表示式为
1 L eq
i
+ i1 L2 i2
=
∑
n
k =1
1 Lk
i
+
u L1 -
Ln
u -
Leq
i1 A L1 例：如图所示电路，给定 L1 = 1H , L2 = 2 H , L3 = 3H , i2 (0 − ) = 2 A, i3 (0 − ) = 3 A 试确定其最简单的等值电路。 L 解：在t=0 ，应用KCL于A点，得L i2 L2 L3 i3
5.2.2 电感元件的伏安特性
*若 u 与 i 取关联参考方向，
根据电磁感应定律，有
i(t)
L
+ u(t) -
dψ (t) d (L i) d i(t) u (t) = = = L dt dt dt
1 i ( t ) = i ( t0 ) + L
∫
t t0
u (ξ ) d ξ
其中 t0 为初始时刻，i(t0) 为初始电流。
t
∫
t
−∞
idξ
由KVL，端口电压
u = u1 + u2 + L + un
1 1 1 t 1 = C + C +L+ C ∫−∞ idξ = C 2 n eq 1
∫
t
−∞
idξ
n 1 1 1 1 1 式中 = + + ... + =∑ C eq C1 C 2 C n k =1 C k
中的初始电流为
-
1
L23
i1 (0 − ) = i2 (0 − ) + i3 (0 − ) = 2 + 3 = 5 A
L2 × L3 2 × 3 图中 L23 = = = 1.2 H L2 + L3 2 + 3 L = L1 + L23 = 1 + 1.2 = 2.2 H