非线性系统的分析方法
自动控制原理非线性分析知识点总结
自动控制原理非线性分析知识点总结自动控制原理是工程领域中的一门重要学科，它研究的是如何通过设备和技术手段，使得系统的运行能够自动控制并满足特定的性能要求。
非线性分析则是探讨系统在非线性条件下的行为特性。
在这篇文章中，我们将对自动控制原理中的非线性分析知识点进行总结。
一、非线性系统的定义与特点非线性系统是指系统的输出与输入之间的关系不是简单的比例关系，而是呈现出非线性的特征。
与线性系统相比，非线性系统具有以下几个特点：1. 非线性叠加性：系统的输出并不是输入信号的简单叠加，而是受到系统自身状态和非线性特性的影响。
2. 非线性失稳性：非线性系统可能会出现失稳现象，即系统的输出会趋向于无穷大或无穷小。
3. 非线性动态行为：非线性系统在输入信号发生变化时，其输出信号的变化可能是不连续的，出现跳跃、震荡等现象。
二、非线性系统的分析方法1. 相平面分析法：通过绘制相平面图，可以直观地了解系统的非线性行为。
相平面图可以显示出系统的轨迹、奇点等信息，帮助我们分析系统的稳定性和动态特性。
2. 频域分析法：利用频域分析方法，我们可以对非线性系统进行频谱分析，找出系统的频率响应和频率特性。
通过分析系统的幅频特性和相频特性，我们可以判断系统的稳定性和动态性能。
3. 时域响应分析法：时域分析是对系统的输入信号与输出响应进行时间上的观察和分析。
通过观察和分析系统的阶跃响应、脉冲响应、频率响应等，可以推断出系统的稳定性和动态特性。
4. 广义函数法：广义函数是处理非线性系统时常用的一种数学方法。
通过引入广义函数，我们可以简化非线性系统的数学描述，方便进行分析与计算。
5. 数值模拟方法：对于复杂的非线性系统，我们可以利用计算机进行仿真和数值模拟，通过对系统的模拟实验，得到系统的动态行为和性能参数。
三、非线性系统的稳定性分析1. 稳定性概念：稳定性是衡量系统响应的一种重要指标。
对于非线性系统，我们通常关注的是渐近稳定性和有界稳定性。
非线性分析
非线性分析非线性分析是一种数学方法，用于研究非线性系统和非线性现象，它在物理、化学、生物学、工程学等领域中具有重要的应用价值。
非线性系统是指系统的输出与输入之间存在非线性关系的系统，与线性系统不同，非线性系统具有更加复杂的行为和性质。
非线性现象是指系统在一定条件下呈现出的非线性特征，例如混沌现象、自激振荡等。
非线性分析的目的是揭示和理解非线性系统和非线性现象的运动规律和性质，以及探索其产生的机理。
非线性分析的基本方法包括：稳定性分析、周期解和庞加莱映射、分岔理论、混沌分析等。
其中，稳定性分析是研究非线性系统的重要方法之一，它用于判断非线性系统在特定条件下的稳定性和不稳定性。
周期解和庞加莱映射是研究非线性系统周期运动的方法，通过庞加莱映射可以描述系统从一个周期解转移到另一个周期解的运动轨迹。
分岔理论是研究非线性系统的分岔现象和相变行为的方法，它描述了系统参数变化时，系统状态从一个平衡态转移到另一个平衡态的过程。
混沌分析是研究非线性系统的混沌现象和运动的方法，混沌现象是指系统的运动表现出无序、不可预测的特征。
非线性分析的应用广泛，例如在物理学中，非线性分析可以用于研究天体运动、气候系统、相变行为等；在化学领域，非线性分析可以用于探索反应动力学、化学平衡等问题；在生物学中，非线性分析可以用于研究生物进化、神经网络等；在工程学中，非线性分析可以应用于控制系统、信号处理等方面。
非线性分析提供了一种新的视角和方法，帮助人们深入理解和探索复杂系统和现象的本质。
总之，非线性分析是一种重要的数学方法，用于研究非线性系统和非线性现象，它在各个领域中具有广泛应用。
随着科学技术的不断发展，非线性分析将为我们揭示更多复杂系统和现象的奥秘，为人类的进步和发展做出更大的贡献。
非线性系统的分析与控制
非线性系统的分析与控制一、引言非线性系统是指系统的输入与输出之间存在着非线性关系的一类系统。
非线性系统由于其复杂性和多样性，已经成为了现代自动控制与系统工程中的一个热门研究领域。
非线性系统的分析与控制是目前自动控制领域研究的重点之一。
本文主要介绍非线性系统的分析和控制方法。
二、非线性系统的描述非线性系统是指系统输入和输出之间存在非线性关系的系统。
非线性系统可以用数学模型来描述。
常见的一些非线性数学模型有：常微分方程、偏微分方程、差分方程、递推方程等。
非线性系统的特性可以归纳为以下几个方面：1.非线性系统的输入和输出之间存在非线性关系，即输出不是输入的线性函数。
2.非线性系统的行为不稳定，其输出随时间而变化。
3.非线性系统的行为是确定的，但是通常不能被解析地表示。
4.一些非线性系统可能会表现出周期性或者混沌现象。
三、非线性系统的分析方法对非线性系统进行分析是了解和掌握其行为的前提。
主要的分析方法有线性化法和相平面法。
1.线性化法线性化法是将非线性系统在某一特定点附近展开成一系列的一阶或者二阶泰勒级数，然后用线性系统来代替非线性系统，进而对非线性系统进行分析。
线性化法的优点是简单易行，但是必须要求非线性系统在特定点附近的行为与线性系统相似，否则线性化法就失效了。
2.相平面法相平面法通过画出非线性系统的相图来表示系统的行为，较常用的是相轨线和极点分析法。
相轨线是用非线性系统的相图来描述其行为。
相图是将系统的状态表示为一个点，它的坐标轴与系统的每个状态变量相关。
极点分析法则是在相平面上找出使系统输出输出的状态点，然后找出与这些状态点相关的所有极点，以确定出系统的稳定性。
四、非线性系统的控制方法目前，非线性系统的控制方法主要包括反馈线性化控制、自适应控制、滑动模式控制和模糊控制等。
1.反馈线性化控制反馈线性化控制方法以线性控制理论为基础，将非线性系统通过反馈线性化方法转化为等效的线性控制系统，以便使用线性控制理论进行控制。
非线性系统的分析与建模方法
非线性系统的分析与建模方法一、引言非线性系统在自然界和工程领域中都具有广泛的应用。
与线性系统不同，非线性系统的行为更加复杂，因此需要采用特定的分析和建模方法来研究和描述其特性。
本文将介绍几种常用的非线性系统分析与建模方法，包括：物理建模法、数学建模法和仿真建模法。
二、物理建模法物理建模法是一种基于系统物理特性的建模方法。
它通过观察和理解系统的运动规律、力学关系等，将系统的动力学方程用物理定律进行描述。
这种建模方法对系统的结构具有较高的透明度，能够提供直观的物理解释。
以弹簧振子为例，我们可以建立基于胡克定律的弹簧振动方程，进而通过数值求解等方法来分析其非线性振动特性。
三、数学建模法数学建模法是基于数学模型的建模方法。
它通过将系统的运动规律、状态方程等用数学表达式进行描述，从而分析系统的稳定性、收敛性和动态响应等特性。
常见的数学建模方法包括微分方程、差分方程和迭代公式等。
例如，我们可以使用非线性微分方程来描述电路中的非线性元件，进而分析电路的响应特性。
四、仿真建模法仿真建模法是基于计算机模拟的建模方法。
它通过利用计算机软件来模拟非线性系统的运行过程，从而分析系统的行为和性能。
仿真建模法能够提供较为准确的系统响应结果，具有较高的灵活性和可重复性。
常用的仿真建模软件包括Matlab、Simulink等。
我们可以通过建立系统的状态空间模型，在仿真环境中进行参数调整和系统分析。
五、综合方法实际应用中，为了更准确地研究非线性系统，常常需要综合运用多种建模方法进行分析。
在具体建模过程中，可以从物理建模、数学建模和仿真建模等角度综合考虑系统的性质和特点。
例如，对于复杂的非线性电路系统，可以首先通过物理建模法确定电路中的非线性元件，然后利用数学建模法建立系统的方程，最后使用仿真建模法验证和分析系统的行为。
六、总结非线性系统的分析与建模是一个复杂而关键的任务。
本文介绍了物理建模法、数学建模法和仿真建模法等常用的方法。
非线性系统分析方法
解：1. 死去继电特性的描述函数
4M N(X)
1 ( )2
X
X
2. 绘制描述函数的负倒数特性
1
X
N(X ) 4M 1 ( )2
X
3. 绘制线性部分的极坐标图
4. 判断稳定性，分析两曲线相交点的性质
1 N(X)
X
-1.56 300 400 B -1 -0.5
X 130 A 140
120 G(j)
趋于奇点 远离奇点 包围奇点
例：二阶线性定常系统
••
•
x 2n x n2 x 0
试分析其奇点运动性质。
dx/dt x
稳定节点
••
•
x 2n x n2 x 0
dx/dt x
1
稳定节点
相轨迹趋于原点，该奇点称为 稳定节点
••
•
x 2n xn2 x 0
dx/dt x
1
不稳定节点
相轨迹远离原点，该奇点为 不稳定节点
者是自持振荡的
自持振荡点 a 振荡幅值=Xa
振荡频率=a
Im Re
X a
0
1 G(j) N ( X )
例：已知死区继电非线性系统如图
R(s)
+M
460
C(s)
+-
- -M
( j)(0.01 j 1)(0.005 j 1)
继电参数： M 1.7 死区参数：Δ 0.7 应用描述函数法作系统分析。
•
x
-1 -5/4
-3/2
-5/3
=
-2
-3/7
-3
-5 - x
3
1 1/3
0 -3/4 -1/2 -1/3
第7章非线性系统分析
描述函数的定义是：输入为正弦函数时，输 出的基波分量与输入正弦量的复数比。
其数学表达式为
N
X
R
X
Y1
sin(t X sint
1)
Y1 X
1
A12 B12 arctan A1
A1
1
2
y(t) costdt
0
X
B1
1
B1
2
y(t ) sin tdt
0
7.3 非线性特性的描述函数法
（2）举例说明描述函数
(1) 降低了定位精度，增大了系统的静差。 (2) 使系统动态响应的振荡加剧，稳定性变坏。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
4.摩擦特性
Mf
M1 •
M2
•
M f 摩擦力矩
转速
M1 静摩擦力矩
M 2 动摩擦力矩
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
摩擦特性的影响
(1)对随动系统而言，摩擦会增加静差，降低精 度。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
2.饱和特性
x1 a ，等效增益 为常值，即线性段 斜率；
而 x1 a ，输出饱
和，等效增益随输 入信号的加大逐渐 减小。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
饱和特性的影响
(1) 饱和特性使系统开环增益下降， 对动态响应的 平稳性有利。
(2) 如果饱和点过低，则在提高系统平稳性的同时， 将使系统的快速性和稳态跟踪精度有所下降。
7.3 非线性特性的描述函数法
KX sint
y(t) Ka
0 t 1 1 t / 2
∵ y(t) 单值奇对称， A0 0 A1 0
B1
4
第7章 非线性系统的分析
某一初始条件出发在相平面上按照式(7-13)或式(7-14)绘出的
曲线称为相平面轨迹,简称相轨迹。不同初始条件下构成的
相轨迹,称为相轨迹簇。由相轨迹簇构成的图称为相平面图。
利用相平面图分析系统性能的方法,称为相平面分析法。
图7-6为某个非线性系统的相平面图。图中,相轨迹上的
箭头表示相变量随着时间的增加沿相轨迹运动的方向。
第7章 非线性系统的分析 7.2 相平面分析法
7.2.1 相平面的基本概念 设二阶非线性系统的微分方程为
第7章 非线性系统的分析
第7章 非线性系统的分析
1.相平面和相轨迹
前面已经设定
我们称以x1(或x)为横坐
标、以x2(或 )为纵坐标构成的平面为相平面(注意,纵坐标x2
是横坐标x1的一阶导数),如图7-6所示。x1、x2为相变量。由
7.2.2 线性系统的相轨迹 在学习非线性系统的相平面分析法之前,我们先对非常
熟悉的线性系统做相平面分析。设二阶线性系统的微分方程 为
第7章 非线性系统的分析
也就是说,无论系统特征参数ωn和ξ是何值,系统的奇点是 不变的。此外,式(7-21)的特征方程为
系统的特征根为
对于不同的阻尼比ξ,二阶系统特征根的形式是不同的,而 线性系统的时域响应是由特征根决定的。下面介绍系统特征 根与系统的奇点(0,0)以及相轨迹的关系。
行线性化。我们只研究系统平衡点附近的特性时,就可以采 用平衡点附近的线性化方法,将非线性系统在平衡点附近小 范围线性化。当然,也可以将非线性系统分为几个区域,对每 个区域进行分段线性化。
第7章 非线性系统的分析
2.相平面分析法 相平面分析法简称相平面法,是非线性系统的图解分析 法。其基本思路是:建立一个相平面,在相平面上根据非线性 系统的结构和特性,绘制非线性系统的相轨迹。相轨迹就是 非线性系统中的变量在不同初始条件下的运动轨迹,根据相 轨迹就可以对非线性系统进行分析。该方法只适用于一阶和 二阶非线性微分方程。
非线性系统分析方法
非线性系统分析方法8-1 概述一、教学目的和要求了解研究非线性系统的意义、方法，常见非线性特性种类。
二、重点内容非线性概念，常见非线性特性。
三、教学内容：1 非线性系统概述非线性系统运动的规律，其形式多样，线性系统只是一种近似描述。
（1）非线性系统特征—不满足迭加原理1)稳定性：平衡点可能不只一个，系统的稳定性与系统结构参数、初始条件及输入有关。
2)自由运动形式，与初条件，输入大小有关。
3)自振，自振是非线性系统特有的运动形式，它是在一定条件下，受初始扰动表现出的频率，振幅稳定的周期运动。
（2）非线性系统研究方法1)小扰动线性化处理（第二章介绍）2)相平面法-----分析二阶非线性系统运动形式3)描述函数法-----分析非线性系统的稳定性研究及自振。
2、常见非线性因素对系统运动特性的影响：1）死区：(如：水表，电表，肌肉电特性等等)饱和对系统运动特性的影响：进入饱和后等效K ↓⎪⎩⎪⎨⎧↓↑↓↓，快速性差限制跟踪速度，跟踪误统最多是等幅振荡）（原来不稳，非线性系振荡性统一定稳定）原来系统稳定，此时系(%σ死区对系统运动特性的影响：⎪⎩⎪⎨⎧↓↓↑↓动不大时）］此时可能稳定（初始扰［原来不稳定的系统，，振荡性声，提高抗干扰能力差），能滤去小幅值噪跟踪阶跃信号有稳态误等效%(e K ssσ 可见：非线性系统稳定性与自由响应和初始扰动的大小有关。
2） 饱和(如运算放大器，学习效率等等)3） 间隙：(如齿轮，磁性体的磁带特性等)间隙对系统影响：1) 间隙宽度有死区的特点----使ss e ↓2) 相当于一个延迟τ时间的延迟环节,%σ→↑ 振荡性减小间隙的因素的方法：(1)提高齿轮精度 ； (2)采用双片齿轮； (3)用校正装置补偿。
5） 摩擦(如手指擦纸) 摩擦引起慢爬现象的机理改善慢变化过程平稳性的方法1)2)3)⎧⎪⎨⎪⎩、良好润滑、采用干扰补偿、增加阻尼，减少脉冲，提高平衡性摩擦对系统运动的影响：影响系统慢速运动的平稳性6)继电特性：对系统运动的影响：1)K (2K %3)ss e σ⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎧↑⎪⎪⎪⎧↓⎨⎨⎪⎨⎪⎪↓⎪⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎩一、二阶系统可以稳定、理想继电特性 等效： 一般地，很多情况下非线性系统会自振带死区))、带死区继电特性 等效： 快态影响（死区+饷）的综合效果振荡性、一般继电特性：除3、2中听情况外，多出一个延迟效果（对稳定性不利）8-2 相平面法一、教学目的和要求：掌握相平面概念及分析方法。
非线性系统的关键问题探讨与分析
非线性系统的关键问题探讨与分析随着科技的发展，现代自然和社会系统已逐渐转向复杂化、多样化和不确定性。
而非线性系统是这些系统中最常见的一类，其本质特征是系统的输出不仅与输入相关，还与系统内部的状态、非线性关系、不可预知的扰动和外部环境等多个因素相关。
因此，研究非线性系统的关键问题成为了当下科学研究的热点之一。
一、非线性系统的问题非线性系统研究的问题主要有两个方面：一是非线性动力学，二是复杂网络。
1. 非线性动力学非线性动力学是研究非线性系统动力学行为、稳态和混沌等的一门学科。
其中最常见的问题是非线性振动和混沌现象。
非线性振动主要研究非线性系统中产生的不同形式的振动，例如固定点、极限环和周期振动等。
而混沌现象则是研究非线性系统中输入微小扰动后出现的不可预测、随机和复杂结果。
混沌的产生是因为非线性系统中的不可重合性、初始条件敏感性和非周期性等特征。
2. 复杂网络复杂网络研究的是由大量节点和连接构成的复杂结构。
其中最常见的问题是网络同步和控制。
网络同步是指在外部扰动作用下，节点之间的状态变化被耦合成为一种同步的状态。
这种同步状态在生物、电力和通信系统等中都有广泛应用。
而控制则是指通过在网络中调节节点之间的耦合强度和拓扑结构等方式，达到控制网络输出的目的。
二、非线性系统的分析方法要研究和控制非线性系统，需要采用一些特殊的分析方法。
目前，研究者已经开发出多种拓扑学、统计学和信息学等方法来解决复杂系统中的非线性问题。
1. 拓扑学拓扑学是研究对象的形状和空间变化特征的学科。
在非线性系统研究中，拓扑学可以用来描述系统的结构和耦合方式。
例如，可以通过网络拓扑结构的分析，确定节点之间的功能关系，并进一步研究同步状态的形成和控制。
2. 统计学统计学是研究数据分布和变化规律的学科。
在非线性系统研究中，统计学可以用来描述混沌系统的统计规律和预测其未来行为。
例如，可以通过时间序列统计分析，确定混沌系统的各种指标，并对其未来状态进行预测。
非线性的分析方法
非线性的分析方法
非线性分析方法指的是对非线性系统进行分析和研究的方法。
在非线性系统中，输出与输入之间的关系不是通过简单的线性函数表达，而是通过复杂的非线性函数来描述。
常见的非线性分析方法包括：
1. 相图（Phase Portrait）分析：通过画出系统状态的相轨迹来分析系统的稳定性和周期性。
2. 极限环（Limit Cycle）分析：寻找和分析系统中存在的极限环，用于描述系统的周期性行为。
3. 哈密顿系统（Hamiltonian System）分析：通过引入哈密顿量和广义动量来描述非线性系统的运动。
4. 哈特曼系统分析：将非线性系统转化为哈特曼系统，并利用哈特曼系统的性质进行分析。
5. 建模与仿真：利用数学建模和仿真技术对非线性系统进行分析和研究。
6. 级数展开法：将非线性系统的输出进行级数展开，通过保留几个重要的项来
近似描述系统的行为。
7. 非线性控制方法：包括反馈线性化、滑模控制、自适应控制等方法，用于设计和实现对非线性系统的控制。
非线性分析方法在物理学、化学、生物学等领域的研究中得到广泛应用，有助于深入理解和掌握非线性系统的行为。
非线性系统的分析与控制方法
非线性系统的分析与控制方法现今，非线性现象随处可见，涉及到的领域包括工程学、物理学、化学、生物学、经济学等。
与此同时，为了满足人类日益增长的需求，我们需要分析与控制这些非线性系统，使其达到我们所希望的状态。
本文将探讨分析与控制非线性系统的常见方法，涵盖了数学模型、稳定性分析、反馈控制等方面的内容。
1. 数学模型一个非线性系统通常可以利用微分方程表达。
微分方程可以是常微分方程或者偏微分方程，这取决于物理系统的特性。
使用数学模型可以对非线性系统进行分析与控制，比如进行数值计算，对系统进行仿真或者进行数值优化。
数学建模可以使用不同的方法，比如解析法、数值法和近似法等。
在实际应用中，通常使用形式化方法来描述系统的行为。
形式化方法涉及到一些形式的逻辑体系来描述现实问题。
它们通常适用于非线性系统的分析、验证和控制，其中一些常见的方法有：模型检验、定理证明和模型检查等。
2. 稳定性分析稳定性分析是对非线性系统的一个重要分析方法，它涉及到系统是否能够维持其稳定性。
稳定性分析包括局部稳定性分析和全局稳定性分析。
局部稳定性分析关注系统是否能够询问某种程度的扰动，而全局稳定性分析关注系统在无论多大的扰动下是否能保持稳定。
通常情况下，对于一个非线性系统，可以通过对其相应线性化系统的特征值进行分析来评估系统是否稳定。
如果相应线性化系统的特征值的实部都为负，则该非线性系统是局部稳定的。
如果相应线性化系统的特征值的实部都为负，并且没有虚部，则非线性系统是全局稳定的。
相反，如果相应线性化系统的特征值具有正实部，那么原始的非线性系统是不稳定的。
3. 反馈控制反馈控制是对非线性系统的适当信息反馈的一种方法，用于实现所需的稳态或动态目标。
在这种方法中，系统的输出信号与输入信号之间存在一定的误差。
通过将该误差反馈到控制器中，可以对系统进行优化，使其达到所需要的目标。
反馈控制方法最常见的类型是Proportional-Integral-Derivative （PID）控制器，它涉及到根据系统的误差信号进行比例反馈（P 项）、积分反馈（I项）和微分反馈（D项）。
第8章-非线性系统分析
令：
方程组可改写为
特征方程
线性化方程组
在一般情况下，线性化方程在平衡点附近的相轨迹与非线性系统在平衡点附近的相轨迹具有同样的形状特征。但是，若线性化方程求解至少有一个根为零，根据李雅普诺夫小偏差理论，不能根据一阶线性化方程确定非线性系统平衡点附近的特性，此时，平衡点附近的相轨迹要考虑高阶项。
(1) 无阻尼运动（=0） 此时系统特征根为一对共轭虚根，相轨迹方程变为
对上式分离变量并积分，得
式中，A为由初始条件决定的积分常数。
初始条件不同时,上式表示的系统相轨迹是一族同心椭圆，每一个椭圆对应一个等幅振动。在原点处有一个平衡点(奇点)，该奇点附近的相轨迹是一族封闭椭圆曲线，这类奇点称为中心点。
图8-1 无阻尼二阶线性系统的相轨迹
(2)欠阻尼运动（01） 系统特征方程的根为一对具有负实部的共轭复根,系统的零输入解为 式中,A、B、为由初始条件确定的常数。时域响应过程是衰减振荡的。
可求出系统有一个位于相平面原点的平衡点（奇点），不同初始条件出发的相轨迹呈对数螺旋线收敛于该平衡点，这样的奇点称为稳定焦点。
5．李雅普诺夫法 李雅普诺夫法是根据广义能量函数概念分析非线性系统稳定性。原则上适用所有非线性系统，但对大多数非线性系统，寻找李雅普诺夫函数相当困难，关于李雅普诺夫法在现代控制理论中作祥解。 6．计算机辅助分析 利用计算机模拟非线性系统，特别上采用MATLAB软件工具中的Simulink来模拟非线性系统方便且直观，为非线性系统的分析提供了有效工具。
例1：确定非线性系统的奇点及附近的相轨迹。
解：令
求得奇点（0，0），（-2，0）。
即
由
（1）奇点（0，0） 线性化方程为
特征根
数学中的非线性分析
数学中的非线性分析数学作为一门广泛应用的学科，涉及到了各个领域的问题和现实情境。
其中，非线性分析作为数学的一个分支，研究了非线性系统和非线性现象的性质和行为。
本文将介绍数学中的非线性分析的概念、方法和应用。
一、非线性分析的概念非线性分析是指研究非线性系统的一种方法和理论体系。
在数学中，线性系统是指满足叠加原理和比例原理的系统，而非线性系统则违背了这两个原理。
非线性分析的主要目标是揭示非线性系统中的规律和性质，为解决实际问题提供理论和方法支持。
二、非线性分析的方法非线性分析有很多方法和技术，其中比较重要的几个包括：1. 相图法：相图法是非线性分析中常用的一种方法，通过绘制系统的相图来研究系统的演化规律。
相图是指在状态空间中描述系统状态变化的图形，可以帮助我们理解和预测系统的稳定性、周期性和混沌性等特征。
2. 跟踪法：跟踪法是非线性分析中用于研究系统解的一种方法，通过跟踪解在参数空间或初始条件空间中的运动轨迹，来揭示系统解的性质和行为。
跟踪法可以帮助我们找到系统的稳定解、周期解和分岔点等重要信息。
3. 分岔理论：分岔理论是非线性分析中的一个重要工具，用于研究系统在参数变化时解的性质和变化规律。
分岔理论可以帮助我们理解系统的结构变化和演化过程，揭示系统的丰富动力学行为。
4. 哈密顿系统理论：哈密顿系统理论是非线性分析中的一个重要分支，研究了哈密顿系统的运动方程、轨道结构和守恒量等性质。
哈密顿系统理论不仅广泛应用于力学、光学等领域，还在控制理论和优化问题中有重要应用。
三、非线性分析的应用非线性分析在实际问题中有广泛的应用，其中一些典型的应用包括：1. 力学系统的分析：非线性分析可以帮助我们研究力学系统的动力学行为和运动规律。
例如，在刚体力学和弹性力学中，非线性分析可以用来研究系统的稳定性和非线性振动现象。
2. 生物科学的研究：非线性分析可以应用于生物科学的研究中，例如用于分析神经网络的稳定性和动力学行为，研究生物体的生物钟和周期行为等。
非线性系统的动力学分析方法研究
非线性系统的动力学分析方法研究非线性系统在自然界和工业应用中都很常见，它的特征是系统的响应与输入并不是简单的比例关系。
因此，在非线性系统的研究和实际应用中，需要运用一些特殊的动力学分析方法，以便更好地了解系统的特点和行为。
本文将介绍一些常见的非线性系统动力学分析方法，并探讨它们的优缺点和应用场景。
1. 相图法相图法基于相空间的概念，通过绘制系统状态变量在相图上的轨迹来揭示系统的动力学特性。
相空间指的是系统状态空间中每一点对应于系统特定时刻的状态。
在相图中，时间沿着轨迹的方向逐渐增加，而轨迹的形态和位置则反映了系统的稳定性和周期性。
相图法的优点是直观、直观、简单，可以很好地表示系统的稳定性和行为。
而且，不需要对系统建立模型，只需要绘制状态变量的轨迹即可。
然而，相图法主要适用于低维系统，高维系统中相图会变得非常复杂，难以可视化和分析。
此外，相图法只适用于不包含噪声和随机扰动的系统，对于这些系统需要使用其他方法进行分析。
2. 极点分布法极点分布法是一种基于系统响应函数的分析方法，它可以揭示系统在频域上的响应特性，并帮助预测系统的稳定性和振荡性。
极点表示了系统响应函数的部分分式展开式中的分母，通过寻找极点的位置可以推断系统的稳定性和振荡特性。
极点分布法可以用来分析例如电路、控制系统等连续时间非线性系统，也可以用来分析数字信号处理系统、数字控制系统等离散时间非线性系统。
极点分布法的优点是灵活性强、容易推断系统的稳定性和振荡特性。
同时，极点分布法可以很好地用于系统设计，因为它可以预测系统的稳定性和振荡性，从而指导系统参数设计和控制。
然而，极点分布法只适用于可以表示成有理函数形式的系统，不适用于非线性系统的分析。
3. 非线性映射方法非线性映射方法是一种用于非线性系统动力学分析的数学工具，它通过将非线性系统映射到另一个空间来揭示系统的动力学特性。
非线性映射方法的代表性算法是混沌理论中的Lyapunov指数方法和分形维数方法。
第七章非线性系统的分析
2、死区非线性
x1 ≤ ∆ 0, x2 = k ( x1 − ∆signx1 ), x1 > ∆
1 signx1 = −1
x1 > 0 x1 < 0
在实际系统中死区可由众多原因引起，它对系统可产生不同的 影响：一方面它使系统不稳定或者产生自振荡；另一方面有时 人们又人为的引入死区特性，使系统具有抗干扰能力。
第七章 非线性控制系统
7-2
1、饱和非线性
kx1 = x2 = ka x2 m −ka = − x 2m
典型非线性环节
x1 < a x1 ≥ a x1 ≤ −a
x2m
x2
−a
0
k
a
x1
此处：输入 x1 − − − − x2 − − − −输出 k − − − −比例系数
− x2m
第七章 非线性控制系统
第七章 非线性控制系统
4）混沌(Chaos)
蝴蝶效应（ The Butterfly Effect） 是指在一个动力系统中，初始条 件下微小的变化能带动整个系统 的长期的巨大的连锁反应。这是 一种混沌现象。 核心理念：看似微不足道的细小 变化，却能以某种方式对社会产 生微妙的影响，甚至影响整个社 会系统的正常运行。
第七章 非线性控制系统
r(t)
e(t)
N(A,ω) NLS
x(t)
G(s)
c(t)
非线性系统的闭环“传递函数”：
G ( jω ) N ( A, ω ) Φ ( jω ) = 1 + G ( jω ) N ( A, ω )
0 闭环“特征方程”： 1 + G ( jω ) N ( A, ω ) =
即
1 G ( jω ) = − N ( A, ω )
第6章 非线性系统分析(用)
6.3.2 典型非线性环节的描述函数
1.死区特性的描述函数
x(t ) X sin t 0 y (t ) k ( X sin t ) 0 0 t t1
t1 t t1 t1 t
t1 arcsin
X
输出
具有饱和死区的单值继 电器
输出 输入
理想继电器
输出
a
输入 输出
2
a
1
a
1
a
2
输入
输入
具有滞环的继电器
具有死区和滞环的继电器 包含有死区、饱和、滞环特性
继电特性的数学描述为：
理想继电器特性
M y M
具有饱和死区的单值继电器
x0 x0
M y 0 M
x a x a x a
5. 非线性增益 大偏差时，具有较大增益加快系统响应。 小偏差时，具有较小增益提高零位附近的 系统稳定性。
输出
输入
在不同输入幅值下，元件或环节具有不同的增益。
6.3 描述函数法
描述函数法主要用于分析非线性系统稳 定性、自持振荡特性及消除自振荡的方法。 虽然是一种近似方法，但对常见实际非线 性系统而言，分析结果基本满足工程需要， 在非线性系统分析及设计中得到了广泛应 用。
1
1 1
4 Xk 2 1 con 2t 2 sin td (t ) d (t ) sin t1 t1 t1 2 4 Xk t1 1 ( sin t1cont1 ) sin t1cont1 ) 4 2 2
电特性有双位特性，三位特性，继电特性还带有滞环。
当然，不限于继电器，其它装置如果具有类似的非线
非线性系统的辨识与动力学分析方法
非线性系统的辨识与动力学分析方法在我们所生活的这个世界中，许多系统的行为并非简单地遵循线性规律，而是展现出复杂且迷人的非线性特征。
从生态系统中的物种繁衍与竞争，到金融市场中的价格波动，再到化学反应中的物质转化，非线性现象无处不在。
理解和把握这些非线性系统对于我们深入认识自然界和人类社会的运行机制具有至关重要的意义。
而要做到这一点，关键在于掌握有效的非线性系统辨识与动力学分析方法。
首先，让我们来谈谈什么是非线性系统。
简单来说，非线性系统就是其输出与输入之间的关系不能用简单的线性方程来描述的系统。
在非线性系统中，微小的输入变化可能会导致巨大的输出差异，这种现象被称为“蝴蝶效应”。
这与线性系统形成了鲜明的对比，在线性系统中，输入的变化与输出的变化成正比，具有良好的可预测性。
那么，如何对非线性系统进行辨识呢？一种常见的方法是基于实验数据的建模。
通过对系统进行一系列的观测和测量，获取大量的数据点。
然后，运用数学工具和统计方法来寻找这些数据之间的潜在规律。
常见的数学模型包括神经网络、支持向量机等。
以神经网络为例，它能够自动从数据中学习复杂的非线性关系，通过调整神经元之间的连接权重来拟合观测数据。
另一种重要的辨识方法是基于物理原理的建模。
对于一些具有明确物理机制的系统，我们可以根据已知的物理定律和方程来构建模型。
例如，在研究天体力学中的行星运动时，可以基于牛顿万有引力定律来建立非线性方程。
这种方法的优点是具有较强的物理基础和解释性，但缺点是对于一些复杂的系统，物理原理可能不够清晰或者难以准确描述。
在完成系统辨识后，接下来就是对非线性系统的动力学进行分析。
动力学分析的一个重要目标是确定系统的稳定性。
稳定性是指系统在受到小的扰动后，是否能够恢复到原来的状态或者趋于一个新的稳定状态。
常用的稳定性分析方法包括李雅普诺夫方法和分岔理论。
李雅普诺夫方法通过构造一个所谓的李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。
如果能够找到一个满足特定条件的李雅普诺夫函数，那么就可以证明系统是稳定的。
非线性系统的分析方法
coskwtd(wt)
(2 3)
G( jw)具有低通率波性,
x2 B1 sin wt C1 coswt
(2 4)
即:x2 (t) x2 sin(wt N )
(2 5)
其中: x2
B12 C12
N
tg 1 C1 B1
在此意义上,可用频率特性方法表示N ( A)特性,即：
N ( A)
当x1 Asin wt, 则x2 f ( Asin wt). 将x2展成傅里叶级数：
n
x2 x0 (Bk sin kwt ck coskwt) k 0
(2 1)
则: x0
x2 (t)dt
0
(关于原点对称)
(2 2)
Bk
2
0
x2
(t)
sin
kwtd(wt
)
2
Ck
0
x2
(t)
(3) 李亚普诺夫方法：只能分析系统稳定性，但非线性系 统的李亚普诺夫函数很难找，使用受到限制。
(4) 频率特性法：只适用于一类特殊的非线性系统，类似 (1).
2 描述函数法
2.1 描述函数及其求法 一、 确定非线性元件描述函数的要求与方法。 二、典型非线性元件的描述函数。
2.2 利用描述函数法研究非线性系统 一、自振的判定 二、怎样确定自振点的A和W.
x2
(t
)
kk
a As
in
wt
ka
kAsin wt
0 wt wt , wt wt 2 2 wt 2
③ 按公式计算B1、C1(x2和N )
4) 系统结构实例：
5) 影响的定性分析：（考虑特殊的的情况）
使 ess增加，即这种情况下，一般ess 不可能为零。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
-e +e0 e -e0 0 +e
-M
f(e)
+M -e 0
+e e -M
f(e)
e 0
饱和间隙
继电间隙 齿轮间隙
当输入量的变化方向改变时，输出量保持不变，一直到输入 量得变化超出间隙值
典型非线性环节
M
饱和 死区(不灵敏区) 间隙
M
继电特性
非线性特性的定性分析
饱和
死区
非线性特性
R(s) +-
e +M k f(e)
Gc(s)
G0(s)
-M
C(s)
第七章 非线性系统分析
目的
掌握非线性控制系统的初步分析方法
内容
作相平面图 相平面分析法
§7.1非线性控制系统概述
1.本质非线性特性的基本特征
不满足叠加定理 不能采用线性化方法处理问题 稳定性问题 — 不仅与自身结构参数，且与输 入，
继电特性
等效K*
对系统的 影响
举例
振荡性↓，s↓ 限制跟踪速度
晶体管特性
滤除小幅值干扰
稳态误差ess ↑
电动机，仪表
抑制系统发散 容易导致自振
开关特性
非线性控制系统的分析方法
1）小扰动线性化 2）非线性系统研究方法
相平面法
描述函数法—研究自持振荡 反馈线性化法
微分几何方法
3）仿真方法
全数字仿真 半实物仿真
=
-2
-3/7
-3
-5 - x
3
1 1/3
0 -3/4 -1/2 -1/3
3.相轨迹的运动特性 ➢相轨迹的运动方向
上半平面的相轨迹
右行；
右行
下半平面的相轨迹 左行；
过实轴相轨迹斜率 为。
减幅、增速 增幅、恒速 减幅、减速
•
f (x,x)
•
x
•
x
增幅、增速
增幅、恒速
增幅、减速
0
垂直穿越 x
左行
➢相轨迹的对称性
§7.2 相平面分析法
1.相平面与相平面图(相轨迹)
二阶微分方程
••
•
xf(x,x)0
系统变量 x x
相轨迹
系统变量及其导数随时间变化 在相平面上描绘出来的轨迹。
•
x
x
0
相平面
例：一阶线性系统
•
xax0,
画出其相平面图。 解：
x0b
•
x
x 0b
a<0
•
x
bx
0
a>0
2.相轨迹作图
➢解析法作图（适用方程不显含 x ）
j s
d x/d t x
s平面
鞍点
系统特征根一正一负，相轨 迹先趋向于——然后远离原 点，称为鞍点
例：试确定二阶非线性系统的奇点并分析奇 点的运动性质
x ( 0 .5 3 x 2 ) x x x 2 0
解：由
x 0
f
(x,
x)
0
奇点为
x 0
x
0
x 0
x
1
在奇点邻域，其线性化方程为
➢定义：二阶系统
••
•
xf(x,x)0
在相平面上满足
x 0
f
(x,
x)
0
➢在奇点上相轨迹的斜率不定，为
的点
•
•
d x f (x,x) 0
dx
•
x
0
由奇点可以引出不止一条相轨迹
5. 奇点邻域的运动性质
趋于奇点 远离奇点 包围奇点
例：二阶线性定常系统
d x/d t x
• x•2nx •n2x0
x f (x,x)0
•
相轨迹的等倾线方程 • f (x, x)
x
•
• f (x, x)
x
A
如何画出所有相轨迹？
•
• f (x, x)
x
给定一个斜率值，由等倾线方程，便可以 在相平面上画一条线，在这条线上的所有的
点的切线的斜率是相同的，均为 ，因此该 线称为等倾线。改变的值，便可以作出若 干条等倾线充满整个相平面。
xf(x x ,x )x x 0 0x f(x x,x )x x 0 0x0
• x 轴对称
若
•
•
f(x,x)f(x,x)
则相轨迹对称于x 轴
•
•
x
轴对称
•
•
若 f(x,x)f(x,x)
则相轨迹对称于
•
x
轴
•
x
x 0
•
x
x 0
• 原点对称
若
•
•
f(x,x)f(x,x)
则相轨迹对称于原点
•
x
x 0
相平面
•
x/ 0
x 0
•
(0,10) x
x 0
相平面
(0 ,-1 0 )
4. 相轨迹的奇点
••
xf (x)0
相轨迹方程
••
xdx f(x)dx
例：二阶系统如下，试绘制其相平面图
••
x02x0
解：
f (x)02x
••
xdx02xdx
得椭圆方程
x202x2c2
相平面
x
x 0
➢等倾线法作图
••
•
xf(x,x)0
思路：以切线代替曲线
相轨迹的斜率方程
•
•
Hale Waihona Puke d xdxf (x, x)
•
x
则
•
•
初条件有关，平衡点可能不唯一
自持振荡问题— 非线性系统特有的运动形式
典型非线性环节
M
饱和 死区(不灵敏区) 间隙
M
继电特性
R(s) +-
e Gc(s)
+M M k
M -M
f(e) G0(s)
C(s)
2.典型的非线性特性 ➢继电特性
M, e0 f (e)M, e0
f(e) +M
e 0
-M
继电特性
试分析其奇点运动性质。
稳定节点
j s 平 面 s
s1 s2 0
>1
• x•2nx •n2x0
d x/d t x
1
稳定节点
相轨迹趋于原点，该奇点称为 稳定节点
• x•2nx •n2x0
d x/d t x
1
不稳定节点
相轨迹远离原点，该奇点为 不稳定节点
••
•
s1
x2nxn2x0
s2 0< <1
d x/d t x
0 1
稳定焦点
相轨迹振荡趋于原点，该奇点为 稳定焦点
s1
s2 <0
• x•2nx •n2x0
d x/d t x
10 不 稳 定 焦 点
相轨迹振荡远离原点，为 不稳定焦点
• x•2nx •n2x0
s1
s2
d x/d t
x
=0
0
中心点
相轨迹为同心圆，该奇点为 中心点
••
•
x2 nxn2x0
f(e)
-e
k e
0 +e
f(e)
+M
-e
e
0 +e -M
f(e) +M +e0
-e k e
0 +e
-e0 -M
线性+死区 继电+死区 饱和+死区
f (e) k0e,,
e e
e f(ee)
M,
0,
M,
M,
eeef (e)eeek0Me,, ,
e e0 e e
e e e0 e e0
➢间隙特性
f(e) +M
e 0
开关特性
➢饱和特性
M, f (e) ke,
ee0 e0 ee0
M,
ee0
f(e )
+M k -e0
e
0 +e0
-M
R(s) +-
e +M k f(e)
Gc(s)
Go(s)
-M
C(s)
死区（不灵敏区）
R(s) +-
e +M k f(e)
Gc(s)
G0(s)
-M
C(s)
➢死区特性
例7-1：二阶线性定常系统
•• •
xxx0
试用等倾线法作该系统的相平面图。
解：
f(x,x )x x
f(x x ,x )x x x
等倾线方程为 •
1
x1 x
α
-1 -2 -3 0 1 2
•
1
x 1 x 等倾线斜率 ∞ 1 1/2 -1 -1/2 -1/3
0
x1
2
x
•
x
-1 -5/4
-3/2
-5/3