非线性系统的分析方法

继电特性
等效K*
对系统的 影响
举例
振荡性↓，s↓ 限制跟踪速度
晶体管特性
滤除小幅值干扰
稳态误差ess ↑
电动机，仪表
抑制系统发散 容易导致自振
开关特性
非线性控制系统的分析方法
1）小扰动线性化 2）非线性系统研究方法
相平面法
描述函数法—研究自持振荡 反馈线性化法
微分几何方法
3）仿真方法
全数字仿真 半实物仿真
例7-1：二阶线性定常系统
•• •
xxx0
试用等倾线法作该系统的相平面图。
解：
f(x,x )x x
f(x x ,x )x x x
等倾线方程为 •
1
x1 x
α
-1 -2 -3 0 1 2
•
1
x 1 x 等倾线斜率 ∞ 1 1/2 -1 -1/2 -1/3
0
x1ຫໍສະໝຸດ Baidu
2
x
•
x
-1 -5/4
-3/2
-5/3
R(s) +-
e +M k f(e)
Gc(s)
G0(s)
-M
C(s)
第七章 非线性系统分析
目的
掌握非线性控制系统的初步分析方法
内容
作相平面图 相平面分析法
§7.1非线性控制系统概述
1.本质非线性特性的基本特征
不满足叠加定理 不能采用线性化方法处理问题 稳定性问题 — 不仅与自身结构参数，且与输 入，
• x 轴对称
若
•
•
f(x,x)f(x,x)
则相轨迹对称于x 轴
•
•
x
轴对称
•
•
若 f(x,x)f(x,x)
则相轨迹对称于
•
x
轴
•
x
x 0
•
x
x 0
• 原点对称
若
•
•
f(x,x)f(x,x)
则相轨迹对称于原点
•
x
x 0
相平面
•
x/ 0
x 0
•
(0,10) x
x 0
相平面
(0 ,-1 0 )
4. 相轨迹的奇点
••
xf (x)0
相轨迹方程
••
xdx f(x)dx
例：二阶系统如下，试绘制其相平面图
••
x02x0
解：
f (x)02x
••
xdx02xdx
得椭圆方程
x202x2c2
相平面
x
x 0
➢等倾线法作图
••
•
xf(x,x)0
思路：以切线代替曲线
相轨迹的斜率方程
•
•
d x
dx
f (x, x)
•
x
则
•
•
试分析其奇点运动性质。
稳定节点
j s 平 面 s
s1 s2 0
>1
• x•2nx •n2x0
d x/d t x
1
稳定节点
相轨迹趋于原点，该奇点称为 稳定节点
• x•2nx •n2x0
d x/d t x
1
不稳定节点
相轨迹远离原点，该奇点为 不稳定节点
••
•
s1
x2nxn2x0
s2 0< <1
f(e) +M
e 0
开关特性
➢饱和特性
M, f (e) ke,
ee0 e0 ee0
M,
ee0
f(e )
+M k -e0
e
0 +e0
-M
R(s) +-
e +M k f(e)
Gc(s)
Go(s)
-M
C(s)
死区（不灵敏区）
R(s) +-
e +M k f(e)
Gc(s)
G0(s)
-M
C(s)
➢死区特性
=
-2
-3/7
-3
-5 - x
3
1 1/3
0 -3/4 -1/2 -1/3
3.相轨迹的运动特性 ➢相轨迹的运动方向
上半平面的相轨迹
右行；
右行
下半平面的相轨迹 左行；
过实轴相轨迹斜率 为。
减幅、增速 增幅、恒速 减幅、减速
•
f (x,x)
•
x
•
x
增幅、增速
增幅、恒速
增幅、减速
0
垂直穿越 x
左行
➢相轨迹的对称性
d x/d t x
0 1
稳定焦点
相轨迹振荡趋于原点，该奇点为 稳定焦点
s1
s2 <0
• x•2nx •n2x0
d x/d t x
10 不 稳 定 焦 点
相轨迹振荡远离原点，为 不稳定焦点
• x•2nx •n2x0
s1
s2
d x/d t
x
=0
0
中心点
相轨迹为同心圆，该奇点为 中心点
••
•
x2 nxn2x0
初条件有关，平衡点可能不唯一
自持振荡问题— 非线性系统特有的运动形式
典型非线性环节
M
饱和 死区(不灵敏区) 间隙
M
继电特性
R(s) +-
e Gc(s)
+M M k
M -M
f(e) G0(s)
C(s)
2.典型的非线性特性 ➢继电特性
M, e0 f (e)M, e0
f(e) +M
e 0
-M
继电特性
➢定义：二阶系统
••
•
xf(x,x)0
在相平面上满足
x 0
f
(x,
x)
0
➢在奇点上相轨迹的斜率不定，为
的点
•
•
d x f (x,x) 0
dx
•
x
0
由奇点可以引出不止一条相轨迹
5. 奇点邻域的运动性质
趋于奇点 远离奇点 包围奇点
例：二阶线性定常系统
d x/d t x
• x•2nx •n2x0
f(e) k +M
-e +e0 e -e0 0 +e
-M
f(e)
+M -e 0
+e e -M
f(e)
e 0
饱和间隙
继电间隙 齿轮间隙
当输入量的变化方向改变时，输出量保持不变，一直到输入 量得变化超出间隙值
典型非线性环节
M
饱和 死区(不灵敏区) 间隙
M
继电特性
非线性特性的定性分析
饱和
死区
非线性特性
f(e)
-e
k e
0 +e
f(e)
+M
-e
e
0 +e -M
f(e) +M +e0
-e k e
0 +e
-e0 -M
线性+死区 继电+死区 饱和+死区
f (e) k0e,,
e e
e f(ee)
M,
0,
M,
M,
eeef (e)eeek0Me,, ,
e e0 e e
e e e0 e e0
➢间隙特性
§7.2 相平面分析法
1.相平面与相平面图(相轨迹)
二阶微分方程
••
•
xf(x,x)0
系统变量 x x
相轨迹
系统变量及其导数随时间变化 在相平面上描绘出来的轨迹。
•
x
x
0
相平面
例：一阶线性系统
•
xax0,
画出其相平面图。 解：
x0b
•
x
x 0b
a<0
•
x
bx
0
a>0
2.相轨迹作图
➢解析法作图（适用方程不显含 x ）
xf(x x ,x )x x 0 0x f(x x,x )x x 0 0x0
j s
d x/d t x
s平面
鞍点
系统特征根一正一负，相轨 迹先趋向于——然后远离原 点，称为鞍点
例：试确定二阶非线性系统的奇点并分析奇 点的运动性质
x ( 0 .5 3 x 2 ) x x x 2 0
解：由
x 0
f
(x,
x)
0
奇点为
x 0
x
0
x 0
x
1
在奇点邻域，其线性化方程为
x f (x,x)0
•
相轨迹的等倾线方程 • f (x, x)
x
•
• f (x, x)
x
A
如何画出所有相轨迹？
•
• f (x, x)
x
给定一个斜率值，由等倾线方程，便可以 在相平面上画一条线，在这条线上的所有的
点的切线的斜率是相同的，均为 ，因此该 线称为等倾线。改变的值，便可以作出若 干条等倾线充满整个相平面。