程佩青版数字信号处理第四章

NN /21/21
2 rk NN

k

rk 21
xrWWxrW 12
rr 00 rkkrk xrWWxrW NNN 1/22/2 NN /21/21 rr 00
NN /21/21
rkrk 22 NNN


XkWXk 12
k N k N

N/4
N k 0,1,...,1 4
Digital Signal Processing
同理： XkXkWXk ()()() 25/26 N XkXkWXk ()()() 25/26 4 其中： XkDFTxlDFTxl ()[()][(2)] 552 XkDFTxlDFTxl ()[()][(21)] 662
4. 存储单元
输入序列x(n) : N个存储单元
r W 系数 N ：N / 2个存储单元
Digital Signal Processing
4.3按频率抽选的基-2FFT算法
1、算法原理
设序列点数N=2L，L为整数。 将X(k)按k的奇偶分组前，先将输入x(n)按n的 顺序分成前后两半：
Digital Signal Processing
11 11
mr 1
Digital Signal Processing
W 的确定
蝶形运算两节点的第一个节点为k值，表示成L位 二进制数，左移L – m位，把右边空出的位置补 零，结果为r的二进制数。
r N
rk()2 2
Lm
Digital Signal Processing
Digital Signal Processing
倒位序的实现
Digital Signal Processing
3. 蝶形运算
对N = 2L点FFT，输入倒位序，输出自然序， 第m级运算每个蝶形的两节点距离为 2m–1 第m级运算：
XkXkXkW ()()(2) mmmN mmr 11 XkXkXkW (2)()(2) mmmN
Digital Signal Processing
第四章 快速傅里叶变换 （ Fast Fourier Transform ）
Digital Signal Processing
第四章学习目标
理解按时间抽选的基-2FFT算法的算法原理、运算 流图、所需计算量和算法特点 理解按频率抽选的基-2FFT算法的算法原理、运算 流图、所需计算量和算法特点 理解IFFT算法 了解混合基算法 了解CZT算法 了解线性卷积的FFT算法及分段卷积方法
N /21
rN 0,1,...,/21
N 2
2 nr N
xnxnW () n 0
N /21
N 2 N 2
nr N /2
XrxnxnW (21)()
N /21

n 0
XkxnWxnWxnW ()()()()
nnnN 00/2
NN /21/21 nn 00
NNN 1/211
nknknk NNN
xnWxnW ()
nk NN

N 2
Nknk /2 NN
N 2
N nk 2
xnxnWW () n 0



实数加法
2N+2 (N – 1)=2 (2N – 1) 2N (2N – 1)
Digital Signal Processing
nk W 的特性 We N
nk N
2 jnk N
对称性
() WWWW
nknkNnknNk *()() NNNN
Nknk WW NN
M
Digital Signal Processing
运算量
() xnW
n 0 N 1 nk N
复数乘法 一个X(k) N个X(k) (N点DFT) N N2
复数加法 N–1 N (N – 1)
ajbcjdacbdjadcb
实数乘法 一次复乘 一次复加 一个X (k) N个X (k) (N点DFT) 4N 4N 2 4 2 2
k N

rkN ,0,1,.../21
Digital Signal Processing
再利用周期性求X(k)的后半部分
Q XkXkN ,/2 12
是以为周期的
NN XkXkXkXk 1122 22
/2 又WWWW Nkk N 2 NNNN k
2102
倒位序
自然序
$ () nnnn 0122
000 100 010 110 001 101 011 111 0 4 2 6 1 5 3 7
nnnn () 2102
0 1 2 3 4 5 6 7 000 001 010 011 100 101 110 111
Digital Signal Processing
X1(0) X1(1) X1(2) X1(3) X2(0) WN X2(1) X2(2)
0 1 WN 2 WN
X(0) X(1) X(2) X(3)
-1 -1
X(4)
3 X2(3) W N
X(5) -1 X(6) -1 X(7)
Digital Signal Processing
Digital Signal Processing
kk 统一系数：WW NN /2 2 k N k N
N k 0,1,...,1 4
lN 0,1,...,/41
Digital Signal Processing
Digital Signal Processing
Digital Signal Processing
二、运算量
当N = 2L时，共有L级蝶形，每级N / 2个蝶形，每 个蝶形有1次复数乘法2次复数加法。
j
2 N N 2

j
1

NkNk
Digital Signal Processing
FFT 算法的基本思想： 利用系数的特性，合并运算中的某些项， DFTDFT 把长序列短序列，从而减少其运算量。 DFTDFT FFT算法分类: 时间抽选法 DIT: Decimation-In-Time 频率抽选法 DIF: Decimation-In-Frequency
r r
m表示第m级迭代，k，j表示数据所在的行数
输入数据、中间运算结果和最后输出均用同一存储器。
Digital Signal Processing
2. 倒位序
Digital Signal Processing
这是由奇偶分组造成的,以N=8为例 说明如下: (n2)
n1=0 n0=0（偶） n1=1 0 1 0 1 n1=0 n0=1 （奇） n1=1 0 1 0 1
分解后的运算量：
复数乘法 一个N / 2点DFT 两个N / 2点DFT 一个蝶形 N / 2个蝶形 总计 (N / 2)2 N 2/ 2 1 N/2
2 NN /2/2
复数加法 N / 2 (N / 2 –1) N (N / 2 –1) 2 N
NNN /21 N /2
2
N 2 /2
运算量减少了近一半
Digital Signal Processing
N / 2仍为偶数，进一步分解：N / 2
(2)() xlxl 13 (21)() 14 xlxl XkXkWXk ()()() 13/24 N XkXkWXk ()()() 13/24 4 lN 0,1,...,/41
IDFT : ()[()]()() xnIDFTXkXkWRn 1 N

n 0
N 1
nk NN

k 0
N 1
nk NN
Digital Signal Processing
nk X (k ) DFT [ x(n)] x(n)W N n 0 N 1
k 0
k 1
00 10 ( N 1)0 X (0) x(0)WN x(1)WN › x( N 1)WN
2 mDFTNN ()2 F N mFFTN F ()log log 2 N 2
2
Digital Signal Processing
三、按时间抽取的FFT算法的特点
1. 原位计算
XkXkXjW ()()() mmmN ()()() mmmN XjXkXjW
11 11
N /21
W
N /2 N
1
xnxnW ()(1) n 0
N /21
knk

N 2
N
kN 0,1,...,1
Digital Signal Processing
按k的奇偶将X(k)分成两部分： kr 2 21 kr
XrxnxnW (2)() n 0

nNnk WW NN

周期性
WWW
nkNnknNk ()() NNN
Digital Signal Processing
可约性 WW
e
2 jmnk mN
nkmnk NmN
WW
nknkm NNm
/ /

ee
特殊点： 11 WWWW
0/2(/2) NNNN
1
rN 0,1,...,/21
Digital Signal Processing
则x(n)的DFT:
XkxnWxnWxnW
nnn 000
NNN 111
nknknk NNN

n为 数 奇

n为 数 偶
xrWxrW 221
rr 00
k 2
XxWxWxNW (1)(0)(1)(1) XxWxWxNW (2)(0)(1)(1)
0111(1)1 NNN 0212(1)2 NNN
L L L
N项
N N
0111(1)1 NNNN k N 1 XNxWxWxNW (1)(0)(1)(1) NNN
Digital Signal Processing
4.2 按时间抽选的基-2FFT算法
一、算法原理 设序列点数 N = 2L，L 为整数。 若不满足，则补零 N为2的整数幂的FFT算法称基-2FFT算法。 将序列x(n)按n的奇偶分成两组：
xrxr 2
xrxr 21 2
XkXkWXk ()()() 12 N XkXkWXk ()()() 2
k N k N
kN 0,1,...,/21
12
NN 复数乘法： mLN F 22
复数加法：
log2
aNLNN F
log2
Digital Signal Processing
比较DFT
Digital Signal Processing
引言
1965年，Cooley, Tukey Hale Waihona Puke Baidu机器计算傅里叶级数的一种算法》
Digital Signal Processing
4.2 直接计算DFT的问题及改进途径
Nxn 点有限长序列 ()
DFT : ()[()]()() XkDFTxnxnWRk
XkXkWXk ()()() 12 N XkXkWXk ()()() 2
k N k N
kN 0,1,...,/21
12
Digital Signal Processing
x1(0)= x(0) x1(1)= x(2) x1(2)= x(4) x1(3)= x(6) x2(0)= x(1) x2(1)= x(3) x2(2)= x(5) x2(3)= x(7) N/2点 DFT N/2点 DFT
xx(000) 0 x x(100) 4 x x(010) 2
x x(110) 6 x x(001) 1
x(n2, n1, n0)
x x(101) 5 x x(011) 3
x x(111) 7
xnnnnn ()()
n0 0 n1 0 1 1 0 1 n2 0 1 0 1 0 1 0 1
Digital Signal Processing