程佩青版数字信号处理第四章
数字信号处理(第四版)第四章ppt
Digital Signal Processing
© 2013 Jimin Liang
Discrete-Time Systems Outline Discrete-time system examples Classification of DT systems Impulse and step responses Time-domain characteristics of LTI Simple interconnection schemes
Process a given sequence, called the input system, to generate another sequence, called the output sequence, with more desirable properties or to extract certain information about the input signal. DT system is usually also called the digital filter
12
Digital Signal Processing
© 2013 Jimin Liang
Discrete-Time Systems 4.2 Classification of DT systems Stable system
A system is stable if and only if for every bounded input, the output is also bounded, called BIBO stable.
Discrete-Time Systems 4.1 Discrete-time system examples (4) Linear Interpolator Linear factor-2 interpolator
《数字信号处理教程》程佩青第三版课后答案
(c)
x (n )
=
e
j
(
n 6
−π )
分析：
序列为 x (n ) = A cos( ω 0n + ψ ) 或 x(n) = A sin( ω 0n +ψ ) 时，不一定是周期序列，
①当 2π / ω 0 = 整数，则周期为 2π / ω 0 ；
7
②当 2π = P ,（有理数 P、Q为互素的整数）则周期 为 Q ； ω0 Q
x(n
− m)sin
2π 9
+
π 7
即 T [x(n − m)] = y(n − m)
∴系统是移不变的
T [ax1(n) + bx2 (n)]
=
[ax1
(n)
+
bx2
(n
)]sin(
2π 9
+
π 7
)
即有 T [ax1(n)+ bx2 (n)]
= ay1(n) + by2 (n)
∴系统是线性系统
(1) T [ x(n)] = g(n)x(n) (2) (3) T [ x(n)] = x(n − n0 ) (4)
j sin(
n 6
−π)
=
− cos
n 6
−
j sin
n 6
2π /ω 0 = 12π 5. 设系∴统是差非分周方期程的为。:
T 是无理数
y (n ) = ay (n − 1) + x(n )
其中 x(n) 为输入, y(n) 为输出。当边界条件选为
(1) y(0) = 0 (2) y(−1) = 0
4
第一章 离散时间信号与系统
数字信号处理-程佩青第三版课件
xa(t) 0
xa(nT)
t
2T
0
t
T
这里 n 取整数。对于不同的 n 值，xa(nT) 是 一个有序的数字序列，该数字序列就是离散时间信 号。注意，这里的n取整数，非整数时无定义，另 外，在数值上它等于信号的采样值，即
x(n) xa (nT ), n
离散时间信号的表示方法：公式表示法、图形 表示法、集合符号表示法，如
称该系统是因果系统。 因果系统是指输出的变化不领
先于输入的变化的系统。
对于线性时不变系统，具有因果性的充要条件是 系统的单位取样响应满足：
如
稳定系统
稳定系统是指对于每个有界输入x(n)，都产生有 界输出y(n)的系统。即如果|x(n)|≤M(M为正常数)， 有|y(n)|<+∞，则该系统被称为稳定系统。
x(n) ...1,2,3,7,8,9,...
二、常用序列
1. 单位抽样序列(n)
(t) 1/
0 t
(n)
1
0
n
(t)
(1)
t
0
2. 单位阶跃序列u(n)
u(n) 0
u(t)
1
…
n
0
t
(n)与u(n)之间的关系
令n-k=m，有
3. 矩形序列RN(n)
N为矩形序
列的长度
R4(n)
n 012 3
4. 实指数序列
，a为实数
0<a<1
a>1
n
n
0
0
-1<a<0
a<-1
0
n0
n
a<-1或-1<a<0,序列的幅值摆动
(完整版)数字信号处理教程程佩青课后题答案
第一章 离散时间信号与系统2.任意序列x(n)与δ(n)线性卷积都等于序列本身x(n)，与δ(n-n 0)卷积x(n- n 0),所以（1）结果为h(n) (3)结果h(n-2) （2（4）3 .已知 10,)1()(<<--=-a n u a n h n，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为 )(n h 的线性移不变系统的阶跃响应。
4. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：)6()( )( )n 313si n()( )()873cos()( )(ππππ-==-=n j e n x c A n x b n A n x a分析：序列为)cos()(0ψω+=n A n x 或)sin()(0ψω+=n A n x 时，不一定是周期序列，nmm m n n y n - - -∞ = - ⋅ = = ≥ ∑ 2 31 2 5 . 0 ) ( 01当 3 4n m nm m n n y n 2 2 5 . 0 ) ( 1⋅ = = - ≤ ∑ -∞ = - 当 aa a n y n a a an y n n h n x n y a n u a n h n u n x m m nnm mn -==->-==-≤=<<--==∑∑--∞=---∞=--1)(11)(1)(*)()(10,)1()()()(:1时当时当解①当=0/2ωπ整数，则周期为0/2ωπ；②；为为互素的整数）则周期、（有理数当 , 2 0Q Q P QP =ωπ ③当=0/2ωπ无理数 ，则)(n x 不是周期序列。
解：（1）0142/3πω=，周期为14 （2）062/13πω=，周期为6 （2）02/12πωπ=，不是周期的 7.（1）[][]12121212()()()()()()[()()]()()()()[()][()]T x n g n x n T ax n bx n g n ax n bx n g n ax n g n bx n aT x n bT x n =+=+=⨯+⨯=+所以是线性的T[x(n-m)]=g(n)x(n-m) y(n-m)=g(n-m)x(n-m) 两者不相等，所以是移变的y(n)=g(n)x(n) y 和x 括号内相等，所以是因果的。
(NEW)程佩青《数字信号处理教程》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录第1章 离散时间信号与系统1.1 复习笔记1.2 课后习题详解1.3 名校考研真题详解第2章 Z变换与离散时间傅里叶变换（DTFT）2.1 复习笔记2.2 课后习题详解2.3 名校考研真题详解第3章 离散傅里叶变换（DFT）3.1 复习笔记3.2 课后习题详解3.3 名校考研真题详解第4章 快速傅里叶变换（FFT）4.1 复习笔记4.2 课后习题详解4.3 名校考研真题详解第5章 数字滤波器的基本结构5.1 复习笔记5.2 课后习题详解5.3 名校考研真题详解第6章 几种特殊滤波器及简单一、二阶数字滤波器设计6.1 复习笔记6.2 课后习题详解6.3 名校考研真题详解第7章 无限长单位冲激响应（IIR）7.1 复习笔记7.2 课后习题详解7.3 名校考研真题详解第8章 有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器设计方法8.1复习笔记8.2 课后习题详解8.3 名校考研真题详解第9章 序列的抽取与插值——多抽样率数字信号处理基础9.1 复习笔记9.2 课后习题详解9.3 名校考研真题详解第10章 数字信号处理中的有限字长效应10.1 复习笔记10.2 课后习题详解10.3 名校考研真题详解第1章 离散时间信号与系统1.1 复习笔记一、离散时间信号——序列1．序列序列可以有三种表示法。
（1）函数表示法。
例如x（n）＝a n u（n）。
（2）数列的表示法。
例如x（n）＝{...，－5，－3，－l，0，2，7，9，…）本书中，凡用数列表示序列时，都将n=0时x（o）的值用下划线（_）标注，这个例子中有z（－1）＝－3，x（0）＝－l，x（1）＝0，…（3）用图形表示，如图l-1所示。
图1-1 离散时间信号的图形表示2．序列的运算（1）基于对序列幅度x（n）的运算序列的简单运算有①加法；②乘法；③累加；④序列绝对和；⑤序列的能量；⑥平均功率。
（2）基于对n的运算①移位，某序列为x（n）则x（n－m）就是x（n）的移位序列，当m＝正数时，表示序列x（n）逐项依次右移（延时）m位；当m＝负数时，表示序列 x（n）逐项依次左移（超前）m位；②翻褶，若序列为x（n），则x（－n）是以n＝0为对称轴将x（n）序列加以翻褶；③时间尺度变换。
程佩青_数字信号处理_经典版(第四版)_第4章_4.3按频率抽选(DIF)的基-2算法
x(7) -1
WN3
X(7)
x(0)
2点
X(0)
x(1)
DFT
X(4)
x(2)
WN0
-1
2点
X(2)
x(3)
WN2 DFT
-1
X(6)
x(4) -1
WN0
x(5) -1
WN1
2点
X(1)
DFT
X(5)
x(6) -1 x(7) -1
WN2 WN3
WN0
-1
2点
X(3)
WN2 DFT
-1
X(7)
x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) -1 x(5) -1 x(6) -1 x(7) -1
例：已知x(n)={1,2,3,4}利用频域抽样流图，计算
X (k) DFT{x(k)}; DFT{X (k)}
1 x[0] 2 x[1] 3 x[2] 4 x[3]
4
6
1 W40 1
1
2
W41 j
1
2j 1
X[0] 10 X[2] 2 X[1] 2+2j X[3] 22j
DFT{x[k]}= {10, 2+2j, 2, 22j}
x(n)
x(n
N
/
2)
WNn
W nr N /2
注意括号
(4.3.3)
n0
k = 2r+1
频率抽取FFT
W n(2r1) N
WNnWN2nr
WNnWNnr2
存储单元
输入序列x(n) : N个存储单元
系数WNr：N / 2个存储单元
频率抽取FFT
N / 21
X (2r) [x(k) x(n N / 2)]WNnr/2 n0
《数字信号处理》第四章 相关分析
r12 ( )
x1
(t
)
x2
(t
)dt
x1 (t
)x2 (t)dt
r21( )
x1
(t
)x2 (t)dt
x1
(t
)
x2
(t
)dt
以及
rxx ( )
x(t)x (t )dt x (t)x(t )dt
一、自相关函数的性质
1、自相关函数rxx(τ)的极大值在τ=0处，是实数。
rxx ( ) rxx (0)
证明：
rxx ( )
x(t)x (t )dt
x2 (t)dt x2 (t )dt
x2 (t)dt
x2 (u)du
y2 (t)dt
将其代入均方误差，得到这种近似的最小均方误差为
min
xe2 (t)
x2 (t)dt
x(t
)
y(t
)dt
2
y2 (t)dt
第一节 相关
式中右边第一项 x2 (t)dt表示了原信号x(t)的能量。
若将上式用原信号能量归一化成为相对误差，则有
第二节 相关函数的性质
这是由于：
① r(τ)完全由它的能量谱或功率谱P(f )来决定； ② P(f ) =∣X(f )∣2
具有相同的振幅谱而不同相位谱的信号，可以 有相同的自相关函数。
第一节 相关
此时，相关函数r(τ)具有如下性质：
r12 ( ) r21( )
数字信号处理（程佩青）课后习题解答（4）
数字信号处理（程佩青）课后习题解答（4）第四章快速傅立叶变换运算需要多少时间。
计算需要多少时间，用，问直拉点的，用它来计算每次复加速度为平均每次复乘需如果一台通用计算机的FFT DFT[x (n)]512s 5 s 50.1μμ 解: 解: ⑴ 直接计算: 复乘所需时间:复加所需时间: ⑵用FFT 计算:复乘所需时间: 复加所需时间:运算一次完成。
点试用一个为了提高运算效率值求今需要从值的点实序列是两个已知IFFT N n y n x k Y k X DFT n y n x N k Y k X ,,)(),()(),(,)(),()(),(.2s N T N 01152.0 512log 105 log 105 2251262261==??=--s T T T sN N T 013824.0 002304.0 512log 512105.0 log 105.0 2126262=+=∴===--sT T T sN N T 441536.1 130816.0 )1512(512105.0 )1(105.0 21662=+=∴=-=-=--s N T 31072.1 512105 105 262 61=??=??=--值的过程。
）（），（完成计算点）可用一次（）（）（综上所述，构造序列）（）（）（）（可得：）（）（）（再根据都是实序列，）（），（由原题可知：）（）（）（）（（）（）（性质：又根据可得序列点作对取序列依据题意解 ]Im[ ]Re[ ][][ ][ ).()( )()()( )()();()( ::n y n x IFFT N k jY k X k Z n z n y n z n x n jy n x n z n y n x n jy n x k Y jIDFT k X IDFT k jY k X IDFT DFT n z IFFT N k Z k jY k Xk Z k Y n y k X n x +===+=+=+=++=??。
程佩青《数字信号处理教程(第三版)》课后习题答案精编版
第一章 离散时间信号与系统
1 .直接计算下面两个序列的卷积和 y( n ) = x( n )* h( n )
h (n )
=
⎧an ⎨
⎩0
, 0 ≤ n ≤ N −1 , 其他n
x (n )
=
⎧⎪ β ⎨
n−n 0
⎪⎩ 0
,n0 ≤ n , n < n0
请用公式表示。
分析：
①注意卷积和公式中求和式中是哑变量 m （ n 看作参量），
y (n ) ={1，2，3，3，2，1} ;
②δ (n)* x(n) = x(n) , δ (n − m)* x(n) = x(n − m) ;
③卷积和求解时， n 的分段处理。
6
解：(1) y(n) = x(n) * h(n) = R5(n) (2) y(n) = x(n) * h(n) = {1,2,3,3,2,1}
β α
n +1
β α β =
n +1− N −n0
N−
N
α −β
y(n) = Nα n−n0 ,
(α = β )
, (α ≠ β )
如此题所示，因而要分段求解。
2 .已知线性移不变系统的输入为 x( n ) ,系统的单位抽样响应
为 h( n ) ,试求系统的输出 y( n ) ,并画图。
(1)x(n) = δ (n)
∑ ∑( ) n α m−n0 n−m = β α = β m=n0
nn β
n0
α
n β −n0
− β n0
α
β n +1 α
1
−
β α
α β =
− n +1− n0
数字信号处理_程佩青_PPT第四章
主要内容
DIT-FFT算法 DIF-FFT算法 IFFT算法 Chirp-z算法 线性卷积的FFT算法
§4.0 引言
FFT: Fast Fourier Transform
1965年，Cooley&Turky 发表文章《机器计算傅 里叶级数的一种算法》，提出FFT算法，解决 DFT运算量太大，在实际使用中受限制的问题。 FFT的应用。频谱分析、滤波器实现、实时信 号处理等。 DSP芯片实现。TI公司的TMS 320c30，10MHz 时钟，基2-FFT1024点FFT时间15ms。
又WN
k
N 2
W
N /2 N
W W
k N
k N
k X (k ) X1 (k ) WN X 2 (k )，k 0,1,2,...N / 2 1 (2) X ( N k ) X ( N k ) W ( N / 2 k ) X ( N k ) 1 N 2 2 2 2 k X1 (k ) WN X 2 (k )，k 0,1,2,...N / 2 1
n为偶
n为奇
N / 2 1
rk k rk x ( r ) W W x ( r ) W 1 N /2 N 2 N /2 r 0 r 0 X1 ( k )
N / 2 1
2 rk rk （这一步利用： WN WN /2
） r , k 0,1,...N / 2 1
N为2的整数幂的FFT算法称基-2FFT算法。
将序列x(n)按n的奇偶分成两组：
x1 (r ) x(2r ) ，r 0， 1， 2， ...N/ 2 1 x2 (r ) x(2r 1)
程佩青_数字信号处理_经典版(第四版)_第4章_4.1直接计算DFT的运算量,减少运算量的途径
W40
1
W41
1
X (0) X (1) X (2) X (3)
22
4点基2时间抽取FFT算法流图
x[0]
x[2]
W40
x[1]
x[3]
W40
2020/4/20
X1[0]
X1[1] 1
X2[0]
W40 1
X2[1]
W41
1
1
X[0] X[1] X[2] X[3]
23
X X
N / 21
x
r 0
2r
r k N
W 2 N /2
N / 21
WNm
x
r 0
2r
r k N
1
WN
/
2
2
N / 21
N / 21
x1
r
W rk N /2
WNk
x2
r
W rk N /2
r 0
r 0
X1k WNk X 2 k
前半部分
后半部分
X k X1k WNk X 2 k
k=1
2020/4/20
图4.1
21
X4点(k)基2X时1(间k) 抽W取4k XFF2 (Tk算), 法k 流 0图,1
X (k 2) X1(k) W4k X 2 (k), k 0,1
N/2 = 4/2 =2
x(0)
X1(0)
x(2) W20
x(1)
x(3) W20
2020/4/20
2点DFT X1(1) 1 X2(0)
X11[0] 2点DFT X11[1]
4X点12[D0] FWT40
2点DFT X12[1] W41 1
程佩青《数字信号处理教程》(第4版)(课后习题详解 快速傅里叶变换(FFT))
4.2 课后习题详解4-1 如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘40ns ，每次复加5ns ，用它来计算512点的DFT[x （n ）]，问直接计算需要多少时问?用FFT 运算需要多少时间?若做128点快速卷积运算，问最低抽样频率应是多少?解：①直接利用DFT 计算：复乘次数为N 2，复加次数为N （N-1）。
②利用FFT计算：复乘次数为，复加次数为N㏒2N 。
（1）直接计算复乘所需时间复加所需时间所以（2）用FFT 计算复乘所需时间复加所需时间所以4-2 N ＝16时，画出基-2按频率抽选法的FFT 流图采用输入自然顺序，输出倒位序），统计所需乘法次数（乘±1，乘±j 都不计在内）。
根据任一种流图确定序列x （n ）＝4cos （n π／2）（0≤n ≤15）的DFT 。
解：按频率抽取法的FFT 流图中的复数乘法出现在减法之后，其运算量为复数乘法：；复数加法：；由于N ＝16，有，，，不需要乘法。
按频率抽取，见图4-1（a ）。
图4-1（a ）运算量：复数乘法：由于，，，不需要乘法。
由图P4.2（a ）可知，共有的个数为1＋2＋4＋8＝15有的个数为1＋2＋4＝7所以总的乘法次数为32-15-7＝10（个）复数加法：举例：对序列x （n ）＝4cos （n π／2）（0≤n ≤15）可表示为由于N ＝16，可采用P4.2（b ）的流图。
设Xi （k ）＝（i ＝1，2，3，4）分别为第i 级蝶形结构的输出序列，则由P4.2（b ）的流图可知由于采用的是顺序输入、逆序输出的结构，因此输出X （k ）与X 4（k ）为逆序关系，即，为k 二进制逆序值由此可知，x （n ）的DFT 为X （4）＝X 4（2）＝32，X （12）＝X 4（3）＝12图4-1（b ）4-3 用MATLAB 或C 语言编制以下几个子程序。
（1）蝶形结运算子程序；（2）求二进制倒位序子程序；（3）基-2 DIT FFT 流程图，即迭代次数计算子程序。
数字信号处理教程 程佩青 课后题答案
第一章 离散时间信号与系统2.任意序列x(n)与δ(n)线性卷积都等于序列本身x(n)，与δ(n-n 0)卷积x(n- n 0),所以（1）结果为h(n) (3)结果h(n-2) （2（4）3 .已知 10,)1()(<<--=-a n u a n h n，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为 )(n h 的线性移不变系统的阶跃响应。
4. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：)6()( )( )n 313si n()( )()873cos()( )(ππππ-==-=n j e n x c A n x b n A n x a分析：序列为)cos()(0ψω+=n A n x 或)sin()(0ψω+=n A n x 时，不一定是周期序列，nmm m n n y n - - -∞ = - ⋅ = = ≥ ∑ 2 31 2 5 . 0 ) ( 01当 3 4n m nm m n n y n 2 2 5 . 0 ) ( 1⋅ = = - ≤ ∑ -∞ = - 当 aa a n y n a a an y n n h n x n y a n u a n h n u n x m m nnm mn -==->-==-≤=<<--==∑∑--∞=---∞=--1)(11)(1)(*)()(10,)1()()()(:1时当时当解①当=0/2ωπ整数，则周期为0/2ωπ；②；为为互素的整数）则周期、（有理数当 , 2 0Q Q P QP =ωπ ③当=0/2ωπ无理数 ，则)(n x 不是周期序列。
解：（1）0142/3πω=，周期为14 （2）062/13πω=，周期为6 （2）02/12πωπ=，不是周期的 7.（1）[][]12121212()()()()()()[()()]()()()()[()][()]T x n g n x n T ax n bx n g n ax n bx n g n ax n g n bx n aT x n bT x n =+=+=⨯+⨯=+所以是线性的T[x(n-m)]=g(n)x(n-m) y(n-m)=g(n-m)x(n-m) 两者不相等，所以是移变的y(n)=g(n)x(n) y 和x 括号内相等，所以是因果的。
数字信号处理第四章
第四章线性时不变离散时间系统的频域分析一、传输函数和频率响应例4。
1传输函数分析Q4.1clear;M = input（'Enter the filter length M: '）；w = 0:2*pi/1023:2＊pi；num = (1/M）＊ones（1,M);den = ［1];h = freqz(num, den， w）;subplot（2，1,1)plot（w/pi，abs（h)）;gridtitle（’Magnitude Spectrum ｜H(e^｛j\omega｝）｜')xlabel(’\omega /\pi'）；ylabel（'Amplitude’）;subplot(2，1,2）plot(w/pi,angle(h));gridtitle（'Phase Spectrum arg[H(e^｛j\omega｝）］')xlabel(’\omega /\pi’);ylabel('Phase in radians’）;M=2 M=10 M=15幅度谱为偶对称,相位谱为奇对称，这是一个低通滤波器。
M越大,通带越窄且过渡带越陡峭。
Q4。
2使用修改后的程序P3。
1，计算并画出当w=[0,pi]时传输函数的因果线性时不变离散时间系统的频率响应.它表示哪种类型的滤波器？w = 0:pi/511：pi；num = [0.15 0 -0.15］;den = [1 —0。
5 0.7];如下图1这是一个带通滤波器.图1 图2Q4。
3对下面的传输函数重做习题Q4。
2:，式(4。
36)和式（4.37）给出的两个滤波器之间的区别是什么？你将选择哪一个滤波器来滤波，为什么？w = 0:pi/511：pi;num = ［0.15 0 —0。
15］;den = [0。
7 -0。
5 1]；如上图2也是一个带通滤波器，这两个滤波器的幅度谱是一样的，相位谱不太一样，我会选择第一个带通滤波器，因为它的相位谱更加平滑,相位失真小。
程佩青_数字信号处理_经典版(第四版)_第4章_4.5IDT的IFFT
以上三个算法均要求： N 2M
Winograd 算法：1976年提出，是具有鲜明特 色的FFT! 用到较多的数论知识，可用于N不 等于2的整次幂。
FFT应用
2020/4/20
9
混合基FFT算法
序列x(n)长度为N=pq,将其按时间抽取方式分解 为p个q点序列
X (k) X1(k) WNk X2 (k) WN2k X3(k) ...WN( p1)k X p (k)
应当保证加窗处理在补零处理之前进行。
FFT应用
2020/4/20
16
3. 对输入数据序列加窗以减小FFT的频谱泄漏 为了减小频谱泄漏，需要选择其它形状（非矩形）的窗，
这些窗的前后沿变化比较缓慢，因而它们的频谱的旁瓣幅度 都比矩形窗的低而且衰减较快。但是，这些窗的频谱的主瓣 都比矩形窗的宽，因此分辨率比矩形窗的低。
也就是说，采用其它形状的窗减小频谱泄漏是以降低频 率分辨率为代价的。
基p时间抽取FFT算法的基本关系
X (m) X1(m) WNm X2 (m) WN2m X3(m) ...WN( p1)m X p (m)
FFT应用
2020/4/20
8
混合基FFT算法
基－2 算法： 1965年， DSP 发展的里程碑； 基－4 算法 : 对基－2 算法的改进； 分裂基算法： 1984年， 接近最优的 FFT！
数字信号处理
(Digital Signal Processing)
2020/4/20
物理与电子信息学院 电子信息系
1
离散傅里叶变换快速算法(FFT)
❖ 问题的提出 ❖ 解决问题的思路与方法 ❖ 基2时间抽取FFT算法 ❖ 基2频率抽取FFT算法 ❖ FFT算法的实际应用——
《数字信号处理》 第4章
右图为描述倒位序的树状图(N=8)
5 倒位序的实现
对照表
变址功能
产生倒序数的十进制运算规律 N=2M，用M位二进制数表示，则从左至右的十进制权值为：
N 1 4
x1(2l)WNk22l
N 1 4
x1(2l
1)WNk22l1
r0
l0
l0
N1
N1
4
4
x3(l)WN kl4WN k2 x4(l)WN kl4
l0
l0
X 3(k) W N k2X 4(k),k0 ,1 ,
,N 1 2
式中
N1 4
N1 4
X3(k)DFTx3(l) x3(l)WN kl4 X4(k)DFTx4(l) x4(l)WN kl4
47线性调频变换chirp变换算法471算法原理已知序列xn0nn1是有限长序列其z变换为为适应z可沿z平面更一般的路径取值就沿z平面上的一段螺线作等分角的采样z的这些采样点zk为因此有其中a决定起始采样点z0的位置a0表示z0的矢量半径长度通常取a010表示z0的相角0表示两相邻采样点之间的角度差w0一般为正值表示螺线的伸展率图471线性调频变换在平面的螺线采样当mn即时各采样点zk就均匀等间隔地分布在单位圆上这就是求序列的dft
N
W N k(N n)W N (N k)nW N kn,
W
2 N
1
N
k
WN 2
WNk
利用这些特性，使DFT运算中有些项可以合并，并且可以 将长序列的DFT分解为几个短序列的DFT，以减少DFT的运算 次数。
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W
N /2 N
1
xnxnW ()(1) n 0
N /21
knk
N 2
N
kN 0,1,...,1
Digital Signal Processing
按k的奇偶将X(k)分成两部分： kr 2 21 kr
XrxnxnW (2)() n 0
xx(000) 0 x x(100) 4 x x(010) 2
x x(110) 6 x x(001) 1
x(n2, n1, n0)
x x(101) 5 x x(011) 3
x x(111) 7
xnnnnn ()()
n0 0 n1 0 1 1 0 1 n2 0 1 0 1 0 1 0 1
Digital Signal Processing
Digital Signal Processing
引言
1965年，Cooley, Tukey 《机器计算傅里叶级数的一种算法》
Digital Signal Processing
4.2 直接计算DFT的问题及改进途径
Nxn 点有限长序列 ()
DFT : ()[()]()() XkDFTxnxnWRk
r r
m表示第m级迭代，k，j表示数据所在的行数
输入数据、中间运算结果和最后输出均用同一存储器。
Digital Signal Processing
2. 倒位序
Digital Signal Processing
这是由奇偶分组造成的,以N=8为例 说明如下: (n2)
n1=0 n0=0（偶） n1=1 0 1 0 1 n1=0 n0=1 （奇） n1=1 0 1 0 1
M
Digital Signal Processing
运算量
() xnW
n 0 N 1 nk N
复数乘法 一个X(k) N个X(k) (N点DFT) N N2
复数加法 N–1 N (N – 1)
ajbcjdacbdjadcb
实数乘法 一次复乘 一次复加 一个X (k) N个X (k) (N点DFT) 4N 4N 2 4 2 2
2102
倒位序
自然序
$ () nnnn 0122
000 100 010 110 001 101 011 111 0 4 2 6 1 5 3 7
nnnn () 2102
0 1 2 3 4 5 6 7 000 001 010 011 100 101 110 111
Digital Signal Processing
N /21
rN 0,1,...,/21
N 2
2 nr N
xnxnW () n 0
N /21
N 2 N 2
nr N /2
XrxnxnW (21)()
N /21
n 0
X1(0) X1(1) X1(2) X1(3) X2(0) WN X2(1) X2((0) X(1) X(2) X(3)
-1 -1
X(4)
3 X2(3) W N
X(5) -1 X(6) -1 X(7)
Digital Signal Processing
Digital Signal Processing
Digital Signal Processing
4.2 按时间抽选的基-2FFT算法
一、算法原理 设序列点数 N = 2L，L 为整数。 若不满足，则补零 N为2的整数幂的FFT算法称基-2FFT算法。 将序列x(n)按n的奇偶分成两组：
xrxr 2
xrxr 21 2
nNnk WW NN
周期性
WWW
nkNnknNk ()() NNN
Digital Signal Processing
可约性 WW
e
2 jmnk mN
nkmnk NmN
WW
nknkm NNm
/ /
ee
特殊点： 11 WWWW
0/2(/2) NNNN
XkXkWXk ()()() 12 N XkXkWXk ()()() 2
k N k N
kN 0,1,...,/21
12
Digital Signal Processing
x1(0)= x(0) x1(1)= x(2) x1(2)= x(4) x1(3)= x(6) x2(0)= x(1) x2(1)= x(3) x2(2)= x(5) x2(3)= x(7) N/2点 DFT N/2点 DFT
4. 存储单元
输入序列x(n) : N个存储单元
r W 系数 N ：N / 2个存储单元
Digital Signal Processing
4.3按频率抽选的基-2FFT算法
1、算法原理
设序列点数N=2L，L为整数。 将X(k)按k的奇偶分组前，先将输入x(n)按n的 顺序分成前后两半：
Digital Signal Processing
XkxnWxnWxnW ()()()()
nnnN 00/2
NN /21/21 nn 00
NNN 1/211
nknknk NNN
xnWxnW ()
nk NN
N 2
Nknk /2 NN
N 2
N nk 2
xnxnWW () n 0
NN /21/21
2 rk NN
k
rk 21
xrWWxrW 12
rr 00 rkkrk xrWWxrW NNN 1/22/2 NN /21/21 rr 00
NN /21/21
rkrk 22 NNN
XkWXk 12
实数加法
2N+2 (N – 1)=2 (2N – 1) 2N (2N – 1)
Digital Signal Processing
nk W 的特性 We N
nk N
2 jnk N
对称性
() WWWW
nknkNnknNk *()() NNNN
Nknk WW NN
2 mDFTNN ()2 F N mFFTN F ()log log 2 N 2
2
Digital Signal Processing
三、按时间抽取的FFT算法的特点
1. 原位计算
XkXkXjW ()()() mmmN ()()() mmmN XjXkXjW
11 11
IDFT : ()[()]()() xnIDFTXkXkWRn 1 N
n 0
N 1
nk NN
k 0
N 1
nk NN
Digital Signal Processing
nk X (k ) DFT [ x(n)] x(n)W N n 0 N 1
k 0
k 1
00 10 ( N 1)0 X (0) x(0)WN x(1)WN › x( N 1)WN
Digital Signal Processing
第四章 快速傅里叶变换 （ Fast Fourier Transform ）
Digital Signal Processing
第四章学习目标
理解按时间抽选的基-2FFT算法的算法原理、运算 流图、所需计算量和算法特点 理解按频率抽选的基-2FFT算法的算法原理、运算 流图、所需计算量和算法特点 理解IFFT算法 了解混合基算法 了解CZT算法 了解线性卷积的FFT算法及分段卷积方法
运算量减少了近一半
Digital Signal Processing
N / 2仍为偶数，进一步分解：N / 2
(2)() xlxl 13 (21)() 14 xlxl XkXkWXk ()()() 13/24 N XkXkWXk ()()() 13/24 4 lN 0,1,...,/41
XkXkWXk ()()() 12 N XkXkWXk ()()() 2
k N k N
kN 0,1,...,/21
12
NN 复数乘法： mLN F 22
复数加法：
log2
aNLNN F
log2
Digital Signal Processing
比较DFT
k 2
XxWxWxNW (1)(0)(1)(1) XxWxWxNW (2)(0)(1)(1)
0111(1)1 NNN 0212(1)2 NNN
L L L
N项
N N
0111(1)1 NNNN k N 1 XNxWxWxNW (1)(0)(1)(1) NNN
1
rN 0,1,...,/21
Digital Signal Processing
则x(n)的DFT:
XkxnWxnWxnW
nnn 000
NNN 111
nknknk NNN
n为 数 奇
n为 数 偶
xrWxrW 221
rr 00
11 11
mr 1
Digital Signal Processing
W 的确定
蝶形运算两节点的第一个节点为k值，表示成L位 二进制数，左移L – m位，把右边空出的位置补 零，结果为r的二进制数。
r N
rk()2 2
Lm
Digital Signal Processing
Digital Signal Processing