频域卷积定理证明过程

卷积定理证明

卷积定理证明卷积定理是数字信号处理中的重要定理，它表明了时域卷积可以转换为频域乘积。

具体的定理表述如下：设x(n)、y(n)为有限长离散时间信号，它们的长度为N，Z为离散时间复频率单位周期，那么它们的离散卷积为：x(n)*y(n)=∑（k=0~N-1）x(k)y(n-k) (1)其离散傅里叶变换为：DFT[x(n)*y(n)]=X(k)Y(k)(2)其中X(k)和Y(k)分别为x(n)和y(n)的DFT系数。

证明：为了证明卷积定理，我们需要用到离散傅里叶变换（DFT）的性质：DFT[∑（n=0~N-1）x(n)y(n)]=X(k)Y(k)也就是说，如果我们将时域中的卷积转换为频域中的乘积，那么对于一个周期N 的离散序列，在频域中的DFT变换结果是两个序列的DFT系数的乘积。

这一性质是离散傅里叶变换的基本理论之一，在这里不再做深入的讨论。

我们现在考虑两个序列x(n)和y(n)的卷积，它的离散傅里叶变换为：DFT[x(n)*y(n)]=∑（k=0~N-1）DFT[x(k)y(n-k)]根据DFT的性质，我们可以将上面的式子改写为：DFT[x(n)*y(n)]=∑（k=0~N-1）X(k)Y(n-k)进行下面的变换：∑（k=0~n）X(k)Y(n-k)+∑（k=n+1~N-1）X(k)Y(n-k)根据卷积的定义，式子左侧的第一项实际上就是x(n)和y(n)的卷积，因此可以将它改写为：∑（k=0~n）x(k)y(n-k)同样，式子左侧的第二项可以改写为：∑（k=0~N-1）x(k)y(n-k)-∑（k=0~n）x(k)y(n-k)因此，前一项等式右侧就是DFT[x(n)*y(n)]，后一项可以继续变换为：∑（k=n+1~N-1）x(k)y(n-k)这样就得出了卷积定理的证明：∑（k=0~N-1）X(k)Y(n-k)=DFT[x(n)*y(n)]。

信号与系统卷积定理

j
e
j

4 Sa 2 2 Sa
解：（ 2）法
利用傅里叶变换线性性
质求
f (t ) g 2 (t ) g 4 (t )
Eg ( t ) E Sa 2 即 g 2 ( t ) 2 Sa ， g 4 ( t ) 4 Sa 2
(t (t

2
f (t )
) )

E
0
2
2

2
t
利用卷积定理求其的频谱。
解法一：利用频域卷积定理
f ( t ) G ( t ) cos(
t
)
解法二：利用频移性质
解法三：用时域微分性质
（本题不是分段线性信号）
解法一：

2
时域
1
t cos

2
F ( j )

f (t ) e
j t
j t
dt
j t
e
2
1
dt
j t
2e
1
1
dt
j t 1
e
1
2
j t
dt
j t 2 1

e j
1
1
1 2

e j
e
2
1

1 j
e

e j
j 2
e
j 2
第八节卷积定理
一、卷积定理
给定两个时间函数
f1 ( t ) 和 f 2 ( t )
f 1( t ) 揪畐 F1( ) , f 2( t ) 揪畐 F2( )

§3.8 卷积特性(卷积定理)

返回
二．卷积定理的应用
用时域卷积定理求频谱密度函数。例3-8-1 用时域卷积定理求频谱密度函数。
的傅里叶变换。求∫ f (τ ) dτ的傅里叶变换。
t −∞
∫ f (τ )dτ = ∫ f (τ )u(t −τ )dτ
t
∞
1 F(ω) ∫−∞ f (τ )dτ ↔F(ω) ⋅ πδ(ω) + jω =π F(0)δ (ω) + jω 求系统的响应。求系统的响应。 f (t) g(t )
f1(t )
E
Eτ
F (ω) 1
−
τ
2
O
τ2t−Fra bibliotek2π 0
E2τ
f1(t ) ∗ f1(t )
τ
E2τ 2
τ F(ω)
2π
4π
τ
ω
−τ
O
τ
t
−
2π o
τ
2π
ω
τ
返回
•频域卷积定理若 f1 (t ) ↔ F (ω), f2 (t ) ↔ F2 (ω) 1 1 则 f1(t ) ⋅ f2 (t ) ↔ F (ω) ∗ F2 (ω) 1 2 π 1 π 时间函数的乘积 ↔各频谱函数卷积的 2 倍。卷积定理揭示了时间域频率域的运算关系时间域与的运算关系，卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系，在通信系统和信号处理研究领域中得到大量应用。系统和信号处理研究领域中得到大量应用。
∞
因此
−∞
卷积定义
∞ f (τ ) f (t −τ ) dτ e−jω t dt F[ f1 (t ) ∗ f2 (t )] = ∫−∞ ∫−∞ 1 2
∞
∞ f (t −τ )e−jωt dt dτ = ∫ f1(τ ) ∫ 2 −∞ −∞

卷积傅里叶变换推导

卷积傅里叶变换推导答：卷积傅里叶变换推导一、卷积的定义与性质卷积是信号处理中的一种基本运算，用于描述两个函数在一定范围内相互作用的强度。

卷积的定义为：两个函数f和g的卷积定义为f*g(t)=∫(-∞∞)f(τ)g(t−τ)dτ，其中f和g都是可积函数。

卷积具有平移不变性、交换律、结合律等性质。

二、傅里叶变换的定义与性质傅里叶变换是信号处理中的一种重要工具，它可以将时间域的函数转换为频率域的函数。

傅里叶变换的定义为：对于实数t，函数f(t)的傅里叶变换F(ω)定义为∫(-∞∞)f(t)e−iωtdt，其中i是虚数单位，ω是角频率。

傅里叶变换具有线性性、时移性、频移性、共轭对称性等性质。

三、卷积定理的应用卷积定理指出，两个函数的卷积在时间域和频率域内的表示形式相同，即f*g(t)=∫(-∞∞)f(τ)g(t−τ)dτ=∫(-∞∞)F(ω)G(ω)e^{iωt}dω，其中F(ω)和G(ω)分别是f(t)和g(t)的傅里叶变换。

卷积定理的应用包括信号处理、图像处理、控制系统等领域。

四、傅里叶变换的逆变换傅里叶变换的逆变换是将频率域的函数转换回时间域的函数。

逆变换的公式为：f(t)=∫(-∞∞)F(ω)e^{iωt}dω。

逆变换的存在性和唯一性取决于傅里叶变换的定义和性质。

逆变换的应用包括信号重建、图像还原等领域。

五、卷积的傅里叶变换表示根据卷积定理，两个函数的卷积可以表示为它们的傅里叶变换的乘积。

具体地，如果f和g是可积函数，那么它们的卷积f*g(t)可以表示为它们的傅里叶变换F(ω)和G(ω)的乘积在频域内的积分：f*g(t)=∫(-∞∞)F(ω)G(ω)e^{iωt}dω。

这种表示方法对于理解和应用卷积非常有帮助。

六、卷积运算的简化在实际应用中，为了简化计算和提高计算效率，常常采用一些方法来简化卷积运算。

例如，在数字信号处理中，可以采用快速傅里叶变换（FFT）算法来计算傅里叶变换和逆变换，从而快速计算卷积。

信号与系统7-2卷积定理课件

一般的求法：f (t) f (t) y(t)，先求 y(t)的频谱Y ( j)
t y(t)dt Y ( j) Y (0) ()
j
其中：
Y (0)
y(t)dt f (t)dt f (t) f () f ()
t y(t)dt Y ( j) [ f () f ()] ()
3
时域微分和积分性质
时域微分性质
df (t) jF ( j)
dt
时域积分性质
f (n) (t) ( j)n F( j)
当 F(0) F( j) f (t)dt 0 时，
0
t f ( )d F( j)
j
f (n) (t) 1 F ( j ) ( j)n
4
时域微积分性质的公式
已知：
G
(t
)
Sa(
2
)
，根据对偶性：
Sa(
t
2
)
2
G
(
)
将
换成2c，得：
C
Sa(Ct)
G2c
( )
又已知： cos0t [ ( 0 ) (
Sa(Ct)
0 )]
C
G2c
( )
根据频域卷积定理：
f
(t)
1
2
ห้องสมุดไป่ตู้
C
G2C
() [ (
0 )
(
0 )]
f
(t)
2C
[G2C
(
0 )
G2C
(
0 )]
cos
2
t
[
(
2
)
(
2
)]
根据频域卷积定理：
1
cos

3.7 卷积特性

共分二个定理：共分二个定理：时域卷积定理频域卷积定理
一、时域卷积定理
给定两个时间函数 f1(t)、f 2 (t) 已知：已知：
f1(t) →F1(w)
FT
f2(t) →F2(w)
FT
则：
f1(t)∗f2(t) →F1(w)⋅ F2(w)
FT
时域卷积频域相乘。频域相乘。
即：两个时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积。两个时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积。
证明：证明：
根据卷积定义 f1(t) * f2 (t) = ∫−∞ f1(τ )* f2 (t −τ )dτ 则：f (t) * f (t) → 1 2
FT
∞
f (τ ) * f (t −τ )dτ e− jwt dt ∫−∞ ∫−∞ 1 2 ∞ ∞ f (t −τ )e− jwt dtdτ = ∫ f1(τ ) ∫ 2 −∞ −∞ = ∫ f1(τ )F2 (w)e
§ 3.7 卷积特性
• 主要内容
•时域卷积定理时域卷积定理 •频域卷积定理频域卷积定理 •卷积定理的应用卷积定理的应用
• 重点：时域卷积定理和频域卷积定理重点： • 难点：卷积定理的应用难点：
卷积特性是傅里叶变换性质之一，由于它卷积特性是傅里叶变换性质之一，在通信系统和信号处理中的重要地位－－－－应在通信系统和信号处理中的重要地位－－应用最广。所以单独以一节来讲。用最广。所以单独以一节来讲。
(t ≤ (t >
τ τ
f (t)
) 2 ) 2
−
E
τ 0
2
τ
2
t
解：把余弦脉冲信号看成是矩形脉冲信号Ｇ(t) 与周期余弦把余弦脉冲信号看成是矩形脉冲信号Ｇ信号相乘。信号相乘。

《数字信号处理》(门爱东)课后习题答案(上册)

证明：
∞
设 g(t) = ∑ f (nT )δ (t − nT ) n = −∞
则：
∑ ∑ F
g
( t )
=
F
∞ n =−∞
f
(nT
)δ
(t
−
nT
)
=
∞ n =−∞
f
(nT
) e−
jnT Ω
∞
0
+∞
∑ ∑ ∑ =
e−a nT e− jnTΩ =
eanT e− jnTΩ + e e −anT − jnTΩ
(2) 用（a）的结果，证明频域卷积定理
证明：
f1(t)
f2 (t )
↔
1 2π
F1(Ω) ∗ F2 (Ω)
（1）
（2）
( ) ∫ ( ) ∫ ( ) F Ω ∗ e− jΩt =
∞
F
y e− j(Ω− y)tdy =
∞
FБайду номын сангаас
y e− jΩte jytdy
−∞
−∞
∫ ( ) ( ) = e− jΩt
n =−∞
n = −∞
n=1
+∞
+∞
∑ ∑ = e−anT e jnTΩ + e e −anT − jnTΩ
n =0
n =1
+∞
+∞
∑ ∑ = e−nT (a− jΩ) + e−nT (a+ jΩ)
n =0
n =1
=
1−
1 e−T (a− jΩ)
+
1
e −
−T (a+ jΩ)
e−T (a+ jΩ

采样定理的证明与推导

采样定理的证明与推导
采样定理，⼜称⾹农采样定理，奈奎斯特采样定理，只要采样频率⼤于或等于有效信号最⾼频率的两倍，采样值就可以包含原始信号的所有信息，被采样的信号就可以不失真地还原成原始信号。

设输⼊连续信号：
采样输出信号：
采样的过程如下图所⽰，可看作⼀段周期为T、宽度为τ的矩形脉冲载波信号S（t）
显然，τ越窄，采样越精确，当τ<<T时，采样的矩形脉冲信号接近于冲击信号，具有冲击信号的性质。

所以
那么理想采样为：
对上述⼏个信号作傅⾥叶变换：
对于，由频域卷积定理（时域乘积等于频域卷积，下⾯公式Xc与S是卷积）：
由于S（t）是⼀个周期函数，可以表⽰成傅⾥叶级数
,其中
那么：
根据冲激函数的性质得到：
从上可知理想采样信号是连续时间信号频谱的周期延拓函数，其频域周期等于采样周期，⽽频谱幅度则为1/T，所以除去⼀个常数因⼦外，每⼀个延拓的的谱分量都和原频谱分量相同。

从图像上来理解会更直观⼀些
图a是输⼊信号Xc(t)在频域上的图像
图b是采样信号S(t)在频域上的图像
图c是成功采样后得到的信号Xs(t)在频域上的图像
图d是⼀次失败的采样，由此结果⽆法还原回原信号
从图c与d中我们可以看到，只有使延拓的的谱分量之间不发⽣重叠，才能最终还原出原始信号，为此上图中的Ωs应该⼤于等于2倍的Ωn，图中的Ωs即位采样的频率，Ωn为原信号的最⾼频率。

采样定理由此证毕。

3.8 卷积特性(卷积定理)

23
一、时域抽样
FT [ f s (t )] = Fs (ω ) FT [ f (t )] = F (ω ) FT [ p (t )] = P(ω )
f s (t ) = f (t ) p ((ω ) P(ω ) 2π
P(ω) = 2π ∑Pδ (ω nωs ) n
π π πt FT [cos( )] = π [δ (ω + ) + δ (ω )] τ τ τ
2
2
1 πt F (ω ) = G (ω ) FT [cos( )] 2π τ
G (ω ) = Eτ Sa (
ωτ
2
)
πt π π FT [cos( )] = π [δ (ω + ) + δ (ω )] τ τ τ
1
ω1 ω 0
0 ω2 ω0
ω0
2ω 0 ω 0 + ω1 ω 0 + ω 2
ω
10
ω2 ω0
ω1
ω1
ω0
ω2
1 FT[ f (t) cosω1t] = [F(ω +ω1) + F(ω ω1)] 2
1 2
ω1 ω 2 2 ω 1 ω 1 ω1 ω 2
0
ω 2 ω1 ω 1
2 ω 1 ω1 + ω 2
6
∫
∞
∞
F (ω )
2 sin ω
ω
e
j 2ω
dω = ?
F (ω) = F(ω) 1
2sin ω
ω
e j 2ω
f1(t) = f (t) FT 1[2Sa(ω)e j 2ω ]
∫
∞
∞
F(ω)
1
2sin ω

二维卷积定理证明

二维卷积定理证明二维卷积定理是信号处理中一个重要的定理，它表明在时域进行卷积运算等价于在频域进行逐点相乘。

本文将从定义二维卷积和频谱的角度出发，详细推导二维卷积定理，并对其进行证明。

一、概述1.1 二维卷积在信号处理中，卷积运算是一种常用的操作，可以用来描述信号在时间或空间上的加权和。

在二维卷积中，我们通常处理二维离散信号，如图像。

定义二维卷积运算如下：设有两个二维离散信号f(x,y)和h(x,y)，其中f(x,y)的定义域为Df，h(x,y)的定义域为Dh，则二维离散卷积定义为：g(x,y) = f(x,y) * h(x,y) = ΣΣ f(m,n) * h(x-m,y-n)其中，x和y为卷积结果的坐标，m和n为求和变量，取值范围由定义域所限。

1.2 频谱在信号处理中，频谱表示信号在频域的分布情况。

在二维情况下，信号的频谱可以通过二维傅里叶变换得到。

设二维离散信号f(x,y)的频谱表示为F(u,v)，其中u和v为频谱的坐标，定义如下：F(u,v) = ΣΣ f(x,y) * exp(-j2π(ux+vy))其中，exp是欧拉公式的指数形式，j为虚数单位。

二、二维卷积定理的推导为了推导二维卷积定理，我们首先将卷积过程转化为频域运算。

根据频谱的定义，我们可以将二维卷积定义进行改写：g(x,y) = f(x,y) * h(x,y)= ΣΣ f(m,n) * h(x-m,y-n)= ΣΣ [1/N^2 ΣΣ F(u,v) * exp(j2π(um+vn))] * h(x-m,y-n)= 1/N^2 ΣΣ F(u,v) * [ΣΣ h(x-m,y-n) * exp(j2π(um+vn))]其中，N为信号的长度（宽度），F(u,v)为f(x,y)的频谱。

进一步化简，使用了卷积的定义公式，并进行变量替换：= 1/N^2 ΣΣ F(u,v) * [ΣΣ h(u,v) * exp(j2π[(u(x-m)+v(y-n))]/N)] = 1/N^2 ΣΣ F(u,v) * [ΣΣ H(u,v) * exp(j2π[(u(x-m)+v(y-n))]/N)]其中，H(u,v)为h(x,y)的频谱。

频域卷积定理

频域卷积定理频域卷积定理是数字信号处理中一个重要的定理，它有助于我们深入理解信号处理技术和深度学习技术，它涉及到信号处理中所有重要概念，包括频率和时间域，以及滤波器和信号编码等。

理解频域卷积定理，进而掌握信号处理的关键，可以帮助我们高效的实现信号处理或机器学习的任务。

频域卷积定理可以用简单的语言来描述：频域卷积定理指的是，如果两个函数的傅立叶变换结果相乘，则这两个函数在实际空间中的卷积结果等于这两个函数的傅立叶变换结果的逆变换结果。

实际上，频域卷积定理更精确地指出，如果函数f（t）和g（t）的傅立叶变换分别为F（w）和G（w），则卷积结果h（t）的傅立叶变换H（w）等于F（w）乘以G（w）。

为什么我们要研究频域卷积定理呢？频域卷积定理可以帮助我们更加深入领略信号处理技术，而在深度学习算法实现上，又有几种重要的应用。

<b>频域卷积定理在深度学习中的应用</b>首先，频域卷积定理可以帮助我们理解卷积神经网络（CNN），CNN 是深度学习中一类常用的模型，它可以利用卷积核对输入数据进行滤波，从而提取特定的特征，有助于我们更好的实现机器学习任务。

在深度学习中，主要通过滤波来提取特征，而滤波器的设计又与频域卷积定理息息相关。

其次，频域卷积定理可以帮助我们理解生成对抗网络（GAN），GAN是另一类重要的深度学习模型，它在图像生成上可以实现前所未有的效果，同时，也可以用于图像分类和模式识别等任务。

在GAN模型中，判别器可以用频域卷积定理来实现特征提取，帮助模型更加准确的分类。

最后，也可以利用频域卷积定理来建立频域卷积神经网络（FCNN），FCNN和CNN有相似的结构，但FCNN使用傅立叶变换和反变换替代了CNN使用的卷积核和池化操作，它可以更快速和准确的实现机器学习任务。

<b>结论</b>频域卷积定理可以帮助我们理解信号处理技术，而在深度学习模型中，也有着广泛的应用。

数字信号处理第1章内容提要和习题答案

第一章序论一、内容提要本章主要讲述了数字信号的定义、特点和处理方法，并且简要地回顾了我们后面所涉及的一些常用的模拟信号知识。

1．数字信号定义、特点和方法信号可定义为传递信息的函数，或者信息的物理表现形式。

各种信号在数学上可表示为一个或者几个独立变量的函数。

如果我们以信号的时间为独立变量，则时间变量既可以是连续的，也可以是离散的，从而信号可以分为模拟信号（或称为连续时间信号）和离散信号（或称为离散时间信号）。

模拟信号除了是时间的连续函数外，它在一定的时刻都有理论上无限精确的数值（幅值），且此值在一定的范围内随时间连续变化，即模拟信号表现为时间连续，幅度连续。

而离散信号定义在离散时间上的信号，只在特定的时间上有精确的数值，在其他时间上数值为零或未知。

若离散信号的幅值是连续的，则取样数据信号；若将离散信号的幅度也进行离散化处理（量化），然后将离散幅度值编码为二进制数码序列，则为数字信号，其特点是时间和幅度都是离散的。

所以说数字信号是离散信号的特例，是离散信号最重要的子集。

数字信号处理是研究如何用数字或符号序列来表示信号以及如何对这些序列进行处理的一门学科。

信号处理是对信号进行某种变换（处理），包括滤波、变换、分析、估计、检测、压缩、识别等，从而更容易获得人们所需要的信息。

信号处理系统按所处理信号的种类分为：模拟系统、时域离散系统、数字系统。

与模拟信号处理相比，数字信号处理具有精度高、可靠性高、灵活性强、便于大规模集成化、易于加密、易于处理低频信号等显著特点。

数字信号处理实际上就是进行各种数学函数运算，许多数字信号处理算法都是在时域和频域两个域中进行，实现的方法有软件、硬件和软硬结合。

2．傅立叶变换的定义傅立叶变换的表达式为：()()1()()2j t j t H h t e dth t H e d π∞-Ω-∞∞Ω-∞Ω==ΩΩ⎰⎰傅立叶变换是信号处理中最重要的工具之一，它主要用于分析信号的频谱。

卷积证明及研究卷积在时域-频域信号中的应用

研究卷积在时域-频域信号中的应用卷积定义：若已知函数()1f t ，()2f t ，称积分()()12d f f t τττ+∞-∞-⎰为函数()1f t ，()2f t 的卷积，记为()()12f t f t *，即()()()()1212d f t f t f f t τττ+∞-∞*=-⎰卷积积分是一种数学方法，它是沟通时域-频域的一个桥梁，在信号与系统的理论研究中占有重要的地位。

在很多情况下，卷积积分的计算比较困难，但是根据卷积的特性可以将卷积积分变成乘法运算，从而使信号分析人工化。

变成的乘法运算即若()(f)x t X ⇔ ()(f)y t Y ⇔ 则()()(f)Y(f)xt y t X *⇔，()()(f)Y(f)x t y t X ⇔*※现给出卷积定理在时域-频域中应用的证明 ()()()()1212d f t f t f f t τττ+∞-∞*=-⎰上式两边进行傅里叶变换，有 ()()()()j 1212d e d F t f t f t f f t t ωτττ+∞+∞--∞-∞⎡⎤=⎡⎤⎣*-⎢⎥⎣⎦⎦⎰⎰ 交换积分次序 ()()()()j 1212e d d F t f t f t f f t t ωτττ+∞+∞--∞-∞=⎡⎡⎤*-⎢⎥⎣⎤⎣⎦⎦⎰⎰()()j j ()12e e d()d t t f f t t ωωτττττ+∞+∞----∞-∞⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰根据时移特性，上式的中括号内的积分就是()2f t 的傅里叶变换，即 ()()()j 1212F e F ()d t f t f t f ωτωτ+∞--∞*=⎡⎤⎣⎦⎰()j 21F ()e d t f ωωττ+∞--∞=⎰同理，上式中的积分就是()1f t 的傅里叶变换，即()()122112F F ()F ()F ()F ()f t f t ωωωω*==⎡⎤⎣⎦ 因此，()()1212F ()F ()f t f t ωω*⇔总结：时域中的信号卷积，对应着频域乘积；而时域中的信号乘积，对应着频域卷积，即若()(f)x t X ⇔ ()(f)y t Y ⇔ 则()()(f)Y(f)x t y t X *⇔，()()(f)Y(f)x t y t X ⇔*。

函数的卷积及其公式的应用

函数卷积及其应用摘要卷积是一个很重要的数学概念．它描述了对两个（或多个）函数之积进行变换的运算法则，是频率分析的最有效的工具之一。

本文通过对卷积的概念，性质，具体应用以及对卷积公式，卷积定理等方面进行较为全面和系统的论述和总结，使得对卷积的内涵有更全面更深刻的理解和认识。

关键词卷积卷积公式性质应用1引言卷积是在信号与线性系统的基础上或背景中出现的。

狄拉克为了解决一些瞬间作用的物理现象而提出了“冲击函数”这一符号，而卷积的诞生正是为了研究“冲击函数”服务的；卷积是一种数学积分变换的方法，也是分析数学中一种重要的运算。

卷积在物理学，统计学，地震预测，油田勘察等许多方面有十分重要的应用。

本文通过对卷积的概念，性质，应用等方面进行较为全面和系统的论述和总结，使得对卷积的内涵有更全面更深刻的理解和认识。

2卷积的定义和性质2.1卷积的定义（基本内涵）设:)(),(x g x f 是1R 上的两个可积函数，作积分:()()τττd x g f -⎰+∞∞- 随着x 的不同取值，这个积分就定义了一个新函数)(x h ，称为函数()x f 与)(x g 的卷积，记为)(x h =)()(x g x f * (或者()()x g f *) .注(1)如果卷积的变量是序列()()n h n x 和，则卷积的结果：∑+∞-∞=*=-=i n h n x i n h i x n y )()()()()(，其中星号*表示卷积。

当时序n=0时，序列h(-i)是)(i h 的时序i 取反的结果;时序取反使得)(i h 以纵轴为中心翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和，简称卷积.另外，n 是使)(i h -位移的量，不同的n 对应不同的卷积结果.（2）如果卷积的变量是函数)(t x 和)(t h ，则卷积的计算变为：)()()()()(t h t x dp p t h p x t y *=-=⎰+∞∞-，其中p 是积分变量，积分也是求和，t 是使函数)(p h -位移的量，星号*表示卷积.（3）由卷积得到的函数g f *一般要比g f 和都光滑.特别当g 为具有紧致集的光滑函数，f 为局部可积时，它们的卷积g f *也是光滑函数.2.2卷积的性质性质2.2.1（交换律）设)(x f ,)(x g 是1R 上的两个可积函数，则)()()()(x f x g x g x f *=*. 证 =*)()(x g x f ()()τττd x g f -⎰+∞∞-令τ-=x u ，则u x -=τ，τd du -= 所以=*)()(x g x f ()()τττd x g f -⎰+∞∞-=()()du u g u x f ⎰-∞∞+--=()()du u x f u g ⎰+∞∞--=)()(x f x g *性质2.2.2（分配律）设)(),(x g x f )(x h 是1R 上的三个可积函数，则()()[]x h x g x f +*)()()()()(x h x f x g x f *+*=.证根据卷积定义()()[]x h x g x f +*)(=()()()[]ττττd x h x g f -+-⎰+∞∞-=()()τττd x g f -⎰+∞∞-+()()τττd x h f -⎰+∞∞-)()()()(x h x f x g x f *+*= 性质2.2.3（结合律）设)(),(x g x f )(x h 是1R 上的三个可积函数，则()()[]()x h x g x f **()()()[]x h x g x f **=.证令()()=*=x g x f x m )(()()τττd x g f -⎰+∞∞-，()()()()()dv x h v x g x h x g x s ⎰+∞∞--=*=，则()()[]()x h x g x f **=()()x h x m *=()()du u x h u m -⎰+∞∞-=()()()du u t h d u g f -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰⎰+∞∞-+∞∞-τττ=()()τττd du u t h u g f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰⎰+∞∞-+∞∞-)(令v x u u x v -=-=则,，上式=()()τττd dv v h v x g f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰⎰+∞∞-+∞∞-)(=()()du u x s f -⎰+∞∞-τ=()()x s x f *()()()[]x h x g x f **=性质2.2.4 ()()x g x f x g x f *≤*)()(. 证明 =*)()(x g x f ()()τττd x g f -⎰+∞∞-≤()()τττd x g f -⋅⎰+∞∞-=()()x g x f *.性质2.2.5（微分性）设)(),(x g x f 是1R 上的两个可积函数，则())()()()()()(x g x f x g x f x g x f dxd'*=*'=*. 证明 ()()()()()τττττd h dxx df d dx x dg x f x g x f dx d⎰⎰∞+∞-∞+∞-=-=*-)()( 即())()()()()()(x g x f x g x f x g x f dxd'*=*'=* 意义卷积后求导和先对其任一求导再卷积的结果相同.性质2.2.6（积分性）设()()()x h x g x f *=，则()()()()()()()x h x g x h x g x f11)1(---*=*=.意义卷积后积分和先对其任一积分再卷积的结果相同. 推广 ()()()()()()()()x h x g x h x g x fn n n *=*=.性质2.2.7（微积分等效性）设)(x f ,)(x g 是1R 上的两个可积函数，则()()ττd g x f x g x f x⎰∞-*'=*)()(.例2.1 设()0010≥<⎩⎨⎧=x x x f ，()000≥<⎩⎨⎧=-x x e x g x ，求()x g x f *)(.解由卷积定义知()x g x f *)(=()()τττd x g f -⎰+∞∞-=()()t t t tx e e e d e-----=-=⋅⎰1110ττ例2.2 设函数()()()()()t e t f t t t f t μμμ-=--=21,3试计算其卷积()()()t f t f t y 21*=. 解由卷积定义知()()()其他300131<<⎩⎨⎧=--=ττμτμτf()()()tte t ef t t ><⎩⎨⎧=-=----τττμτττ0)(2 所以()()()t f t f t y 21*==()()τττd t f f -⎰+∞∞2-1显然这个积分值与函数()ttt ><⎩⎨⎧=-τττμ01，所取非零值有关，即与参数t 的取值有关.()1当t 0<时，因30<<<τt ，所以()0=-τμt ，此时()()()t f t f t y 21*==003)(=⋅⎰--ττd e t()2当30<<t 时，只有t <<τ0时，有()1=-τμt ，此时()()()t f t f t y 21*==t tt e d e ----=⎰10)(ττ()3当3>t 时，因为t <<<30τ，所以()1=-τμt ，此时()()()t f t f t y 21*==()t t e e d e ----=⎰133)(ττ综上所述，有()()()t f t f t y 21*==()33001-103><<<⎪⎩⎪⎨⎧⋅---t t t e e ett3.卷积定理3.1 时域卷积定理设两函数)(),(21t f t f ，的傅里叶变换分别为：[],)()(1~1t f s F =ω [],)()(1~1t f s F =ω则两函数卷积的傅里叶变换为：[]),()()()(2121~ωωF F t f t f s ⋅=*上式称为时域卷积定理，它表明两信号在时域的卷积积分对应于在频域中该两信号的傅立叶变换的乘积.证明 []=*)()(21~t f t f s ()()dt e d t f f t j ωτττ-+∞∞-+∞∞-⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21=()()τττωd dt e t f f t j ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰⎰+∞∞--+∞∞-21=()()τωτωd e F f t j -+∞∞-⎰21=()()ττωωd e f F t j -+∞∞-⎰12=()()=⋅ωω12F F ),()(21ωωF F ⋅ 3.2频域卷积定理设两函数)(),(21t f t f ，的傅里叶变换分别为：[],)()(1~1t f s F =ω [],)()(1~1t f s F =ω则两函数卷积的傅里叶变换为：[]),()(21)()(2121~ωωπF F t f t f s *=上式称为频域卷积定理，它表明两信号在时域的乘积对应于这两个函数傅氏变换的卷积除以π2.证明 ()()()()ωππωωπωd e du u w F u F F F s tj ⎰⎰∞+∞-∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡*21211-~212121 ()du d e u F u F tj ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰⎰∞+∞-∞+∞-ωωππω2121)(21()()()t f t f du e t f u F jut 1221)(21⋅==⎰+∞∞-π于是[])()(21)()(2121~ωωπF F t f t f s *= 例3.1 求积分方程()()()()τττd t g f t h t g -+=⎰+∞∞-的解，其中()()t f t h ,为已知函数，且()()()t h t f t g 和,的Fourier 变换都存在. 解假设()[](),ωG t g F =()[](),ωH t h F =()[](),ωF t f F =由卷积定义知()()()()t g t f d t g f *=-⎰+∞∞-τττ现对积分方程两端取Fourier 变换可得 ()()()()ωωωωG F H G ⋅+=解得()()()ωωωF H G -=1所以原方程的解为()()()ωωωπωd e F H t g ti ⎰∞+∞--=121例3.2 求常系数非齐次线性微分方程()()()t f t y t y dtd -=-22的解，其中()t f 为已知函数. 解设()[]()[]()ωωF t f F Y t y F ==),(现对原方程两端取Fourier 变换，并根据Fourier 变换的性质可得 ()()()()ωωωωF Y Y i -=-2解得()()21ωωω+=F Y 所以原方程的解 ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=-∞+∞-⎰ωωωωωπωF F d e F t y t i 212111121 由卷积定理得()()[]ωωF F F t y 12111--*⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==()()τττd e f t f et t--∞+∞--⎰=*212.例3.3 求微分积分方程()()()()t h dt t x c t bx t x a t=++'⎰∞-的解.其中c b a t ,,,+∞<<∞-均为常数.解设()[]()()[]()ωωH t h F X t x F ==,现对原方程两端取Fourier 变换，并根据Fourier 变换的性质可得 ()()()()ωωωωωωH X i c bX X ai =++解得()()()⎪⎭⎫⎝⎛-+=++=ωωωωωωωc a i b H i c b ai H X ，所以原方程的解 ()()dt e c a i b H t x ti ωωωωπ⎰∞+∞-⎪⎭⎫⎝⎛-+=214.卷积公式及其应用与推广4.1卷积公式设X 和Y 的联合密度函数为）y x f ,(，则Y X Z +=得概率密度为⎰+∞∞--='=dx x z f x fZ F Z f Y Xz z )()()()(⎰+∞∞--='=dy y f y z fZ F Z f Y Xz z )()()()(证明 Y X Z +=的分布函数是：⎰⎰=≤+=≤=Dz xy f p z Z p Z F )()z Y X ()()(其中D ={}z y x y x ≤+:),(于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-∞-+=+∞∞--∞-≤+-===zy x u yz zy x Z dudy y y u f dxdyy x f dxdy y x f Z F ),(),(),()(=⎰⎰∞-+∞∞--z dydu y y u f ),(从而⎰+∞∞--='=dy y y z f Z F Z f z z ),()()(由X 和Y 的对称性知⎰+∞∞--='=dx x x z f Z F Z f z z ),()()(。

3-4卷积定理和相关定理

+∞ +∞
1 2π
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统— 信号与系统—signals and systems
3．利用频域卷积定理求傅立叶变换． [例1]： f (t ) = G2 (t ) cos( t ) 的傅立叶变换例： 2 1 π 解：ℱ[ f (t )] = ℱ[cos t ] ∗ ℱ[G2 (t )] 2π 2 1 π π = π [δ (ω − ) + δ (ω + )] ∗ 2Sa(ω ) 2π 2 2
t < −2 0 −2 ≤ t < 0 t + 2 −2 ≤ t < 0 = 0 ≤ t < 2 2 − t 0 ≤ t < 2 0 t>2 t>2
2
f1 (t ) ∗ f 2 (t )
t < −2
F (ω ) = Sa(ω )Sa(ω ) = Sa 2 (ω )
-2 0 2
t
R12 (τ ) = ∫ f 1 (t ) f 2 (t − τ )dt = ∫ f 1 (t + τ ) f 2 (t )dt
−∞ −∞ +∞ +∞ +∞ +∞
R21 (τ ) = ∫ f 1 (t − τ ) f 2 (t )dt = ∫ f 1 (t ) f 2 (t + τ )dt
−∞ −∞
④复能量信号的相关函数：复能量信号的相关函数：
R12 (τ ) = ∫
+∞ −∞
f1 (t ) f 2* (t − τ ) dt
⑤复功率信号的相关函数：复功率信号的相关函数：
1 T R12 (τ ) = lim ∫ 2T f1 (t ) f 2* (t − τ )dt T →∞ T − 2

傅里叶变换频域卷积定理

傅里叶变换频域卷积定理傅里叶变换频域卷积定理傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法，它可以将一个信号表示为许多不同频率的正弦和余弦函数的加权和。

在信号处理中，卷积是一种常见的操作，它可以将两个信号合并成一个新的信号。

傅里叶变换频域卷积定理是指，在频域中进行卷积运算等价于在时域中进行乘法运算。

一、时域卷积时域卷积是指两个函数f(x)和g(x)进行卷积运算后得到的新函数h(x)，其数学表达式为：h(x) = ∫f(t)g(x-t)dt其中，t为时间变量，x为空间变量。

该式表示了在x处的新函数值是由f(t)和g(x-t)在所有时间t上的乘积之和得到的。

这个过程可以看作是f(x)与g(x)之间的“混合”过程，通常用于滤波、降噪等应用。

二、傅里叶变换傅里叶变换是一种将时域信号转化为频域信号的方法。

它可以将一个函数表示为不同频率正弦和余弦函数加权后得到的函数。

傅里叶变换的数学表达式为：F(ω) = ∫f(x)e^(-iωx)dx其中，f(x)为原始函数，F(ω)为傅里叶变换后的函数，i为虚数单位，e 为自然对数的底数。

三、频域卷积频域卷积是指在频域中进行卷积运算。

它可以将两个信号在频域中进行乘法运算得到新的频率分量，从而得到新的信号。

频域卷积的数学表达式为：H(ω) = F(ω)G(ω)其中，H(ω)表示两个函数F(ω)和G(ω)在频域中进行卷积运算后得到的新函数。

四、傅里叶变换频域卷积定理傅里叶变换频域卷积定理是指，在时域中进行卷积运算等价于在频域中进行乘法运算。

具体表达式为：h(x) = f(x)*g(x)H(ω)=F(ω)G(ω)其中，h(x)表示两个函数f(x)和g(x)在时域中进行卷积运算后得到的新函数；H(ω)表示两个函数F(ω)和G(ω)在频域中进行乘法运算后得到的新函数。

该定理的证明涉及到傅里叶变换的性质和卷积运算的定义，可以通过求解上述两个式子的傅里叶逆变换来证明。

具体证明过程略。

五、应用傅里叶变换频域卷积定理在信号处理中有着广泛的应用。

傅里叶变换频域卷积定理证明

傅里叶变换频域卷积定理证明傅里叶变换频域卷积定理是信号处理领域中的一个重要定理，它建立了时域和频域之间的联系，为信号处理提供了有力的工具。

下面，我将对该定理进行证明。

一、傅里叶变换的定义首先，我们需要了解傅里叶变换的定义。

傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学方法，其公式为：F(ω)=∫f(t)e^(-jωt)dt其中，f(t)是时域信号，F(ω)是频域信号，j是虚数单位，ω是角频率。

二、卷积定理的表述卷积定理的表述如下：两个时域信号的卷积的傅里叶变换等于这两个时域信号的傅里叶变换的乘积。

用数学公式表示为：F{f1(t)*f2(t)}=F1(ω)F2(ω)其中，*表示卷积运算，F1(ω)和F2(ω)分别是f1(t)和f2(t)的傅里叶变换。

三、证明过程为了证明卷积定理，我们可以按照以下步骤进行推导：第一步，根据傅里叶变换的定义，我们可以将f1(t)*f2(t)的傅里叶变换表示为：F{f1(t)*f2(t)}=∫f1(t)*f2(t)e^(-jωt)dt第二步，根据卷积的定义，我们可以将f1(t)*f2(t)表示为：f1(t)*f2(t)=∫f1(τ)f2(t-τ)dτ第三步，将第二步的结果代入第一步的公式中，得到：F{f1(t)*f2(t)}=∫∫f1(τ)f2(t-τ)dτe^(-jωt)dt第四步，交换积分次序，得到：F{f1(t)*f2(t)}=∫f1(τ)∫f2(t-τ)e^(-jωt)dtdτ第五步，根据傅里叶变换的定义，我们可以将内层积分表示为F2(ω)e^(-jωτ)，于是得到：F{f1(t)*f2(t)}=∫f1(τ)F2(ω)e^(-jωτ)dτ=F1(ω)F2(ω)至此，我们完成了卷积定理的证明。

需要注意的是，这里的证明是基于傅里叶变换的定义和卷积的定义进行的，因此要求读者对这些概念有一定的了解。

四、结论通过对卷积定理的证明，我们可以看到傅里叶变换在信号处理中的重要作用。

傅里叶变换的基本性质

傅里叶变换的基本性质（一）傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。

在实际信号分析中，经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。

因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。

一、线性傅里叶变换是一种线性运算。

若则其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。

例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数。

解因由式(3-55)得二、对称性若则证明因为有将上式中变量换为x，积分结果不变，即再将t用代之，上述关系依然成立，即最后再将x用t代替，则得所以证毕若是一个偶函数，即，相应有，则式(3-56)成为可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数。

式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调。

例如：例3-7若信号的傅里叶变换为试求。

解将中的换成t，并考虑为的实函数，有该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为根据对称性故再将中的换成t，则得为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。

三、折叠性若则四、尺度变换性若则证明因a＞0，由令，则，代入前式，可得函数表示沿时间轴压缩(或时间尺度扩展)a倍，而则表示沿频率轴扩展(或频率尺度压缩)a倍。

该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。

例3-8已知,求频谱函数。

解前面已讨论了的频谱函数，且根据尺度变换性，信号比的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半，因此其频谱函数两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。

五、时移性若则此性质可根据傅里叶变换定义不难得到证明。

它表明若在时域平移时间，则其频谱函数的振幅并不改变，但其相位却将改变。

例3-9求的频谱函数。

解:根据前面所讨论的矩形脉冲信号和傅里叶变换的时移性，有六、频移性若则证明证毕频移性说明若信号乘以，相当于信号所分解的每一指数分量都乘以，这就使频谱中的每条谱线都必须平移，亦即整个频谱相应地搬移了位置。

傅里叶卷积证明

傅里叶卷积证明1. 引言傅里叶卷积是信号处理中常用的一种操作，它可以将两个信号进行卷积运算，从而得到新的信号。

傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学工具，而傅里叶卷积则是在频域中进行的卷积运算。

本文将详细介绍傅里叶卷积的定义、性质以及证明过程。

2. 傅里叶卷积定义设两个函数f(x)和g(x)，它们的傅里叶变换分别为F(ω)和G(ω)。

傅里叶卷积定义为：∞(t)g(x−t)dtℎ(x)=f(x)∗g(x)=∫f−∞其中，∗表示卷积操作。

3. 傅里叶卷积定理傅里叶卷积定理是指在频域中进行卷积运算等价于时域中进行乘法运算。

具体表达式如下：ℱ(f∗g)=ℱ(f)⋅ℱ(g)其中ℱ表示傅里叶变换，⋅表示乘法运算。

4. 傅里叶卷积证明为了证明傅里叶卷积定理，我们先来推导傅里叶卷积的频域表达式。

根据傅里叶变换的定义，我们有：∞(x)e−jωx dxF(ω)=∫f−∞∞(x)e−jωx dxG(ω)=∫g−∞将傅里叶变换的定义代入傅里叶卷积的定义中，得到：ℎ(x )=∫(∫f ∞−∞(t )g (x −t )dt)∞−∞e −jωx dx对上式进行内层积分，得到：ℎ(x )=∫f ∞−∞(t )(∫g ∞−∞(x −t )e −jωx dx)dt对内层积分进行变量代换，令u =x −t ，则有x =u +t 和dx =du 。

代入上式中，得到：ℎ(x )=∫f ∞−∞(t )(∫g ∞−t −∞−t(u )e −jω(u+t )du)dt 对上式进行外层积分，得到：ℎ(x )=∫f ∞−∞(t )e −jωt (∫g ∞−t −∞−t (u )e −jωu du)dt 由于∫g ∞−t −∞−t (u )e −jωu du 不依赖于t ，可以将其记为H (ω)。

则有：ℎ(x )=H (ω)⋅F (ω)根据傅里叶变换的性质，我们知道F (ω)是f (x )在频域中的表示，H (ω)是g (x )在频域中的表示。