第七章 离散时间系统

sinnω0 1
o1
sinΩ0 t 5
10 n
1
23
例7-2-4
4π 已知： sin n， 求其周期。 11 4π 2π 11 11 N ω0 ，则有： 2 π 11 ω0 4π 2 m
所 以 N 11， 即 周 期 为11。 （2 π 中 有5.5个 ω0）
x n
6
系统分析
连续时间系统——微分方程描述
经典法：齐次解 特解 时域分析 零输入响应 零状态响应 变换域分析 : 傅里叶变换 拉氏变换法
离散时间系统——差分方程描述 差分方程的解法与微分方程类似
经典法：齐次解 特解 时域分析 零输入响应 零状态响应 变换域分析 : 傅里叶变换 z 变换法
3 4 5
1 2
9 10 11 6 7 8
22
n
一个周期
24
例7-2-5
信 号 x n sin 0 .4 n 是 否 为 周 期 信 号 ？
0 0 .4
2π
0
5 π是无理数 所 以 为 非 周 期 的 序 列
25
7．复指数序列
x n e j 0 n cos 0 n j sin 0 n
后向差分： x ( n ) x ( n ) x ( n 1)
7．累加：
z( n)
k
x(k )
n
8．重排（压缩、扩展）：
n x n x an , 或 x n x a 注意：有时需去除某些点或补足相应的零值。
9．序列的能量 E
9
序列的三种形式
单 边 序 列 ：n 0；
O
x ( n) n x ( n)

O
双边序列： n ；

n
x ( n)
有限长序列：n1 n n 2；
O
n1
n2
n
10
二．离散信号的运算
1．相加： z ( n ) x ( n ) y ( n ) 2．相乘： z ( n ) x ( n ) y ( n ) z ( n ) ax ( n ) 3．乘系数： 4．移位： z ( n) x ( n m ) z( n) x( n m )
n x 2
4
2
O
1 2 3 4 5 6
n
O
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12
n
13
三．常用离散信号
•单位样值信号 •单位阶跃序列 •矩形序列 •斜变序列 •单边指数序列 •正弦序列 •复指数序列
14
1．单位样值信号
0, n 0 ( n) 1, n 0 0, n j 时移性 ( n j ) 1, n j
系统
1
1 O 1 2 3 4
y( n N )
n
1 1 O 1 2 3
n
系统
1
1 O 1 2 3
n
28
时域经典法（齐次解+特解）
齐次解：齐次方程的解
求齐次解步骤 差分方程特征方程特征根
y(n)的解析式由起始状态定系数
1.无重根
r1 r2 rn
n
n 阶方程
n n
y n C 1 r1 C 2 r2 C n rn
1
O
1
2
3
4
n
1 O
1
2
3
4
n
a n un
a 1
a n un
1 a 0
1
1
1 O
1
2
3
4
n
1 O
1
2
3
4
n
20
6．正弦序列
x n sin nω0 余弦序列：x n cosn 0
sin nω0 1 O 1 5 10 n sin 0 t
y 2 ( n)
c1 x1 ( n) c 2 x 2 ( n )
离散时间系统
c1 y 1 ( n ) c 2 y 2 ( n )
27
时不变性
x n y n ， x n N y n N
x( n)
整 个 序 列 右 移 N位
y( n)
1
1 O 1 2 3 n x( n N )
利用单位样值信号表示任意序列
x( n)
m
x( m ) ( n m )

f n
1. 5
1
2 1
3
o
3
4
n
f n 1,1.5,0,3,0,0, n 1 1 .5 n 3 n 2 n0
复序列用极坐标表示：
j arg x n xn xn e
复指数序列：
x n 1
arg x n 0 n
26
一．用差分方程描述线性时不变离散系统
线性：齐次性、可加性均成立；
x1 ( n) 离散时间系统 y1 ( n)
x 2 ( n)
离散时间系统
k 0
n 与 u n 是 差 和 关 系 ， 不 再 是 微 商关系。
17
( n ) u ( n ) u ( n 1)
3．矩形序列
1 RN ( n) 0
RN ( n ) 1 1 o
0 n N 1 n 0, n N

1 2 3 N 1 n
1
0 : 正弦序列的频率, 序列值依次周期性重复 的速率。 2π 当 0 ＝ , 则序列每10个重复一次正弦包络的 数值。 10 离散正弦序列 x n sin 0 n 是周期序列应满足 x n N x n N称为序列的周期，为任意正整数。 21
正弦序列周期性的判别
7
本章内容
•离散时间信号的描述、运算； •离散时间系统的描述——差分方程、系统框图； •差分方程的时域解法； •离散时间系统的单位样值响应； •系统特性判断； •离散卷积。
学习方法
注意离散系统与连续系统分析方法上的联系、 区别、对比，与连续系统有并行的相似性。和前几 章对照，温故而知新。
8
一．离散信号的表示方法
16
2．单位阶跃序列
1 u( n ) 0 n0 n0
u( n ) 1
1 O

1 23
n
u( n )可以看作是无数个单位 样值之和 :
u( n ) ( n ) ( n 1) ( n 2) ( n 3) (n k )
连续时间信号、连续时间系统
连续时间信号： f(t)是连续变化的t的函数，除若干不连续点之外对 于任意时间值都可以给出确定的函数值。函数的波形都 是具有平滑曲线的形状，一般也称模拟信号。
f t
O
t
连续时间系统： 系统的输入、输出都是连续的时间信号。
1
离散时间信号、离散时间系统
离散时间信号： 时间变量是离散的， 函数只在某些规定的时刻 有确定的值，在其他时间 没有定义。
x n n k
x n e j n
y n A cos( n ) y n A sin( n )
与 u n 的 关 系 ：R N ( n ) u ( n ) u ( n N )
18
4．斜变序列
x ( n ) nu ( n )
x( n)
1
1
O
1 2 34
n
19
5．单边指数序列
x n a n u n
a n un
a 1
a n un
0a1
1
1
2π
0 找 不 到 满 足 x n N x n 的 N 值 , 为 非 周 期 的 。
22
例7-2-3
设N=10，说明正弦序列的包络线每隔10个样值重复一 次，周期为10。
2π 2π ω0 0 .2 π N 10
表示相邻两个序列值间 的弧度数为 0.2 π。
ω0 反映每个序列值出现的 速 率，ω0小，两个序列值 间弧度 小。
2π ① N， N是正整数 0 2π sin 0 n N sin 0 n sin 0 n 2 π sin 0 n 0 正弦序列是周期的
N N ， 为有理数 ② 0 m m 2π sin 0 n N sin 0 n m sin 0 n m 2 π sin 0 n 0 2π sin 0 n 仍为周期的 周期：N m 0 2π ③ 为无理数
x t x nT 等 间 隔T x n n 0 , 1, 2 ,
数字序列 如 0.9, 0.8,0.3,0.1 n 0 有规则的, 可以用函数表示: x n 值的大小 波形表示 : 线段的长短表示各序列
x 1
右移位
x 0
x n
x 3 3
x 1
2
左移位 x n 1 x 0 x 1 x 1 x 3
3
1 2 4
1 o 1
n
1 o
n
11
x 2
x 2
5．反折： z ( n ) x ( n ) 6．差分： 前向差分：x ( n) x ( n 1) x ( n)
1 .5
T
0.9 2T 3T
t
幅值量化——幅值只能分级变化。
2 1 2T 3T t
数字信号：离散信号在各离散点的幅值被量化的信号。