验证时域采样定理和频域采样定理——数字信号处理
数字信号处理实验报告 3
数字信号处理实验报告姓名：班级：通信学号：实验名称：频域抽样定理验证实验类型：验证试验指导教师:实习日期：2013.频域采样定理验证实验一． 实验目的：1. 加深对离散序列频域抽样定理的理解2.了解由频谱通过IFFT 计算连续时间信号的方法3.掌握用MATLAB 语言进行频域抽样与恢复时程序的编写方法 4、用MATLAB 语言将X(k)恢复为X(z)及X(e jw )。
二． 实验原理：1、1、频域采样定理： 如果序列x(n)的长度为M ，频域抽样点数为N ，则只有当频域采样点数N ≥M 时，才有x N (n)=IDFT[X(k)]=x(n),即可由频域采样X(k)无失真的恢复原序列 x(n)。
2、用X(k)表示X(z)的内插公式：∑-=-----=10111)(1)(N k kNNzWz k X Nz X内插函数： zWzkNNN z 1k111)(-----=ϕ频域内插公式：∑-=-=10)2()()(N K j k Nk X e X πωϕω频域内插函数：e N j N N )21()2sin()2sin(1)(--=ωωωωϕ三． 实验任务与步骤：实验一：长度为26的三角形序列x(n)如图(b)所示，编写MATLAB 程序验证频域抽样定理。
实验二：已知一个时间序列的频谱为X(e jw )=2+4e -jw +6e -j2w +4e -j3w +2e -j4w分别取频域抽样点数N为3、5和10，用IPPT计算并求出其时间序列x(n)，用图形显示各时间序列。
由此讨论原时域信号不失真地由频域抽样恢复的条件。
实验三：由X32(k)恢复X(z)和X(e jw)。
四．实验结论与分析：实验一：源程序：M=26;N=32;n=0:M; %产生M长三角波序列x(n)xa=0:floor(M/2);xb= ceil(M/2)-1:-1:0; xn=[xa,xb];Xk=fft(xn,512); %1024点FFT[x(n)], 用于近似序列x(n)的TFX32k=fft(xn,32); %32点FFT[x(n)]x32n=ifft(X32k); %32点IFFT[X32(k)]得到x32(n)X16k=X32k(1:2:N); %隔点抽取X32k得到X16(K)x16n=ifft(X16k,N/2); %16点IFFT[X16(k)]得到x16(n)subplot(3,2,2);stem(n,xn,'.');box ontitle('(b) 三角波序列x(n)');xlabel('n');ylabel('x(n)');axis([0,32,0,20])k=0:511;wk=2*k/512;subplot(3,2,1);plot(wk,abs(Xk));title('(a)FT[x(n)]');xlabel('\omega/\pi');ylabel('|X(e^j^\omega)|');axis([0,1,0,200])k=0:N/2-1;subplot(3,2,3);stem(k,abs(X16k),'.');box ontitle('(c) 16点频域');xlabel('k');ylabel('|X_1_6(k)|');axis([0,8,0,200])n1=0:N/2-1;subplot(3,2,4);stem(n1,x16n,'.');box ontitle('(d) 16点IDFT[X_1_6(k)]');xlabel('n');ylabel('x_1_6(n)');axis([0,32,0,20])k=0:N-1;subplot(3,2,5);stem(k,abs(X32k),'.');box ontitle('(e) 32点频域采样');xlabel('k');ylabel('|X_3_2(k)|');axis([0,16,0,200])n1=0:N-1;subplot(3,2,6);stem(n1,x32n,'.');box ontitle('(f) 32点IDFT[X_3_2(k)]');xlabel('n');ylabel('x_3_2(n)');axis([0,32,0,20])结果如下所示：实验一分析：序列x(n)的长度M=26，由图中可以看出，当采样点数N=16<M时，x16(n)确实等于原三角序列x(n)以16为周期的周期延拓序列的主值序列。
实验三 时域采样与频域采样
实验二 时域采样与频域采样一 实验内容1 时域采样定理的验证给定模拟信号0()sin()()t a x t Ae t u t α-=Ω，式中，A=444.128，α=，0/rad s Ω=选取三种采样频率，即1s F kH z =，300Hz ，200Hz ，对()a x t 进行理想采样，得到采样序列：0()()sin()()nT a x n x nT Ae nT u nT α-==Ω。
观测时间长度为64p T m s =。
分别绘出三种采样频率得到的序列的幅频特性曲线图，并进行比较。
注：为与课本中幅频特性曲线比较，将纵坐标进行了归一化。
实验结果：由实验结果发现，采样频率为1000HZ 时，时域采样后的频谱函数可以较好的表现出原模拟信号的幅频特性，且是原幅频特性的周期延拓。
当采样频率为300HZ和200HZ时，其频谱函数与原幅频特性相比，有较大的误差，且在fs/2的位置误差最大。
实验分析：理想采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴，每间隔采样角频率2*pi*fs重复出现一次，并叠加形成的周期函数，所以只有当采样角频率2*pi*fs大于等于原模拟信号的角频率时才不会发生混叠。
2 频域采样定理的验证给定信号：1013()271426n nx n n nothers+≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩，对()x n的频谱函数()jX eω在[0，2π]上分别等间隔采样16点和32点，得到16()X k和32()X k，再分别对16()X k和32()X k进行IDFT，得到16()x n和32()x n。
分别画出()jX eω、16()X k和32()X k的幅度谱，并绘图显示()x n、16()x n和32()x n的波形，进行对比和分析。
实验结论：由上图分析知，频域采样32点时，其逆变换得到的xn32能较好的还原xn，只是尾部多了几个0而已，而对于频域采样16点时，逆变换之后已经产生较大的误差，不能等效为xn。
时域采样与频域采样定理的验证实验
实验一 时域采样与频域采样定理的验证实验1. 实验目的(1) 时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论。
要求掌握模拟信号采样前后频谱的变化，以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢失信息；(2) 要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念，以及频率域采样定理及其对频域采样点数选择的指导作用。
2. 实验原理与方法时域采样定理的要点是：① 对模拟信号()a x t 以T 进行时域等间隔理想采样，形成的采样信号的频谱 会以采样角频率Ωs （Ωs=2π/T ）为周期进行周期延拓。
公式为② 采样频率Ωs 必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信号的频谱不产生频谱混叠。
利用计算机计算上式并不方便，下面我们导出另外一个公式，以便在计算机上进行实验。
理想采样信号 和模拟信号()a x t 之间的关系为：对上式进行傅里叶变换，得到：上式中，在数值上x a (nT)＝x(n)，再将ω=ΩT 代入，得到：上式的右边就是序列的傅里叶变换，即上式说明采样信号的傅里叶变换可用相应序列的傅里叶变换得到，只要将自变量ω用ΩT 代替即可。
频域采样定理的要点是：① 对信号x(n)的频谱函数在［0，2π］上等间隔采样N 点，得到:ˆ(j )a X Ωa a a s 1ˆˆ(j )FT[()](j j ) k X xt X k T ΩΩΩ∞=-∞==-∑a ˆ()x t a a ˆ()()()n xt x t t nT δ∞=-∞=-∑j a aˆ(j )[()()]e d t n X x t t nT t ΩΩδ∞∞--∞=-∞=-∑⎰j a ()()e d t n x t t nT tΩδ∞∞--∞=-∞-∑⎰＝j aaˆ(j )()enTn X x nT ΩΩ∞-=-∞=∑j aˆ(j )(e )TX X ωωΩΩ==j 2π()(e ), 0,1,2,,1N kNX k X k N ωω===-则N 点IDFT ［X N (k)］得到的序列就是原序列x(n)以N 为周期进行周期延拓后的主值区序列，公式为② 由上式可知，频域采样点数N 必须大于等于时域离散信号的长度M(即N ≥M)，才能使时域不产生混叠，则N 点IDFT ［X N (k)］得到的序列x N (n)就是原序列x(n), 即x N (n)=x(n)。
数字信处理实验二时域采样和频域采样
数字信处理实验二时域采样和频域采样YUKI was compiled on the morning of December 16, 2020实验二-时域采样和频域采样一、实验目的时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论。
要求掌握模拟信号采样前后频谱的变化，以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢失信息；要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念，以及频率域采样定理及其对频域采样点数选择的指导作用。
二、实验原理及方法1、时域采样定理的要点：a)对模拟信号)(t x a 以间隔T 进行时域等间隔理想采样，形成的采样信号的频谱)(ˆΩj X是原模拟信号频谱()a X j Ω以采样角频率s Ω（T s /2π=Ω）为周期进行周期延拓 b)采样频率s Ω必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信号的频谱不产生频谱混叠。
利用计算机计算上式并不方便，下面我们导出另外一个公式，以便用计算机上进行实验。
2、频域采样定理的要点：a)对信号x(n)的频谱函数X(ej ω)在[0，2π]上等间隔采样N 点则N 点IDFT[()N X k ]得到的序列就是原序列x(n)以N 为周期进行周期延拓后的主值区序列。
三、实验内容及步骤1、时域采样理论的验证程序：clear;clcA=;a=50*sqrt(2)*pi;w0=50*sqrt(2)*pi;Tp=50/1000;F1=1000;F2=300;F3=200;T1=1/F1;T2=1/F2;T3=1/F3;n1=0:Tp*F1-1;n2=0:Tp*F2-1;n3=0:Tp*F3-1;x1=A*exp(-a*n1*T1).*sin(w0*n1*T1);x2=A*exp(-a*n2*T2).*sin(w0*n2*T2);x3=A*exp(-a*n3*T3).*sin(w0*n3*T3);f1=fft(x1,length(n1));f2=fft(x2,length(n2)); % f3=fft(x3,length(n3)); % k1=0:length(f1)-1;fk1=k1/Tp; % k2=0:length(f2)-1;fk2=k2/Tp; % k3=0:length(f3)-1;fk3=k3/Tp; % subplot(3,2,1)stem(n1,x1,'.')title('(a)Fs=1000Hz');xlabel('n');ylabel('x1(n)');subplot(3,2,3)stem(n2,x2,'.')title('(b)Fs=300Hz');xlabel('n');ylabel('x2(n)');subplot(3,2,5)stem(n3,x3,'.')title('(c)Fs=200Hz');xlabel('n');ylabel('x3(n)');subplot(3,2,2)plot(fk1,abs(f1))title('(a) FT[xa(nT)],Fs=1000Hz');xlabel('f(Hz)');ylabel('·ù?è')subplot(3,2,4)plot(fk2,abs(f2))title('(b) FT[xa(nT)],Fs=300Hz');xlabel('f(Hz)');ylabel('·ù?è')subplot(3,2,6)plot(fk3,abs(f3))title('(c) FT[xa(nT)],Fs=200Hz');xlabel('f(Hz)');ylabel('·ù?è')结果分析：由图可见，采样序列的频谱的确是以采样频率为周期对模拟信号频谱的周期延拓。
数字信号处理实验报告一二
数字信号处理课程实验报告实验一 离散时间信号和系统响应一. 实验目的1. 熟悉连续信号经理想采样前后的频谱变化关系，加深对时域采样定理的理解2. 掌握时域离散系统的时域特性3. 利用卷积方法观察分析系统的时域特性4. 掌握序列傅里叶变换的计算机实现方法，利用序列的傅里叶变换对离散信号及系统响应进行频域分析二、实验原理1. 采样是连续信号数字化处理的第一个关键环节。
对采样过程的研究不仅可以了解采样前后信号时域和频域特性的变化以及信号信息不丢失的条件，而且可以加深对离散傅里叶变换、Z 变换和序列傅里叶变换之间关系式的理解。
对连续信号()a x t 以T 为采样间隔进行时域等间隔理想采样，形成采样信号： 式中()p t 为周期冲激脉冲，()a x t 为()a x t 的理想采样。
()a x t 的傅里叶变换为()a X j Ω：上式表明将连续信号()a x t 采样后其频谱将变为周期的，周期为Ωs=2π/T 。
也即采样信号的频谱()a X j Ω是原连续信号xa(t)的频谱Xa(jΩ)在频率轴上以Ωs 为周期，周期延拓而成的。
因此，若对连续信号()a x t 进行采样，要保证采样频率fs ≥2fm ，fm 为信号的最高频率，才可能由采样信号无失真地恢复出原模拟信号ˆ()()()a a xt x t p t =1()()*()21()n a a a s X j X j P j X j jn T π∞=-∞Ω=ΩΩ=Ω-Ω∑()()n P t t nT δ∞=-∞=-∑计算机实现时，利用计算机计算上式并不方便，因此我们利用采样序列的傅里叶变换来实现，即而()()j j n n X e x n e ωω∞-=-∞=∑为采样序列的傅里叶变换2. 时域中，描述系统特性的方法是差分方程和单位脉冲响应，频域中可用系统函数描述系统特性。
已知输入信号，可以由差分方程、单位脉冲响应或系统函数求出系统对于该输入信号的响应。
时域及频域采样定理
时域及频域采样定理
时域采样定理（Nyquist定理）表示：在连续时间信号的采样
过程中，为了准确地重构原始信号，采样的频率必须大于等于原始信号最高频率的两倍。
频域采样定理表示：在连续频谱信号的采样过程中，为了准确地还原原始频谱，采样的时间间隔必须小于等于原始信号的最小周期。
时域采样定理保证了信号在采样和重构过程中不存在混叠现象，即采样频率大于等于原始信号最高频率的两倍，可以完整地还原原始信号。
频域采样定理保证了在频谱分析中，通过对信号进行采样得到的频谱能准确地表示原始频谱。
时域及频域采样定理
时域及频域采样定理
时域采样定理（Nyquist采样定理）和频域采样定理（Shannon采样定理）是两个基本的采样定理，用于指导信号采样和重构的过程。
时域采样定理（Nyquist采样定理）：时域采样定理是由哈利·尼奎斯特（Harry Nyquist）在20世纪20年代提出的。
该定理指出，要恢复一个连续时间信号，采样频率必须至少是信号最高频率的两倍。
简而言之，对于最高频率为f的信号，采样频率应该大于2f。
如果采样频率低于2f，那么在重构信号时将会产生混叠现象，导致信号失真。
频域采样定理（Shannon采样定理）：频域采样定理是由克劳德·香农（Claude Shannon）在1949年提出的。
该定理表明，如果一个信号在频域上没有频率成分超过一半的采样频率，那么可以通过其离散时间域的采样来完全恢复该信号。
简而言之，对于信号的最高频率为f，采样频率应该大于2f才能完全还原原始信号。
这两个采样定理的要点是：采样频率必须满足一定条件，以避免采样过程中的信息丢失和信号失真。
如果采样频率不满足定理的要求，就会出现混叠效应，导致无法准确地恢复原始信号。
因此，在信号处理和通信系统中，遵循时域采样定理和频域采样定理是非常重要的，以保证信号采样和重构的准确性和有效性。
数字信号处理实验教案
数字信号处理实验教案信息工程学院—通信工程教研室数字信号处理是一门理论和实际密切结合的课程，为深入掌握课程内容,最好在学习理论的同时，做习题和上机实验。
上机实验不仅可以帮助读者深入的理解和消化基本理论，而且能锻炼同学们的独立解决问题的能力。
本讲义在第三版的基础上编写了五个实验,前2个实验属基础性的验证性实验,第3、4、5个实验属基本应用综合性实验。
实验一离散时间信号的MA TLAB实现实验二线性卷积与循环卷积的原理及应用实验三频率采样定理实验四离散系统的因果性和稳定性及频率响应特性实验五基于MATLAB的快速傅里叶变换根据教学进度,理论课结束后进行相关实验。
实验一时域离散信号的产生一实验目的（1）了解常用的时域离散信号及其特点。
(2）掌握MA TLAB产生常用时域离散信号的方法。
二实验内容(1）编写程序，产生下列离散序列:A。
f（n）=δ（n）(—3〈n<4）B．f（n)=e(0。
1+j1。
6π）n (0〈n<16)（2）一个连续的周期性三角波信号频率为50Hz,信号幅度在0～+2V之间，在窗口上显示2个周期信号波形,对信号的一个周期进行16点采样来获取离散信号。
试显示原连续信号和采样获得的离散信号波形.(3)一个连续的周期性方波信号频率为200Hz,信号幅度在-1～+1V之间，在窗口上显示2个周期信号波形，用Fs=4kHz的频率对连续信号进行采样，试显示原连续信号和采样获得的离散信号波形.三实验步骤(1) 在matlab命令窗口中逐行输入下列语句>> n1=—3；n2=4;n0=0; %在起点n1、终点n2的范围内,于n0处产生冲激>> n=n1：n2；％生成离散信号的时间序列>> x=[n==n0］；％生成离散信号x(n)〉> stem(n，x,'filled’）; ％绘制杆状图，且圆心处用实心圆表示〉> title（’单位脉冲序列');〉〉xlabel('时间（n）'）；ylabel('幅度x(n)’)；在上述语句输入完成之后，敲击回车键，弹出图形窗口，显示出如下图形,即已经满足题干所述条件，产生了f(n)=δ(n），（—3<n<4）的离散序列（2）在matlab命令窗口中逐行输入下列语句>> n1=16;a=0.1;w=1。
数字信号处理实验报告 3
数字信号处理实验报告姓名：班级：通信学号：实验名称：频域抽样定理验证实验类型：验证试验指导教师:实习日期：2013.频域采样定理验证实验一． 实验目的：1. 加深对离散序列频域抽样定理的理解2.了解由频谱通过IFFT 计算连续时间信号的方法3.掌握用MATLAB 语言进行频域抽样与恢复时程序的编写方法 4、用MATLAB 语言将X(k)恢复为X(z)及X(e jw )。
二． 实验原理：1、1、频域采样定理： 如果序列x(n)的长度为M ，频域抽样点数为N ，则只有当频域采样点数N ≥M 时，才有x N (n)=IDFT[X(k)]=x(n),即可由频域采样X(k)无失真的恢复原序列 x(n)。
2、用X(k)表示X(z)的内插公式：∑-=-----=10111)(1)(N k kNN zWz k X Nz X内插函数： zWzkNNN z 1k111)(-----=ϕ频域内插公式：∑-=-=10)2()()(N Kj k Nk X e X πωϕω频域内插函数：e N j N N )21()2sin()2sin(1)(--=ωωωωϕ三． 实验任务与步骤：实验一：长度为26的三角形序列x(n)如图(b)所示，编写MATLAB 程序验证频域抽样定理。
实验二：已知一个时间序列的频谱为X(e jw )=2+4e -jw +6e -j2w +4e -j3w +2e -j4w分别取频域抽样点数N为3、5和10，用IPPT计算并求出其时间序列x(n)，用图形显示各时间序列。
由此讨论原时域信号不失真地由频域抽样恢复的条件。
实验三：由X32(k)恢复X(z)和X(e jw)。
四．实验结论与分析：实验一：源程序：M=26;N=32;n=0:M; %产生M长三角波序列x(n)xa=0:floor(M/2);xb= ceil(M/2)-1:-1:0; xn=[xa,xb];Xk=fft(xn,512); %1024点FFT[x(n)], 用于近似序列x(n)的TF X32k=fft(xn,32); %32点FFT[x(n)]x32n=ifft(X32k); %32点IFFT[X32(k)]得到x32(n)X16k=X32k(1:2:N); %隔点抽取X32k得到X16(K)x16n=ifft(X16k,N/2); %16点IFFT[X16(k)]得到x16(n)subplot(3,2,2);stem(n,xn,'.');box ontitle('(b) 三角波序列x(n)');xlabel('n');ylabel('x(n)');axis([0,32,0,20])k=0:511;wk=2*k/512;subplot(3,2,1);plot(wk,abs(Xk));title('(a)FT[x(n)]');xlabel('\omega/\pi');ylabel('|X(e^j^\omega)|');axis([0,1,0,200])k=0:N/2-1;subplot(3,2,3);stem(k,abs(X16k),'.');box ontitle('(c) 16点频域');xlabel('k');ylabel('|X_1_6(k)|');axis([0,8,0,200])n1=0:N/2-1;subplot(3,2,4);stem(n1,x16n,'.');box ontitle('(d) 16点IDFT[X_1_6(k)]');xlabel('n');ylabel('x_1_6(n)');axis([0,32,0,20]) k=0:N-1;subplot(3,2,5);stem(k,abs(X32k),'.');box on title('(e) 32点频域采样');xlabel('k'); ylabel('|X_3_2(k)|');axis([0,16,0,200]) n1=0:N-1;subplot(3,2,6);stem(n1,x32n,'.');box on title('(f) 32点IDFT[X_3_2(k)]');xlabel('n'); ylabel('x_3_2(n)');axis([0,32,0,20])结果如下所示：实验一分析：序列x(n)的长度M=26，由图中可以看出，当采样点数N=16<M 时，x 16(n)确实等于原三角序列x(n)以16为周期的周期延拓序列的主值序列。
数字信号处理实验报告
四川大学电气信息学院数字信号处理实验报告实验二 时域采样与频域采样1. 实验结果和分析 （1）时域采样204060(a)Fs=1000Hznx 1(n )51015(b)Fs=300Hznx 2(n)510(c)Fs=200Hznx 3(n)500100005001000(a) FT[xa(nT)],Fs=1000Hzf(Hz)幅度1002003000200400(b) FT[xa(nT)],Fs=300Hzf(Hz)幅度501001502000100200(c) FT[xa(nT)],Fs=200Hzf(Hz)幅度分析：时域采样定理：1、对模拟信号以间隔T 进行时域等间隔理想采样，形成的采样信号的频谱是原模拟信号频谱以采样角频率为周期进行周期延拓。
2、采样频率必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信号的 频谱不产生频谱混叠。
由图可见，左边在时域上的采样频率逐渐降低，右边所对应的频域图样的混叠情况由微弱变得越来越大。
（2）频域采样102030(b) 三角波序列x(n)nx (n )0.510100200(a)FT[x(n)]ω/π|X (e j ω)|(c) 16点频域采样k|X 16(k )|102030(d) 16点IDFT[X 16(k)]nx 16(n )(e) 32点频域采样k|X 32(k )|(f) 32点IDFT[X 32(k)]nx 32(n )分析：频域采样定理：如果序列x(n)的长度为M ，则只有当频域采样的点数N>=M 时，才可由频域采样X （k ）回复原序列x(n)，否则产生时域混叠现象。
由图可见N=16点和N=32点采样所得图样不一样，N=16点时混叠严重，而N=32点时没有发生混叠。
2. 思考题如果序列x(n)的长度为M ，希望得到其频谱X(e j ω)在]2,0[π上的N 点等间隔采样， 当N<M 时，如何用一次最少点数的DFT 得到该频谱采样？先对原序列x(n)以N 为周期进行周期延拓后取主值区序列，x N (n)=[∑x(n+iN)]R N (n)再计算N 点DFT 则得到N 点频域采样实验三用FFT对信号作频谱分析1.实验结果和分析（1）（2）（3）2.思考题（1）对于周期序列。
数字信号处理实验三时域及频域采样定理
Xk1=fft(x1,length(n1)); %采样序列x1(n)的FFT变换
Xk2=fft(x2,length(n2)); %采样序列x2(n)的FFT变换
Xk3=fft(x3,length(n3)); %采样序列x3(n)的FFT变换
k1=0:length(Xk1)-1;
fk1=k1/Tp; %x1(n)的频谱的横坐标的取值
这里给定采样频率如下： ，300Hz，200Hz。分别用这些采样频率形成时域离散信号，按顺序分别用 、 、 表示。选择观测时间 。
3.计算 的傅立叶变换 ：
（3.6）
式中， ，分别对应三种采样频率的情况 。采样点数用下式计算：
（3.7）
（3.6）式中， 是连续变量。为用计算机进行数值计算，改用下式计算：
下面分析频域采样定理。对信号x(n)的频谱函数 ，在[0，2π]上等间隔采样N点，得到
（3.4）
则N点IDFT[ ]得到的序列就是原序列x(n)以N为周期进行周期延拓后的主值区序列，公式为：
(3.5)
由上式可知，频域采样点数N必须大于等于时域离散信号的长度M(即N≥M)，才能使时域不产生混叠，则N点IDFT[ ]得到的序列 就是原序列x(n),即 =x(n)。如果N>M， 比原序列尾部多N-M个零点；如果N<M，z则 =IDFT[ ]发生了时域混叠失真，而且 的长度N也比x(n)的长度M短，因此。 与x(n)不相同。
验证时域采样定理和频域采样定理——数字信号处理
(3)对不同采样频率下的采样序列进行频谱分析，绘制其幅频曲线，对比各频率下采样序列和的幅频曲线有无差别。
(4)对信号进行谱分析，观察与3中结果有无差别。
(5)由采样序列恢复出连续时间信号 ，画出其时域波形，对比与原连续时间信号的时域波形。
二、方案
1.
给定模拟信号
式中, A=444.128， , 。
现用DFT(FFT)求该模拟信号的幅频特性，以验证时域采样理论。
按照xa(t)的幅频特性曲线，选取三种采样频率，即Fs=1 kHz，300 Hz，200 Hz。观测时间选Tp=64 ms。
为使用DFT，首先用下面的公式产生时域离散信号，对三种采样频率，采样序列按顺序用x1(n)、x2(n)、x3(n)表示。
（3）掌握时域采样频率的选择方法及频域采样点数的选择方法。
课程设计要求
（1）简述时域采样定理；
（2）简述频域采样定理；
（3）完成以上设计实验，并对结果进行分析和解释；
（4）打印程序清单和要求画出的信号波形；
（5）写出本次课程设计的收获和体会。
课程设计注意事项
遵守机房相关规定，按老师要求进行实习，不在实习过程中做与实习不相关的事情。积极配合老师将实习课程完成，不在实习期间迟到，早退，旷课，严格按照要求和规定来做好这次实习。
编制Matlab程序，完成以下功能，对给定模拟信号进行时域采样，观察不同采样频率对采样信号频谱的影响，验证时域采样定理；对给定序列进行傅里叶变换，并在频域进行采样，观察不同采样点数对恢复序列的影响，验证频域采样定理；绘制相关信号的波形。
关键字：时域采样，频域采样，数字信号处理，matlab
时域采样和频域采样
一、实验目的时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论.要求掌握模拟信号采样前后频谱的变化,以与如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢失信息；要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念,以与频率域采样定理与其对频域采样点数选择的指导作用.二、实验原理与方法时域采样定理的要点是：a.对模拟信号)(t x a 以间隔T 进行时域等间隔理想采样,形成的采样信号的频谱)(ˆΩj X是原模拟信号频谱()a X j Ω以采样角频率s Ω〔T s /2π=Ω〕为周期进行周期延拓.公式为： )](ˆ[)(ˆt x FT j X a a =Ω )(1∑∞-∞=Ω-Ω=n s a jn j X T b.采样频率s Ω必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上,才能使采样信号的频谱不产生频谱混叠.利用计算机计算上式并不方便,下面我们导出另外一个公式,以便用计算机上进行实验.理想采样信号)(ˆt xa 和模拟信号)(t x a 之间的关系为： 对上式进行傅立叶变换,得到：在上式的积分号内只有当nT t =时,才有非零值,因此：上式中,在数值上)(nT x a ＝)(n x ,再将T Ω=ω代入,得到：上式的右边就是序列的傅立叶变换)(ωj e X ,即 T j a e X j X Ω==Ωωω)()(ˆ上式说明理想采样信号的傅立叶变换可用相应的采样序列的傅立叶变换得到,只要将自变量ω用T Ω代替即可.频域采样定理的要点是：a) 对信号x<n>的频谱函数X<e j ω>在[0,2π]上等间隔采样N 点,得到则N 点IDFT[()N X k ]得到的序列就是原序列x<n>以N 为周期进行周期延拓后的主值区序列,公式为：b) 由上式可知,频域采样点数N 必须大于等于时域离散信号的长度M<即N ≥M>,才能使时域不产生混叠,则N 点IDFT[()N X k ]得到的序列()N x n 就是原序列x<n>,即()N x n =x<n>.如果N>M,()N x n 比原序列尾部多N-M 个零点；如果N<M,z 则()N x n =IDFT[()N X k ]发生了时域混叠失真,而且()N x n 的长度N 也比x<n>的长度M 短,因此.()N x n 与x<n>不相同.在数字信号处理的应用中,只要涉与时域或者频域采样,都必须服从这两个采样理论的要点. 对比上面叙述的时域采样原理和频域采样原理,得到一个有用的结论,这两个采样理论具有对偶性："时域采样频谱周期延拓,频域采样时域信号周期延拓〞.因此放在一起进行实验.三、 实验内容与步骤〔1〕时域采样理论的验证给定模拟信号,)()sin()(0t u t Ae t x t a Ω=-α式中A =444.128,α=502π,0Ω=502πrad/s,它的幅频特性曲线如图图)(t x a 的幅频特性曲线现用DFT<FFT>求该模拟信号的幅频特性,以验证时域采样理论.安照)(t x a 的幅频特性曲线,选取三种采样频率,即s F =1k Hz ,300Hz ,200Hz .观测时间选ms T p 50=.为使用DFT,首先用下面公式产生时域离散信号,对三种采样频率,采样序列按顺序用)(1n x ,)(2n x ,)(3n x 表示.因为采样频率不同,得到的)(1n x ,)(2n x ,)(3n x 的长度不同, 长度〔点数〕用公式s p F T N ⨯=计算.选FFT 的变换点数为M=64,序列长度不够64的尾部加零.X <k >=FFT[x <n >] , k =0,1,2,3,-----,M -1式中k 代表的频率为 k Mk πω2=. 要求： 编写实验程序,计算)(1n x 、)(2n x 和)(3n x 的幅度特性,并绘图显示.观察分析频谱混叠失真.〔2〕频域采样理论的验证给定信号如下：编写程序分别对频谱函数()FT[()]j X e x n ω=在区间]2,0[π上等间隔采样32和16点,得到)()(1632k X k X 和：再分别对)()(1632k X k X 和进行32点和16点IFFT,得到)()(1632n x n x 和：分别画出()j X e ω、)()(1632k X k X 和的幅度谱,并绘图显示x <n>、)()(1632n x n x 和的波形,进行对比和分析,验证总结频域采样理论.提示：频域采样用以下方法容易变程序实现.1〕直接调用MATLAB函数fft计算就得到在的32点频率域采样2〕抽取的偶数点即可得到在的16点频率域采样,即.3〕当然也可以按照频域采样理论,先将信号x<n>以16为周期进行周期延拓,取其主值区〔16点〕,再对其进行16点DFT<FFT>,得到的就是在的16点频率域采样 .四、实验程序1 时域采样理论的验证程序清单% 时域采样理论验证程序exp2a.mTp=64/1000; %观察时间Tp=64微秒%产生M长采样序列x<n>% Fs=1000;T=1/Fs;Fs=1000;T=1/Fs;M=Tp*Fs;n=0:M-1;A=444.128;alph=pi*50*2^0.5;omega=pi*50*2^0.5;xnt=A*exp<-alph*n*T>.*sin<omega*n*T>;Xk=T*fft<xnt,M>; %M点FFT[xnt>]yn='xa<nT>';subplot<3,2,1>;tstem<xnt,yn>; %调用自编绘图函数tstem绘制序列图box on;title<'<a> Fs=1000Hz'>;k=0:M-1;fk=k/Tp;subplot<3,2,2>;plot<fk,abs<Xk>>;title<'<a> T*FT[xa<nT>],Fs=1000Hz'>;xlabel<'f<Hz>'>;ylabel<'幅度'>;axis<[0,Fs,0,1.2*max<abs<Xk>>]>%=================================================% Fs=300Hz和Fs=200Hz的程序与上面Fs=1000Hz完全相同.2 频域采样理论的验证程序清单%频域采样理论验证程序exp2b.mM=27;N=32;n=0:M;%产生M长三角波序列x<n>xa=0:floor<M/2>; xb= ceil<M/2>-1:-1:0; xn=[xa,xb];Xk=fft<xn,1024>; %1024点FFT[x<n>], 用于近似序列x<n>的TFX32k=fft<xn,32> ;%32点FFT[x<n>]x32n=ifft<X32k>; %32点IFFT[X32<k>]得到x32<n>X16k=X32k<1:2:N>; %隔点抽取X32k得到X16<K>x16n=ifft<X16k,N/2>; %16点IFFT[X16<k>]得到x16<n>subplot<3,2,2>;stem<n,xn,'.'>;box ontitle<'<b> 三角波序列x<n>'>;xlabel<'n'>;ylabel<'x<n>'>;axis<[0,32,0,20]>k=0:1023;wk=2*k/1024; %subplot<3,2,1>;plot<wk,abs<Xk>>;title<'<a>FT[x<n>]'>;xlabel<'\omega/\pi'>;ylabel<'|X<e^j^\omega>|'>;axis<[0,1,0,200]>k=0:N/2-1;subplot<3,2,3>;stem<k,abs<X16k>,'.'>;box ontitle<'<c> 16点频域采样'>;xlabel<'k'>;ylabel<'|X_1_6<k>|'>;axis<[0,8,0,200]>n1=0:N/2-1;subplot<3,2,4>;stem<n1,x16n,'.'>;box ontitle<'<d> 16点IDFT[X_1_6<k>]'>;xlabel<'n'>;ylabel<'x_1_6<n>'>;axis<[0,32,0,20]>k=0:N-1;subplot<3,2,5>;stem<k,abs<X32k>,'.'>;box ontitle<'<e> 32点频域采样'>;xlabel<'k'>;ylabel<'|X_3_2<k>|'>;axis<[0,16,0,200]>n1=0:N-1;subplot<3,2,6>;stem<n1,x32n,'.'>;box ontitle<'<f> 32点IDFT[X_3_2<k>]'>;xlabel<'n'>;ylabel<'x_3_2<n>'>;axis<[0,32,0,20]>五、实验程序运行结果与分析1、时域采样理论的验证程序运行结果exp2a.m如图所示.由图可见,采样序列的频谱的确是以采样频率为周期对模拟信号频谱的周期延拓.当采样频率为1000Hz时频谱混叠很小；当采样频率为300Hz时,在折叠频率150Hz附近频谱混叠很严重；当采样频率为200Hz时,在折叠频率110Hz附近频谱混叠更很严重.图2 时域采样理论的验证程序exp2b.m运行结果如图所示.图该图验证了频域采样理论和频域采样定理.对信号x<n>的频谱函数X<e jω>在[0,2π]上等间X k]得到的序列正是原序列x<n>以16为周期进行周期延拓隔采样N=16时,N点IDFT[()N后的主值区序列：x n与x<n>不相同,如图图<c>和<d>所示.当由于N<M,所以发生了时域混叠失真,因此.()NN=32时,如图图<c>和<d>所示,由于N>M,频域采样定理,所以不存在时域混叠失真,因x n与x<n>相同.此.()N。
数字信号处理实验二时域采样和频域采样
数字信号处理实验二时域采样和频域采样数字信号处理是一门研究信号的数字化表示、处理和传输的学科。
在数字信号处理中，时域采样和频域采样是两种常用的信号分析方法。
下面我们将对这两种采样方法进行详细介绍和比较。
一、时域采样时域采样是数字信号处理中最基本的采样方法之一。
它通过对连续时间信号进行离散时间采样，将连续时间信号转换为离散时间信号。
时域采样的基本原理是，如果一个连续时间信号f(t)在采样时刻t=kT(k=0,1,2,)上的值f(kT)能够被准确地测量，则可以通过这些采样值重建出原始信号。
时域采样的优点是简单易行，适用于大多数信号的采样。
但是，时域采样也存在一些缺点。
首先，如果信号中含有高于采样率的频率成分，这些高频成分将会被混叠到低频部分，导致信号失真。
这种现象被称为混叠效应。
其次，时域采样需要大量的采样数据才能准确地重建出原始信号，这会占用大量的存储空间和计算资源。
二、频域采样频域采样是一种在频域上对信号进行采样的方法。
它通过对信号进行傅里叶变换，将信号转换到频域，然后对频域中的信号进行采样。
频域采样的基本原理是，如果一个离散时间信号f(n)的傅里叶变换在频域上有有限的带宽，那么频域上的信号可以被认为是无穷多个离散的冲激函数的线性组合。
通过对这些冲激函数的幅度和相位进行采样，可以得到频域采样值。
相比时域采样，频域采样具有一些优点。
首先，频域采样可以避免混叠效应，因为高频成分在频域中可以被准确地表示和处理。
其次，频域采样只需要采样信号的幅度和相位信息，而不必存储大量的采样数据，可以节省存储空间和计算资源。
此外，频域采样还可以用于对信号进行压缩和编码，以便于信号的传输和存储。
然而，频域采样也存在一些缺点。
首先，傅里叶变换需要将信号从时域转换到频域，这需要使用复杂的数学运算和计算。
其次，频域采样的结果通常需要经过逆傅里叶变换才能得到原始信号的离散时间表示，这同样需要复杂的数学运算和计算。
此外，频域采样的结果可能存在频率混叠和泄漏现象，这会影响到重建出的原始信号的质量。
数字信号处理上机实验及答案(第三版,第十章)
第十章上机实验数字信号处理是一门理论和实际密切结合的课程，为深入掌握课程内容，最好在学习理论的同时，做习题和上机实验。
上机实验不仅可以帮助读者深入的理解和消化基本理论，而且能锻炼初学者的独立解决问题的能力。
本章在第二版的基础上编写了六个实验，前五个实验属基础理论实验，第六个属应用综合实验。
实验一系统响应及系统稳定性。
实验二时域采样与频域采样。
实验三用FFT对信号作频谱分析。
实验四IIR数字滤波器设计及软件实现。
实验五FIR数字滤波器设计与软件实现实验六应用实验——数字信号处理在双音多频拨号系统中的应用任课教师根据教学进度，安排学生上机进行实验。
建议自学的读者在学习完第一章后作实验一；在学习完第三、四章后作实验二和实验三；实验四IIR数字滤波器设计及软件实现在。
学习完第六章进行；实验五在学习完第七章后进行。
实验六综合实验在学习完第七章或者再后些进行；实验六为综合实验，在学习完本课程后再进行。
10.1 实验一: 系统响应及系统稳定性1.实验目的（1）掌握求系统响应的方法。
（2）掌握时域离散系统的时域特性。
（3）分析、观察及检验系统的稳定性。
2.实验原理与方法在时域中，描写系统特性的方法是差分方程和单位脉冲响应，在频域可以用系统函数描述系统特性。
已知输入信号可以由差分方程、单位脉冲响应或系统函数求出系统对于该输入信号的响应，本实验仅在时域求解。
在计算机上适合用递推法求差分方程的解，最简单的方法是采用MA TLAB语言的工具箱函数filter函数。
也可以用MATLAB语言的工具箱函数conv函数计算输入信号和系统的单位脉冲响应的线性卷积，求出系统的响应。
系统的时域特性指的是系统的线性时不变性质、因果性和稳定性。
重点分析实验系统的稳定性，包括观察系统的暂态响应和稳定响应。
系统的稳定性是指对任意有界的输入信号，系统都能得到有界的系统响应。
或者系统的单位脉冲响应满足绝对可和的条件。
系统的稳定性由其差分方程的系数决定。
数字信号处理课程设计
数字信号处理课程设计（综合实验）班级：电子信息工程1202X姓名：X X学号：1207050227指导教师:XXX设计时间：2014.12.22—2015.1。
4成绩:评实验一时域采样与频域采样定理的验证实验一、设计目的1。
时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论.要求掌握模拟信号采样前后频谱的变化，以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢失信息；2. 要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念，以及频率域采样定理及其对频域采样点数选择的指导作用。
二、程序运行结果1。
时域采样定理验证结果:2。
频域采样定理验证结果:三、参数与结果分析1。
时域采样参数与结果分析：对模拟信号()ax t以T进行时域等间隔理想采样，形成的采样信号的频谱会以采样角频率Ωs（Ωs=2π/T)为周期进行周期延拓。
采样频率Ωs必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信号的频谱不产生频谱混叠。
() ax t的最高截止频率为500HZ，而因为采样频率不同,得到的x1（n)、x2(n）、x3(n）的长度不同。
频谱分布也就不同。
x1(n）、x2（n）、x3(n)分别为采样频率为1000HZ、300HZ、200HZ 时候的采样序列，而进行64点DFT之后通过DFT分析频谱后得实验图中的图，可见在采样频率大于等于1000时采样后的频谱无混叠，采样频率小于1000时频谱出现混叠且在Fs/2处最为严重。
2.频域采样参数与结果分析：对信号x（n）的频谱函数进行N点等间隔采样，进行N 点IDFT[（）NXk］得到的序列就是原序列x(n）以N为周期进行周期延拓后的主值区序列。
对于给定的x（n）三角波序列其长度为27点则由频率域采样定理可知当进行32点采样后进应该无混叠而16点采样后进行IFFT得到的x（n）有混叠,由实验的图形可知频域采样定理的正确性.四、思考题如果序列x（n）的长度为M，希望得到其频谱在[0， 2π］上的N点等间隔采样，当N<M 时，如何用一次最少点数的DFT得到该频谱采样？答：通过实验结果可知，可以先对原序列x(n)以N为周期进行周期延拓后取主值区序列，再计算N点DFT则得到N点频域采样。
DSP实验二时域采样和频域采样实验报告
数字信号处理实验报告实验二时域采样和频域采样班级: 电子信息工程16 姓名：吴翰学号： 1600506160 2018年 10 月 17 日一、实验目的时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论。
要求掌握模拟信号采样前后频谱的变化，以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢失信息；要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念，以及频率域采样定理及其对频域采样点数选择的指导作用。
二、实验原理与方法1、时域采样定理的要点a) 对模拟信号)(t x a 以间隔T 进行时域等间隔理想采样，形成的采样信号的频谱)(ˆΩj X 是原模拟信号频谱()aX j Ω以采样角频率s Ω（T s /2π=Ω）为周期进行周期延拓。
公式为：)](ˆ[)(ˆt x FT j X aa =Ω )(1∑∞-∞=Ω-Ω=n s ajn j XTb) 采样频率s Ω必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信号的频谱不产生频谱混叠。
利用计算机计算上式并不方便，下面我们导出另外一个公式，以便用计算机上进行实验。
理想采样信号)(ˆt x a 和模拟信号)(t x a 之间的关系为： ∑∞-∞=-=n a a nT t t x t x)()()(ˆδ对上式进行傅立叶变换，得到：dt e nT t t x j X t j n a a Ω-∞∞-∞-∞=⎰∑-=Ω])()([)(ˆδ dt e nT t t x t j n a Ω-∞-∞=∞∞-∑⎰-)()( δ＝在上式的积分号内只有当nT t =时，才有非零值，因此：∑∞-∞=Ω-=Ωn nT j aae nT xj X )()(ˆ上式中，在数值上)(nT x a ＝)(n x ，再将T Ω=ω代入，得到：∑∞-∞=-=Ωn nj aen x j X ω)()(ˆ上式的右边就是序列的傅立叶变换)(ωj eX ，即T j a e X j X Ω==Ωωω)()(ˆ上式说明理想采样信号的傅立叶变换可用相应的采样序列的傅立叶变换得到，只要将自变量ω用T Ω代替即可。
数字信号处理实验报告
《数字信号处理》实验报告课程名称：《数字信号处理》学院：信息科学与工程学院专业班级：通信1502班学生姓名：侯子强学号：0905140322指导教师：李宏2017年5月28日实验一 离散时间信号和系统响应一. 实验目的1. 熟悉连续信号经理想采样前后的频谱变化关系，加深对时域采样定理的理解2. 掌握时域离散系统的时域特性3. 利用卷积方法观察分析系统的时域特性4. 掌握序列傅里叶变换的计算机实现方法，利用序列的傅里叶变换对离散信号及系统响应进行频域分析二、实验原理1. 采样是连续信号数字化处理的第一个关键环节。
对采样过程的研究不仅可以了解采样前后信号时域和频域特性的变化以及信号信息不丢失的条件，而且可以加深对离散傅里叶变换、Z 变换和序列傅里叶变换之间关系式的理解。
对连续信号()a x t 以T 为采样间隔进行时域等间隔理想采样，形成采样信号：ˆ()()()a a xt x t p t = 式中()p t 为周期冲激脉冲，()a x t 为()a x t 的理想采样。
()a x t 的傅里叶变换为()a X j Ω：上式表明将连续信号()a x t 采样后其频谱将变为周期的，周期为Ωs=2π/T。
也即采样信号的频谱()a X j Ω是原连续信号xa(t)的频谱Xa(jΩ)在频率轴上以Ωs 为周期，周期延拓而成的。
因此，若对连续信号()a x t 进行采样，要保证采样频率fs ≥2fm ，fm 为信号的最高频率，才可能由采样信号无失真地恢复出原模拟信号计算机实现时，利用计算机计算上式并不方便，因此我们利用采样序列的傅里叶变换来实现，即()()n P t t nT δ∞=-∞=-∑1()()*()21()n a a a s X j X j P j X j jn T π∞=-∞Ω=ΩΩ=Ω-Ω∑()()|j a TX j X e ωω=ΩΩ=而()()j j n n X e x n e ωω∞-=-∞=∑为采样序列的傅里叶变换2. 时域中，描述系统特性的方法是差分方程和单位脉冲响应，频域中可用系统函数描述系统特性。
验证时域采样定理和频域采样定理__数字信号处理.doc
恍恍惚惚课程设计报告Fra bibliotek课程名称
系 别：
专业班级：
学 号：
姓 名：
数字信号课程设计
工程技术系
电子信息工程
09XXXXXX7
课程题目： 验证时域采样定理和频域采样定理
完成日期：
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根保通据护过生高管产中线工资敷艺料设高试技中卷术资配0料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高高与中中带资资负料料荷试试下卷卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并中3试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
数字信号处理采样定理
四、用MATLAB证明采样定理实例
Xa(t)=sin(2*pi*60*t)+cos(2*pi*25*t)+cos(2*p i*30*t)
fs=80HZ
fs=120HZ
但因不可能制造出理想的低通滤波器，所以需要 一个保护带，而且频带的上限有技术上的限制， 所以，取样率必须稍大于理想的最小值。 2.5~3fmax
fs=150HZ
六、总结
欠采样：fs<2fmax 时，时域波形恢复过程中已经不能完整的表示原信号，有了失真， 从频谱上也可以看出，同的频谱带互相重叠，已经不能体现原信号频谱的特点了，从而 无法得到原来的信号。 临界采样:fs=2fmax 频率波形仍然不能恢复完整的原信号，只是恢复了低频部分。 过采样:fs>2fmax,能够恢复原信号，这样我们可以利用低通滤波器得到无失真的还原。
二、时域采样定理
定义：在进行模拟/数字信号的转换过程中，当采 样频率fs大于或等于信号中最高频率fmax的2倍时, 采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的 信息。（一般实际应用中保证采样频率为信号最 高频率的5~10倍）
fs≥2fmax
三、不同采样频率下的频谱情况
只有当Ωs≥2Ωm时，基带频谱与各次谐波频谱彼 此是不重叠的，实现 无混叠的周期延拓，基带频 谱保留了原信号的全部信息；可用一个带宽为 Ωs/2的理想低通（虚线框）提取出基带频谱，而 滤掉它的各次调制频谱，从而恢复出原信号，从 而恢复x(t)；
x(t)
xa(t)
t
0 T 2T
p(t)= (t nT)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课程设计报告课程名称数字信号课程设计系别：工程技术系专业班级：电子信息工程学号：09XXXXXX7姓名：XXXXX课程题目：验证时域采样定理和频域采样定理完成日期：2012年6月29日指导老师：***2012 年6 月29 日验证时域采样定理和频域采样定理摘要数字信号处理是将信号以数字方式表示并处理的理论和技术。
数字信号处理与模拟信号处理是信号处理的子集。
数字信号处理的目的是对真实世界的连续模拟信号进行测量或滤波。
因此在进行数字信号处理之前需要将信号从模拟域转换到数字域，这通常通过模数转换器实现。
而数字信号处理的输出经常也要变换到模拟域，这是通过数模转换器实现的。
编制Matlab程序，完成以下功能，对给定模拟信号进行时域采样，观察不同采样频率对采样信号频谱的影响，验证时域采样定理；对给定序列进行傅里叶变换，并在频域进行采样，观察不同采样点数对恢复序列的影响，验证频域采样定理；绘制相关信号的波形。
关键字：时域采样，频域采样，数字信号处理，matlab目录一、绪论 (1)二、方案 (1)1.验证时域采样定理 (1)2.频域采样理论的验证。
(2)三、过程论述 (3)1.实验步骤 (3)2.MATLAB实现编程 (3)四、结果分析 (6)1、程序分析 (6)2、原信号的波形及幅度频谱 (6)3、实验结果分析 (6)五、结论 (9)致谢 (11)参考文献 (11)一、绪论数字信号处理是将信号以数字方式表示并处理的理论和技术。
数字信号处理与模拟信号处理是信号处理的子集。
数字信号处理的目的是对真实世界的连续模拟信号进行测量或滤波。
因此在进行数字信号处理之前需要将信号从模拟域转换到数字域，这通常通过模数转换器实现。
而数字信号处理的输出经常也要变换到模拟域，这是通过数模转换器实现的。
编制Matlab 程序，完成以下功能，对给定模拟信号进行时域采样，观察不同采样频率对采样信号频谱的影响，验证时域采样定理；对给定序列进行傅里叶变换，并在频域进行采样，观察不同采样点数对恢复序列的影响，验证频域采样定理；绘制相关信号的波形。
二、方案1.验证时域采样定理 给定模拟信号a 0()sin()()t x t Ae t u t αΩ-=式中, A=444.128，502πα=,s rad /2500π=Ω。
现用DFT(FFT)求该模拟信号的幅频特性，以验证时域采样理论。
按照xa(t)的幅频特性曲线，选取三种采样频率，即Fs=1 kHz ，300 Hz ，200 Hz 。
观测时间选Tp=64 ms 。
为使用DFT ，首先用下面的公式产生时域离散信号，对三种采样频率，采样序列按顺序用x1(n)、x2(n)、x3(n)表示。
a 0()()e sin()()nT x n x nT A nT u nT αΩ-==因为采样频率不同，得到的x1(n)、 x2(n)、x3(n)的长度不同， 长度（点数）用公式N=Tp ×Fs 计算。
选FFT 的变换点数为M=64，序列长度不够64的尾部加零。
X(k)=FFT[x(n)] ， k=0,1,2,3,…,M －1 式中, k 代表的频率为2πk k Mω=要求： 编写实验程序，计算x1(n)、 x2(n)和x3(n)的幅度特性，并绘图显示。
观察分析频谱混叠失真。
2.频域采样理论的验证。
给定信号如下：1013()2714260n n x n n n +≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其它编写程序分别对频谱函数X(ej ω)=FT ［x(n)］在区间［0, 2π］上等间隔采样32点和16点，得到X32(k)和X16(k)：j 322π32()(e ), 0,1,2,31k X k X k ωω===j 162π16()(e ), 0,1,2,15k X k X k ωω===再分别对X32(k)和X16(k)进行32点和16点IFFT ，得到x32(n)和x16(n)：323232()IFFT[()] , 0,1,2,,31x n X k n ==161616()IFFT[()] , 0,1,2,,15x n X k n ==分别画出X(ej ω)、X32(k)和Ｘ16(k)的幅度谱，并绘图显示x(n)、x32(n)和x16(n)的波形，进行对比和分析，验证总结频域采样理论。
提示： 频域采样用以下方法容易编程实现。
(1) 直接调用MATLAB 函数fft 计算X32(k)=FFT ［x(n)］32就得到X(ej ω)在［0, 2π］的32点频率域采样X32(k)。
(2) 抽取X32(k)的偶数点即可得到X(ej ω)在［0, 2π］的16点频率域采样X16(k)，即X16(k)=X32(2k), k=0, 1, 2, …, 15。
(3) 当然, 也可以按照频域采样理论，先将信号x(n)以16为周期进行周期延拓，取其主值区（16点），再对其进行16点DFT(FFT), 得到的就是X(ej ω)在［0, 2π］的16点频率域采样X16(k)。
三、过程论述1.实验步骤（1）画出连续时间信号的时域波形及其幅频特性曲线，信号为f(x)= sin(2*pi*60*t)+cos(2*pi*25*t)+cos(2*pi*30*t)；（2）对信号进行采样，得到采样序列，画出采样频率分别为80Hz，120 Hz，150 Hz时的采样序列波形；（3）对不同采样频率下的采样序列进行频谱分析，绘制其幅频曲线，对比各频率下采样序列和的幅频曲线有无差别。
（4）对信号进行谱分析，观察与3中结果有无差别。
（5）由采样序列恢复出连续时间信号，画出其时域波形，对比与原连续时间信号的时域波形。
2.MATLAB实现编程%实现采样频谱分析绘图函数function fz=caiyang(fy,fs)%第一个输入变量是原信号函数，信号函数fy以字符串的格式输入%第二个输入变量是采样频率fs0=10000; tp=0.1;t=[-tp:1/fs0:tp];k1=0:999; k2=-999:-1;m1=length(k1); m2=length(k2);f=[fs0*k2/m2,fs0*k1/m1]; %设置原信号的频率数组w=[-2*pi*k2/m2,2*pi*k1/m1];fx1=eval(fy);FX1=fx1*exp(-j*[1:length(fx1)]'*w);%求原信号的离散时间傅里叶变换figure% 画原信号波形subplot(2,1,1),plot(t,fx1,'r')title('原信号'), xlabel('时间t (s)')axis([min(t),max(t),min(fx1),max(fx1)]) % 画原信号幅度频谱subplot(2,1,2),plot(f,abs(FX1),'r')title('原信号幅度频谱') , xlabel('频率f (Hz)')axis([-100,100,0,max(abs(FX1))+5]) % 对信号进行采样Ts=1/fs; %采样周期t1=-tp:Ts:tp; %采样时间序列f1=[fs*k2/m2,fs*k1/m1]; %设置采样信号的频率数组t=t1; %变量替换fz=eval(fy); %获取采样序列FZ=fz*exp(-j*[1:length(fz)]'*w);%采样信号的离散时间傅里叶变换figure% 画采样序列波形subplot(2,1,1),stem(t,fz,'.'),title('取样信号') , xlabel('时间t (s)')line([min(t),max(t)],[0,0])% 画采样信号幅度频谱subplot(2,1,2),plot(f1,abs(FZ),'m')title('取样信号幅度频谱') , xlabel('频率f (Hz)')%信号的恢复及频谱函数function fh=huifu(fz,fs)%第一个输入变量是采样序列%第二个输入变量是得到采样序列所用的采样频率T=1/fs; dt=T/10; tp=0.1;t=-tp:dt:tp; n=-tp/T:tp/T;TMN=ones(length(n),1)*t-n'*T*ones(1,length(t));fh=fz*sinc(fs*TMN); % 由采样信号恢复原信号k1=0:999; k2=-999:-1;m1=length(k1); m2=length(k2); w=[-2*pi*k2/m2,2*pi*k1/m1]; FH=fh*exp(-j*[1:length(fh)]'*w); % 恢复后的信号的离散时间傅里叶变换 figure% 画恢复后的信号的波形 subplot(2,1,1),plot(t,fh,'g'), st1=sprintf('由取样频率fs=%d',fs); st2='恢复后的信号';st=[st1,st2]; title(st) , xlabel('时间t (s)') axis([min(t),max(t),min(fh),max(fh)])line([min(t),max(t)],[0,0]) % 画重构信号的幅度频谱 f=[10*fs*k2/m2,10*fs*k1/m1]; %设置频率数组 subplot(2,1,2),plot(f,abs(FH),'g')title('恢复后信号的频谱') , xlabel('频率f (Hz)') axis([-100,100,0,max(abs(FH))+2]); %主函数f1='sin(2*pi*60*t)+cos(2*pi*25*t)+cos(2*pi*30*t)';%输入一个信号 fs0=caiyang(f1,80); %频率maxs 2f f <，即 欠采样fr0=huifu(fs0,80); fs1=caiyang(f1,120);%频率max s 2f f =，临 界采样fr1=huifu(fs1,120); fs2=caiyang(f1,150);%频率max s 2f f >，即 过采样fr2=huifu(fs2,150);四、结果分析1、程序分析TMN=ones(length(n),1)*t-n'*T*ones(1,length(t));fh=fz*sinc(fs*TMN); %由采样信号恢复原信号 plot(t,f) %绘制fx 的波形stem(t,f) %绘制一个二维杆图(画离散波形) subpolt(,,) %在一个窗口画多个波形图 f=[10*fs*k2/m2,10*fs*k1/m1]; %设置频率数组 abs(x) %求复数x 的模ones %产生矩阵元素全为1的矩阵 2、原信号的波形及幅度频谱原信号时间t (s)050100原信号幅度频谱频率f (Hz)图1 原信号波形及频谱3、实验结果分析 (1) 频率s f <m ax 2f 时，为原信号的欠采样信号和恢复，采样频率不满足时域采样定理，那么频移后的各相临频谱会发生相互重叠，这样就无法将他们分开，因而也不能再恢复原信号。