几个微分中值定理之异同——从罗尔定理到泰勒定理
中值定理和泰勒公式
中值定理和泰勒公式一、中值定理中值定理，也称为拉格朗日中值定理，是微分学的基本定理之一、它是由法国数学家拉格朗日在18世纪提出的。
中值定理有三种形式：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
这些定理之间存在递进和包含关系，其中拉格朗日中值定理是最常用的。
1.罗尔中值定理罗尔中值定理适用于满足以下三个条件的函数f(x)：1）在闭区间[a,b]上连续；2）在开区间(a,b)内可导；3）f(a)=f(b)。
罗尔中值定理断言：在满足上述条件的情况下，存在一个c（a<c<b），使得f'(c)=0。
简单来说，罗尔中值定理说明，如果一个函数在两个端点具有相同的函数值，并且在中间一些地方导数为零，那么在这个导数为零的点附近，函数的变化是很小的。
2.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理适用于满足以下两个条件的函数f(x)：1）在闭区间[a,b]上连续；2）在开区间(a,b)内可导。
拉格朗日中值定理断言：在满足上述条件的情况下，存在一个c（a<c<b），使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
简单来说，拉格朗日中值定理说明，如果一个函数在一个闭区间上连续且可导，那么在这个区间内至少存在一个点，它的导数等于函数在这个区间两个端点连线斜率的平均值。
3.柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，适用于满足以下两个条件的函数f(x)和g(x)：1）在闭区间[a,b]上连续；2）在开区间(a,b)内可导，并且g(x)不为零。
柯西中值定理断言：在满足上述条件的情况下，存在一个c（a<c<b），使得[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a))]=f'(c)/g'(c)。
简单来说，柯西中值定理说明，如果两个函数在一个闭区间上连续且可导，并且其中一个函数在这个区间两个端点的导数不为零，那么在这个区间内至少存在一个点，它的导数的比值等于两个函数在这个区间两个端点连线斜率的比值。
第4次课微分中值定理
第三章一元函数微分学的应用本节主要内容：1、罗尔中值定理2、拉格朗日中值定理3、柯西中值定理4、泰勒中值定理一、罗尔定理1、费马引理：设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,并且在x0处可导,如果对任意x∈U(x0),有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),那么f'(x0)=0.2、罗尔定理：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且有f(a)=f(b),那么在(a,b)内至少在一点ξ,使得f'(ξ)=0.3、罗尔定理的几何意义：在定理的条件下，区间(,)a b内至少存在一点ξ，使得曲线在点(,())ξξ处具有水平切线.f例1（1）试证方程12cos cos 2cos 0n a x a x a nx ++= 在()0,π内至少有一实根.（2）设函数:[0,1],f R →在[]0,1上连续，在(0,1)内可导，并且(1)0f =，则(0,1)c ∃∈，使()()f c f c c '=-.二、拉格朗日中值定理1、拉格朗日中值定理：如果函数f (x )在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间(a ,b )内可导,那么在(a ,b )内至少有一点ξ(a <ξ<b ),使得等式f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a )或者f '(ξ)=a b a f b f --)()(成立.2、拉格朗日中值定理的几何意义：在定理的条件下，区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得曲线在点(,())f ξξ处的切线平行于弦AB .3、拉格朗日中值公式的其它形式：设x 为区间[a ,b ]内一点,x +∆x 为这区间内的另一点(∆x >0或∆x <0),则在[x ,x +∆x ](∆x >0)或[x +∆x ,x ](∆x <0)应用拉格朗日中值公式,得f (x +∆x )-f (x )=f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).如果记f (x )为y ,则上式又可写为∆y =f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).试与微分d y =f '(x ) ⋅∆x 比较：d y =f '(x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的近似表达式；f '(x +θ∆x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的精确表达式.（有限增量公式）4、拉格朗日中值定理的推论:推论1若()0f x '=，则()f x c =（常量）推论2若()()f x g x ''=，则()()f x g x c -=（常量）例2（1）证明2arccos arcsin π=+x x .（2）试证y x y x -≤-sin sin .（3）证明当x >0时,x x x x <+<+)1ln(1.三、柯西中值定理1、柯西中值定理：如果函数f (x )及F (x )在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间(a ,b )内可导,且F '(x )在(a ,b )内的每一点处均不为零,那么在(a ,b )内至少有一点ξ ,使等式)()()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=--成立.显然,如果取F (x )=x ,那么F (b )-F (a )=b -a ,F '(x )=1,因而柯西中值公式就可以写成f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a )(a <ξ<b ),这样就变成了拉格朗日中值公式了.2、柯西中值定理的几何意义：用参数方程表示曲线上至少有一点，其切线平行于两端点所在的弦.(参数方程下拉格朗日中值定理的表达形式)设曲线弧C 由参数方程⎩⎨⎧==)()(x f Y x F X (a ≤x ≤b )表示,其中x 为参数.如果曲线C 上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线,那么在曲线C 上必有一点x =ξ ,使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB ,曲线C 上点x =ξ 处的切线的斜率为)()(ξξF f dX dY ''=,弦AB 的斜率为)()()()(a F b F a f b f --.于是)()()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=--.三个定理的关系：Cauchy 中值定理()g x x =−−−→Lagrange 中值定理()()f a f b =−−−−→Rolle 定理小结：中值定理的本质是建立了导数值与函数值的关系，即建立了局部与整体的关系.基础是罗尔定理.例3（1）设函数()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，证明：至少存在一点()0,1ξ∈，使()2[(1)(0)].f f f ξξ'=-（2）设函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明,(,)a b ξη∃∈，使()()2a bf f ξηη+''=.四、泰勒中值定理1、泰勒中值定理：如果函数f (x )在含有x 0的某个开区间(a ,b )内具有直到(n +1)的阶导数,则当x 在(a ,b )内时,f (x )可以表示为(x -x 0)的一个n 次多项式与一个余项R n (x )之和：)())((!1 ))((!21))(()()(00)(200000x R x x x f n x x x f x x x f x f x f n n n +-+⋅⋅⋅+-''+-'+=其中10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ(ξ 介于x 0与x 之间).2、几个名词：a 多项式n n n x x x f n x x x f x x x f x f x p ))((!1 ))((!21))(()()(00)(200000-+⋅⋅⋅+-''+-'+=称为f (x )按(x -x 0)的幂展开的n 次近似多项式；b 公式200000))((!21))(()()(x x x f x x x f x f x f -''+-'+=+⋅⋅⋅)())((!100)(x R x x x f n nn n +-+,称为f (x )按(x -x 0)的幂展开的n 阶泰勒公式；c 表达式10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ(ξ介于x 与x 0之间)称为拉格朗日型余项；d 表达式R n (x )=o [(x -x 0)n ]称为佩亚诺型余项；e 公式)(!)0( !2)0()0()0()()(2x R x n f x f x f f x f n n n ++⋅⋅⋅+''+'+=称为n 阶麦克劳林公式.（即x 0=0时的泰勒公式）如果对于某个固定的n ,当x 在区间(a ,b )内变动时,|f (n +1)(x )|总不超过一个常数M ,则有估计式1010)1(||)!1( |)()!1()(| |)(|+++-+≤-+=n n n n x x n M x x n f x R ξ及0)(lim 0)(0=-→n x n x x x x R ，可见,当x →x 0时,误差|R n (x )|是比(x -x 0)n 高阶的无穷小,即R n (x )=o [(x -x 0)n ].3、与拉格朗日中值定理的关系当n=0时,泰勒公式变成拉格朗日中值公式：f(x)=f(x0)+f'(ξ)(x-x0)(ξ在x0与x之间).即泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.前三个中值定理建立函数f(x)与一阶导数的关系；泰勒中值定理建立函数f(x)与高阶导数之间的关系.4、常用初等函数的麦克劳林公式例4计算e 的近似值，使得误差不超过510-.例5求极限.（1）4202cos lim x ex x x -→-（2）已知1)0(,1)(lim 0=''=→f xx f x ，求极限x x x x f x sin )(lim 0-→例6设0)(>''x f ，当0→x 时，)(x f 与x 是等价无穷小，证明当0≠x 时，x x f >)(。
微分中值定理
微分中值定理微分中值定理是微分学中的重要定理,它揭示了函数在区间上的宏观的、整体的性质与函数在某一点上（中值点ξ）的微观的局部的性质之间的关系,是联系函数及其导数的桥梁和纽带。
其中罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理通常联系的是函数与其一阶导数的关系,泰勒中值定理通常联系的是函数与其高阶导数的关系。
一、微分中值定理的历史演变古希腊数学家在几何研究中,得到如下结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这是拉格朗日中值定理的特殊情况。
希腊著名数学家阿基米德正是巧妙地利用这一结论,求出抛物线弓形的面积。
意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri,1598-1647）在《不可分量几何学》（1635年）的卷一中给出了处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦,这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理。
1.费马定理法国数学家费马（Fermat,1601-1665）在《求最大值和最小值的方法》（1637年）中给出了费马定理。
费马在研究极大和极小问题的解法时,得到统一的解法“虚拟等式法”,从而得到原始形式的费马定理,费马定理在现行教科书中,一般作为微分中值定理的引理。
当应当注意的是,在当时微积分还处于初创阶段,没有明确导数、极限连续的概念,所以我们现在的看到的费马定理是后人根据微积分理论和费马发现的实质重新给出的。
2.罗尔定理（引理）法国数学家罗尔（Michel Rolle,1652-1719）在任意次方程的一个解法的证明》（1691年）中,给出多项式形式的罗尔定理：“在多项式a0xn+a1xn−1+⋯+an−1x+an=0 的两个相邻根之间,方程na0xn−1+(n−1)a1xn−2+⋯+an−1=0 至少有一个实根”。
这与现代罗尔定理不仅内容上有所不同,而且证明也大相径庭。
现代形式的罗尔定理,是后人根据微积分理论重新证明的,并把它推广到一般函数（可微函数）,“罗尔定理”这一名称是由德国数学家德罗比什（Drobisch,1802-1896）在1834年给出的,并由意大利数学家贝拉维蒂斯（Bellavitis）在1846年发表的论文中正式使用,是此定理成为微分学的一个基本定理。
(整理)四微分中值定理与泰勒公式.
一. 设函数f(x)在闭区间[0, 1]上可微, 对于[0, 1]上每一个x, 函数f(x)的值都在开区间(0, 1)内, 且, 证明: 在(0, 1)内有且仅有一个x, 使f(x) = x.证明: 由条件知0 < f(x) < 1. 令F(x) = f (x)－x, 于是F(0) > 0, F(1) < 0,所以存在ξ∈ (0, 1), 使F(ξ) = 0. 假设存在ξ1, ξ2∈ (0, 1), 不妨假设ξ2 < ξ1, 满足f(ξ1) = ξ1, f(ξ2) = ξ2. 于是ξ1－ξ2 = f(ξ1)－f(ξ2) = . (ξ2 < η< ξ1). 所以, 矛盾.二. 设函数f(x)在[0, 1]上连续, (0, 1)内可导, 且. 证明: 在(0,1)内存在一个ξ, 使.证明: , 其中ξ1满足.由罗尔定理, 存在ξ, 满足0 < ξ < ξ1, 且.三．设函数f(x)在[1, 2]上有二阶导数, 且f(1) = f(2) = 0, 又F(x) =(x－1)2f(x),证明: 在(1, 2)内至少存在一个ξ, 使.证明: 由于F(1) = F(2) = 0, 所以存在ξ1, 1 < ξ1 < 2, 满足. 所以.所以存在ξ, 满足1 < ξ < ξ1, 且.四. 设f(x)在[0, x](x > 0)上连续, 在(0, x)内可导, 且f(0) = 0, 试证: 在(0, x)内存在一个ξ, 使.证明: 令F(t) = f(t), G(t) = ln(1+t), 在[0, x]上使用柯西定理, ξ∈ (0, x)所以, 即五. 设f(x)在[a, b]上可导, 且ab > 0, 试证: 存在一个ξ∈ (a, b), 使证明: 不妨假设a > 0, b > 0. 令. 在[a, b]上使用拉格朗日定理六. 设函数f(x), g(x), h(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 证明:存在一个ξ∈(a,b), 使证明: 令, 则F(a) = F(b) = 0, 所以存在一个ξ∈(a, b), 使七. 设函数f(x)在[0, 1]上二阶可导, 且f(0) = f(1) = 0, 试证: 至少存在一个ξ∈(0,1), 使证明: (, 二边积分可得, 所以)令. 由f(0) = f(1) = 0知存在η∈ (0, 1), . 所以F(η) = F(1) = 0, 所以存在ξ∈ (η, 1), . 立即可得八. 设f(x)在[x1, x2]上二阶可导, 且0 < x1 < x2, 证明:在(x1, x2)内至少存在一个ξ, 使证明: 令, 在[x1, x2]上使用柯西定理. 在(x1, x2)内至少存在一个ξ, 满足九. 若x1x2 > 0, 证明: 存在一个ξ∈ (x1, x2)或(x2, x1), 使证明: 不妨假设0 < x1 < x2. 令, 在[x1, x2]上使用柯西定理. 在(x1, x2)内至少存在一个ξ, 满足立即可得.十. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且f(a) = f(b) = 0, g(x) ≠ 0,试证: 至少存在一个ξ∈ (a, b), 使证明: 令, 所以F(a) = F(b) = 0. 由罗尔定理至少存在一个ξ∈(a, b), 使,于是.十一. 设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内有二阶连续导数, 试证: 至少存在一个ξ∈(a, b), 使证明: ∀x, t∈ [a, b], 有取t =, 分别取x = b, x = a, 得到二式相加, 得所以存在ξ∈ (a, b), 使得十二. 设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且f(a) = f(b) = 1, 证明: 存在ξ、η∈ (a, b), 使得证明: 对于在[a, b]上使用拉格朗日定理, 在(a, b)内存在η, 使得所以在(a, b)内存在ξ, 使得即是。
微分中值定理与泰勒展开
微分中值定理与泰勒展开微分中值定理和泰勒展开是微积分中重要的概念和理论。
它们在分析函数的性质和求解实际问题中起着至关重要的作用。
本文将介绍微分中值定理和泰勒展开的概念、原理以及应用。
一、微分中值定理微分中值定理是微分学中最基本的定理之一，它包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理等。
这些定理揭示了函数在连续和可导的条件下的一些特性。
1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理中最基础的定理。
它表明，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么在(a, b)区间内至少存在一个点c，使得函数的导数在c点的值等于函数在[a, b]区间端点处的导数值之差的商。
数学表达式为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则存在一个介于a和b之间的数c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
2. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广。
柯西中值定理表明，如果两个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且其中一个函数在开区间(a, b)内不恒为零，那么在(a, b)区间内至少存在一个点c，使得两个函数的导数的商等于函数值的商。
数学表达式为：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0，则存在一个介于a和b之间的数c，使得(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f'(c)/g'(c)。
3. 罗尔中值定理罗尔中值定理是微分中值定理的特殊情况。
罗尔中值定理表明，如果函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且在区间端点处的函数值相等，那么在(a, b)区间内至少存在一个点c，使得函数在c 点的导数等于零。
数学表达式为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且f(a)=f(b)，则存在一个介于a和b之间的数c，使得f'(c)=0。
三大微分中值定理的应用
三大微分中值定理的应用1.求极限2.函数的极值和最值，曲线的凹凸性及其拐点3.曲线的渐近线4.方程的根5.不等式的证明6.中值定理的证明题微分中值定理定理1：费马引理：如果函数在一点可导，并且在该点取得极值，则导数为0根据图像比较容易得出结论定理2：罗尔定理：如果函数在闭区间连续，开区间可导两端点值相等，则可以证明至少存在一点导数为0证明：方法一，几何明显方法二，一定存在最小值m,最大值M1.m==M，则可以证明导数处处为02.m < M，又根据两端点值相等，则至少有一个值是在区间内部，且为极值点，所以可以证明导数为0定理3：拉格朗日中值定理：上述条件下，一定存在一点导数值等于两点连线的斜率定理4：柯西中值定理存在两个函数满足上述条件，则一定存在一点的两个函数的导数值为两点函数的差值证明：可以将y,x当做对t的参数方程，按照拉格朗日进行求导三个微分中值定理1.意义：建立函数和导数之间的关系2.罗尔定理是拉格朗日定理的特例，拉格朗日是柯西中值定理的特例3.但后面两个都是罗尔定理构建辅助函数得出的结论，罗尔定理反而是重点泰勒公式泰勒公式意义1.建立函数和高阶导数的连接2.把函数用多项式逼近两种余项的泰勒公式皮亚诺余项拉格朗日余项区别：1.条件不同，皮亚诺余项要求n阶可导，拉格朗日余项要求n+1阶可导2.关于余项不同，皮亚诺余项的余项只能保证在x趋向x0的时候，与x0的差值n次方会是无穷小拉格朗日余项则是存在一点介于x和x0之间在展开之间（中值定理）3.皮亚诺余项是要求局部形态，适用于极限，极值拉格朗日余项要求整体形态，用于求最值，不等式常用五个泰勒公式导数的应用1.单调性：根据导数的正负性就可以判断区间内导数的增减性2.函数的极值：在局部形态下，如果邻域内恒有大于或者小于该点值，则说明在该点取得极值定理8：极值的必要条件如果可导，取得极值，则导数为0将所有导数为0的点称作驻点因为是必要条件，所以驻点不一定是极值；但对于可导函数而言，极值一定是驻点所以极值的取值范围，只可能是驻点or导数不存在的点因为驻点是极值是必要条件所以定理9：极值的第一充分条件（可判断第一种或者第二种可能的极值）如果该点邻域可导，在该点两边一阶导数变号，且该点可导或者不可导但连续；则该点为极值点定理10：极值的第二充分条件（只能判断第一种，且要求二阶导存在）驻点的二阶导数不为0，则一定是极值点如果二阶<0为极大值如果二阶>0为极小值函数的最大最小值找连续函数的最值第一步：求出驻点和不可导点（可能的极值点）第二步：然后比较他们和端点的函数值如果极值点是唯一的，则如果是极大则为最大，如果极小，则为最小如果是应用题，需要建立目标函数曲线的凹凸性二阶导数如果>0，则是凹的；如果<0，则是凸的一阶导数判断函数的增减性，二阶导数判断函数的凹凸性拐点：端点两端二阶导数变号，注意：拐点一定是曲线上的点，一定要用两个坐标去表示极值点可以是x轴上的点,x=具体的数如何判定是否是拐点极值点一个必要两个充分对应曲线的渐近线1）水平渐近线：最多两条2）垂直渐近线：可以有无穷多条，分母为03）斜渐近线：函数作图1.确定定义域2.求一阶导数3.求二阶导数4.求渐近线曲线的弧微分与曲率曲率：K = |y’’|/(1+y’2)(3/2)曲率半径：R = 1/K基本题型1.函数静态：研究函数的极值，最值，确定曲线的凹凸和拐点2.求渐近线3.求方程的根4.不等式证明5.中值定理以及证明题一、研究函数的极值，最值，确定曲线的凹凸和拐点极值只可能是导数为0或者导数不存在的点如何判断：1.左右导数是否变号2.二阶导数是否!=0导数不存在且为极值的条件是该点必须连续有关分段函数在分界点上是否为拐点或取得极值，只需要要求函数连续，然后判断左右导数是否异号即可二、渐近线斜渐近线需要将函数写成ax+b+O(x)的形式，后面趋向于无穷小三、方程的根通常写成f(x) = 0，然后计算有多少个根题型：方程根的存在性：1.零点函数定理，左右端点异号2.罗尔定理，找到fx的原函数，带入左右端点都是0，然后求导可知fx存在一点取得0根的个数：1.单调性：这样就能确定只有一个2.罗尔定理的推论：如果n阶导数不为0，最多有n个零点四、不等式的证明1.单调性：将所有式子移到一边，然后求导，得出FX恒大于0，可以求解2.拉格朗日中值定理：通常用于两点之差的式子3.最大最小值定理：最小值大于0两个重要结论sinx < x < tanxx/(1+x) < In(1+x) < x(采用中值定理证明)五、中值定理的证明题习题推导，如果在一段区域内n个值相等，可以证明至少存在n-1导数为0。
微积分三大中值定理详解
f (x)在[1,3]上连续,在(1,3)内可导
解
又f (1) f (3) 0.
答 因此, f (x)满足Rolle定理的三个条件.故有
f ( ) 2( 1) 0(1 3),得 1
即在(1,3)内存在一点 1，使得f ( ) 0.
22
微积分（一） calculus
练 证 一明方x程 5 x10有且仅有一个.正实根
y
y x3
等 ， 即 f ( 1) f (1),
但 存 在 =0,使 得
1
0
1
x
f (0 ) 0 .
9
微积分（一） calculus
再如,
x2 f(x)
-1x1 在右端点不连续,
0 x1
但 存 在 0 ,使 得 f(0 ) 0
y
1
1
o
·1 x
10
微积分（一） calculus
然而, yx,x[1,1];
少存在一点，使得f()f().
分析 f (x) f (x) xf (x) f (x) 0 x
(xf (x)) 0;若令F (x) xf (x) 则问题的结论就转化为证明F(x) 0 构造辅助函数F (x) xf (x)，就可以用 罗尔定理来证明。
16
微积分（一） calculus
题型3：找函数(由结论入手，求解微分方程)
11
微积分（一） calculus
例1设f(x)2x35x22x5,x[1,1], 验证f(x)是否满足Rolle定理的条件？
若满足,求出定理中使f()0的.
解 f (x) 2x3 5x2 2x 5 f (x) 6x2 10x 2都是多项式；
f (x)在[1,1]上连续,在(1,1)内可导 且f (1) f (1) 0.
三大微分中值定理
罗尔定理：如果函数()f x 满足
(1)在闭区间[],a b 上连续；
(2)在开区间(),a b 内可导；
(3)在区间端点处的函数值相等，即()()f a f b =，那么在(),a b 内至少有一点()a b ξξ<<，使得()'0f ξ=. 拉格朗日中值定理：如果函数()f x 满足
(1)在闭区间[],a b 上连续；
(2)在开区间(),a b 内可导； 那么在(),a b 内至少有一点()a b ξξ<<，使等式
()()()()f b f a f b a ξ-=- 成立.
柯西中值定理：如果函数()f x 及()F x 满足
(1)在闭区间[],a b 上连续；
(2)在开区间(),a b 内可导；
(3)对任一(),x a b ∈，()'0F x ≠， 那么在(),a b 内至少有一点ξ使等式
()()()()()()''f b f a f F b F a F ξξ-=- 成立
泰勒(Taylor)中值定理：如果函数()f x 在含有0x 的某个开区间(),a b 内具有直到()1n +阶导数，则对任一(),x a b ∈，有 ()()()()()()()()()()20000000'''2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+
-+-++-+ ， 其中
()()()()()1101!n n n f R x x x n ξ++=-+， 这里ξ是0x 与x 之间的某个值.。
微分中值定理与泰勒公式内容要点
微分中值定理与泰勒公式内容要点微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它是描述函数在一些区间内的平均变化率与一些点处的瞬时变化率之间的关系。
泰勒公式是函数在一些点附近的局部展开式，它可以用来近似计算函数的值。
下面将详细介绍微分中值定理和泰勒公式的内容要点。
一、微分中值定理微分中值定理是由法国数学家Cauchy于1821年提出，并由德国数学家Rolle于1691年和法国数学家Lagrange于1797年分别独立给出证明。
微分中值定理主要有三个不同的版本：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
1.罗尔中值定理罗尔中值定理是微分中值定理的最简单形式。
它表述为：如果一个函数f(x)在区间[a,b]内连续，在区间的端点a和b处可导，并且在这两个端点处的函数值相等（f(a)=f(b)），那么存在一个点c∈(a,b)，使得f'(c)=0。
换句话说，函数在区间内至少存在一点处的导数为零。
罗尔中值定理可以应用于证明其他定理，例如求函数零点的存在性、证明最大值和最小值的存在性等。
2.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理的最常用形式。
它表述为：如果一个函数f(x)在区间[a,b]内连续，在区间的内部可导，那么存在一个点c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
换句话说，函数在区间内至少存在一点处的导数等于函数在区间两端点连线上的斜率。
拉格朗日中值定理可以应用于证明平均值定理、证明函数的单调性、证明函数的增减性等。
3.柯西中值定理柯西中值定理是微分中值定理的一般形式。
它表述为：如果两个函数f(x)和g(x)在区间[a,b]内连续，在区间的内部可导，并且g'(x)≠0，那么存在一个点c∈(a,b)，使得[f'(c)/g'(c)]=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]。
换句话说，在一定条件下，函数在区间内至少存在一点处的导数之比等于函数在区间两端点连线上函数值之差的比值。
第三章微分中值定理罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 (洛必达法则) 第三节泰勒公式 麦克劳林
第三章 微分中值定理与导数的应用第一节 微分中值定理一、罗尔定理 1、 费马定理：设)()(0f D x U ⊂,)()(0x f x f ≤[或)()(0x f x f ≥],)(0x U x ∈，若)()(0x D x f ∈，则0)(0='x f .证明：由于0)()(0≤-x f x f ,)(0x U x ∈，那么0)()(lim )(0000≥--='-→x x x f x f x f x x ,(因00<-x x )0)()(lim )(0000≥--='+→x x x f x f x f x x ,(因00>-x x ) , 所以 0)(0='x f .2、罗尔定理：设],[)(b a C x f ∈,),()(b a D x f ∈,且)()(b f a f =，则),(b a ∈∃ξ,..t s 0)(='ξf . 证明：因],[)(b a C x f ∈,],[,b a x x M m ∈∃，..t s)}({min )(x f x f m bx a m ≤≤==, )}({max )(x f x f M bx a M ≤≤==.(1) 当M m =时,则],[,)(b a x M x f ∈≡,那么),(,0)(b a x x f ∈≡'.取 ),(2b a ba ∈+=ξ，有0)(='ξf . (2) 当M m <时, 因)()(b f a f =,),()(b a D x f ∈,① 若M a f <)(,有),(b a x M ∈, 取M x =ξ； ② 若M a f =)(,有),(b a x m ∈, 取m x =ξ；因),(b a ∈ξ,)()(ξD x f ∈,由费马定理知：0)(='ξf .3、几何意义x yO)(x f y =ξyC)(x f y =A Ba OxξyC)(x f y =A Ba Oxb曲线)(x f y =在两个端点等高，则曲线内必有一水平切线。
微分中值定理与泰勒公式
微分中值定理与泰勒公式微分中值定理是微积分中的一项重要定理，它建立了导数与函数平均变化率之间的关系。
而泰勒公式则使我们能够通过已知函数的某一点处的导数值，来逼近该点附近的函数值。
在本文中，我们将介绍微分中值定理和泰勒公式的基本原理和应用。
一、微分中值定理微分中值定理是微积分中的基本定理之一，它包括了拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
这些定理的基本思想都是利用导数的中间值性质，揭示了函数在某个区间内的特殊性质。
1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理描述了函数在一个闭区间内，存在一个点，使得该点的切线斜率等于函数在该区间上的平均变化率。
具体而言，若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，则存在一个点c∈(a,b)，使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。
拉格朗日中值定理的一个重要应用是证明函数的单调性和判定函数的极值。
通过证明函数在某一区间内的导数的符号，可以判断函数在该区间上的单调性和极值点的存在与否。
2. 柯西中值定理柯西中值定理描述了两个函数在一个闭区间内，满足一定条件时，它们的导数在该区间上至少有一个相等的点。
具体而言，若函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且g'(x)≠0，则存在一个点c∈(a,b)，使得[f'(c)/g'(c)] = [f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]。
柯西中值定理在解决一些函数方程的问题时起到了重要的作用。
通过构造辅助函数，将原方程转化为柯西中值定理的形式，然后利用中值定理的性质解方程。
3. 罗尔中值定理罗尔中值定理描述了在一个闭区间内，如果函数在两个端点处的函数值相等，那么在该区间上至少存在一个点，使得该点处的导数等于零。
具体而言，若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，且f(a) = f(b)，则存在一个点c∈(a,b)，使得f'(c)=0。
微积分3-1 中值定理、洛必达法则与泰勒公式
令 f (t ) ln t
得
x 故当 x 1 时, e ex.
t [1, x], 则由拉格朗日中值定理 1 ln x ln 1 ( x 1) x 1 , (1 x).
证2 令 f x = e x ex， f x = ex e 0
1637年费马研究丢番图的《算术》时, 写下了著名的
费马大定理 :
不存在满足 x n yn z n (n 2) 的正整数 x, y, z .
费马大定理被称为“会下金蛋的母鸡” .
费马(Fermat)引Leabharlann 的证明存在证: 设 则
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) lim 0 , x 0 x f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) lim 0 , x 0 x
证法2
y
y f ( x)
切线与弦线 AB 平行
B
A
O
a
b
x
弦 AB 的方程： f (b) f (a) y f (a) ( x a) ba
如何利用罗尔定理 来证明？
f (b) f (a ) 令 ( x) f ( x) f (a) ( x a) ba
几 何 意 义
y
y f ( x)
o
a
b
x
f (b ) f ( a ) f ( ) ba
f (b ) f (a ) 0 证法1: 问题转化为证 f ( ) ba f (b) f (a ) x 作辅助函数 ( x ) f ( x ) ba
显然 , 且
B
O
a
拉格朗日中值定理-资料大全
推论 2
若 f ( x) g ( x) x I , 则 f ( x) g ( x) C x I .
( C 为常数 )
证
f (b) f (a) f ( )(b a)
F ( x ) ( f ( x ) g( x )) f ( x ) g( x )
f (a) f (b) bf (a) af (b) (a) f (a) a (b) ba ba
由罗尔定理，则至少存在一点 (a, b) ，使得 ( ) 0 .
f (b) f (a) 0 即 f ( ) ， ba
由此得，
f (b) f (a) f ( )(b a).
拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量 联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态，如单 调性、变化快慢和极值等性态，这是本章的关键内容。
一. 教材分析
（二）重点与难点
教学重点：探求和理解拉格朗日中值定理。
教学难点：探求拉格朗日中值定理的条件；
运用定理研究函数单调性。
一. 教材分析 （三）课时安排
f ( x ) k x
0
f ( x ) kx x
'
0
可以看成洛尔定理的结论 设 ( x) f ( x) kx ，即为所找的辅助函数.
f (b) f (a) ( x) f ( x) x [证明]：构造辅助函数 ，则 ba
( x ) 在 [ a, b] 上连续，)=x2+2x在区间[0、1]内满足拉
格朗日中值定理的ξ值。 解： f ' ( ) (2x 2) |x 2 2 f (1) f (0) f ' ( ) 3 f(1)-f(0)=3 1 0 1 ∴ξ 2 ∴2ξ+2=3 (B)练习1：下列函数中在区间[-1、1]上满足拉格朗日中值 定理条件的是______ 1)f(x)=ln(1+x)
微分中值定理
高等数学----微分中值定理个人总结1.罗尔定理中三条件，闭区间连续，开区间可导，端点处函数值相等是充分的。
但不代表结论成立，就一定满足这三个条件。
2.拉格朗日中值定理只有两个条件，闭区间连续，开区间可导，罗尔定理可看做是其特例：但罗尔定理可用于证明拉格朗日中值定理：（利用上述提到的弦线）得名有限增量定理。
推论：3.由拉格朗日中值定理可推广至柯西中值定理，闭区间连续，开区间可导，在开区间内做分母函数的一阶导数不等于零。
由一个函数推广至多个函数。
拉格朗日中值定理和柯西中值定理均可构造辅助函数用罗尔定理证明。
3.泰勒公式是用“以直代曲”引入的。
用x0处的切线近似代替x0附近的曲线解决函数问题，但这种代替效果并不太好，而且不知道误差大小，只知其是一个比x-x0高阶无穷小。
但如果函数有高阶导数，便可用泰勒公式去代替曲线，说白了，泰勒公式是一个高次多项式，可能比原函数更容易研究。
*麦克劳林公式其实就是泰特多项式的特例说用泰勒公式其实最多的就是用麦克劳林公式。
熟记常用麦克劳林公式即可。
微分中值定理之间的关系：微分中值定理应用1.证明根的存在性；2.证明不等式3.求极限；4.证明函数连续性；5.解决含高阶导数的中值问题；6.求近似值；7.解决倒数估值问题；*洛必达法则洛必达法则用于解决0比0形和无穷比无穷型未定式的极限问题。
但解决极限问题时把等价无穷小的知识与洛必达法则结合无疑是个好方法。
*函数的单调性与凹凸性单调性由一阶导数决定，凹凸性由二阶导数决定，二者都是通过判断导函数的正负号来判断原函数的单调性与凹凸性的，但原函数的根的问题及导函数的正负号也可通过进一步求导得其单调性从而求得所需。
定理2的逆命题不成立，也就是说二阶导函数等于零的点不一定是原函数的拐点。
这一结论和函数驻点与单调性的关系相类似。
另有如果函数的前N阶导数存在且都等于零，第N+1阶导数存在且不为零，则可根据第N+1阶导数的正负号判断原函数的凹凸性。
罗尔定理的几个推论
罗尔定理的几个推论
王随社
【期刊名称】《高等继续教育学报》
【年(卷),期】2008(000)002
【摘要】罗尔定理是数学分析中非常重要的一个定理,本文提出罗尔定理的几个推论,并给出证明及应用
【总页数】3页(P19-20,22)
【作者】王随社
【作者单位】阜阳师范学院数学系安徽,阜阳,236041
【正文语种】中文
【中图分类】G201
【相关文献】
1.Cramer法则推论的几个应用 [J], 许震宇;
2.几个微分中值定理之异同——从罗尔定理到泰勒定理 [J], 闵兰;陈晓敏
3.罗尔定理,达布定理的两个推论 [J], 孟赵玲;马二军
4.复变函数的罗尔定理及其推论 [J], 沈涛;余继光
5.椭圆与两焦点弦有关的几个重要性质及其推论 [J], 姜坤崇
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几个微分中值定理之异同_从罗尔定理到泰勒定理
第34卷 第6期西南师范大学学报(自然科学版)2009年12月Vol134 No16 Journal of S outhwest China Normal University(Natural Science Edition)Dec12009文章编号:1000-5471(2009)06-0196-04几个微分中值定理之异同———从罗尔定理到泰勒定理闵 兰1, 陈晓敏21.成都理工大学信息管理学院,成都610059;2.成都电子机械高等专科学校信息与计算科学系,成都610031摘要:要深刻地了解函数的性质,就必须进一步研究可导函数与其导数之间的关系.微分中值定理就深刻地揭示了它们的内在联系.微分中值定理是微分学教学的重点和难点.从理论上、形式结构上、定理的证明上等方面分析了几个微分中值定理的异同,揭示了微分中值定理在微分学中的重要地位和理论价值.关 键 词:微分中值定理;函数;构造辅助函数中图分类号:文献标识码:A要深刻地了解函数的性质,就必须进一步研究可导函数与其导数之间的关系.导数的定义就是描述函数在某一处的瞬时变化(率)状态.因此,函数的导数与其本身之间就存在着一定的关系.微分中值定理就深刻地揭示了它们的内在联系.微分中值定理是微分学教学的重点和难点.微分中值定理是罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理的统称.它们有如下几个共同点.11在理论上,函数在一定条件下、在给定的区间中存在着一点ξ(即中值),使得在此点的函数与导数在区间上存在着某种特定的等式联系.微分中值定理是微分学的重要理论基础;也是微分学研究函数性态的重要定理;它是沟通函数及其导数之间的桥梁;是应用导数研究函数在某点的局部性质和在某个区间上的整体性质的重要工具.通常应用导数研究函数的性质都要直接借助于中值定理,特别是导数的许多重要应用都是建立在中值定理的基础上;许多理论性的证明都要用到中值定理.拉格朗日中值定理(也称为有限增量定理)在整个高等数学的教学中处于十分重要的地位.故学习中值定理要时刻把握定理的条件、结论、几何解释、证明方法、各定理之间的联系和应用等.通常,中值定理中中值ξ的值不易求出,即中值ξ的准确值常不易知道,但其存在性是肯定的且不影响定理的应用价值和理论研究.21在形式结构上,罗尔定理是中值定理的基础.罗尔定理的几何意义是:如果每一点都有切线的连续曲线y=f(x),在A,B两点有相同的纵坐标,则A,B之间至少存在一点(ξ,f(ξ)),使得曲线在点(ξ,f(ξ))处有水平切线.拉格朗日中值定理给出了用一个导数值与自变量增量之积准确地表达函数增量的公式Δy=f′(x+θΔx)Δx 0<θ<1它的几何意义是:在每一点都有切线的连续弧段AB上,至少存在一点(ξ,f(ξ)),在点(ξ,f(ξ))处曲线的切线平行于弦AB(图1),由此可知,它是罗尔定理的推广.利用它可以研究函数在某一区间的几何性质,如单调性、凹凸性和极值等.又如利用它可以证明一个函数假定它的导数值在某一区间内恒为零,则该函数在该区间内必为一常数.3收稿日期:2009-06-23作者简介:闵 兰(1964-),女,四川成都人,副教授,主要从事应用数学,高等数学教学与研究.柯西中值定理是拉格朗日中值定理在变量上的一个推广.拉格朗日中值定理说明了函数对于自变量在一个区间内的平均变化率等于它在该区间内某一点处的瞬时变化率(导数)f ′(ξ)=f (b )-f (a )b -aa <ξ<b 而柯西中值定理却说的是一个函数对于另一个函数变化率的问题,因而就在变量的意义上包括了拉格朗日中值定理(即令g (x )=x 得拉格朗日中值定理),这样就提供了解决不定式———两个函数之商变化率问题的有效方法———罗必达法则.其几何意义(图2)是:如果平面上光滑曲线C 由参数方程x =φ(t )y =ψ(t ) α≤t ≤β表出,则在此曲线上也存在一点(φ(τ),ψ(τ)),α<τ<β,使得曲线在点(φ(τ),ψ(τ))处的切线平行于弦AB ,其切线斜率为κ=ψ′(τ)φ′(τ)=ψ(β)-ψ(α)φ(β)-φ(α)因此柯西中值定理也可以看成是含有参数形式的拉格朗日中值定理.如果说柯西中值定理是拉格朗日中值定理在变量上的一个推广,那么泰勒定理不妨看成是拉格朗日中值定理在导数的阶数上的一个推广.换句话说,泰勒定理就是连续多次使用拉格朗日中值定理推出的一个结果.它不仅是在理论上利用微分法研究函数性质的基本解析工具(例如从几何上我们看到了三阶以下的导数对曲线研究的影响,还通过泰勒定理我们解析地看到了高阶导数对于函数的关系),而且在实际计算函数值时也起了很大的作用.拉格朗日中值定理给出了函数与其一阶导数的关系,而泰勒定理却给出了函数与其高阶导数之间的关系.因而,就导数的阶数上即令n =0得拉格朗日中值定理.所以拉格朗日中值定理是泰勒定理的特例.图1 拉格朗日中值定理的几何意义图2 柯西中值定理的几何意义 几个微分中值定理的关系如图3所示.31在定理的证明上,都是以罗尔定理为基础,构造一个新的函数(辅助函数),使之满足罗尔定理的条件.构造新的函数是证明各个定理的关键.而构造出的辅助函数必须要求结构简单、函数与导数间必有一定关系,且还要满足罗尔定理的3个条件.通过构造辅助函数来证明中值定理是定理证明的一种常用且有效的方法.如何构造辅助函数是分析问题和证明的难点和重点.那么怎样构造辅助函数呢?一般来讲,构造辅助函数的方法并不是唯一的.其主要方法如下:(1)解析法 从所需证明的结论分析入手,通过适当的方法(如结论恒等变形,求原函数方法等)来寻求辅助函数.如教材中拉格朗日中值定理的证明方法就是从结论分析入手,构造出辅助函数φ(x )=f (x )-f (b )-f (a )b -ax 791第6期 闵 兰,等:几个微分中值定理之异同———从罗尔定理到泰勒定理图3 微分中值定理网络图 还可以将结论改写为f ′(ξ)(b -a )-[f (b )-f (a )]=0,即新构造的辅助函数φ(x )应满足φ′(x )=f ′(x )(b -a )-[f (b )-f (a )]=0相比较不难看出,应取φ(x )=f (x )(b -a )-[f (b )-f (a )]x则φ(x )在[a ,b]上满足罗尔定理条件,拉格朗日中值定理得证.经验告诉我们:用解析法构造辅助函数,是我们运用微分中值定理解题的有效而常用的方法.(2)图像法 从几何图形上进一步分析,拉格朗日中值定理的条件比罗尔定理少一个条件:f (a )=f (b ).为此在证明时要想f (x )与f ′(x )的关系满足定理结论,就必须在函数的性质上人为地使它满足这一条件.这样就给出了一个辅助函数φ(x )≡f (x )-f (a )+f (b )-f (a )b -a (x -a )由此,它既满足了φ(a )=φ(b )这一条件,又不影响对x 的可导性.现在让我们看一下φ(x )的几何意义,便一目了然了.由图4可知:过点M 处的切线l//AB ,由此自然想到辅助函数φ(x )与函数f (x )和弦AB 有关,但φ(x )又不要太复杂.而最简单的函数就是线性函数,从图4中可知线段M N 正是这样的线性函数.图4 φ(x )的几何意义因x =a ,x =b 时M N =0(相等),而M N =f (x )-N x 满足罗尔定理的3个条件.因N x =Tx +N TTx =f (a )N T =t g α(x -a )=f (b )-f (a )b -a(x -a )故辅助函数φ(x )=M N =f (x )-N x =f (x )-(Tx +N T )=f (x )-[f (a )+tgα(x -a )] =f (x )-f (a )+f (b )-f (a )b -a (x -a )又如柯西中值定理的证明是拉格朗日定理证明的一个复制,它的关键也在于构造一个辅助函数.一方面这个辅助函数与f (x ),g (x )有关,另一方面它还要满足罗尔定理的3个条件,这样就能使f (x ),g (x )与f ′(x ),g ′(x )发生关系了.由此我们不难想象只要将证明拉格朗日中值定理新设的辅助函数φ(x )中的a ,b,x 换成g (a ),g (b ),g (x )即可得到一个新的辅助函数φ(x )=f (x )-f (a )+f (b )-f (a )g (b )-g (a )(g (x )-g (a ))这样φ(x )便满足罗尔定理的3个条件,柯西中值定理便可得证.最后,给出泰勒定理证明的主要思想和证明过程中是如何构造辅助函数的.要证明泰勒定理,主要不是在于f (x )是否可以表(x -x 0)的n 次多项式P n (x )与其余项R n (x )之和,因为f ′(x 0),f ″(x 0),…,f (n )(x 0)都存在,则当x 取定值时P n (x )=f (x 0)+f ′(x 0)(x -x 0)+f ″(x 0)2!(x -x 0)2+…+f (n )n !(x -x 0)n 总是有确定的值.如此只要令R n (x )=f (x )-P n (x ),则f (x )就可以表成P n (x )与R n (x )之和.故泰勒定理证明的重点是R n (x )是否可以表f (x 0)成为f (n+1)(ξ)(n +1)!(x -x 0)n+1(其中ξ介于x 0与x 之间).为了验证891西南师范大学学报(自然科学版) 投稿网址http ://xbgjxt 1swu 1cn 第34卷此结论,可假设R n (x )=κ(n +1)!(x -x 0)n+1(κ为待定系数).因而要证明泰勒定理,实际上就是要证明κ=f (n+1)(ξ),其中ξ在x 0和x 之间.故在证明中只要对函数R n (x )(假定其在(a ,b )内有1到n +1阶导数,且R n (x 0)=R ′n (x 0)=…=R n(n )(x 。
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几个微分中值定理之异同——从罗尔定理到泰勒定理
作者：闵兰， 陈晓敏， MIN Lan， CHENG Xiao-min
作者单位：闵兰,MIN Lan(成都理工大学,信息管理学院,成都,610059)， 陈晓敏,CHENG Xiao-min(成都电子机械高等专科学校,信息与计算科学系,成都,610031)
刊名：
西南师范大学学报（自然科学版）
英文刊名：JOURNAL OF SOUTHWEST CHINA NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION)
年，卷(期)：2009,34(6)
被引用次数：2次
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本文链接：/Periodical_xnsfdxxb200906038.aspx。