高二年级数学必修四课件：《弧度制的定义》
人教版高二数学必修四课件：弧度制(共13张PPT)
= ｛α︱α=2kπ,k ∈z｝
【探求新知】
定义：这种以弧度作为单位来度量角 的单位制,叫做弧度制。
300
900
0
6
4
3
2
2
3
1800
3
5
4
6
3 2
2
任一正角的弧度数是一个正数，任一负 角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.
【探求新知】
角度制的弧长公式：
【小结】
（1）了解弧度制的概念，体会弧度是一种度 量角的单位。 （2）能进行弧度与角度的转化。 （3）能初步运用弧度制表示的弧长公式，扇形 公式。
转化的思想
【布置作业】
课本第11页 习题1-3 第1题和第2题
懂得如何避开问题的人，胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上，不知道怎么办的时候，就选择学习，也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念！在 永远是家，走出去看到的才是世界。把钱放在眼前，看到的永远是钱，把钱放在有用的地方，看到的是金钱的世界。给人金钱是下策，给人能力是中策，给人观 财富买不来好观念，好观念能换来亿万财富。世界上最大的市场，是在人的脑海里！要用行动控制情绪，不要让情绪控制行动；要让心灵启迪智慧，不能让耳朵 人与人之间的差别，主要差在两耳之间的那块地方！人无远虑，必有近忧。人好的时候要找一条备胎，人不好的时候要找一条退路；人得意的时候要找一条退路 时候要找一条出路！孩子贫穷是与父母的有一定的关系，因为他小的时候，父母没给他足够正确的人生观。家长的观念是孩子人生的起跑线！有什么信念，就选 有什么态度，就会有什么行为；有什么行为，就产生什么结果。要想结果变得好，必须选择好的信念。播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种 一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以抑制，会变成生活的必需品， 随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作 定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失 永远不会失去自己！这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断 是智慧！世上本无移山之术，惟一能移山的方法就是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！学一分退让 宜；增一分享受，减一分福泽。念头端正，福星临，念头不正，善人行善，从乐入乐，从明入明；行恶，从苦入苦，骨宜刚，气宜柔，志宜大，胆宜小，心宜虚 慧宜增，福宜惜，虑不远，忧亦近。人之所以痛苦，在于追求错误的东西。你目前拥有的，都将随着你的而成为他人的。那为何不现在就给真正需要的人呢？如 往，凡做事应有余步。我们最值得自豪的不在于从不跌倒，而在于每次跌倒之后都爬得起来。见己不是，万善之门。见人不是，诸恶之根。为了向别人、向世界 努力拼搏，而一旦你真的取得了成绩，才会明白：人无须向别人证明什么，只要你能超越自己。没有哪种教育能及得上逆境。如果你想成功，那么请记住：遗产 第一、学习第二、礼貌第三、刻苦第四、精明第五。任何的限制，都是从自己的内心开始的。失败只是暂时停止成功，假如我不能，我就一定要；假如我要，我 无论你如何为他人着想，烦你的人眼里，你就是居心叵测；不管你怎样据理力争，不懂你的人心里，你就是胡搅蛮缠。最后你会发现，有些事不是你做错了，而 人；有些人不是不理解你，而是根本不想懂你。不管怎样，生活还是要继续向前走去。有的时候伤害和失败不见得是一件坏事，它会让你变得更好，孤单和失落 每件事到最后一定会变成一件好事，只要你能够走到最后。工资是发给日常工作的人，高薪是发给承担责任的人，奖金是发给做出成绩的人，股权是分给能干忠 誉是颁给有理想抱负的人，辞退信将送给没结果还耍个性的人，这里一定有个你。内心想成为什么样的人，就会努力成为这样的人，做你想做的那种人。与其指 谁，不如指望自己能够吸引那样的人；与其指望每次失落的时候会有正能量出现温暖自己，不如指望自己变成一个正能量满满的人；与其担心未来，不如现在好 虹绚烂多姿，是在与狂风暴雨争斗之后；枫叶似火燃烧，是在与秋叶的寒霜争斗之后；雄鹰的展翅高飞，是在与坠崖的危险争斗之后。他们保持着奋斗的姿态， 们的成功。有能力的人影响别人，没能力的人受人影响；不是某人使自己烦恼不安，而是自己拿某人的言行来烦恼自己；树一个目标，一步步前行，做好自己就 不需鼓掌，也在飞翔；小草，没人心疼，也在成长；野花，没人欣赏，也在芬芳；做事不需人人都理解，只需尽心尽力；做人不需人人都喜欢，只需坦坦荡荡。 为力，拼搏到感动自己；吃过的苦，受过的累，会照亮未来的路；没有年少轻狂，只有胜者为王。真正成功的人生，不在于成就的大小，而在于你是否努力地去 喊出自己的声音，走出属于自己的道路。选一个方向，定一个时间；剩下的只管努力与坚持，时间会给我们最后的答案。许多人企求着生活的完美结局，殊不知 结局，而在于追求的过程。慢慢的才知道：坚持未必就是胜利，放弃未必就是认输，。给自己一个迂回的空间，学会思索，学会等待，学会调整。人生没有假设 全部。背不动的，放下了；伤不起的，看淡了；想不通的，不想了；恨不过的，抚平了。在比夜更深的地方，一定有比夜更黑的眼睛。一切伟大的行动和思想， 不足道的开始。从来不跌倒不算光彩，每次跌倒后能再站起来，才是最大的荣耀。这个世界到处充满着不公平，我们能做的不仅仅是接受，还要试着做一些反抗 苦、最卑贱、最为命运所屈辱的人，只要还抱有希望，便无所怨惧。有些人，因为陪你走的时间长了，你便淡然了，其实是他们给你撑起了生命的天空；有些人 就忘了吧，残缺是一种大美。照自己的意思去理解自己，不要小看自己，被别人的意见引入歧途。没人能让我输，除非我不想赢！花开不是为了花落，而是为了 烂。随随便便浪费的时间，再也不能赢回来。不管从什么时候开始，重要的是开始以后不要停止；不管在什么时候结束，重要的是结束以后不要后悔。当你决定 情，全世界都会为你让路。只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。别想一下造出大海，必须先由小河川开始。不要让未来的你，讨厌现在的自己，困惑 成功只配得上勇敢
人教A版高中数学必修四课件1.1.2《弧度制》
复习引入
1.角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 ⑵“正角”与“负角”“0角” 2.把用度做单位来度量角的制度叫做角度制 .
讲解新课：
1． 定义：长度等于半径长的弧所对的圆 心角称为1弧度的角它的单位是rad读作弧 度，这种用“弧度”做单位来度量角的制 度叫做弧度制．
探究：
⑴平角、周角的弧度数，（平角=rad、周角=2rad）
例2 把3.14 rad化成角度（用度表示 ，精确到0.001）
例3利用弧度制证明下列关于扇形的公式 (1)
(2)
(3)
例4．利用计算器比较sin1.5和sin 大小
的
例5. 将下列各角化成0到 上的形式 ⑴ ⑵
的角加
例6 已知扇形周长为10cm，面积 为6 ，求扇形中心角的弧度数 ．
课堂练习：P9练习 课后作业：作业: P9习题1.1 4,6，7，8，9，10 B组1,2，3 A组
⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是0
⑶角的弧度数的绝对值
（l为弧长，r为半径）源自⑷用角度制和弧度制来度量零角，单位不同， 但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度 量任一非零角，单位不同，量数也不同
2.角度制与弧度制的换算： 360=2rad
,
180= rad
例1 按照下列要求，把 化成弧度 （1）精确值；（2）精确到0.001的近似 值。
人教版数学必修4第一章1.1.2弧度制课件
（二）弧度制的绝对值公式
完成下列表格,你能得出哪些结论？
弧AB的长 OB旋转的方向 AOB 的弧度数 AOB 的度数
r
逆时针方向
2 r 逆时针方向
r
逆时针方向
1
2r
顺时针方向
-2
顺时针方向
未旋转
0
逆时针方向
180
逆时针方向
运用新知
根据度与弧度的换算关系，下表中各特殊角对应 的弧度数分别是多少？
注意：用弧度制表示角时，“弧度”二字或 “rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧 度数.如α=2表示α是2rad的角.
随堂练习： 1.根据条件完成下列度和弧度的转化；
（1）把 - 35 化成弧度；
（2）把 - 弧度化成度； 2.把下列角化成 0 到 2 的角加上 2 k 的形式；
4.在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的圆弧长 如何计算？
l 2r n nr
360 180
5. 圆心角的大小是否与圆半径的大小有关?
探究新知
（一）弧度制的概念
讨论：角除了以度为单位，还有分和秒，他们 是六十进制的，计算不方便，角的度量是否也 能用不同的单位制？（类比长度的度量单位）
新知1：弧度制的定义
3.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一 个负数，零角的弧度数是0.
4.如果半径为R的圆的圆心角 所对弧的长为l，
那么，角的弧度数的绝对值是 l.
r
5.角度制与弧度制换算 ：180°=π rad
运用新知
例1按照下列要求，把67°30′化成弧度：
（1）精确值；
（2）精确到0.001的近似值.
高中数学《弧度制》课件
弧度数是实数，这将为我们今后用函数观点讨论涉及角的计算问题带来方便.利
用弧度制度量角还有一个重要的原因，就是它能简化许多公式.例如若α=n°时，
弧长计算公式是l=
n
r 180
.而根据弧度数的计算公式|α|=
l r
，若α=
x
rad时，得到弧
长的另一计算公式：l=|x|r.
一
弧度制
例 6 如图5.1-5，设扇形的圆心角α＝x，半径为r，弧长为l，扇形面积记为S.
360°的圆心角的弧长是2π，那么它对应的弧度数是2π rad；
180°的圆心角的弧长是π，那么它对应的弧度数是π rad；
90°的圆心角对应的弧度数是 rad；
2
1°的圆心角对应的弧度数是
180
rad.
一
弧度制
根据例3，我们可以得到角度制和弧度制之间的换算关系：
反过来有：
180°＝π rad， 1 = rad 0.01745rad.
（第7题）
二 习题5.1
8.如图，已知矩形ABCD截圆A所得的 BE 的长为2π，DE=7，求矩形在圆外 部分的面积.
（第8题）
二 习题5.1
9.已知弧长为60cm的扇形面积是240cm2，求： (1)扇形的半径； (2)扇形圆心角的弧度数．
温故而知新
10.当α是第二象限角时，试讨论 是哪个象限的角.
5.把下列各角从度化为弧度：
(1) 15°； (2) 36°； (3) －105°； (4) 145°.
6.把下列各角从弧度化为度：
(1)
2
；
10
(2) 3 ；
(3) －1.5；
2 (4) 5 .
二 习题5.1
数学：1.1.2《弧度制》课件(苏教版必修4)
1、注册资本并不需要一次缴清 我国目前实行注册资本认缴制，认缴制的意思就是：注册资本不用在一开始就全部缴纳完成，而是只要在承诺的时限内(一般为10-20年)缴完 即可，这极大的降低了公司注册时的资金压力。
猜卷子，轻狂书生被批评为文锋还不如小童生老道，大受打击，化悲痛为酒量，自己喝，并且满席的逼人喝。满席的被他带动起来，都致力于 进行“自己喝与劝人喝”的行为，端着酒榼，大言不惭道：“怕什么？这又不是烈酒，是淡酒！童子都饮得！”于是小童生和宝音都躲不过去。 明柯好歹良心发现，替宝音挡一挡狼爪：“这小子酒量不行。”宝音深受启发，正准备装醉，“卟嗵”，那边已倒下一个。刘晨寂来酒不拒， 饮下三杯，轰然倒地，醉死如一截木头，任谁推都不动，好如一截木头。而蝶宵华饮过三杯，宽了外衣，剩个碧蓝精绣薄绸子的中衣，中衣领 口扣子还解开一颗，肉香四溢，媚眼流盼，气场全开。来给宝音灌酒的无聊人士，先被刘晨寂的倒下，吸引了注意力，之后就流着哈喇子跟其 他人一样聚到蝶宵华脚边了，像被肉摊上香气吸引来的苍蝇，任摊主左挥右驱，百赶不去。——摊主就是那自封护花有责，不胜群蝇之扰的七 王爷。宝音居此宴会，芒刺在股，坐立不安。男人就喜欢这种调调？见识了！反正以后她打死都不要来了。小童生免过被灌酒的劫难，又来同 宝音攀谈，宝音也理解他：毕竟席上看来，只有宝音一人跟他年龄相近嘛！雄性动物的本能，年长的都爱欺负弱小的，小童生估计平时被欺负 惨了，遇见宝音，如茫茫大海中攀住一根浮木。可宝音小身体里装着个老灵魂，纵然心怀宽广母爱泛滥，也不见得此时此地愿与他交谈——她 还怕多说多错呢！第八十三章 自毁入宫路（2）小童生殷勤的喋喋不休，拷问至祖籍家人。她微笑敬他一杯酒，自己只抿了一口，轰然倒地， 百问不答，效刘晨寂状。闭上了眼睛，宝音看不到刘晨寂此时的危险，否则，未必敢学他。轻狂书生从蝶宵华身边被挤了出来，转头忽见刘晨 寂俯在桌上，肌肤如玉、布衣国色，顿生歹念，踉跄过去，待趁醉把手搭在他肩上，吃顿豆腐，忽觉天旋地转，似乎是酒力涌上来，禄山之爪 再也搭不下去，跑出去吐了，吐至一半，忽忆及一事，心头凛然：城东某富翁，听说也是此道馋痨，贪吃不顾形像的人，某日召刘大夫视疾， 见色起意，病榻边就要毛手毛脚，忽的病势大危，昏迷了三天三夜，几乎没能抢救得转来，人都说他自作孽。除此人之外，还有某无赖儿，想 用计谋，逼刘大夫就范，谋划到一半，家遭祝融，流落街头，这也是自作孽。再加上他今儿喝到吐„„想对刘大夫不轨的人，似乎很容易自作 孽，不可活呢？宝音在屋里，装醉都装得腰酸背痛，不断腹诽此宴之不可理喻，不知什么时候才能结束。还有，如果是她安排的宴会啊，看到 有客人醉倒，立刻就安排扶下去，软褥上卧着，奉碗醒酒汤了！何至于就让客人趴到现在？想啥就来啥，还真有个粗喉咙道：“把醉了的兄弟 都抱到那边躺着吧！老
弧度制PPT(实用)
四、课堂小结：
1.弧度制定义
2.角度与弧度的互化
3.特殊角ห้องสมุดไป่ตู้弧度数
度 0° 30 °45 ° 60 °90 ° 120 °135°150°
弧 度
0
6
4
3
2 3 5
2 3 46
思考与作业：
用弧度制表示 （1）终边落在45°角的终边上的所有角的集合
（2）第Ⅱ象限角的集合
谢 谢 指 导!
3
3
4、角度制与弧度制的比较
引进弧度制后，我们应将它与角度制进行比 较，同学们应明确：①弧度制是以“弧度 ”为单位度量角的制度，角度制是以“度 ”为单位度量角的制度；②1弧度是等于半 径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大 小，而 是圆的 所对的圆心角（或该弧）的 大小；③不论是以“弧度”还是以“度” 为单位的角的大小都是一个与半径大小无
(弧长计算公式)
提问：为什么可以用弧长与其半径的比值 来度量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆
的半径大小有关呢？
B
B` L
l
n°
O
r
A` R
A
结论：当半径不同时，同样的圆心角 所对的弧长与半径之比是常数
5、弧度与角度的换算
若L=2 π r，则∠AOB=
L r
=
2π弧度
此角为周角 即为360°
360°= 2π 弧度
在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制， 另外一种度量制---弧度制.
一、知识回顾
1、角度制的定义
•规定周角的1/360为1度的角，这种用度做单位 来度量角的制度叫角度制。
60°
90°
2、弧长公式:
l n r
180
高中数学人教必修四课件弧度制
由此可知，任意一个0°~ 360°的角的弧度数x，
必然适合不等式：0 x 2
2020/2/8
9
角的集合与实数集之间的一一对应关系：
正角 零角 负角
正实数 零
负实数
2020/2/8
10
弧长公式： l r
即弧长等于弧所对的圆心角的弧度数的绝对 值与半径的乘积。
例3利用弧度制证明下列关于扇形的公式
(1) l
R2
其中R是2半径，l是弧长， 0 2
为圆心角，S是扇形的面积.
2020/2/8
11
例4. 将下列各角化成0到2 的角加上2k
（k Z）的形式：
(1) 19
(2) 315
3
解：119 3 2
33
（2） 315 45 -360 1 2
4
注意：用弧度制表示角时，不能与角度混用，比如
× × 2020/2/8 2k 45
或
360
4
12
课堂小结
1. 什么叫1弧度角? 2. 任意角的弧度公式. 3. “角度制”与“弧度制”的相互转化．
2020/2/8
r
6
弧度与角度的换算：
1. 把角度换成弧度
2. 把弧度换成角度
360o 2 rad
2rad 360
180 rad
rad 180
1o rad 0.01745rad
180
1rad
180
o
57.30o
57o18 '
2020/2/8
我们把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做
弧度制课件
360 2 rad 180 rad
1 rad
180
n
n0 _1_8_0__ rad
三、角度制与弧度制互换:
(2)将弧度化为角度：
2 360
180
1rad (180) 57.30 5718'
180n
n _____ 0
特殊角的弧度:
角 度
0o
30o
45o
使用弧度制，写出各象限角的集合:
第一象限角的集合:
{ | 2k
2k
,k Z}
第二象限角的集合: 2
{ | 2k 2k , k Z}
2
第三象限角的集合:
{ | 2k
3
2k
Байду номын сангаас
,k
Z}
第四象限角的集合:
2
{ | 3 2k 2 2k , k Z}
2
小结
1. 什么叫1弧度角? 2. 任意角的弧度的定义. 3. “角度制”与“弧度制”的联系与区别． 4.能应用弧长公式与扇形面积公式解决有关 问题.
88
(3)
1000
100
180
5
9
(4) 6000 600 10
180
3
将下列各角化成2k ＋(k∈Z, 0≤ ＜2)的形式，并确定其所在的
象限．
四、弧长及扇形面积公式:
(1)弧长公式： l • r
(2)扇形面积公式:
S 1l•r 1 •r2
2
2
其中l是扇形弧长，r是圆的半径
一、角度制:
1.定义：是用“度”作单位来度量角 的单位制叫做角度制.
2.角度制的单位：度、分、秒 规定:周角的 1 为10 ,即周角为3600
数学：第一章《弧度制》课件(北师大版必修4)
4 π (3) 5
5π o o (4)-150 (4) 6 (3)-144
1、对于一些特殊角的度数与弧度数 注：
之间的换算要熟记。
45 °
度 弧 度
0° 30 °
60 ° 90 ° 180 ° 270° 360°
0
π
6
π 4
π 3
π 2
π
3 π 2π 2
2、用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”二字 通常省略不写，但用“度”（°）为单位不能省。 3、用弧度为单位表示角时，通常写成“多少π”的形式。
解题思路
判断一个用弧度制表示 的角所在象限 , ,然 2 ( )的形式 一般是将其化成 后再根据 所在象限予以判断 .
( 2 1) ( ) 注意: 不能写成 的形式 . 10 例 3 不 能写 成 3 3 的 形 式, 4 而 应写 成 2 3
例3、把下列各角化成 2k 0 2，k Ζ 的形式： 16 11 （1 ） ；（2） 315 ；（3） ．( 4) 8 3 7 16 4 （1）： 4 3 3 7 0 315 2
（2）:
4
4
11 3 （3）： 2 7 7
|
( ) ( ) ( )
( )
； 上海策划公司 上海创意设计公司 上海公关策划公司 上海广告公司 上海广告 有限公司 上海广告制作公司 ；
比の上煞气の毒/这壹句话让众人愣咯愣/但很快它们就明白咯/只见马开手臂甩动之间/有着壹条巨大の螣蛇煞暴动而出/很旧很慢比较/)螣蛇煞舞动之间/煞气喷涌/直接冲击在漫滴の毒物之上/螣蛇煞何其恐怖/它确定拥有法则の东西/冲击之间/顿时腐蚀壹片片毒物/不管确定七彩蝙蝠/还确
人教版高中数学必修四弧度制和弧度制与角度制的换算公开课教学课件共18张PPT
当堂检测(限时5分钟，满分10分）
2、
-144o
3、－25º 4、 所求扇形的中心角的弧度数为
小结
圆周角度360
换
算 等价
六十进制 区别
十进制
圆周弧度2
角度制
弧度制
角的度量
三角函数
温故而知新
1、角度制：初中时我们用角度制度量角，1度的角 等于周角的1/360。
周角的 1/360
1°
n° l R
1弧度的概念
如图，把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角，记作1rad，读作1弧度.
探究1：深化弧度的概念
思考1：1弧度圆心角的大小与所在圆的半径的大小 是否有关？为什么？
B’ B l=R
1弧度
1弧度l=r O r R A A’
思考2：如果将半径为r圆的一条半径OA，绕圆心旋转 到OB，若弧AB长为2r，那么∠AOB的大小为多少弧度？
2rad
2r
B
r
A O
思考3：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l， 那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？
探究2：角度与弧度的换算
解的？
正角
正实数
零角
零
十进制
负角
负实数
探究3：与扇形有关的公式
思考1：角度制下，扇形的圆心角是n°,则扇形的面积是？
思考2：类比思考1，在弧度制下，若扇形的圆心角是 弧 度，则扇形的面积是？还有其它的表示方法么？
A
r
OS l B
例题讲解
例1 把
解：∵ ∴
化成弧度。
例2 把 化成度。
解：∵ 1rad=
人教版高中数学必修四 弧度制和弧度制与角度 制的换算公开课教学课
高中数学必修4弧度制_ PPT 课件
与终边相同的角可以表示为： k3 6 ， k0 Z
它们构成一个集合：
S =| = k 3 ,k 6 Z 0
（2）用弧度表示
与终边相同的角可以表示为： 2k， k Z
它们构成一个集合：
S = |= 2 k ,k Z
180 把弧度换成角度
1ra=d18 05.73 0=5 71'8
正角 零角 负角
任意角的集合
正实数
0
负实数 实数集R
注意几点：
1．今后在具体运算时，“弧度”二字和 单位符号“rad”可以省略 如：3表示 3rad , sin表示rad角的正弦
2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应 该记住（见课本P8表）
—弧度制，它是如何定义呢？
弧度制 ：
定义： 我们把长度等于半径长的弧所对的 圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时， 这样的圆心角等于1rad。
单位符号 ：rad
B
l =r
1rad
Oo r
A
读作弧度
C
l = 2r
2rad
A
r
Oo
AOB=1rad
AOC=2rad
(1)正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是0
角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制 是以“度”为单位度量角的制度；
②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）
的大小，而 1
是圆的
1 360
所对的圆心角（或该弧）
的大小；
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是 一 个与半径大小无关的定值．
终边相同的角
高中数学必修四《弧度制》PPT
问题：弧长分别为r、2 r、3 r、……、l 所对的圆心角
的弧度数是多少？
B
O
α
r
r
A
B 2r
α
B
OrA
3r
α
O r AB
r
O rA
1 rad 2 rad 3 rad rad
探究：如图,半径为r的圆的圆心与原点重合,角的始边与x轴的正半轴重 合,交圆于点A,终边与圆交于点B.请在下列表格中填空.
问题：既然角度制、弧度制都是角的度量制，那它 们之间如何换算？
180°= π rad
1° = π rad ≈ 0.01745 rad 180
1 rad =（180 ）° ≈57.30° π
根据上面两个式子，就可以进行弧度与角度的换算.
问题：既然角度制、弧度制都是角的度量制，那它 们之间如何换算？
180°= π rad
180° = π
引入弧度制的意义： 1、使进位制统一； 2、三角函数的自变量变为实数； 3、简化了微积分运算；
完成下列特殊角的度数与弧度数对应表:
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o n
180
弧
度0 6
43
2
2
3
180
角 度
135o
150o
180o
270o
360o
1米是 1 秒的时间内光在真空中行驶的 长度 299792458 1千克是1立方米的纯水在4℃时的质量
思考：请说出下列的∠AOB大小.
B
90° 180° 360°
O
AB
O
A
O
A (B)
角度制（用“度”作为单位来度量角的单位制.）
《弧度制》【公开课教学PPT课件】
练__习_π3_2_．__若_，扇面形积的S圆＝心_角__π为6__6_0_°_．，半径为1，则扇形的弧长l＝ 解析：因为 α＝60°＝π3 ，r＝1，所以 l＝|α|·r＝π3 ， S＝12r·l＝12×1×π3 ＝π6 .
练习3.已知扇形的周长为8 cm，面积为4 cm2，求该扇形 的圆心角的弧度数.
1. 把角度换成弧度
2. 把弧度换成角度
3 6 0 0 2 ra d 180 rad
2 ra d 3 6 0
ra d 1 8 0
10 rad 0.01745rad
180
1rad 1800 57.300 57018'
例 1 把下列各角的度数化为弧度.
弧 度
0π
6
4
π 3
2
2π 3π 5 346
3π
2 2
1 rad
180
1rad (180)
1 rad
180
1rad (180)
1.把下列各角化成弧度. (1)120°(2)75°(3)300°(4)-210°（5）
. . . . 解：(1)2π 3
弧度的角．
B
AB的长=r 1 rad
O
r
A
弧度制：这种以弧度作为单位来度量角的单位 制叫做弧度制，它的单位是弧度，单位符号是
rad.
注：用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”二字通常省略不写， 但用“度”（ °）为单位不能省。
理解概念
当弧AB的长度为2r、3r时， 正角∠AOB为多少弧度？ 一个圆弧所对的圆心角的弧度数是多少？半个圆弧 所对的圆心角的弧度数是多少？
人教高中数学必修四第一章1.1弧度制课件(共19张PPT)
设
E { 小于 90 的角｝
M 小于 90 但不小于
o
F { 锐角｝，
0 的角
0
G ＝ { 第一象限的角｝
0
，那么有（ ）． D
A .F G E B .F E G C .M E G D . G M
F
2、 若 角 、 满 足 下 列 条 件 ， 求它们的关系式？
16 3
；（2） 315 ；（3）
B
11 7
．
２．下列角的终边相同的是（
A． k
4
）．
与 2 k 与
2
4
，k Ζ
B． 2 k C．
k 2
2 3
3
，k Ζ
与 k
，k Ζ
D． 2 k 1 与 3 k ， k Ζ
2k , k, k ZZ 2 k
3 2 2k k ,, k k Z Z 22
1．把下列各角化成 2 k 0 2 ， k Ζ 的形式： （ 1）
4
B B
2
单位符号是 rad,读作弧度
-10 -5
1弧度
O A A
拖 动A改 拖
-2
弧度把角度单位与长度单位统一起来.
-4
OA 3.10 厘米
长度 AB 3.10 厘米
m Ð AO B 1.00 000 弧度
-6
OA 4.23 厘米
-8
长度 AB 4.23 厘米
m Ð AO B 1.00 000 弧度
弧度制
高中数学《弧度制》课件
2．若 α＝－3，则角 α 的终边在
(C )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析 ∵α＝－3 rad＝－3×57°18′＝－171°54′，
而－171°54′为第三象限角，∴α＝－3 为第三象限角．
返 回 目 录
5
课堂练习
3．已知扇形的周长是 6 cm，面积是 2 cm2，则扇形的中心角
3
归纳探索
4．角度与弧度的互化：
(1)角度转化为弧度：
360°＝2π rad；180°＝π rad；
π 1°＝ 180 rad≈0.017 45 rad.
(2)弧度转化为角度：
2π rad＝ 360° ；π rad＝ 180° ；
1 rad＝1π80°≈57.30°＝57°18′.
返
回
目
录
3
归纳探索
此时 θ＝rl＝40－120×10rad＝2 rad.
所以当扇形的圆心角为 2 rad，半径为 10 cm 时，扇形的面
积最大为 100 cm2.
返 回
目
录
5 课堂练习
5
课堂练习
1．时针经过一小时，时针转过了
A．π6 rad
B．－π6 rad
C．1π2 rad
D．－1π2 rad
(B )
5
课堂练习
180
360
2 创设情景
2
创设情景
弧度制定义
我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫 做 1弧度的角，即用弧度制度量时，这样的
圆心角等于1 rad.
若弧 AB 的长等于半径 r , 则∠AOB= 1 rad.
若弧 AB 的长等于 2r , 则∠AOB= 2 rad.
弧度制 课件
(1)从定义上,弧度制是以“弧度”为单位度量角的单位制,角度制是以“度”
为单位度量角的单位制,因此弧度制和角度制一样,都是度量角的方法.
(2)从意义上,1 弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角(或该弧)的大小,而
1°是圆的周长的 1 所对的圆心角(或该弧)的大小;任意圆心角 α的弧度数的 360
绝对值|α|= l ,其中 l 是以角 α作为圆心角时所对的圆弧长,r 为圆的半径. r
于是 S= 1 lr= 1 ×(40-2r)r=20r-r2 22
=-(r-10)2+100.
故当 r=10 时,扇形的面积最大,最大值为 100 cm2,这时 θ= l =2. r
反思:(1)在弧度制下的弧长公式、扇形的面积公式简洁明了,灵活应用这些公式 列方程组求解是解决这类问题的关键;
(2)在研究实际问题中的最值问题时,常转化为二次函数的最值问题.
弧 度0
ππ 12 6
π 4
π 5π π 2π 3π 5π 3 12 2 3 4 6
角 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 度
弧π 度
7π 5π 4π 3π 5π 7π 11π 2π 643234 6
(4)角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集 R 之间建立起一一对 应关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每 一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.
题型四
易错辨析
易错点 混淆了用弧度制和角度制表示的角
【例 4】 α=π,β=π°,则有( ).
A.α=β
B.α>β
C.α<β
D.α与 β的大小不确定
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高二年级数学必修四课件：《弧度制的定义》教学准备教学目标一、知识与技能（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集之间建立的一一对应关系.（6）使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.二、过程与方法创设情境，引入弧度制度量角的大小，通过探究理解并掌握弧度制的定义，领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化，能正确使用计算器.三、情态与价值通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备.教学重难点重点:理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用.难点:理解弧度制定义，弧度制的运用.教学工具投影仪等教学过程一、创设情境，引入新课师：有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的?（已知1英里=1.6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢?那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生，另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.二、讲解新课1.角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.弧度制是什么呢?1弧度是什么意思?一周是多少弧度?半周呢?直角等于多少弧度?弧度制与角度制之间如何换算?请看课本，自行解决上述问题.2.弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）.（师生共同活动）探究:如图，半径为的圆的圆心与原点重合，角的终边与轴的正半轴重合，交圆于点，终边与圆交于点.请完成表格.我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-，-2等等，一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，角的正负主要由角的旋转方向来决定.角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系:即每一个角都有的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.四、课堂小结度数与弧度数的换算也可借助"计算器'《中学数学用表》进行；在具体运算时，"弧度'二字和单位符号"rad'可以省略如：3表示3radsinp表示prad角的正弦应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
五、作业布置作业：习题1.1A组第7，8，9题.课后小结度数与弧度数的换算也可借助"计算器'《中学数学用表》进行；在具体运算时，"弧度'二字和单位符号"rad'可以省略如：3表示3radsinp表示prad角的正弦应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
课后习题作业：习题1.1A组第7，8，9题.板书教学准备教学目标熟练掌握三角函数式的求值教学重难点熟练掌握三角函数式的求值教学过程三角函数式的求值的关键是熟练掌握公式及应用，掌握公式的逆用和变形三角函数式的求值的类型一般可分为:（1）"给角求值'：给出非特殊角求式子的值。
仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角（2）"给值求值'：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。
找出已知角与所求角之间的某种关系求解（3）"给值求角'：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。
（4）"给式求值'：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。
将已知式或所求式进行化简，再求之三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次注意点：灵活角的变形和公式的变形重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论课堂小结】三角函数式的求值的关键是熟练掌握公式及应用，掌握公式的逆用和变形三角函数式的求值的类型一般可分为:（1）"给角求值'：给出非特殊角求式子的值。
仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角（2）"给值求值'：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。
找出已知角与所求角之间的某种关系求解（3）"给值求角'：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。
（4）"给式求值'：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。
将已知式或所求式进行化简，再求之三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次注意点：灵活角的变形和公式的变形重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论教学准备教学目标1、知识与技能（1）了解周期现象在现实中广泛存在；（2）感受周期现象对实际工作的意义；（3）理解周期函数的概念；（4）能熟练地判断简单的实际问题的周期；（5）能利用周期函数定义进行简单运用。
2、过程与方法通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；根据周期性的定义，再在实践中加以应用。
3、情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。
教学重难点重点:感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。
难点:周期函数概念的理解，以及简单的应用。
教学工具投影仪教学过程同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。
众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。
再比如，[取出一个钟表，实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。
所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。
（板书课题）1.我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片（投影图片），注意波浪是怎样变化的?可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。
请你举出生活中存在周期现象的例子。
（单摆运动、四季变化等）（板书：一、我们生活中的周期现象）2.那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢?教师引导学生自主学习课本P3P4的相关内容，并思考回答下列问题：①如何理解"散点图'?②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么?③如何理解图1-1中的"H/m'和"t/h'?④对于周期函数的定义，你的理解是怎样?以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T；x必须是定义域内的任意值；f（x+T）=f （x）。
（板书：二、周期函数的概念）3.[展示投影]练习:（1）已知函数f（x）满足对定义域内的任意x，均存在非零常数T，使得f （x+T）=f（x）。
求f（x+2T），f（x+3T）略解：f（x+2T）=f[（x+T）+T]=f（x+T）=f（x）f（x+3T）=f[（x+2T）+T]=f（x+2T）=f（x）本题小结，由学生完成，总结出"周期函数的周期有无数个'，教师指出一般情况下，为避免引起混淆，特指最小正周期。
（2）已知函数f（x）是R上的周期为5的周期函数，且f（1）=2005，求f（11）略解：f（11）=f（6+5）=f（6）=f（1+5）=f（1）=2005（3）已知奇函数f（x）是R上的函数，且f（1）=2，f（x+3）=f（x），求f（8）略解：f（8）=f（2+23）=f（2）=f（-1+3）=f（-1）=-f（1）=-21.请同学们先自主学习课本P4倒数第五行P5倒数第四行，然后各个学习小组之间展开合作交流。
2.例题讲评例1.地球围绕着太阳转，地球到太阳的距离y是时间t的函数吗?如果是，这个函数y=f（t）是不是周期函数?例2.图1-4（见课本）是钟摆的示意图，摆心A到铅垂线MN的距离y是时间t的函数，y=g（t）。
根据钟摆的知识，容易说明g（t+T）=g（t），其中T为钟摆摆动一周（往返一次）所需的时间，函数y=g（t）是周期函数。
若以钟摆偏离铅垂线MN的角的度数为变量，根据物理知识，摆心A到铅垂线MN的距离y也是的周期函数。
例3.图1-5（见课本）是水车的示意图，水车上A点到水面的距离y是时间t的函数。
假设水车5min转一圈，那么y的值每经过5min就会重复出现，因此，该函数是周期函数。
3.小组课堂作业（1）课本P6的思考与交流（2）（回答）今天是星期三那么7k（kZ）天后的那一天是星期几?7k（kZ）天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?五、归纳整理，整体认识（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想方法有那些?（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么?六、布置作业1.作业：习题1.1第1，2，3题.2.多观察一些日常生活中的周期现象的例子，进一步理解它的特点.课后小结归纳整理，整体认识（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想方法有那些?（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么?课后习题作业1.作业：习题1.1第1，2，3题.2.多观察一些日常生活中的周期现象的例子，进一步理解它的特点.板书略。