第二章 电阻电路的等效变换
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第二章 电阻电路的等效变换
＋
i
＋
… i
＋ －
u
－
K=1，2 ， i
＋ －
u
Reg
u
G1
in Gn
u
－
Geg
分流公式： 分流公式：ik=Gku=Gk/Geg i n=2时，Reg=R1R2/（R1+R2） 时 （ i1=R2/（R1+R2）， 2=R1/（R1+R2）×i ），i （ （ *混联：有串，又有并 混联：有串， 混联 1 R1 R2 R3 R4
对于△ 对于△形，各电阻中电流为：i12=u12/R12 i23=u23/R23 i31=u31/R31 各电阻中电流为：
i ′ =i12-i31=u12/R12-u31/R31 1
i ′2 =u23/R23-u12/R12
i ′3 =u31/R31-u23/R23
i1 + i 2 + i 3 = 0
③
2
2 i31 1 i12
④
2
⑤
i′2
1
1
R2
3
自已补充:R 自已补充 4与1串,R3与2串,然 串 串然 后再并 i2
R4 R3 2
3
i3 2
1
1
2-5
电压源和电流源的串联和并联
＋
1、n个电压源串联：us=∑usk--------等效电压源 、 个电压源串联： 等效电压源 个电压源串联 ＋ － ＋ ○ ○ －○ us1 us2 usn。 。 注：正、负号取 。 。 。 2、n个电流源的并联： 个电流源的并联： 、 个电流源的并联 is1 is=is1+is2+…is=∑isk 。 。
αi
＋ uS － i ＋
i
＋
… i
＋ －
u
－
K=1，2 ， i
＋ －
u
Reg
u
G1
in Gn
u
－
Geg
分流公式： 分流公式：ik=Gku=Gk/Geg i n=2时，Reg=R1R2/（R1+R2） 时 （ i1=R2/（R1+R2）， 2=R1/（R1+R2）×i ），i （ （ *混联：有串，又有并 混联：有串， 混联 1 R1 R2 R3 R4
对于△ 对于△形，各电阻中电流为：i12=u12/R12 i23=u23/R23 i31=u31/R31 各电阻中电流为：
i ′ =i12-i31=u12/R12-u31/R31 1
i ′2 =u23/R23-u12/R12
i ′3 =u31/R31-u23/R23
i1 + i 2 + i 3 = 0
③
2
2 i31 1 i12
④
2
⑤
i′2
1
1
R2
3
自已补充:R 自已补充 4与1串,R3与2串,然 串 串然 后再并 i2
R4 R3 2
3
i3 2
1
1
2-5
电压源和电流源的串联和并联
＋
1、n个电压源串联：us=∑usk--------等效电压源 、 个电压源串联： 等效电压源 个电压源串联 ＋ － ＋ ○ ○ －○ us1 us2 usn。 。 注：正、负号取 。 。 。 2、n个电流源的并联： 个电流源的并联： 、 个电流源的并联 is1 is=is1+is2+…is=∑isk 。 。
αi
＋ uS － i ＋
二章电阻电路等效变换
2、理想电流源
（1）并联： 所连接的各电流源端为同一电压。
保持端口电流、电 压相同的条件下，图
(a)等效为图(b)。等效 is1
变换式：
i
is2
is
is = is1 - is2
(a)
(b)
（2）串联：只有电流数值、方向完全相同的理想电流 源才可串联。
1
二、实际电源模型：
1、实际电压源模型
（1）伏安关系：
i=1.5A Uab=6(i-1)=3V R=Uab/1=3Ω
13
四、三个电阻的星形、三角形连接及等效变换 1、电阻的星形、三角形连接
(a) 星形连接（T形、Y形）
(b) 三角形连接（形、形）
14
2、从星形连接变换为三角形连接
R1
R3
R2
R31 R12 R23
变换式：R12
R1
R2
R1R2 R3
∴i3=i2/3 KCL: i2+i3=I
∴i3=i/4 ∴u=3i+2i = 5i
- 2i0 +
i0
i1 i2
i3
R= u/I=5Ω
21
二、含受控源简单电路的分析：
基本分析思想：运用等效概念将含受控源电路化简、 变换为只有一个单回路或一个独立节点的最简形式， 然后进行分析计算。 例1：求电压u、电流i。
R23
R2
R3
R2 R3 R1
15
3、从三角形连接变换为星形连接
R1
R3
R2
变换式：R1
R12
R12 R31 R23
R31
R31 R12 R23
R2
R12
R23 R23
R31
（1）并联： 所连接的各电流源端为同一电压。
保持端口电流、电 压相同的条件下，图
(a)等效为图(b)。等效 is1
变换式：
i
is2
is
is = is1 - is2
(a)
(b)
（2）串联：只有电流数值、方向完全相同的理想电流 源才可串联。
1
二、实际电源模型：
1、实际电压源模型
（1）伏安关系：
i=1.5A Uab=6(i-1)=3V R=Uab/1=3Ω
13
四、三个电阻的星形、三角形连接及等效变换 1、电阻的星形、三角形连接
(a) 星形连接（T形、Y形）
(b) 三角形连接（形、形）
14
2、从星形连接变换为三角形连接
R1
R3
R2
R31 R12 R23
变换式：R12
R1
R2
R1R2 R3
∴i3=i2/3 KCL: i2+i3=I
∴i3=i/4 ∴u=3i+2i = 5i
- 2i0 +
i0
i1 i2
i3
R= u/I=5Ω
21
二、含受控源简单电路的分析：
基本分析思想：运用等效概念将含受控源电路化简、 变换为只有一个单回路或一个独立节点的最简形式， 然后进行分析计算。 例1：求电压u、电流i。
R23
R2
R3
R2 R3 R1
15
3、从三角形连接变换为星形连接
R1
R3
R2
变换式：R1
R12
R12 R31 R23
R31
R31 R12 R23
R2
R12
R23 R23
R31
第02章电阻电路的等效变换(丘关源)
（1-29）
(6)恒压源并联任何元件其两端电压不变；
恒流源串联任何元件其流出电流不变；
a a
+ us
－
+ +
－
对外等效
us
－
b
c
b c
对外等效
is
+
－
d
is
d
（1-30）
例1 用电源等效变换法求i R5
R1 u1 + R2 R3 i
+
i=?
解：
-u3
R4
is
R5 u3 — R3 i
应 用 举 例
一、理想电压源的串联和并联
1、串联 + uS1_ _ uS2 +
+ 注意参考方向
º uS＝＋uS1 …－uS2 i + uS _ º
等效
+
uS _
º +
_ º
2、并联
条件：uS＝uS1＝uS2 方向相同 º 恒压源中的电流由外电路决定。相同的恒压源才能并联 。
（1-21）
uS1_
u S2
+ _
i
º
3、恒压源与任意支路(非恒压源)并联的等效 i i + + + + 任意 uS 对外等效 uS _ u _ u 元件 _ _ 4、实际电压源的串联等效
+ i +
uS1 _
R1
_ uS2 + u
R2 _
等效
uS _ R + i +
u
_
uS＝＋uS1－uS2
R＝R1 ＋ R2
（1-22）
二、理想电流源的串联和并联
(6)恒压源并联任何元件其两端电压不变；
恒流源串联任何元件其流出电流不变；
a a
+ us
－
+ +
－
对外等效
us
－
b
c
b c
对外等效
is
+
－
d
is
d
（1-30）
例1 用电源等效变换法求i R5
R1 u1 + R2 R3 i
+
i=?
解：
-u3
R4
is
R5 u3 — R3 i
应 用 举 例
一、理想电压源的串联和并联
1、串联 + uS1_ _ uS2 +
+ 注意参考方向
º uS＝＋uS1 …－uS2 i + uS _ º
等效
+
uS _
º +
_ º
2、并联
条件：uS＝uS1＝uS2 方向相同 º 恒压源中的电流由外电路决定。相同的恒压源才能并联 。
（1-21）
uS1_
u S2
+ _
i
º
3、恒压源与任意支路(非恒压源)并联的等效 i i + + + + 任意 uS 对外等效 uS _ u _ u 元件 _ _ 4、实际电压源的串联等效
+ i +
uS1 _
R1
_ uS2 + u
R2 _
等效
uS _ R + i +
u
_
uS＝＋uS1－uS2
R＝R1 ＋ R2
（1-22）
二、理想电流源的串联和并联
第二章 电阻电路的等效变换
第二章电阻电路的等效变换1.内容提要：“等效变换”在电路理论中是很重要的概念，电路等效变换的方法是电路问题分析中经常使用的方法。
所谓两个电路是互为等效的，是指⑴两个结构参数不同的电路在端子上有相同的电压、电流关系，因而可以互相代换；⑵代换的效果是不改变外电路中的电压、电流和功率。
由此得出电路等效变换的条件是相互代换的两部分电路具有相同的伏安特性。
等效的对象是外接电路中的电压、电流和功率。
等效变换的目的是简化电路，方便地求出需要求的结果。
深刻地理解“等效变换”的思想，熟练掌握“等效变换”的方法在电路分析中是重要的。
2.重点和难点(1) 等效与近似概念的认识①等效：同一物体在不同的场合（情况）下，其作用效果相同，称之为等效。
在电路分析中有两种形式的等效：其一：站在电源立场，等效负载（电阻）。
即求等效电阻。
如图2.1所示。
其二：站在负载（电阻）立场，等效电源。
即求等效电源。
如图2.2所示。
图2.3所示的电路不是等效。
图2.1 站在电源立场等效负载图2.2 站在负载（电阻）立场，等效电源。
即求等效电源等效的多样性：等效可以是非同类元件之间进行，如交流电的有效值。
等效也可以是虚拟元件之间进行，如实际电压源与实际电流源之间等效，戴维南定理与诺顿定理之间等效，晶体三极管的小信号模型等。
图2.3②近似：在对一个复杂的电路进行分析时，影响该问题的因素较多，因此，忽略一些次要因素，而保留主要影响因素。
即抓主要矛盾或矛盾的主要方面。
称为近似处理。
尤其在模拟电子技术课程中应用极为广泛。
如图2.4所示。
图2.4 近似处理实例(2) 电阻、理想电压源、理想电流源的组合表2—1 单一类型元件的组合表2—2 不同类型元件的组合(3)实际电压源与实际电流源的互换(4)三角形与星形连接的等效变换3.典型例题分析【例题1】：电阻元件的组合，即电阻元件的串、并联；分流和分压的计算。
电路如图2.5所示，计算各支路的电压和电流。
图2.5解：这是一个电阻串、并联电路，首先求出等效电阻R eg＝11Ω，则各支路电流和电压为：I1=165V/11Ω=15A；U2=6 15=90V；I2=90V/18Ω=5A；U3=6 10=60V；I3=15-5=10A；U4=90V-60V=30V；I4=30V/4Ω=7.5A；I5=10-7.5=2.5A。
第2章电阻电路的等效变换
总电流
U S 18 I= = A = 6A R 3
由分流公式得
6 I1 = I = × 6A = 4A 4× 4 9 6 + (1 + ) 4+4
再分流得
6
1 I x = I 1 = 2A 2
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电路分析基础
第2章 电阻电路的等效变换
2.2.4 Y形电路和Δ形电路之间 的等效变换
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电路分析基础
如何等效化简电桥测温电路? 如何等效化简电桥测温电路?
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电路分析基础
第2章 电阻电路的等效变换
2.1 等效变换
电阻电路
线性电阻电路
非线性电阻电路
简化线性电阻电路的主要依据是等效变换
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电路分析基础
第2章 电阻电路的等效变换
2.1.1 一端口网络的定义
二端网络
一端口网络
流入一个端子的电流必定等于流出另一端子的电流
Ig =
Rp Rg + R p
× 10 × 10 −3 = 1 × 10 −3 mA
解之得应并联的电阻为
0.1RG 2 × 10 3 Rp = = Ω ≈ 222.22Ω 0.9 9
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电路分析基础
第2章 电阻电路的等效变换
2.2.3 电阻的混联
判别电路的串并联关系根据以下原则： 判别电路的串并联关系根据以下原则： （1）看电路的结构特点。 看电路的结构特点。 （2）看电压、电流关系。 看电压、电流关系。 （3）对电路作变形等效。 对电路作变形等效。 （4）找出等电位点。 找出等电位点。
R4 R5 R2(R3 + ) R4+R5 R = R1 + R4 R5 R2 + (R3 + ) R4 + R5
第二章 电阻电路的等效变换
第一节 电阻串、并联等效变换
一.串联电路
1.串联电路：各电阻依次连接且流过同 一电流的一段电路称为电阻串联电路.如 图2-1所示
返回本章开头
2.串联电路的特点
⑴电流关系
I I1 I 2 I n
⑵电压关系
U U1 U 2 U n
R R R R Rk
K k 1 U I G
当两个电阻并联时, ②此时分流公式
R2 I I 1 R1 R2 R1 I 2 I R1 R2
R1 R2 ①总电阻 R R1 R2
三.串并联电路
1.电阻串并联电路：既有串联又有并联的电阻 电路称为电阻串并联电路。 2.举例说明电阻串并联电路的简化过程。 例2-1 如图所示电路，求ab两端口的等效电 阻。
n n k 1 k 1
2
P Pk Rk I Rk I
2
2
⑸各电阻分压关系
Rk U k Rk I U R
k 1.2. n
二.并联电路
1.并联电路：各电阻元件接在同一对节 点之间，且各电阻元件两端电压相同， 称为电阻并联电路。 如图2-2所示
2.并联电路的特点 ⑴电压关系
由图（b）可求得
2 28 8 Rab 3.2 2 2 8 8
28 Rab 2 3.2 28
2-2 2-3
由图（c）可求得
作业: 习题二
返回本章开头
解从端口看，先将能直观看出串联或 并联的电阻进行等效，剩余的部分就 会显示出明朗的串并联关系，按这样 思路做下去，可将电路进行简化。 如例2-1 的a图简化成b图
则得
Rcd Rab
4 6 2.4 46 4 3.6 1.84 4 3.6
一.串联电路
1.串联电路：各电阻依次连接且流过同 一电流的一段电路称为电阻串联电路.如 图2-1所示
返回本章开头
2.串联电路的特点
⑴电流关系
I I1 I 2 I n
⑵电压关系
U U1 U 2 U n
R R R R Rk
K k 1 U I G
当两个电阻并联时, ②此时分流公式
R2 I I 1 R1 R2 R1 I 2 I R1 R2
R1 R2 ①总电阻 R R1 R2
三.串并联电路
1.电阻串并联电路：既有串联又有并联的电阻 电路称为电阻串并联电路。 2.举例说明电阻串并联电路的简化过程。 例2-1 如图所示电路，求ab两端口的等效电 阻。
n n k 1 k 1
2
P Pk Rk I Rk I
2
2
⑸各电阻分压关系
Rk U k Rk I U R
k 1.2. n
二.并联电路
1.并联电路：各电阻元件接在同一对节 点之间，且各电阻元件两端电压相同， 称为电阻并联电路。 如图2-2所示
2.并联电路的特点 ⑴电压关系
由图（b）可求得
2 28 8 Rab 3.2 2 2 8 8
28 Rab 2 3.2 28
2-2 2-3
由图（c）可求得
作业: 习题二
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解从端口看，先将能直观看出串联或 并联的电阻进行等效，剩余的部分就 会显示出明朗的串并联关系，按这样 思路做下去，可将电路进行简化。 如例2-1 的a图简化成b图
则得
Rcd Rab
4 6 2.4 46 4 3.6 1.84 4 3.6
02第二章电阻电路的等效变换
12
12
12
8 //(4 4) 4
R
R eq R
R
R
例6.求Req。
解：
R
R
R
R R
Req
R 8
例7.
R R I1 I2
I3
I4 求：I1 ,I4 ,U4
12V
2R 2R
2R
U4 2R
解：
I1
12 R
I4
1 2
I
3
1 4
I2
1 8
I1
1 8
12 R
3 2R
0.04
16.5mA
10mA
I3
G1
G3 G2
G3
Is
0.04 0.025 0.1
0.04
16.5mA
4mA
三、 电阻的串并联(混联)
电阻的串联和并联相结合的联接方式叫电阻的串并联 （或混联）。
要求：弄清楚串、并联的概念。
计算举例：
4
º
例1.
Req
2 3
Req
i1
i' 1
,
i2
i' 2
,
i3
i' 3
i' 2
2
对，各个电阻的电流分别为：
R31
'
i ' 31
i3 3
1 i'
1
i' 12
i' u12 R 12
12
R 12
R23
第二章电阻电路的等效变
第二章-电阻电路的等效变第二章 电阻电路的等效变换2.1 学习要点1. 电阻的等效变换：电阻的串并联， Y 与△的等效变换。
2. 电源的串联、并联及等效变换。
3. “实际电源”的等效变换。
4. 输入电阻的求法。
2.2 内容提要 2.2.1 电阻的等效变换1. 电阻的串联：等效电阻： R eq ＝∑1=k nk R ；分压公式：u k ＝eqkeq ×R R u ； 2. 电阻的并联：等效电导：G eq ＝∑1=k nk G ；分流公式：qe G G i i keqk ×=；2.2.2. 电阻的Y 与△的等效变换1. △→Y ：一般公式：Y 形电阻＝形电阻之和形相邻电阻的乘积∆∆；即31232331*********231231212311++=++=++R R R R R R R R R R R R R R R R R R 2312＝2. Y →△：一般公式：形不相邻电阻形电阻两两乘积之和形电阻＝Y Y ∆；即：213322131113322123313322112++=++=++=R R R R R R R RR R R R R R R R R R R R R R R R2.2.3 电源的串联、并联等效变换 电源的串联、并联等效变换见表2.1。
表2.1 电源的串联、并联等效变换图2.2.4 “实际电源”的等效变换 1. “实际电压源”→“实际电流源” R i ＝R u 或 G i ＝1/R u i s ＝u s /R u 2. “实际电流源”→“实际电压源”R u ＝R i ＝1/G i u s ＝i s R i ＝i s /G i两者等效互换的原则是保持其端口的V AR 不变。
2.2.5 输入电阻的求法一端口无源网络输入电阻的定义（见图2.2）：R in ＝u/ i1. 当一端口无源网络由纯电阻构成时，可用电阻的 串并联、Y 形与△形等效变换化简求得。
2. 当一端口无源网络内含有受控源时，可采用外加电压法或外加电流法求得： 即输入电阻R in ＝u s /i 或 R in ＝u/ i s方法是：在端口处加一电压源u s （或电流源i s ）, 再求比值u s /i 或u/ i s ，该比值即是一端口无源网络的输入电阻。
第二章电阻电路等效变换
3、在同样的条件下，等效电路的形式也不是唯 一的。
4、电路进行等效变换的目的是为了简化电路以 方便地求解未知量。
3
§2-2 电阻的串联、并联和混联
一、电阻的串联 （Series connection of resistors）
1、电阻的串联 特点：在串联电路中，各元件流过的电流相同。
由欧姆定律及KVL得： i u = u 1 + u 2 + + u n a =R1i+R2i+ +Rni + u =（R1+R2+ +Rn）i 令R eq=R1+R2+…+Rn=Rk b 则有 u= R eqi
27
电压源： u U s Rs i 电流源： u i Is Rs I s Rs i u Rs
电源模型等效的条件为： 电压源 I RS + US a Uab b
Is
US
RS
Is
电流源 I' a
RS ' RS
Uab' RS'
b
U s I s Rs' Rs Rs'
即形电阻 电阻两两乘积之和 Rmn i' 接在与 Rmn相对端钮的电阻 31
R31
i3'
i'1 2
R23
i'2 3
21
2）形等效为Y形，有：
i1'
R12
i2'
R31 R12 R1 R12 R23 R31 R12 R23 R2 R12 R23 R31 R23 R31 R3 R R R 12 23 31
第二章 电阻电路的等效变换
4
Rab＝10
15 10
a b
a b
7
20
15
3
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例 2-8 求图 2-5电路 a b 端的等效电阻。
Req (2 // 2 (4 // 4 2) // 4) // 3 (1 4 // 4) // 3 1.5
21
复习
1、电阻的串联 等效电阻、分压
23
例2－4 图2－7所示电路每个电阻都是2Ω, 求a, b两端的等效电阻
解：
c
d
e
根据电路的对称性, 可知 c, d, e三点等电位, 故可用导线短接。
8 2 8 2 16 3 3 2 Req [(2//1) 2]// 2//1 2 // 2 8 2 3 3 15 3 3
26
R12 ( R23 + R31 ) R12 + R23 + R31
i1
i1
i3
i2
i3
i2
R12 R31 R12 + R23 + R31 R23 R12 R12 + R23 + R31 R31 R23 R12 + R23 + R31
27
同理,令i1=0, 可得: R23 ( R12 + R31 ) R2 + R3 = R12 + R23 + R31 同理,令i2=0, 可得:
25
二、 等效变换：保证伏安特性相同
对应端口电压、电流分别相等
i1
u12 = f1 ( i1 , i2 , i3 ) u23 = f 2 ( i1 , i2 , i3 ) u31 = f3 (i1 , i2 , i3 )
第2章 电阻电路的等效变换
方法2：加流看压法
原理图：
R in
+
u
-
i 列u、iS为变量的方程
S
u
⇒ Rin = iS
练习1：求端口的最简等效形式
R i1
i
+
βi1
_uS
Rin
判断：是无源网络吗？ 最简形式是什么？
由KCL（设流入为正）： i + i1 − βi1 = 0
由VCR：i1
=
−
uS R
得：
R in
=
uS i
=R
1− β
王馨梅
第二章 电阻电路的等效变换
“电阻电路”：由电阻、独立源、受控源组成 (不含L或C) 等效变换的目的：为了化简电路！
课件符号： ★ 重要 * 大纲之外的知识扩展
§§22--11、、§§22--22 等等效效概概念念
2Ω 1Ω 2Ω
i
+
u
i
+
2Ω
u
-
-
N1
N2
★概念：两个网络的端口伏安特性曲线完全相同，则 称这两个网络对外等效。
但等效电导好求：
n
∑ G eq =
Gk
k =1
i k = G k u = G k × ( R eq ⋅ i ) ⇒
并联分流公式： i k
=
Gk G eq
i
并联电导越大 则分流越大
思考：电阻除了串并联关系之外，还有其它连接方式吗？
三、Δ⎯Y之间的等效变换
引例：
A
B
A
B
A
B
R1
R2
R3
1
R12
2
R31
第二章 电阻电路的等效变换
将三个串联的电阻等效为一个电阻，其电阻为
R R2 R1 R3 4 2 6 12
由图(b)电路可求得电阻RL的电流和电压分别为：
i uS 15V 1A R RL 12 3
u RLi 3 1A 3V
例2－3电路如图2－7(a)所示。已知iS1=10A, iS2=5A, iS3=1A, G1=1S, G2=2S和G3=3S，求电流i1和i3。
u2
R3i1
(R2
R3
)i2
对电阻三角形联接的三端网络，外加两个电流源i1 和i2，将电流源与电阻的并联单口等效变换为一个
电压源与电阻的串联单口，得到图(b)电路，由此得
到
i12
R31i1 R23i2 R12 R23 R31
uu12
R31i1 R31i12 R31 (i1 i12 ) R23i12 R23i2 R23 (i2 i12 )
例2－2 图(a)所示电路。已知uS1=10V, uS2=20V, uS3=5V, R1=2, R2=4, R3=6和RL=3。求电阻RL的电流和电压。
解:为求电阻RL的电压和电流，可将三个串联的电压 源等效为一个电压源，其电压为
uS uS2 uS1 uS3 20V 10V 5V 15V
R3
R12
R23 R31 R23
R31
(2 13)
由此 解得
R2
R12
R12 R23 R23
R31
(2 14)
R2
R3
R23 (R12
R31 )
R R2 R1 R3 4 2 6 12
由图(b)电路可求得电阻RL的电流和电压分别为：
i uS 15V 1A R RL 12 3
u RLi 3 1A 3V
例2－3电路如图2－7(a)所示。已知iS1=10A, iS2=5A, iS3=1A, G1=1S, G2=2S和G3=3S，求电流i1和i3。
u2
R3i1
(R2
R3
)i2
对电阻三角形联接的三端网络，外加两个电流源i1 和i2，将电流源与电阻的并联单口等效变换为一个
电压源与电阻的串联单口，得到图(b)电路，由此得
到
i12
R31i1 R23i2 R12 R23 R31
uu12
R31i1 R31i12 R31 (i1 i12 ) R23i12 R23i2 R23 (i2 i12 )
例2－2 图(a)所示电路。已知uS1=10V, uS2=20V, uS3=5V, R1=2, R2=4, R3=6和RL=3。求电阻RL的电流和电压。
解:为求电阻RL的电压和电流，可将三个串联的电压 源等效为一个电压源，其电压为
uS uS2 uS1 uS3 20V 10V 5V 15V
R3
R12
R23 R31 R23
R31
(2 13)
由此 解得
R2
R12
R12 R23 R23
R31
(2 14)
R2
R3
R23 (R12
R31 )
第02章 电阻电路的等效变换
u i is R0
i
R0=R , is=us/R
u us Ri
u is R0 R0 i
i
i
i' Ru 0 O
u
is
i
R=R0, us=Ris
所以，如果令
R R0
us R is
电压源、电阻的串联组合与电流源、电阻的并联组合 可以相互等效变换。 i R + + u i +
1
1
R3
3
R1
R2
2 3
R31
R12
R23
2
星接（Y接）
三角接（△接）
R1 R2 R2 R3 R3 R1 R12 R3 R1 R2 R2 R3 R3 R1 R23 R1 R1 R2 R2 R3 R3 R1 R31 R2
三式相加后通分可 得，Δ形连接变Y形 连接的电阻等效变 换关系式为(下页)
例2－2 求电流i 和 i5
④
i5
② ①
③
i5
②
④
① i1
③
等效电阻 R = 1.5Ω
i5
②
④ ③
i = 2A
i1
①
×
i5
-
i1 1A
2 1 - 6 2 1 1
1 A 3
②
*电阻的混联
电阻串并联的组合称为电阻混联。处理混联电路问 题的方法是：利用电阻串联或并联的公式对电路进 行等效变换，将复杂的混联电路转化成简单的电路 。 〖例1-6〗 求图1-19所示电路的等效电阻Rab， 已知图中各电阻的阻值均为20Ω 。
R2
2
3
R31
R12
R23
i
R0=R , is=us/R
u us Ri
u is R0 R0 i
i
i
i' Ru 0 O
u
is
i
R=R0, us=Ris
所以，如果令
R R0
us R is
电压源、电阻的串联组合与电流源、电阻的并联组合 可以相互等效变换。 i R + + u i +
1
1
R3
3
R1
R2
2 3
R31
R12
R23
2
星接（Y接）
三角接（△接）
R1 R2 R2 R3 R3 R1 R12 R3 R1 R2 R2 R3 R3 R1 R23 R1 R1 R2 R2 R3 R3 R1 R31 R2
三式相加后通分可 得，Δ形连接变Y形 连接的电阻等效变 换关系式为(下页)
例2－2 求电流i 和 i5
④
i5
② ①
③
i5
②
④
① i1
③
等效电阻 R = 1.5Ω
i5
②
④ ③
i = 2A
i1
①
×
i5
-
i1 1A
2 1 - 6 2 1 1
1 A 3
②
*电阻的混联
电阻串并联的组合称为电阻混联。处理混联电路问 题的方法是：利用电阻串联或并联的公式对电路进 行等效变换，将复杂的混联电路转化成简单的电路 。 〖例1-6〗 求图1-19所示电路的等效电阻Rab， 已知图中各电阻的阻值均为20Ω 。
R2
2
3
R31
R12
R23
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为求Rab，在ab两端外加电压源，根据电流电压来判断串联或并联。
5
5
R 34 R 3R 41 0
6
6
15
10
R23 4RR 22 RR 33441 1 5 51 10 0 6
12
R a b R 1 R 23 6 4 6 1 2
R ab R 1 R R 2 2 ( R R 3 3 R R 4 4 ) 6 1 1( 5 5 5 5 5 5 ) 1 2
u (R1 R2 )i i u
R1 R2
i (G1 G2 )u u i
G1 G2
u1
R1 R1 R2
u
i1
G1 G1 G2
i
u2
R2 (R1 R2 )
u
i2
G2 G1 G2
i
分压公式
uk
Rk
n
u
Rk
k 1
分流公式
ik
Gk
n
i
Gk
k 1
当两个电阻并联时，常常用电阻参数表示 的分流公式：
电阻的三角形联接:将三个电阻首尾相连，形成一 个三角形，三角形的三个顶点分别与外电路的三个 结点相连，就构成三角形联接，又称为Δ形联接， 如图(b)所示。
5
15
5
显然，cd两点间的等效电阻为
R cd R R 3 3( R R 22 R R 44 )5 5( 11 5 5 55 ) 4
2－1 电阻的串联和并联： 本节通过对分压电路和分流电路的讨论，介绍电
路对偶性概念，并导出常用的分压公式和分流公式。
分压电路
KCL: KVL: VCR:
i=i1=i2
求得端口的VCR方程为
u u1 u2 u3 un R1i1 R2i2 R3i3 Rnin (R1 R2 R3 Rn)i
其中
R
u i
n k1
Rk
Ri
上式表明n个线性电阻串联的单口网络，就端口特性而言，
等效于一个线性二端电阻，其电阻值由上式确定。
2．线性电阻的并联：
两个二端电阻头接头，尾接尾，各电阻处于同一电压下
当电位器滑动端移到最上端时，a点的电位为
1k 0 1 k V a U b d 1V 2 1 k 1k 0 1 k 2V 4 1V 2 1V 0
当电位器滑动端由下向上逐渐移动时，a点的电位将从 -10V到+10V间连续变化。
例l－13某MF－30型万用电表测量直流电流的电原理图如图(a)
所示，它用波段开关来改变电流的量程。今发现线绕电阻器R1和 R2损坏。问应换上多大数值的电阻器，该万用电表才能恢复正常
工作?
解: 电表工作在量程时的电路模型如图(b)所示。其中Ra=R1+R2以 及Rb=Rg+ R5+ R4+ R3=2k+5.4k+540+54=7994。当电表指
针满偏转的电流Ig=37.5A时，万用电表的电流I=50mA。
IgR aR aR bI8R 1 0 0 50 m 00 A 3.5 μ 7A
求得
R15 80 0 m 0 0 A 03.7 5μA0.6
最后得到R1=0.6,R2=6-0.6=5.4。
2－2 电阻的星形联接与三角形联接
电阻的星形联接:将三个电阻的一端连在一起，另 一端分别与外电路的三个结点相连，就构成星形联 接，又称为 Y形连接，如图(a)所示。
i1 R1＋ R2R2i
i2R1＋ R1R2i
例l－12 图(a)所 示电路为双电源直 流分压电路。试求 电位器滑动端移动
时，a点电位Va的
变化范围。
解：将两个电位用两个电压源替代，得到图(b)所示 电路。当电位器滑动端移到最下端时，a点的电位为
V a U c d 1V 2 1 k 1 1 k k 0 1 k 2V 4 1V 2 1V 0
2、元件对偶
将某个电路VCR方程中的u换成i, i换成u，R换成G， G换成R等，就得到另一电路元件的VCR方程。这种 元件VCR方程的相似关系，称为元件对偶。
3、对偶电路
若两个电路既是拓扑对偶又是元件对偶，则称它们 是对偶电路。上图(a)和图(b)就是对偶电路。
对偶电路的电路方程是对偶的，由此导出的各种公 式和结果也是对偶的。例如对图(a)和(b)电路可导出 以下对偶公式
第二章 电阻电路的等效变换
关于等效的概念： 对于线性时不变电路元件，有时我们只对电
路的某一部分感兴趣，或者为了简化一个 复杂电路的计算，只将感兴趣的部分保留， 其余部分用等效电路代替，条件是，整个 电路经变换后，对保留部分的作用和原来 的电路完全相同。下面介绍一些常用的变 换方法：
一、线性电阻的串联和并联 1．线性电阻的串联 两个二端电阻首尾相联，各电阻流过同一电流的连接方 式，称为电阻的串联。图(a)表示个线性电阻串联形成的 单口网络。
两个线性电阻并联单口的等效 电阻值，也可用以下公式计算
R R1R2 R1 R2
3．线性电阻的串并联 由若干个线性电阻的串联和并联所形成的单口网
络，就端口特性而言，等效于一个线性二端电阻， 其等效电阻值可以根据具体电路，多次利用电阻串 联和并联单口的等效电阻公式计算出来。 例2－l 电路如图(a)所示。已知R1=6, R2=15, R3=R4=5。试求 ab两端和cd两端的等效电阻。
的连接方式，称为电阻的并联。图(a)表示n个线性电阻
的并联。
求得端口的VCR方程
为
i i1 i2 i3 in G1u1 G2u2 G3u3 Gnun (G1 G2 G3 Gn)u
其中
i n
G
u
Gk
k1
Gu
上式表明n个线性电阻并联的单口网络，就端口特性而
言，等效于一个线性二端电阻，其电导值由上式确定。
u=u1+u2
u1=R1i1 u2=R2i2 u＝uS
分流电路
KVL: KCL: VCR:
u=u1=u2
i=i1+i2
i1=G1u1 i2=G2u2
i=iS
这两个电路的方程存在着一种对偶关系:
1、拓扑对偶
如果将某个电路KCL方程中电流换成电压，就得到 另—电路的 KVL方程；将某个电路KVL方程中电压 换成电流，就得到另一电路的 KCL方程。这种电路结 构上的相似关联时的分流公式
求得 代入数值
Ia
IIg
Rb Ra Rb
I
Ra
R1R2
Ig IIg
Rb
3.5 7 1 6 0 R 1R 25 0 1 3 0 3.5 7 1 6 0 79 96 4
电表工作在500mA量程时的电路模型如图(c)所示,其中Ra=R1 以及Ra+Rb= R1+ R2+ R3+ R4+ R5+ Rg=8000。用分流公式
5
5
R 34 R 3R 41 0
6
6
15
10
R23 4RR 22 RR 33441 1 5 51 10 0 6
12
R a b R 1 R 23 6 4 6 1 2
R ab R 1 R R 2 2 ( R R 3 3 R R 4 4 ) 6 1 1( 5 5 5 5 5 5 ) 1 2
u (R1 R2 )i i u
R1 R2
i (G1 G2 )u u i
G1 G2
u1
R1 R1 R2
u
i1
G1 G1 G2
i
u2
R2 (R1 R2 )
u
i2
G2 G1 G2
i
分压公式
uk
Rk
n
u
Rk
k 1
分流公式
ik
Gk
n
i
Gk
k 1
当两个电阻并联时，常常用电阻参数表示 的分流公式：
电阻的三角形联接:将三个电阻首尾相连，形成一 个三角形，三角形的三个顶点分别与外电路的三个 结点相连，就构成三角形联接，又称为Δ形联接， 如图(b)所示。
5
15
5
显然，cd两点间的等效电阻为
R cd R R 3 3( R R 22 R R 44 )5 5( 11 5 5 55 ) 4
2－1 电阻的串联和并联： 本节通过对分压电路和分流电路的讨论，介绍电
路对偶性概念，并导出常用的分压公式和分流公式。
分压电路
KCL: KVL: VCR:
i=i1=i2
求得端口的VCR方程为
u u1 u2 u3 un R1i1 R2i2 R3i3 Rnin (R1 R2 R3 Rn)i
其中
R
u i
n k1
Rk
Ri
上式表明n个线性电阻串联的单口网络，就端口特性而言，
等效于一个线性二端电阻，其电阻值由上式确定。
2．线性电阻的并联：
两个二端电阻头接头，尾接尾，各电阻处于同一电压下
当电位器滑动端移到最上端时，a点的电位为
1k 0 1 k V a U b d 1V 2 1 k 1k 0 1 k 2V 4 1V 2 1V 0
当电位器滑动端由下向上逐渐移动时，a点的电位将从 -10V到+10V间连续变化。
例l－13某MF－30型万用电表测量直流电流的电原理图如图(a)
所示，它用波段开关来改变电流的量程。今发现线绕电阻器R1和 R2损坏。问应换上多大数值的电阻器，该万用电表才能恢复正常
工作?
解: 电表工作在量程时的电路模型如图(b)所示。其中Ra=R1+R2以 及Rb=Rg+ R5+ R4+ R3=2k+5.4k+540+54=7994。当电表指
针满偏转的电流Ig=37.5A时，万用电表的电流I=50mA。
IgR aR aR bI8R 1 0 0 50 m 00 A 3.5 μ 7A
求得
R15 80 0 m 0 0 A 03.7 5μA0.6
最后得到R1=0.6,R2=6-0.6=5.4。
2－2 电阻的星形联接与三角形联接
电阻的星形联接:将三个电阻的一端连在一起，另 一端分别与外电路的三个结点相连，就构成星形联 接，又称为 Y形连接，如图(a)所示。
i1 R1＋ R2R2i
i2R1＋ R1R2i
例l－12 图(a)所 示电路为双电源直 流分压电路。试求 电位器滑动端移动
时，a点电位Va的
变化范围。
解：将两个电位用两个电压源替代，得到图(b)所示 电路。当电位器滑动端移到最下端时，a点的电位为
V a U c d 1V 2 1 k 1 1 k k 0 1 k 2V 4 1V 2 1V 0
2、元件对偶
将某个电路VCR方程中的u换成i, i换成u，R换成G， G换成R等，就得到另一电路元件的VCR方程。这种 元件VCR方程的相似关系，称为元件对偶。
3、对偶电路
若两个电路既是拓扑对偶又是元件对偶，则称它们 是对偶电路。上图(a)和图(b)就是对偶电路。
对偶电路的电路方程是对偶的，由此导出的各种公 式和结果也是对偶的。例如对图(a)和(b)电路可导出 以下对偶公式
第二章 电阻电路的等效变换
关于等效的概念： 对于线性时不变电路元件，有时我们只对电
路的某一部分感兴趣，或者为了简化一个 复杂电路的计算，只将感兴趣的部分保留， 其余部分用等效电路代替，条件是，整个 电路经变换后，对保留部分的作用和原来 的电路完全相同。下面介绍一些常用的变 换方法：
一、线性电阻的串联和并联 1．线性电阻的串联 两个二端电阻首尾相联，各电阻流过同一电流的连接方 式，称为电阻的串联。图(a)表示个线性电阻串联形成的 单口网络。
两个线性电阻并联单口的等效 电阻值，也可用以下公式计算
R R1R2 R1 R2
3．线性电阻的串并联 由若干个线性电阻的串联和并联所形成的单口网
络，就端口特性而言，等效于一个线性二端电阻， 其等效电阻值可以根据具体电路，多次利用电阻串 联和并联单口的等效电阻公式计算出来。 例2－l 电路如图(a)所示。已知R1=6, R2=15, R3=R4=5。试求 ab两端和cd两端的等效电阻。
的连接方式，称为电阻的并联。图(a)表示n个线性电阻
的并联。
求得端口的VCR方程
为
i i1 i2 i3 in G1u1 G2u2 G3u3 Gnun (G1 G2 G3 Gn)u
其中
i n
G
u
Gk
k1
Gu
上式表明n个线性电阻并联的单口网络，就端口特性而
言，等效于一个线性二端电阻，其电导值由上式确定。
u=u1+u2
u1=R1i1 u2=R2i2 u＝uS
分流电路
KVL: KCL: VCR:
u=u1=u2
i=i1+i2
i1=G1u1 i2=G2u2
i=iS
这两个电路的方程存在着一种对偶关系:
1、拓扑对偶
如果将某个电路KCL方程中电流换成电压，就得到 另—电路的 KVL方程；将某个电路KVL方程中电压 换成电流，就得到另一电路的 KCL方程。这种电路结 构上的相似关联时的分流公式
求得 代入数值
Ia
IIg
Rb Ra Rb
I
Ra
R1R2
Ig IIg
Rb
3.5 7 1 6 0 R 1R 25 0 1 3 0 3.5 7 1 6 0 79 96 4
电表工作在500mA量程时的电路模型如图(c)所示,其中Ra=R1 以及Ra+Rb= R1+ R2+ R3+ R4+ R5+ Rg=8000。用分流公式