第二章 电阻电路的等效变换
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2、元件对偶
将某个电路VCR方程中的u换成i, i换成u，R换成G， G换成R等，就得到另一电路元件的VCR方程。这种 元件VCR方程的相似关系，称为元件对偶。
3、对偶电路
若两个电路既是拓扑对偶又是元件对偶，则称它们 是对偶电路。上图(a)和图(b)就是对偶电路。
对偶电路的电路方程是对偶的，由此导出的各种公 式和结果也是对偶的。例如对图(a)和(b)电路可导出 以下对偶公式
第二章 电阻电路的等效变换
关于等效的概念： 对于线性时不变电路元件，有时我们只对电
路的某一部分感兴趣，或者为了简化一个 复杂电路的计算，只将感兴趣的部分保留， 其余部分用等效电路代替，条件是，整个 电路经变换后，对保留部分的作用和原来 的电路完全相同。下面介绍一些常用的变 换方法：
一、线性电阻的串联和并联 1．线性电阻的串联 两个二端电阻首尾相联，各电阻流过同一电流的连接方 式，称为电阻的串联。图(a)表示个线性电阻串联形成的 单口网络。
为求Rab，在ab两端外加电压源，根据电流电压来判断串联或并联。
5
5
R 34 R 3R 41 0
6
6
15
10
R23 4RR 22 RR 33441 1 5 51 10 0 6
12
R a b R 1 R 23 6 4 6 1 2
R ab R 1 R R 2 2 ( R R 3 3 R R 4 4 ) 6 1 1( 5 5 5 5 5 5 ) 1 2
所示，它用波段开关来改变电流的量程。今发现线绕电阻器R1和 R2损坏。问应换上多大数值的电阻器，该万用电表才能恢复正常
工作?
解: 电表工作在量程时的电路模型如图(b)所示。其中Ra=R1+R2以 及Rb=Rg+ R5+ R4+ R3=2k+5.4k+540+54=7994。当电表指
针满偏转的电流Ig=37.5A时，万用电表的电流I=50mA。
求得端口的VCR方程为
u u1 u2 u3 un R1i1 R2i2 R3i3 Rnin (R1 R2 R3 Rn)i
其中
R
u i
n k1
Rk
Ri
上式表明n个线性电阻串联的单口网络，就端口特性而言，
等效于一个线性二端电阻，其电阻值由上式确定。
2．线性电阻的并联：
两个二端电阻头接头，尾接尾，各电阻处于同一电压下
u=u1+Biblioteka Baidu2
u1=R1i1 u2=R2i2 u＝uS
分流电路
KVL: KCL: VCR:
u=u1=u2
i=i1+i2
i1=G1u1 i2=G2u2
i=iS
这两个电路的方程存在着一种对偶关系:
1、拓扑对偶
如果将某个电路KCL方程中电流换成电压，就得到 另—电路的 KVL方程；将某个电路KVL方程中电压 换成电流，就得到另一电路的 KCL方程。这种电路结 构上的相似关系称为拓扑对偶。
电阻的三角形联接:将三个电阻首尾相连，形成一 个三角形，三角形的三个顶点分别与外电路的三个 结点相连，就构成三角形联接，又称为Δ形联接， 如图(b)所示。
的连接方式，称为电阻的并联。图(a)表示n个线性电阻
的并联。
求得端口的VCR方程
为
i i1 i2 i3 in G1u1 G2u2 G3u3 Gnun (G1 G2 G3 Gn)u
其中
i n
G
u
Gk
k1
Gu
上式表明n个线性电阻并联的单口网络，就端口特性而
言，等效于一个线性二端电阻，其电导值由上式确定。
对图(b)所示电路，用两个电阻并联时的分流公式
求得 代入数值
Ia
IIg
Rb Ra Rb
I
Ra
R1R2
Ig IIg
Rb
3.5 7 1 6 0 R 1R 25 0 1 3 0 3.5 7 1 6 0 79 96 4
电表工作在500mA量程时的电路模型如图(c)所示,其中Ra=R1 以及Ra+Rb= R1+ R2+ R3+ R4+ R5+ Rg=8000。用分流公式
两个线性电阻并联单口的等效 电阻值，也可用以下公式计算
R R1R2 R1 R2
3．线性电阻的串并联 由若干个线性电阻的串联和并联所形成的单口网
络，就端口特性而言，等效于一个线性二端电阻， 其等效电阻值可以根据具体电路，多次利用电阻串 联和并联单口的等效电阻公式计算出来。 例2－l 电路如图(a)所示。已知R1=6, R2=15, R3=R4=5。试求 ab两端和cd两端的等效电阻。
IgR aR aR bI8R 1 0 0 50 m 00 A 3.5 μ 7A
求得
R15 80 0 m 0 0 A 03.7 5μA0.6
最后得到R1=0.6,R2=6-0.6=5.4。
2－2 电阻的星形联接与三角形联接
电阻的星形联接:将三个电阻的一端连在一起，另 一端分别与外电路的三个结点相连，就构成星形联 接，又称为 Y形连接，如图(a)所示。
i1 R1＋ R2R2i
i2R1＋ R1R2i
例l－12 图(a)所 示电路为双电源直 流分压电路。试求 电位器滑动端移动
时，a点电位Va的
变化范围。
解：将两个电位用两个电压源替代，得到图(b)所示 电路。当电位器滑动端移到最下端时，a点的电位为
V a U c d 1V 2 1 k 1 1 k k 0 1 k 2V 4 1V 2 1V 0
u (R1 R2 )i i u
R1 R2
i (G1 G2 )u u i
G1 G2
u1
R1 R1 R2
u
i1
G1 G1 G2
i
u2
R2 (R1 R2 )
u
i2
G2 G1 G2
i
分压公式
uk
Rk
n
u
Rk
k 1
分流公式
ik
Gk
n
i
Gk
k 1
当两个电阻并联时，常常用电阻参数表示 的分流公式：
5
15
5
显然，cd两点间的等效电阻为
R cd R R 3 3( R R 22 R R 44 )5 5( 11 5 5 55 ) 4
2－1 电阻的串联和并联： 本节通过对分压电路和分流电路的讨论，介绍电
路对偶性概念，并导出常用的分压公式和分流公式。
分压电路
KCL: KVL: VCR:
i=i1=i2
当电位器滑动端移到最上端时，a点的电位为
1k 0 1 k V a U b d 1V 2 1 k 1k 0 1 k 2V 4 1V 2 1V 0
当电位器滑动端由下向上逐渐移动时，a点的电位将从 -10V到+10V间连续变化。
例l－13某MF－30型万用电表测量直流电流的电原理图如图(a)
将某个电路VCR方程中的u换成i, i换成u，R换成G， G换成R等，就得到另一电路元件的VCR方程。这种 元件VCR方程的相似关系，称为元件对偶。
3、对偶电路
若两个电路既是拓扑对偶又是元件对偶，则称它们 是对偶电路。上图(a)和图(b)就是对偶电路。
对偶电路的电路方程是对偶的，由此导出的各种公 式和结果也是对偶的。例如对图(a)和(b)电路可导出 以下对偶公式
第二章 电阻电路的等效变换
关于等效的概念： 对于线性时不变电路元件，有时我们只对电
路的某一部分感兴趣，或者为了简化一个 复杂电路的计算，只将感兴趣的部分保留， 其余部分用等效电路代替，条件是，整个 电路经变换后，对保留部分的作用和原来 的电路完全相同。下面介绍一些常用的变 换方法：
一、线性电阻的串联和并联 1．线性电阻的串联 两个二端电阻首尾相联，各电阻流过同一电流的连接方 式，称为电阻的串联。图(a)表示个线性电阻串联形成的 单口网络。
为求Rab，在ab两端外加电压源，根据电流电压来判断串联或并联。
5
5
R 34 R 3R 41 0
6
6
15
10
R23 4RR 22 RR 33441 1 5 51 10 0 6
12
R a b R 1 R 23 6 4 6 1 2
R ab R 1 R R 2 2 ( R R 3 3 R R 4 4 ) 6 1 1( 5 5 5 5 5 5 ) 1 2
所示，它用波段开关来改变电流的量程。今发现线绕电阻器R1和 R2损坏。问应换上多大数值的电阻器，该万用电表才能恢复正常
工作?
解: 电表工作在量程时的电路模型如图(b)所示。其中Ra=R1+R2以 及Rb=Rg+ R5+ R4+ R3=2k+5.4k+540+54=7994。当电表指
针满偏转的电流Ig=37.5A时，万用电表的电流I=50mA。
求得端口的VCR方程为
u u1 u2 u3 un R1i1 R2i2 R3i3 Rnin (R1 R2 R3 Rn)i
其中
R
u i
n k1
Rk
Ri
上式表明n个线性电阻串联的单口网络，就端口特性而言，
等效于一个线性二端电阻，其电阻值由上式确定。
2．线性电阻的并联：
两个二端电阻头接头，尾接尾，各电阻处于同一电压下
u=u1+Biblioteka Baidu2
u1=R1i1 u2=R2i2 u＝uS
分流电路
KVL: KCL: VCR:
u=u1=u2
i=i1+i2
i1=G1u1 i2=G2u2
i=iS
这两个电路的方程存在着一种对偶关系:
1、拓扑对偶
如果将某个电路KCL方程中电流换成电压，就得到 另—电路的 KVL方程；将某个电路KVL方程中电压 换成电流，就得到另一电路的 KCL方程。这种电路结 构上的相似关系称为拓扑对偶。
电阻的三角形联接:将三个电阻首尾相连，形成一 个三角形，三角形的三个顶点分别与外电路的三个 结点相连，就构成三角形联接，又称为Δ形联接， 如图(b)所示。
的连接方式，称为电阻的并联。图(a)表示n个线性电阻
的并联。
求得端口的VCR方程
为
i i1 i2 i3 in G1u1 G2u2 G3u3 Gnun (G1 G2 G3 Gn)u
其中
i n
G
u
Gk
k1
Gu
上式表明n个线性电阻并联的单口网络，就端口特性而
言，等效于一个线性二端电阻，其电导值由上式确定。
对图(b)所示电路，用两个电阻并联时的分流公式
求得 代入数值
Ia
IIg
Rb Ra Rb
I
Ra
R1R2
Ig IIg
Rb
3.5 7 1 6 0 R 1R 25 0 1 3 0 3.5 7 1 6 0 79 96 4
电表工作在500mA量程时的电路模型如图(c)所示,其中Ra=R1 以及Ra+Rb= R1+ R2+ R3+ R4+ R5+ Rg=8000。用分流公式
两个线性电阻并联单口的等效 电阻值，也可用以下公式计算
R R1R2 R1 R2
3．线性电阻的串并联 由若干个线性电阻的串联和并联所形成的单口网
络，就端口特性而言，等效于一个线性二端电阻， 其等效电阻值可以根据具体电路，多次利用电阻串 联和并联单口的等效电阻公式计算出来。 例2－l 电路如图(a)所示。已知R1=6, R2=15, R3=R4=5。试求 ab两端和cd两端的等效电阻。
IgR aR aR bI8R 1 0 0 50 m 00 A 3.5 μ 7A
求得
R15 80 0 m 0 0 A 03.7 5μA0.6
最后得到R1=0.6,R2=6-0.6=5.4。
2－2 电阻的星形联接与三角形联接
电阻的星形联接:将三个电阻的一端连在一起，另 一端分别与外电路的三个结点相连，就构成星形联 接，又称为 Y形连接，如图(a)所示。
i1 R1＋ R2R2i
i2R1＋ R1R2i
例l－12 图(a)所 示电路为双电源直 流分压电路。试求 电位器滑动端移动
时，a点电位Va的
变化范围。
解：将两个电位用两个电压源替代，得到图(b)所示 电路。当电位器滑动端移到最下端时，a点的电位为
V a U c d 1V 2 1 k 1 1 k k 0 1 k 2V 4 1V 2 1V 0
u (R1 R2 )i i u
R1 R2
i (G1 G2 )u u i
G1 G2
u1
R1 R1 R2
u
i1
G1 G1 G2
i
u2
R2 (R1 R2 )
u
i2
G2 G1 G2
i
分压公式
uk
Rk
n
u
Rk
k 1
分流公式
ik
Gk
n
i
Gk
k 1
当两个电阻并联时，常常用电阻参数表示 的分流公式：
5
15
5
显然，cd两点间的等效电阻为
R cd R R 3 3( R R 22 R R 44 )5 5( 11 5 5 55 ) 4
2－1 电阻的串联和并联： 本节通过对分压电路和分流电路的讨论，介绍电
路对偶性概念，并导出常用的分压公式和分流公式。
分压电路
KCL: KVL: VCR:
i=i1=i2
当电位器滑动端移到最上端时，a点的电位为
1k 0 1 k V a U b d 1V 2 1 k 1k 0 1 k 2V 4 1V 2 1V 0
当电位器滑动端由下向上逐渐移动时，a点的电位将从 -10V到+10V间连续变化。
例l－13某MF－30型万用电表测量直流电流的电原理图如图(a)