北师大版八年级数学上册第一章演示教学
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目给出两条边长而没有给出图形时，可能考虑不周而漏解．
考点二 直角三角形的判别
例 2 如图 1－1，在正方形 ABCD 中，F 为 DC 的中点，E 为 BC 上一点，且 EC＝14BC，请说明：AF⊥EF.
图 1－1
数学·人教版（RJ）
[解析] 要说明 AF⊥EF，可说明△AEF 是直角三角
形，只要根据勾股定理的逆定理说明 AF2＋EF2＝AE2
图1－2 数学·人教版（RJ）
[解析] 要判断公路 AB 段是否需要封锁，则需要比较点 C 到 AB 的距离与 250 m 的大小关系，可以借助勾股定理和三角形的面 积计算点 C 到 AB 的距离．
解：作 CD⊥AB 于 D，因为 BC＝400 m，AC＝300 m，∠ACB ＝90°，根据勾股定理，得 AC2＋BC2＝AB2，即 3002＋4002＝AB2， 所以 AB＝500 m.
就可以了．
解：连接
AE，设正方形边长为
a，则
DF＝FC＝a2，EC＝a4.
在 Rt△ECF 中，有 EF2＝a22＋a42＝156a2.
在 Rt△FDA 中，有 AF2＝a22＋a2＝54a2.
在 Rt△ABE 中，有 BE＝a－14a＝34a，
∵AE2＝a2＋34a2＝1265a2，
∴AF2＋EF2＝AE2.
图1－3
数学·人教版（RJ）
[解析] 要使蚂蚁爬行的路程最短，可直接连接AF，再求出AF，但AF在盒子里面，不 符合题目要求．甲生和乙生的方案类似，只是顺序不同，丙生和丁生的方法类似， 只是长方形的长、宽不同，若在丙、丁的长方形中分别画出甲、乙的路线，则发现 丙生和丁生的办法都符合要求，但究竟哪个路程最短，就需要计算了．
解：(1)当两直角边长分别为 3 和 4 时，第三边长的平方为 32＋42＝25； (2)当斜边为 4，一直角边为 3 时，第三边长的平方为 42－32＝7.
数学·人教版（RJ）
易错警示 应用勾股定理计算时，易出现下列两种错误：(1)忽视勾股 定理成立的条件，在非直角三角形中使用 a2＋b2＝c2；(2)当题
图1－4
图1－5 数学·人教版（RJ）
方法技巧 最短路径问题是勾股定理在立体几何中的应用，一般做法是把长方体(或其他几
何体)侧面展开，将立体图形问题转化为平面图形问题，再根据两点之间线段最短， 用勾股定理求解．
考点四 验证勾股定理
例5 一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证 方法．如图1－6，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB ＝a，BC＝b，AC＝c，请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理：a2＋b2＝c2.
由三角形的面积可知：12AB·CD＝12BC·AC，所以 500CD＝ 400×300，所以 CD＝240 m.
因为 240＜250，即点 C 到 AB 的距离小于 250 m，所以有危险， 公路 AB 段需要暂时封锁．
数学·人教版（RJ）
方法技巧 转化思想是一种重要的数学思想，它的应用十分广泛，如通过作高可以 将非直角三角形的问题转化为直角三角形的问题来解决，通过建模可以 将实际问题转化为数学问题来解决等．
解：按丙生的办法：将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长方形AEFD，如图1－4 所示：
则AE＝AB＋BE＝4(cm)，EF＝3 cm，连接AF，在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝42 ＋32＝25，∴AF＝5(cm)．连接BF，
∵AF<AB＋BF， ∴丙的方法比甲的好．
数学·人教版（RJ）
图1－6
数学·人教版（RJ）
[解析] 观察图形会发现易证△ABC≌△C′D′A，得∠CAC′＝90°，于是梯形 BCC′D′的面积既等于12(C′D′＋BC)·BD′，又等于 S△ABC＋S△CAC′＋S△D′AC′， 于是定理得证．
证明：由题意可知四边形 BCC′D′为直角梯形， 因为 Rt△ABC≌Rt△AB′C′， 所以∠BAC＝∠B′AC′， ∠CAC′＝∠CAB′＋∠B′AC′＝∠CAB′＋∠BAC＝90°. 所以 S 梯形 BCC′D′＝S△ABC＋S△CAC′＋S△D′AC′， 12(a＋b)(a＋b)＝12ab＋12ab＋12c2，
北师大版八பைடு நூலகம்级数学上册第一章
考点攻略
考点一 应用勾股定理计算 例1 已知直角三角形的两边长分别为3,4，求第三边长的平方．
[解析] 因习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为3和4时，斜边长 为5.但这一理解的前提是3,4为直角边．而本题中并未加以任何说明，因而所求的 第三边可能为斜边，也可能为直角边．
按丁生的办法，将长方形ABCD与正方形CFGD展开成长方形ABFG，如图1－5所示： 则BF＝BC＋CF＝3＋2＝5(cm)，AB＝2 cm，连接AF，在Rt△ABF中，AF2＝BF2＋AB2＝ 52＋22＝29≈5.392， ∴AF＝5.39 cm.连接AC， ∵AF<AC＋CF， ∴丁的方法比乙的好． 比较丙生与丁生的计算结果，知丙生的说法正确．
根据勾股定理的逆定理，得∠AFE＝90°，
∴AF⊥EF.
数学·人教版（RJ）
易错警示 根据 a2＋b2＝c2，判别直角三角形时，容易出现计算一条 短边及最长边的平方和，导致错误．
考点三 勾股定理的实际应用
例3 如图1－2，在公路AB旁有一座山，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠 站A的距离为300 m，与公路上另一停靠站B的距离为400 m，且CA⊥CB，为了安全起见， 爆破点C周围半径250 m范围内不得进入．在进行爆破时，公路AB段是否因有危险而需要 暂时封锁？
数学·人教版（RJ）
例4 李老师让同学们讨论这样一个问题，如图1－3所示，有一个长方体盒子，底面 正方形的边长为2 cm，高为3 cm，在长方体盒子下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到 上底面的F点处的食物，则怎样爬行路程最短？最短路程是多少？
过了一会，李老师问同学们答案，甲生说：先由A点到B点，再走对角线BF；乙生说： 我认为应由A先走对角线AC，再走C到F点；丙生说：将长方形ABCD与长方形BEFC展开成 长方形AEFD，利用勾股定理求AF的长；丁生说：将长方形ABCD与正方形CFGD展开成长方 形ABFG，利用勾股定理求AF的长．你认为哪位同学的说法正确？并说明理由．(参考数 据：29≈5.392)
考点二 直角三角形的判别
例 2 如图 1－1，在正方形 ABCD 中，F 为 DC 的中点，E 为 BC 上一点，且 EC＝14BC，请说明：AF⊥EF.
图 1－1
数学·人教版（RJ）
[解析] 要说明 AF⊥EF，可说明△AEF 是直角三角
形，只要根据勾股定理的逆定理说明 AF2＋EF2＝AE2
图1－2 数学·人教版（RJ）
[解析] 要判断公路 AB 段是否需要封锁，则需要比较点 C 到 AB 的距离与 250 m 的大小关系，可以借助勾股定理和三角形的面 积计算点 C 到 AB 的距离．
解：作 CD⊥AB 于 D，因为 BC＝400 m，AC＝300 m，∠ACB ＝90°，根据勾股定理，得 AC2＋BC2＝AB2，即 3002＋4002＝AB2， 所以 AB＝500 m.
就可以了．
解：连接
AE，设正方形边长为
a，则
DF＝FC＝a2，EC＝a4.
在 Rt△ECF 中，有 EF2＝a22＋a42＝156a2.
在 Rt△FDA 中，有 AF2＝a22＋a2＝54a2.
在 Rt△ABE 中，有 BE＝a－14a＝34a，
∵AE2＝a2＋34a2＝1265a2，
∴AF2＋EF2＝AE2.
图1－3
数学·人教版（RJ）
[解析] 要使蚂蚁爬行的路程最短，可直接连接AF，再求出AF，但AF在盒子里面，不 符合题目要求．甲生和乙生的方案类似，只是顺序不同，丙生和丁生的方法类似， 只是长方形的长、宽不同，若在丙、丁的长方形中分别画出甲、乙的路线，则发现 丙生和丁生的办法都符合要求，但究竟哪个路程最短，就需要计算了．
解：(1)当两直角边长分别为 3 和 4 时，第三边长的平方为 32＋42＝25； (2)当斜边为 4，一直角边为 3 时，第三边长的平方为 42－32＝7.
数学·人教版（RJ）
易错警示 应用勾股定理计算时，易出现下列两种错误：(1)忽视勾股 定理成立的条件，在非直角三角形中使用 a2＋b2＝c2；(2)当题
图1－4
图1－5 数学·人教版（RJ）
方法技巧 最短路径问题是勾股定理在立体几何中的应用，一般做法是把长方体(或其他几
何体)侧面展开，将立体图形问题转化为平面图形问题，再根据两点之间线段最短， 用勾股定理求解．
考点四 验证勾股定理
例5 一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证 方法．如图1－6，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB ＝a，BC＝b，AC＝c，请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理：a2＋b2＝c2.
由三角形的面积可知：12AB·CD＝12BC·AC，所以 500CD＝ 400×300，所以 CD＝240 m.
因为 240＜250，即点 C 到 AB 的距离小于 250 m，所以有危险， 公路 AB 段需要暂时封锁．
数学·人教版（RJ）
方法技巧 转化思想是一种重要的数学思想，它的应用十分广泛，如通过作高可以 将非直角三角形的问题转化为直角三角形的问题来解决，通过建模可以 将实际问题转化为数学问题来解决等．
解：按丙生的办法：将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长方形AEFD，如图1－4 所示：
则AE＝AB＋BE＝4(cm)，EF＝3 cm，连接AF，在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝42 ＋32＝25，∴AF＝5(cm)．连接BF，
∵AF<AB＋BF， ∴丙的方法比甲的好．
数学·人教版（RJ）
图1－6
数学·人教版（RJ）
[解析] 观察图形会发现易证△ABC≌△C′D′A，得∠CAC′＝90°，于是梯形 BCC′D′的面积既等于12(C′D′＋BC)·BD′，又等于 S△ABC＋S△CAC′＋S△D′AC′， 于是定理得证．
证明：由题意可知四边形 BCC′D′为直角梯形， 因为 Rt△ABC≌Rt△AB′C′， 所以∠BAC＝∠B′AC′， ∠CAC′＝∠CAB′＋∠B′AC′＝∠CAB′＋∠BAC＝90°. 所以 S 梯形 BCC′D′＝S△ABC＋S△CAC′＋S△D′AC′， 12(a＋b)(a＋b)＝12ab＋12ab＋12c2，
北师大版八பைடு நூலகம்级数学上册第一章
考点攻略
考点一 应用勾股定理计算 例1 已知直角三角形的两边长分别为3,4，求第三边长的平方．
[解析] 因习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为3和4时，斜边长 为5.但这一理解的前提是3,4为直角边．而本题中并未加以任何说明，因而所求的 第三边可能为斜边，也可能为直角边．
按丁生的办法，将长方形ABCD与正方形CFGD展开成长方形ABFG，如图1－5所示： 则BF＝BC＋CF＝3＋2＝5(cm)，AB＝2 cm，连接AF，在Rt△ABF中，AF2＝BF2＋AB2＝ 52＋22＝29≈5.392， ∴AF＝5.39 cm.连接AC， ∵AF<AC＋CF， ∴丁的方法比乙的好． 比较丙生与丁生的计算结果，知丙生的说法正确．
根据勾股定理的逆定理，得∠AFE＝90°，
∴AF⊥EF.
数学·人教版（RJ）
易错警示 根据 a2＋b2＝c2，判别直角三角形时，容易出现计算一条 短边及最长边的平方和，导致错误．
考点三 勾股定理的实际应用
例3 如图1－2，在公路AB旁有一座山，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠 站A的距离为300 m，与公路上另一停靠站B的距离为400 m，且CA⊥CB，为了安全起见， 爆破点C周围半径250 m范围内不得进入．在进行爆破时，公路AB段是否因有危险而需要 暂时封锁？
数学·人教版（RJ）
例4 李老师让同学们讨论这样一个问题，如图1－3所示，有一个长方体盒子，底面 正方形的边长为2 cm，高为3 cm，在长方体盒子下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到 上底面的F点处的食物，则怎样爬行路程最短？最短路程是多少？
过了一会，李老师问同学们答案，甲生说：先由A点到B点，再走对角线BF；乙生说： 我认为应由A先走对角线AC，再走C到F点；丙生说：将长方形ABCD与长方形BEFC展开成 长方形AEFD，利用勾股定理求AF的长；丁生说：将长方形ABCD与正方形CFGD展开成长方 形ABFG，利用勾股定理求AF的长．你认为哪位同学的说法正确？并说明理由．(参考数 据：29≈5.392)