气溶胶力学第8章

梯科郝米罗夫（Tikhomirov）等人得到分子力的位势为：
(r ) 2 Q 2r 2
6 r2
1
4r 2 2 ln(1 2 ) 2 r 4r r 2r 2
（8-19）
此时系数 其中Q为常数。 而
2 Qf ( x) Z m 1 exp dx 0 6k T
二

在内力影响下气溶胶粒子的凝并
N12 4 r 2 ( D dn BFn) dr
（一）范德华力（分子力）
流向粒子1的粒子流对围绕粒子1的所有同心表面是常量，即
（8-15）
F引起的粒子 (r )
其中第一项是从扩散方程得到的，第二项是考虑由于分子力 径向移动速度，
v BF
边界条件为： 对 r , n n 式（8-15）的解为：
现在我们考虑以特殊情况：所有粒子粒径相同，且荷有相同电荷
，在忽 e
略静电凝并（队强电荷是允许的），仅考虑静电发散的情况下：
n0 n(t ) 1 t tb
（8-25）
式中半值时间
t b (4B 2 e 2 n0 ) 1
，如果在t=0时刻原始粒子
6 3 数 n0 2 10 粒子 cm ，每一粒子带两个基本电荷，那么。这样，如果气溶
这说明二粒子的扩散系数等于单个粒子的扩散系数之和，这时式（8-6）
可以改写为：
N12 4 ( D1 D2 )(r1 r2 )n(r2 , t )
（8-7）
用已知的扩散系数D与迁移率B之间的关系式 D kTB 这时式（8-7）变为
N12 4 ( B1 B2 )( r1 r2 )kTn(r2 , t )
（8-8）
这里k——为波尔兹曼常数； T——绝对温度。 引进一新术语——“凝并常数
k 0 (r1 , r2 )
”并令
（8-10）
（8-11）
k 0 (r1 , r2 ) 4 ( B1 B2 )(r1 r2 )kT
式（8-9）变为
N12 k 0 (r1 , r2 )n(r2 , t )
（8-23）
富克斯得到荷电粒子和非荷电粒子凝并常数之比为：
Ze a r12 y y e a r12 1 e 1
（8-24）
2 这里 a v e kT , r12 r1 r2 , y a r12
当
v 1时, a e 2 kT
表示两基本电荷间的距离，当温度为20℃
（8-18）
dx
x Z m 表示存在范达华力时与不存在此力时凝并常数之比， r12 r ，且
F ( )d (r )

r
为中心距离为 r 时分子力 F (r )的位势。对于吸引力， 0, z 1 ，即此时
凝并常数增加，对于斥力， 0, 而z 1，凝并常数减小。
即凝并速度N12是凝并常数 k 0 (r1 , r2 ) 与粒子浓度 n(r2 , t ) 的乘积。
为了说明式（8-11），我们举一个实例：对半径为 1m 的等粒径粒子，凝并 常数不依赖于半径r且 k 0 (r1 , r2 ) 6.6 10 10 cm3 s ，在标准空气中粒子浓 度 n(r2 , t ) 1.66 10 5 粒 cm3 ，按照式（8-11），该粒子将和其他粒子在104秒 内碰撞一次，换言之，如果有10000个粒子，那么在一秒钟内平均只有一个 粒子与其它粒子发生碰撞。 表8-1种给出了式（8-11）中的凝并常数值。
来计算，而不是二者的乘积，这是因为粒子在t时刻的均方位移为：
x x
0
2


4Dt
4 Dt
1


( x x0 ) e
2
2
( x x0 ) 2 4 Dt
dx




e
2
d 2 Dt
而在t 时间间隔内沿x轴粒子1，2的相对位移均方值为
(x1 x2 ) 2 (x1 ) 2 (x2 ) 2 2( D1 D2 )t
半径为 r2 的粒子2在单位时间内扩散到半径为
r1 的粒子1上的粒子数目 N12 服从扩散定律，所以：
n N12 4r D2 ( ) r r r 12
2 12
（8-1）
其中D2是2类粒子的扩散系数；
n n(r , r2 , t ) 是半径为 r2
的粒子在t时刻的浓度，
r 的函数。

在气溶胶粒子凝并理论中，一般都假设粒子的每一次接触均导致凝并， 凝并理论的目标是描述粒子的数目浓度及粒径大小随时间的变化。
一
热凝并
斯莫鲁科夫斯基（Smoluchowski）首先提出了在静止介质 中气溶胶粒子热凝并的经典理论。他假设球形粒子的热凝并服 从扩散定律，任何粒子间的碰撞与接触导致它们间的凝并，即 在单一分散气溶胶中，假设其中一个粒子是静止的，而试求另 外的粒子与其接触的频繁程度，或者说平均要经过多长时间间 隔，作布朗运动的粒子才能与该静止的粒子相接触。此外还假 设在整个凝并过程中，该静止粒子的大小与形状都保持不变。 对球形粒子来说，粒子的接触，其球心之间的距离等于其半 径之和，我们可以用一半径为 r12 的“吸收球面”来代替静止 粒子（见图8-1）。
对吸收球表面 r r1 r2 r12 , n 0
1 r F ( ) d 1 n(r ) n0 e kT
r 1 dr exp k T F ( )d r 2 r12 r 1 dr exp k T F ( )d r 2
dn 1 k0 n 2 dt 2
（8-12）
当t=0时n=n0,则式（8-12）的解为：
1 1 1 k0t n n0 2
或者把上式写为：
n
n0 n 0 1 t 1 k0 n0t 1 2 tb
（8-13）
这里 n 0 ——粒子的原始数目浓度；t b 2 k 0 n0 ，称为粒子数目浓度的半 值时间。
r
（8-16）
在单位时间里凝并到粒子1上的2类粒子的数目为：
N12
4Dn0

r12
e

1 kT
r
r
F ( ) d 2
（8-17）

dr
而对于没有分子力时的情况
N12 4 ( D1 D2 )r12 n0
由于F力的影响，凝并常数的变化可用下列因素表达：
Zm
1
e
0
1
r 1 ( 12 ) kT x
（二）荷电粒子 设想有两类粒子，半径分别为
r1和r2 ，所带电荷分别为
v与 基本电荷，
由电荷引起的引力和斥力可使相应的凝并常数增大和减小，如果忽略彼此间
的感应力，则自由电荷之间的作用力为：
F (r v e2 r
2
)
（8-22）
作用力的位势为：
这里， x r12 r
ve 2
x r12
(
n(r2 , t ) n ) r r r12 r 12
（8-5）
把式（8-5）代入式（8-1）就可以得到在单位时间内扩散并黏着到固定粒
子1上的粒子的2的数目，即
N12 4D2 r12n(r2 , t )
为了便于分析，在上述分析中我们假定粒子1是静止的，实际上这是不可
能的。因为粒子1也参与了布朗运动，必须把粒子1的扩散系数D1 也加到计 算中，当二粒子均作布朗运动时，在式（8-6）中必须取二者扩散系数的和
它是从粒子1中心计算的距离
图 8-1 吸收球
r12 r1 r2
为了决定对半径为 r12的“吸收球”的浓度梯度， 必须解以球坐标 r 表示的扩散方程：
(nr) 2 (nr ) D2 2 t r
（8-2）
式（8-2）所满足的条件时：
r 时，n(, r2 , t ) n(r2 , t ) 且r r12时, n 0
2 a 时， e kT 0.0574 m 。图8-2表示出了
z a y (e y 1) 的函数关系， y 0 说明
粒子间为引力， y 0 说明粒子间为斥力， 对于非荷电粒子y=0,而z=1。而且对
于 y 1 ，粒子为弱荷电，y 1 ，粒子为
强荷电。 图 8-2 修正系数 z a 与y 之间关系
表8-1 按扩散理论计算的凝并常数值 k 0 (10 10 cm3 / s)
r2 (m)
0.001
0.01
0.1
1.0
r1 (m)
0.001 0.01 0.1 1.0 803.4 2232 20299 201054 84 243.3 2121 12.68 36.69 6.6
穆勒（Muller）研究了气溶胶粒子的粒径分布随时间的变化，并给出了这一 变化的基本方程式，但这一方程难于求解，斯莫鲁夫斯基提出了一简单的微 分方程，来代替穆勒的方程。如果仅考虑粒子的数目浓度随时间的变化，且 假设对所有粒子的凝并常数均相同，则凝并的基本方程为：
第八章
气溶胶粒子的凝并

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
气溶胶粒子的凝并是指气溶胶粒子由于相对运动彼此间发生碰撞、接触 而粘着和融合成较大粒子的过程。是发生于气溶胶粒子间的重要现象。其 结果是粒子的数目减少而粒子的直径增大。由布朗运动（扩散）导致气溶 胶粒子互相接触而合并的过程叫做热凝并，它在气溶胶粒子中是普遍存在 的。在内力作用下也能引起气溶胶粒子的凝并，由范德华力（分子力）、 荷电粒子电偶极子和磁极子等所引起的粒子凝并等。在外力场影响下也可 引起凝并，如电场和磁场中的凝并,重力场和离心力场中的凝并（动力凝 并）、声场中的凝并以及层流和紊流中的凝并等。在本章中我们将着重讨 论热凝并、分子间作用力引起的凝并荷电粒子的凝并、荷电粒子的凝并、 电场和磁场中的凝并、声凝并以及梯度凝并等。
（8-4）
其中高斯误差积 分为：
(X )
因而从式（8-4）可以求出
(
2


X
0
e
2
d
n(r2 , t ) r n ) r r 1 12 r12 r 12 D2 t
在上式中 r12 可以忽略，因而
D2 t 是扩散过程中的非稳定因素，当 t r12 2 D2 时，该项
（8-3）
第一边界条件说明随r 的增大，浓度n趋近于极限 n(r2 , t ) ，在该处浓度与扩散
无关。第二边界条件说明在 r12 r1 r2 处接触，且粒子2在2类粒子中消失。方 程（8-2）对边界条件（8-3）时的解为：
r12 r12 r r12 n(r , r2 , t ) n(r2 , t ) 1 ( ) r r 4 D2 t
p
（8-26）
这里 ——介电常数； ——磁导
率。
图 8-3 在均匀电场中两个极化气 溶胶粒子间的作用力（偶极矩p）
对于较大的介电常数和磁导率值，式中系数
胶是盛在一容器中，那么 t b 10.6s 它将在粒子间斥力作用下很快沉降到器壁 上。
三 在外力场影响下气溶胶粒子的凝 并

（一）电场和磁场
在均匀电场或磁场 E或H 中，半径为r的 极化球形气溶胶粒子的偶极矩为（见
图8-3）：
或
1 Er3 2 1 3 p Hr 2
x2 x2 f ( x) ln(1 x 2 ) 2 2 2(1 x )
（8-20）
（8-21）
所以分子力的影响与粒径无关，而仅与 Q kT 值有关，Q值约为
5 10 20 7 10 22 焦耳。
而此时凝并常数的增加大约为 z 1.5到z 1.001 之间。
式（8-13）是按斯莫鲁克斯基理论表示的粒子数目浓度随时间的变化 当 t t b 时，粒子的数目浓度减小一半。 如果在凝并过程中单位体积中气溶胶粒子的质量不变，那么由式（813）经变换可以得到：
d (t ) n0 d0 n(t )
13
式中 d 0 ——为粒子凝并前的原始粒径；d (t )——发生凝并t时刻的粒径。 或者把上式改写为： d (t ) d (1 1 n k t ) 0 0 0 （8-14） 2 用式（8-14）描述液滴的凝并过程是恰当的，对于固体粒子，由于其形状不 规则，只能用式（8-14）近似地加以说明。