气溶胶力学第8章

对吸收球表面 r r1 r2 r12 , n 0
1 r F ( ) d 1 n(r ) n0 e kT
r 1 dr exp k T F ( )d r 2 r12 r 1 dr exp k T F ( )d r 2
第八章
气溶胶粒子的凝并

气溶胶粒子的凝并是指气溶胶粒子由于相对运动彼此间发生碰撞、接触 而粘着和融合成较大粒子的过程。是发生于气溶胶粒子间的重要现象。其 结果是粒子的数目减少而粒子的直径增大。由布朗运动（扩散）导致气溶 胶粒子互相接触而合并的过程叫做热凝并，它在气溶胶粒子中是普遍存在 的。在内力作用下也能引起气溶胶粒子的凝并，由范德华力（分子力）、 荷电粒子电偶极子和磁极子等所引起的粒子凝并等。在外力场影响下也可 引起凝并，如电场和磁场中的凝并,重力场和离心力场中的凝并（动力凝 并）、声场中的凝并以及层流和紊流中的凝并等。在本章中我们将着重讨 论热凝并、分子间作用力引起的凝并荷电粒子的凝并、荷电粒子的凝并、 电场和磁场中的凝并、声凝并以及梯度凝并等。
（8-3）
第一边界条件说明随r 的增大，浓度n趋近于极限 n(r2 , t ) ，在该处浓度与扩散
无关。第二边界条件说明在 r12 r1 r2 处接触，且粒子2在2类粒子中消失。方 程（8-2）对边界条件（8-3）时的解为：
r12 r12 r r12 n(r , r2 , t ) n(r2 , t ) 1 ( ) r r 4 D2 t
这说明二粒子的扩散系数等于单个粒子的扩散系数之和，这时式（8-6）
可以改写为：
N12 4 ( D1 D2 )(r1 r2 )n(r2 , t )
（8-7）
用已知的扩散系数D与迁移率B之间的关系式 D kTB 这时式（8-7）变为
N12 4 ( B1 பைடு நூலகம்B2 )( r1 r2 )kTn(r2 , t )
p
（8-26）
这里 ——介电常数； ——磁导
率。
图 8-3 在均匀电场中两个极化气 溶胶粒子间的作用力（偶极矩p）
对于较大的介电常数和磁导率值，式中系数
它是从粒子1中心计算的距离
图 8-1 吸收球
r12 r1 r2
为了决定对半径为 r12的“吸收球”的浓度梯度， 必须解以球坐标 r 表示的扩散方程：
(nr) 2 (nr ) D2 2 t r
（8-2）
式（8-2）所满足的条件时：
r 时，n(, r2 , t ) n(r2 , t ) 且r r12时, n 0
（二）荷电粒子 设想有两类粒子，半径分别为
r1和r2 ，所带电荷分别为
v与 基本电荷，
由电荷引起的引力和斥力可使相应的凝并常数增大和减小，如果忽略彼此间
的感应力，则自由电荷之间的作用力为：
F (r v e2 r
2
)
（8-22）
作用力的位势为：
这里， x r12 r
ve 2
x r12
r
（8-16）
在单位时间里凝并到粒子1上的2类粒子的数目为：
N12
4Dn0

r12
e

1 kT
r
r
F ( ) d 2
（8-17）

dr
而对于没有分子力时的情况
N12 4 ( D1 D2 )r12 n0
由于F力的影响，凝并常数的变化可用下列因素表达：
Zm
1
e
0
1
r 1 ( 12 ) kT x
dn 1 k0 n 2 dt 2
（8-12）
当t=0时n=n0,则式（8-12）的解为：
1 1 1 k0t n n0 2
或者把上式写为：
n
n0 n 0 1 t 1 k0 n0t 1 2 tb
（8-13）
这里 n 0 ——粒子的原始数目浓度；t b 2 k 0 n0 ，称为粒子数目浓度的半 值时间。
2 a 时， e kT 0.0574 m 。图8-2表示出了
z a y (e y 1) 的函数关系， y 0 说明
粒子间为引力， y 0 说明粒子间为斥力， 对于非荷电粒子y=0,而z=1。而且对
于 y 1 ，粒子为弱荷电，y 1 ，粒子为
强荷电。 图 8-2 修正系数 z a 与y 之间关系
(
n(r2 , t ) n ) r r r12 r 12
（8-5）
把式（8-5）代入式（8-1）就可以得到在单位时间内扩散并黏着到固定粒
子1上的粒子的2的数目，即
N12 4D2 r12n(r2 , t )
为了便于分析，在上述分析中我们假定粒子1是静止的，实际上这是不可
能的。因为粒子1也参与了布朗运动，必须把粒子1的扩散系数D1 也加到计 算中，当二粒子均作布朗运动时，在式（8-6）中必须取二者扩散系数的和
式（8-13）是按斯莫鲁克斯基理论表示的粒子数目浓度随时间的变化 当 t t b 时，粒子的数目浓度减小一半。 如果在凝并过程中单位体积中气溶胶粒子的质量不变，那么由式（813）经变换可以得到：
d (t ) n0 d0 n(t )
13
式中 d 0 ——为粒子凝并前的原始粒径；d (t )——发生凝并t时刻的粒径。 或者把上式改写为： d (t ) d (1 1 n k t ) 0 0 0 （8-14） 2 用式（8-14）描述液滴的凝并过程是恰当的，对于固体粒子，由于其形状不 规则，只能用式（8-14）近似地加以说明。
半径为 r2 的粒子2在单位时间内扩散到半径为
r1 的粒子1上的粒子数目 N12 服从扩散定律，所以：
n N12 4r D2 ( ) r r r 12
2 12
（8-1）
其中D2是2类粒子的扩散系数；
n n(r , r2 , t ) 是半径为 r2
的粒子在t时刻的浓度，
r 的函数。
现在我们考虑以特殊情况：所有粒子粒径相同，且荷有相同电荷
，在忽 e
略静电凝并（队强电荷是允许的），仅考虑静电发散的情况下：
n0 n(t ) 1 t tb
（8-25）
式中半值时间
t b (4B 2 e 2 n0 ) 1
，如果在t=0时刻原始粒子
6 3 数 n0 2 10 粒子 cm ，每一粒子带两个基本电荷，那么。这样，如果气溶
（8-23）
富克斯得到荷电粒子和非荷电粒子凝并常数之比为：
Ze a r12 y y e a r12 1 e 1
（8-24）
2 这里 a v e kT , r12 r1 r2 , y a r12
当
v 1时, a e 2 kT
表示两基本电荷间的距离，当温度为20℃
（8-4）
其中高斯误差积 分为：
(X )
因而从式（8-4）可以求出
(
2


X
0
e
2
d
n(r2 , t ) r n ) r r 1 12 r12 r 12 D2 t
在上式中 r12 可以忽略，因而
D2 t 是扩散过程中的非稳定因素，当 t r12 2 D2 时，该项
胶是盛在一容器中，那么 t b 10.6s 它将在粒子间斥力作用下很快沉降到器壁 上。
三 在外力场影响下气溶胶粒子的凝 并

（一）电场和磁场
在均匀电场或磁场 E或H 中，半径为r的 极化球形气溶胶粒子的偶极矩为（见
图8-3）：
或
1 Er3 2 1 3 p Hr 2
表8-1 按扩散理论计算的凝并常数值 k 0 (10 10 cm3 / s)
r2 (m)
0.001
0.01
0.1
1.0
r1 (m)
0.001 0.01 0.1 1.0 803.4 2232 20299 201054 84 243.3 2121 12.68 36.69 6.6
穆勒（Muller）研究了气溶胶粒子的粒径分布随时间的变化，并给出了这一 变化的基本方程式，但这一方程难于求解，斯莫鲁夫斯基提出了一简单的微 分方程，来代替穆勒的方程。如果仅考虑粒子的数目浓度随时间的变化，且 假设对所有粒子的凝并常数均相同，则凝并的基本方程为：
x2 x2 f ( x) ln(1 x 2 ) 2 2 2(1 x )
（8-20）
（8-21）
所以分子力的影响与粒径无关，而仅与 Q kT 值有关，Q值约为
5 10 20 7 10 22 焦耳。
而此时凝并常数的增加大约为 z 1.5到z 1.001 之间。
来计算，而不是二者的乘积，这是因为粒子在t时刻的均方位移为：
x x
0
2


4Dt
4 Dt
1


( x x0 ) e
2
2
( x x0 ) 2 4 Dt
dx




e
2
d 2 Dt
而在t 时间间隔内沿x轴粒子1，2的相对位移均方值为
(x1 x2 ) 2 (x1 ) 2 (x2 ) 2 2( D1 D2 )t
梯科郝米罗夫（Tikhomirov）等人得到分子力的位势为：
(r ) 2 Q 2r 2
6 r2
1
4r 2 2 ln(1 2 ) 2 r 4r r 2r 2
（8-19）
此时系数 其中Q为常数。 而
2 Qf ( x) Z m 1 exp dx 0 6k T